Bài 4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
Tác dụng một lực \(\overrightarrow{F}\) vào một vật và làm cho vật đó dịch chuyển theo véc-tơ \(\overrightarrow{d}\) thì sẽ sinh ra một công là \(A\) được tính theo công thức: \(A=\left |\overrightarrow{ F } \right | \cdot \left |\overrightarrow{d} \right | \cdot \cos \theta\), trong đó \(\theta\) là góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{F}\) và \(\overrightarrow{d}\).
1. Góc giữa hai véc-tơ
Cho hình vuông \(A B C D\) có tâm \(I\)
+ Tính \(\widehat{I D C}\).
+ Tìm hai véc-tơ cùng có điểm đầu là \(D\) và điểm cuối lần lượt là \(I\) và \(C\).
+ Tìm hai véc-tơ cùng có điểm đầu là \(D\) và lần lượt bằng véc-tơ \(\overrightarrow{I B}\) và \(\overrightarrow{A B}\).
+ Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\). Từ một điểm \(O\) bất kì ta vẽ \(\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{b}\).
+ Góc \(\widehat{A O B}\) với số đo từ \(0^{\circ}\) đến \(180^{\circ}\) được gọi là góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).
+ Ta kí hiệu góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(\left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right )\).
+ Nếu \(\left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right )=90^{\circ}\) thì ta nói rằng \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau, kí hiệu là \(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\).
Chú ý.
+ Từ định nghĩa ta có \(\left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right )=\left (\overrightarrow{b}, \overrightarrow{a}\right )\).
+ Góc giữa hai véc-tơ cùng hướng và khác \(\overrightarrow{0}\) luôn bằng \(0^{\circ}\).
+ Góc giữa hai véc-tơ ngược hướng và khác \(\overrightarrow{0}\) luôn bằng \(180^{\circ}\).
+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) hoặc \(\overrightarrow{b}\) là véc-tơ \(\overrightarrow{0}\) thì ta quy ước số đo góc giữa hai véc-tơ đó là tuỳ ý (từ \(0^{\circ}\) đến \(180^{\circ}\)).
Ví dụ. Cho hình vuông \(A B C D\) có tâm \(I\) là giao điểm của hai đường chéo. Tìm các góc:
a. \(\left (\overrightarrow{I B}, \overrightarrow{A B} \right )\);
b. \(\left (\overrightarrow{I B}, \overrightarrow{A I} \right )\);
c. \(\left (\overrightarrow{I B}, \overrightarrow{D B} \right )\);
d. \(\left (\overrightarrow{I A}, \overrightarrow{I C} \right )\).
a. Ta có: \(\overrightarrow{D I}=\overrightarrow{I B}\), \(\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{A B}\), suy ra
\(\left (\overrightarrow{I B}, \overrightarrow{A B}\right )=\left (\overrightarrow{D I}, \overrightarrow{D C} \right )=\widehat{I D C}=45^{\circ}\).
b. Ta có: \(\overrightarrow{I C}=\overrightarrow{A I}\), suy ra
\(\left (\overrightarrow{I B},\overrightarrow{A I}\right )=\left (\overrightarrow{I B}, \overrightarrow{I C}\right )=\widehat{B I C}=90^{\circ}\).
c. Do hai véc-tơ \(\overrightarrow{I B}, \overrightarrow{D B}\) cùng hướng nên ta có \(\left (\overrightarrow{I B}, \overrightarrow{D B} \right )=0^{\circ}\).
d. Do hai véc-tơ \(\overrightarrow{I A}, \overrightarrow{I C}\) ngược hướng nên ta có \(\left (\overrightarrow{I A},\overrightarrow{I C}\right )=180^{\circ}\).
2. Tích vô hướng của hai véc-tơ
Một người dùng một lực \(\overrightarrow{F}\) có cường độ \(10 \mathrm{~N}\) kéo một chiếc xe đi quãng đường dài \(100 \mathrm{~m}\). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow{F}\), biết rằng góc giữa véc-tơ \(\overrightarrow{F}\) và hướng di chuyển là \(45^{\circ}\). (Công \(A\) (đơn vị: \(\mathrm{J}\)) bằng tích của ba đại lương: cường độ của lực \(\overrightarrow{F}\), độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{F}\) và độ dịch chuyển \(\overrightarrow{d})\).
Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\).
Tích vô hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\), được xác định bởi công thức:
\(\quad\) \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\left |\overrightarrow{a} \right | \cdot \left |\overrightarrow{b} \right | \cdot \cos \left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right).\)
Chú ý.
+ Trường hợp ít nhất một trong hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bằng \(\overrightarrow{0}\), ta quy ước \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0\).
+ Với \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\), ta có \(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0\).
+ Khi \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\) thì tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}^{2}\) và được gọi là bình phuơng vô hướng của véc-tơ \(\overrightarrow{a}\).
+ Ta có \(\overrightarrow{a}^{2}=|\overrightarrow{a}| \cdot|\overrightarrow{a}| \cdot \cos 0^{\circ}=|\overrightarrow{a}|^{2}\). Vậy bình phương vô hướng của một véc-tơ luôn bằng bình phương độ dài của véc-tơ đó.
+ \(\left(\overrightarrow{AB}\right)^2=AB^2\).
Ví dụ. Cho tam giác đều \(A B C\) có cạnh bằng 4 và có đường cao \(A H\). Tính các tích vô hướng:
a. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}\);
b. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}\);
c. \(\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}\).
a. Ta có
\(\begin{aligned}\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}&=\left |\overrightarrow{A B} \right | \cdot \left |\overrightarrow{A C} \right | \cdot \cos \left (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}\right )\\ &=4 \cdot 4 \cdot \cos 60^{\circ}=16 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}=8.\end{aligned}\)
b. Ta có
\(\begin{aligned}\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}&=\left |\overrightarrow{A B}\right | \cdot|\overrightarrow{B C}| \cdot \cos \left (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}\right )\\ &=4 \cdot 4 \cdot \cos 120^{\circ}=16 \cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=-8.\end{aligned}\)
c. Ta có
\(\begin{aligned}\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}&=\left |\overrightarrow{A H} \right | \cdot \left |\overrightarrow{B C} \right | \cdot \cos \left (\overrightarrow{A H}, \overrightarrow{B C}\right )\\ &=\left |\overrightarrow{A H} \right | \cdot \left |\overrightarrow{B C} \right | \cdot \cos 90^{\circ}=0.\end{aligned}\)
Chú ý.
Trong Vật lí, tích vô hướng của \(\overrightarrow{F}\) và \(\overrightarrow{d}\) biểu diễn công \(A\) sinh bởi lực \(\overrightarrow{F}\) khi thực hiện độ dịch chuyển \(\overrightarrow{d}\). Ta có công thức: \(A=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}\).
3. Tính chất của tích vô hướng
Tính chất
Với ba véc-tơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) bất kì và mọi số \(k\), ta có:
+ \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}\);
+ \(\overrightarrow{a} \cdot \left (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right )=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}\);
+ \(\left (k \overrightarrow{a}\right ) \cdot \overrightarrow{b}=k\left (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\right )=\overrightarrow{a} \cdot \left (k \overrightarrow{b} \right )\).
Ví dụ 1. Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng: \(\left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )^{2}=\overrightarrow{a}^{2}+2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}\).
Ta có
\(\begin{aligned}\left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )^{2} &=\left (\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) \cdot \left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\\ &=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} \\ &=\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}\\ &=\overrightarrow{a}^{2}+2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}.\end{aligned}\)
Vậy \(\left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right )^{2}=\overrightarrow{a}^{2}+2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}\).
Chứng minh tương tự, ta cũng có:
\(\begin{aligned}&\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )^{2}=\overrightarrow{a}^{2}-2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2};\\ &\left(\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) \cdot \left (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )=\overrightarrow{a}^{2}-\overrightarrow{b}^{2}.\end{aligned}\)
Ví dụ 2. Cho tam giác \(A B C\). Tính cạnh \(A B\) theo hai cạnh còn lại và góc \(C\).
Ta có
\(\begin{aligned}A B^{2}&=\overrightarrow{A B}^{2}=\left (\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C A} \right )^{2}\\ &=\overrightarrow{C B}^{2}+\overrightarrow{C A}^{2}-2 \overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}\\ &=C B^{2}+C A^{2}-2 C B \cdot C A \cdot \cos C.\end{aligned}\)
Hay \(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 b c \cos C\).
Ví dụ 3. Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\) vuông góc, cùng có độ dài bằng \(1\).
a. Tính: \(\left (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j} \right )^{2} \); \(\left (\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j} \right)^{2} \); \(\left (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j} \right ) \cdot \left (\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j} \right )\).
b. Cho \(\overrightarrow{a}=2 \overrightarrow{i}+2 \overrightarrow{j}\), \(\overrightarrow{b}=3 \overrightarrow{i}-3 \overrightarrow{j}\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) và tính góc \(\left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right )\).
a. Ta có
\(\begin{aligned}\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)^2 &=\left(\overrightarrow{i}\right)^2+2\overrightarrow{i}\overrightarrow{j}+\left(\overrightarrow{j}\right)^2\\ &=\left|\overrightarrow{i}\right|^2+2\left|\overrightarrow{i}\right|\cdot\left|\overrightarrow{j}\right|\cdot\cos\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)+\left|\overrightarrow{j}\right|^2\\ &=1^2+2\cdot 1\cdot1\cdot\cos90^\circ+1^2\\ &=2.\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)^2 &=\left(\overrightarrow{i}\right)^2-2\overrightarrow{i}\overrightarrow{j}+\left(\overrightarrow{j}\right)^2\\ &=\left|\overrightarrow{i}\right|^2-2\left|\overrightarrow{i}\right|\cdot\left|\overrightarrow{j}\right|\cdot\cos\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)+\left|\overrightarrow{j}\right|^2\\ &=1^2-2\cdot 1\cdot1\cdot\cos90^\circ+1^2\\ &=2.\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right) \cdot \left (\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right) &=\left(\overrightarrow{i}\right)^2-\left(\overrightarrow{j}\right)^2\\ &=\left|\overrightarrow{i}\right|^2-\left|\overrightarrow{j}\right|^2\\ &=1-1=0.\end{aligned}\)
b. Ta có
\(\begin{aligned}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} &=\left(2 \overrightarrow{i}+2 \overrightarrow{j}\right)\left(3 \overrightarrow{i}-3 \overrightarrow{j}\right)\\ &=6\left(\overrightarrow{i}\right)^2-6\overrightarrow{i}\overrightarrow{j}+6\overrightarrow{i}\overrightarrow{j}-6\left(\overrightarrow{j}\right)^2\\ &=6\left|\overrightarrow{i}\right|^2-6\left|\overrightarrow{j}\right|^2\\ &=6\cdot1-6\cdot1=0.\end{aligned}\)
Do \(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0\) nên \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\) hay \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90^\circ\).
Ví dụ 4. Phân tử sulfur dioxide \(\left( SO _{2}\right)\) có cấu tạo hình chữ \(V\), góc liên kết \(\widehat{O S O}\) gần bằng \(120^{\circ}\). Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử \(S\) với mỗi nguyên tử \(O\) bằng các véc-tơ \(\overrightarrow{\mu}_{1}\) và \(\overrightarrow{\mu}_{2}\) có cùng phương với liên kết cộng hoá trị, có chiều từ nguyên tử \(S\) về mỗi nguyên tử \(O\) và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị. Cho biết véc-tơ tổng \(\overrightarrow{\mu}=\overrightarrow{\mu}_{1}+\overrightarrow{\mu}_{2}\) được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử \(SO _{2}\). Tính độ dài của \(\overrightarrow{\mu}\).
Ta có
\(\begin{aligned}\left|\mu\right|^2&=\left|\overrightarrow{\mu}_1+\overrightarrow{\mu}_2\right|^2\\ &=\left(\overrightarrow{\mu}_1+\overrightarrow{\mu}_2\right)^2\\ &=\left(\overrightarrow{\mu}_1\right)^2+2\overrightarrow{\mu}_1\overrightarrow{\mu}_2+\left(\overrightarrow{\mu}_2\right)^2\\ &=\left|\overrightarrow{\mu}_1\right|^2+2\left|\overrightarrow{\mu}_1\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mu}_2\right|\cdot\cos\left(\overrightarrow{\mu}_1,\overrightarrow{\mu}_2\right)+\left|\overrightarrow{\mu}_2\right|^2\\ &=(1{,}6)^2+2\cdot1{,6}\cdot1{,}6\cdot\cos120^\circ+(1{,}6)^2\\ &=\dfrac{64}{25}.\end{aligned}\)
Suy ra
\(\left|\overrightarrow{\mu}\right|=\dfrac{8}{5}.\)
BÀI TẬP
Bài tập 1. Cho hình vuông \(A B C D\) có cạnh bằng \(a\). Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}\), \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}\), \(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{C B}\), \(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}\).
\(\bullet\ \)\(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{AD} = a \cdot a \cdot \cos 90^\circ =0\).
\(\bullet\ \)\(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ =a^2\).
\(\bullet\ \)\(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{CB} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ =-a^2\).
\(\bullet\ \)\(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{BD} = a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos 90^\circ =0\).
Bài tập 2. Cho hình chữ nhật \(A B C D\) có tâm \(O\) và cho \(A D=a, A B=2 a\). Tính:
a. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A O}\);
b. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}\).
a. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A O} = \overrightarrow{A B} \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \left (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right )\) \(= \displaystyle\frac{1}{2}AB^2 = 2a^2\).
b. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D} = 0\).
Bài tập 3. Cho ba điểm \(O, A, B\) thẳng hàng và \(O A=a, O B=b\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}\) trong hai trường hợp:
a. Điểm \(O\) nằm ngoài đoạn thẳng \(A B\);
b. Điểm \(O\) nằm trong đoạn thẳng \(A B\).
a. Nếu điểm \(O\) nằm ngoài đoạn thẳng \(AB\) thì các véc-tơ \(\overrightarrow{O A}\), \(\overrightarrow{O B}\) cùng hướng nên
\(\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B} = OA \cdot OB \cdot \cos 0^\circ = ab.\)
b. Nếu điểm \(O\) nằm trong đoạn thẳng \(AB\) thì các véc-tơ \(\overrightarrow{O A}\), \(\overrightarrow{O B}\) ngược hướng nên
\(\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B} = OA \cdot OB \cdot \cos 180^\circ = -ab.\)
Bài tập 4. Cho đoạn thẳng \(AB\) có \(O\) là trung điểm và cho điểm \(M\) tuỳ ý. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=M O^{2}-O A^{2}.\)
Do \(O\) là trung điểm của \(AB\) nên
\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -OA^2\).
Khi đó
\(\begin{aligned}&\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}= \left (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} \right ) \cdot \left (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} \right )\\ =\ &MO^2 + \overrightarrow{MO} \cdot \left (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right ) + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\\ =\ &MO^2-OA^2.\end{aligned}\)
Bài tập 5. Một người dùng một lực \(\overrightarrow{F}\) có độ lớn là \(90 \mathrm{~N}\) làm một vật dịch chuyển một đoạn \(100 \mathrm{~m}\). Biết lực \(\overrightarrow{F}\) hợp với hướng dịch chuyển một góc \(60^{\circ}\). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow{F}\).
Ta có
\(A = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = F \cdot d \cdot \cos 60^\circ = 90 \cdot 100 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}\) \(= 4500\ J\)
Bài tập 6. Cho hai véc-tơ có độ dài lần lượt là \(3\) và \(4\) và có tích vô hướng là \(-6\). Tính góc giữa hai véc-tơ đó.
Ta có
\(\cos \left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right ) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left |\overrightarrow{a}\right | \cdot \left |\overrightarrow{b}\right |} = -\displaystyle\frac{1}{2}\).
Suy ra \(\left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right ) =120^\circ\).