Bài 3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
1. Giải tam giác
Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.
Ví dụ 1. Giải tam giác \( ABC \) trong các trường hợp sau
a. \( AB=85 \), \( AC=95 \) và \( \widehat{A}=40^\circ \);
b. \( AB=85 \), \( AC=95 \) và \( BC=30 \).
Đặt \( a=BC \), \( b=AC \), \( c=AB \).
a. Ta cần tính cạnh \(a \) và hai góc \( \widehat{B}\), \( \widehat{C} \).
Áp dụng định lí cô-sin, ta có
\(\begin{aligned} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A\\ &=95^2+85^2-2\cdot 95\cdot 85\cdot \cos 40^\circ\\ &\approx 3878{,}38\end{aligned}\).
Suy ra \( a\approx \sqrt{3878{,}38}\approx 62{,}3 \).
Áp dụng hệ quả định lí Cô-sin, ta có
\(\begin{aligned}\cos B&=\displaystyle\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ &\approx \displaystyle\frac{62{,}3^2+85^2-95^2}{2\cdot 62{,}3\cdot 85}\approx 0{,}197\end{aligned}\).
Suy ra \(\widehat{B}\approx78^\circ38'\), \(\widehat{C}\approx 180^\circ-40^\circ-78^\circ38' =61^\circ22'\).
b. Ta cần tính số đo ba góc \( \widehat{A}\), \( \widehat{B}\), \( \widehat{C} \).
Áp dụng hệ quả của định lí côsin, ta có
\(\begin{aligned}\cos A&=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ &=\displaystyle\frac{25^2+15^2-30^2}{2\cdot 25\cdot 15}=-\displaystyle\frac{1}{15}\\ \Rightarrow \widehat{A} &\approx 93^\circ49'\end{aligned}\).
Áp dụng định lí sin, ta có
\(\begin{aligned}&\displaystyle\frac{a}{\sin A} = \displaystyle\frac{b}{\sin B}\\ \Rightarrow &\displaystyle\frac{30}{\sin 93^\circ49'}= \displaystyle\frac{25}{\sin B}\\ \Rightarrow &\sin B\approx 0{,}8315\end{aligned}\)
\(\Rightarrow \widehat{B}\approx56^\circ 15'\), \(\widehat{C}\approx 180^\circ-93^\circ49'-56^\circ15'=29^\circ 56' \).
Ví dụ 2. Giải tam giác \( ABC \) trong các trường hợp sau
a. \( a=17{,}4 \); \( \widehat{B}=44^\circ 30' \); \( \widehat{C}=64^\circ \).
b. \( a=10 \); \( b=6 \); \( c=8 \).
a. Ta có \( \widehat{A}\approx 180^\circ-44^\circ 30'-64^\circ=71^\circ 30' \).
Áp dụng định lí sin, ta có
\(\begin{aligned}&\displaystyle\frac{a}{\sin A} = \displaystyle\frac{b}{\sin B}=\displaystyle\frac{c}{\sin C}\\ \Rightarrow &\displaystyle\frac{17{,}4}{\sin 71^\circ30'}=\displaystyle\frac{b}{\sin 44^\circ30'}=\displaystyle\frac{c}{\sin 64^\circ}.\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}\Rightarrow &b=\displaystyle\frac{17{,}4\cdot \sin 44^\circ 30'}{\sin 71^\circ30'}\approx 12{,}86;\\ &c=\displaystyle\frac{17{,}4\cdot \sin 64^\circ }{\sin 71^\circ30'}\approx 16{,}49\end{aligned}\).
b. Áp dụng hệ quả định lí Cô-sin, ta có
\( \cos A=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2cc}=\displaystyle\frac{6^2+8^2-10^2}{2\cdot 6\cdot 8}=0\).
Suy ra \( \widehat{A}=90^\circ \);
\( \cos B=\displaystyle\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}= \displaystyle\frac{10^2+8^2-6^2}{2\cdot 10\cdot 8}=\displaystyle\frac{4}{5} \).
Suy ra \( \widehat{B}\approx 37^\circ \), \( \widehat{C}\approx 180^\circ-90^\circ-37^\circ =53^\circ\).
2. Áp dụng giải tam giác tam giác vào thực tế
Ví dụ 1. Một đường hầm được dự kiến xây dựng xuyên qua một ngọn núi. Để ước tính chiều dài của đường hầm, một kĩ sư đã thực hiện các phép đo và cho ra kết quả như \( \text{Hình}~ 1 \). Tính chiều dài của đường hầm từ các số liệu đã khảo sát được.
a. Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác \( ABC \), ta có
\( AB^2=CA^2+CB^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot \cos C=388^2+212^2-2\cdot 388\cdot 212\cdot \cos 82{,}4^\circ \approx 173730\).
Suy ra \( AB\approx \sqrt{173730}\approx 417 \) m.
Vậy đường hầm dài khoảng \( 417 \) m.
Ví dụ 2. Để xác định chiều cao của một tòa nhà cao tầng, một người đứng tại điểm \( M \), sử dụng giác kế nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng \( \widehat{RQA}=84^\circ \), người đó lùi ra xa một khoảng cách \( LM=49{,}4 \) m thì nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng \( \widehat{RPA}=78^\circ \). Tính chiều cao của tòa nhà, biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế đó là \( PL=QM=1{,}2\) m.
Giải thích: Góc nâng là góc tạo bởi tia ngắm nhìn lên và đường nằm ngang.
Ta có \( \widehat{PAQ}= \widehat{AQR}- \widehat{APR}=84^\circ -78^\circ=6^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \( APQ \), ta có
\(\displaystyle\frac{AQ}{\sin P} = \displaystyle\frac{PQ}{\sin A}\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{AQ}{\sin 78^\circ}= \displaystyle\frac{PQ}{\sin 6^\circ}\) \(\Rightarrow AQ=\displaystyle\frac{PQ\cdot \sin 78^\circ}{\sin 6^\circ}\).
Trong tam giác vuông \( AQR \), ta có
\(\begin{aligned}AR&=AQ\cdot \sin 84^\circ=\displaystyle\frac{PQ\cdot \sin 78^\circ\cdot \sin 84^\circ}{\sin 6^\circ}\\ &=\displaystyle\frac{49{,}4\cdot \sin 78^\circ\cdot \sin 84^\circ}{\sin 6^\circ}\approx 460\ \textrm{m}.\end{aligned}\)
Vậy chiều cao của tòa nhà là
\(AO=AR+RO\approx 460+1{,}2=461{,}2 \) m.
Ví dụ 3. Hai trạm quan sát ở hai thành phố Đà Nẵng và Nha Trang đồng thời nhìn thấy một vệ tinh với góc nâng lần lượt là \( 75^\circ \) và \( 60^\circ \). Vệ tinh cách trạm quan sát tại thành phố Đà Nẵng bao nhiêu ki-lô-mét? Biết rằng khoảng cách giữa hai trạm quan sát là \( 520 \) km.
Gọi \( A \), \( B \), \( C \) lần lượt là các điểm biểu diễn vị trí của thành phố Đà Nẵng, Nha Trang và vệ tinh.
Ta có \( \widehat{C}=180^\circ -(60^\circ+75^\circ)=45^\circ\).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \( ABC \), ta có
\(\displaystyle\frac{AC}{\sin B} = \displaystyle\frac{AB}{\sin C}\) \(\Rightarrow AC= \displaystyle\frac{AB\cdot \sin B}{\sin C}= \displaystyle\frac{520\cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}\) \(\approx 637\ \textrm{km}.\)
Vậy vệ tinh cách trạm quan sát tại thành phố Đà Nẵng khoảng \(637\) km.
Ví dụ 4. Hãy giải bài toán nêu ra trong hoạt động khởi động của bài. Với số liệu đo được từ một bên bờ sông như hình vẽ bên, bạn hãy giúp nhân viên đo đạc tính khoảng cách giữa hai cái cây bên kia bờ sông.
Gọi vị trí của người đo đạc đứng là điểm \( A \) và gọi \( B \), \( C \) lần lượt là vị trí hai cái cây bên kia sông.
Ta có tam giác \( ABC \) với \( AC=100 \) m; \( AB=75 \) m và \( \widehat{A}=32^\circ \).
Áp dụng định lí cô-sin trong tam giác \( ABC \), ta có
\(\begin{aligned} BC^2&=AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cos A\\ &=100^2+75^2-2\cdot 100\cdot 75\cdot \cos 32^\circ\\ &\approx 2904{,}3.\end{aligned}\)
Suy ra \( BC\approx \sqrt{2904{,}3}\approx 53{,}9 \) m.
Vậy hai cái cây bên kia sông cách nhau khoảng \(53{,}9 \) m.
Ví dụ 5. Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với tốc độ \( 450 \) km/h theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc \(25^\circ\) về phía tây với tốc độ \( 630 \) km/h. Sau \( 90 \) phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.
Ta có \( \widehat{AOB}=90^\circ-25^\circ=65^\circ \).
Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác \( OAB \), ta có
\(\begin{aligned}AB^2&=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos \widehat{AOB}\\ &=450^2+630^2-2\cdot 450\cdot 630\cdot \cos 65^\circ\\ &\approx 359775{,}4.\end{aligned}\)
Suy ra \( AB\approx \sqrt{359775{,}4}\approx 672{,}8 \) m.
Vậy hai máy bay cách nhau khoảng \(599{,}8 \) m.
Ví dụ 6. Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.
Áp dụng hệ quả định lí Cô-sin trong tam giác \( HCL \), ta có
\(\begin{aligned}\cos \widehat{CHL}&=\displaystyle\frac{HC^2+HL^2-CL^2}{2HC\cdot HL}\\ &= \displaystyle\frac{78^2+104^2-49^2}{2\cdot 78\cdot 104}= \displaystyle\frac{4833}{5408}\end{aligned}\).
Suy ra \( \widehat{CHL}\approx 27^\circ \).
Áp dụng hệ quả định lí Cô-sin trong tam giác \( HRL \), ta có
\(\begin{aligned}\cos \widehat{RHL}&=\displaystyle\frac{HR^2+HL^2-RL^2}{2HR\cdot HL}\\ &= \displaystyle\frac{77^2+104^2-56^2}{2\cdot 77\cdot 104}= \displaystyle\frac{13609}{16016}\end{aligned}\).
Suy ra \( \widehat{RHL}\approx 32^\circ \).
Ta có \( \widehat{CHR}= \widehat{CHL}+ \widehat{RHL}\approx 59^\circ \).
Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác \( HCR \), ta có
\(\begin{aligned}CR^2&=HC^2+HR^2-2\cdot HC\cdot HR\cos \widehat{CHR}\\ &=78^2+77^2-2\cdot 78\cdot 77\cdot \cos 59^\circ \approx 5826{,}4.\end{aligned}\)
Suy ra \( CR\approx \sqrt{5826{,}4}\approx 76{,}3 \) m.
Vậy khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá khoảng \(76{,}3 \) m.
BÀI TẬP
Bài tập 1. Giải tam giác \( ABC \) trong các trường hợp sau
a. \( AB=14 \), \( AC=23 \) và \( \widehat{A}=125^\circ \);
b. \( BC=22 \), \( \widehat{B}=64^\circ\), \(\widehat{C}=38^\circ \);
c. \( AC=22 \), \( \widehat{B}=120^\circ\), \(\widehat{C}=28^\circ \);
d. \( AB=23 \), \( AC=32 \), \( BC=44 \).
a. \( AB=14 \), \( AC=23 \) và \( \widehat{A}=125^\circ \).
Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác \( ABC \), ta có
\(\begin{aligned}BC^2&=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos \widehat{A}\\ &=14^2+23^2-2\cdot 14\cdot 23\cdot \cos 125^\circ\\ &\approx 1094{,}4.\end{aligned}\)
Suy ra \( BC\approx \sqrt{1094{,}4}\approx 33{,}1 \) m.
Áp dụng hệ quả định lí Cô-sin trong tam giác \( ABC \), ta có
\(\begin{aligned} \cos B&=\displaystyle\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ &=\displaystyle\frac{33{,}1^2+14^2-23^2}{2\cdot 33{,}1\cdot 14}= \displaystyle\frac{76261}{92680}.\end{aligned}\)
Suy ra \( \widehat{B}\approx 35^\circ \), \( \widehat{C}\approx 180^\circ-125^\circ-35^\circ =20^\circ\).
b. \( BC=22 \), \( \widehat{B}=64^\circ\), \(\widehat{C}=38^\circ \).
Ta có \( \widehat{A}= 180^\circ-64^\circ-38^\circ =78^\circ\).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \( ABC \), ta có
\( \displaystyle\frac{AC}{\sin B} = \displaystyle\frac{AB}{\sin C}=\displaystyle\frac{BC}{\sin A}\).
Suy ra
\(AC= \displaystyle\frac{BC\cdot \sin B}{\sin A}= \displaystyle\frac{22\cdot \sin 64^\circ}{\sin 78^\circ}\approx 20{,}22 \);
\(AB= \displaystyle\frac{BC\cdot \sin C}{\sin A}= \displaystyle\frac{22\cdot \sin 38^\circ}{\sin 78^\circ}\approx 13{,}85 \).
c. \( AC=22 \), \( \widehat{B}=120^\circ\), \(\widehat{C}=28^\circ \).
Ta có \( \widehat{A}= 180^\circ-120^\circ-28^\circ =32^\circ\).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \( ABC \), ta có
\(\displaystyle\frac{BC}{\sin A}= \displaystyle\frac{AC}{\sin B} = \displaystyle\frac{AB}{\sin C}\).
Suy ra
\(BC= \displaystyle\frac{AC\cdot \sin A}{\sin B}= \displaystyle\frac{22\cdot \sin 32^\circ}{\sin 120^\circ}\approx 13{,}46\);
\(AB= \displaystyle\frac{AC\cdot \sin C}{\sin B}= \displaystyle\frac{22\cdot \sin 28^\circ}{\sin 120^\circ}\approx 11{,}93\).
c. \( AB=23 \), \( AC=32 \), \( BC=44 \).
Áp dụng hệ quả định lí Cô-sin trong tam giác \( ABC \), ta có
\(\begin{aligned}\cos A&=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ &=\displaystyle\frac{32^2+23^2-44^2}{2\cdot 32\cdot 23}=- \displaystyle\frac{383}{1472}\end{aligned}\).
Suy ra \( \widehat{A}\approx 105^\circ 5' \);
Áp dụng định lí sin trong tam giác \( ABC \), ta có
\(\begin{aligned}&\displaystyle\frac{BC}{\sin A}= \displaystyle\frac{AC}{\sin B}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{44}{\sin 105^\circ 5'}=\displaystyle\frac{32}{\sin B}\\ &\Rightarrow \widehat{B}\approx 44^\circ 36' \end{aligned}\)
Vì \(\widehat{A} +\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\) suy ra \( \widehat{C}\approx 30^\circ 19' \).
Bài tập 2. Để lấp đặt đường dây điện cao thế từ vị trí \( A \) đến vị trí \( B \), do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí \( A \) đến vị trí \( C \) dài \( 10 \) km, sao đó nối đường dây từ vị trí \( C \) đến vị trí \( B \) dài \( 8 \) km. Góc tạo bởi hai đoạn dây \( AC \) và \( CB \) là \( 70^\circ \). Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ \( A \) đến \( B \).
Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác \( ABC \), ta có
\(\begin{aligned}AB^2&=BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot AC\cos \widehat{C}\\ &=8^2+10^2-2\cdot 8\cdot 10\cdot \cos 70^\circ\\ &\approx 109{,}3.\end{aligned}\)
Suy ra \( AB\approx \sqrt{109{,}3}\approx 10{,}5 \) km.
Vậy chiều dài của đường dây là \( 8+10-10{,}5=7{,}5\) km.
Bài tập 3. Một người đứng cách thân một cái quạt gió \( 16 \) m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng \(56{,}5^\circ\). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là \( 1{,}5 \) m.
Đặt các điểm \(A\), \(B\), \(C\) như hình.
Xét tam giác vuông \(ABC\), ta có
\(CB=AB\cdot \tan \widehat{A}=16\cdot \tan(56{,}5^\circ)\) \(\approx 24{,}17\mathrm{~(m)}\).
Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là \(1{,}5+24{,}17=25{,}67\mathrm{~(m)}.\)
Bài tập 4. Tính chiều cao \( AB \) của một ngọn núi. Biết tại hai điểm \( C \), \( D \) cách nhau \( 1 \) km trên mặt đất (\( B, C, D \) thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh \( A \) của núi với góc nâng lần lượt là \( 32^\circ \)và \( 40^\circ \).
Ta có \( \widehat{CAD} =\widehat{ADB}-\widehat{ACD}=40^\circ-32^\circ=8^\circ\).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \( ACD \), ta có
\(\displaystyle\frac{AD}{\sin 32^\circ}= \displaystyle\frac{CD}{\sin 8^\circ}\) \(\Rightarrow AD= \displaystyle\frac{CD\cdot \sin 32^\circ}{\sin 8^\circ}\).
Suy ra
\(\begin{aligned}AB &= AD\cdot \sin 40^\circ\\ &=\displaystyle\frac{CD\cdot \sin 32^\circ}{\sin 8^\circ}\cdot \sin 40^\circ\\ &=\displaystyle\frac{1\cdot \sin 32^\circ}{\sin 8^\circ}\cdot \sin 40^\circ\\ &\approx 2{,}45\ \textrm{km}\end{aligned}.\)
Bài tập 5. Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai điểm \( P \) và \( Q \) nằm ở sườn đồi nghiêng \( 32^\circ \) so với phương ngang, cách nhau \( 60 \) m. Người quan sát tại \( P \) xác định góc nâng của khinh khí cầu là \( 62^\circ \). Cùng lúc đó, người quan sát tại \( Q \) xác định góc nâng của khinh khí cầu là \( 70^\circ \). Tính khoảng cách từ \( Q \) đến khinh khí cầu.
Ta có \( \widehat{CQK} =\widehat{CPH} = \widehat{CAB'}=32^\circ\) (góc đồng vị).
Xét \( \triangle PQI \), ta có
\( \widehat{IPQ}=62^\circ-32^\circ=30^\circ \);
\( \widehat{IQC}=70^\circ- 32^\circ=38^\circ \);
\( \widehat{IQP}=180^\circ- \widehat{IQC}=180^\circ-38^\circ\) \(=142^\circ \);
\( \widehat{PIQ}=180^\circ- \widehat{IPQ}- \widehat{IQP}\) \(=180^\circ-30^\circ-142^\circ=8^\circ\).
Áp dụng định lí sin vào \( \triangle IPQ \), ta có
\(\begin{aligned}&\displaystyle\frac{PQ}{\sin\widehat{PIQ}}=\displaystyle\frac{IQ}{\sin\widehat{IPQ}} \\ \Rightarrow &IQ=\displaystyle\frac{60\cdot \sin30^\circ}{\sin8^\circ}\approx216\ \textrm{m}.\end{aligned}\)
Bài tập 6. Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao \( 352 \) m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là \( 43^\circ \), góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là \( 62^\circ \) và đến điểm mốc khác là \( 54^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.
Đặt điểm \(A\) là người đứng, \(B\) là chân tháp, \(C\), \(D\) lần lượt là hai điểm mốc như hình vẽ.
Khi đó \(AB=352 \mathrm{~m}.\) Xét tam giác vuông \(ABC\), ta có
+) \(\tan \widehat{CAB}=\displaystyle\frac{CB}{AB}\) \(\Leftrightarrow CB=\tan 54^\circ \cdot 352 \approx 484{,}49 \mathrm{~m}.\)
+) \(AC=\sqrt{AB^2+CB^2}\approx 598{,}86 \mathrm{~m}.\)
Xét tam giác vuông \(ADB\), ta có
+ \(\tan \widehat{DAB}=\displaystyle\frac{DB}{AB}\) \(\Leftrightarrow DB=\tan 62^\circ \cdot 352 \approx 662{,}02 \mathrm{~m}.\)
+ \(AD=\sqrt{AB^2+BD^2}\approx 749{,}78 \mathrm{~m}.\)
Xét tam giác \(ADC\), ta có
\(\begin{aligned}DC^2&=AD^2+AC^2-2AD\cdot AC \cdot \cos \widehat{DAC}\\ &\approx 2\;640{,}28\\ \Rightarrow DC &\approx 513{,}84\mathrm{~m}.\end{aligned}\)
Vậy khoảng cách giữa hai cột mốc là \(513{,}84\mathrm{~m}.\)
