ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 8

Có tất cả \(5+3=8\) bạn học sinh. Việc xếp \(8\) bạn học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán có thể thực hiện được qua hai công đoạn:

\(\bullet\,\) Công đoạn \(1\): Chọn ra \(2\) trong số \(5\) bạn nam để xếp vào hai vị trí ngoài cùng bên trái và ngoài cùng bên phải;

\(\bullet\,\) Công đoạn \(2\): Xếp \(8-2=6\) bạn còn lại vào các vị trí giữa hai bạn nam đã xếp.

Đối với công đoạn \(1\), số cách chọn ra hai người và xếp vào hai vị trí là: \(\mathrm{A}_5^2=5 \cdot 4=20\) (cách).

Đối với công đoạn \(2\), số cách xếp \(6\) người vào \(6\) vị trí còn lại là: \(\mathrm{P}_6=6!=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=720\) (cách).

Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp là: \(20 \cdot 720=14400\) (cách).

Ta cần phải xếp chỗ các thí sinh nam vào \(2\) hàng và các thí sinh nữ vào \(2\) hàng, hơn nữa giới tính của các hàng là xen kẽ nhau. Như vậy, nếu đánh số các hàng từ trên xuống là \(1\), \(2\), \(3\) và \(4\) thì người ta có \(2\) phương án:

\(\bullet\,\) Phương án \(1\): Xếp các thí sinh nam vào các hàng \(1\) và \(3\) còn các thí sinh nữ vào các hàng \(2\) và \(4\);

\(\bullet\,\) Phương án \(2\): Xếp các thí sinh nam vào các hàng \(2\) và \(4\) còn các thí sinh nữ vào các hàng \(1\) và \(3\).

Đối với phương án \(1\), người ta có thể tiến hành qua \(2\) công đoạn:

\(\bullet\,\) Công đoạn \(1\): Xếp \(10\) thí sinh nam vào \(10\) chỗ ngồi thuộc các hàng \(1\) và \(3\);

\(\bullet\,\) Cộng đoạn \(2\): Xếp \(10\) thí sinh nữ và 10 chỗ ngồi thuộc các hàng \(2\) và \(4\).

Với công đoạn \(1\), người ta có thể xếp \(10\) thí sinh nam vào \(10\) chỗ theo một thứ tự bất kỳ. Số cách xếp là \(\mathrm{P}_{10}=10!=3628800\) (cách).

Tương tự, với công đoạn \(2\), người ta có thể xếp \(10\) thí sinh nữ vào \(10\) chỗ theo một thứ tự bất kì và số cách xếp là \(P_{10}=10!=3628800\) (cách).

Theo quy tắc nhân, số cách xếp theo phương án \(1\) là \(P_{10} \cdot P_{10}=13 168 189 440 000\) (cách).

Tương tự, số cách xếp theo phương án \(2\) cũng là \(13 168 189 440 000\) (cách).

Như vậy theo quy tắc cộng thì số cách xếp là

\(2 P_{10} \cdot P_{10}=26 336 378 880 000\) (cách).

Lưu ý rằng \(5\) con vật lớn nhất phải được nhốt vào các chuồng phù hợp với kích cỡ của chúng. Số chuồng như vậy là \(10-3=7\). Để nhốt các con vật thì vị giám đốc có thể tiến hành qua \(2\) công đoạn như sau

\(\bullet\,\) Công đoạn \(1\): nhốt \(5\) con vật lớn nhất vào \(5\) trong \(7\) cái chuồng phù hợp với chúng.

\(\bullet\,\) Công đoạn \(2\): nhốt \(5\) con vật còn lại vào \(5\) cái chuồng còn lại.

Số cách thực hiện công đoạn \(1\) bằng số cách lấy ra \(5\) phần tử có thứ tự từ một tập hợp có \(7\) phần tử, nghĩa là bằng

\(\mathrm{A}_7^5=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=2520\text{ (cách)}.\)

Số cách thực hiện công đoạn \(2\) bằng số hoán vị của \(5\) phần tử, nghĩa là bằng

\(\mathrm{P}_5=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120\text{ (cách)}.\)

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách nhốt là:

\(2520\cdot 120=302400\text{ (cách)}.\)

Giả sử nhóm bạn gồm \(n\) người. Số các cặp song ca chính là số các cách chọn ra \(2\) người từ \(n\) người đó, nghĩa là bằng \(\mathrm{C}^2_n=\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}\). Mỗi cặp song ca hát với nhau trong đúng \(2\) phút nên tổng thời gian hát, tính theo phút là \(2\cdot\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1).\)

Suy ra \(n(n-1)=30\), hay \((n+5)(n-6)=0\). Từ đó suy ra \(n=6\).

Vậy nhóm bạn có \(6\) người.

Nếu đi thành phố M, lớp \(10\)A có \(\mathrm{A}_{10}^4=5040\) cách lập một danh sách \(4\) địa điểm tham quan.

Nếu đi thành phố N, lớp \(10\)A có \(\mathrm{P}_4=4!=24\) cách lập một danh sách \(4\) địa điểm tham quan.

Vậy số cách lập một danh sách các đia điểm để tham quan là \(5040+24=5064\).

Xếp \(3\) đội của nước X vào \(3\) bảng khác nhau có \(3!=6\) cách.

Xếp 6 đôi còn lại vào \(3\) bảng A, B, C có \(C_6^2 \cdot C_4^2 \cdot C_2^2=90\) (cách).

Vậy số cách xếp sao cho \(3\) đội bóng của nước X ở \(3\) bảng khác nhau là: \(6\cdot 90=540\).

Vì đề thi có số câu thông hiểu không ít hơn \(2\) và có đủ \(3\) mức độ nên xảy ra 3 trường hợp:

Nếu đề thi có \(3\) câu thông hiểu, 1 câu vận dụng tháp và \(1\) câu vận dụng cao thì có \(\mathrm{C}_{15}^3 \cdot \mathrm{C}_{10}^1 \cdot \mathrm{C}_5^1=22750\) (cách chọn đề).

Nếu đề thi có \(2\) câu thông hiểu, \(2\) câu vân dụng thấp và \(1\) câu vận dụng cao thì có \(\mathrm{C}_{15}^2 \cdot \mathrm{C}_{10}^2 \cdot \mathrm{C}_5^1=23625\) (cách chọn đề).

Nếu đề thi có \(2\) câu thông hiểu, \(1\) câu vân dụng thấp và \(2\) câu vận dụng cao thì có \(\mathrm{C}_{15}^2 \cdot \mathrm{C}_{10}^1 \cdot \mathrm{C}_5^2=10500\) (cách chọn đề).

Vậy số đề thi tốt có thể chọn được là: \(22750+23625+10500=56875\).

Gọi \(x\) là số câu trả lời đúng, suy ra \(50-x\) là số câu trả lời sai. Ta có số điểm của thí sinh là \(0{,}2 x-0{,}1(50-x)=9,4 \Leftrightarrow x=48\).

Do đó, thí sinh làm đúng \(48\) câu và sai \(2\) câu thì được \(9{,}4\) điểm.

Vì mỗi câu hỏi có \(1\) phương án đúng và \(3\) phương án sai nên số khả năng đạt \(9{,}4\) điểm ở bài thi trên là \(C_{50}^{48} \cdot 1 \cdot 3^2=11025\).

Tổng số chấm điểm trong hình là \(18\). Mỗi tam giác cần đếm được tạo ra bằng cách lấy ra \(3\) điểm không thẳng hàng. Để đếm số các tam giác ta lấy số các cách lấy ra \(3\) điểm từ \(18\) điểm trừ đi số các cách lấy ra \(3\) điểm thằng hàng từ \(18\) điểm.

Số các cách chọn \(3\) điểm từ \(18\) điểm là: \(\mathrm{C}^3_{18}=\displaystyle\frac{18!}{3!15!}=816\) (cách).

Ba điểm thằng hàng nếu chúng nằm trên cùng một cạnh. Số điểm của mỗi cạnh là \(7\). Do đó, số cách lấy ra \(3\) điểm trên mỗi cạnh là: \(\mathrm{C}^3_7=\displaystyle\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35\) (cách).

Như vậy, theo quy tắc cộng thì số các cách chọn ra \(3\) điểm thằng hàng từ \(18\) điểm là: \(35+35+35=105\) (cách).

Suy ra số các tam giác cần tìm là: \(816-105=711\) (tam giác).

Trong hình đã cho, mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ giao điểm của \(2\) đường thẳng của họ các đường thẳng nằm ngang và \(2\) đường thẳng của họ các đường thẳng nằm dọc. Số cách chọn \(2\) đường thẳng từ \(6\) đường thẳng nằm ngang là: \( \mathrm{C}_6^2 = \displaystyle\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1} = 15\) (cách).

Tương tự, số cách chọn ra \(2\) đường thẳng nằm dọc cũng là \(\mathrm{C}_6^2 = 15\) cách.

Vì vậy, theo quy tắc nhân thì số hình chữ nhật được tạo ra là: \(15 \cdot 15 = 225\) (hình).

a) \((x-2y)^4=x^4-8x^3y+24x^2y^2-32xy^3+16y^4\).

b) \((-3x-y)^5=-243x^5-405x^4y-270x^3y^2-90x^2y^3-15xy^4-y^5\).

Hệ số của \(x^3\) trong khai triển biểu thức \((5x-1)^4\) là \(\mathrm{C}_{4}^{1}\cdot5^3\cdot(-1)=-500\).

Hệ số của \(x^4\) trong khai triển biểu thức \((2x+3)^5\) là \(\mathrm{C}_{5}^{1}\cdot2^4\cdot3=240\).

Áp dụng công thức khai triển của \((a+b)^5\) lần lượt với \(a=\sqrt{3}\) và \(b=\sqrt{2}\), rồi \(a=\sqrt{3}\) và \(b=-\sqrt{2}\), ta có

\begin{eqnarray*}& & \left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)^5 - \left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)^5\\ &=& \left[ \left(\sqrt{3}\right)^5 + 5\left(\sqrt{3}\right)^4 \cdot \sqrt{2} + 10\left(\sqrt{3}\right)^3\cdot \left(\sqrt{2}\right)^2 + 10\left(\sqrt{3}\right)^2\cdot \left(\sqrt{2}\right)^3 + 5\sqrt{3}\cdot \left(\sqrt{2}\right)^4 + \left(\sqrt{2}\right)^5 \right]\\ & & - \left[ \left(\sqrt{3}\right)^5 - 5\left(\sqrt{3}\right)^4 \cdot \sqrt{2} + 10\left(\sqrt{3}\right)^3\cdot \left(\sqrt{2}\right)^2 - 10\left(\sqrt{3}\right)^2\cdot \left(\sqrt{2}\right)^3 + 5\sqrt{3}\cdot \left(\sqrt{2}\right)^4 - \left(\sqrt{2}\right)^5 \right]\\ &=& 10\left(\sqrt{3}\right)^4 \cdot \sqrt{2} + 20\left(\sqrt{3}\right)^3 \cdot \left(\sqrt{2}\right)^3 + 2\left(\sqrt{2}\right)^5\\ &=& 10\cdot 9 \cdot \sqrt{2} + 20\cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + 2\cdot 4\sqrt{2}\\ &=& 218\sqrt{2}.\end{eqnarray*}

Áp dụng công thức khai triển \((a+b)^5\) cho \(a=x^2\), \(b=\displaystyle\frac{r}{x}\) ta được

\begin{eqnarray*}& & \left( x^2 + \displaystyle\frac{r}{x} \right)^5\\ &=& (x^2)^5 + 5(x^2)^4\cdot \displaystyle\frac{r}{x} + 10(x^2)^3 \cdot \left( \displaystyle\frac{r}{x} \right)^2 + 10(x^2)^2 \cdot \left( \displaystyle\frac{r}{x} \right)^3 + 5x^2\cdot \left( \displaystyle\frac{r}{x} \right)^4 + \left( \displaystyle\frac{r}{x} \right)^5\\ &=& x^10 + 5rx^7 + 10r^2x^4 + 10r^3x + \displaystyle\frac{5r^4}{x^2} + \displaystyle\frac{r^5}{x^5}.\end{eqnarray*}

Do vậy, \(10r^3=640\), hay \(r^3=64\), suy ra \(r=4\).