Có bao nhiêu cách xếp \(6\) lá thư khác nhau vào \(6\) chiếc phong bì khác nhau (mỗi lá thư vào trong một phong bì)?
Số cách xếp \(6\) lá thư khác nhau vào \(6\) chiếc phong bì khác nhau chính là số các hoán vị của \(6\).
Vậy ta có tất cả \(6! = 720\) (cách).
Có \(12\) thí sinh tham gia một cuộc thi âm nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách trao ba giải cao nhất: Nhất, Nhì và Ba của cuộc thi cho các thí sinh?
Số cách trao ba giải cao nhất: Nhất, Nhì và Ba của cuộc thi cho các thí sinh chính là số cách số cách sắp xếp có thứ tự \(3\) thí sinh từ \(12\) thí sinh tham gia, nghĩa là số các chỉnh hợp chập \(3\) của \(12\).
Vậy ta có \(\mathrm{A}_{12}^3 = 1320\) (cách).
Minh có \(4\) vé xem bóng đá và muốn mời thêm các bạn đi xem cùng. Nhưng Minh có tới \(6\) người bạn thích bóng đá. Hỏi Minh có bao nhiêu cách mời \(3\) bạn để đi xem bóng đá cùng mình?
Số cách chọn ra \(3\) người từ \(6\) người là số tổ hợp chập \(3\) của \(6\).
Vậy Minh có số cách để mời \(3\) bạn đi xem bóng đá cùng là
\(\mathrm{C}_6^3=20\) cách.
Ông An quyết định sơn ngôi nhà \(4\) tầng mới xây của mình bằng gam màu xanh. Hãng sơn mà ông An chọn có gam màu xanh với \(10\) màu xanh có mức độ đậm nhạt khác nhau.
\(\bullet\,\) Ông An có bao nhiêu cách sơn nhà sao cho \(2\) tầng khác nhau có màu khác nhau?
\(\bullet\,\) Sau khi tham khảo ý kiến của mọi người, ông điều chỉnh ý định ban đầu và bây giờ muốn các tầng sơn màu nhạt dần từ thấp lên cao. Số cách sơn nhà theo yêu cầu mới là bao nhiêu?
\(\bullet\,\) Mỗi cách sơn là mỗi cách chọn ra \(4\) màu khác nhau (có sắp xếp thứ tự) từ \(10\) màu sơn.
Do đó số cách sơn nhà là số chỉnh hợp chập \(4\) của \(10\) phần tử \(\mathrm{A}_{10}^4=5040\).
\(\bullet\,\) Để sơn \(4\) tầng từ đậm nhất đến nhạt nhất từ thấp lên cao, tức là mỗi bộ \(4\) màu sơn thì chỉ có \(1\) cách sơn. Tức là chỉ cần chọn ra \(4\) màu khác nhau từ \(10\) màu sơn.
Vậy số cách sơn nhà theo kiểu mới là số tổ hợp chập \(4\) của \(10\), là \(\mathrm{C}_{10}^4=210\).
Một nhóm hành khách, gồm \(2\) nam và \(3\) nữ, lên một chiếc xe buýt. Trên xe có \(10\) ghế trống, trong đó có \(5\) ghế cạnh cửa sổ.
\(\bullet\,\) Hỏi họ có bao nhiêu cách ngồi?
\(\bullet\,\) Các hành khách nữ mong muốn ngồi cạnh cửa sổ. Hỏi số cách ngồi của họ là bao nhiêu?
\(\bullet\,\) Chọn ra \(5\) ghế từ \(10\) ghế và có sắp xếp thứ tự nên số cách ngồi của họ là \(\mathrm{A}_{10}^5=30240\) cách.
\(\bullet\,\) Việc xếp chỗ cho khách được thực hiện theo \(2\) công đoạn
Bước 1. Xếp chỗ cho các hành khách nữ.
Bước 2. Xếp chỗ cho các hành khách nam.
\(\bullet\,\) Ta cần xếp chỗ cho \(3\) hành khách nữ vào \(5\) ghế cạnh cửa sổ có số cách sắp xếp là \(\mathrm{A}_5^3=60\) cách.
\(\bullet\,\) Ta xếp \(2\) khách nam vào vị trí bất kì trong \(10-3=7\) ghế còn lại.
Số cách sắp xếp là \(\mathrm{A}_7^2=42\) cách.
Vậy có số cách xếp chỗ là \(60\cdot42=2520\) cách.
Để chuẩn bị cho buổi biểu diễn, \(3\) anh hề phải chọn trang phục biểu diễn cho mình gồm mũ, tóc giả, mũi và quần áo. Đoàn xiếc có \(10\) chiếc mũ, \(6\) bộ tóc giả, \(5\) cái mũi hề và \(8\) bộ quần áo hề. Hỏi các anh hề có bao nhiêu cách chọn trang phục biểu diễn?
Để chọn trang phục biểu diễn, các anh hề có thể thực hiện \(4\) công đoạn là
Chọn mũ \(\to\) Chọn tóc giả \(\to\) Chọn mũi \(\to\) Chọn quần áo.
\(\bullet\,\) Chọn mũ: Có \(3\) anh hề (khác nhau) và \(10\) chiếc mũ nên số cách chọn \(3\) chiếc mũ từ \(10\) chiếc mũ là \(\mathrm{A}_{10}^3=720\).
\(\bullet\,\) Tương tự số cách chọn tóc giả là \(\mathrm{A}_6^3=120\), chọn mũi hề là \(\mathrm{A}_5^3=60\), chọn quần áo là \(\mathrm{A}_8^3=336\).
Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn trang phục của \(3\) anh hề là \(720\cdot 120\cdot 60\cdot 336= 1 741 824 000\) cách.
Trong các số tự nhiên từ \(1\) đến \(999 999\), có bao nhiêu số chứa đúng một chữ số \(1\) và đúng một chữ số \(2\)?
Gọi số cần tìm có dạng \(\overline{abcdef}\), trong đó \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) nhận một trong các giá trị \(0\); \(1\); \(2\);\ldots; \(9\).
Để tạo thành số thỏa mãn yêu cầu đề bài ta cần
Bước 1. Chọn ra \(2\) kí hiệu trong \(6\) kí hiệu \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) để thay bằng các chữ số \(1\); \(2\).
Do thứ tự \(1\); \(2\) khác nhau sẽ tạo thành số khác nhau nên số cách chọn là số chỉnh hợp chập \(2\) của \(6\), là \(\mathrm{A}_6^2=30\) cách.
Bước 2. Thay \(4\) kí hiệu còn lại bằng các chữ số còn lại \(0\); \(3\); \(4\);\ldots; \(9\) (có thể giống nhau).
Còn lại \(8\) chữ số. Mỗi kí hiệu đều có \(8\) cách chọn. Do đó \(4\) số này có tổng cộng \(8\cdot8\cdot8\cdot8=4 096\) cách.
Theo quy tắc nhân, số các số từ \(1\) đến \(999 999\) thỏa mãn là \(30 \cdot 4 096 = 122 880\) số.
\(\bullet\,\) Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái của từ KHIÊNG thành một dãy kí tự gồm \(6\) chữ cái khác nhau (có thể là vô nghĩa)?
\(\bullet\,\) Cùng câu hỏi như trên nhưng yêu cầu hai chữ cái đầu tiên là các phụ âm?
\(\bullet\,\) Giống câu hỏi ý đầu tiên nhưng yêu cầu các phụ âm phải đứng liên tiếp với nhau.
\(\bullet\,\) Từ KHIÊNG gồm \(6\) chữ cái khác nhau là K, H, I, Ê, N, G.
Để sắp xếp \(6\) chữ cái theo \(1\) thứ tự bất kì là \(1\) hoán vị của \(6\) chữ cái này.
Số cách sắp xếp các chữ cái của từ KHIÊNG thành một dãy kí tự gồm \(6\) chữ cái khác nhau là \(6!= 720\) cách.
\(\bullet\,\) Từ KHIÊNG có \(4\) phụ âm là K, H, N và G.
Chọn \(2\) trong \(4\) phụ âm (để xếp vào \(2\) vị trí đầu tiên) ta có \(\mathrm{A}_4^2=12\) cách.
Số cách sắp xếp \(4\) chữ cái còn lại vào \(4\) vị trí tiếp theo là \(4! = 24\) cách.
Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp cần tìm là \(12\cdot 24 = 288\) cách.
\(\bullet\,\) Khi \(4\) phụ âm phải đứng liên tiếp nhau do đó có \(3\) trường hợp
Trường hợp 1. vị trí các phụ âm từ trái qua phải là \(1\), \(2\), \(3\), \(4\).
Trường hợp 2. vị trí các phụ âm từ trái qua phải là \(2\), \(3\), \(4\), \(5\).
Trường hợp 3. vị trí các phụ âm từ trái qua phải là \(3\), \(4\), \(5\), \(6\).
Trongg mỗi trường hợp
Số cách xếp \(4\) phụ âm vào \(4\) vị trí đã chọn là \(4! = 24\) cách.
Số cách xếp \(2\) nguyên âm vào \(2\) vị trí còn lại là \(2! = 2\).
Vậy mỗi trường hợp có số cách sắp xếp thỏa mãn là
\(24 \cdot 2= 48\) cách.
Vậy trong mỗi trường hợp, ta đều có \(48\) cách sắp xếp.
Tổng số cách sắp xếp là \(48+ 48+ 48= 144\) cách.
Từ các chữ số \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\), ta lập được bao nhiêu số tự nhiên
\(\bullet\,\) Gồm \(9\) chữ số đôi một khác nhau?
\(\bullet\,\) Gồm \(7\) chữ số đôi một khác nhau?
\(\bullet\,\) Mỗi số tự nhiên có \(9\) chữ số đôi một khác nhau lập được là một hoán vị của \(9\) chữ số đã cho. Do đó có \(\mathrm{P}_9=9!=362880\).
\(\bullet\,\) Mỗi số tự nhiên có \(7\) chữ số đôi một khác nhau lập được là một chỉnh hợp chập \(7\) của \(9\) chữ số đã cho. Do đó có \(\mathrm{A}^7_9=181440\).
Từ các chữ số \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\), ta lập được bao nhiêu số tự nhiên
\(\bullet\,\) Gồm \(10\) chữ số đôi một khác nhau?
\(\bullet\,\) Gồm \(6\) chữ số đôi một khác nhau?
\(\bullet\,\) Xét số tự nhiên có dạng \(\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_{10}}\).
\(\bullet\,\) Trường hợp 1: \(a_1\) có thể bằng \(0\) hoặc khác \(0\).
Với \(a_1\) có thể bằng \(0\) hoặc khác \(0\), mỗi số có dạng trên là một hoán vị của \(10\) chữ số đã cho. Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp này là \(\mathrm{P}_{10}=10!\).
\(\bullet\,\) Trường hợp 2: \(a_1=0\).
Vì \(a_1=0\) cố định nên \(9\) chữ số sau \(a_1\) đều khác \(0\) và chỉ có \(9\) chữ số đó thay đổi. Suy ra mỗi số có dạng \(\overline{0a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_{10}}\) là một hoán vị của \(9\) chữ số khác \(0\) đã cho. Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp này là \(\mathrm{P}_9=9!\).
Vậy số các số tự nhiên có \(10\) chữ số đôi một khác nhau có thể lập được là \(\)S=10!-9!=3265920.\(\)
\(\bullet\,\) Xét số tự nhiên có dạng \(\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\).
\(\bullet\,\) Trường hợp 1: \(a_1\) có thể bằng \(0\) hoặc khác \(0\).
Với \(a_1\) có thể bằng \(0\) hoặc khác \(0\), mỗi số có dạng trên là một chỉnh hợp chập \(6\) của \(10\) chữ số đã cho. Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp này là \(\mathrm{A}^6_{10}\).
\(\bullet\,\) Trường hợp 2: \(a_1=0\).
Vì \(a_1=0\) cố định nên \(5\) chữ số sau \(a_1\) đều khác \(0\) và chỉ có \(5\) chữ số đó thay đổi. Suy ra mỗi số có dạng \(\overline{0a_2a_3a_4a_5a_6}\) là một chỉnh hợp chập \(5\) của \(9\) chữ số khác \(0\) đã cho. Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp này là \(\mathrm{A}^5_9\).
Vậy số các số tự nhiên có \(6\) chữ số đôi một khác nhau có thể lập được là \(\)S=\mathrm{A}^6_{10}-\mathrm{A}^5_9=136080.\(\)
Một tổ có \(8\) học sinh gồm \(4\) nữ và \(4\) nam. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh trong tổ
\(\bullet\,\) Thành một hàng dọc?
\(\bullet\,\) Thành một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau?
\(\bullet\,\) Mỗi cách xếp \(8\) học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của \(8\) học sinh, vậy có \(\mathrm{P}_8=8!=40320\) cách xếp.
\(\bullet\,\) Giả sử các vị trí học sinh đứng được đánh số thứ tự từ \(1\) đến \(8\). Vì số lượng học sinh nữ và nam bằng nhau nên có hai trường hợp
\(+\,\) Trường hợp 1: Học sinh nam đứng trước.
Khi đó, học sinh nam đứng ở các vị trí có số thứ tự là số lẻ, học sinh nữa đứng ở vị trí có số thứ tự là số chẵn. Như vậy, thứ tự của các học sinh được cố định, chỉ thay đổi chỗ đứng cho cùng giới tính.
Xếp \(4\) học sinh nam vào các vị trí có số thứ tự lẻ có \(\mathrm{P}_4=4!\) cách.
Xếp \(4\) học sinh nữa vào các vị trí có số thứ tự chẵn có \(\mathrm{P}_4=4!\) cách.
Khi đó số cách xếp chỗ đứng trong trường hợp học sinh nam đứng đầu là \(4!\cdot4!=576\).
\(+\,\) Trường hợp 2: Học sinh nữ đứng trước.
Tương tự, số cách xếp chỗ đứng trong trường hợp học sinh nữ đứng đầu là \(4!\cdot4!=576\).
Vậy số cách xếp chỗ đứng để các học sinh nam và nữ đứng xen kẽ nhau là \(576+576=1152\).
Một trường học tổ chức cho \(90\) học sinh đi xem kịch ở rạp hát thành phố. Các ghế ở rạp được sắp thành các hàng, mỗi hàng có \(30\) ghế.
\(\bullet\,\) Có bao nhiêu cách sắp xếp \(30\) học sinh để ngồi vào hàng ghế đầu tiên?
\(\bullet\,\) Sau khi xếp xong hàng đầu tiên, có bao nhiêu cách sắp xếp \(30\) học sinh để ngồi vào hàng ghế thứ hai?
\(\bullet\,\) Sau khi xếp xong hai hàng đầu, có bao nhiêu cách sắp xếp \(30\) học sinh để ngồi vào hàng ghế thứ ba?
\(\bullet\,\) Mỗi một cách xếp \(30\) học sinh ngồi vào hàng ghế đầu tiên là một chỉnh hợp chập \(30\) của \(90\) học sinh, do đó số cách xếp chỗ ngồi cho hàng ghế đầu là \(\mathrm{A}^{30}_{90}\).
\(\bullet\,\) Sau khi xếp xong hàng đầu tiên, mỗi một cách xếp \(30\) học sinh ngồi vào hàng ghế thứ hai là một chỉnh hợp chập \(30\) của \(60\) học sinh, do đó số cách xếp chỗ ngồi cho hàng ghế thứ hai là \(\mathrm{A}^{30}_{60}\).
\(\bullet\,\) Sau khi xếp xong hai hàng đầu tiên, mỗi một cách xếp \(30\) học sinh ngồi vào hàng ghế cuối cùng là một hoán vị của \(30\) học sinh còn lại, do đó số cách xếp chỗ ngồi cho hàng ghế thứ ba là \(\mathrm{P}_{30}=30!\).
Bạn Đan chọn mật khẩu cho email của mình gồm \(6\) kí tự đôi một khác nhau, trong đó, \(2\) kí tự đầu tiên là \(2\) chữ cái in thường, \(3\) kí tự tiếp theo là chữ số, kí tự cuối cùng là \(1\) trong \(3\) kí tự đặc biệt. Bạn Đan có bao nhiêu cách tạo ra một mật khẩu?
Mỗi bộ hai kí tự đầu có thể lập được là một cách chọn \(2\) chữ cái từ \(26\) chữ cái và sắp xếp thứ tự của chúng, tức là một chỉnh hợp chập \(2\) của \(26\) phần tử. Vậy có \(\mathrm{A}^2_{26}\) cách.
Mỗi bộ ba kí tự tiếp theo có thể lập được là một cách chọn \(3\) chữ số từ \(10\) chữ số và sắp xếp thứ tự của chúng, tức là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(10\) phần tử. Vậy có \(\mathrm{A}^3_{10}\) cách.
Có \(3\) cách chọn kí tự đặc biệt để gán cho kí tự cuối cùng của mật khẩu.
Vậy số cách để tạo ra một mật khẩu cho bạn Đan là \(S=\mathrm{A}^2_{26}\cdot\mathrm{A}^3_{10}\cdot3=1404000\).
Một lớp có \(40\) học sinh chụp ảnh tổng kết năm học. Lớp đó muốn trong bức ảnh có \(18\) học sinh ngồi ở hàng đầu và \(22\) học sinh đứng ở hàng sau. Có bao nhiêu cách xếp vị trí chụp ảnh như vậy?
\(\bullet\,\) Mỗi cách xếp \(18\) học sinh đứng ở hàng đầu là một chỉnh hợp chập \(18\) của \(40\) học sinh, do vậy số cách xếp chỗ đứng cho hàng đầu là \(\mathrm{A}^{18}_{40}\).
\(\bullet\,\) Mỗi cách xếp \(22\) học sinh còn lại vào hàng sau là một hoán vị của \(22\) học sinh còn lại, do vậy số cách xếp chỗ đứng cho hàng sau là \(\mathrm{P}_{22}=22!\).
Vậy số cách xếp chỗ đứng là \(S=\mathrm{A}^{18}_{22}\cdot22!\) cách.
\textbf{Cách 2: }Ta xem mỗi cách xếp ở cả hai hàng cùng một lúc là một hoán vị của \(40\) học sinh, vậy có \(\mathrm{P}_{40}=40!\) cách xếp chỗ đứng.
Tính số đoạn thẳng có hai đầu mút là \(2\) trong \(10\) điểm phân biệt.
Mỗi đoạn thẳng có hai đầu mút là \(2\) trong \(10\) điểm phân biệt là một tổ hợp chập \(2\) của \(10\) phần tử.
Vậy số đoạn thẳng cần tìm là \(\mathrm{C}_{10}^2= 45\) (đoạn thẳng).
Cho \(n\) điểm phân biệt (\(n>1\)). Biết rằng, số đoạn thẳng có hai đầu mút là \(2\) trong \(n\) điểm đã cho bằng \(78\). Tìm \(n\).
Mỗi đoạn thẳng có hai đầu mút là \(2\) trong \(n\) điểm phân biệt là một tổ hợp chập \(2\) của \(n\) phần tử.
Số đoạn thẳng thoả mãn bài toán là \(\mathrm{C}_n^2= \displaystyle\frac{n(n-1)}{2}\).
Do đó \(\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}= 78\) \(\Leftrightarrow n^2-n-156=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&n=13 &\text{ (nhận)}\\ &n=-12 &\text{ (loại)}.\end{aligned}\right.\)
Vậy \(n=13\).
Tính số đường chéo của một đa giác lồi có \(12\) đỉnh.
Số đoạn thẳng có hai hai đầu mút là \(2\) trong \(12\) đỉnh là \(\mathrm{C}_{12}^2= 66\).
Số cạnh của đa giác đã cho là \(12\).
Vậy số đường chéo cần tìm là \(66-12=54\) (đường chéo).
Cho đa giác lồi \(n\) đỉnh (\(n>3\)). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là \(170\). Tìm \(n\).
Số đoạn thẳng có hai hai đầu mút là \(2\) trong \(n\) đỉnh là \(\mathrm{C}_n^2= \displaystyle\frac{n(n-1)}{2}\).
Số cạnh của đa giác đã cho là \(n\).
Do đó số đường chéo là \(\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}-n\).
Suy ra \(\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}-n=170\) \(\Leftrightarrow n^2-3n-340=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&n= 20 &\text{ (nhận)}\\ &n=-17 &\text{ (loại).}\end{aligned}\right.\)
Vậy \(n=20\).
Bạn Nam đến cửa hàng mua \(2\) chiếc ghế loại A. Tại cửa hàng, ghế loại A màu xanh có \(20\) chiếc và ghế loại A màu đỏ có \(15\) chiếc. Hỏi bạn Nam có bao nhiêu cách chọn mua \(2\) chiếc ghế loại A?
Tổng số ghế loại A của cửa hàng là \(20+15=35\).
Mỗi cách chọn \(2\) chiếc ghế từ \(35\) chiếc loại A là một tổ hợp chập \(2\) của \(35\) phần tử.
Vậy số cách bạn Nam chọn mua \(2\) chiếc ghế loại A là \(\mathrm{C}_{35}^2= 595\).
Chứng minh rằng
\(\bullet\,\) \(k\mathrm{C}_n^k = n \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\) với \(1 \le k \le n\).
\(\bullet\,\) \(\displaystyle\frac{1}{k+1}\mathrm{C}_n^k = \displaystyle\frac{1}{n+1} \mathrm{C}_{n+1}^{k+1}\) với \(0\le k \le n\).
\(\bullet\,\) Với \(1 \le k \le n\), ta có
\begin{eqnarray*}k\mathrm{C}_n^k &=& k \cdot \displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}\\&=& \displaystyle\frac{n!}{(k-1)!(n-k!)}\\&=& n \cdot \displaystyle\frac{(n-1)!}{(k-1)! \left[ (n-1)-(k-1)\right]!} = n \mathrm{C}_{n-1}^{k-1}.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) Với \(0\le k \le n\), ta có
\begin{eqnarray*}\displaystyle\frac{1}{k+1} \mathrm{C}_n^k &=& \displaystyle\frac{1}{k+1} \cdot \displaystyle\frac{n!}{k! (n-k)!}\\&=& \displaystyle\frac{n!}{(k+1)! (n-k)!}\\&=& \displaystyle\frac{1}{n+1} \cdot \displaystyle\frac{(n+1)!}{(k+1)! \left[ (n+1)-(k+1)\right]!}= \displaystyle\frac{1}{n+1} \mathrm{C}_{n+1}^{k+1}.\end{eqnarray*}