\(\S1\) DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. Lí thuyết
1. Tam thức bậc hai
\(\bullet\,\) Là biểu thức có dạng:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
\(\quad\) trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là các hệ số và \(\color{red}{a\neq 0}\).
\(\bullet\,\) Nghiệm của tam thức \(f(x)\) là nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\).
2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq 0)\).
\(\bullet\,\) Nếu \(\Delta<0\) (hay \(f(x)\) vô nghiệm) thì \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi giá trị \(x\).
\(\bullet\,\) Nếu \(\Delta=0\) (hay \(f(x)\) có nghiệm kép \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\)) thì \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi giá trị \(x\neq x_0\).
\(\bullet\,\) Nếu \(\Delta>0\) (hay \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 < x_2\)) thì \(f(x)\) trái dấu với \(a\) với mọi \(x\in(x_1;x_2)\), \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi \(x\) thuộc hai khoảng \((-\infty;x_1)\) và \((x_2;+\infty)\).
Ví dụ 1.
Xét dấu tam thức: \(f(x)=-x^2+3x+10\).
Lời giải
Ta có: \(f(x)=0\Leftrightarrow -x^2+3x+10=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-2\\ &x=5.\end{aligned}\right.\)
Bảng xét dấu
Vậy \(f(x)\) dương trên khoảng \((-2;5)\) và âm trên hai khoảng \((-\infty;-2)\) và \((5;+\infty)\).
Ví dụ 2.
Xét dấu tam thức: \(f(x)=4x^2+4x+1\).
Lời giải
Ta có: \(f(x)=0\Leftrightarrow 4x^2+4x+1=0\Leftrightarrow x=-2.\)
Bảng xét dấu
Vậy \(f(x)\) dương với mọi \(x\neq -2\).
Ví dụ 3.
Xét dấu tam thức: \(f(x)=2x^2-2x+1\).
Lời giải
Ta có: \(f(x)=0\Leftrightarrow 2x^2-2x+1=0\), phương trình vô nghiệm.
Bảng xét dấu
Vậy \(f(x)\) dương với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
Ví dụ 4.
Xét dấu tam thức: \(f(x)=2x^2-3x-2\).
Lời giải
Ta có: \(f(x)=0\Leftrightarrow 2x^2-3x-2=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=2\\ &x=-\dfrac{1}{2}.\end{aligned}\right.\)
Bảng xét dấu
Vậy \(f(x)\) dương trên hai khoảng \(\left(-\infty;-\dfrac{1}{2}\right)\) và \((2;+\infty)\), âm trên khoảng \(\left(-\dfrac{1}{2};2\right)\).
Ví dụ 5.
Xét dấu tam thức: \(f(x)=-x^2+2x-3\).
Lời giải
Ta có: \(f(x)=0\Leftrightarrow -x^2+2x-3=0\), phương trình vô nghiệm.
Bảng xét dấu
Vậy \(f(x)\) âm với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
II. Bài tập
Bài tập 1
Lập bảng xét dấu tam thức bậc hai: \(f(x)=3x^2-7x+4\).
\(f(x)=3x^2-7x+4\) có hai nghiệm là \(x_{1}=1\), \(x_{2}=\displaystyle\frac{4}{3}\) và có hệ số \(a=3>0\).
Ta có bảng xét dấu của \(f(x)\) như hình trên.
Bài tập 2
Lập bảng xét dấu tam thức bậc hai: \(f(x)=25x^2+10x+1\).
\(f(x)=25x^2+10x+1\) có nghiệm kép \(x_{0}=-\displaystyle\frac{1}{5}\) và có hệ số \(a=25>0\).
Ta có bảng xét dấu của \(f(x)\) như hình trên.
Bài tập 3
Lập bảng xét dấu tam thức bậc hai: \(f(x)=3x^2-2x+8\).
\(f(x)=3x^2-2x+8\) vô nghiệm và có hệ số \(a=3>0\).
Ta có bảng xét dấu của \(f(x)\) như hình trên.
Bài tập 4
Lập bảng xét dấu tam thức bậc hai: \(f(x)=-2x^2+x+3\).
\(f(x)=-2x^2+x+3\) có hai nghiệm là \(x_{1}=-1\), \(x_{2}=\displaystyle\frac{3}{2}\) và có hệ số \(a=-2<0\).
Ta có bảng xét dấu của \(f(x)\) như hình trên.
Bài tập 5
Lập bảng xét dấu tam thức bậc hai: \(f(x)=-3x^2+6x-3\).
\(f(x)=-3x^2+6x-3\) có nghiệm kép \(x_{0}=1\) và có hệ số \(a=-3<0\).
Ta có bảng xét dấu của \(f(x)\) như hình trên.
Bài tập 6
Lập bảng xét dấu tam thức bậc hai: \(f(x)=-5x^2+2x-4\).
\(f(x)=-5x^2+2x-4\) vô nghiệm và có hệ số \(a=-5<0\).
Ta có bảng xét dấu của \(f(x)\) như hình trên.
Bài tập 7
Xét dấu của các tam thức bậc hai sau
\(\bullet\,\) \(f(x)=-x^2+6x+7\);
\(\bullet\,\) \(g(x)=3x^2-2x+2\);
\(\bullet\,\) \(h(x)=-16x^2+24x-9\);
\(\bullet\,\) \(k(x)=2x^2-6x+1\).
\(\bullet\,\) Ta có \(f(x)\) có hệ số \(a=-1\) và có hai nghiệm \(x_1=-1\), \(x_2=7\) nên \(f(x)<0\) với mọi \(x\in (-\infty;-1)\cup (7;+\infty)\) và \(f(x)>0\) với mọi \(x\in (-1;7)\).
\(\bullet\,\) \(g(x)\) có hệ số \(a=3>0\) và biệt thức thu gọn \(\Delta'=-5<0\) nên \(g(x)>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
\(\bullet\,\) \(h(x)\) có hệ số \(a=-16<\) và biệt thức thu gọn \(\Delta'=0\) nên \(h(x)<0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\lbrace \displaystyle\frac{3}{4}\right\rbrace \) và \(h\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)=0\) (hay \(h(x)=-(4x-3)^2\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\)).
\(\bullet\,\) \(k(x)\) có hệ số \(a=2>0\) và có hai nghiệm \(x_1=\displaystyle\frac{3-\sqrt{7}}{2}\), \(x_2=\displaystyle\frac{3+\sqrt{7}}{2}\). Suy ra \(k(x)>0\) với mọi \(x\in \left(-\infty;\displaystyle\frac{3-\sqrt{7}}{2}\right)\cup \left(\displaystyle\frac{3+\sqrt{7}}{2};+\infty\right)\) và \(k(x)<0\) với mọi \(x\in \left(\displaystyle\frac{3-\sqrt{7}}{2};\displaystyle\frac{3+\sqrt{7}}{2}\right)\).
Bài tập 8
Tìm \(m\) để tam thức \(f(x)=-x^2-2x+m-12\) không dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Xét tam thức bậc hai \(f(x)=-x^2-2x+m-12\) có hệ số \(a=-1<0\).
\(f(x) \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(\Delta^{\prime} \leq 0\)
\begin{eqnarray*}&\Leftrightarrow & \left(-1\right)^2-\left(-1\right)\left(m-12\right) \leq 0\\ &\Leftrightarrow & m-11 \leq 0\\ &\Leftrightarrow & m \leq 11\end{eqnarray*}
Vậy với \(m \leq 11\) thì tam thức \(f(x)\) không dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Bài tập 9
Với giá trị nào của tham số \(m\) thì hàm số \(y=\sqrt{2x^2-5x+3m-2}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?
Để hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\) thì \(f(x)=2x^2-5x+3m-2\) không âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Xét tam thức bậc hai \(f(x)=2x^2-5x+3m-2\) có hệ số \(a=2>0\).
\(f(x) \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(\Delta \leq 0\)
\begin{eqnarray*}&\Leftrightarrow & \left(-5\right)^2-4 \cdot 2 \cdot \left(3m-2\right) \leq 0\\ &\Leftrightarrow & -24m+41 \leq 0\\ &\Leftrightarrow & m \geq \displaystyle\frac{41}{24}\end{eqnarray*}
Vậy với \(m \geq \displaystyle\frac{41}{24}\) thì hàm số \(y=\sqrt{2x^2-5x+3m-2}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Bài tập 10
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+6m-1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Để hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\) thì \(f(x)=x^2-4x+6m-1\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Xét tam thức bậc hai \(f(x)=x^2-4x+6m-1\) có hệ số \(a=1>0\).
\(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(\Delta^{\prime}<0\)
\begin{eqnarray*}&\Leftrightarrow & \left(-2\right)^2-1 \cdot \left(6m-1\right) < 0\\&\Leftrightarrow & -6m+5 < 0\\&\Leftrightarrow & m > \displaystyle\frac{5}{6}\end{eqnarray*}
Vậy với \(m > \displaystyle\frac{5}{6}\) thì hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+6m-1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Bài tập 11
Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất \(Q\) sản phẩm là \(Q^2+200Q+180000\) (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là \(1300\) nghìn đồng.
\(\bullet\,\) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết \(Q\) sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.
\(\bullet\,\) Xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để không bị lỗ? Biết rằng các sản phẩm được sản xuất ra đều bán hết.
\(\bullet\,\) Lợi nhuận là:
\(f(Q)=1300Q-\left(Q^2+200Q+180000\right)=-Q^2+1100Q-180000\) (nghìn đồng).
\(\bullet\,\) Xí nghiệp không bị lỗ khi và chỉ khi \(f(Q) \geq 0\).
Ta có bảng xét dấu như trên.
Theo đó, \(f(Q) \geq 0 \Leftrightarrow Q \in \left[200;900\right]\).
Vậy xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm trong đoạn \([200;900]\) để không bị lỗ.
