Bài 2. TẬP HỢP
1. Nhắc lại về tập hợp
Trong toán học, người ta dùng từ tập hợp để chỉ một nhóm đối tượng nào đó hoàn toàn xác định. Mỗi đối tượng trong nhóm đó gọi là một phần tử của tập hợp đó.
Thường người ta dùng các chữ cái in hoa như \(A\), \(B\), \(X\), \(Y\) để kí hiệu tập hợp, các chữ cái thường như \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) để kí hiệu phần tử.
+ Để chỉ \(a\) là một phần tử của tập \(X\), ta viết \(a\in X\);
+ Để chỉ \(a\) không phải là một phần tử của tập \(X\), ta viết \(a\not\in X\).
Chẳng hạn cho tập \(X\) gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10 thì \(1\in X\), \(3\in X\), \(4\not\in X\).
Người ta thường kí hiệu các tập hợp số như sau: \(\mathbb{N}\) là tập hợp các số tự nhiên; \(\mathbb{Z}\) là tập hợp các số nguyên; \(\mathbb{Q}\) là tập hợp các số hữu tỉ; \(\mathbb{R}\) là tập hợp các số thực.
Cách xác định tập hợp: có hai cách:
+ Cách 1. Liệt kê các phần tử.
Ví dụ \(A=\{1;\ 3;\ 5;\ 7;\ 9\}\).
+ Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
Ví dụ \(A=\{x\in\mathbb{N}\ |\ x\) lẻ và \(x<10\).
Chú ý.
Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, cần lưu ý
+ Các phần tử có thể được viết theo thứ tự tùy ý.
+ Mỗi phần tử chỉ được liệt kê đúng một lần.
+ Nếu quy tắc xác định các phần tử đủ rõ thì có thể dùng \(``\) \(\ldots\) \("\) mà không nhất thiết phải liệt kê ra tất cả các phần tử của tập hợp.
Ví dụ. Viết mỗi tập hợp sau dưới dạng thích hợp:
a. Tập hợp \(A\) các ước dương của \(18\);
b. Tập hợp \(B\) các nghiệm của phương trình \(x^{2}+3 x-4=0\);
c. Tập hợp \(C\) các số tự nhiên lẻ;
d. Tập hợp \(D\) các nghiệm của phương trình \(x+3 y=1\).
a. Số \(18\) có các ước dương là \(1;2;3;6;9;18\). Do đó \(A=\{1;2;3;6;9;18\}\).
b. Giải phương trình \(x^{2}+3x-4=0\) nhận được hai nghiệm \(1\) và \(-4\). Do đó \(B=\{1 ;-4\}\). Ta cũng có thể viết \(B=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}+3 x-4=0\right\}\).
c. Ta có thể viết dưới dạng liệt kê các phần tử: \(C=\{1;3;5;7;\ldots\}\). Ta cũng có thể viết dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử \(C=\{x \mid x \in \mathbb{N}, x \text{ là số lẻ} \}\) hoặc \(C=\{x \in \mathbb{N} \mid x\text{ là số lẻ}\}\) hoặc \(C=\{x \mid x=2 n+1, n \in \mathbb{N}\}\).
d. Ta viết \(D=\{(x;y) \mid x, y \in \mathbb{R}, x+3 y=1\}\).
Chú ý.
+ Nếu ta có thể đếm hết tất cả các phần tử của một tập hợp thì ta nói tập hợp đó là tập hợp hữu hạn.
+ Nếu \(A\) là tập hữu hạn thì số phần tử của nó được kí hiệu là \(n(A)\).
+ Đặc biệt \(n(\varnothing)\)=0.
2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau
+ Cho hai tập hợp \(A\) và \(B\). Nếu mọi phần tử của \(A\) đều là phần tử của \(B\) thì ta nói tập hợp \(A\) là tập con của tập hợp \(B\) và kí hiệu là \(A\subset B\) hoặc \(B\supset A\).
+ \(A\subset A\) và \(\varnothing\subset A\) với mọi tập hợp \(A\).
+ Nếu \(A\) không phải là tập con của tập hợp \(B\) thì kí hiệu \(A\not\subset B\).
+ Nếu \(A\subset B\) hoặc \(B\subset A\) thì ta nói \(A\) và \(B\) có quan hệ bao hàm.
Với các tập số quen thuộc
+ Tập \(\mathbb{N}\) các số tự nhiên.
+ Tập \(\mathbb{Z}\) các số nguyên.
+ Tập \(\mathbb{Q}\) các số hữu tỉ.
+ Tập \(\mathbb{R}\) các số thực (hữu tỉ và vô tỉ).
Ta có quan hệ bao hàm \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
+ Hai tập \(A\) và \(B\) gọi là bằng nhau, kí hiệu \(A=B\), nếu \(A\subset B\) và \(B\subset A\).
Nói cách khác, hai tập hợp \(A\) và \(B\) bằng nhau nếu mỗi phần tử của tập hợp này cũng là phần tử của tập hợp kia và ngược lại.
Ví dụ. Xét quan hệ bao hàm giữa mỗi cặp tập hợp sau. Chúng có bằng nhau không?
a. \(A=\{0;1;2;3;4\}\) và \(B=\{0;2;4\}\);
b. \(C=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}=4\right\}\) và \(D=\left\lbrace x \in \mathbb{R}\ \middle|\ |x|=2\right\rbrace \);
c. \(E\) là tập hợp các hình bình hành và \(F\) là tập hợp các tứ giác có hai cặp cạnh đối song song;
d. \(G=\{x \in \mathbb{N} \mid x\) là bội của 3\(\}\) và \(H=\{x \in \mathbb{N} \mid x\) là bội của 6\(\}\).
a. Ta thấy mỗi phần tử của \(B\) đều là phần tử của \(A\), do đó \(B \subset A\). Có \(1 \in A\) nhưng \(1 \notin B\), do đó \(A\) khác \(B\).
b. Hai phương trình \(x^{2}=4\) và \(|x|=2\) đều có hai nghiệm là \(x=2\) và \(x=-2\).
Do đó, \(C=D=\{-2 ; 2\}\).
c. Ta biết rằng, một hình tứ giác là hình bình hành khi và chi khi nó có hai cặp cạnh đối song song. Do đó, nếu \(x \in E\) thì \(x \in F\) và ngược lại. Bởi vậy, \(E=F\).
d. Giả sử \(x \in H\), tức \(x\) là bội của \(6\). Khi đó có số \(k \in \mathbb{N}\) sao cho \(x=6 k=3\cdot 2k\). Suy ra \(x\) cũng là bội của \(3\) hay \(x \in G\). Vậy \(H \subset G\). Mặt khác, có \(3 \in G\) nhưng \(3 \notin H\). Do đó, \(G\) khác \(H\).
3. Một số tập con của tập hợp số thực
| Tên gọi và kí hiệu | Tập hợp | Biểu diễn trên trục số |
|---|---|---|
| Tập số thực | \(\mathbb{R}\) |  |
| Đoạn \([a;b]\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ |\ a\leq x\leq b\}\) |  |
| Khoảng \((a;b)\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ |\ a < x < b\}\) |  |
| Nửa khoảng \([a;b)\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ |\ a\leq x < b\}\) |  |
| Nửa khoảng \((a;b]\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ |\ a < x\leq b\}\) |  |
| Nửa khoảng \((-\infty;b]\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ |\ x\leq b\}\) |  |
| Nửa khoảng \([a;+\infty)\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ |\ x\geq a\}\) |  |
| Khoảng \((-\infty;b)\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ |\ x < b\}\) |  |
| Khoảng \((a;+\infty)\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ |\ x > a\}\) |  |
BÀI TẬP
Bài tập 1. Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử
a. \(A=\left\lbrace x \in \mathbb{Z}\middle|\ |x|<5\right\rbrace \);
b. \(B=\left\{x \in \mathbb{R} \mid 2 x^{2}-x-1=0\right\}\);
c. \(C=\{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ có hai chữ số} \}\).
a. \(A=\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\}\).
b. Ta có \(2x^{2}-x-1=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=1\\ &x=-\displaystyle\frac{1}{2}.\end{aligned}\right.\)
Vì \(x \in \mathbb{R}\) nên \(B=\left\lbrace -\displaystyle\frac{1}{2};1\right\rbrace \).
c. \(C=\{10;11;12;\ldots;99\}\).
Bài tập 2. Viết các tập hợp sau đây dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử:
a. Tập hợp \(A=\{1;2;3;6;9;18\}\);
b. Tập hợp \(B\) các nghiệm của bất phương trình \(2x+1>0\);
c. Tập hợp \(C\) các nghiệm của phương trình \(2x-y=6\).
a. \(A=\left\lbrace x\in\mathbb{N}\ \middle|\ x\text{ là ước số của }18\right\rbrace \).
b. \(B=\left\lbrace x\in\mathbb{R}\ \middle|\ x>-\displaystyle\frac{1}{2}\right\rbrace \).
c. \(C=\left\lbrace (x;y) \ \middle|\ x, y \in \mathbb{R}, 2x-y=6\right\rbrace \).
Bài tập 3. Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập còn lại? Chúng có bằng nhau không?
a. \(A=\{x \in \mathbb{N} \mid x<2\}\) và \(B=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-x=0\right\}\);
b. \(C\) là tập hợp các hình thoi và \(D\) là tập hợp các hình vuông;
c. \(E=(-1;1]\) và \(F=(-\infty;2]\).
a. Vì \(A=\{x \in \mathbb{N} \mid x<2\}=\{0;1\}\) và \(B=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-x=0\right\}=\{0;1\}\) nên \(A=B\).
b. Vì mọi hình vuông đều là hình thoi, đồng thời có những hình thoi không là hình vuông nên \(D\subset C\).
c. Vì mọi phần tử của \(E\) đều nằm trong \(F\), đồng thời có những phần tử của \(F\) không nằm trong \(E\) (chẳng hạn số \(2\) ) nên \(E\subset F\).
Bài tập 4. Hãy viết tất cả các tập con của tập hợp \(B=\{0;1;2\}\).
Các tập con của \(B\) là
\(\varnothing\), \(\{0;1;2\}\),
\(\{0\}\), \(\{1\}\), \(\{2\}\),
\(\{0;1\}\), \(\{0;2\}\), \(\{1;2\}\).
Bài tập 5. ùng các kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng, viết các tập hợp sau đây:
a. \(\left\lbrace x \in \mathbb{R}\ \middle|\ -2 \pi< x \leq 2 \pi\right\rbrace \);
b. \(\left\lbrace x \in \mathbb{R}\ \middle|\ |x| \leq \sqrt{3}\right\rbrace\);
c. \(\left\lbrace x \in \mathbb{R}\ \middle|\ x<0\right\rbrace \);
d. \(\left\lbrace x \in \mathbb{R}\ \middle|\ 1-3 x \leq 0\right\rbrace \).
a. Ta có \(\{x \in \mathbb{R} \mid -2 \pi< x \leq 2 \pi\}=\left(-2\pi;2 \pi\right]\).
b. Ta có \(\left\lbrace x \in \mathbb{R}\ \middle|\ |x| \leq \sqrt{3}\right\rbrace =\left[-\sqrt{3};\sqrt{3}\right]\).
c. Ta có \(\left\lbrace x \in \mathbb{R}\ \middle|\ x<0\right\rbrace =(-\infty;0)\).
c. Vì \(1-3x\leq 0\Leftrightarrow x\geq \displaystyle\frac{1}{3}\) nên \(\left\lbrace x \in \mathbb{R}\ \middle|\ 1-3 x \leq 0\right\rbrace =\left[\displaystyle\frac{1}{3};+\infty\right)\).