Đáp án: \(\overrightarrow{AB}=(-2;2)\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-2;2)\).

Đáp án: \((-1;-4)\)

Lời giải:

Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) suy ra \(\overrightarrow{MN}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=(-1;-4)\).

Đáp án: \( (9;-11) \)

Lời giải:

Ta có \( \overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(9;-11) \).

Đáp án: \((-6;9)\)

Lời giải:

\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(-6;9)\).

Đáp án: \((0;-7)\)

Lời giải:

Gọi toạ độ điểm \(B\) là \(B(x,y)\).

Khi đó ta có: \(\begin{cases}\displaystyle\frac{2+x}{2}=1 \\ \displaystyle\frac{3+y}{2}=-2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \\ y=-7\end{cases}\).

Vậy toạ độ điểm \(B\) là \(B(0;-7)\).

Đáp án: \((1;2)\)

Lời giải:

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) nên ta có

\(\begin{cases}x_M = \displaystyle\frac{x_A+x_B}{2}\,\\ y_M=\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_M = 1\,\\ y_M=2.\end{cases}\)

Đáp án: \((3;3)\)

Lời giải:

Tọa độ trọng tâm \(\triangle ABC\) là

\(x=\displaystyle\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=3;\quad y=\displaystyle\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=3.\)

Đáp án: \(\left( \displaystyle\frac{14}{3};\displaystyle\frac{17}{3}\right) \)

Lời giải:

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), ta có

\(\begin{cases}x_G=\displaystyle\frac{3+5+6}{3}=\displaystyle\frac{14}{3}\\y_G=\displaystyle\frac{3+5+9}{3}=\displaystyle\frac{17}{3}.\end{cases}\)

Suy ra \(G\left( \displaystyle\frac{14}{3};\displaystyle\frac{17}{3}\right).\)

Đáp án: \((5;5)\)

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm \(D(x;y)\). Ta có \(\overrightarrow{AD}=(x-2;y-1)\), \(\overrightarrow{BC}=(3;4)\).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \begin{cases}x-2=3\\ y-1=4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=5\\ y=5.\end{cases}\)

Vậy \(D(5;5)\).

Đáp án: \(C(7;9)\)

Lời giải:

Ta có \(ABCD\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x_B-x_A=x_C-x_D\\y_B-y_A=y_C-y_D\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x_C=x_B-x_A+x_D\\y_C=y_B-y_A+y_D\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x_C=2-0+5=7\\y_C=1+3+5=9.\end{cases}\)

Vậy \(C(7;9)\).

}

Đáp án: \(M(4;3)\)

Lời giải:

Gọi \(M(a;b)\). Khi đó \(\overrightarrow{AM}=(a+2;b-1); \overrightarrow{BM}=(a-7;b-4)\).

\(\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{BM}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}a+2=-2(a-7)\\b-1=-2(b-4)\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}a=4\\ b=3\end{cases}\).

Vậy \(M(4;3)\).

Đáp án: \((-3;-3)\)

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm \(E(x;y)\). Ta có \(\overrightarrow{AE}=(x-2;y-5)\), \(\overrightarrow{AB}=(-1;-4)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;-2)\).

Khi đó

\(\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \begin{cases}x-2=-5\\ y-5=-8\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-3\\ y=-3.\end{cases}\)

Vậy \(E(-3;-3)\).

Đáp án: \(\overrightarrow{c} = -2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\)

Lời giải:

Gọi \(x\), \(y\) là hai số thực thỏa \(\overrightarrow{c} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}\).

Khi đó

\(\begin{cases}5x + 4y = 2\\3x + 2y = 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x = - 2\\y = 3.\end{cases}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{c} = -2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\).

}

Đáp án: \( \overrightarrow{c}=-\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\)

Lời giải:

Gọi \(\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\).

Khi đó: \(\begin{cases}2=4m -n\\5=-2m-n\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=-\displaystyle\frac{1}{2}\\n=-4.\end{cases}\)

}

Đáp án: \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{c}\) ngược hướng

Lời giải:

\(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (3;5) \Rightarrow \overrightarrow{c} = -2( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} )\).

Vậy \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{c}\) ngược hướng.

Đáp án: \(M\left(\displaystyle\frac{17}{7};0\right)\)

Lời giải:

\( M\in Ox \) \(\Rightarrow M(x;0) \).

Ta có \( \overrightarrow{AM}=(x-2;3) \), \( \overrightarrow{AB} =(1;7) \).

Ba điểm \( A \), \( B \), \( M \) thẳng hàng khi và chỉ khi \( \overrightarrow{AM} \), \( \overrightarrow{AB} \) cùng phương khi và chỉ \( \displaystyle\frac{x-2}{1}=\displaystyle\frac{3}{7}\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{17}{7} \).

Vậy \( M\left(\displaystyle\frac{17}{7};0\right) \).

Đáp án: \(\overrightarrow{u}=\left(-\displaystyle\frac{5}{7};\displaystyle\frac{6}{7}\right)\)

Lời giải:

Gọi \(\overrightarrow{u}=(x;y)\).

Ta có: \(\begin{cases}\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{u}=4\\\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{u}=-2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}-2x+3y=4\\4x+y=-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-\displaystyle\frac{5}{7}\\y=\displaystyle\frac{6}{7}\end{cases}\).

Vậy \(\overrightarrow{u}=\left(-\displaystyle\frac{5}{7};\displaystyle\frac{6}{7}\right).\)

Đáp án: \(-5\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-2\cdot 1+1\cdot(-3)=-5\).

Đáp án: \(29\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{OA}=(2;-5)\Rightarrow OA=\sqrt{29}\); \(\overrightarrow{OB}=(10;4)\Rightarrow OB=\sqrt{116}\).

Ta có \(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2\cdot 10+(-5)\cdot 4=0\) nên tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\).

Suy ra \(S_{\triangle AOB}=\displaystyle\frac{1}{2}OA\cdot OB=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\sqrt{29}\cdot\sqrt{116}=29\).

Đáp án: \( C(-1;0) \)

Lời giải:

Vì \( C \in Ox \) nên \( C(x;0) \Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{CA}=(2-x;3)\\ \overrightarrow{CB}=(-2-x;1).\end{cases}\)

\( \triangle ABC \) vuông tại \( C \) nên \( \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\) \(\Leftrightarrow (2-x)(-2-x)+3=0 \) \(\Leftrightarrow x^2-1=0 \Leftrightarrow x=\pm 1 \).

Vậy \( C(-1;0)) \) hoặc \( C(1;0) \).

Đáp án: \(\sqrt{2}\)

Lời giải:

Với \(A(1;1)\), \(B(2;2)\) ta có \(AB=\sqrt{(2-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{2}\).

Đáp án: \(3\)

Lời giải:

\(\overrightarrow{OA}=(1;2)\Rightarrow A(1;2)\); \(\overrightarrow{OB}=(2;1)\Rightarrow B(2;1)\).

Từ đẳng thức \(\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}\), suy ra \(B\) là trung điểm của đoạn \(MA\) nên \(M(3;0)\).

Vậy \(\left|\overrightarrow{OM} \right|=\sqrt{3^2+0^2}=3\).

Đáp án: \(135^{\circ}\)

Lời giải:

Ta có \(\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{5}\), \(\left|\overrightarrow{ON}\right|=\sqrt{10}\) và \(\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON} = -6+1=-5\).

Do đó

\(\cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}\right) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}}{\left|\overrightarrow{OM}\right|\cdot \left|\overrightarrow{ON}\right|} \) \(= \displaystyle\frac{-5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}} = -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow \left(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}\right) = 135^{\circ}.\)

Đáp án: \(y = \displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

Lời giải:

Ta có

\(\cos\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right| \cdot \left|\overrightarrow{b}\right|} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{2y}{2\sqrt{4 + y^2}}\)

Ta có \(\cos\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right| \cdot \left|\overrightarrow{b}\right|}\) \(\Leftrightarrow \sqrt{4 + y^2} = 2y\)

Ta có \(\cos\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right| \cdot \left|\overrightarrow{b}\right|}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}y \geq 0 \\ 4 + y^2 = 4y^2\end{cases}\Leftrightarrow y = \displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}\).

Đáp án: \(H(-3;2)\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{BC}=\left(1;-7\right),\overrightarrow{AC}=\left(-8;-4\right)\).

Gọi \(H\left(x;y\right)\) là trực tâm của \(\Delta ABC\).

Ta có \(\overrightarrow{AH}=\left(x-4;y-3\right),\overrightarrow{BH}=\left(x+5;y-6\right)\).

Khi đó \(\begin{cases}\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-4-7\left(y-3\right)=0\\-8\left(x+5\right)-4\left(y-6\right)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-7y+17=0\\-8x-4y-16=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-3\\y=2.\end{cases}\)

Vậy \(H\left(-3;2\right)\).

Đáp án: \((4{,}8;8{,}4)\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{BC}=(10;-20)\).

Gọi \(H(x;y)\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC\). Ta có

\begin{align*}&\begin{cases}\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BC}\text{ cùng phương}\end{cases}\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}10(x+4)-20(y-4)=0\\-20(x-4)=10(y-10)\end{cases}\\ \Leftrightarrow &\begin{cases}x-2y=-12\\-2x-y=-18\end{cases}\\ \Leftrightarrow &\begin{cases}x=\displaystyle\frac{24}{5}=4{,}8\\y=\displaystyle\frac{42}{5}=8{,}4.\end{cases}\end{align*}

\(\Rightarrow H(4{,}8;8{,}4)\).