Bài 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\), \(y\).
+ Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+ Trong mặt phẳng \(Oxy\), tập hợp các điểm \((x_0;y_0)\) có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
Ví dụ. Tìm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các hệ sau:
a. \(\begin{cases}3x+y-1 \leq 0 \\ 2x-y+2 \geq 0.\end{cases}\)
b. \(\begin{cases}5x+y-9=0 \\ 4x-7y+3=0.\end{cases}\)
c. \(\begin{cases}y-1<0 \\ x+2 \geq 0.\end{cases}\)
d. \(\begin{cases}x+y-3\leq 0 \\ -2x+y+3\geq 0 \\ x \geq 0\\ y\geq 0.\end{cases}\)
+ Các hệ a), c), d) là các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Hệ b) không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì hệ này chỉ gồm các phương trình.
2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta thực hiện như sau:
\(-\) Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.
\(-\) Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Ví dụ 1. Biểu diễn miền nghiệm của hệ: \(\begin{cases}2x-y-3 \leq 0 \\ 2x-y+2 \leq 0.\end{cases}\)
+ Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng \(Oxy\).
+ Miền không gạch chéo (miền tứ giác \(OABC\), bao gồm cả các cạnh) trong hình bên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Ví dụ 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phươmg trình: \(\begin{cases}3x+y \leq 6 \\x+y \leq 4 \\x \geq 0 \\y \geq 0.\end{cases}\)
+ Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng \(Oxy\).
+ Miền không gạch chéo (kể cả bờ) trong hình bên là phần giao của hai miền nghiệm của hai bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Chú ý.
Miền mặt phẳng tọa độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó được gọi là một miền đa giác. Chẳng hạn, ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình trong ví dụ trên là miền tứ giác \(OABC\).
3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F=ax+by\) trên một miền đa giác
Hệ bất phương trình giúp ta mô tả được nhiều bài toán thực tế để tìm ra cách giải quyết tối ưu. Chúng thường được đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biếu thức \(F=ax+by\) trên một miền đa giác.
Người ta chứng minh được \(F\) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác.
Ví dụ 1. Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên môt mảnh đất có diện tích \(8\) ha. Nếu trồng \(1\) ha ngô thì cần \(20\) ngày công và thu được \(40\) triệu đồng. Nếu trồng \(1\) ha đậu xanh thì cần \(30\) ngày công và thu được \(50\) triệu đồng. Bác Năm cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá \(180\) ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh.
Gọi \(x\) là số hecta đất trồng ngô và \(y\) là số hecta đất trồng đậu xanh.
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với \(x, y\) như sau:
+ Hiển nhiên \(x \geq 0\), \(y \geq 0\).
+ Diện tích canh tác không vượt quá \(8\) ha nên \(x+y \leq 8\).
+ Số ngày công sử dụng không vượt quá \(180\) nên \(20x+30y \leq 180\).
Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc:
\(\quad\) \(\begin{cases}x+y \leq 8 \\ 20x+30y \leq 180 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0.\end{cases}\)
+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ truc toạ độ \(Oxy\), ta được miền tứ giác \(OABC\).
+ Tọa độ các đỉnh của tứ giác đó là:
\(\quad\) \(O(0;0),\; A(0;6),\; B(6;2),\; C(8;0).\)
+ Gọi \(F\) là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác Năm thu được, ta có:
\(\quad\) \(F=40x+50y.\)
+ Ta phải tìm \(x\), \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình sao cho \(F\) đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F=40x+50y\) trên miền tứ giác \(OABC\).
+ Tính các giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của đa giác, ta có:
\(\bullet\ \) Tại \(O(0;0): F=40\cdot 0+50\cdot 0=0\).
\(\bullet\ \) Tại \(A(0;6): F=40\cdot 0+50\cdot 6=300\).
\(\bullet\ \) Tại \(B(6;2): F=40\cdot 6+50\cdot 2=340\).
\(\bullet\ \) Tại \(C(8;0): F=40\cdot 8+50\cdot 0=320\).
\(\Rightarrow\) \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(340\) tại \(B(6;2)\).
Vậy để thu được nhiều tiền nhất, bác Năm cần trồng \(6\) ha ngô và \(2\) ha đậu xanh.
Ví dụ 2. Một người dùng ba loại nguyên liệu \(A\), \(B\), \(C\) để sản xuất ra hai loại sản phẩm \(P\) và \(Q\). Để sản xuất \(1 \mathrm{kg}\) mỗi loại sản phẩm \(P\) hoặc \(Q\) phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra \(1 \mathrm{kg}\) sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:
| Loại nguyên liệu | Số kg nguyên liệu đang có | Số kg từng loại nguyên liệu cần để sản xuất 1kg sản phẩm | |
|---|---|---|---|
| P | Q | ||
| A | 10 | 2 | 2 |
| B | 4 | 0 | 2 |
| C | 12 | 2 | 4 |
Biết \(1\mathrm{kg}\) sản phẩm \(P\) có lợi nhuận 3 triệu đồng và \(1\mathrm{kg}\) sản phẩm \(Q\) có lợi nhuận \(5\) triệu đồng. Hãy lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất.
+ Gọi \(x\) là số kilôgam sản phẩm \(P\), \(y\) là số kilôgam sản phẩm \(Q\) cần sản xuất.
+ Ta có hệ bất phương trình:
\(\quad\) \(\begin{cases}2x+2y \leq 10 \\2y \leq 4 \\2x+4y \leq 12 \\x \geq 0 \\y \geq 0.\end{cases}\)
+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), ta được như hình bên.
+ Miền nghiệm là miền ngũ giác \(OCBAD\) (hình bên) với các đỉnh:
\(\quad\) \(O(0;0),\;\) \(C(0;2),\;\) \(B(2;2),\;\) \(A(4;1),\;\) \(D(5;0).\)
+ Gọi \(F\) là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thu được, ta có: \(F=3x+5y\).
+ Tính giá trị của \(F\) tại các đỉnh của ngũ giác:
\(\bullet\ \) Tại \(O(0;0): F=3\cdot 0+5\cdot 0=0\).
\(\bullet\ \) Tại \(C(0;2): F=3\cdot 0+5\cdot 2=10\).
\(\bullet\ \) Tại \(B(2;2): F=3\cdot 2+5\cdot 2=16\).
\(\bullet\ \) Tại \(A(4;1): F=3\cdot 4+5\cdot 1=17\).
\(\bullet\ \) Tại \(D(5;0): F=3\cdot 5+5\cdot 0=15\).
\(\Rightarrow\) \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(17\) tại \(A(4;1)\).
+ Vậy người đó cần sản xuất \(4 \mathrm{kg}\) sản phẩm \(P\) và \(1 \mathrm{kg}\) sản phẩm \(Q\) để có lãi cao nhất là \(17\) triệu đồng.
BÀI TẬP
Bài tập 1. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau
a. \(\begin{cases}x+y-3\geq 0\\x\geq 0\\y\geq 0;\end{cases}\)
b. \(\begin{cases}x-2y<0\\x+3y>-2\\y-x<3;\end{cases}\)
c. \(\begin{cases}x\geq 1\\x\leq 4\\x+y-5\leq 0\\y\geq 0.\end{cases}\)
a. Miền nghiệm của hệ \(\begin{cases}x+y-3\geq 0\\x\geq 0\\y\geq 0\end{cases}\) là phần không bị gạch trong hình vẽ dưới đây
b. Miền nghiệm của hệ \(\begin{cases}x-2y<0\\x+3y>-2\\y-x<3\end{cases}\) là phần không bị gạch trong hình vẽ dưới đây
c. Miền nghiệm của hệ \(\begin{cases}x\geq 1\\x\leq 4\\x+y-5\leq 0\\y\geq 0\end{cases}\) là phần không bị gạch trong hình vẽ dưới đây
Bài tập 2. Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là \(A\) và \(B\). Cứ sản xuất mỗi thùng loại \(A\) thì nhà máy thải ra \(0{,}25\) kg khí carbon dioxide (\(\mathrm{CO}_{2}\)) và \(0{,}60\) kg khí sulfur dioxide (\(\mathrm{SO}_{2}\)), sản xuất mỗi thùng loại \(B\) thì thải ra \(0{,}50\) kg \(\mathrm{CO_2}\) và \(0{,}20\) kg \(\mathrm{SO}\). Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng \(\mathrm{CO}_{2}\) của nhà máy tối đa là \(75\) kg và \(\mathrm{SO}_{2}\) tối đa là \(90\) kg mỗi ngày.
a. Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng toạ độ.
b. Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại \(A\) và 80 thùng loại \(B\) mỗi ngày có phù hợp với quy định không?
c. Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại \(A\) và 160 thùng loại \(B\) mỗi ngày có phù hợp với quy định không?
a. Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số thùng loại \(A\) và \(B\) mà nhà máy có thể sản xuất.
Ta có hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế là
\(\begin{cases} 0{,}25x+0{,}5y \leq 75 \\ 0{,}6x+0{,}2y \leq 90 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0.\end{cases}\)
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng toạ độ là phần tô đậm trong hình bên.
b. Điểm \(M(100 ; 80)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Vậy sản xuất 100 thùng loại \(A\) và 80 thùng loại \(B\) mỗi ngày là phù hợp với quy định.
c. Điểm \(N(60 ; 160)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Vậy sản xuất 60 thùng loại \(A\) và 160 thùng loại \(B\) mỗi ngày là không phù hợp với quy định.
Bài tập 3. Bạn Lan thu xếp được không quá 10 giờ để làm hai loại đèn trung thu tặng cho các trẻ em khuyết tật. Loại đèn hình con cá cần 2 giờ để làm xong 1 cái, còn loại đèn ông sao chỉ cần 1 giờ để làm xong 1 cái. Gọi \(x, y\) lần lượt là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm. Hãy lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của \(x, y\) và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
Hệ bất phương trình mô tả điều kiện của \(x, y\) là
\(\begin{cases} 2 x+y \leq 10 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0\end{cases}\)
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần tô đậm trong hình bên.
Bài tập 4. Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân làm bằng tay để bán trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp loại lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.
Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số thiệp loại nhỏ và loại lớn.
Ta có hệ bất phương trình sau
\(\begin{cases} x+y \geq 12 \\ 2x+3y \leq 30 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0.\end{cases}\)
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được miền tam giác \(ABC\) có toạ độ các đỉnh là \(A(12;0)\), \(B(15;0)\), \(C(6;6)\).
Số tiền bạn đó thu được \(F=10x+20y\) đạt giá trị lớn nhất là 180 nghìn đồng tại đỉnh \(C(6;6)\).
Bài tập 5. Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn: đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350 calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao 700 calo với chi phí 50000 đồng/giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7000 calo một tuần. Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai trường hợp sau
a. Mạnh muốn chi phí luyện tập là ít nhất.
b. Mạnh muốn số calo tiêu hao là nhiều nhất.
+ Gọi \(x\) là số giờ đạp xe và \(y\) là số giờ tập tạ trong tuần. Ta có hệ bất phương trình
\(\quad\) \(\begin{cases} x+y \leq 12 \\ 350 x+700 y \leq 7000 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0.\end{cases}\)
+ Biểu diễn miền nghiệm là phần tô đậm trong hình bên.
a. Chi phí luyện tập \(F=0x+50y\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\) tại \((12;0)\).
b. Số calo tiêu hao \(G=350x+700y\) đạt giá trị lớn nhất bằng 7000 tại \((4;8)\) hoặc tại \((0;10)\).
