a. Biểu thức \(f(x)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(2x-6 \neq 0\), tức là khi \(x \neq 3\).

Vậy tập xác định của hàm số này là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

b. Biểu thức \(f(x)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(5-x \geq 0\), tức là khi \(x \leq 5\).

Vậy tập xác định của hàm số này là \(\mathscr{D}=(-\infty;5]\).

a. Hàm số xác định khi \(-2x+2\ne 0 \Leftrightarrow x\ne 1\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

b. Hàm số xác định khi

\(\left\{\begin{aligned}&2x+1\ne 0\\ &x-3\ne 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &x\ne -\dfrac{1}{2}\\&x\ne 3.\end{aligned}\right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{-\dfrac{1}{2};3\right\}\).

c. Ta có \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

d. Hàm số xác định khi

\(\begin{aligned}&x^3-3x+2\ne 0\\ \Leftrightarrow\ &(x-1)(x^2+x-2)\ne 0\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned}&x-1\ne 0\\ &x^2+x-2\ne 0\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned}&x\ne 1\\ &\left\{\begin{aligned}&x\ne 1\\ &x\ne -2\end{aligned}\right. \end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned} &x\ne 1\\ &x\ne -2. \end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{-2;1\}\).

a. Hàm số xác định khi \(3x-2\geqslant 0 \Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{2}{3}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\left[\dfrac{2}{3};+\infty \right)\).

b. Ta có \(x^2+1>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

c. Hàm số xác định khi

\(\left\{\begin{aligned}&-2x+3\geqslant 0\\ &x-1\geqslant 0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x\leqslant \dfrac{3}{2}\\ &x\geqslant 1 \end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow 1\leqslant x\leqslant \dfrac{3}{2}.\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\left[1;\dfrac{3}{2}\right]\).

Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số có miền giá trị là \(T=[-3;2].\)

a. Vì \(4 \in[-3;5]\) nên điểm \(A\) có hoành độ bằng \(4\) và có tung độ \(y=\displaystyle\frac{1}{8} \cdot 4^2=2\) là điểm thuộc đồ thị \((C)\).

b. Khi lấy điểm \(B\) tuỳ ý trên đồ thị \((C)\) thì hoành độ \(x_{B}\) của điểm này thuộc tập xác định \(D\), nghĩa là \(-3 \leq x_{B} \leq 5\).

Đồ thị của hàm số gồm 7 điểm như hình dưới đây

a. Xét hàm số \(y=f(x)=3 x-1\). Hàm số này xác định trên \(\mathbb{R}\).

Lấy \(x_{1}, x_{2}\) là hai số tuỳ ý sao cho \(x_{1}< x_{2}\), ta có

\(x_{1}< x_{2} \Rightarrow 3 x_{1}<3 x_{2}\) \(\Rightarrow 3 x_{1}-1<3 x_{2}-1\) \(\Rightarrow f\left(x_{1}\right)< f\left(x_{2}\right).\)

Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên \(\mathbb{R}\).

b. Xét hàm số \(y=x^{2}\) trên khoảng \((-\infty;0)\).

Lấy \(x_{1}, x_{2}\) tuỳ ý sao cho \(x_{1}< x_{2}\), ta có

\(f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\) \(=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right).\)

Do \(x_{1}< x_{2}\) nên \(x_{1}-x_{2}<0\) và do \(x_{1}, x_{2} \in(-\infty;0)\) nên \(x_{1}+x_{2}<0\).

Từ đây suy ra \(f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)>0\) hay \(f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)\).

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng \((-\infty;0)\).

c. Từ đồ thị, ta thấy hàm số xác định trên \([-3;7]\).

+ Trên khoảng \((-3;-2)\), đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng \((-3;-2)\).

+ Trên khoảng \((-2;5)\), đồ thị có dạng đi xuống từ trái sang phải nên hàm số này nghịch biến trên khoảng \((-2;5)\).

+ Trên khoảng \((5;7)\), đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng \((5;7)\).

+ Khi bắt đầu đi từ tầng ba xuống tầng một, Sơn ngày càng gần mặt đất nên khoảng cách từ vị trí của Sơn đến mặt đất giảm dần, hay hàm số giảm, vậy đồ thị phải có dạng đi xuống.

+ Khi đi từ tầng một lên tầng sáu để đưa thư cho bà ngoại, Sơn ngày càng xa mặt đất nên khoảng cách từ vị trí của Sơn đến mặt đất tăng dần, hay hàm số tăng, vậy đồ thị phải có dạng đi lên.

+ Khi đi từ tầng sáu về nhà mình, Sơn ngày càng gần mặt đất nên khoảng cách từ vị trí của Sơn đến mặt đất giảm dần, hay hàm số giảm, vậy đồ thị phải có dạng đi xuống.

+ Đồ thị \((C_2)\) có dạng tương ứng như mô tả ở trên. Do đó, \((C_2)\) là đồ thị của hàm số \(y=h(t)\) này.

a. \(f(x)=\sqrt{-5x+3}\).

Hàm số xác định khi và chỉ khi

\(\quad\) \(-5x+3\ge 0\Leftrightarrow x\le \displaystyle\frac{3}{5}\).

Vậy tập xác định \(\mathscr{D}=\left(-\infty;\displaystyle\frac{3}{5}\right]\).

b. \(f(x)=2+\displaystyle\frac{1}{x+3}\).

Hàm số xác định khi và chỉ khi

\(\quad\) \(x+3\ne 0\Leftrightarrow x\ne -3\).

Vậy tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{-3\}\).

Dựa vào đồ thị của hàm số, ta thấy hàm số có tập xác định \(\mathscr{D}=[-1;9]\) và tập giá trị \(T=[-2;6]\).

a. Xét hàm số \(f(x)=-5x+2\). Hàm số này có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Lấy \(x_1\), \(x_2\) là hai số tùy ý sao cho \(x_1< x_2\), ta có

\(\begin{aligned}x_1< x_2\Rightarrow\ &-5x_1>-5x_2\\ \Rightarrow\ &-5x_1+2>-5x_2+2\\ \Rightarrow\ &f(x_1)>f(x_2).\end{aligned}\)

Vậy hàm số \(f(x)=-5x+2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

b. Xét hàm số \(f(x)=-x^2\). Hàm số này có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Lấy \(x_1\), \(x_2\) tùy ý sao cho \(x_1< x_2\), ta có

\(\begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=-x_1^2+x_2^2\\ &=-(x_1-x_2)(x_1+x_2)\end{aligned}\).

\(\blacksquare\ \) Xét trên khoảng \((-\infty;0)\):

Vì \(x_1< x_2\) nên \(x_1-x_2<0\) và do \(x_1,\ x_2\in (-\infty;0)\) nên \(x_1+x_2<0\).

Từ đó suy ra \((x_1-x_2)(x_1+x_2)>0\) \(\Rightarrow f(x_1)-f(x_2)<0\) hay \(f(x_1)< f(x_2)\).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;0)\).

\(\blacksquare\ \) Xét trên khoảng \((0;+\infty)\):

Vì \(x_1< x_2\) nên \(x_1-x_2<0\) và do \(x_1,\ x_2\in (0;+\infty)\) nên \(x_1+x_2>0\).

Từ đó suy ra \((x_1-x_2)(x_1+x_2)<0\) \(\Rightarrow f(x_1)-f(x_2)>0\) hay \(f(x_1)>f(x_2)\).

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\).

Hàm số có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Tập giá trị \(T=\{-1;1\}\).

Đồ thị của hàm số

Gọi \(x\) là số kilômét hành khách di chuyển \((x\ge 0)\).

a. Khi đã lên taxi \(4\) chỗ, hành khách luôn phải trả \(11000\) đồng dù đi hay không, do đó số tiền phải trả luôn bao gồm \(11000\) đồng này.

+ Nếu \(0\le x\le 0{,}5\) thì số tiền phải trả là \(11000\) đồng.

+ Nếu \(0{,}5< x\le 31\) thì số tiền phải trả là

\(\quad\) \(11000+14500(x-0{,}5)=3750+14500x.\)

+ \(x>30\) thì số tiền phải trả là

\(\quad\) \(11000+14500\cdot (30-0{,}5)+11600(x-30)\) \(=90750+11600x.\)

Vậy hàm số \(f(x)\) có công thức \(f(x)=\begin{cases}11000 &\text{với } 0\le x\le 0{,}5\\ 3750+14500x&\text{với } 0{,}5< x\le 30\\ 90750+11600x&\text{với } x>30.\end{cases}\)

Tương tự, đối với taxi \(7\) chỗ, hàm số \(g(x)\) có công thức \(g(x)=\begin{cases} 11000 &\text{với } 0\le x\le 0{,}5\\ 3250+15500x&\text{với } 0{,}5< x\le 30\\ 60250+13600x&\text{với } x>30.\end{cases}\)

b. Khi có \(30\) hành khách, nếu đặt toàn bộ xe \(4\) chỗ thì cần đặt \(8\) xe. Khi đó, số tiền taxi phải trả là

\(f_1(x)=\begin{cases} 8\cdot 11000 &\text{với } 0\le x\le 0{,}5\\ 8(3750+14500x)&\text{với } 0{,}5< x\le 30\\ 8(90750+11600x)&\text{với } x>30.\end{cases}\)

Nếu đặt toàn bộ xe \(7\) chỗ thì cần đặt \(5\) xe. Khi đó, số tiền taxi phải trả là

\(g_1(x)=\begin{cases} 5\cdot 11000 &\text{với } 0\le x\le 0{,}5\\ 5(3250+15500x)&\text{với } 0{,}5< x\le 30\\ 5(60250+13600x)&\text{với } x>30.\end{cases}\)

Ta cần so sánh \(f_1(x)\) với \(g_1(x)\).

Xét hiệu số \(f_1(x)-g_1(x)\).

+ Khi \(0\le x\le 0{,}5\), ta có

\(f_1(x)-g_1(x)=8\cdot 11000-5\cdot 11000\) \(=33000>0\).

Do đó \(f_1(x)>g_1(x)\).

Nghĩa là khi \(30\) người di chuyển quãng đường ít hơn hoặc bằng \(0{,}5\) km bằng taxi thì đi xe \(4\) chỗ sẽ tốn nhiều tiền hơn đi xe \(7\) chỗ.

+ Khi \(0{,}5< x\le 30\), ta có

\(f_1(x)-g_1(x)\) \(=8(3750+14500x)-5(3250+15500x)\) \(=13750+38500x.\)

Vì \(x>0\) nên \(f_1(x)-g_1(x)>0\) hay \(f_1(x)>g_1(x)\).

Nghĩa là khi \(30\) người di chuyển quãng đường trên \(0{,}5\) km đến \(30\) km bằng taxi thì đi xe \(4\) chỗ sẽ tốn nhiều tiền hơn đi xe \(7\) chỗ.

+ Khi \(x>30\), ta có

\(f_1(x)-g_1(x)\) \(=8(90750+11600x)-5(60250+13600x)\) \(=424750+24800x.\)

Vì \(x>0\) nên \(f_1(x)-g_1(x)>0\) hay \(f_1(x)>g_1(x)\).

Nghĩa là khi \(30\) người di chuyển quãng đường từ \(30\) km trở đi bằng taxi thì đi xe \(4\) chỗ sẽ tốn nhiều tiền hơn đi xe \(7\) chỗ.

Từ ba trường hợp trên, ta đưa ra kết luận: Nếu cần đặt xe taxi cho \(30\) hành khách thì nên đặt toàn bộ xe \(7\) chỗ sẽ có lợi hơn (tiết kiệm chi phí hơn đặt toàn bộ xe \(4\) chỗ).

+ Số \(x\) đi qua máy bình phương thì biến đổi thành \(x^2\);

+ \(x^2\) đi qua máy tăng gấp ba lần thì biến đổi thành \(3x^2\);

+ \(3x^2\) đi qua máy lấy bớt đi \(5\) thì biến đổi thành \(3x^2-5\).

Vậy \(f(x)=3x^2-5\).