Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ \(0^\circ\) ĐẾN \(180^\circ\)
1. Giá trị lượng giác
+ Với mỗi góc \(\alpha\) (\(0^\circ\leq \alpha\leq 180^\circ\)) ta xác định được một điểm \(M\) duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM}=\alpha\). Gọi \((x_0;y_0)\) là tọa độ của điểm \(M\), ta có
\(-\) Tung độ \(y_0\) của \(M\) là sin của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\sin\alpha = y_0\).
\(-\) Hoành độ \(x_0\) của \(M\) là côsin của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\cos\alpha = x_0\).
\(-\) Tỉ số \(\dfrac{y_0}{x_0}\) là tang của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\tan\alpha = \dfrac{y_0}{x_0}\).
\(-\) Tỉ số \(\dfrac{x_0}{y_0}\) là côtang của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\cot\alpha = \dfrac{x_0}{y_0}\).
+ Các số \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\), \(\cot\alpha\) được gọi là các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\).
Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc \(120^\circ\).
Lấy điểm \(M\) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM}=120^{\circ}\). Ta có \(\widehat{MOy}=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}\).
Ta tính được tọa độ điểm \(M\) là \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
Vậy theo định nghĩa ta có
\(\begin{aligned}&\sin 120^{\circ}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2};\quad \cos 120^{\circ} =-\displaystyle\frac{1}{2}; \\ &\tan 120^{\circ}=-\sqrt{3};\quad \cot 120^{\circ} =-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}.\end{aligned}\)
Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác của góc \(135^\circ\).
+ Gọi \(M\) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM}=135^\circ\). Gọi \(N\), \(P\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên các trục \(Ox\), \(Oy\).
+ Vì \(\widehat{xOM}=135^\circ\) nên \(\widehat{MON}=45^\circ\) và \(\widehat{MOP}=45^\circ\).
+ Do đó các tam giác \(MON\), \(MOP\) là vuông cân với cạnh huyền \(OM=1\).
+ Từ đó, ta có \(ON=OP=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Chú ý.
+ Nếu \(\alpha\) là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của \(\alpha\) đều dương.
+ Nếu \(\alpha\) là góc tù thì \(\sin\alpha>0\), \(\cos\alpha<0\), \(\tan\alpha<0\), \(\cot\alpha<0\).
+ \(\tan\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \neq 90^\circ\).
+ \(\cot\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \neq 0^\circ\) và \(\alpha\neq 180^\circ\).
2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Với mỗi góc \(\alpha\) thỏa mãn \(0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ\), ta luôn có
+) \(\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha\);
+) \(\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha\);
+) \(\tan\left(180^\circ-\alpha\right)=-\tan\alpha\) (\(\alpha\neq 90^\circ\));
+) \(\cot\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cot\alpha\) (\(\alpha\neq 0^\circ\) và \(\alpha \neq 180^\circ\)).
Ví dụ 1. Cho biết \(\sin30^\circ=\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\cos45^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\); \(\tan60^\circ=\sqrt{3}\). Tính \(\sin150^\circ\), \(\cos135^\circ\), \(\tan120^\circ\).
\(\begin{aligned}&\sin 150^{\circ}=\sin 30^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2};\\ &\cos 135^{\circ}=-\cos 45^{\circ}=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2};\\ &\tan 120^{\circ}=-\tan 60^{\circ}=-\sqrt{3}.\end{aligned}\)
Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác: \(\sin120^\circ\); \(\cos150^\circ\); \(\cot135^\circ\).
\(\begin{aligned}&\sin120^\circ=\sin60^\circ=\displaystyle\frac{3}{2};\\ &\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2};\\ &\cot135^\circ=-\cot45^\circ=-1.\end{aligned}\)
3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
Ví dụ 1. Tính \(A=\sin 150^{\circ}+\tan 135^{\circ}+\cot 45^{\circ} ; \quad B=2 \cos 30^{\circ}-3 \tan 150^{\circ}+\cot 135^{\circ}\).
Dựa vào bảng trên, ta có
\(A=\displaystyle\frac{1}{2}-1+1=\displaystyle\frac{1}{2}\) và
\(B=2\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-3\cdot \left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\right) +(-1)\) \(=2\sqrt{3}-1.\)
Ví dụ 2. Tìm góc \(\alpha\) (\(0^\circ\leq \alpha\leq 180^\circ\)) trong mỗi trường hợp sau
a. \(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\);
b. \(\cos\alpha=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\);
c. \(\tan\alpha=-1\);
d. \(\cot\alpha=-\sqrt{3}\).
Từ bảng trên ta có
a. \(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(\alpha=60^\circ\) hoặc \(\alpha=120^\circ\).
b. \(\cos\alpha=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) khi \(\alpha=135^\circ\).
c. \(\tan\alpha=-1\) khi \(\alpha=135^\circ\).
d. \(\cot\alpha=-\sqrt{3}\) khi \(\alpha=150^\circ\).
BÀI TẬP
Bài tập 1. Cho biết \(\sin 30^\circ=\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\sin 60^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(\tan 45^\circ=1\). Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của \(E=2\cos30^\circ+\sin 150^\circ+\tan135^\circ\).
Ta có \(\cos30^\circ=\sin 60^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(\sin150^\circ=\sin 30^\circ=\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\tan 135^\circ=-\tan45^\circ=-1\).
Vậy
\(\begin{aligned}E&=2\cos30^\circ+\sin 150^\circ+\tan135^\circ\\ &=2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}+(-1)=\sqrt{3}-\displaystyle\frac{1}{2}.\end{aligned}\)
Bài tập 2. Chứng minh rằng
a. \(\sin 20^\circ=\sin 160^\circ\);
b. \(\cos50^\circ=-\cos130^\circ\).
a. Ta có \(20^\circ+160^\circ=180^\circ\) nên \(\sin 20^\circ=\sin 160^\circ\).
b. Ta có \(50^\circ+130^\circ=180^\circ\) nên \(\cos50^\circ=-\cos130^\circ\).
Bài tập 3. Tìm góc \(\alpha\) \((0^\circ\le \alpha\le 180^\circ)\) trong mỗi trường hợp sau
a. \(\cos\alpha=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\);
b. \(\sin\alpha=0\);
c. \(\tan\alpha=1\);
d. \(\cot\alpha\) không xác định.
a. Do \(\cos\alpha=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) và \(0^\circ\le \alpha\le 180^\circ\) theo bảng các giá lượng giác ta có \(\alpha=135^\circ\).
b. Do \(\sin\alpha=0\) và \(0^\circ\le \alpha\le 180^\circ\) nên theo bảng các giá lượng giác ta có \(\alpha=0^\circ\) hoặc \(\alpha=180^\circ\).
c. Do \(\tan\alpha=1\) và \(0^\circ\le \alpha\le 180^\circ\) nên theo bảng các giá lượng giác ta có \(\alpha=45^\circ\).
d. Do \(\cot\alpha\) không xác định và \(0^\circ\le \alpha\le 180^\circ\), theo bảng các giá lượng giác ta có \(\alpha=0^\circ\) hoặc \(\alpha=180^\circ\).
Bài tập 4. Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng
a. \(\sin A=\sin (B+C)\);
b. \(\cos A=-\cos(B+C)\).
a. Ta có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\) nên
\(\widehat{A} =180^\circ -\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)\).
Suy ra
\(\begin{aligned}\sin A&=\sin \left[180^\circ-\left(B+C \right)\right]\\ &=\sin \left(B+C\right).\end{aligned}\)
b. Ta có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\) nên \(\widehat{A} =180^\circ -\left(\widehat{B}+\widehat{C} \right)\).
Suy ra
\(\begin{aligned}\cos A &=\cos \left[ 180^\circ-\left(B+C \right)\right]\\ &=-\cos \left(B+C\right).\end{aligned}\)
Bài tập 5. Chứng minh rằng với mọi góc \(\alpha\) \((0^\circ\le \alpha\le 180^\circ)\), ta đều có
a. \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\);
b. \(\tan\alpha\cdot \cot\alpha =1\) (\(0^\circ< \alpha< 180^\circ\), \(\alpha\ne 0\));
c. \(1+\tan^2\alpha=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\alpha}\) (\(\alpha\ne 90^\circ\));
d. \(1+\cot^2\alpha=\displaystyle\frac{1}{\sin^2\alpha}\) (\(0^\circ<\alpha< 180^\circ\)).
a. Với mỗi góc \(\alpha\) luôn tồn tại duy nhất điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\) trên đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM}=\alpha\) và \(\sin \alpha=y_0\), \(\cos\alpha=x_0\).
Ta có
\(\begin{aligned}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=y_0^2+x_0^2\\ &= OA^2+OB^2\\ &=OM^2=1\end{aligned}\).
Vậy \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\).
b. Với \( \alpha\ne 90^\circ\), \(\alpha\ne 0\), ta có
\(\begin{aligned}\tan\alpha\cdot \cot \alpha=\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=1.\end{aligned}\)
c. Với mọi \(\alpha\ne 90^\circ\), ta có
\(\begin{aligned}1+\tan^2\alpha&= 1+\displaystyle\frac{\sin^2\alpha }{\cos^2\alpha}\\ &=\displaystyle\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\\ &=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\alpha}.\end{aligned}\)
d. Với mọi \(0^\circ<\alpha< 180^\circ\), ta có
\(\begin{aligned}1+\cot^2\alpha&=1+\displaystyle\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\\ &=\displaystyle\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\\ &=\displaystyle\frac{1}{\sin^2\alpha}.\end{aligned}\)
Bài tập 6. Cho góc \(\alpha\) với \(\cos\alpha=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(A=2\sin^2\alpha+5\cos^2\alpha\).
Do \(\cos\alpha=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) mà \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) nên \(\sin^2\alpha=1-\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2=\displaystyle\frac{1}{2} \).
Vậy \(A=2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}+5\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{7}{2}\).