ÔN TẬP CHƯƠNG 3
Bài tập 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau
a. \(y=4x^2-1\);
b. \(y=\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\);
c. \(y=2+\displaystyle\frac{1}{x}\).
a. Hàm số xác định với mọi số thực nên tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
b. Vì \(x^2+1>0, \forall x\in \mathbb{R}\) nên hàm số có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
c. Hàm số xác định khi \(x\neq 0\).
Do đó tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\{0\}\).
Bài tập 2. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai
a. \(y=(1-3m)x^2+3\);
b. \(y=(4m-1)(x-7)^2\);
c. \(y=2(x^2+1)+11-m\).
a. Hàm số đã cho là hàm số bậc hai khi
\(1-3m\neq 0 \Leftrightarrow m\neq \displaystyle\frac{1}{3}\).
b. Hàm số đã cho là hàm số bậc hai khi
\(4m-1\neq 0 \Leftrightarrow m\neq \displaystyle\frac{1}{4}\).
c. Hàm số đã cho có hệ số của \(x^2\) là \(2\) nên hàm số này là hàm số bậc hai, với mọi giá trị \(m\).
Bài tập 3. Vẽ đồ thị các hàm số sau
a. \(y=x^2-4x+3\);
b. \(y=-x^2-4x+5\);
c. \(y=x^2-4x+5\);
d. \(y=-x^2-2x-1\).
a. Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), đồ thị hàm số đã cho là một parabol \((P)\):
+ Có đỉnh \(S\) với \(x_S=2\), \(y_S=-1\);
+ Có bề lõm hướng lên trên vì \(a=1>0\);
+ Nhận đường thẳng \(x=2\) là trục đối xứng;
+ Cắt trục tung tại điểm \((0;3)\) và cắt trục hoành tại hai điểm \((1;0)\), \((3;0)\).
b. Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), đồ thị hàm số đã cho là một parabol \((P)\):
+ Có đỉnh \(S(-2;9)\);
+ Trục đối xứng \(x=-2\);
+ Bề lõm hướng xuống dưới vì \(a=-1<0\);
+ Cắt trục tung tại điểm \((0;5)\) và cắt trục hoành tại hai điểm \((1;0)\), \((-5;0)\).
c. Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), đồ thị hàm số đã cho là một parabol \((P)\):
+ Có đỉnh \(S(2;1)\);
+ Trục đối xứng \(x=2\);
+ Bề lõm hướng lên trên vì \(a=1>0\);
+ Cắt trục tung tại điểm \((0;5)\) và không cắt trục hoành;
+ Đi qua các điểm \((1;2)\), \((3;2)\) và \((4;5)\).
d. Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), đồ thị hàm số đã cho là một parabol \((P)\):
+ Có đỉnh \(S(-1;0)\);
+ Trục đối xứng \(x=-1\);
+ Bề lõm hướng xuống dưới vì \(a=-1<0\);
+ Cắt trục tung tại điểm \((0;-1)\) và tiếp xúc trục hoành tại điểm \((-1;0)\) (phương trình \(-x^2-2x-1=0\) có nghiệm kép \(x=-1\));
+ Đi qua các điểm \((-3;-4)\), \((-2;-1)\), \((1;-4)\).
Bài tập 4. Một vận động viên chạy xe đạp trong 1 giờ 30 phút đầu với vận tốc trung bình là \(42\) km/h. Sau đó người này nghỉ tại chỗ 15 phút và tiếp tục đạp xe \(2\) giờ liền với vận tốc \(30\) km/h.
a. Hãy biểu thị quãng đường \(s\) (tính bằng kilômét) mà người này đi được sau \(t\) phút bằng một hàm số.
b. Vẽ đồ thị biểu diễn hàm số \(s\) theo \(t\).
a. Xem quãng đường \(s\) (tính bằng kilômét) mà người vận động viên xe đạp đi được sau \(t\) phút là một hàm số theo \(t\). Chọn gốc thời gian là lúc bắt đầu đạp xe.
+ Trong \(1\) giờ \(30\) phút đầu, nghĩa là \(90\) phút đầu, quãng đường đi được là ứng với chuyển động đều của vận động viên xe đạp với vận tốc \(42\) km/h \(=0{.}7\) km/phút nên \(s(t)=0,7 t\).
+ Sau khi đi được \(0{,}7 \cdot90=63\) km, người này nghỉ trong \(15\) phút nên suốt thời gian từ \(90\) phút đến \(105\) phút, người này luôn giữ mức quãng đường đi được không đổi là \(s(t)=63\) km.
+ Ở \(2\) giờ sau đó, nghĩa là \(120\) phút sau đó, người vận động viên chuyển động đều với vận tốc \(30\) km/h \(=0,5\) km/phút nên quãng đường đi được bao gồm \(63\) km và \(0{,}5(t-105)\), nên \(s(t)=63+0{,}5(t-105)\).
Ta có hàm số \(s(t)\) sau
\(s(t)=\begin{cases}0{,}7t &,\ \text{với}\ 0\leq t\leq 90\\ 63 &,\ \text{với}\ 90\leq t\leq 105\\ 63+0{,}5(t-105) &,\ \text{với}\ 105\leq t\leq 225.\end{cases}\)
b. Đồ thị biểu diễn hàm số \(s\) theo \(t\):
Bài tập 5. Biết rằng hàm số \(y=2x^2+mx+n\) giảm trên khoảng \((-\infty ; 1)\), tăng trên khoảng \((1 ;+\infty)\) và có tập giá trị là \([9 ;+\infty)\). Xác định giá trị của \(m\) và \(n\).
+ Hàm số \(y=2x^2+mx+n\) giảm trên khoảng \((-\infty; 1)\), tăng trên khoảng \((1;+\infty)\) nên \(x=1\) là hoành độ đỉnh \(S\) và ta có \(x_{S}=-\displaystyle\frac{b}{2 a}=1\) hay \(-\displaystyle\frac{m}{4}=1\) suy ra \(m=-4\).
+ Hàm số có tập giá trị là \([9 ;+\infty)\) nên \(y_{S}=9\). Suy ra \(S(1 ; 9)\).
+ Đỉnh \(S\) thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: \(9=2 \cdot 1^2+(-4) \cdot 1+n\) hay \(n=11\).
+ Vậy \(m=-4\) và \(n=11\).
Bài tập 6. Nhảy bungee là một trò chơi mạo hiểm. Trong trò chơi này, người chơi đứng ở vị trí trên cao, thắt dây an toàn và nhảy xuống. Sợi dây này có tính đàn hồi và được tính toán chiều dài để nó kéo người chơi lại khi gần chạm đất (hoặc mặt nước).
Chiếc cầu trong hình vẽ trên có bộ phận chống đỡ dạng parabol. Một người muốn thực hiện một cú nhảy bungee từ giữa cầu xuống với dây an toàn. Người này cần trang bị sợi dây an toàn dài bao nhiêu mét? Biết rằng chiều dài của sợi dây đó bằng một phần ba khoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy đến mặt nước.
+ Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, ta có bộ phận chống đỡ có dạng parabol đi qua ba điểm \(A(-48; 0)\); \(B(117; 0)\); \(C(0; 46{,}2)\).
+ Hàm số bậc hai tương ứng với parabol này có công thức \(y=a x^2+b x+c\) với \(a\) khác 0.
+ Ta có \(c=46{,}2\) và
\(\begin{cases}(-48)^2 a-48b+46{,}2=0\\ 117^2a+117b+46{,}2=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a=-\displaystyle\frac{77}{9360}\\ b=\displaystyle\frac{1771}{3120}.\end{cases}\)
+ Đỉnh \(S\) của parabol có \(x_S=\displaystyle\frac{69}{2}\); \(y_S\approx 56\).
+ Chiều dài sợi dây an toàn cần trang bị bằng một phần ba khoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy xuống đến mặt nước nên ta tính như sau:
\(\begin{aligned}L&=\displaystyle\frac{1}{3} \cdot\left(y_{S}+1+43\right)\\ &=\displaystyle\frac{1}{3} \cdot\left(56+1+43\right)=\displaystyle\frac{100}{3} \approx 33{,}33 \text{\,m}.\end{aligned}\)
+ Người đó cần trang bị sợi dây bảo hiểm dài khoảng \(33{,}3 \mathrm{~m}\).
Bài tập 7. Giả sử một máy bay cứu trợ đang bay theo phương ngang và bắt đầu thả hàng từ độ cao \(80 \mathrm{~m}\), lúc đó máy bay đang bay với vận tốc \(50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Để thùng hàng cứu trợ rơi đúng vị trí được chọn, máy bay cần bắt đầu thả hàng từ vị trí nào?
Biết rằng nếu chọn gốc toạ độ là hình chiếu trên mặt đất của vị trí hàng cứu trợ bắt đầu được thả, thì tọa độ của hàng cứu trợ được cho bởi hệ: \(\begin{cases}x=v_0t\\ y=h-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2.\end{cases}\)
Trong đó, \(v_{0}\) là vận tốc ban đầu và \(h\) là độ cao tính từ khi hàng rời máy bay.
Lưu ý: Chuyển động này được xem là chuyển động ném ngang.
+ Chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là hình chiếu trên mặt đất của vị trí hàng cứu trợ bắt đầu được thả (hình vẽ). Với \(h=80 \mathrm{~m}\), vận tốc đầu của hàng cứu trợ bằng vận tốc máy bay là \(50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\), thì phương trình chuyển động của hàng cứu trợ được cho bởi hệ sau (chọn \(g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\))
\(\begin{cases}x=50t\\ y=80-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 10t^2\end{cases} \quad\text{hay}\quad \begin{cases}x=50t\\ y=80-5t^2.\end{cases}\)
+ Khử \(t\), ta được
\(y=80-5\left(\displaystyle\frac{x}{50}\right)^{2} \quad\text {hay}\quad y=-\displaystyle\frac{x^{2}}{500}+80.\)
+ Vị trí hàng cứu trợ rơi chạm đất chính là giao điểm của quỹ đạo parabol với trục hoành, nên tọa độ hàng cứu trợ lúc đó là \(\left(x_{0} ; 0\right)\) với \(x_{0}\) cho bởi \(-\displaystyle\frac{x_0^2}{500}+80=0\). Giải phương trình này ta được: \(x_{0}=-200\) hay \(x_{0}=200\).
+ Vị trí hàng cứu trợ rơi phải có hoành độ dương (theo cách chọn hệ trục tọa độ) nên ta nhận kết quả \(x_{0}=200\).
+ Để thùng hàng cứu trợ rơi đúng vị trí được chọn, máy bay cần bắt đầu thả hàng từ vị trí có hình chiếu của máy bay trên mặt đất cách vị trí được chọn là \(200 \mathrm{~m}\).