\(\S3\) PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

\(\bullet\,\) \(\sqrt{-4 x+4}=\sqrt{-x^2+1}\) \((1)\)

Điều kiện \(-4 x+4 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1\).

\((1) \Leftrightarrow-4 x+4=-x^2+1 \Leftrightarrow x^2-4 x+3=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=3 \text{ (không thỏa mãn)}\\&x=1 \text{ (thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=1\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{3 x^2-6 x+1}=\sqrt{x^2-3}\) \((2)\)

Điều kiện \(x^2-3\geq 0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x\leq-\sqrt 3\\ & x\geq\sqrt 3.\end{aligned}\right.\)

\((2) \Leftrightarrow 3 x^2-6 x+1=x^2-3\) \(\Leftrightarrow 2 x^2-6 x+4=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1 \text{ (không thỏa mãn)}\\&x=2 \text{ (thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=2\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{2 x-1}=3 x-4\) \((3)\)

Điều kiện \(3 x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \displaystyle\frac{4}{3}\).

\((3) \Leftrightarrow 2 x-1=9 x^2-24 x+16\Leftrightarrow 9 x^2-26 x+17=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1 \text{ (không thỏa mãn)}\\&x=\displaystyle\frac{17}{9} \text{ (thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\displaystyle\frac{17}{9}\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{-2 x^2+x+7}=x-3\) \((4)\)

Điều kiện \(x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3\).

\((4) \Leftrightarrow-2 x^2+x+7=x-3\Leftrightarrow-2 x^2+10=0 \Leftrightarrow x^2=5\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\sqrt{5} \text{ (không thỏa mãn)}\\&x=-\sqrt{5} \text{ (không thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x \in \varnothing\).

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{-x^2+77x-212}=\sqrt{x^2+x-2}\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{-x^2+77x-212}=\sqrt{x^2+x-2}\\&\Leftrightarrow &\begin{cases}x^2+x-2\ge 0 \\ -x^2+77x-212=x^2+x-2\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases}\left[\begin{aligned}& x\le -2 \\ & x\ge 1\end{aligned}\right. \\ 2x^2-76x+210=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases}\left[\begin{aligned}& x\le -2 \\ & x\ge 1\end{aligned}\right.\\ \left[\begin{aligned}& x=3 \\ & x=35\end{aligned}\right.\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}& x=3 \\ & x=35.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{3;35\}\).

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{x^2+25x-26}=\sqrt{x-x^2}\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{x^2+25x-26}=\sqrt{x-x^2} \\&\Leftrightarrow& \begin{cases}x-x^2\ge 0 \\ x^2+25x-26=x-x^2\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases}0\le x\le 1 \\ 2x^2+24x-26=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow &\begin{cases} 0\le x\le 1 \\ \left[\begin{aligned}& x=1 \\ & x=13\end{aligned}\right.\end{cases}\\&\Leftrightarrow& x=1.\end{eqnarray*}}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{1\}\).

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{4x^2+8x-37}=\sqrt{-x^2-2x+3}\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{4x^2+8x-37}=\sqrt{-x^2-2x+3}\\ & \Leftrightarrow &\begin{cases}-x^2-2x+3\ge 0 \\ 4x^2+8x-37=-x^2-2x+3\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}-3\le x\le 1 \\ 5x^2+10x-40=0\end{cases}\\ &\Leftrightarrow &\begin{cases}-3\le x\le 1 \\ \left[\begin{aligned}& x=2 \text{ (loại)}\\ & x=-4\text{ (loại).}\end{aligned}\right.\end{cases}\end{eqnarray*}}

Phương trình đã cho vô nghiệm.

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{2x^2-13x+16}=6-x\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{2x^2-13x+16}=6-x \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}6-x\ge 0 \\ 2x^2-13x+16=(6-x)^2\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}x\le 6 \\ x^2-x-20=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases}x\le 6 \\ \left[\begin{aligned}& x=-4 \\ & x=5\end{aligned}\right.\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}& x=-4 \\ & x=5.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{-4;5\}\).

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{3x^2-33x+55}=x-5\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{3x^2-33x+55}=x-5 \\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x-5\ge 0 \\ 3x^2-33x+55=(x-5)^2\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge 5 \\ 2x^2-23x+30=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow &\begin{cases} x\ge 5 \\ \left[\begin{aligned}& x=\displaystyle\frac{3}{2} \\ & x=10\end{aligned}\right.\end{cases}\Leftrightarrow x=10.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{10\}\).

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{-x^2+3x+1}=x-4\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{-x^2+3x+1}=x-4 \\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x-4\ge 0 \\ -x^2+3x+1=(x-4)^2\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge 4 \\ 2x^2-11x+15=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge 4 \\ \left[\begin{aligned}& x=\displaystyle\frac{5}{2} \text{ (loại)}\\ & x=3\text{ (loại).}\end{aligned}\right.\end{cases}\end{eqnarray*}

Phương trình đã cho vô nghiệm.

\(\bullet\,\) \(\sqrt{7-2 x}+x=2 \Leftrightarrow \sqrt{7-2 x}=2-x\) \((*)\).

Điều kiện \(2-x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2\).

\((*)\Leftrightarrow 7-2 x=4-4 x+x^2 \Leftrightarrow x^2-2 x-3=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=3 \text{ (không thỏa mãn)}\\&x=-1 \text{ (thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=-1\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{-2 x^2+7 x+1}+3 x=7 \Leftrightarrow \sqrt{-2 x^2+7 x+1}=7-3 x\). \((**)\)

Điều kiện \(7-3 x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \displaystyle\frac{7}{3}\).

\((**)\Leftrightarrow-2 x^2+7 x+1=49-42 x+9 x^2 \Leftrightarrow 11 x^2-49 x+48=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=3 \text{ (không thỏa mãn)}\\&x=\displaystyle\frac{16}{11} \text{ (thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\displaystyle\frac{16}{11}\).

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{2x-3}=x-3\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{2x-3}=x-3 \\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x-3\ge 0 \\ 2x-3=(x-3)^2\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge 3 \\ x^2-8x+12=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge 3 \\ \left[\begin{aligned}& x=2 \\ & x=6\end{aligned}\right.\end{cases}\Leftrightarrow x=6.\end{eqnarray*}}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{6\}\).

\(\bullet\,\)! \((x-3)\sqrt{x^2+4}=x^2-9\).

Ta có \((x-3)\sqrt{x^2+4}=x^2-9\Leftrightarrow (x-3)\left(\sqrt{x^2+4}-(x+3)\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=3 \\ & \sqrt{x^2+4}-(x+3)=0.\quad(1)\end{aligned}\right.\)

\begin{eqnarray*}(1)&\Leftrightarrow&\sqrt{x^2+4}=x+3 \\&\Leftrightarrow& \begin{cases}x+3\ge 0 \\ x^2+4=(x+3)^2\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge -3 \\ 6x=-5\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge -3 \\ x=-\displaystyle\frac{5}{6}\end{cases}\\&\Leftrightarrow& x=-\displaystyle\frac{5}{6}.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{-\displaystyle\frac{5}{6};3\right\}\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{2x^2+x+1}=\sqrt{x^2+mx+m-1}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases}2x^2+x+1\le 0 \\ 2x^2+x+1=x^2+mx+m-1\end{cases}\\&\Leftrightarrow &\begin{cases} 2x^2+x+1\le 0 \text{ luôn đúng vì } a=2>0\text{ và }\Delta =-7<0\\ x^2+(1-m)x+2-m=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \Delta_2\ge 0\\&\Leftrightarrow& (1-m)^2-4(2-m)\ge 0\Leftrightarrow m^2+2m-7\ge 0 \\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}& m\le -1-2\sqrt{2} \\ & m\ge -1+2\sqrt{2}.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Gọi đường kính của nửa đường tròn là \(x\) (cm) (\(x>0\)).

Độ dài cạnh bên của hình chữ nhật là \(\sqrt{66^2-x^2}\).

Diện tích nửa đường tròn là \(\displaystyle\frac{3{,}14x^2}{8}\).

Diện tích hình chữ nhật là \(x\sqrt{66^2-x^2}\).

Theo giả thiết ta có

\(\displaystyle\frac{3{,}14x^2}{8}=0{,}3\sqrt{66^2-x^2}\) \(\Leftrightarrow 157x=120\sqrt{66^2-x^2}\Leftrightarrow x^2=\displaystyle\frac{62726400}{39049}\) \(\Leftrightarrow x\approx \pm 40{,}08.\)

Vậy kích thước hình chữ nhật khoảng \(40{,}08\) cm \(\times\: 52{,}44\) cm.

Xét phương trình \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\). \((*)\)

Điều kiện tồn tại căn thức là \(f(x) \geq 0\) hoặc \(g(x) \geq 0\).

Bình phương hai vế của phương trình \((*)\) ta được \(f(x)=g(x)\).

Do đó ta chỉ cần hoặc \(f(x) \geq 0\) hoặc \(g(x) \geq 0\) là đủ.

Xét \(\sqrt{f(x)}=g(x)\) \((**)\)

Điều kiện của phương trình gồm:

\(\bullet\,\) Điều kiện tồn tại của căn thức là \(f(x) \geq 0\).

\(\bullet\,\) Vì \(\sqrt{f(x)} \geq 0\) nên \(g(x) \geq 0 \).

Bình phương 2 vế của phương trình \((**)\) là: \(f(x)=[g(x)]^2 \geq 0\).

Do đó trong hai điều kiện ta chỉ cần \(g(x) \geq 0\).

Gọi chiều cao bức tường là \(x\) m \((x>0)\).

Khi đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó chạm đúng vào mép trên của bức tường thì khoảng cách chân thang đến chân tường là \(\sqrt{(x+2)^2-x^2}\) (m).

Khi thang tạo với mặt đất một góc \(45^{\circ}\) thì khoảng cách từ chân thang đến chân tường là \(x\) m.

Theo đề bài ta có phương trình \(\sqrt{(x+2)^2-x^2}=x+1\).

Giải phương trình trên ta có: \(x=3\) m với \(x>0\).

Vậy chiều cao bức tường là \(3\) m.

\(\bullet\,\) Đặt \(C H=x\) m \((x>0)\).

Ta có \(A C=\sqrt{300^2+x^2}, C B=1400-x\).

Vì hai người gặp nhau cùng lúc tại \(C\) nên

\(\displaystyle\frac{\sqrt{300^2+x^2}}{3000}=\displaystyle\frac{1400-x}{6000}\) \(\Leftrightarrow 2 \sqrt{300^2+x^2}=1400-x.\)

Giải phương trình trên ta có \(x=400\) m với \(x>0\).

Vậy khoảng cách \(C B=1400-400=1000\) m.

\(\bullet\,\) Thời gian hai người bắt đầu di chuyển cho đến khi tới \(C\) là \(10\) phút.

Đặt độ dài một cạnh của hình chữ nhật là \(x\) m \((0<x<50)\).

Vì độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng đường kính hình tròn nên độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật đó là \(\sqrt{2500-x^2}\) m.

Khi đó, tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa bằng chu vi hình chữ nhật là \(2\left(\sqrt{2500-x^2}+x\right)=140\text{ m.}\)

Giải phương trình trên ta có: \(x=40\) m hoặc \(x=30\) m.

Nếu \(x=40\) m thì độ dài cạnh còn lại là \(30\) m và ngược lại.

Vậy kích thước vườn hoa là \(30 \times 40 \) m.