ÔN TẬP CHƯƠNG 5
Bài tập 1. Cho ba véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\) đều khác véc-tơ \(\overrightarrow{0}\). Các khẳng định sau đúng hay sai?
a. Nếu hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng phương với \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương.
b. Nếu hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng ngược hướng với \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng.
a. Nếu hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng phương với \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương. Mệnh đề này đúng.
b. Nếu hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng ngược hướng với \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng. Mệnh đề này đúng.
Bài tập 2. Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo và \(A B=a, B C=3 a\).
a. Tính độ dài của các véc-tơ \(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}\).
b. Tìm trong hình các cặp véc-tơ đối nhau và có độ dài bằng \(\displaystyle\frac{a \sqrt{10}}{2}\).
a. Ta có \(|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{10}\).
b. Ta có \(OA=OB=OC=OD=\displaystyle\frac{a \sqrt{10}}{2}\).
Nên các cặp véc-tơ đối nhau và có độ dài bằng \(\displaystyle\frac{a \sqrt{10}}{2}\) là
\(\quad\)\(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{AO}\); \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OC}\); \(\overrightarrow{AO}\) và \(\overrightarrow{CO}\); \(\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{BO}\); \(\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{OD}\); \(\overrightarrow{BO}\) và \(\overrightarrow{DO}\).
Bài tập 3. Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và có góc \(A\) bằng \(60^{\circ}\). Tìm độ dài các véc-tơ sau: \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}; \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}; \overrightarrow{v}=2 \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\)
+ Gọi \(O=AC\cap BD\).
+ Có \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(a\) và có góc \(A\) bằng \(60^{\circ}\) nên \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\). Khi đó \(OA=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
+ Ta có
\(\bullet\ \)\(|\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AC}|\) \(=AC=2OA=a\sqrt{3}\).
\(\bullet\ \)\(|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{DB}|=DB=a\).
\(\bullet\ \)\(|\overrightarrow{v}|=|2 \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}|\) \(=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}|=|\overrightarrow{DB}|=a\).
Bài tập 4. Cho hình bình hành \(ABCD\). Hai điểm \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(B C\) và \(A D\). Vẽ điểm \(E\) sao cho \(\overrightarrow{C E}=\overrightarrow{A N}\) (hình vẽ bên).
a. Tìm tổng của các véc-tơ \(\overrightarrow{N C}\) và \(\overrightarrow{M C}\); \(\overrightarrow{A M}\) và \(\overrightarrow{C D}; \overrightarrow{A D}\) và \(\overrightarrow{N C}\).
b. Tìm các véc-tơ hiệu: \(\overrightarrow{N C}-\overrightarrow{M C}; \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B C}; \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{M E}.\)
c. Chứng minh \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).
a. Ta có
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC} =\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC} =\overrightarrow{AC}\);
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{ND}\);
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE} =\overrightarrow{AE}\).
b. Ta có
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC} =\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CM} =\overrightarrow{NM}\);
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AB}\);
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME} =\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{DB}\).
c. Ta có
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}\) (do \(AMCN\) là hình bình hành).
\(\bullet\ \) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AC}\) (do \(ABCD\) là hình bình hành).
Từ đó suy ra \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).
Bài tập 5. Cho \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) là hai véc-tơ khác véc-tơ \(\overrightarrow{0}\). Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?
a. \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\);
b. \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\).
Ta có
\(\begin{aligned}&|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\\ \Leftrightarrow\ &(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|)^2 =\left(|\overrightarrow{a}| +|\overrightarrow{b}|\right)^2\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{a}^2 +2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2 =\overrightarrow{a}^2 +2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| +\overrightarrow{b}^2\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\\ \Leftrightarrow\ &|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) =|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\\ \Leftrightarrow\ & \cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=1\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \text{ cùng hướng}.\end{aligned}\)
b. Ta có
\(\begin{aligned}&|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\\ \Leftrightarrow\ &\left(|\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}|\right)^2 =\left(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\right)^2\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} +\overrightarrow{b}^2 =\overrightarrow{a}^2 -2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} +\overrightarrow{b}^2\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}.\end{aligned}\)
Bài tập 6. Cho \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=0\). So sánh độ dài, phương và hướng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).
\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=0\Leftrightarrow\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}\).
Suy ra \(|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|\); \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng phương ngược hướng.
Bài tập 7. Cho bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.
Gọi \(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AD\), \(BC\). Khi đó \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\).
Ta có
\(\begin{aligned}&\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{ID}\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}-\left(\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}\right)+2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow\ & I,\ J \text{ trùng nhau}.\end{aligned}\)
Bài tập 8. Cho tam giác \(ABC\). Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành \(ABIJ\), \(BCPQ\), \(CARS\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}\).
Vì \(ABIJ\), \(BCPQ\), \(CARS\) là các hình bình hành nên có \(\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BI}\), \(\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{AR}\), \(\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{CP}\).
Ta có
\(\begin{aligned}&\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}\\ =\ &\left(\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AR}\right)+\left(\overrightarrow{BQ}-\overrightarrow{BI}\right)+\left(\overrightarrow{CS}-\overrightarrow{CP}\right)\\ =\ &\left(\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{BI}\right)+\left(\overrightarrow{CS}-\overrightarrow{AR}\right)+\left(\overrightarrow{BQ}-\overrightarrow{CP}\right)\\=\ &\overrightarrow{0}.\end{aligned}\)
Bài tập 9. Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ \(45 \mathrm{~m}/ \mathrm{s}\), mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là \(38 \mathrm{~m}/ \mathrm{s}\) theo hướng nghiêng một góc \(20^{\circ}\) về phía tây bắc. Tính tốc độ của gió.
heo định lí cô-sin trong tam giác tạo bởi \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\), ta có
\(\begin{aligned}|\overrightarrow{v_2}|^2&=|\overrightarrow{v_1}|^2+|\overrightarrow{v}|^2-2|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{v_1}|\cos 20^\circ\\ &=45^2+38^2-2\cdot 45\cdot 38\cdot \cos 20^\circ\\ &\approx 255{,}25\\ \Rightarrow |\overrightarrow{v_2}| &\approx 15{,}98.\end{aligned}\)
Vậy tốc độ của gió là \(15{,}98\) m/s.
Bài tập 10. Cho tam giác đều \(ABC\) có \(O\) là trọng tâm và \(M\) là một điểm tuỳ ý trong tam giác. Gọi \(D, E, F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(BC\), \(AC\), \(AB\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\displaystyle\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\).
+ \(O\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên có \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\).
+ Qua \(M\) kẻ các đường thẳng lần lượt song song với \(BC\), \(CA\), \(AB\) cắt các cạnh của tam giác \(ABC\) tại \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\), \(I\), \(J\).
+ Ta có các hình bình hành \(MJBP\), \(MRCQ\), \(MIAS\) và các tam giác đều \(MJR\), \(MQI\), \(MPS\).
\(\begin{aligned}&\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\\ =\ &\displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{MR}\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MI}\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{MP}\right) \\ =\ &\displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MS}\right)\\ =\ &\displaystyle\frac{1}{2} \left(\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\\ =\ &\displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)\\ =\ &\displaystyle\frac{1}{2}\left(3\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{0}\right)=\displaystyle\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.\end{aligned}\)
Bài tập 11. Một xe goòng được kéo bởi một lực \(\overrightarrow{F}\) có độ lớn là \(50 \mathrm{~N}\), di chuyển theo quãng đường từ \(A\) đến \(B\) có chiều dài \(200 \mathrm{~m}\). Cho biết góc giữa \(\overrightarrow{F}\) và \(\overrightarrow{A B}\) là \(30^{\circ}\) và \(\overrightarrow{F}\) được phân tích thành hai lực \(\overrightarrow{F}_{1}\), \(\overrightarrow{F}_{2}\). Tính công sinh bởi các lực \(\overrightarrow{F}\), \(\overrightarrow{F}_{1}\) và \(\overrightarrow{F}_{2}\).
\(\bullet\ \)\(|\overrightarrow{F}_{1}|=|\overrightarrow{F}|\sin 30^\circ=50\cdot\displaystyle\frac{1}{2}=25\) (N).
\(\bullet\ \)\(|\overrightarrow{F}_{2}|=|\overrightarrow{F}|\cos 30^\circ=50\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}\) (N).
\(\bullet\ \)Công sinh bởi \(\overrightarrow{F}\) là \(A=|\overrightarrow{F}|AB=50\cdot 200=10000\) (J).
\(\bullet\ \)Công sinh bởi \(\overrightarrow{F_1}\) là \(A=|\overrightarrow{F_1}|AB=25\cdot 200=5000\) (J).
\(\bullet\ \)Công sinh bởi \(\overrightarrow{F_2}\) là \(A=|\overrightarrow{F_2}|AB=25\sqrt{3}\cdot 200=5000\sqrt{3}\) (J).
Bài tập 12. Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ \(0{,}75\) m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ \(1{,}20\) m/s về hướng bên phải. Gọi \(\overrightarrow{v}_{1}\), \(\overrightarrow{v}_{2}\), \(\overrightarrow{v}\) lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.
a. Tính độ dài của các véc-tơ \(\overrightarrow{v}_{1}\), \(\overrightarrow{v}_{2}\), \(\overrightarrow{v}\).
b. Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?
c. Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?
a. Ta có
\(|\overrightarrow{v}_{1}|=0{,}75\) m/s;
\(|\overrightarrow{v}_{2}|=1{,}20\) m/s;
\(|\overrightarrow{v}|=\sqrt{|\overrightarrow{v}_{1}|^2+|\overrightarrow{v}_{1}|^2}\) \(=\sqrt{0{,}75^2+1{,}2^2}\approx1{,}42\) m/s;
b. Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là \(|\overrightarrow{v}|=1{,}42\) m/s.
c. Ta có
\(\tan \theta=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{v}_{1}|}{|\overrightarrow{v}_{2}|}=\displaystyle\frac{0{,}75}{1{,}2}=\displaystyle\frac{5}{8}\Rightarrow \theta \approx 32^\circ\).
Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc so với bờ là \(\theta\approx 32^\circ\).