\(\S3\) ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

\(\bullet\,\) Đường tròn \((C)\colon (x-2)^2+(y-8)^2=49\) có tâm \( I(2;8) \), bán kính \( R=7 \).

\(\bullet\,\) Đường tròn \((C)\colon (x+3)^2+(y-4)^2=23\) có tâm \( I(-3;4) \), bán kính \( R=\sqrt{23} \).

\(\bullet\,\) Phương trình \(x^2+2y^2-4x-2y+1=0\) không là phương trình của đường tròn (hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) không bằng nhau).

\(\bullet\,\) Phương trình \(x^2+y^2-4x+3y+2xy=0\) không là phương trình của đường tròn (trong phương trình của đường tròn không có thành phần tích \(x\cdot y\)).

\(\bullet\,\) Phương trình \(x^2+y^2-8x-6y+26=0\) có các hệ số \(-2a=-8\); \(-2b=-6\), \(c=26\), suy ra \(a^2+b^2-c=3^2+4^2-26=-1<0\), do đó phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn.

\(\bullet\,\) Phương trình \(x^2+y^2+6 x-4 y+13=0\) có các hệ số \(a=-3\), \(b=2\), \(c=13\), suy ra

\(a^2+b^2-c=(-3)^2+2^2-13=0\), do đó phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn.

\(\bullet\,\) Phương trình \(x^2+y^2-4 x+2 y+1=0\) có các hệ số \(a=2\), \(b=-1\), \(c=1\) thỏa mãn \(a^2+b^2-c=2^2+(-1)^2-1=4>0\), nên phương trình đã cho là phương trình của đường tròn có tâm \(I(2 ;-1)\) và có bán kính \(R=\sqrt{4}=2\).

\(\bullet\,\) Phương trình của đường tròn \((C)\) là \( (x-3)^2+(y-1)^2=R^2=4\).

\(\bullet\,\) Bán kính của \((C)\) bằng \(R=I M=\sqrt{(-1-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{52}\).

Mặt khác \((C)\) có tâm là \(I(3 ; 1)\), suy ra \((C)\) có phương trình là

\((x-3)^2+(y-1)^2=52.\)

\(\bullet\,\) Vì \(\Delta\) là tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) nên bán kính của \((C)\) bằng

\(R=\mathrm{d}(I, \Delta)=\displaystyle\frac{|3 \cdot 2-2 \cdot(-4)-1|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}=\sqrt{13}.\)

Vậy phương trình của \((C)\) là \((x-2)^2+(y+4)^2=13\).

\(\bullet\,\) Vì \(AB\) là đường kính của \((C)\) nên \((C)\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(A B\) và bán kính \(R=\displaystyle\frac{A B}{2}\).

Ta có

\(\begin{cases}x_1=\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2}=\displaystyle\frac{4-2}{2}=1\\ y_1=\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}=\displaystyle\frac{1-5}{2}=-2\end{cases}\Rightarrow I(1 ;-2);\)

\(R=\displaystyle\frac{A B}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{(-2-4)^2+(-5-1)^2}}{2}=3 \sqrt{2}.\)

Vậy phương trình của đường tròn \((C)\) là \((x-1)^2+(y+2)^2=18\).

\(\bullet\,\) Đường tròn tâm \(I(-6;2)\), bán kính \(7\) có phương trình là \((x+6)^2+(y-2)^2=49\).

\(\bullet\,\) Bán kính đường tròn là \(IA=\sqrt{(4-3)^2+(1-(-7))^2}=\sqrt{65}\).

Suy ra phương trình đường tròn là \((x-3)^2+(y+7)^2=65\).

\(\bullet\,\) Bán kính của \((C)\) bằng khoảng cách từ tâm \(I(1;2)\) đến đường thẳng \(3x+4y+19=0\).

Suy ra bán kính của \((C)\) bằng \(\displaystyle\frac{|3\cdot 1+4\cdot 2+19|}{\sqrt{3^2+4^2}}=6.\)

Suy ra phương trình đường tròn \((C)\) là \((x-1)^2+(y-2)^2=36\).

\(\bullet\,\) Ta có đường kính \(AB=\sqrt{(0-(-2))^2+(1-3)^2}=2\sqrt{2}\).

Suy ra bán kính bằng \(\displaystyle\frac{AB}{2}=\sqrt 2\).

Tâm đường tròn \((C)\) là trung điểm \(I\) của đoạn \(AB\).

Ta có \(I=\left(\displaystyle\frac{-2+0}{2};\displaystyle\frac{3+1}{2}\right)=(-1;2)\).

Suy ra phương trình của \((C)\) là \((x+1)^2+(y-2)^2=2\).

\(\bullet\,\) Ta có \(I\) thuộc \(\Delta_1\) nên \(I(1+t;1-t)\) với \(t\in\mathbb R\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&d{(I,\Delta_2)}=d{(I,\Delta_3)}\\ &\Leftrightarrow&\displaystyle\frac{|3(1+t)+4(1-t)-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\displaystyle\frac{|3(1+t)-4(1-t)+2|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\\ &\Leftrightarrow& |-t+6|=|7t+1|\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&t=\displaystyle\frac{5}{8}\\ &t=\displaystyle\frac{-7}{6}.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

+ Với \(t=\displaystyle\frac{5}{8}\), ta có \(I\left(\displaystyle\frac{13}{8};\displaystyle\frac{3}{8}\right)\) và bán kính đường tròn bằng \(d{(I,\Delta_2)}=\displaystyle\frac{\left| 3\cdot \displaystyle\frac{13}{8}+4\cdot\displaystyle\frac{3}{8}-1 \right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\displaystyle\frac{43}{40}.\)

Vậy phương trình đường tròn là \(\left(x-\displaystyle\frac{13}{8}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{3}{8}\right)^2=\displaystyle\frac{43^2}{40^2}\).

+ Với \(t=\displaystyle\frac{-7}{6}\), ta có \(I\left(\displaystyle\frac{-1}{6};\displaystyle\frac{13}{6}\right)\) và bán kính đường tròn bằng \(d{(I,\Delta_2)}=\displaystyle\frac{\left| 3\cdot \displaystyle\frac{-1}{6}+4\cdot\displaystyle\frac{13}{6}-1 \right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\displaystyle\frac{43}{30}.\)

Vậy phương trình đường tròn là \(\left(x+\displaystyle\frac{1}{6}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{13}{6}\right)^2=\displaystyle\frac{43^2}{30^2}\).

Ta có \(x^2+y^2-6x+2ky+2k+12=0\Leftrightarrow x^2+y^2-2\cdot 3x-2(-k)y+2k+12=0.\)

Phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \(3^2+(-k)^2-(2k+12)>0\Leftrightarrow k^2-2k-3>0.\)

Giải bất phương trình trên ta có \(k<-1\) hoặc \(k>3\).

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(-2;3)\) và bán kính \(R=2\).

\(\bullet\,\) Giả sử tiếp điểm là \(M(m;3)\). Vì \(M\) thuộc đường tròn nên \((m+2)^2+(3-3)^2=4\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m=0\\ &m=-4.\end{aligned}\right.\)

+ Với \(m=0\), ta có \(M(0;3)\). Khi đó tiếp tuyến tại \(M(0;3)\) nhận \(\overrightarrow{IM}=(2;0)\) là véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(2(x-0)+0(y-3)=0\Leftrightarrow x=0.\)

+ Với \(m=-4\), ta có \(M(-4;3)\). Khi đó tiếp tuyến tại \(M(-4;3)\) nhận \(\overrightarrow{IM}=(-2;0)\) là véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(-2(x-(-4))+0(y-3)=0\Leftrightarrow x+4=0.\)

\(\bullet\,\) \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng \(5x-12y+1=0\) nên \(\overrightarrow{n}=(12;5)\) là véc-tơ pháp tuyến của \(\Delta\). Khi đó phương trình \(\Delta\) có dạng \(12x+5y+c=0\).

Ta có

\(d{(I,\Delta)}=R\Leftrightarrow \displaystyle\frac{|12(-2)+5\cdot 3+c|}{\sqrt{12^2+5^2}}=2\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&c=35\\&c=-17.\end{aligned}\right.\)

+ Với \(c=35\) thì phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) là \(12x+5y+35=0\)

+ Với \(c=-17\) thì phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) là \(12x+5y-17=0\).

\(\bullet\,\) Ta xét hai trường hợp

+ Trường hợp 1: \(\Delta\) vuông góc với trục \(Ox\). Vì \(\Delta\) đi qua điểm \(D(0;4)\) nên có phương trình là \(x=0\).

Khoảng cách từ tâm \(I(-2;3)\) đến đường thẳng \(\Delta\) là \(d{(I,\Delta)}=\displaystyle\frac{|-2|}{\sqrt{1^2+0^2}}=2=R\).

Suy ra đường thẳng \(x=0\) là một tiếp tuyến của đường tròn.

+ Trường hợp 2: \(\Delta\) không vuông góc với trục \(Ox\). Khi đó phương trình của \(\Delta\) có dạng \(y=ax+b\). Vì \(\Delta\) đi qua \(D(0;4)\) nên \(4=a\cdot 0+b\Rightarrow b=4\).

Do đó phương trình \(\Delta\) là \(y=ax+4\Leftrightarrow ax-y+4=0\).

Khi đó

\(d{(I,\Delta)}=R\Leftrightarrow\displaystyle\frac{|a(-2)-3+4|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}}=2\Leftrightarrow a=-\displaystyle\frac{3}{4}.\)

Khi đó phương trình \(\Delta\) là \(-\displaystyle\frac{3}{4}x-y+4=0\Leftrightarrow 3x+4y-16=0\).

Gọi \(I\) là tâm của đường tròn \((C)\). Ta có \(I\in \Delta\colon y=1-x \Rightarrow I(t ; 1-t)\).

Vì \(A\), \(B\) thuộc \((C)\) nên ta có

\(\begin{aligned}AI^2=BI^2 \Leftrightarrow\ &(t-6)^2+(1-t-2)^2=(t+1)^2+(1-t-3)^2\\ \Leftrightarrow\ &(t-6)^2+(t+1)^2=(t+1)^2+(t+2)^2 \\ \Leftrightarrow\ &t^2-12 t+36=t^2+4t+4 \\ \Leftrightarrow\ &16t=32 \Leftrightarrow t=2 \\ \Rightarrow\ &I(2;-1).\end{aligned}\)

Bán kính của \((C)\) là \(R=IA=\sqrt{(6-2)^2+(2-(-1))^2}=5\).

Phương trình của \((C)\) là \((x-2)^2+(y+1)^2=25\).

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(-3 ; 2)\).

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M(0 ;-2)\) và có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_{\Delta}=\overrightarrow{IM}=(3 ;-4)\).

Phương trình của \(\Delta\) là

\(3(x-0)-4(y+2)=0 \Leftrightarrow 3 x-4 y-8=0.\)

\(\bullet\,\) Gọi véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \( \Delta \) là \(\overrightarrow{u}_{\Delta}\), véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \( \Delta \) là \(\overrightarrow{n}_{\Delta}\), véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \( d \) là \(\overrightarrow{n}_d\).

Ta có \(\overrightarrow{u}_{\Delta}=\overrightarrow{n}_d=(3;4)\) suy ra \(\overrightarrow{n}_{\Delta}=(4;-3)\).

Phương trình của \(\Delta\) là

\(4(x-4)-3(y-2)=0\Leftrightarrow 4 x-3 y-10=0.\)

\(\bullet\,\) Gọi \(I\) là tâm của đường tròn \((C)\).

Vì \(d\) tiếp xúc với \((C)\) tại điểm \(A\) nên ta có \(IA \perp d\), do đó \(I\) thuộc \(\Delta\).

Mặt khác, \(I\) thuộc đường thẳng \(d'\). Suy ra tọa độ của \(I\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\begin{cases}4x-3y-10=0 \\2x+y=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\y=-2\end{cases} \Rightarrow I(1 ;-2).\)

Bán kính của \((C)\) bằng \(R=I A=\sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2}=5\).

Vậy phương trình của \((C)\) là \((x-1)^2+(y+2)^2=25\).

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1 ;-1)\) và có bán kính \(R=\sqrt{2}\).

\(\bullet\,\) Khoảng cách từ \(I\) đến đường thẳng \(\Delta\) là

\(\mathrm{d}(I, \Delta)=\displaystyle\frac{|1-1+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}.\)

Ta có \(\mathrm{d}(I, \Delta)=R\), do đó \(\Delta\) là một tiếp tuyến của \((C)\).

\(\bullet\,\) Vì đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta\) nên phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(x+y+m=0\), trong đó \(m \neq 2\).

\(d\) là tiếp tuyến của \((C)\) khi và chỉ khi

\(\mathrm{d}(I, d)=R \Leftrightarrow \frac{|1-1+m|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow|m|=2 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&m=2 \\ &m=-2.\end{aligned}\right.\)

Đối chiếu với điều kiện \(m \neq 2\) ta được \(m=-2\).

Vậy phương trình của đường thẳng \(d\) là \(x+y-2=0\).

\(\bullet\,\) Khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(\Delta\) là

\(\mathrm{d}(O, \Delta)=\displaystyle\frac{|-1|}{\sqrt{\left(\sin \alpha^{\circ}\right)^2+\left(\cos \alpha^{\circ}\right)^2}}=1.\)

\(\bullet\,\) Gọi \((C)\) là đường tròn có tâm \(O\) và bán kính \(R=1\).

Vì \(\mathrm{d}(O, \Delta)=1=R\) nên \((C)\) luôn tiếp xúc với \(\Delta\).

Vậy phương trình đường tròn \((C)\) cần tìm là \(x^2+y^2=1\).

Từ cách xác định toạ độ của chất điểm \(M\) ta có

\(\begin{cases}x_M=3+5\sin t^\circ\\ y_M=4+5\cos t^\circ\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_M-3=5 \sin t^\circ\\ y_M-4=5 \cos t^\circ.\end{cases}\)

Suy ra \(\left(x_M-3\right)^2+\left(y_M-4\right)^2=25\).

Vậy chất điểm \(M\) luôn thuộc đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3;4)\) và có bán kính \(R=5\).

Mặt khác gốc tọa độ \(O\) cũng thuộc đường tròn \((C)\).

Do đó ta có \(O M \leq 2 R=10.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(O M\) là đường kinh của đường tròn \((C)\), nghĩa là \(I\) là trung điểm của \(OM\), điều đó tương đương với

\(\begin{cases}x_M= 2 x_1-x_0= 6\\y_M=2y_1-y_0=8\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\sin t^{\circ}=\displaystyle\frac{3}{5} \\ \cos t^{\circ}=\displaystyle\frac{4}{5}\end{cases} \text{ (có } t\in(0;180)\) thỏa mãn hệ.

Vậy \(M(6 ; 8)\).

\(\bullet\,\) Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(-2;4)\) và bán kính \(R=5\).

Ta có \(IA=\sqrt{[-1-(-2)]^2+(3-4)^2}=\sqrt{2}<5\) nên \(A\) nằm trong đường tròn \((C)\).

\(\bullet\,\) Ta có dây cung \(MN\) ngắn nhất khi khoảng cách từ \(I\) đến \(MN\) lớn nhất. Vì \(d\) đi qua \(A\) cố định nên khoảng cách từ \(I\) đến \(d\) lớn nhất bằng \(IA\), hay \(IA\) vuông góc với \(d\). Khi đó \(d\) nhận \(\overrightarrow{IA}=(1;-1)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình đường thẳng \(d\) là \(1(x-(-1))-1(y-3)=0\Leftrightarrow x-y+4=0\).

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(-3;1)\) và \(R=3\).

Ta có \(d{(I;\Delta_1)}=\displaystyle\frac{|-3+1+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}<3\) nên \(\Delta_1\) cắt đường tròn \((C)\).

Ta có \(d{(I;\Delta_2)}=\displaystyle\frac{|3(-3)+4\cdot 1+20|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3\) nên \(\Delta_2\) tiếp xúc với đường tròn \((C)\).

Ta có \(d{(I;\Delta_3)}=\displaystyle\frac{|2(-3)-1+50|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{43\sqrt{5}}{5}>3\) nên \(\Delta_3\) không có điểm chung với \((C)\).