\(\S2\) ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

\(\bullet\,\) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là

\(1\cdot(x-0)-3\cdot(y-2)=0\Leftrightarrow x-3y+6=0.\)

\(\bullet\,\) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là \(\begin{cases}x=t\\y=2+3t.\end{cases}\)

Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua \(A\) và nhận véc-tơ \(\overrightarrow{BC}\) là một véc-tơ pháp tuyến. Ta có \(\overrightarrow{BC}=(-2;4)\) và \(A(1;2)\).

Vậy phương trinh tổng quát của đường thẳng cần tìm là \(-2\cdot(x-1)+4\cdot(y-2)=0\) hay \(x-2y+3=0\).

Đường thẳng \(AB\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{AB}=(1;1)\) là một véc-tơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A(1;2)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB}=(1;1)\) là \(\begin{cases}x=1+t\\ y=2+t.\end{cases}\)

Đường cao kẻ từ \(A(3 ; 7)\) nhận \(\overrightarrow{B C}=(8 ;-1)\) là véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là \(8(x-3)-(y-7)=0.\)

Từ đó ta nhận được phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ \(A\) là \(8 x-y-17=0\).

Tương tự, phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ \(B\) và \(C\) lần lượt là

\(-3 x+6 y-18=0 \text { và } x+y-7=0.\)

Đường thẳng \(\Delta\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2;-1)\) nên các véc-tơ pháp tuyến của \(\Delta\) có dạng là \(\overrightarrow{n'}=(2t;-t)\).

Theo giả thiết, ta có \(\left|\overrightarrow{n'}\right|=\sqrt{(2 t)^2+(-t)^2}=2\sqrt{5}\), suy ra \(t_1=2, t_2=-2\).

Vậy các véc-tơ thoả mãn yêu cầu đề bài là \(\overrightarrow{n'}_1(4 ;-2)\), \(\overrightarrow{n'}_2(-4;2)\).

Biến đổi tương đương phương trình ta có \(y=-2x+3\Leftrightarrow 2x+y-3=0\) nên phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là \(2x+y-3=0\).

Đường thẳng \(d\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}(2;1)\) nên \(d\) nhận \(\overrightarrow{u}(1;-2)\) là một véc-tơ chỉ phương.

Thay \(x=0\) vào phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) ta được \(y=3\). Do đó \(d\) đi qua điểm \(M(0;3)\).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \(\begin{cases}x=t\\y=3-2 t.\end{cases}\)

Do điểm \(N\) nằm trên đường thẳng \(\Delta\) nên \(N(2-t ;2t)\), với \(t\) là tham số.

Khi đó ta có \(\overrightarrow{MN}(-t;2t-1)\).

Từ giả thiết ta suy ra \(M N=\sqrt{(-t)^2+(2 t-1)^2}=\sqrt{2}\).

Giải phương trình trên ta được \(t_1=1 ; t_2=-\displaystyle\frac{1}{5}\).

Vậy các điểm cần tìm là \(N_1(1;2)\); \(N_2\left(\displaystyle\frac{11}{5} ;-\displaystyle\frac{2}{5}\right)\).

Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh \(BC\), khi đó \(d\) đi qua trung điểm \(M(1;1)\) của cạnh \(AB\) và song song với \(BC\).

Suy ra \(d\) nhận \(\overrightarrow{BC}(-6 ;-2)\) là một véc-tơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số của \(d\) là \(\begin{cases}x=1-6t\\y=1-2t.\end{cases}\)

\(\bullet\,\) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC\) vuông góc với \(AB\). Do đó, đường thẳng \(BC\) đi qua điểm \(B(1,2)\) và nhận véc-tơ \(\overrightarrow{AB}(2;2)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình của \(BC\) là \(x+y-3=0\).

\(\bullet\,\) Ta có \(C\) thuộc đường thẳng \(BC\) nên toạ độ điểm \(C\) có dạng \(C(t;3-t)\), \(t>0\).

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC=AB\).

Do đó, ta có phương trình \(\sqrt{(t-1)^2+(1-t)^2}=\sqrt{2^2+2^2}\).

Giải phương trình trên ta được \(t_1=-1\); \(t_2=3\).

Kết hợp điều kiện ta có \(C(3;0)\).

\(\bullet\,\) \(\mathrm{d}(A,\Delta_1)=\displaystyle\frac{|2.(-3)+1-4|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\displaystyle\frac{9\sqrt{5}}{5}\).

\(\bullet\,\) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta_{2}\) là: \(x+3y=0\).

Vậy \(\mathrm{d}(B,\Delta_2)=\displaystyle\frac{|1+3.(-3)|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\displaystyle\frac{4\sqrt{10}}{5}\).

\(\bullet\,\) Từ giả thiết ta có \(\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{-2}{-4}\) nên hai đường thẳng này trùng nhau.

\(\bullet\,\) Từ giả thiết ta có \(\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{-2}{-4}\) nên hai đường thẳng này trùng nhau.

\(\bullet\,\) Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{u_{a}}=(2; 0), \overrightarrow{u_{b}}=(3; 1)\). Khi đó hai véc-tơ chỉ phương của hai đường thẳng không cùng phương với nhau nên hai đường thẳng cắt nhau.

\(\bullet\,\) Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{n_{d_{1}}}=(1;-2), \overrightarrow{u_{d_{2}}}=(-2;-1)\). Khi đó véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d_{2}\) là \(\overrightarrow{n_{d_{2}}}=(1;-2)=\overrightarrow{n_{d_{1}}}\), mà điểm \(M(1; 2)\) thuộc \(d_{2}\) nhưng không thuộc \(d_{1}\) nên hai đường thẳng song song với nhau.

\(\bullet\,\) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(k\). Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{n_d}=(0; 1)\), \(\overrightarrow{n_k}=(1;-1)\). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

\(\cos \varphi=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_d}, \overrightarrow{n_k}\right)\right|=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_d} \cdot \overrightarrow{n_k}\right|}{\left|\overrightarrow{n_d}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_k}\right|}=\displaystyle\frac{|0 \cdot 1+1 \cdot(-1)|}{1 \cdot \sqrt{2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow \varphi=45^{\circ}.\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng là \(\varphi=45^{\circ}\).

\(\bullet\,\) Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\).

Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{u}_a=(1; 2)\), \(\overrightarrow{n_{b}}=(3; 1)\) nên \(\overrightarrow{u}_b=(1;-3)\). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

\(\cos \alpha=\left|\cos \left(\overrightarrow{u}_a, \overrightarrow{u}_b\right)\right|=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_a \cdot \overrightarrow{u}_b\right|}{\left|\overrightarrow{u}_a\right| \cdot\left|\overrightarrow{u}_b\right|}\) \(=\displaystyle\frac{|1 \cdot 1+2 \cdot(-3)|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Rightarrow \alpha=45^{\circ}.\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) là \(\alpha=45^{\circ}\).

\(\bullet\,\) Gọi \(\beta\) là góc giữa hai đường thẳng \(m\) và \(n\).

Từ giả thiết ta có \(\overline{u_m}=(1; \sqrt{3})\), \(\overrightarrow{u}_n=(-1; \sqrt{3})\). Do đó theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng thì

\(\cos \beta=\left|\cos \left(\overrightarrow{u}_m, \overrightarrow{u}_n\right)\right|=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_m \cdot \overrightarrow{u}_n\right|}{\left|\overrightarrow{u}_m\right| \cdot\left|\overrightarrow{u}_n\right|}=\displaystyle\frac{|1 \cdot(-1)+\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}|}{2 \cdot 2}=\displaystyle\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow \beta=60^{\circ}.\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(m\) và \(n\) là \(\beta=60^{\circ}\).

\(\bullet\,\) Do \(\displaystyle\frac{2}{2} \neq \displaystyle\frac{1}{5}\) nên hai đường thẳng này cắt nhau.

Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng. Khi đó toạ độ \(I\) là nghiệm của hệ

\(\begin{cases}2 x + y + 1 = 0 \\ 2 x + 5 y - 3 = 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-1 \\y=1.\end{cases}\)

Vậy \(I(-1;1)\).

\(\bullet\,\) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(k\).

Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{n_d}=(2; 1), \overrightarrow{n_k}=(2; 5)\). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

\(\cos \varphi=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_d}, \overrightarrow{n_k}\right)\right|=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_d} \cdot \overrightarrow{n_k}\right|}{\left|\overrightarrow{n_d}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_k}\right|}\) \(=\displaystyle\frac{|2 \cdot 2+1 \cdot 5|}{\sqrt{5} \sqrt{29}}=\displaystyle\frac{9}{\sqrt{145}}.\)

Do đó \(\tan ^{2} \varphi=\displaystyle\frac{1}{\cos ^{2} \varphi}-1=\displaystyle\frac{145}{81}-1=\displaystyle\frac{64}{81}\) \(\Rightarrow \tan \varphi=\displaystyle\frac{8}{9}\).

Do \(M\) thuộc \(Ox\) nên toạ độ của \(M\) có dạng \(M(m; 0)\).

Từ giả thiết ta có \(\mathrm{\,d}(M, \Delta) =\displaystyle\frac{|3 m+0-3|}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=\sqrt{10}\).

Giải phương trình ta được \(m_1=\displaystyle\frac{13}{3}; m_2=-\displaystyle\frac{7}{3}\).

Vậy có hai điểm thoả mãn là \(M_1\left(\displaystyle\frac{13}{3}; 0\right); M_2\left(-\displaystyle\frac{7}{3}; 0\right)\).

\(\bullet\,\) \(\Delta\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}(2; 1)\). Do \(d\) song song với \(\Delta\) hên \(d\) nhận \(\overrightarrow{n}(2; 1)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A(3; 1)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}(2; 1)\) nên có phương trình tổng quát là \(2 x+y-7=0\).

\(\bullet\,\) \(\Delta\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_{\Delta}}=(1;-2)\).

Do \(k\) vuông góc với \(\Delta\) nên \(k\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{u_{\Delta}}=(\uparrow;-2)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(k\) đi qua \(B(-1; 0)\) và có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_k}=(\uparrow;-2)\) nên có phương trình tổng quát là \(x-2 y+1=0\).

\(\bullet\,\) Đường thẳng \(a\) song song với \(\Delta\) nên phương trình đường thẳng \(a\) có dạng \(2 x+y+c=0\) với \(c \neq-5\).

Theo công thức tính khoảng cách ta có \(\mathrm{\,d}(O, a) =\displaystyle\frac{|2 \cdot 0+0+c|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}\).

Giải phương trình ta được \(c=\pm 5\).

Kết hợp điều kiện ta có \(c=5\).

Vậy phương trình đường thẳng \(a\) là \(2 x+y+5=0\).

\(\bullet\,\) Độ dài đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(A\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến cạnh \(BC\).

Đường thẳng \(BC\) nhận \(\overrightarrow{BC}=(-2; 1)\) là một véc-tơ chỉ phương. Do đó \(\overrightarrow{n}=(1; 2)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \(BC\). Đường thẳng \(BC\) đi qua điểm \(B(2;-2)\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1; 2)\) nên có phương trình tổng quát là \(x+2 y+2=0\).

Theo công thức tính khoảng cách, ta có \(d(A, BC) =\displaystyle\frac{|2+2 \cdot(-1)+2|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\).

\(\bullet\,\) Ta có \(BC=\sqrt{5}\) nên \(S_{ABC}=\displaystyle\frac{1}{2} d(A; BC) \cdot BC=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5}=1\).

\(\bullet\,\) Ta có \(AB=1, BC=\sqrt{5}, AC=2\).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là

\(r=\displaystyle\frac{S_{ABC}}{p}=\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}+2}{2}\right)}\) \(=\displaystyle\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2}.\)

\(\bullet\,\) Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có \(-2-2 \cdot 2+1=-5 \neq 0\).

Vậy điểm \(A\) không thuộc đường thẳng \(d\).

\(\bullet\,\) Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).

Khi đó \(\Delta\) nhận véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d}}=(2; 1)\) của đường thẳng \(d\) là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình \(\Delta\) là \(2(x+2)+1(y-2)=0 \Leftrightarrow 2 x+y+2=0\).

Hình chiếu vuông góc \(H\) của điểm \(A\) trên đường thẳng \(d\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và \(\Delta\).

Do đó, toạ độ của điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \(\begin{cases}x-2 y+1=0 \\ 2 x+y+2=0.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình ta được \(x=-1, y=0\).

Vậy \(H(-1; 0)\).

\(\bullet\,\) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(d\).

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AA'\). Từ đó ta có \(A'(0;-2)\).

\(\bullet\,\) Ta có \((-3+0-1) \cdot(1-2-1)=8>0\) nên theo tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta có \(A\), \(B\) nằm cùng phía so với đường thẳng \(d\).

\(\bullet\,\) Do \(M \in d\) nên toạ độ của điểm \(M\) có dạng \(M(t; 1-t)\). Chu vi tam giác \(AB M\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M A+M B\) nhỏ nhất.

Lấy \(A'\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(d\). Khi đó ta có \(M A+M B=MA'+MB \geq A' B\). Dấu bằng xảy ra khi \(M=A'B \cap d\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(d\).

Khi đó \(A H\) đi qua điểm \(A(-3; 0)\) và nhận véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d}}=(1;-1)\) của đường thẳng \(d\) là véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của \(A H\) là \(x-y+3=0\).

Vậy toạ độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \(\begin{cases}x+y-1=0 \\ x-y+3=0.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình ta được \(x=-1, y=2\). Suy ra \(H(-1; 2)\).

Mặt khác, \(H\) là trung điểm của \(A A'\) nên \(A'(1; 4)\).

Ta có \(\overrightarrow{A' B}=(0;-6)\) là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(A' B\).

Do đó \(A' B\) là đường thẳng đi qua điểm \(A'(1; 4)\) và nhận \(\overrightarrow{n}(1; 0)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình của đường thẳng \(A' B\) là \(x=1\).

Vậy toạ độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\begin{cases}x+y-1=0 \\ x=1.\end{cases}\)

Do đó ta có \(M(1; 0)\).

\(\bullet\,\) Do \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của \(B C, C A, A B\) nên \(M N \parallel A B, N P \parallel B C\), \(M P \parallel A C\).

Ta có \(\overrightarrow{M N}=(4 ; 3)\) là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(A B\), mà \(P(5 ; 6)\) thuộc \(A B\).

Suy ra phương trình tham số của \(A B\) là \(\left\{\begin{array}{l}x=5+4 t_1 \\ y=6+3 t_1.\end{array}\right.\)

Tương tự, phương trình tham số của \(B C\) và \(C A\) lần lượt là

\(\left\{\begin{array}{l} x = - 1 + t_2 \\ y = 1 + t_2\end{array}\right.\) và \(\left\{\begin{array}{l}x=3-6 t_3 \\ y=4-5 t_3.\end{array}\right.\)

\(\bullet\,\) Gọi \(d\) là đường trung trực của \(A B\).

Ta có \(\overrightarrow{M N}=(4 ; 3)\) là véc-tơ pháp tuyến của \(d\) và \(P(5 ; 6)\) thuộc \(d\).

Suy ra phương trình của \(d\) là \(4(x-5)+3(y-6)=0\).

Từ đó ta nhận được phương trình tổng quát của \(d\) là \(4 x+3 y-38=0\).

Tương tự, phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh \(B C\) và \(C A\) lần lượt là

\(x+y=0\) và \(-6 x-5 y+38=0.\)

\(\bullet\,\) \(M\) nằm trên \(\Delta\) nên ta lấy toạ độ của \(M\) là \((4+m ;-1+2 m)\) (\(m\) là số thực).

Ta có

\(A M=\sqrt{17} \Leftrightarrow(m+2)^2+(2 m-2)^2=17 \Leftrightarrow 5 m^2-4 m-9=0.\)

Giải phương trình trên ta có \(m=\displaystyle\frac{9}{5}\) hoặc \(m=-1\).

Vậy có 2 trường hợp là \(M\left(\displaystyle\frac{29}{5};\displaystyle\frac{13}{5}\right)\) và \(M(3 ;-3)\).

\(\bullet\,\) \(N\) nằm trên \(\Delta\) nên ta lấy toạ độ của \(N\) là \((4+n ;-1+2 n\)) (\(n\) là số thực).

Ta có \(\overrightarrow{A N}=(n+2 ; 2 n-2)\) và \(\overrightarrow{u}=(1 ; 2)\) là véc-tơ chỉ phương của \(\Delta\).

Đoạn thẳng \(A N\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(N\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\Delta\).

Suy ra \(A N\) vuông góc với \(\Delta\) hay

\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{A N}=0 \Leftrightarrow 1(n+2)+2(2 n-2)=0 \Leftrightarrow n=\displaystyle\frac{2}{5}.\)

Vậy \(N\left(\displaystyle\frac{22}{5};-\displaystyle\frac{1}{5}\right)\).

\(\bullet\,\) \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta\) nên \(M(m ; 4-2 m)\) (\(m\) là số thực). Ta có

\(\begin{aligned}&M A=\sqrt{(-2-m)^2+(-2+2 m)^2}, M B=\sqrt{(7-m)^2+(1+2 m)^2}. \\ &M A=M B \Leftrightarrow \sqrt{(-2-m)^2+(-2+2 m)^2}=\sqrt{(7-m)^2+(1+2 m)^2} \Leftrightarrow m=7.\end{aligned}\)

Vậy \(M(7 ;-10)\).

\(\bullet\,\) \(N\) thuộc đường thẳng \(\Delta\) nên \(N(n ; 4-2 n)\) (\(n\) là số thực).

Ta có \(\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}=(9-3 n ;-10+6 n)\).

\(\begin{aligned}&\left|\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}\right| =\sqrt{(9-3 n)^2+(-10+6 n)^2}=\sqrt{45 n^2-174 n+181} \\ =\ &\sqrt{45\left(n-\displaystyle\frac{29}{15}\right)^2+\displaystyle\frac{64}{5}} \geq \sqrt{\displaystyle\frac{64}{5}}=\displaystyle\frac{8 \sqrt{5}}{5}.\end{aligned}\)

Vậy \(\left| \overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}\right|\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\displaystyle\frac{8 \sqrt{5}}{5}\) khi \(N\left(\displaystyle\frac{29}{15} ; \displaystyle\frac{2}{15}\right)\).

\(\bullet\,\) Vì \(\displaystyle\frac{2}{2}\neq\displaystyle\frac{-3}{1}\) nên \(d_{1}\) cắt \(d_2\).

\(\bullet\,\) Ta có véc-tơ pháp tuyến \(d_{3}\), \(d_{4}\) cùng phương nên \(d_{3}\parallel d_{4}\) hoặc \(d_{3}\equiv d_{4}\).

Vì \(A(-1;3)\in d_3\) và \(A(-1;3)\notin d_4\) nên nên \(d_{3}\parallel d_{4}\).

\(\bullet\,\) Ta có véc-tơ chỉ phương \(d_{5}\), \(d_{6}\) cùng phương nên \(d_{5}\parallel d_{6}\) hoặc \(d_{5}\equiv d_{6}\).

Vì \(B(2;-1)\in d_5\) và \(B(2;-1)\in d_6\) nên \(d_{5}\equiv d_{6}\).

\(\bullet\,\) \(\cos(\Delta_{1},\Delta_{2})=\displaystyle\frac{|3.1+1.2|}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{1^2+2^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Vậy \((\Delta_{1},\Delta_{2})=45^\circ\).

\(\bullet\,\) \(\cos(\Delta_{3},\Delta_{4})=\displaystyle\frac{|\sqrt{3}.(-\sqrt{3})+3(-1)|}{\sqrt{3+9}.\sqrt{3+1}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Vậy \((\Delta_{3},\Delta_{4})=30^\circ\).

\(\bullet\,\) \(d_{6}\) có véc-tơ pháp tuyến \((\sqrt{3};3)\).

\(\cos(\Delta_{5},\Delta_{6})=\displaystyle\frac{|-\sqrt{3}.\sqrt{3}+3.3|}{\sqrt{3+9}.\sqrt{3+9}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy \((\Delta_{5},\Delta_{6})=60^\circ\).

Lấy \(M(x_0;y_0)\in\Delta_{1}\), suy ra \(ax_0+by_0+c=0\).

Khi đó ta có:

\begin{eqnarray*}&&\mathrm{d}(\Delta_{1},\Delta_{2})=\mathrm{d}(M,\Delta_{2})=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ &=&\displaystyle\frac{|(ax_0+by_0+c)+(d-c)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\displaystyle\frac{|d-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\end{eqnarray*}

Ta có: \(\overrightarrow{u_1}=(2;m)\) và \(\overrightarrow{u_2}=(2;1)\) lần lượt là véc-tơ chỉ phương của \(\Delta_{1}\) và \(\Delta_{2}\).

\(\bullet\,\) \(\Delta_{1} \parallel \Delta_{2}\) nếu \(\overrightarrow{u_1}\) và \(\overrightarrow{u_2}\) cùng phương, tức là \(\displaystyle\frac{2}{2}=\displaystyle\frac{m}{1}\Leftrightarrow m=1\).

\(\bullet\,\) \(\Delta_{1} \perp \Delta_{2}\) nếu \(\overrightarrow{u_1}\perp\overrightarrow{u_2}\), tức là \(\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=0\Leftrightarrow2.2+m.1+0\Leftrightarrow m=-4\).

Trường hợp 1: \(A, C\) ở cùng phía so với \(\Delta\). Khi đó \(\Delta\parallel AC\), phương trình đường thẳng \(\Delta\) là: \(x-4y+4=0\).

Trường hợp 2: \(A, C\) ở khác phía so với \(\Delta\). Khi đó \(\Delta\) đi qua trung điểm của \(AC\), phương trình đường thẳng \(\Delta\) là: \(x+2y-8=0\).

\(\bullet\,\) Tàu \(A\) di chuyển theo hướng cùng hướng với véc-tơ \(\overrightarrow{u_1}=(36;8)\), tàu \(B\) di chuyển theo hướng cùng hướng với véc-tơ \(\overrightarrow{u_2}=(8;-36)\). Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường đi của hai tàu.

Ta có \(\cos\varphi=\lvert \cos\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)\lvert=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}|.|\overrightarrow{u_2}|}\) \(=\displaystyle\frac{|36.8+8.(-36)|}{\sqrt{36^2+8^2}.\sqrt{8^2+(-36)^2}}=0\).

\(\bullet\,\) Vị trí của tàu \(A\) sau khi xuất phát \(t\)(giờ) là điểm \(M\) có tọa độ là \((7+36t;-8+8t)\).

Vị trí của tàu \(B\) sau khi xuất phát \(t\)(giờ) là điểm \(N\) có tọa độ là \((9+8t;5-36t)\).

Do đó \(\overrightarrow{MN}=(2-28t;13-44t)\).

Suy ra \(MN=\sqrt{(2-28t)^2+(13-44t)^2}\) \(=\sqrt{2720\left(t-\displaystyle\frac{157}{680}\right)^2+\displaystyle\frac{4761}{170}}\) \(\geq\sqrt{\displaystyle\frac{4761}{170}}\approx 5,29 \mathrm{~(km).}\)

\(MN\) nhỏ nhất bằng xấp xỉ \(5{,}29\) khi \(t=\displaystyle\frac{157}{680}\) (giờ).

Như vậy, sau \(\displaystyle\frac{157}{680}\) giờ di chuyển thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau khoảng \(5{,}29\) km.

Gọi \(x, y\) lần lượt là số chiếc bánh mì và chai nước khoáng mà lớp Việt định mua để bán.

Khi đó từ giả thiết ta có \(x, y \in \mathbb{N}\).

Mặt khác từ giả thiết ta có

\(\begin{cases}x+y \leq 200 \\ 15\,000 x+5\,000 y \leq 2\,000\,000\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x+y \leq 200 \\ 3 x+y \leq 400.\end{cases}\)

Nếu bán hết thì lợi nhuận lớp Việt có được là \(T=5x+3y\) (nghìn đồng).

Để tìm lợi nhuận lớn nhất ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(d=5x+3y\).

Trước hết, ta biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình

\(\begin{cases}x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x+y \leq 200 \\ 3 x+y \leq 400\end{cases}\)

trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), là miền tứ giác \(OABC\).

Khi đó các cặp \((x; y)\) thoả mãn đề bài là các cặp số tự nhiên sao cho điểm \(M(x; y)\) nằm trong miền tứ giác \(OABC\).

Ta có \(d=5 x+3 y=\sqrt{34} \cdot \displaystyle\frac{|5 x+3 y|}{\sqrt{5^{2}+3^{2}}}=\sqrt{34} \cdot \mathrm{\,d}(M, \Delta)\) với \(\Delta\) là đường thẳng có phương trình \(5 x+3 y=0\).

Gọi \(k\) là đường thẳng qua \(M\) và song song với \(\Delta\).

Khi đó ta có \(\mathrm{\,d}(M, \Delta) =\mathrm{\,d}(k, \Delta) \).

Do đó \(d\) lớn nhất tương ứng với khoảng cách giữa \(k\) và \(\Delta\) lớn nhất.

Từ hình vẽ ta có khoảng cách giữa \(k\) và \(\Delta\) lớn nhất khi \(M\) trùng \(B\).

Do đó giá trị lớn nhất của \(d\) là \(\sqrt{34} \cdot \displaystyle\frac{|5 \cdot 100+3 \cdot 100|}{\sqrt{5^{2}+3^{2}}}=800\).

Vậy lợi nhuận tối đa mà lớp Việt có thể đạt được là 800 nghìn đồng khi các bạn mua và bán được 100 chiếc bánh mì và 100 chai nước.