Bài 3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
1. Hợp và giao của hai tập hợp
Cho hai tập hợp \(A\) và \(B\).
+ Tập hợp các phần tử thuộc \(A\) hoặc thuộc \(B\) gọi là hợp của hai tập \(A\) và \(B\), kí hiệu \(A\cup B\).
\[A\cup B=\{x\ |\ x\in A\ \text{hoặc}\ x\in B\}.\]
+ Tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp \(A\) và \(B\) gọi là giao của hai tập \(A\) và \(B\), kí hiệu \(A\cap B\).
\[A\cap B=\{x\ |\ x\in A\ \text{và}\ x\in B\}.\]
Ví dụ 1. Xác định \(A \cup B\) và \(A \cap B\) trong mỗi trường hợp sau:
a. \(A=\{2;3;5;7\}\), \(B=\{1;3;5;15\}\);
b. \(A=\left\lbrace x \in \mathbb{R}\ \middle|\ x(x+2)=0\right\rbrace \), \(B=\left\{x \in \mathbb{R}\ \middle|\ x^{2}+2=0\right\}\);
c. \(A\) là tập hợp các hình bình hành, \(B\) là tập hợp các hình thoi.
a. \(A \cup B=\{1;2;3;5;7;15\}\), \(A \cap B=\{3;5\}\).
b. Phương trình \(x(x+2)=0\) có hai nghiệm là \(0\) và \(-2\), nên \(A=\{-2 ; 0\}\).
Phương trình \(x^{2}+2=0\) vô nghiệm, nên \(B=\varnothing\).
Từ đó, \(A \cup B=A \cup \varnothing=A=\{-2 ; 0\}\), \(A \cap B=A \cap \varnothing=\varnothing\).
c. Vì mỗi hình thoi cũng là hình bình hành nên \(B \subset A\). Từ đó, \(A \cup B=A\), \(A \cap B=B\).
Ví dụ 2. Lớp \(10\) D có \(22\) bạn chơi bóng đá, \(25\) bạn chơi cầu lông và \(15\) bạn chơi cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp \(10\) D có bao nhiêu học sinh chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông?
+ Kí hiệu \(A\), \(B\) lần lượt là tập hợp các học sinh của lớp \(10\) D chơi bóng đá, chơi cầu lông.
+ Theo giả thiết, \(n(A)=22\), \(n(B)=25\), \(n(A \cap B)=15\).
+ Nhận thấy rằng, nếu tính tổng \(n(A)+n(B)\) thì ta được số học sinh lớp \(10\) D chơi bóng đá hoặc cầu lông, nhưng số bạn chơi cả hai môn được tính hai lần. Do đó, số bạn chơi ít nhất một trong hai môn là
\(\quad\) \(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\) \(=22+25-15=32.\)
+ Vậy lớp \(10\) D có \(32\) học sinh chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông.
Nhận xét.
+ Nếu \(A\) và \(B\) là hai tập hợp hữu hạn thì
\(\quad\) \(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\).
+ Đặc biệt, nếu \(A\) và \(B\) không có phần tử chung, tức \(A \cap B=\varnothing\), thì
\(\quad\) \(n(A \cup B)=n(A)+n(B)\).
2. Hiệu của hai tập hợp, phần bù của tập con
Cho hai tập hợp \(A\) và \(B\).
+ Tập hợp các phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(B\) gọi là hiệu của hai tập \(A\) và \(B\), kí hiệu \(A\setminus B\).
\[A\setminus B=\{x\ |\ x\in A\ \text{và}\ x\not\in B\}.\]
+ Nếu \(A\) là tập con của \(E\) thì hiệu \(E \setminus A\) gọi là phần bù của \(A\) trong \(E\), kí hiệu \(C_{E} A\).
Ví dụ 1. Cho \(E=\{x \in \mathbb{N} \mid x<10\}\), \(A=\{0;2;4;6;8\}\), \(B=\{0;3;6;9\}\).
Xác định các tập hợp \(A \setminus B\), \(B \setminus A\), \(C_{E} A\), \(C_{E} B\).
Ta có:
\(\quad\) \(A \setminus B=\{2;4;8\}\),
\(\quad\) \(B \setminus A=\{3;9\}\),
\(\quad\) \(C_{E} A=\{1;3;5;7;9\}\),
\(\quad\) \(C_{E} B=\{1;2;4;5;7;8\}\).
Chú ý.
Trong các chương sau, để tìm các tập hợp là hợp, giao, hiệu, phần bù của những tập con của tập số thực, ta thường vẽ sơ đồ trên trục số.
Ví dụ 2. Xác định các tập hợp sau đây:
a. \(A=[-2 ; 1) \cup(0 ; 3]\);
b. \(B=(-\infty ; 1] \cup(-2 ; 2)\);
c. \(C=(-1 ; 4] \cap(-3 ; 2)\);
d. \(D=(-3 ; 2) \setminus(1 ; 4)\);
e. \(E=C_{\mathbb{R}}(-\infty ; 2)\).
a. Để xác định tập hợp \(A=[-2 ; 1) \cup(0 ; 3]\), ta vẽ sơ đồ sau đây:
Từ sơ đồ, ta thấy \(A=[-2;3]\).
b. Để xác định tập hợp \(B=(-\infty ; 1] \cup(-2 ; 2)\), ta vẽ sơ đồ sau đây:
Từ sơ đồ, ta thấy \(B=(-\infty;2)\).
c. Để xác định tập hợp \(C=(-1 ; 4] \cap(-3 ; 2)\), ta vẽ sơ đồ sau đây:
Từ sơ đồ, ta thấy \(C=(-1;2)\).
d. Để xác định tập hợp \(D=(-3 ; 2) \setminus(1 ; 4)\), ta vẽ sơ đồ sau đây:
Từ sơ đồ, ta thấy \(D=(-3;1]\).
e. Để xác định tập hợp \(E=C_{\mathbb{R}}(-\infty ; 2)\), ta vẽ sơ đồ sau đây:
Từ sơ đồ, ta thấy \(E=[2;+\infty)\).
BÀI TẬP
Bài tập 1. Xác định các tập hợp \(A \cup B\) và \(A \cap B\) với
a. \(A=\{\text{đỏ; cam; vàng; lục; lam}\},\) \(B=\{\text{lục; lam; chàm; tím}\}\);
b. \(A\) là tập hợp các tam giác đều, \(B\) là tập hợp các tam giác cân.
a. \(A \cup B=\{\text{đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím}\}\).
\(A \cap B=\{\text{lục; lam}\}\).
b. \(A \cup B=B\) và \(A \cap B=A\).
Bài tập 2. Xác định tập hợp \(A \cap B\) trong mỗi trường hợp sau:
a. \(A=\left\{x \in \mathbb{R} \ \middle|\ x^{2}-2=0\right\}\), \(B=\left\lbrace x \in \mathbb{R} \ \middle|\ 2 x-1<0\right\rbrace \);
b. \(A=\left\lbrace (x ; y) \ \middle|\ x, y \in \mathbb{R}, y=2 x-1\right\rbrace \), \(B=\left\lbrace (x ; y) \ \middle|\ x, y \in \mathbb{R}, y=-x+5\right\rbrace \);
c. \(A\) là tập hợp các hình thoi, \(B\) là tập hợp các hình chữ nhật.
a. Ta có \(A=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-2=0\right\}=\left\lbrace -\sqrt{2};\sqrt{2}\right\rbrace \) và \(B=\{x \in \mathbb{R} \mid 2 x-1<0\}=\left(-\infty;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).
Suy ra \(A \cap B=\left\lbrace -\sqrt{2}\right\rbrace\).
b. Xét hệ phương trình \(\begin{cases}y=2 x-1\\ y=-x+5\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=2\\ y=3.\end{cases}\)
Vậy \(A \cap B=\{(2;3)\}\).
c. \(A\cap B=C\) với \(C\) là tập hợp các hình vuông.
Bài tập 3. Cho \(E=\left\lbrace x \in \mathbb{N} \ \middle|\ x<10\right\rbrace \), \(A=\left\lbrace x \in E \ \middle|\ x \text{ là bội của 3}\right\rbrace \), \(B=\left\lbrace x \in E \ \middle|\ x \text{ là ước của 6}\right\rbrace \). Xác định các tập hợp \(A \setminus B\), \(B \setminus A\), \(C_{E} A\), \(C_{E} B\), \(C_{E}(A \cup B)\), \(C_{E}(A \cap B)\).
Ta xác định được \(E=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}\), \(A=\{0;3;6;9\}\) và \(B=\{1;2;3;6\}\).
Từ đó ta tìm được
\(\quad\) \(A \setminus B=\{0;9\}\);
\(\quad\) \(B \setminus A=\{1;2\}\);
\(\quad\) \(C_{E} A=\{1;2;4;5;7;8\}\);
\(\quad\) \(C_{E} B=\{0;4;5;7;8;9\}\);
\(\quad\) \(A \cup B=\{0;1;2;3;6;9\}\) nên \(C_{E}(A \cup B)=\{4;5;7;8\}\);
\(\quad\) \(A \cap B=\{3;6\}\) nên \(C_{E}(A \cap B)=\{0;1;2;4;5;7;8;9\}\).
Bài tập 4. Cho \(A\) và \(B\) là hai tập hợp bất kì. Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hãy giải thích bằng cách sử dụng biểu đồ Ven.
a. \(A\) và \(A \cup B\);
b. \(A\) và \(A \cap B\).
a. Ta có \(A\subset (A \cup B)\).
b. Ta có \((A \cap B)\subset A\).
Bài tập 5. Trong số \(35\) học sinh của lớp \(10\) H, có \(20\) học sinh thích môn Toán, \(16\) học sinh thích môn Tiếng Anh và \(12\) học sinh thích cả hai môn này. Hỏi lớp \(10\) H
a. có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh?
b. có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn này?
a. Gọi \(A\), \(B\) lần lượt là tập hợp các học sinh lớp \(10\) H thích môn Toán và thích môn Tiếng anh.
\(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\) \(=20+16-12=24\text{ (học sinh)}.\)
Vậy có \(24\) học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh.
b. Số học sinh không thích cả hai môn Toán và Tiếng Anh là
\(\quad\) \(35-24=11\) (học sinh).
Ví dụ 6. Xác định các tập hợp sau đây:
a. \((-\infty ; 0] \cup[-\pi ; \pi]\);
b. \([-3,5 ; 2] \cap(-2 ; 3,5)\);
c. \(\left( -\infty ; \sqrt{2}\right] \cap[1 ;+\infty)\);
d. \(\left( -\infty ; \sqrt{2}\right] \setminus[1 ;+\infty)\).
a. \((-\infty ; 0] \cup[-\pi ; \pi]=(-\infty;\pi]\).
b. \([-3{,}5 ; 2] \cap(-2 ; 3{,}5)=(-2;2]\).
c. \(\left( -\infty ; \sqrt{2}\right] \cap[1 ;+\infty)=\left[1;\sqrt{2}\right]\).
d. \(\left( -\infty ; \sqrt{2}\right] \setminus[1 ;+\infty)=(-\infty;1)\).