ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 7

\(\bullet\,\) Xét tam thức bậc hai \(f(x)=4x^2-9x+5\), có \(a=4>0\) và \(\Delta=(-9)^2-4 \cdot 4 \cdot 5=1>0\).

Suy ra tam thức có hai nghiệm \(x_1=1\) và \(x_2=\displaystyle\frac{5}{4}\).

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta được:

\(f(x)<0 \text { khi } x \in \left(1;\displaystyle\frac{5}{4}\right)\).

Suy ra \(4x^2-9x+5 \leq 0\) khi \(x \in\left[1;\displaystyle\frac{5}{4}\right]\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(\mathrm{S}=\left[1;\displaystyle\frac{5}{4}\right]\).

\(\bullet\,\) Xét tam thức bậc hai \(f(x)=-3 x^2-x+4\), có \(a=-3<0\) và \(\Delta=(-1)^2-4 \cdot(-3) \cdot 4=49>0\).

Suy ra tam thức có hai nghiệm \(x_1=1\) và \(x_2=-\displaystyle\frac{4}{3}\).

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta được:

\(f(x)>0\) khi \(x \in\left(-\displaystyle\frac{4}{3};1\right)\)

Suy ra \(-3x^2-x+4>0\) khi \(x \in\left(-\displaystyle\frac{4}{3};1\right)\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S=\left(-\displaystyle\frac{4}{3};1\right)\).

\(\bullet\,\) Xét tam thức bậc hai \(f(x)=36x^2-12x+1\), có \(a=36>0\) và \(\Delta=(-12)^2-4 \cdot 36 \cdot 1=0\).

Suy ra tam thức có nghiệm kép \(x=\displaystyle\frac{1}{6}\).

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta được:

\(f(x)>0\) khi \(x \neq \displaystyle\frac{1}{6}\).

Suy ra \(36x^2-12 x+1>0\) khi \(x \neq \displaystyle\frac{1}{6}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S=\mathbb{R} \backslash \left\lbrace \displaystyle\frac{1}{6}\right\rbrace\).

\(\bullet\,\) Xét tam thức bậc hai \(f(x)=-7x^2+5x+2\), có \(a=-7>0\) và \(\Delta=5^2-4 \cdot(-7) \cdot 2=81>0\).

Suy ra tam thức có hai nghiệm \(x_1=1\) và \(x_2=-\displaystyle\frac{2}{7}\).

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta được:

\(f(x)<0\) khi \(x \in \left(-\infty;-\displaystyle\frac{2}{7}\right) \cup (1;+\infty)\).

Suy ra \(-7x^2+5x+2<0\) khi \(x \in\left(-\infty;-\displaystyle\frac{2}{7}\right) \cup (1;+\infty)\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S=\left(-\infty;-\displaystyle\frac{2}{7}\right) \cup (1;+\infty)\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{8-x}+x=-4 \qquad (1)\)

Điều kiện: \(-x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq -4\)

\begin{eqnarray*}(1)&\Leftrightarrow & \sqrt{8-x}=-x-4\\&\Leftrightarrow & 8-x=x^2+8x+16\\&\Leftrightarrow & x^2+9x+8=0\\&\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&x=-1 \text{ (không thoả mãn)}\\&x=-8 \text{ (thoả mãn)}\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\mathrm{S}=\left\lbrace -8\right\rbrace \)

\(\bullet\,\) \(\sqrt{3x^2-5x+2}+3x=4 \qquad (2)\)

Điều kiện: \(-3x+4 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \displaystyle\frac{4}{3}\)

\begin{eqnarray*}(2)&\Leftrightarrow & \sqrt{3x^2-5x+2}=-3x+4\\&\Leftrightarrow & 3x^2-5x+2=9x^2-24x+16\\&\Leftrightarrow & 6x^2-19x+14=0\\&\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&x=2 \text{ (không thoả mãn)}\\&x=\displaystyle\frac{7}{6} \text{ (thoả mãn)}\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\mathrm{S}=\left\lbrace \displaystyle\frac{7}{6}\right\rbrace \)

\(\bullet\,\) Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{mx^2-2mx+5}}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{mx^2-2mx+5}}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) nếu và chỉ nếu \(mx^2-2mx+5>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

- Khi \(m=0\) thì hàm số cho bởi công thức \(y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\), lúc này hàm số có tập xác định \(\mathbb{R}\).

- Khi \(m\ne 0\) thì \(mx^2-2mx+5>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\) nếu và chỉ nếu \(\begin{cases} a>0 \\ \Delta'<0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m>0 \\ m^2-5m<0\end{cases}\Leftrightarrow 0<m<5.\)

\(\bullet\,\) Tam thức bậc hai \(y=-x^2+mx-1\) có dấu không phụ thuộc vào \(x\).

Tam thức \(y=-x^2+mx-1\) có dấu không phụ thuộc vào \(x\) khi và chỉ khi

\(\Delta<0 \Leftrightarrow m^2-4<0\Leftrightarrow -2<m<2.\)

\(\bullet\,\) Hàm số \(y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}\) có tập xác định chỉ gồm một phần tử.

Hàm số \(y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}\) có tập xác định chỉ gồm một phần tử khi và chỉ khi nó có dạng \(y=\sqrt{-2(x+\alpha)^2}\).

Điều này tương đương với

\(\Delta=0\Leftrightarrow m^2-4m-48=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& m=-4 \\ & m=12.\end{aligned}\right.\)

\(\bullet\,\) Các hệ số của hàm số bậc hai là \(a=\displaystyle\frac{-g}{2v_0\cos^2\alpha}<0\), \(b=\tan \alpha\), \(c=0\).

\(\bullet\,\) Tọa độ đỉnh \(I\) của Parabol là

\(\begin{cases}x_I=-\displaystyle\frac{b}{2a}=-\displaystyle\frac{(\tan \alpha)\cdot\left(2\cos^2\alpha\right)}{-2g}=\displaystyle\frac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} \\ y_I=f\left(x_I\right)=\left(\displaystyle\frac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\right)\left(\displaystyle\frac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}\right)^2+\left(\tan\alpha\right)\displaystyle\frac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}=\displaystyle\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.\end{cases}\)

Vậy độ cao lớn nhất của vật là \(y_{\max}=\displaystyle\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\).

\(\bullet\,\) Độ cao lớn nhất của vật \(y_{\max}=\displaystyle\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\le \displaystyle\frac{v_0^2}{2g}\), dấu \lq\lq\(=\)\rq\rq\, xảy ra khi \(\sin^2\alpha=1\Leftrightarrow\alpha=90^\circ\).

Như vậy góc ném \(90^\circ\) thì độ cao lớn nhất của vật sẽ đạt giá trị lớn nhất.

\(\bullet\,\) Phương trình quỹ đạo của quả bóng là

\(y=\left(\displaystyle\frac{9{,}8}{2\cdot20^2\cdot\cos^2 45^{\circ}}\right)x^2+\left(\tan45^{\circ}\right)x=-\displaystyle\frac{9{,}8}{400}x^2+x.\)

Quả bóng ở độ cao trên \(5\) m nghĩa là

\(-\displaystyle\frac{9{,}8}{400}x^2+x>5\Leftrightarrow 9{,}8x^2-400x+2000<0\Leftrightarrow 5{,}83<x<34{,}98.\)

\(\bullet\,\) Công thức biểu thị danh thu \(R\) là

\(R(x)=nx=(1\,200\,000-1\,200x)x=-1\,200x^2+1\,200\,000x.\)

Điều kiện để hàm \(R(x)\) xác định là \(\begin{cases}x\ge 0 \\ n=1\,200\,000-1\,200 x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow 0\le x\le 1\,000\).

Tập xác định của hàm \(R(x)\) là \([0;1\,000]\).

\(\bullet\,\) Hàm số \(R=R(x)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=500\) và giá trị lớn nhất của doanh thu bằng \(R(500)=300\,000\,000\).

Như vậy với đơn giá \(500\) nggìn đồng một chiếc thì công ty đạt doanh thu cao nhất là \(300\) tỉ đồng và khi đó số máy tính bán được là \(n=600\,000\) chiếc.

\(\bullet\,\) Doanh thu đạt trên \(200\) tỉ đồng nghĩa là

\begin{eqnarray*}R(x)&=&(1\,200\,000-1\,200x)x> 2\,000\,000\\&\Leftrightarrow& 1\,200x^2-1\,200\,000x-2\,000\,000<0\\&\Leftrightarrow& 211{,}32<x<788{,}68.\end{eqnarray*}

Như vậy với đơn giá \(212\) nghìn đồng thì doanh thu của công ty đạt trên \(200\) tỉ đồng.

\(\bullet\,\) Dựa vào bảng ta có số ứng với mỗi quãng đường \(x\) ta sẽ xác định được duy nhất một giá trị của \(y\). Do đó số tiền phải trả \(y\) (đồng) phải là hàm số của quãng đường \(x\) (km).\\

Dựa vào bảng trên, ta có công thức tính \(y\) theo \(x\) là:

\(y=\begin{cases}&5000&\text{ khi } 0<x \leq 0{,}3\\20600&\text{ khi } & 0{,}3<x \leq 2\\ 16000&\text{ khi } & 2<x \leq 10\\ 17600&\text{ khi } & 10<x \leq 25\\ 15100&\text{ khi } & x>25\end{cases}\)

\(\bullet\,\) Ta thấy với giá trị \(y=5000\) đồng ta xác định được rất nhiều giá trị của \(x\) thỏa mãn \(0<x \leq 0{,}3\). Do đó \(x\) không phải là hàm số của \(y\).

\(\bullet\,\) Ta có \(x=20\) thỏa mãn \(10<x \leq 25\).

Khi đó theo công thức xác định của hàm số \(y\) theo \(x\) ta có \(y=17600\).

Số tiền bạn Quân phải trả khi đi taxi hãng trên với quãng đường \(20\) km là: \(17600 \cdot 20=352000\) (đồng).

Vậy Quân phải trả \(352000\) đồng cho hãng taxi trên.

\(\bullet\,\) Độ cao của trụ cầu bên trái chính là tung độ của điểm giao giữa trụ cầu (trục tung) và dây treo (parabol) là điểm \(A\).

Thay \(x=0\) vào \(h(x)=\displaystyle\frac{1}{9000} x^2-\displaystyle\frac{7}{15} x+500\), ta được \(h(0)=\displaystyle\frac{1}{9000} \cdot 0^2-\displaystyle\frac{7}{15} \cdot 0+500=500\).

Vậy chiều cao của trụ cầu bên trái là \(500\) (feet).

\(\bullet\,\) Trụ cầu bên phải có chiều cao bằng trụ cầu bên trái và bằng \(500\) m. Do đó tung độ điểm \(B\) là \(y_{B}=500\).

Vì \(B\) cũng thuộc vào parabol nên thay \(y_{B}=500\) vào \(h(x)=\displaystyle\frac{1}{9000} x^2-\displaystyle\frac{7}{15} x+500\), ta được:

\(500=\displaystyle\frac{1}{9000} x^2-\displaystyle\frac{7}{15} x+500\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x=4200.\end{aligned}\right.\)

Vì \(x_B>0\) nên \(x_B=4200\).

Vậy khoảng cách giữa hai trụ cầu là \(4200\) (feet).

Chiều dài hình chữ nhật bên ngoài là: \(x+11+x=2x+11\) cm.

Chiều rộng hình chữ nhật bên ngoài là: \(x+6+x=2x+6\) cm.

Diện tích hình chữ nhật bên ngoài là: \(\left(2x+11\right)\left(2x+6\right)=4x^2+34x+66\) cm\(^2\).

Diện tích của hình chữ nhật bên trong là: \(6.11=66\) cm\(^2\).

Diện tích của viền khung ảnh là: \(4x^2+34x+66-66=4x^2+34x\) cm\(^2\).

Vì diện tích của viền khung ảnh không vượt quá \(38\) cm\(^2\) nên ta có:

\(4x^2+34x \leq 38 \Leftrightarrow 4x^2+34x-38 \leq 0\)

Xét tam thức \(f(x)=4x^2+34x-38\), có \(a=4>0\) và \(\Delta=34^2-4 \cdot 4 \cdot(-38)=1764>0\).

Suy ra tam thức \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1=1\) và \(x_2=-\displaystyle\frac{19}{2}\).

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có: \(f(x)<0\) khi \(x \in\left(-\displaystyle\frac{19}{2};1\right)\).

Do đó bất phương trình \(4x^2+34x-38 \leq 0\) khi \(x \in \left[-\displaystyle\frac{19}{2} ; 1\right]\).

Mà \(x>0\) nên ta có \(0<x \leq 1\) thì thỏa mãn \(4x^2+34x-38 \leq 0\).

Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 xăng-ti-mét.