Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ
1. Tổng của hai véc-tơ
Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Từ một điểm \(A\) tùy ý, lấy hai điểm \(B\), \(C\) sao cho \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\). Khi đó \(\overrightarrow{AC}\) được gọi là tổng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) và được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\).
Vậy \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
Định lí.
Quy tắc 3 điểm: Với ba điểm \(M\), \(N\), \(P\), ta có \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}\).
Chú ý.
Khi cộng hai véc-tơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của véc-tơ thứ nhất phải là điểm đầu của véc-tơ thứ hai.
Ví dụ 1. Cho các điểm \(E\), \(F\), \(G\), \(H\), \(K\). Thực hiện các phép cộng véc-tơ:
\(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FH};\quad\) \(\overrightarrow{FK}+\overrightarrow{KG};\quad\) \(\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HE}.\)
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
\(\quad\)\(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{EH};\quad\) \(\overrightarrow{FK}+\overrightarrow{KG}=\overrightarrow{FG};\quad\) \(\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{EE}=\overrightarrow{0}.\)
Quy tắc hình bình hành Nếu \(OABC\) là hình bình hành thì ta có \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\).
Ví dụ 2. Tìm tổng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) trong hình vẽ bên.
+ Ta có \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD}\), suy ra \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).
+ Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\).
+ Vậy \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}\).
Chú ý.
Để áp dụng quy tắc hình bình hành, ta cần đưa bài toán tìm tổng hai véc-tơ về bài toán tìm tổng của hai véc-tơ có chung điểm đầu.
Ví dụ 3. Cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy là \(AB\) và \(DC\). Cho biết \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\); \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}\). Chứng minh hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{a}\) cùng hướng.
+ Vì \(ABCD\) là hình thang có hai đáy là \(AB\) và \(DC\) nên \(AB\parallel DC\).
+ Ta có \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\); \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}\).
+ Suy ra hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{a}\) cùng hướng.
Ví dụ 4. Cho tam giác đều có cạnh bằng \(a\). Tính độ dài của véc-tơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), \(N\) là điểm thỏa mãn \(ABNC\) là hình bình hành.
Ta có
\(\begin{aligned}\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|&=\left|\overrightarrow{AN}\right|=AN=2AM\\ &=2\cdot\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.\end{aligned}\)
Ví dụ 5. Một máy bay có véc-tơ vận tốc chỉ theo hướng bắc, vận tốc gió là một véc-tơ theo hướng đông như hình vẽ. Tính độ dài véc-tơ tổng của hai véc-tơ nói trên.
Véc-tơ tổng \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
Độ dài véc-tơ tổng
\(\quad\)\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{150^2+30^2}=30\sqrt{26}\; \mathrm{ km/h.}\)
Ví dụ 6. Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực \(\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}\) có độ lớn lần lượt là \(400\) N, \(600\) N (hình bên). Cho biết góc giữa hai véc-tơ là \(60^\circ\). Tìm độ lớn véc-tơ hợp lực \(\overrightarrow{F}\) là tổng của hai lực \(\overrightarrow{F_1}\) và \(\overrightarrow{F_2}\).
Ta có \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\) nên \(OACB\) là hình bình hành.
Vì \(\widehat{AOB}=60^\circ\) nên \(\widehat{OAC}=120^\circ\).
Áp định lí cô-sin trong tam giác \(OAC\), ta có
\(\begin{aligned}|\overrightarrow{F}|^2&= OC^2\\ &=OA^2+AC^2-2OA\cdot AC\cos \widehat{OAC}\\ &=400^2+600^2-2\cdot 400\cdot 600\cos 120^\circ\\ &=760000\\ \Rightarrow |\overrightarrow{F}|&= 200\sqrt{19}\,(\mathrm{N}).\end{aligned}\)
2. Tính chất của phép cộng các véc-tơ
+ Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\);
+ Tính chất kết hợp: \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\);
+ Với mọi véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), ta luôn có \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\).
Chú ý.
Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\). kí hiệu là \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\) với \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}\).
Ví dụ 1. Cho tứ giác \(ABCD\). Thực hiện các phép cộng véc-tơ sau:
a. \(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\right)+\overrightarrow{BC}\);
b. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}\).
a. Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng véc-tơ, ta có:
\(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\right)+\overrightarrow{BC}\) \(=\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{BC}\) \(=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}\).
b. Ta có
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}\) \(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\) \(=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\).
Ví dụ 2. Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(1\). Tính độ dài các véc-tơ sau:
a. \(\overrightarrow{a} =\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{CB}\);
b. \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}\).
a. \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right|\) \(=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=a\).
b. \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{DA}\right|\) \(=\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{0}\right|=AC=\sqrt{2}\).
3. Hiệu của hai véctơ
Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Hiệu của hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là véc-tơ \(\overrightarrow{a}+ (-\overrightarrow{b})\) và kí hiệu \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\).
Ví dụ 1. Cho các điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\). Thực hiện các phép trừ sau: \(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN}\); \(\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PQ}\).
Ta có
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN} =\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP} =\overrightarrow{MP}\);
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{QP} =\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PM}\) \(=\overrightarrow{QM}\).
Chú ý.
Cho ba điểm \(O\), \(A\), \(B\), ta có \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}\).
Ví dụ 2. Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(1\) và một điểm \(O\) tùy ý. Tính độ dài các véc-tơ sau:
a. \(\overrightarrow{a}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD})\);
b. \(\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC})\).
a. \(|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{DB}|=DB=\sqrt{2}\).
b. \(|\overrightarrow{b}| =|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}| =|\overrightarrow{AD}|=AD=1\).
4. Tính chất véc-tơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
+ Điểm \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\).
+ Điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ví dụ 1. Cho tứ giác \(ABCD\) có \(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(CD\) và \(O\) là trung điểm của \(IJ\). Chứng minh \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\).
+ Do \(I\), \(J\), \(O\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(CD\) và \(IJ\) nên:
\(\quad\)\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0};\quad\) \(\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0};\quad\) \(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{0}\)
+ Ta có
\(\begin{aligned}&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\\ &=(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{JC})+(\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{JD})\\ &=(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ})+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ})+(\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD})\\ &=\overrightarrow{0}.\end{aligned}\)
Ví dụ 2. Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O\). Tìm ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) thỏa mãn:
a. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\);
b. \(\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\);
c. \(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}\).
a. Ta chọn \(M\) là trọng tâm tam giác \(ADB\).
Khi đó \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\).
b. Ta chọn \(N\) là trọng tâm tam giác \(DBC\).
Khi đó \(\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\).
c. Ta chọn \(P\equiv O\). Ta có \(O\) là trung điểm \(MN\).
Khi đó \(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}.\)
BÀI TẬP
Bài tập 1. Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm hai đường chéo và một điểm \(M\) tuỳ ý. Chứng minh rằng:
a. \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\);
b. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\).
a. Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\).
Do đó \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}\).
b. \(O\) là giao điểm hai đường chéo hình hình hành nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Do đó
\(\bullet\ \)\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\) \(=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MO}\)
\(\bullet\ \)\(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\) \(=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MO}.\)
Vậy \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\).
Bài tập 2. Cho tứ giác \(ABCD\), thực hiện các phép cộng và trừ véc-tơ sau:
a. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}\);
b. \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A D}\);
c. \(\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C D}\).
a. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}\) \(=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}\) \(=\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{D A} =\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\).
b. \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{BD}\).
c. \(\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{DB}\).
Bài tập 3. Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(a\). Tính độ dài của các véc-tơ:
a. \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\);
b. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\);
c. \(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\).
a. \(\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right| =\left|\overrightarrow{BC}\right| =BC=a\).
b. Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), \(N\) là điểm thỏa mãn \(ABNC\) là hình bình hành. Ta có
\(\begin{aligned}\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right| &=\left|\overrightarrow{AN}\right|=AN\\ &=2AM=2\cdot\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.\end{aligned}\)
c. \(\left|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=CA=a\).
Bài tập 4. Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng:
a. \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O C}\);
b. \(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{0}\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\). Khi đó
a. \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\);
b. \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}\) \(=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}\) \(=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}\).
Bài tập 5. Cho ba lực \(\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{F_{2}}=\overrightarrow{M B}\) và \(\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{M C}\) cùng tác động vào một vật tại điểm \(M\) và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_{2}}\) đều là \(10 \mathrm{~N}\) và \(\widehat{AMB}=90^{\circ}\). Tìm độ lớn của lực \(\overrightarrow{F_3}\).
+ Vì vật đứng yên nên
\(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})\).
+ Gọi \(C'\) là điểm thỏa mãn \(AMBC'\) là hình bình hành. Vì \(MA=MB\) và \(\widehat{AMB}=90^{\circ}\) nên \(AMBC'\) là hình vuông.
Ta có
\(|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|\) \(=|MC'|=\sqrt{2}MA=10\sqrt{2}\ (N)\).
Bài tập 6. Khi máy bay nghiêng cánh một góc \(\alpha\), lực \(\overrightarrow{F}\) của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng \(\overrightarrow{F_1}\) và lực cản \(\overrightarrow{F_2}\) (Hình bên). Cho biết \(\alpha=30^{\circ}\) và \(|\overrightarrow{F}|=a\). Tính \(\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|\) và \(\left|\overrightarrow{F_{2}}\right|\) theo \(a\).
Vì \(\overrightarrow{F_1}\) vuông góc với cánh máy bay và \(\alpha =30^\circ\) nên
\(\quad\) \(\begin{cases}|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F}|\cos 30^\circ=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\\|\overrightarrow{F_2}|=|\overrightarrow{F}|\sin 30^\circ=\displaystyle\frac{a}{2}.\end{cases}\)
Bài tập 7. Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và ba điểm \(G\), \(H\), \(K\) thoả mãn: \(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\); \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\); \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}\). Tính độ dài các véc-tơ \(\overrightarrow{KA}\), \(\overrightarrow{GH}\), \(\overrightarrow{AG}\).
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow K\) là trung điểm \(AC\);
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\);
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow H\) là trọng tâm tam giác \(ACD\).
\(\bullet\ \) Ta có \(|\overrightarrow{KA}|=\displaystyle\frac{1}{2}AC=\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
\(\bullet\ \) \(|\overrightarrow{GH}|=\displaystyle\frac{1}{3}AC=\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{3}\).
\(\bullet\ \) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Ta có \(AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\displaystyle\frac{a\sqrt{5}}{2}\).
\(\bullet\ \) \(|\overrightarrow{AG}|=\displaystyle\frac{2}{3}AM=\displaystyle\frac{a\sqrt{5}}{3}\).
Bài tập 8. Một con tàu có véc-tơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một véc-tơ theo hướng đông như hình bên. Tính độ dài véc-tơ tổng của hai véc-tơ nói trên.
Độ dài véc-tơ tổng của hai véc-tơ là \(\sqrt{30^2+10^2}=10\sqrt{10}\) km/h.