+ Câu "Con thấy có vui không?": đây là câu hỏi, không phải mệnh đề.

+ Câu "Dạ có ạ, con thấy rất là vui": đây là một mệnh đề. Cô bé khẳng định mình rất là vui.

+ Câu "Ôi, cảnh vật đẹp làm sao!": đây là câu cảm thán, không phải là mệnh đề (do không có tính hoặc đúng, hoặc sai vì cũng là cảnh vật đó nhưng đối với người này thì đẹp, đối với người khác thì bình thường).

+ Câu "Năm sau mình đi cắm trại nữa mẹ nhé": đây là lời đề nghị, không phải mệnh đề.

+ Câu "Ừ, năm sau cả gia đình mình sẽ đi tiếp": là một khẳng định chưa thể chắc chắn là đúng hay sai. Tuy nhiên nó chắc chắn chỉ có thể hoặc đúng, hoặc sai. Do đó đây là một mệnh đề.

+ Câu "Con vào trại lấy bịch bánh, con và mẹ cùng ăn": đây là lời đề nghị, không phải mệnh đề.

a. Câu "\(\pi\) là số vô tỉ": là mệnh đề (mệnh đề đúng).

b. Câu "\(1+2>3\)": là mệnh đề (mệnh đề sai).

c. Câu "\(0{,}00001\) là số rất bé": không có tính chất hoặc đúng hoặc sai (do không đưa ra tiêu chí số như thế nào là rất bé). Do đó nó không phải là mệnh đề.

a. Ta có \(P(1)\colon \) \(``\)4 là số chia hết cho 5\("\). Đây là mệnh đề sai.
Ta có \(P(3)\colon \) \(``\)10 là số chia hết cho 5\("\). Đây là mệnh đề đúng.

b. Ta có \(P(1)\colon \) \(``3\cdot 1-6=0"\). Đây là mệnh đề sai.
Ta có \(P(2)\colon \) \(``3\cdot 2-6=0"\). Đây là mệnh đề đúng.

c. Ta có \(P(0,0)\colon \) \(``0-2\cdot0-3 < 0"\). Đây là mệnh đề đúng.
Ta có \(P(4,0)\colon \) \(``4-2\cdot0-3< 0"\). Đây là mệnh đề sai.

Phủ định của các mệnh đề như sau

a. \(\overline{P}\): Thủ đô của nước Anh không phải là Paris.

b. \(\overline{R}\): \(2+\sqrt{2}\leq3\)

c. \(\overline{Q}\): Phương trình \(x^2+1=0\) không vô nghiệm (nghĩa là có nghiệm).

a. Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AB\), \(AC\) là hai cạnh góc vuông, \(BC\) là cạnh huyền. Theo định lí Pitago, ta có

\(AB^2+AC^2=BC^2\).

Vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.

b. Tam giác \(ABC\) cân thì chưa chắc có 3 góc bằng nhau, chẳng hạn \(\widehat{A}=\widehat{B}=30^\circ\), \(\widehat{C}=120^\circ\).

Vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề sai.

Ta có thể phát biểu lại định lí đã cho như sau:

+ Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau là điều kiện cần để nó là hình chữ nhật.

+ Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật là điều kiện đủ để nó có hai đường chéo bằng nhau.

a. Mệnh đề đã cho có \(P\): \(a=2\) và \(Q\): \(a^2-4\).

Suy ra mệnh đề đảo là: \(``\) Nếu \(a^2=4\) thì \(a=2\) \("\).

b. Ta có \(a=2\Rightarrow a^2=2^2=4\) nên mệnh đề \(``\) nếu \(a=2\) thì \(a^2=4\) \("\) là mệnh đề đúng.

Ta có \(a^2=4\Rightarrow a=\pm 2\). Do đó mệnh đề \(``\) nếu \(a^2=4\) thì \(a=2\) \("\) là mệnh đề sai.

a. Ta có \(P\): \(``\) Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi \("\), \(Q\): Tứ giác \(ABCD\) có 4 cạnh bằng nhau \("\).

b. Mệnh đề đảo của mệnh đề đã cho là \(``\) Nếu tứ giác \(ABCD\) có 4 cạnh bằng nhau thì nó là hình thoi \("\).

c. Do hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nên mệnh đề \(``\) Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình thoi thì nó có \(4\) cạnh bằng nhau \("\) là mệnh đề đúng.

Do tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi nên mệnh đề \(``\) Nếu \(ABCD\) có 4 cạnh bằng nhau thì nó là hình thoi \("\) cũng là mệnh đề đúng.

Vậy hai mệnh đề \(P\) và \(Q\) tương đương nhau.

a. \(\forall x\in \mathbb{R}\), ta có \(x^2+2x+2\) \(=(x^2+2x+1)+1 > 0\) nên mệnh đề đã cho đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là \(\exists x\in \mathbb{R},\ x^2+2x+2\leq 0\).

b. Phương trình \(x^2+3x+4=0\) có biệt thức \(\Delta=3^2-4\cdot1\cdot4=-7<0\) nên phương trình vô nghiệm.

Do đó mệnh đề đã cho là mệnh đề sai.

Phủ định của mệnh đề này là \(\forall x\in \mathbb{R},\ x^2+3x+4\neq 0\).

a. \(3+2>5\) là mệnh đề.

b. \(1-2x=0\) là mệnh đề chứa biến.

c. \(x-y=2\) là mệnh đề chứa biến.

d. \(1-\sqrt 2<0\) là mệnh đề.

a. \(2019\) chia hết cho \(3\) là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định là: \(2019\) không chia hết cho \(3\).

b. \(\pi<3{,}15\) là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định là: \(\pi \ge\).

c. Nước ta hiện nay có \(5\) thành phố trực thuộc Trung ương là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định là: Nước ta hiện nay không có 5 thành phố trực thuộc trung ương.

d. Tam giác có hai góc bằng \(45^{\circ}\) là tam giác vuông cân là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định là: Tam giác có hai góc bằng \(45^{\circ}\) không là tam giác vuông cân là mệnh đề đúng.

a. Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mệnh đề đúng.

b. Mệnh đề đảo: Nếu tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

a. \(P\): Đúng, \(Q\): Sai, \(R\): Đúng.

b. Sử dụng kí hiệu \(\forall\), \(\exists\) ta viết lại các mệnh đề đã cho như sau

\(P:\forall x\in\mathbb{R},|x|\geq x \);

\(Q:\exists x\in\mathbb{N}, x^2=10\);

\(R:\exists x\in\mathbb{R}, x^2+2x-1=0\).

a. \(\exists x\in\mathbb{N}, x+3=0\) là mệnh đề sai. Mệnh đề phủ định là \(\forall x\in\mathbb{N}, x+3\neq 0\).

b. \(\forall x\in\mathbb{R}, x^2+1\geq 2x\) là mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định là \(\exists x\in\mathbb{R}, x^2+1<2x \).

c. \(\forall a\in\mathbb{R},\sqrt{a^2}=a\) là mệnh đề sai. Mệnh đề phủ định là \(\exists a\in\mathbb{R},\sqrt{a^2}\neq a\).

a. Mệnh đề \(P\).

Giả thiết: hai tam giác bằng nhau.

Kết luận: diện tích của chúng bằng nhau.

Mệnh đề \(Q\). Giả thiết: \(a< b\). Kết luận \(a+c< b+c\) \((a,\ b,\ c\in\mathbb{R})\).

b. Phát biểu định lí:

+ \(P\): Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau hoặc Diện tích của hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau.

+ \(Q\): \(a< b\) là điều kiện đủ để \(a+c< b+c\ (a,\ b,\ c\in\mathbb{R})\) hoặc \(a+c< b+c\ (a,b,c\in\mathbb{R})\) là điều kiện cần để \(a< b\).

c. Mệnh đề đảo của mỗi định lí là mệnh đề sai nên không là định lí.

a. Biệt thức của phương trình bậc hai dương là điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần và đủ để hình bình hành là hình thoi.