Bài 1. KHÁI NIỆM VÉCTƠ
1. Định nghĩa véctơ
Véctơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.
+ Véc-tơ có điểm đầu \( A \), điểm cuối \( B \) được kí hiệu là \( \overrightarrow{AB} \), đọc là véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \).
+ Đường thẳng đi qua hai điểm \( A \) và \( B \) gọi là giá của véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \).
+ Độ dài của đoạn thẳng \( AB \) gọi là độ dài của véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và được kí hiệu là \( \left|\overrightarrow{AB}\right| \). Như vậy ta có \( \left|\overrightarrow{AB}\right| =AB \).
Chú ý.
Một véc-tơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \), \( \overrightarrow{x}\), \( \overrightarrow{y} \), \( \ldots \)
Ví dụ 1. Cho tam giác đều \( ABC \) có cạnh bằng \( 2 \). Gọi \( H \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \). Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài của các véc-tơ \( \overrightarrow{CA} \), \( \overrightarrow{AH} \), \( \overrightarrow{BH} \).
+ Véc-tơ \( \overrightarrow{CA} \) có điểm đầu là \( C \), điểm cuối là \( A \) và có giá là đường thẳng \( AC \).
+ Véc-tơ \( \overrightarrow{AH} \) có điểm đầu là \( A \), điểm cuối là \( H \) và có giá là đường thẳng \( AH \).
+ Véc-tơ \( \overrightarrow{BH} \) có điểm đầu là \( B \), điểm cuối là \( H \) và có giá là đường thẳng \( BH \).
+ Ta có: \( CA=2 \), \( BH=1 \), \( AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3} \).
+ Suy ra \( \left|\overrightarrow{CA} \right|=2 \), \( \left|\overrightarrow{BH} \right|=1 \), \( \left|\overrightarrow{AH} \right|=\sqrt{3} \).
Ví dụ 2. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài của các véc-tơ \( \overrightarrow{CH} \), \( \overrightarrow{CB} \), \( \overrightarrow{HA} \) trong ví dụ 1.
+ Véc-tơ \( \overrightarrow{CH} \) có điểm đầu là \( C \), điểm cuối là \( H \) và có giá là đường thẳng \( CH \).
+ Véc-tơ \( \overrightarrow{CB} \) có điểm đầu là \( C \), điểm cuối là \( B \) và có giá là đường thẳng \( CB \).
+ Véc-tơ \( \overrightarrow{HA} \) có điểm đầu là \( H \), điểm cuối là \( A \) và có giá là đường thẳng \( HA \).
+ Ta có: \( CH=1 \), \( CB=2 \), \( AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3} \).
+ Suy ra \( \left|\overrightarrow{CH} \right|=2 \), \( \left|\overrightarrow{CB} \right|=1 \), \( \left|\overrightarrow{AH} \right|=\sqrt{3} \).
Ví dụ 3. Cho hình vuông \( ABCD \) có cạnh bằng \( \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \), hai đường chéo cắt nhau tại \( O \). Tìm độ dài của các véc-tơ \( \overrightarrow{AC} \), \( \overrightarrow{BD} \), \( \overrightarrow{OA} \), \( \overrightarrow{AO} \).
+ Ta có: \( CA=1 \), \( BD=1 \), \( AO=\displaystyle\frac{1}{2} \).
+ Suy ra \(\left|\overrightarrow{AC}\right|=1 \), \(\left|\overrightarrow{BD}\right|=1 \), \(\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{AO}\right|=\displaystyle\frac{1}{2}\).
2. Hai véc-tơ cùng phương, cùng hướng
Hai véc-tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Ví dụ 1. Tìm các véc-tơ cùng phương trong hình bên dưới.
Ta có \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) cùng phương vì có giá trùng nhau; \( \overrightarrow{PQ} \) và \( \overrightarrow{RS} \) cùng phương vì có giá song song.
Chú ý.
Hai véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) là \textit{hai véc-tơ cùng hướng}. Hai véc-tơ \( \overrightarrow{PQ} \) và \( \overrightarrow{RS} \) cùng phương nhưng có hướng ngược nhau. Ta nói hai véc-tơ \( \overrightarrow{PQ} \) và \( \overrightarrow{RS} \) là hai véc-tơ ngược hướng.
Hai véc-tơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Ví dụ 2. Tìm các lực ngược hướng trong số các lực tác động vào máy bay trong hình bên dưới.
Quan sát hình vẽ, ta thấy lực nâng \( \overrightarrow{n} \) ngược hướng với trọng lực \( \overrightarrow{P} \); lực cản \( \overrightarrow{c} \) ngược hướng với lực đẩy \( \overrightarrow{d} \).
Ví dụ 3. Quan sát hình bên và gọi tên các véc-tơ:
a. Cùng phương với véc-tơ \( \overrightarrow{x} \).
b. Cùng hướng với véc-tơ \( \overrightarrow{a} \).
c. Ngược hướng với véc-tơ \( \overrightarrow{u} \).
a. Cùng phương với véc-tơ \( \overrightarrow{x} \) là \( \overrightarrow{y} \), \( \overrightarrow{z} \), \( \overrightarrow{w} \).
b. Cùng hướng với véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) là \( \overrightarrow{b} \).
c. Ngược hướng với véc-tơ \( \overrightarrow{u} \) là \( \overrightarrow{v} \).
Nhận xét.
Ba điểm phân biệt \( A \), \( B \), \( C \) thẳng hàng khi và chỉ khi \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng phương.
hật vậy, ta thấy nếu ba điểm \( A \), \( B \), \( C \) thẳng hàng thì hai véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) có giá trùng nhau nên chúng cùng phương. Ngược lại, nếu hai véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng phương thì hai đường thẳng \( AB \) và \( AC \) phải song song hoặc trùng nhau, hơn nữa hai đường thẳng này lại có chung điểm \( A \) nên chúng phải trùng nhau. Vậy ba điểm \( A \), \( B \), \( C \) thẳng hàng.
Ví dụ 4. Khẳng định sau đúng hay sai? Hãy giải thích. Nếu ba điểm phân biệt \( A \), \( B \), \( C \) thẳng hàng thì hai véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng hướng.
\(``\) Nếu ba điểm phân biệt \( A \), \( B \), \( C \) thẳng hàng thì hai véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng hướng \("\), là khẳng định sai, vì \( A \) có thể nằm giữa \( B \) và \( C \). Khi đó hai véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) ngược hướng.
3. Véc-tơ bằng nhau, véc-tơ đối nhau
+ Hai véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu \( \overrightarrow{a} =\overrightarrow{b}\).
+ Hai véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu \( \overrightarrow{a} =-\overrightarrow{b}\). Khi đó véc-tơ \( \overrightarrow{b} \) được gọi là véc-tơ đối của véc-tơ \( \overrightarrow{a} \).
Chú ý.
+ Cho véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và điểm \( O \), ta luôn tìm được một điểm \( A \) duy nhất sao cho \( \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}\). Khi đó độ dài của véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) là độ dài đoạn \( OA \), kí hiệu là \( \left|\overrightarrow{a}\right| \).
+ Cho đoạn thẳng \( MN \), ta luôn có \( \overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN} \).
Ví dụ 1. Tìm trong hình bên hai cặp véc-tơ bằng nhau và hai cặp véc-tơ đối nhau.
Ta có:
\(\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{DC}\), \( \overrightarrow{DA} =\overrightarrow{CB}\), \( \overrightarrow{AD} =-\overrightarrow{CB}\), \( \overrightarrow{DA} =-\overrightarrow{AD}\).
Ví dụ 2. Cho điểm \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). Tìm hai véc-tơ đối nhau.
Ta có \(\overrightarrow{OA} =-\overrightarrow{OB}\), tức là \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\) là hai véctơ đối nhau.
Ví dụ 3. Cho \( D \), \( E \), \( F \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( BC \), \( CA \), \( AB \) của tam giác \( ABC \).
a. Tìm các véc-tơ bằng véc-tơ \( \overrightarrow{EF} \).
b. Tìm các véc-tơ đối của véc-tơ \( \overrightarrow{EC} \).
a. Ta có \( EF \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \) nên \( \begin{cases}EF \parallel BC\\ EF=\displaystyle\frac{1}{2}BC=BD=DA.\end{cases}\)
Mặt khác \( \overrightarrow{EF}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{DB} \) và \(\overrightarrow{CD} \).
Suy ra \( \overrightarrow{EF} =\overrightarrow{DB} =\overrightarrow{CD}\).
b. Ta có \( FD \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \) nên \( \begin{cases}FD \parallel BC\\ EF=\displaystyle\frac{1}{2}AC=AE=EC.\end{cases} \)
Mặt khác \( \overrightarrow{EC}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{EA} \) và \(\overrightarrow{DF} \).
Suy ra véc-tơ đối của véc-tơ \(\overrightarrow{EC}\) là \(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{DF}\).
4. Véctơ-không
Véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là {\bf véctơ-không}, kí hiệu là \( \overrightarrow{0}\).
+ Quy ước véctơ-không có độ dài bằng \( 0 \).
+ Véctơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi véc-tơ.
+ Mọi véctơ-không đều bằng nhau: \( \overrightarrow{0} =\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=\ldots \) với mọi điểm \( A \), \( B \), \( C \), \(\ldots \)
+ Véc-tơ đối của véctơ-không là chính nó.
Ví dụ 1. Cho đoạn thẳng \( EF \) có độ dài bằng \( 2 \) và nhận \( M \) là trung điểm.
a. Tìm véctơ-không trong số các véc-tơ: \( \overrightarrow{EF} \), \( \overrightarrow{EE} \), \( \overrightarrow{EM} \), \( \overrightarrow{MM} \), \( \overrightarrow{FF} \).
b. Dùng kí hiệu \( \overrightarrow{0} \) để biểu diễn các véctơ-không đó.
a. Ta có các véc-tơ \( \overrightarrow{EE} \), \( \overrightarrow{MM} \), \( \overrightarrow{FF} \) có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau nên chúng là các véctơ-không.
b. Ta viết \( \overrightarrow{0}= \overrightarrow{EE}=\overrightarrow{FF}=\overrightarrow{MM}\).
Ví dụ 2. Tìm độ dài của các véc-tơ \( \overrightarrow{EF} \), \( \overrightarrow{EE} \), \( \overrightarrow{EM} \), \( \overrightarrow{MM} \), \( \overrightarrow{FF} \) trong ví dụ trên.
Ta có:
\(\quad\)\(\left|\overrightarrow{EF}\right| =EF=2\), \( \left|\overrightarrow{EE}\right| =EE=0\), \( \left|\overrightarrow{EM}\right| =EM=1\), \( \left|\overrightarrow{MM}\right| =MM=0\), \( \left|\overrightarrow{FF}\right| =FF=0\).
BÀI TẬP
Bài tập 1.
a. Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng sau:
\(\bullet\quad\) Bác Ba có số tiền là \( 20 \) triệu đồng.
\(\bullet\quad\) Một cơn bão di chuyển với vận tốc \( 20 \) km/h theo hướng đông bắc.
b. Trong các đại lượng sau, đại lượng nào cần được biểu diễn bởi véc-tơ?
Giá tiền, lực, thể tích, tuổi, độ dịch chuyển, vận tốc.
a. Sự khác biệt giữa hai đại lượng:
\(\bullet\quad\) Bác Ba có số tiền là \( 20 \) triệu đồng \( \longrightarrow \) đại lượng \(``\) giá tiền \("\), không được biểu diễn bởi véc-tơ.
\(\bullet\quad\) Một cơn bão di chuyển với vận tốc \( 20 \) km/h theo hướng đông bắc \(\longrightarrow\) đại lượng \(``\) độ dịch chuyển \("\), được biểu diễn bởi véc-tơ.
b. Đại lượng \(``\) lực \("\), \(``\) độ dịch chuyển \("\), \(``\) vận tốc \("\) được biểu diễn bởi véc-tơ.
Bài tập 2. Cho hình thang \( ABCD \) có hai cạnh đáy là \( AB \) và \( DC \) (hình bên). Điểm \( M \) nằm trên đoạn \( DC \).
a. Gọi tên các véc-tơ cùng hướng với véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \).
b. Gọi tên các véc-tơ ngược hướng với véc-tơ \( \overrightarrow{DM} \).
a. Các véc-tơ cùng hướng với véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) là \( \overrightarrow{DM} \), \( \overrightarrow{MC} \), \( \overrightarrow{DC} \), \( \overrightarrow{0} \).
b. Các véc-tơ ngược hướng với véc-tơ \( \overrightarrow{DM} \) là \( \overrightarrow{MD} \), \( \overrightarrow{CM} \), \( \overrightarrow{CD} \), \( \overrightarrow{BA} \), \( \overrightarrow{0} \).
Bài tập 3. Cho hình vuông \( ABCD \) có tâm \( O \) và có cạnh bằng \( a \).
a. Tìm trong hình hai véc-tơ bằng nhau và có độ dài bằng \( \displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2} \).
b. Tìm trong hình hai véc-tơ đối nhau và có độ dài bằng \( a\sqrt{2} \).
a. Ta có
\(\bullet\ \) \( \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC} \) và \( \left|\overrightarrow{AO}\right|=\left|\overrightarrow{OC} \right|=\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}\),
\(\bullet\ \) \( \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO} \) và \( \left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{CO} \right|=\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}\),
\(\bullet\ \) \( \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD} \) và \( \left|\overrightarrow{BO}\right|=\left|\overrightarrow{OD} \right|=\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}\),
\(\bullet\ \) \( \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO} \) và \( \left|\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{DO} \right|=\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
b. Ta có
\(\bullet\ \) \( \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA} \) và \( \left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CA} \right|=a\sqrt{2}\),
\(\bullet\ \) \( \overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB} \) và \( \left|\overrightarrow{BD}\right|=\left|\overrightarrow{DB} \right|=a\sqrt{2}\).
Bài tập 4. Cho tứ giác \( ABCD \). Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \).
Ta có \( ABCD \) là hình bình hành
\( \Leftrightarrow \begin{cases} AB\parallel DC\\ AB=DC\\ \overrightarrow{AB} \text{ cùng hướng với }\overrightarrow{DC}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
Bài tập 5. Hãy chỉ ra các cặp véc-tơ cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau trong hình dưới đây.
Ta có
+ Các cặp véc-tơ cùng hướng là \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \), \( \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{v} \).
+ Cặp véc-tơ ngược hướng là \( \overrightarrow{x} \) và \( \overrightarrow{y} \)
+ Cặp véc-tơ bằng nhau là \( \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{v} \).
Bài tập 6. Gọi \( O \) là tâm hình lục giác đều \( ABCDEF \).
a. Tìm các véc-tơ khác véctơ-không và cùng hướng với véc-tơ \( \overrightarrow{OA} \).
b. Tìm các véc-tơ bằng véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \).
a. Các véc-tơ khác véctơ-không và cùng hướng với véc-tơ \( \overrightarrow{OA} \) là \( \overrightarrow{DO} \), \( \overrightarrow{DA} \), \( \overrightarrow{CB} \), \( \overrightarrow{EF} \).
b. Các véc-tơ bằng véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) là \( \overrightarrow{OC} \), \( \overrightarrow{FO} \), \( \overrightarrow{ED} \).
Bài tập 7. Tìm các lực cùng hướng và ngược hướng trong số các lực đẩy được biểu diễn bằng các véc-tơ trong hình dưới đây.
Ta có
+ \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) cùng hướng.
+ \( \overrightarrow{c} \) và \( \overrightarrow{d} \) ngược hướng.