\(\S4\) BA ĐƯỜNG CÔNIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

Từ phương trình chính tắc, ta suy ra

\(\begin{cases}a^2=36\\b^2=16\\c^2=a^2-b^2=20\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=6\\b=4\\c=2\sqrt{5}.\end{cases}\)

Các tiêu điểm là \(F_1(-2\sqrt{5};0)\) và \(F_2(2\sqrt{5};0)\).

Tiêu cự \(F_1F_2=2c=4\sqrt{5}\).

Từ phương trình chính tắc, ta suy ra

\(\begin{cases}a^2=16\\b^2=20\\c^2=a^2+b^2=36\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=4\\b=2\sqrt{5}\\c=6.\end{cases}\)

Các tiêu điểm là \(F_1(-6;0)\) và \(F_2(6;0)\).

Tiêu cự \(F_1F_2=2c=12\).

Từ phương trình chính tắc, ta suy ra

\(2p=4\Rightarrow p=2.\)

Tiêu điểm là \(F(1;0)\).

Đường chuẩn \(x=-1\).

Gọi phương trình chính tắc của elip là

\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1,\,(0<b<a).\)

Vì \((E)\) đi qua \(A(6;0)\) nên

\(\displaystyle\frac{6^2}{a^2}+\displaystyle\frac{0^2}{b^2}=1\) \(\Leftrightarrow a^2=36\Rightarrow a=6.\)

Vì elip có tiêu cự bằng \(8\) nên \(2c=8\Leftrightarrow c=4\).

Từ đó ta có

\(4^2=c^2=a^2-b^2\) \(\Leftrightarrow b^2=36-14=20.\)

Vậy, phương trình chính tắc của elip là

\(\displaystyle\frac{x^2}{36}+\displaystyle\frac{y^2}{20}=1.\)

Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) có dạng \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\,\left( a>b>0 \right)\).

Vì \(P\in \left( E \right)\) nên \(\displaystyle\frac{4}{a^2}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27}{4}}{b^2}=1\) (1).

Vì \(Q\in \left( E \right)\) nên \(\displaystyle\frac{8}{{{a}^{2}}}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{18}{4}}{{{b}^{2}}}=1\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\begin{cases}a=4\\b=3.\end{cases}\)

Vậy \(\left( E \right)\colon\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{16}+\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\).

Gọi \(M\left( x;\,y \right)\in \left( E \right)\). Suy ra \(\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{9}+\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\) \((1)\).

Vì \(OP=2,5\) nên \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\displaystyle\frac{25}{4}\) \((2)\).

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(\begin{cases}{{x}^{2}}=\displaystyle\frac{81}{20}\\{{y}^{2}}=\displaystyle\frac{11}{5}.\end{cases}\)

Suy ra \(\left( x;\,y \right)=\left( \displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};\,\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right);\,\left( \displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};-\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right);\,\left( -\displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};\,\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right);\,\left( -\displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};-\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}}\right)\).

Vậy có 4 điểm \(P\) thỏa mãn: \({{P}_{1}}\left( \displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};\,\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right);\,{{P}_{2}}\left( \displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};-\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right);\,{{P}_{3}}\left( -\displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};\,\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right);\,{{P}_{4}}\left( -\displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};-\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right).\)

\(\bullet\,\) Ta có \(\begin{cases}a^2=2\\b^2=1\end{cases}\Rightarrow c^2=a^2-b^2=1\).

Từ đó ta có hai tiêu điểm \(F_1(-1;0)\) và \(F_2(1;0)\).

\(MF_1^2-MF_2^2=\left(x_0+1\right)^2+y_0^2-\left[(x_0-1)^2+y_0^2\right]=4x_0.\)

Mặt khác, \(M\) thuộc elip nên ta có \(MF_1+MF_2=2a=2\sqrt{2}.\) \((1)\)

Từ đó suy ra \(MF_1-MF_2=\displaystyle\frac{MF_1^2-MF_2^2}{MF_1+MF_2}=\displaystyle\frac{4x_0}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}x_0.\) \((2)\)

Giải hệ phương trình \((1)\) và \((2)\), ta được \(MF_1=\sqrt{2}+\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\) và \(MF_2=\sqrt{2}-\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\).

\(\bullet\,\) Sử dụng kết quả của câu trên, ta có

\(MF_2=2MF_1\Leftrightarrow \sqrt{2}-\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}=2\left(\sqrt{2}+\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)\Leftrightarrow x_0=-\displaystyle\frac{2}{3}.\)

Mặt khác, \(M\) thuộc elip nên

\(\displaystyle\frac{\left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2}{2}+\displaystyle\frac{y_0^2}{1}=1\Leftrightarrow y_0^2=\displaystyle\frac{7}{9}\Leftrightarrow y_0=\pm \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}.\)

Vậy, có hai điểm \(M\) là \(M\left(-\displaystyle\frac{2}{3};\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}\right)\) hoặc \(M\left(-\displaystyle\frac{2}{3};-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}\right)\).

\(\bullet\,\) Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(MF_1F_2\), ta có

\begin{eqnarray*}&&\cos \widehat{F_1MF_2}=\displaystyle\frac{MF_1^2+MF_2^2-F_1F_2^2}{2MF_1\cdot MF_2}\\ &=& \displaystyle\frac{\left(\sqrt{2}+\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2}-\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)^2-2^2}{2\left(\sqrt{2}+\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)\cdot\left(\sqrt{2}-\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)}\\ &=&\displaystyle\frac{x_0^2}{4-x_0^2}.\end{eqnarray*}

Ta có \(\displaystyle\frac{x_0^2}{2}=1-y_0^2\le 1\Rightarrow 0\le x_0^2\le 2\).

Suy ra \(\cos \widehat{F_1MF_2}\geq 0\Rightarrow \widehat{F_1MF_2}\le 90^{\circ}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(x_0=0\Rightarrow y_0=\pm 1\).

Vậy \(M(0;1)\) hoặc \(M(0;-1)\) thì nhìn hai tiêu điểm dưới góc lớn nhất.

Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) có dạng \(\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\left( a>b>0 \right)\).

Vì \(P\in \left( E \right)\) nên \(\displaystyle\frac{4}{{{a}^{2}}}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27}{4}}{{{b}^{2}}}=1\) (1).

Vì \(Q\in \left( E \right)\) nên \(\displaystyle\frac{8}{{{a}^{2}}}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{18}{4}}{{{b}^{2}}}=1\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\begin{cases}a=4\\b=3.\end{cases}\)

Vậy \(\left( E \right)\colon\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{16}+\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\).

Phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right)\): \(\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\left( a>0,\,b>0 \right)\).

Vì \(M\in \left( H \right)\) nên \(\displaystyle\frac{1}{{{a}^{2}}}-0=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}=1\Rightarrow a=1\).

Vì \(N\in \left( H \right)\) nên \(\displaystyle\frac{4}{{{a}^{2}}}-\displaystyle\frac{12}{{{b}^{2}}}=1\Rightarrow {{b}^{2}}=4\Rightarrow b=2\).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right):\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{1}-\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\).

Tọa độ giao điểm của hypebol \(\left( H \right)\) và đường thẳng \(y=n\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{cases} \displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \\ y=n\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} {{x}^{2}}=\displaystyle\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}\left( {{n}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\\ y=n\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x=\pm \displaystyle\frac{a}{b}\sqrt{{{n}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ y=n.\end{cases}\)

Suy ra \(P\left( \displaystyle\frac{a}{b}\sqrt{{{n}^{2}}+{{b}^{2}}};n \right)\), \(Q\left( -\displaystyle\frac{a}{b}\sqrt{{{n}^{2}}+{{b}^{2}}};n \right)\).

Ta thấy \( \begin{cases} {{x}_{P}}=-{{x}_{Q}} \\ {{y}_{P}}={{y}_{Q}}\end{cases}\) nên hai điểm \(P\) và \(Q\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\).

Gọi phương trình chính tắc của Parabol \(\left( P \right)\colon {{y}^{2}}=2px \left( p>0 \right)\).

\(\bullet\,\) Vì parabol có đường chuẩn là \(x+\displaystyle\frac{1}{8}=0\) nên ta có \(\displaystyle\frac{p}{2}=\displaystyle\frac{1}{8}\Leftrightarrow p=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Vậy phương trình chính tắc của parabol là \(\left( P \right)\colon {{y}^{2}}=2\cdot \displaystyle\frac{1}{4}x=\displaystyle\frac{1}{2}x\).

\(\bullet\,\) Vì \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( 1;-8 \right)\) nên \({{\left( -8 \right)}^{2}}=2p\cdot 1\Leftrightarrow p=32\).

Vậy phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\colon{{y}^{2}}=64x\).

Thay \( m \) vào phương trình chính tắc của parabol ta có \( y^2=2pm \).

Suy ra \( y=\sqrt{2pm} \) hoặc \( y=-\sqrt{2pm} \).

Không mất tính tổng quát, ta lấy \( I(m;\sqrt{2pm}) \), \( K(m;-\sqrt{2pm}) \).

Vì \( I \), \( K \) có cùng hoành độ và tung độ đối nhau nên \( I \), \( K \) đối xứng qua trục \( Ox \).

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là

\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1,\,(0<a,b).\)

Vì \((H)\) đi qua \(M(3\sqrt{2};-4)\) nên

\(\displaystyle\frac{18}{a^2}-\displaystyle\frac{16}{b^2}=1\Leftrightarrow 18b^2-16a^2=a^2b^2.\) \((1)\)

Vì \((H)\) có tiêu điểm \(F_2(5;0)\) nên \(c=5\), do đó

\(a^2+b^2=c^2\Leftrightarrow a^2+b^2=25.\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) ta có hệ phương trình

\begin{eqnarray*}&&\begin{cases}18b^2-16a^2=a^2b^2\\a^2+b^2=25\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}a^2=25-b^2\\18b^2-16(25-b^2)=(25-b^2)b^2\\a^2=25-b^2\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}\left[\begin{aligned}&b^2=16\\ &b^2=-25\,(\text{vô nghiệm})\end{aligned}\right.\\ a^2=25-b^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^2=9\\b^2=16.\end{cases}\end{eqnarray*}

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là

\(\displaystyle\frac{x^2}{9}-\displaystyle\frac{y^2}{16}=1.\)

Gọi phương trình chính tắc của \((P)\) là \(y^2=2px\) với \(p>0\).

Phương trình đường chuẩn dạng tổng quát là \(x+\displaystyle\frac{p}{2}=0\). Từ đó suy ra \(\displaystyle\frac{p}{2}=4\Leftrightarrow p=8\).

Phương trình chính tắc là \(y^2=16x\).

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right),(x_0\geq 0)\) là điểm thuộc \((P)\). Theo định nghĩa đường parabol, ta có

\(\mathrm{d}\left(M,\Delta\right)=MF\Leftrightarrow |x_0+4|=5\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_0+4=5\\ &x_0+4=-5\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_0=-1\\&x_0=-9.\end{aligned}\right.\)

Vì \(x_0\geq 0\) nên \(x_0=1\), suy ra \(y_0^2=16\Leftrightarrow y_0=\pm 4\).

Vậy có hai điểm \(M\) thỏa mãn là \(M_1(1;4)\) và \(M_2(1;-4)\).

Gọi véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) là \(\overrightarrow{u}(a;b)\). Vì \(\Delta\) không trùng với trục \(Ox\) nên \(b\ne 0\), \(\Delta\) đi qua \(F(4;0)\) nên có phương trình tham số là

\(\begin{cases}x=4+at\\y=bt.\end{cases}\)

Tọa độ giao điểm của \((P)\) và \(\Delta\) (nếu có), ứng với \(t\) là nghiệm của phương trình

\(\left(bt\right)^2=16\cdot \left(4+at\right)\Leftrightarrow b^2t^2-16at-64=0. (1)\)

Vì \((1)\) có \(b^2\cdot (-64)<0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt \(t_1\), \(t_2\).

Theo định lí Vi-ét ta có \(t_1\cdot t_2=\displaystyle\frac{-64}{b^2}\).

Do đó, \(\Delta\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\).

Gọi \(A\left(4+at_1;bt_1\right)\), \(A\left(4+at_2;bt_2\right)\) là tọa độ các giao điểm.

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\mathrm{d}\left(A,Ox\right)\cdot \mathrm{d}\left(B,Ox\right)=\displaystyle\frac{\left|bt_1\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}\cdot \displaystyle\frac{\left|bt_2\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}\\ &=&\left|b^2\cdot t_1t_2\right|=\left|b^2\cdot \displaystyle\frac{-64}{b^2}\right|=64.\end{eqnarray*}

Vậy, tích các khoảng cách từ \(A\), \(B\) đến trục hoành luôn bằng một số không đổi.

Phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right)\): \(\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\left( a>0,\,b>0 \right)\).

Vì \(M\in \left( H \right)\) nên \(\displaystyle\frac{1}{{{a}^{2}}}-0=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}=1\Rightarrow a=1\).

Vì \(N\in \left( H \right)\) nên \(\displaystyle\frac{4}{{{a}^{2}}}-\displaystyle\frac{12}{{{b}^{2}}}=1\Rightarrow {{b}^{2}}=4\Rightarrow b=2\).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right):\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{1}-\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\).

Tọa độ giao điểm của hypebol \(\left( H \right)\) và đường thẳng \(y=n\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{cases} \displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \\ y=n\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}{{x}^{2}}=\displaystyle\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}\left( {{n}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \\ y=n\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x=\pm \displaystyle\frac{a}{b}\sqrt{{{n}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ y=n.\end{cases}\)

Suy ra \(P\left( \displaystyle\frac{a}{b}\sqrt{{{n}^{2}}+{{b}^{2}}};n \right)\), \(Q\left( -\displaystyle\frac{a}{b}\sqrt{{{n}^{2}}+{{b}^{2}}};n \right)\).

Ta thấy \( \begin{cases}{{x}_{P}}=-{{x}_{Q}} \\ {{y}_{P}}={{y}_{Q}}\end{cases}\) nên hai điểm \(P\) và \(Q\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\).

Gọi phương trình chính tắc của Parabol \(\left( P \right)\colon {{y}^{2}}=2px \left( p>0 \right)\).

\(\bullet\,\) Vì parabol có đường chuẩn là \(x+\displaystyle\frac{1}{8}=0\) nên ta có \(\displaystyle\frac{p}{2}=\displaystyle\frac{1}{8}\Leftrightarrow p=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Vậy phương trình chính tắc của parabol là \(\left( P \right)\colon {{y}^{2}}=2\cdot \displaystyle\frac{1}{4}x=\displaystyle\frac{1}{2}x\).

\(\bullet\,\) Vì \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( 1;-8 \right)\) nên \({{\left( -8 \right)}^{2}}=2p\cdot 1\Leftrightarrow p=32\).

Vậy phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\colon{{y}^{2}}=64x\).

Thay \( m \) vào phương trình chính tắc của parabol ta có \( y^2=2pm \).

Suy ra \( y=\sqrt{2pm} \) hoặc \( y=-\sqrt{2pm} \).

Không mất tính tổng quát, ta lấy \( I(m;\sqrt{2pm}) \), \( K(m;-\sqrt{2pm}) \).

Vì \( I \), \( K \) có cùng hoành độ và tung độ đối nhau nên \( I \), \( K \) đối xứng qua trục \( Ox \).

Gọi phương trình chính tắc của elip là \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) vơi \(0<b<a\).

Từ giả thiết ta suy ra

\(\begin{cases}2a=768800\\2b=767640\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=384400\\b=383820.\end{cases}\)

Từ đó suy ra \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{384400^2-383820^2}\approx 21108\).

Khoảng cách lớn nhất từ tâm Trái Đất đến Mặt Trăng là

\(a+c\approx 384400+21108=405508\,\text{km}.\)

Khoảng cách nhỏ nhất từ tâm Trái Đất đến Mặt Trăng là

\(a-c\approx 384400-21108=363292\,\text{km}.\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có tâm \(O\) chính giữa đường, trục \(Oy\) hướng lên trên (hình vẽ).

Giả sử phương trình chính tắc của elip có hình vẽ của nửa nằm trên trục hoành là đường hầm đã nêu là \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) với \(0<a<b\).

Từ giả thiết ta có \(\begin{cases}2a=12\\b=3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=6\\b=3.\end{cases}\)

Phương trình chính tắc là \(\displaystyle\frac{x^2}{36}+\displaystyle\frac{y^2}{9}=1\).

Xét một chiếc xe tải có chiều cao \(2{,}8\) m. Khi đó chiều rộng không quá \(3\) m. Nên tính từ chính giữa xe ra mỗi bên có chiều rộng không qua \(1{,}5\) m. Xe sẽ đi được qua hầm nếu điểm \(M(1{,}5;2{,}8)\) nằm bên trong elip.

Gọi \(N\) là điểm thuộc nửa elip có hoành độ \(x_N=1{,}5\). Ta suy ra

\(\displaystyle\frac{1{,}5^2}{36}+\displaystyle\frac{y_N^2}{9}=1\) \(\Leftrightarrow y_N^2=\displaystyle\frac{135}{36}\Rightarrow y_N=\displaystyle\frac{3\sqrt{15}}{4}\approx 2{,}905>2{,}8.\)

Như vậy, điểm \(M(1{,}5;2{,}8)\) nằm bên trong elip nên xe đi được qua hầm. Tuy nhiên, cần khuyến cáo ô tô đi vào chính giữa hầm.