Bài 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VÉCTƠ

1. Tích của một số với một véc-tơ và các tính chất

Cho véc-tơ \(\overrightarrow{a}\). Hãy xác định độ dài và hướng của hai véc-tơ: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\), \((-\overrightarrow{a})+(-\overrightarrow{a})\) (Hình \(1\)).

+ Cho số \(k\) khác \(0\) và véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) khác \(\overrightarrow{0}\). Tích của số \(k\) với véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) là một véc-tơ, kí hiệu là \(k \overrightarrow{a}\).

+ Véc-tơ \(k \overrightarrow{a}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k>0\), ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k<0\) và có độ dài bằng \(|k| \cdot \left |\overrightarrow{a} \right |\).

+ Ta quy ước \(0 \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) và \(k \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\).

+ Người ta còn gọi tích một số với một véc-tơ là tích của một véc-tơ với một số.

Ví dụ 1. Cho tam giác \(A BC\) có \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\), \(A C\) (Hình \(2\)). Tìm trong hình các véc-tơ bằng: \(2 \overrightarrow{MN};\quad\) \(-\displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{A B};\quad\) \(-2 \overrightarrow{CN}\).

Ta có:

\(2 \overrightarrow{M N}=\overrightarrow{B C};\quad\) \(-\displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{M A};\quad\) \(-2 \overrightarrow{C N}=\overrightarrow{A C}\).

Tính chất. Với hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bất kì, với mọi số thực \(h\) và \(k\), ta có:

\(\bullet\ \) \(k\left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )=k \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}\);

\(\bullet\ \) \((h+k) \overrightarrow{a}=h \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{a}\);

\(\bullet\ \) \(h\left (k \overrightarrow{a}\right )=(h k) \overrightarrow{a}\);

\(\bullet\ \) \(1 \cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\);

\(\bullet\ \) \(-1 \cdot \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\).

Ví dụ 2.

a. \(5(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\);

b. \((x+2) \overrightarrow{a}\);

c. \(-3(4 \overrightarrow{e})\);

d. \(\overrightarrow{c}-2 \overrightarrow{c}\).

a. \(5(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=5 \overrightarrow{u}+5 \overrightarrow{v}\)

b. \((x+2) \overrightarrow{a}=x \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{a}\);

c. \(-3(4 \overrightarrow{e})=(-3 \cdot 4) \overrightarrow{e}=-12 \overrightarrow{e}\);

d. \(\overrightarrow{c}-2 \overrightarrow{c}=(1-2) \overrightarrow{c}=(-1) \overrightarrow{c}\) \(=-\overrightarrow{c}\).

Ví dụ 3. Cho đoạn thẳng \(A B\) và một điểm \(M\) tuỳ ý. Chứng minh \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(A B\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{M B}=2 \overrightarrow{MI}\).

Ta có

\(\begin{align*}&\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=2 \overrightarrow{M I}\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I B} =2 \overrightarrow{M I} \\ \Leftrightarrow\ &{M I}+\overrightarrow{I B}=2 \overrightarrow{M I} \\ \Leftrightarrow\ &2 \overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}=2 \overrightarrow{M I} \\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow\ &I \text{ là trung điểm của đoạn thẳng } AB.\end{align*}\)

2. Điều kiện để hai véc-tơ cùng phương

Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương, \(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và cho \(\overrightarrow{c}=\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{a}\right |}{\left |\overrightarrow{b}\right |} \cdot \overrightarrow{b}\). So sánh độ dài và hướng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{c}\).

Hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (\(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi có số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{a}=k \overrightarrow{b}\).

Ba điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng khi và chỉ khi có số \(k\) khác 0 để \(\overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{AC}\).

Ví dụ. Cho tam giác \(A B C\) có trung tuyến \(A M\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(A M\) và \(K\) là điểm trên cạnh \(A C\) sao cho \(A K=\displaystyle\frac{1}{3} A C\).

a. Tính \(\overrightarrow{B I}\) theo \(\overrightarrow{B A}\), \(\overrightarrow{B C}\).

b. Tính \(\overrightarrow{B K}\) theo \(\overrightarrow{B A}\), \(\overrightarrow{B C}\).

c. Chứng minh ba điểm \(B, I, K\) thẳng hàng.

a. Ta có

\(\begin{aligned}\overrightarrow{BI} &=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{B A}+\displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{AM}\\ &=\overrightarrow{B A}+\displaystyle\frac{1}{2}\left (\overrightarrow{B M}-\overrightarrow{B A}\right)\\ &=\displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{B A}+\displaystyle\frac{1}{4} \overrightarrow{B C}. \quad (1)\end{aligned}\)

b. Ta có

\(\begin{aligned}\overrightarrow{BK}&=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{B A}+\displaystyle\frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\\ &=\overrightarrow{B A}+\displaystyle\frac{1}{3}\left (\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A} \right)\\ &=\displaystyle\frac{2}{3} \overrightarrow{B A}+\displaystyle\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}. \quad (2)\end{aligned}\)

c. Ta có

\((1) \Rightarrow 4 \overrightarrow{B I}=2 \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}\);

\((2) \Rightarrow 3 \overrightarrow{B K}=2 \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}\) nên \(\overrightarrow{B I}=\displaystyle\frac{3}{4} \overrightarrow{B K}. \quad (3)\)

Từ (3) ta suy ra ba điểm \(B, I, K\) thẳng hàng.

Chú ý.

Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Với mọi véc-tơ \(\overrightarrow{c}\) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m ; n)\) sao cho \(\overrightarrow{c}=m \overrightarrow{a}+n \overrightarrow{b}\).

BÀI TẬP

Bài tập 1. Cho hình bình hành \(A B C D\) có \(O\) là giao điểm hai đường chéo. Với \(M\) là điểm tuỳ ý, chứng minh rằng:

a. \(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D}=4 \overrightarrow{M O}\);

b. \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{A C}\).

a. Ta có

\(\begin{aligned}&\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D}\\ =\ &\overrightarrow{M O}+\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{M O}+\overrightarrow{OB}\\ &+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{M O}+\overrightarrow{OD} \\ =\ &4\overrightarrow{MO}+ \left (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} \right ) + \left (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \right )\\ =\ &4\overrightarrow{MO}.\end{aligned}\)

Ta có

\(\begin{aligned}\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{AD}&=\left (\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D} \right ) + \overrightarrow{AC}\\ &=\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AC} = 2 \overrightarrow{AC}.\end{aligned}\)

Bài tập 2. Cho tứ giác \(A B C D\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng:

a. \(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{M N}\)

b. \(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A D}\).

a. Vì \(M\), \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) nên

\(\quad\) \(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0}\);

\(\quad\) \(\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{0}\).

Ta có

\(\begin{aligned}&\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\\ =\ &\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND}\\ =\ &2 \overrightarrow{MN}.\end{aligned}\)

b. Ta có

\(\begin{aligned}\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}\\ &= \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{AD}.\end{aligned}\)

Bài tập 3. Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Xác định điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow{M A}+4 \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}\).

Trên đoạn \(AB\) ta lấy điểm \(M\) sao cho \(MA=4MB\).

Khi đó \(\overrightarrow{M A}+4 \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}\).

Bài tập 4. Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E\), \(F\), \(G\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(A B\), \(C D\), \(E F\). Lấy điểm \(M\) tuỳ ý, chứng minh rằng \(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D}=4 \overrightarrow{M G}\).

Vì \(E\), \(F\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) nên

\(\quad\)\(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B} =2\overrightarrow{ME}\);

\(\quad\)\(\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D} =2\overrightarrow{MF}\).

Ta lại có \(G\) là trung điểm của \(EF\) nên

\(\quad\)\(\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M F} =2\overrightarrow{M G}\).

Suy ra

\(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D}\) \(=2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{ME} = 4 \overrightarrow{M G}\).

Bài tập 5. Máy bay \(A\) đang bay về hướng đông bắc với tốc độ \(600\) km/h. Cùng lúc đó, máy bay \(B\) đang bay về hướng tây nam với tốc độ \(800\) km/h. Biểu diễn véc-tơ vận tốc \(\overrightarrow{b}\) của máy bay \(B\) theo véc-tơ vận tốc \(\overrightarrow{a}\) của máy bay \(A\).

Ta có \(\left |\overrightarrow{b}\right | = \displaystyle\frac{4}{3} \left |\overrightarrow{a}\right |\) và \(\overrightarrow{a}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{b}\).

Suy ra \(\overrightarrow{b} = -\displaystyle\frac{4}{3} \overrightarrow{a}\).

Bài tập 6. Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\).

a. Xác định điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow{O A}+3 \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{0}\).

b. Chứng minh rằng với mọi điểm \(M\), ta có \(\overrightarrow{M A}+3 \overrightarrow{M B}=4 \overrightarrow{M O}\).

a. Trên đoạn \(AB\) ta lấy điểm \(O\) sao cho \(OA=3OB\).

Khi đó \(\overrightarrow{O A}+3 \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{0}\).

b. Ta có

\(\begin{aligned}\overrightarrow{M A}+3 \overrightarrow{M B} &= \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} + 3\left (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} \right )\\ &=4 \overrightarrow{M O}+ \overrightarrow{O A}+3 \overrightarrow{O B} = 4 \overrightarrow{M O}.\end{aligned}\)

Bài tập 7. Cho tam giác \(A B C\).

a. Xác định các điểm \(M, N, P\) thoả mãn: \(\overrightarrow{M B}=\displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}\), \(\overrightarrow{A N}=3 \overrightarrow{NB}\), \(\overrightarrow{C P}=\overrightarrow{P A}\).

b. Biểu thị mỗi véc-tơ \(\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M P}\) theo hai véc-tơ \(\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B A}\).

c. Chứng minh ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng.

a. Trên các cạnh \(AB\), \(CA\) lần lượt lấy các điểm \(N\), \(P\) sao cho \(AN=3NB\), \(PA=PC\).

Trên tia đối của tia \(BC\) ta lấy điểm \(M\) sao cho \(MB= \displaystyle\frac{1}{2}BC\).

Khi đó \(\overrightarrow{M B}=\displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}\), \(\overrightarrow{A N}=3 \overrightarrow{N B}\), \(\overrightarrow{C P}=\overrightarrow{P A}\).

b. Ta có

\(\quad\)\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{BM} = \displaystyle\frac{1}{4} \overrightarrow{BA} + \displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\).

\(\quad\)\(\begin{aligned}\overrightarrow{MP} &= \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CP} = \displaystyle\frac{3}{2} \overrightarrow{BC} + \displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{CA}\\ &=\displaystyle\frac{3}{2} \overrightarrow{BC} + \displaystyle\frac{1}{2} \left(\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} \right ) = \overrightarrow{BC} + \displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}.\end{aligned}\)

c. Ta có

\(\quad\)\(\overrightarrow{MA} =2 \left ( \displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{BA} + \displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \right ) = 2\overrightarrow{MN}\)

Suy ra ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng.