ÔN TẬP CHƯƠNG 2
Bài tập 1. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
a. \(-2x+y-1\leq 0\);
b. \(-x+2y>0\);
c. \(x-5y<2\);
d. \(-3x+y+2\leq 0\);
e. \(3(x-1)+4(y-2)<5x-3\).
a. Miền nghiệm của bất phương trình \(-2x+y-1\leq 0\) là phần không bị gạch trong hình vẽ dưới đây
b. Miền nghiệm của bất phương trình \(-x+2y>0\) là phần không bị gạch trong hình vẽ dưới đây
c. Miền nghiệm của bất phương trình \(x-5y<2\) là phần không bị gạch trong hình vẽ dưới đây
d. Miền nghiệm của bất phương trình \(-3x+y+2\leq 0\) là phần không bị gạch trong hình vẽ dưới đây
e. Ta có \(3(x-1)+4(y-2)<5x-3\Leftrightarrow x-2y+4>0\). Miền nghiệm của bất phương trình là phần không bị gạch trong hình vẽ dưới đây
Bài tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\begin{cases} x-2y>0 \\ x+3y<3\end{cases}\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bất phương trình \(\begin{cases} x-2y>0 \\ x+3y<3\end{cases}\) có miền nghiệm là phần không bị gạch trong hình vẽ bên.
Bài tập 3. Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm \(A\) và \(B\). Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất ra \(1\) kg sản phẩm được cho trong bảng sau:
| Loại nguyên liệu | Số kg nguyên liệu dự trữ | Số kg từng loại nguyên liệu cần để sản xuất 1kg sản phẩm | |
|---|---|---|---|
| A | B | ||
| I | 8 | 2 | 1 |
| II | 24 | 4 | 4 |
| III | 8 | 1 | 2 |
Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất? Biết rằng, mỗi kilôgam sản phẩm loại \(A\) lãi 30 triệu đồng, mỗi kilôgam sản phẩm loại \(B\) lãi 50 triệu đồng.
+ Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số kilôgam sản phẩm \(A\) và \(B\) mà công ty sản xuất. Ta có hệ bất phương trình sau
\(\quad\)\(\begin{cases} 2 x+y \leq 8 \\ 4 x+4 y \leq 24 \\ x+2 y \leq 8 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0.\end{cases}\)
+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được miền tứ giác \(OABC\) có toạ độ các đỉnh là \(O(0;0)\), \(A(4;0)\), \(B\left(\displaystyle\frac{8}{3}; \displaystyle\frac{8}{3}\right)\), \(C(0;4)\).
+ Số tiền lãi \(F=30x+50y\) đạt giá trị lớn nhất khoảng \(213{,}3\) triệu đồng tại \(B\left(\displaystyle\frac{8}{3};\displaystyle\frac{8}{3}\right)\).
+ Vậy công ty cần sản xuất \(\displaystyle\frac{8}{3} \mathrm{~kg}\) sản phẩm \(A\) và \(\displaystyle\frac{8}{3} \mathrm{~kg}\) sản phẩm \(B\) thì tiền lãi thu về lớn nhất.
Bài tập 4. Một công ty cần mua các tủ đựng hồ sơ. Có hai loại tủ: Tủ loại \(A\) chiếm \(3\mathrm{~m}^{2}\) sàn, loại này có sức chứa \(12\mathrm{~m}^{3}\) và có giá \(7{,}5\) triệu đồng; tủ loại \(B\) chiếm \(6\mathrm{~m}^{2}\) sàn, loại này có sức chứa \(18\mathrm{~m}^{3}\) và có giá \(5\) triệu đồng. Cho biết công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất là \(60 \mathrm{~m}^{2}\) mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ và ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch mua sắm để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.
+ Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số tủ loại \(A\) và \(B\) mà công ty cần mua. Ta có hệ bất phương trình sau
\(\quad\) \(\begin{cases} 3x+6y \leq 60 \\ 7{,}5x+5y \leq 60 \\ x\geq 0 \\ y \geq 0.\end{cases}\)
+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được miền tứ giác \(OABC\) có toạ độ các đỉnh là \(O(0;0)\), \(A(0;10), B(2;9), C(8;0)\).
+ Thể tích đựng hồ sơ \(F=12x+18y\) đạt giá trị lớn nhất là \(186\) tại \(B(2;9)\).
+ Vậy công ty cần mua 2 tủ loại \(A\) và 9 tủ loại \(B\) thì sẽ có thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.
Bài tập 5. Một nông trại thu hoạch được \(180 \mathrm{~kg}\) cà chua và \(15 \mathrm{~kg}\) hành tây. Chủ nông trại muốn làm các hũ tương cà để bán. Biết rằng, để làm ra một hũ tương cà loại \(A\) cần \(10\mathrm{~kg}\) cà chua cùng với \(1\mathrm{~kg}\) hành tây và khi bán lãi được 200 nghìn đồng, còn để làm được một hũ tương cà loại \(B\) cần \(5\mathrm{~kg}\) cà chua cùng với \(0{,}25\mathrm{~kg}\) hành tây và khi bán lãi được \(150\) nghìn đồng. Thăm dò thị hiếu của khách hàng cho thấy cần phải làm số hũ tương loại \(A\) ít nhất gấp \(3{,}5\) lần số hũ tương loại \(B\). Hãy giúp chủ nông trại lập kế hoạch làm tương cà để có được nhiều tiền lãi nhất.
+ Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số hũ tương cà loại \(A\) và \(B\) mà chủ nông trại cần sản xuất. Ta có hệ bất phương trình sau
\(\quad\) \(\begin{cases} 10 x+5 y \leq 180 \\ x+0{,}25 y \leq 15 \\ x-3{,}5 y \geq 0 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0.\end{cases}\)
+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được miền tam giác \(OAB\) có toạ độ các đỉnh là \(O(0;0)\), \(A(14;4)\), \(B(15;0)\).
+ Số tiền lãi \(F=200x+150y\) đạt giá trị lớn nhất là \(3{,}4\) triệu đồng tại \(B(14;4)\).
+ Vậy chủ trại cần sản xuất \(14\) hũ tương cà loại \(A\) và \(4\) hũ tương cà loại \(B\) thì sẽ có nhiều lãi nhất.
Bài tập 6. Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng \(A, B\) sản xuất hai loại sản phẩm \(X, Y\). Để sản xuất một tấn sản phẩm \(X\) cần dùng máy \(A\) trong 6 giờ và dùng máy \(B\) trong 2 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm \(Y\) cần dùng máy \(A\) trong 2 giờ và dùng máy \(B\) trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy \(A\) làm việc không quá 12 giờ một ngày, máy \(B\) làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một tấn sản phẩm \(X\) lãi 10 triệu đồng và một tấn sản phẩm \(Y\) lãi 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.
+ Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số tấn sản phẩm \(X\) và \(Y\) mà xưởng cần sản xuất.
+ Ta có hệ bất phương trình sau
\(\quad\) \(\begin{cases} 6 x+2 y \leq 12 \\ 2 x+2 y \leq 8 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0.\end{cases}\)
+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được miền tứ giác \(OABC\) có toạ độ các đỉnh là \(O(0;0)\), \(A(0;4)\), \(B(1;3)\), \(C(2;0)\).
+ Số tiền lãi \(F=10x+8y\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(34\) triệu tại \(B(1;3)\).
+ Vậy xưởng cần sản xuất mỗi ngày \(1\) tấn sản phẩm \(X\) và \(3\) tấn sản phẩm \(Y\) thì sẽ có tổng số tiền lãi cao nhất.
