Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\), \(y\) là bất phương trình có một trong các dạng
\(ax+by+c<0\); \(ax+by+c>0\); \(ax+by+c\leq 0\); \(ax+by+c\geq 0\),
trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là những số cho trước; \(a\), \(b\) không đồng thời bằng \(0\) và \(x\), \(y\) là các ẩn.
Ví dụ. Tìm bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các bất phương trình sau đây:
a. \(x-5y+2 < 0\);
b. \(9x^2+8y-7 \geq 0\);
c. \(3x-2>0\);
d. \(4y+11 \leq 0\).
+ Các bất phương trình a), c), d) là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Bất phương trình b) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \(x^2\).
2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Xét bất phương trình \(ax+by+c<0\).
Mỗi cặp \(x_0;y_0\) thỏa mãn \(ax_0+by_0+c<0\) được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
+ Nghiệm của các bất phương trình còn lại có định nghĩa tương tự.
Ví dụ. Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình \(20x+50y-700 < 0\)?
a. \((5;6)\);
b. \((9;11)\).
a. Vì \(20 \cdot 5 + 50 \cdot 6 - 700=-300<0\) nên \((5;6)\) là nghiệm của bất phương trình \(20x+50y-700 < 0\).
b. Vì \(20 \cdot 9 +50 \cdot 11 - 700=30 >0\) nên \((9;11)\) không phải là nghiệm của bất phương trình \(20x+50y-700 < 0\).
3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập hợp các điểm \((x_0;y_0)\) sao cho \(ax_0+by_0+c<0\) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình \(ax+by+c<0\).
+ Miền nghiệm của các bất phương trình còn lại có định nghĩa tương tự.
Các bước biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax+by+c<0\):
+ B1. Trên mặt phẳng \(Oxy\), vẽ đường thẳng \(\Delta\colon ax+by+c=0\).
+ B2. Lấy một điểm \((x_0;y_0)\) không thuộc \(\Delta\). Tính \(ax_0+by_0+c\).
+ B3. Kết luận
\(-\) Nếu \(ax_0+by_0+c<0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta\)) chứa điểm \((x_0;y_0)\).
\(-\) Nếu \(ax_0+by_0+c>0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta\)) không chứa điểm \((x_0;y_0)\).
Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng \(ax+by+c \le 0\) (hoặc \(ax+by+c \ge 0\)) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình \(ax+by+c < 0\) (hoặc \(ax+by+c > 0\)) kể cả bờ.
Ví dụ. Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau:
a. \(x-2y-1>0\);
b. \(x+y-1 \le 0\).
a. \(x-2y-1>0\).
+ Vẽ đường thẳng \(\Delta \colon x-2y-1=0\) đi qua hai điểm \(A(1;0)\) và \(B\left(0;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).
+ Xét gốc tọa độ \(O(0;0)\).
+ Ta thấy \(O \notin \Delta\) và \(0-2 \cdot 0 -1<0\).
+ Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(\Delta\), không chứa gốc tọa độ \(O\) (miền không gạch chéo trên hình bên).
b. \(x+y-1\le 0\).
+ Vẽ đường thẳng \(\Delta \colon x+y-1=0\) đi qua hai điểm \(A(1;0)\) và \(B(0;1)\).
+ Xét gốc tọa độ \(O(0;0)\).
+ Ta thấy \(O \notin \Delta \) và \(0+0-1<0\).
+ Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ \(\Delta\), chứa gốc tọa độ \(O\) (miền không gạch chéo trên hình bên).
BÀI TẬP
Bài tập 1. Cho bất phương trình hai ẩn \(x-2y+6>0\).
a. \((0;0)\) có phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho không?
b. Chỉ ra ba cặp số \((x ; y)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
c. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng \(Oxy\).
a. Thế \((0;0)\) vào bất phương trình \(x-2y+6>0\) ta được \(0-2 \cdot 0+6=6>0\), do đó \((0;0)\) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
b. \(1-2\cdot 2+6>0\) nên \((1;2)\) là nghiệm của bất phương trình.
\(-1-2\cdot 2+6>0\) nên \((-1;2)\) là nghiệm của bất phương trình.
\(0-2\cdot 2+6>0\) nên \((0;2)\) là nghiệm của bất phương trình.
c. Xét bất phương trình: \(x-2y+6>0\).
+ Vẽ đường thẳng \(\Delta\colon x-2y+6=0\) đi qua hai điểm \(A(0;3)\) và \(B(-6;0)\).
+ Xét gốc tọa độ \(O(0;0)\notin \Delta\), ta có \(0-2\cdot 0+6>0\).
+ Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(\Delta\), chứa gốc tọa độ \(O\) (miền không gạch chéo trên hình).
Bài tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).
a. \(-x+y+2>0\).
b. \(y+2\ge 0\).
c. \(-x+2\le 0\).
a. Bất phương trình \(-x+y+2>0\).
+ Vẽ đường thẳng \(d_1\colon -x+y+2=0\) đi qua hai điểm \(A(2;0)\) và \(B(0;-2)\).
+ Xét gốc tọa độ \(O(0;0)\notin d_1\), ta có \(-0+0+2>0\).
+ Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d_1\), chứa gốc tọa độ \(O\) (miền không gạch chéo trên hình).
b. Bất phương trình \(y+2 \ge 0\).
+ Vẽ đường thẳng \(d_2\colon y+2=0\) đi qua điểm \(C(0;-2)\) và song song trục hoành.
+ Xét gốc tọa độ \(O(0;0)\notin d_2\), ta có \(0+2>0\).
+ Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ \(d_2\), chứa gốc tọa độ \(O\) (miền không gạch chéo trên hình).
c. Bất phương trình \(-x+2 \le 0\).
+ Vẽ đường thẳng \(d_3\colon -x+2=0\) đi qua điểm \(D(2;0)\) và song song với trục tung.
+ Xét gốc tọa độ \(O(0;0)\notin d_3\), ta có \(-0+2>0\).
+ Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ \(d_3\), không chứa gốc tọa độ \(O\) (miền không gạch chéo trên hình).
Bài tập 3. Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).
a. \(-x+2+2(y-2)<2(1-x)\).
b. \(3(x-1)+4(y-2)<5x-3\).
a. Bất phương trình \(-x+2+2(y-2)<2(1-x) \Leftrightarrow x+2y-4<0\).
+ Vẽ đường thẳng \(d\colon x+2y-4=0\) đi qua hai điểm \(A(4;0)\) và \(B(0;2)\).
+ Xét gốc tọa độ \(O(0;0)\notin d\), ta có \(0+2\cdot 0-4<0\).
+ Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d\), chứa gốc tọa độ \(O\) (miền không gạch chéo trên hình).
b. Bất phương trình \(3(x-1)+4(y-2)<5x-3\Leftrightarrow -2x+4y-8<0\Leftrightarrow -x+2y-4<0\).
+ Vẽ đường thẳng \(d'\colon -x+2y-4=0\) đi qua hai điểm \(A(-4;0)\) và \(B(0;2)\).
+ Xét gốc tọa độ \(O(0;0)\notin d'\), ta có \(-0+2\cdot 0-4<0\).
+ Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d'\), chứa gốc tọa độ \(O\) (miền không gạch chéo trên hình).
Bài tập 4. Bạn Cúc muốn pha hai loại nước cam. Để pha một lít nước cam loại \(I\) cần \(30\) g bột cam, còn một lít nước cam loại \(II\) cần \(20\) g bột cam. Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số lít nước cam loại \(I\) và \(II\) pha chế được. Biết rằng Cúc chỉ có thể dùng không quá \(100\) g bột cam. Hãy lập các bất phương trình mô tả số lít nước cam loại \(I\) và \(II\) mà bạn Cúc có thể pha chế được và biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình đó trên cùng một mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
+ Với \(x\) lít \((x \geq 0)\) nước cam loại \(I\) bạn Cúc cần sử dụng \(20x\) g bột cam.
+ Và \(y\) lít \((y \geq 0)\) nước cam loại \(II\) bạn Cúc cần sử dụng \(30y\) g bột cam.
+ Suy ra tổng số bột cam bạn Cúc sử dụng để pha chế nước cam là: \(20x+30y\).
+ Ta có bất phương trình \(20x+30y\le 100 \Leftrightarrow 2x+3y-10\le 0\).
+ Vẽ đường thẳng \(\Delta\colon 2x+3y-10=0\) đi qua hai điểm \(A(2;2)\) và \(B(5;0)\).
+ Xét gốc tọa độ \(O(0;0)\notin \Delta\), ta có \(2\cdot 0+3\cdot 0-10<0\).
+ Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(2x+3y-10\le 0\) là nửa mặt phẳng kể cả bờ \(\Delta\), chứa gốc tọa độ \(O\) (miền không gạch chéo trên hình).
Bài tập 5. Miền không gạch chéo (không kể bờ \(d\)) trong mỗi hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào?
a. Đường thẳng \(d\colon y=ax+b\) đi qua hai điểm \(A(-5;0)\) và \(B(0;2)\) nên ta có
\(\begin{cases}-5a+b=0\\b=2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=\displaystyle\frac{2}{5}\\b=2.\end{cases}\)
Suy ra \(y=\displaystyle\frac{2}{5}x+2\Leftrightarrow -2x+5y-10=0\).
Ta lại có gốc tọa độ \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình và \(-2\cdot 0+5\cdot 0-10<0\).
Do đó miền nghiệm đã cho là miền nghiệm của bất phương trình \(-2x+5y-10<0\).
b. Đường thẳng \(d'\colon y=a'x+b'\) đi qua hai điểm \(C(3;0)\) và \(D(0;2)\) nên ta có
\(\begin{cases}3a'+b'=0\\b'=2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a' =-\displaystyle\frac{2}{3}\\ b'=2.\end{cases}\)
Suy ra \(y=-\displaystyle\frac{2}{3}x+2\Leftrightarrow 2x+3y-6=0\).
Ta lại có gốc tọa độ \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình và \(2\cdot 0+3\cdot 0-6<0\).
Vậy miền nghiệm đã cho là miền nghiệm của bất phương trình \(2x+3y-6>0\).