Đáp án: \(\overrightarrow{AB}=(-2;4)\)

Lời giải:

Tọa độ véc-tơ \(\overrightarrow{AB}=\left(0-2;1-(-3)\right)=(-2;4)\).

Đáp án: \( \overrightarrow{a }=-4\overrightarrow{i} \)

Lời giải:

Ta có \( \overrightarrow{i}=(1;0),\overrightarrow{j}=(0;1) \). Từ đó \( \overrightarrow{a }=-4\overrightarrow{i}\).

Đáp án: \((7;-7)\)

Lời giải:

Dễ thấy \(\overrightarrow{u}=(7;-7)\).

Đáp án: \((-3;-8)\)

Lời giải:

\(\overrightarrow{a}=(1;-2)\), \(2\overrightarrow{b}=(4;6)\) \(\Rightarrow \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=(-3;-8)\).

Đáp án: \(I(-1;-1)\)

Lời giải:

Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là \(\begin{cases} x_\text{I} = \displaystyle\frac{ x_\text{A} + x_\text{B} }{2} = \displaystyle\frac{2+(-4)}{2} = -1 \\ y_\text{I} = \displaystyle\frac{ y_\text{A} + y_\text{B} }{2} = \displaystyle\frac{-4+2}{2} = -1 \end{cases} \Rightarrow I(-1;-1)\).

Đáp án: \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};-1\right)\)

Lời giải:

\(M\) là trung điểm của đoạn \(AB \;\Leftrightarrow\; M\left(\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2};\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}\right)\).

Áp dụng, ta được trung điểm của \(AB\) có tọa độ là \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};-1\right)\).

Đáp án: \(\left(1;\displaystyle\frac{4}{3}\right)\)

Lời giải:

Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta OBC\), ta có \(\begin{cases}x_G=\displaystyle\frac{x_O+x_B+x_C}{3}=\displaystyle\frac{0+8-5}{3}=1\\y_G=\displaystyle\frac{y_O+y_B+y_C}{3}=\displaystyle\frac{0+1+3}{3}=\displaystyle\frac{4}{3}\end{cases}\).

Vậy \(G\left(1;\displaystyle\frac{4}{3}\right)\).

Đáp án: \((-1;12)\)

Lời giải:

Ta có

\(\begin{cases}x_G=\displaystyle\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\displaystyle\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x_C=3x_G-x_A-x_B\\y_C=3y_G-y_A-y_B\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x_C=-1\\y_C=12.\end{cases}\)

Vậy tọa độ điểm \(C\) là \((-1;12)\).

Đáp án: \((2;1)\)

Lời giải:

\(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) mà \(\overrightarrow{AB}=(1;1), \overrightarrow{DC}=(3-a;2-b)\) ở đây \(D(a;b).\)

Từ đó suy ra \(\begin{cases} 3-a=1\\ 2-b=1\end{cases}\) hay \(\begin{cases} a=2\\ b=1.\end{cases}\)

Đáp án: \( A(-2;5)\), \(D(7;1)\)

Lời giải:

Do \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Do đó \(\begin{cases} \displaystyle\frac{x_{A} + x_{C}}{2} = 3\\ \displaystyle\frac{y_{A} + y_{C}}{2} = 2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_{A} = -2 \\ y_{A} = 5\end{cases} \Rightarrow A(-2; 5)\).

Tương tự

\(\begin{cases} \displaystyle\frac{x_{B} + x_{D}}{2} = 3\\ \displaystyle\frac{y_{B} + y_{D}}{2}= 2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_{D} = 7 \\ y_{D} = 1\end{cases}\Rightarrow D(7; 1)\).

Đáp án: \(D(4;6)\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{AD}=-3\overrightarrow{AB}\) \(\Leftrightarrow\, \begin{cases}x_D-1=-3(0-1)\\y_D-0=-3(-2-0)\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\, \begin{cases}x_D=4\\y_D=6\end{cases}\,\Rightarrow\, D(4;6).\)

Đáp án: \(M\left(-\displaystyle\frac{3}{2};-\displaystyle\frac{9}{2}\right)\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{CM}\) \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CM}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}-4-3=2(x_M-2)\\-1-2=2(y_M+3)\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x_M=-\displaystyle\frac{3}{2}\\y_M=-\displaystyle\frac{9}{2}.\end{cases}\)

Vậy \(M\left(-\displaystyle\frac{3}{2};-\displaystyle\frac{9}{2}\right)\).

}

Đáp án: \(h = 3\); \(k = 1\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{c} = h\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}2h -3k = 3 \\ -2h + k = -5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}h = 3 \\ k = 1.\end{cases}\)

}

Đáp án: \(\overrightarrow{b}=-\displaystyle\frac{1}{8}\overrightarrow{a}-\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{c}\)

Lời giải:

Giả sử \(\overrightarrow{b}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{c}\) \(\Rightarrow \begin{cases} -1 =4x+2y \\-1 =-2x +5y\end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases}x=-\displaystyle\frac{1}{8}\\y=-\displaystyle\frac{1}{4}.\end{cases}\)

Do đó \(\overrightarrow{b}=-\displaystyle\frac{1}{8}\overrightarrow{a}-\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{c}\).

}

Đáp án: \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) ngược hướng

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(4;3)\), \(\overrightarrow{CD}=(-8;-6)\).

Suy ra \(\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}\).

Vậy \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) ngược hướng.

Đáp án: Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành

Lời giải:

Ta có \(\begin{cases} \overrightarrow{AB}=\left(1;-2\right) \\ \overrightarrow{DC}=\left(1;-2\right)\end{cases}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) \(\Rightarrow ABCD\) là hình bình hành.

Đáp án: \(\overrightarrow{u}=\left(-\displaystyle\frac{5}{7};\displaystyle\frac{6}{7}\right)\)

Lời giải:

Gọi \(\overrightarrow{u}=(x;y)\).

Ta có: \(\begin{cases}\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{u}=4\\\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{u}=-2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}-2x+3y=4\\4x+y=-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-\displaystyle\frac{5}{7}\\y=\displaystyle\frac{6}{7}\end{cases}\).

Vậy \(\overrightarrow{u}=\left(-\displaystyle\frac{5}{7};\displaystyle\frac{6}{7}\right).\)

Đáp án: \(-5\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-2\cdot 1+1\cdot(-3)=-5\).

Đáp án: \(x = - \displaystyle\frac{1}{2}\)

Lời giải:

\(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\) \(\Leftrightarrow -4 (x+1) + 8 x^2 =0\) \( \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Do \(x\) âm nên \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Đáp án: \((0;7)\)

Lời giải:

Gọi \(C(0;c) \in Oy\). Vì \(C\) thuộc tia \(Oy\) nên \(c>0\).

Ta có \(\overrightarrow{CA}=(-6;3-c)\), \(\overrightarrow{CB}=(4;1-c)\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0\)

\(\Leftrightarrow (-6)\cdot 4+(3-c)(1-c)=0\) \(\Leftrightarrow c^2-4c-21=0\) \(\Leftrightarrow c=7\) (nhận) hoặc \(c=-3\) (loại).

Vậy \(C(0;7)\).

Đáp án: \(5\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (4;3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|= 5\).

Đáp án: \(2\sqrt{13}\)

Lời giải:

Ta có \(MN=\sqrt{(-3-1)^2+(4+2)^2}=2\sqrt{13}\).

Đáp án: \(135^{\circ}\)

Lời giải:

Ta có \(\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{5}\), \(\left|\overrightarrow{ON}\right|=\sqrt{10}\) và \(\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON} = -6+1=-5\).

Do đó

\(\cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}\right) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}}{\left|\overrightarrow{OM}\right|\cdot \left|\overrightarrow{ON}\right|} \) \(= \displaystyle\frac{-5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}} = -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow \left(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}\right) = 135^{\circ}.\)

Đáp án: \(45^{\circ}\)

Lời giải:

Ta có \(\cos \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}\) \( = \displaystyle\frac{3.5 + 2 . (-1)}{\sqrt{3^2 + 2^2}\cdot\sqrt{5^2 + (-1)^2}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Vậy góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bằng \(45^{\circ}\).

Đáp án: \(C(6;-2)\)

Lời giải:

Gọi tọa độ đỉnh \(C(x;y)\).

Ta có \(\overrightarrow{AC}=(x+3;y+2)\), \(\overrightarrow{BC}=(x-5;y-2)\), \(\overrightarrow{AH}=(8;2)\), \(\overrightarrow{BH}=(0;-2)\).

Vì \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên ta có

\(\begin{cases}AH\perp BC\\ BH\perp AC\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}8(x-5)+2(y-2)=0\\ -2(y+2)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=6\\ y=-2.\end{cases}\)

Đáp án: \(N\left(-\displaystyle\frac{1}{4};-\displaystyle\frac{3}{4}\right)\)

Lời giải:

Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\), ta có

\(S_{ABN}=3S_{ANC}\Leftrightarrow\displaystyle\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BN=3\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot AH\cdot CN\Leftrightarrow BN=3CN.\)

Do \(N\) nằm trên cạnh \(BC\) nên \(\overrightarrow{BN}\) ngược chiều với \(\overrightarrow{CN}\), suy ra

\begin{align*}\overrightarrow{BN}=-3\overrightarrow{CN}&\Leftrightarrow\begin{cases}x_N-x_B=-3\left(x_N-x_C\right)\\y_N-y_B=-3\left(y_N-y_C\right)\end{cases}\\ &\Leftrightarrow\begin{cases}x_N=\displaystyle\frac{x_B+3x_C}{4}=-\displaystyle\frac{1}{4}\\ y_N=\displaystyle\frac{y_B+3y_C}{4}=-\displaystyle\frac{3}{4}.\end{cases}\end{align*}

Vậy tọa độ điểm \(N\) cần tìm là \(\left(-\displaystyle\frac{1}{4};-\displaystyle\frac{3}{4}\right)\).