+ Trong các hàm số đã cho, hàm số \(y=2x^2+x\) và \(y=-3x^2-1\) đều là hàm số bậc hai.

+ Các hàm số \(y=x^3+x+1\); \(y=\displaystyle\frac{x+1}{x+2}\); \(y=\sqrt{5-2x}\) không phải là hàm số bậc hai.

+ Đỉnh \(S\) có tọa độ \(x_S=\displaystyle\frac{-b}{2a}=\displaystyle\frac{-4}{2\cdot (-1)}=2\); \(y_S=-2^2+4\cdot 2-3=1\) hay \(S(2;1)\).

+ Vì hàm số bậc hai có \(a=-1<0\) nên ta có bảng biến thiên sau

+ Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\) khi \(x=2\).

a. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (vị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung).

+ Với \(g=9{,}8\) m/s\(^2\), góc phát cầu \(\alpha =30^\circ\), vận tốc ban đầu \(v_0=8\) m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là

\(\quad\) \(y=-\displaystyle\frac{4{,}9}{48}x^2+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}x+0{,}7 \text{ (với \(x\ge 0\))}.\)

+ Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình

\(\quad\) \(-\displaystyle\frac{4{,}9}{48}x^2+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}x+0{,}7=0\) ta được \(x_1\approx -1{,}03\) và \(x_2\approx 6{,}68\).

+ Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là \(6{,}68\) m.

b. Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ.

+ Ta cần so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới để tìm câu trả lời.

+ Khi \(x=4\), ta có \(y=-\displaystyle\frac{4{,}9}{48}\cdot 4^2+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 4+0{,}7\approx 1{,}38\).

+ Suy ra \(y<1{,}524\).

+ Như vậy lần phát cầu đã bị hỏng vì điểm trên quỹ đạo của cầu thấp hơn mép trên của lưới.

a. \(y=9x^2+5x+4\) là hàm số bậc hai.

b. \(y=3x^3+2x+1\) không là hàm số bậc hai.

c. \(y=-4(x+2)^3+2(2x^3+1)+5\) \(\Rightarrow y=-4(x^3+6x^2+12x+8)+4x^3+7\) \(\Rightarrow y=6x^2+12x+15\), đây là hàm số bậc hai.

d. \(y=5x^2+\sqrt{x}+2\) không là hàm số bậc hai.

a. Hàm số \(y=mx^4+(m+1)x^2+x+3\) là hàm số bậc hai khi và chỉ khi

\(\quad\) \(\begin{cases}m=0\\m+1\ne 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m=0\\m\ne -1\end{cases}\Leftrightarrow m=0.\)

Hàm số \(y=(m-2)x^3+(m-1)x^2+5\) là hàm số bậc hai khi và chỉ khi

\(\quad\) \(\begin{cases}m-2=0\\m-1\ne 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m=2\\m\ne 1\end{cases}\Leftrightarrow m=2.\)

Đỉnh \(S\) có tọa độ \(x_S=\displaystyle\frac{-b}{2a}=\displaystyle\frac{-2}{2\cdot 1}=-1\); \(y_S=(-1)^2+2\cdot (-1)+3=2\) hay \(S(-1;2)\).

Vì hàm số bậc hai có \(a=1>0\) nên ta có bảng biến thiên sau

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \(2\) khi \(x=-1\).

a. Ta có \(f(0)=1\Rightarrow c=1\) và

\(\begin{cases}f(1)=2\\f(2)=5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a+b+c=2\\ 4a+2b+c=5\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}a+b=1\\ 4a+2b=4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=1\\b=0.\end{cases}\)

Vậy hàm số \(y=f(x)=x^2+1\).

b. Hàm số có công thức \(y=f(x)=x^2+1\).

Ta có \(-\displaystyle\frac{b}{2a}=0\); \(f(0)=1\) và có \(a=1>0\) nên hàm số có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

+ Tập giá trị của hàm số là \((1;+\infty)\).

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\) và đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\).

Ta có

\(-\displaystyle\frac{b}{2a}=-\displaystyle\frac{1}{4}\);

\(f\left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)=2\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)^2-\displaystyle\frac{1}{4}+m\) \(=m-\displaystyle\frac{1}{8}\)

và \(a=2>0\) nên hàm số có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \(m-\displaystyle\frac{1}{8}\) khi \(x=-\displaystyle\frac{1}{4}\).

Khi đó hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \(5\) khi và chỉ khi

\(m-\displaystyle\frac{1}{8}=5\Leftrightarrow m=\displaystyle\frac{41}{8}\).

Dựa vào hướng quay bề lõm của parabol và giao điểm với trục tung, ta xác định đồ thị ứng với hàm số như sau

+ Hàm số bậc hai có công thức tổng quát \(y=f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\) khác \(0\)).

+ Dựa vào đồ thị, ta thấy đây là một parabol cắt trục tung tại điểm \((0;-4)\), cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ lần lượt là \((-1;0)\) và \((4;0)\) nên \(f(0)=-4\Rightarrow c=-4\) và

\(\quad\) \(\begin{cases}f(-1)=0\\f(4)=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a-b-4=0\\16a+4b-4=0\end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases}a=1\\b=-3.\end{cases}\)

Vậy \(y=x^2-3x-4\).

+ họn hệ trục tọa độ sao cho đầu mút \(A\) của dây ngắn nhất thuộc trục tung và thanh ngang mặt cầu thuộc trục hoành. Gọi \(B\) là điểm đầu mút bên phải (khi nhìn thẳng vào mặt bên của thành cầu) của dây cáp dài nhất thì với các giả thiết:

\(\quad\) \(\bullet\) Dây dài nhất là \(5\) m, dây ngắn nhất là \(0{,}8\) m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

\(\quad\) \(\bullet\) Nhịp cầu dài \(30\) m.

+ Ngoài ra, từ bản vẽ ta thấy có tất cả \(21\) dây cáp dọc. Suy ra \(A(0;0{,}8)\), \(B(15;5)\).

+ Do parabol nhận trục tung là trục đối xứng nên hàm số có công thức \(y=f(x)=ax^2+c\).

+ Ta tìm được \(a=\displaystyle\frac{4{,}2}{225}\) và \(c=0{,}8\).

+ Như vậy \(y=\displaystyle\frac{4{,}2}{225}x^2+0{,}8\).

+ Chiều dài mỗi dây cáp dọc về mặt lý thuyết là tung độ điểm ứng với đầu mút trên cao của dây cáp, ví dụ dây cáp có đầu mút \(A\) có chiều dài bằng tung độ điểm \(A\).

+ Do tính đối xứng, ta có thể xét chiều dài các dây cáp bên phải rồi nhân hai thay vì tính chiều dài tất cả các dây cáp. Riêng dây cáp tại \(A\) chỉ tính một lần. Và các dây cáp cách đều nhau nên chiều dài \(21\) dây cáp cho một mặt là

\(\begin{aligned}L &= f(0)\\ &+2[f(1{,}5)+f(3)+f(4{,}5)+f(6)+f(7{,}5)\\ &+f(9)+f(10{,}5)+f(12) +f(13{,}5) +f(15)]\\ &= 0{,}8+2\cdot (0{,}842+0{,}968+1{,}178 +1{,}472\\ &+1{,}850+2{,}312+ 2{,}858+3{,}488+4{,}202+5)\\ &= 49{,}14 \text{ (m).}\end{aligned}\)

+ Do cần tính thêm \(5\)\% chiều dài mỗi sợi dây cáp neo cố định và cần \(2\) mặt thành cầu nên chiều dài cáp cần sử dụng cho hai mặt là \(2\cdot 49{,}14\cdot 105\)\% \(=103{,}194\) (m).

+ Vậy chiều dài cáp cần sử dụng là khoảng \(103{,}2\) m.