Khai triển các đa thức
\(\bullet\,\) \((x-2)^4\).
\(\bullet\,\) \((x+2)^5\).
\(\bullet\,\) \((2x+3y)^4\).
\(\bullet\,\) \((2x-y)^5\).
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{eqnarray*}(x-2)^4&=&x^4+4x^3\cdot (-2)+6x^2\cdot(-2)^2+4x\cdot(-2)^3+(-2)^4\\&=&x^4-8x^3+24x^2-32x+16.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{eqnarray*}(x+2)^5&=&x^5+5x^4\cdot 2+10x^3\cdot 2^2+10x^2\cdot 2^3+5x\cdot 2^4+2^5\\&=&x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{eqnarray*}(2x+3y)^4&=&(2x)^4+4\cdot (2x)^3\cdot 3y+6\cdot(2x)^2\cdot(3y)^2+4\cdot 2x\cdot(3y)^3+(3y)^4\\&=&16x^4+96x^3y+216x^2 y^2+216xy^3+81y^4.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{eqnarray*}(2x-y)^5&=&(2x)^5+5\cdot (2x)^4\cdot (-y)+10\cdot(2x)^3\cdot(-y)^2+10\cdot(2x)^2\cdot(-y)^3+5\cdot(2x)\cdot(-y)^4+(-y)^5\\&=&32x^5-80x^4y+80x^3y^2-40x^2y^3+10xy^4-y^5.\end{eqnarray*}
Khai triển các biểu thức sau
\(\bullet\,\) \((4x+1)^4\);
\(\bullet\,\) \((5x-3)^4\);
\(\bullet\,\) \(\left( \displaystyle\frac{1}{3}x+5\right)^5\);
\(\bullet\,\) \(\left(3x-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^5\).
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{eqnarray*}(4x+1)^4&=&(4x)^4+4\cdot(4x)^3\cdot 1+6\cdot (4x)^2\cdot 1^2+4\cdot (4x)\cdot 1^3+1^4\\&=&256x^4+256x^3+96x^2+16x+1.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{eqnarray*}(5x-3)^4&=&(5x)^4-4\cdot (5x)^3\cdot 3+6\cdot (5x)^2\cdot 3^2-4\cdot (5x)\cdot 3^3+3^4\\ &=&625 x^4 - 1500 x^3 + 1350 x^2 - 540 x + 81.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{eqnarray*}\left( \displaystyle\frac{1}{3}x+5\right)^5&=&\left( \displaystyle\frac{1}{3}x\right)^5+5\cdot \left( \displaystyle\frac{1}{3}x\right)^4\cdot 5+10\left( \displaystyle\frac{1}{3}x\right)^3\cdot 5^2+10\left( \displaystyle\frac{1}{3}x\right)^2\cdot 5^3+5\left( \displaystyle\frac{1}{3}x\right)\cdot 5^4+5^5\\ &=& \displaystyle\frac{x^5}{243}+\displaystyle\frac{25x^4}{81}+\displaystyle\frac{250x^3}{27}+\displaystyle\frac{1250x^2}{9}+\displaystyle\frac{3125x}{3}+3125.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{eqnarray*}\left(3x-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^5&=&(3x)^5-5 (3x)^4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)+10 (3x)^3\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2-10 (3x)^2\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^3+5 (3x)\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^4-\left( \displaystyle\frac{1}{3}\right)^5\\&=&243x^5-135x^4+30x^3-\displaystyle\frac{10x^2}{3}+\displaystyle\frac{5x}{27}-\displaystyle\frac{1}{243}.\end{eqnarray*}
Trong khai triển của \((5x-2)^5\), số mũ của \(x\) được sắp xếp theo lũy thừa tăng dần, hãy tìm hạng tử thứ hai.
Áp dụng công thức khai triển của \((a+b)^5\) với \(a=5x;\ b=-2\) ta có
\begin{eqnarray*}(5x-2)^2&=&(5x)^5+5\cdot (5x)^4\cdot(-2)+10\cdot(5x)^3\cdot(-2)^2+10\cdot(5x)^2\cdot(-2)^3+5\cdot 5x\cdot(-2)^4+(-2)^5\\&=&-32+400x-2000x^2+5000x^3-6250x^4+3125x^5.\end{eqnarray*}
Hãy sử dụng ba số hạng đầu tiên trong khai triển của \((1+0{,}03)^4\) để tính giá trị gần đúng của \((1{,}03)^4\). Xác định sai số tuyệt đối.
Ta có \((1{,}03)^4=(1+0{,}03)^4=1^4+4\cdot 1^3\cdot 0{,}3+6\cdot 1^2\cdot (0{,}03)^2+\cdots =1+0{,}12+0{,}0054+\cdots \approx 1{,}1254.\)
Mặt khác, ta tính được giá trị đúng, chẳng hạn bằng máy tính, \(1{,}03^4=1{,}2550881.\)
Như vậy, sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được so với giá trị đúng là \(|1{,}1254-1{,}12550881|=0{,}00010881.\)
Xác định hạng tử không chứa \(x\) trong khai triển của \(\left(x+\displaystyle\frac{2}{x}\right)^4\).
Ta có
\begin{eqnarray*}\left(x+\displaystyle\frac{2}{x}\right)^4&=&x^4+4x^3\cdot \displaystyle\frac{2}{x}+6x^2\cdot\left(\displaystyle\frac{2}{x}\right)^2+4x\cdot \left(\displaystyle\frac{2}{x}\right)^3+\left(\displaystyle\frac{2}{x}\right)^4\\&=&x^4+8x^2+24+\displaystyle\frac{32}{x^2}+\displaystyle\frac{16}{x^4}.\end{eqnarray*}
Vậy hạng tử không chứa \(x\) là 24.
Khai triển \(\left(z^2+1+\displaystyle\frac{1}{z}\right)^4\).
Trước hết, ta sử dụng công thức khai triển của \((a+b)^4\) với \(a=z^2+1\) và \(b=\displaystyle\frac{1}{z}\), sau đó, ta sử dụng các công thức khai triển của \((a+b)^4\), \((a+b)^3\), \((a+b)^2\) với \(a=z^2\), \(b=1\) để có
\begin{eqnarray*}\left(z^2+1+\displaystyle\frac{1}{z}\right)^4&=&(z^2+1)^4+4(z^2+z)^3\displaystyle\frac{1}{z}+6(z^2+1)^2\displaystyle\frac{1}{z^2}+4(z^2+1)\displaystyle\frac{1}{z^3}+\displaystyle\frac{1}{z^4}\\&=&(z^8+4z^6+6z^4+4z^2+1)+4(z^6+3z^4+3z^2+1)\displaystyle\frac{1}{z}\\&+&6(z^4+2z^2+1)\displaystyle\frac{1}{z^2}+4(z^2+1)\displaystyle\frac{1}{z^3}+\displaystyle\frac{1}{z^4}\\&=&z^8+4z^6+4z^5+6z^4+12z^3+10z^2+12z+13+\displaystyle\frac{8}{z}+\displaystyle\frac{6}{z^2}+\displaystyle\frac{4}{z^3}+\displaystyle\frac{1}{z^4}.\end{eqnarray*}
Xác định hệ số của \(x^2\) trong khai triển của biểu thức \((4x-3)^4\).
Số hạng chứa \(x^2\) trong khai triển của \((4x-3)^4\) là \(6(4x)^2(-3)^2=864x^2\).
Suy ra hệ số của \(x^3\) trong khai triển của \((4x-3)^4\) là \(864\).
Xác định hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức \(\left(\displaystyle\frac{2}{3}x+\displaystyle\frac{1}{4}\right)^4\).
Số hạng chứa \(x^3\) trong khai triển của biểu thức \(\left(\displaystyle\frac{2}{3}x+\displaystyle\frac{1}{4}\right)\) là \(4\cdot \left(\displaystyle\frac{2}{3}x\right)^3\cdot\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{8}{27}x^3\).
Vậy hệ số của \(x^3\) trong khai triển biểu thức \(\left(\displaystyle\frac{2}{3}x+\displaystyle\frac{1}{4}\right)\) là \(\displaystyle\frac{8}{27}\).
Cho \(\left(2x-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4\). Tính
\(\bullet\,\) \(a_2\);
\(\bullet\,\) \(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4\).
\(\bullet\,\) Ta có số hạng chứa \(x^2\) trong khai triển biểu thức \(\left(2x-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^4\) là \(6\cdot(2x)^2\cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{8}{3}x^2\).
Suy ra \(a_2=\displaystyle\frac{8}{3}\).
\(\bullet\,\) Ta xét \(f(x)=\left(2x-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^4\).
Khi đó \(f(1)=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=\left(2\cdot 1-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^4=\displaystyle\frac{625}{81}\).
Vậy \(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=\displaystyle\frac{625}{81}\).
Cho \(\left(\displaystyle\frac{3}{5}x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^5=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5\). Tính
\(\bullet\,\) \(a_3\);
\(\bullet\,\) \(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\).
\(\bullet\,\) Số hạng chứa \(x^3\) trong khai triển biểu thức \(\left(\displaystyle\frac{3}{5}x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^5\) là \(10\cdot\left(\displaystyle\frac{3}{5}x\right)^3\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{27}{50}x^3\).
Vậy \(a_3=\displaystyle\frac{27}{50}\).
\(\bullet\,\) Xét \(f(x)=\left(\displaystyle\frac{3}{5}x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^5\).
Khi đó \(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=f(1)=\left(\displaystyle\frac{3}{5}\cdot 1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^5\) \(=\displaystyle\frac{161051}{100000}\).
Tính các tổng sau (không sử dụng máy tính cầm tay).
\(\bullet\,\) \(T=\mathrm{C}_4^0+\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{C}_4^1+\displaystyle\frac{1}{3}\mathrm{C}_4^2+\displaystyle\frac{1}{4}\mathrm{C}_4^3+\displaystyle\frac{1}{5}\mathrm{C}_4^4\);
\(\bullet\,\) \(S=\mathrm{C}_6^1+2\mathrm{C}_6^2+3\mathrm{C}_6^3+4\mathrm{C}_6^4+5\mathrm{C}_6^5+6\mathrm{C}_6^6\).
\(\bullet\,\) Áp dụng kết quả \(\displaystyle\frac{1}{k+1}\mathrm{C}_n^k=\displaystyle\frac{1}{n+1}\mathrm{C}_{n+1}^{k+1}\) \((0\leq k\leq n)\), ta có
\begin{eqnarray*}T&=& 1\mathrm{C}_4^0+\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{C}_4^1+\displaystyle\frac{1}{3}\mathrm{C}_4^2+\displaystyle\frac{1}{4}\mathrm{C}_4^3+\displaystyle\frac{1}{5}\mathrm{C}_4^4\\&=&\displaystyle\frac{1}{5}\mathrm{C}_5^1+\displaystyle\frac{1}{5}\mathrm{C}_5^2+\displaystyle\frac{1}{5}\mathrm{C}_5^3+\displaystyle\frac{1}{5}\mathrm{C}_5^4+\displaystyle\frac{1}{5}\mathrm{C}_5^5\\&=&\displaystyle\frac{1}{5}\left( \mathrm{C}_5^1+\mathrm{C}_5^2+\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_5^4+\mathrm{C}_5^5\right) \\&=&\displaystyle\frac{1}{5}\left[ \left(\mathrm{C}_5^0+ \mathrm{C}_5^1+\mathrm{C}_5^2+\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_5^4+\mathrm{C}_5^5\right)-\mathrm{C}_5^0\right]\\&=&\displaystyle\frac{1}{5}\left[(1+1)^5-1 \right]=\displaystyle\frac{31}{5}.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) Áp dụng kết quả \(k\mathrm{C}_n^k=n\mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\) (\(1\leq k\leq n\)), ta có
\begin{eqnarray*}S&=&1\mathrm{C}_6^1+2\mathrm{C}_6^2+3\mathrm{C}_6^3+4\mathrm{C}_6^4+5\mathrm{C}_6^5+6\mathrm{C}_6^6\\&=& 6\mathrm{C}_5^0+6\mathrm{C}_5^1+6\mathrm{C}_5^2+6\mathrm{C}_5^3+6\mathrm{C}_5^4+6\mathrm{C}_5^5\\&=&6\left(\mathrm{C}_5^0+\mathrm{C}_5^1+\mathrm{C}_5^2+\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_5^4+\mathrm{C}_5^5+\mathrm{C}_5^6 \right)\\&=&6(1+1)^5=192.\end{eqnarray*}