Đáp án: Đồng biến trên khoảng \(\left(-1;0\right)\)

Lời giải:

Theo chiều từ trái sang phải, đồ thị hàm số đồng biến là một đường “đi lên”, đồ thị hàm số nghịch biến là một đường “đi xuống”. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-1;0\right)\).

Đáp án: \((-\infty;-2)\)

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên \((-\infty;-1)\) nên nghịch biến trên \((-\infty;-2)\).

Đáp án: \(1\)

Lời giải:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có cực tiểu và \(x=1\) là điểm cực đại duy nhất của hàm số. Vậy hàm số đã cho có \(1\) điểm cực trị.

Đáp án: \(x=2\)

Lời giải:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\).

Đáp án: \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\)

Lời giải:

Tập xác định \(\mathscr D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-5}{(x-1)^2}<0\), \(\forall x\in\mathscr D\).

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\).

Đáp án: \((0;2)\)

Lời giải:

Ta có \(y'=3x^2-6x\), \(y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x=2.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên \((0;2)\) .

Đáp án: \(T=4\)

Lời giải:

\(x_1\), \(x_2\) là nghiệm của phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow3x^2-12x-7 = 0\).

Theo định lý Vi-ét ta có \(T= 4\).

Đáp án: \((0; 5)\)

Lời giải:

Hàm bậc ba có \(y'=0\Leftrightarrow 6x^2-6x=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=0\\&x=1.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là \((0; 5)\).

Đáp án: \((1;3)\)

Lời giải:

Ta có \(f'(x)\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\) và

\(f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=-1\\&x=1\\&x=3.\end{aligned}\right.\)

Bảng xét dấu:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;3)\), do đó đồng biến trên \((1;3)\).

Đáp án: \((1;2)\)

Lời giải:

Theo đề bài ta có bảng biến thiên sau

Đáp án: \(1 \)

Lời giải:

Đáp án: \( 0\)

Lời giải:

Đáp án: Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\)

Lời giải:

Đồ thị hàm số cho ta bảng biến thiên như sau:

Từ đó ta có hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\).

Đáp án: Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty)\)

Lời giải:

Đáp án: \(f(x)\) có đúng một cực đại và không có cực tiểu

Lời giải:

Từ bảng biến thiên ta thấy rằng hàm số \(f'(x)\) chỉ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm \(x=1\) và \(f(1)=3\). Do đó, hàm số \(f(x)\) có đúng một cực đại và không có cực tiểu.

Đáp án: \(1\)

Lời giải:

Quan sát đồ thị hàm số \(y=f'(x)\), ta thấy \(f'(x)=0\) tại bốn điểm phân biệt \(x_1,x_2,x_3,x_4\).

+) Tại \(x_1\) và \(x_3\), \(f'(x)\) không đổi dấu \(\Rightarrow f\) không đạt cực trị tại \(x_1\) và \(x_3\).

+) Tại \(x_2\) và \(x_4\), \(f'(x)\) đổi dấu \(\Rightarrow f\) đạt cực trị tại \(x_2\) và \(x_4\).

Đáp án: Hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên \((-1;0)\)

Lời giải:

Ta có \(g'(x)=2xf'(x^2-2)\).

\(g'(x)=0 \Leftrightarrow \begin{cases}x=0\\x^2-2=-1 \quad \text{(nghiệm bội chẵn)}\\ x^2-2=2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \quad \text{(nghiệm đơn)}\\x=\pm 1 \quad \text{(nghiệm kép)}\\x=\pm 2 \quad \text{(nghiệm đơn)}.\end{cases}\)

\(g'(x) >0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\begin{cases}x >0\\f'(x^2-2) >0\end{cases}\\&\begin{cases}x < 0\\f'(x^2-2) < 0\end{cases}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\begin{cases}x >0\\x^2-2 >2\end{cases}\\&\begin{cases}x < 0\\x^2-2 < 2\end{cases}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x >2\\&-2 < x < 0.\end{aligned}\right.\)

Ta có bảng xét dấu \(g'(x)\) như sau

Dựa vào bảng xét dấu \(g'(x)\) ta thấy hàm số \(g(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-2;0)\), \((2;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((0;2)\).

Đáp án: \(\left(1;2\right)\)

Lời giải:

Ta có \(y' = 2xf'(x^2)\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\ &f'(x^2)=0\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=0\\ &x^2=1\\ &x^2=4.\end{aligned}\right.\)

Để hàm số nghịch biến thì \(y' \leq 0 \Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 0 \\ f'(x^2) \leq 0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x \leq 0 \\ f'(x^2) \geq 0.\end{cases}\)

Ta có \(\begin{cases}x \geq 0 \\ f'(x^2) \leq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 0 \\ 1 \leq x^2 \leq 4\end{cases} \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 2\).

và \(\begin{cases}x \leq 0 \\ f'(x^2) \geq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x \leq 0 \\ 0\leq x^2 \leq 1\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x \leq 0 \\ x^2 \geq 4\end{cases} \Leftrightarrow x \leq -2\) hoặc \(-1 \leq x \leq 0\).

Đáp án: \(2\) điểm cực đại, \(3\) điểm cực tiểu

Lời giải:

Ta có \(y=f^2(x)\Rightarrow y'=2f(x)f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}f(x)=0\\ f'(x)=0\end{aligned}\right.\).

Từ đồ thị ta có

+) \(f(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}x=0\\ x=1 \\ x=3\end{aligned}\right.\), trong đó \(x=1\) là nghiệm kép.

+) \(f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& x=a \ (\text{với} \ 0< a< 1) \\ & x=1 \\ & x=b \ (\text{với} \ 1< b< 3)\end{aligned}\right.\)

+) Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y=f^2(x)\) như sau

Vậy hàm số \(y=f^2(x)\) có \(2\) điểm cực đại và \(3\) điểm cực tiểu.

Đáp án: \( 5 \)

Lời giải:

Ta có \(y'=2f(x)\cdot f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& f(x)=0\\& f'(x)=0.\end{aligned}\right.\)

Dựa vào đồ thị, ta có \(f(x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=0\\& x=1~(\text{kép})\\& x=3\end{aligned}\right.\) và \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=a~(\text{với}~0< a< 1)\\& x=1\\& x=b~(\text{với}~2< b< 3).\end{aligned}\right.\)

Bảng xét dấu của \(y'\)

Hàm số \(y=\left(f(x)\right)^2\) có cực trị khi và chỉ khi \(y'\) đổi dấu khi \(x\) đi qua \(x_0\). Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(y'\) đổi dấu \(5\) lần. Vậy hàm số đã cho có \(5\) cực trị.

Đáp án:

• Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0;2)\)
• Hàm số đã cho đạt cực đại tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=5\)

Lời giải:

Đáp án:

• Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-2;1)\) và \((7;+\infty)\)
• Hàm số đã cho đạt cực đại tại hai điểm \(x=1\)

Lời giải:

Đáp án:

• Hàm số \(f(x)\) có đúng \(2\) điểm cực trị
• Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên \((-\infty;-2)\)

Lời giải:

Đáp án:

• Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((-\infty;1)\)
• Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên \((1;2)\)

Lời giải:

Đáp án:

• Hàm số đã cho có đúng \(3\) điểm cực trị

Lời giải:

Đáp án:

• Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((1;3)\)
• \(x=0\) là điểm cực tiểu của hàm số đã cho

Lời giải:

Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\) và \((4;5)\), nghịch biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((2;4)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(x=4\).

Hàm số \(y=g(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-2;0)\), \((1;+\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((0;1)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và đạt cực tiểu tại \(x=-2\), \(x=1\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=-3x^2+4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow -3x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{4}{3}\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \(\left(\displaystyle\frac{4}{3};+\infty\right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{4}{3}\right)\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=\displaystyle\frac{4}{3}\).

Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(f'\left(x\right)=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\). Do đó \(y'\geq 0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\) và \(y'=0\) tại \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), không có điểm cực trị.

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=3x^2-6x-9\);

\(y'=0\Leftrightarrow 3x^2-6x-9=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=3\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-1)\) và \((3;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((-1;3)\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=-x^2+2x-1=(x-1)^2\);

\(y'\leq 0,\forall x\in \mathbb{R}\) và \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=4x^3+4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow =4x^3+4x=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=4x^3-4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow 4x^3-4x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm 1\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-1;0)\) và \(\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \((0;1)\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y^{\prime}=3 x^{2}-12 x+9 ; y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=3\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(y_{\text{CĐ}}=y(1)=34\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\) và \(y_{\text{CT}}=y(3)=30\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=6x^2+6x-36\); \(y'=0 \Leftrightarrow x=-3\) hoặc \(x=2.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;-3)\) và \((2;+\infty)\), nghịch biến trên \((-3;2)\);

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-3\), \(y_{\text{CĐ}}=87\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=-38\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\). Đạo hàm \(y'=3x^2-6x\).

\(y'=0\Leftrightarrow 3x^2-6x=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=0\\ &x=2.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên hai khoảng \((-\infty;0)\), \((2;+\infty)\) và nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=4x^3-8x=4x(x^2-2)\).

\(y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\ &x=\pm \sqrt{2}.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên hai khoảng \(\left(-\sqrt{2};1\right)\), \(\left(\sqrt{2};+\infty\right)\) và nghịch biến trên hai khoảng \(\left(-\infty;\sqrt{2}\right)\), \(\left(0;\sqrt{2}\right)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=6x^3-6x^2-30x-18\).

\(y'=0\Leftrightarrow 6x^3-6x^2-30x-18=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-1\\ &x=3.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;3)\) và đồng biến trên khoảng \((3;+\infty)\).

Ta có \(y'=4x^3-6x\). Khi đó \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}.\)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\) và \(y_{\text{CT}}=y\left(\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=-\displaystyle\frac{5}{4}\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và \(y_{\text{CĐ}}=y(0)=1\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=3x^2+6x\). Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow 3x^2+6x=0\Leftrightarrow x=0\ \vee\ x=-2.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\) và đạt cực tiểu tại \(x=0\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=2x^3-4x\). Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow 2x^3-4x=0\Leftrightarrow x=0\ \vee\ x=\pm \sqrt{2}.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x=\pm \sqrt{2}\) và đạt cực đại tại \(x=0\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=4x^3-4x^2-4x+4\). Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R} \setminus\{1\}\).

Ta có \(y' = \displaystyle\frac{\left(x - 1\right) - \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \displaystyle\frac{3}{\left(x + 1\right)^2} > 0\), với mọi \(x \neq 1\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty; -1\right)\) và \((-1;+\infty)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\).

\(y'=\displaystyle\frac{-11}{\left(1 - 2 x\right)^2}<0\), \(\forall x\ne\displaystyle\frac{1}{2}\).

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty; \displaystyle\frac{1}{2})\) và \((\displaystyle\frac{1}{2};+\infty)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}>0,\ \forall x\in\mathscr{D}\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm \(y'=1-\displaystyle\frac{4}{(x-1)^2}\). Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow (x-1)^2=4\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x-1=2\\ &x-1=-2\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=3\\ &x=-1.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x=3\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{7}{(2-x)^2}>0,\,\forall x\neq 2\).

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\displaystyle\frac{1}{3}\right\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2(3x+1)-3(2x-1)}{(3x+1)^2}=\displaystyle\frac{5}{(3x+1)^2}>0\) với mọi \(x\) khác \(- \displaystyle\frac{1}{3}\).

Vậy, hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{3x+1}\) đồng biến trên \(\left(-\infty; - \displaystyle\frac{1}{3}\right)\) và \(\left(- \displaystyle\frac{1}{3};+\infty\right)\).

Hàm số không có cực trị.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{4\}\).

Ta có \(y=x+2+\displaystyle\frac{1}{x-4} \Rightarrow y'=1-\displaystyle\frac{1}{(x-4)^2}=\displaystyle\frac{x^2-8x+15}{(x-4)^2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x^2-8x+15=0 \Leftrightarrow x=3\) hoặc \(x=5.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;3)\) và \((5;+\infty)\), nghịch biến trên \((3;4)\) và \((4;5)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=3\), \(y_{\text{CĐ}}=4\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=5\), \(y_{\text{CT}}=8\).

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+2)}{(x+1)^2}=\displaystyle\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-2\) (thỏa mãn).

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-2 \right)\) và \(\left(0;+\infty \right)\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-2;-1 \right)\) và \(\left(-1;0 \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\) và \(y_{CD}=-2\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(y_{CT}=2\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\) hoặc \(x=1-\sqrt{2}\).

Lập bảng biến thiên của hàm số

Hàm số đặt cực đại tại \(x=1-\sqrt{2}\) và đạt cực tiểu tại \(x=1+\sqrt{2}\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Ta có \(y' = \displaystyle\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right) - \left(x^2 - 2x + 5\right)}{(x - 1)^{2}} = \displaystyle\frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^{2}}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = -1\) hoặc \(x = 3\).

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty; -1\right)\) và \(\left(3; +\infty\right)\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-1; 1\right)\) và \(\left(1; 3\right)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+1)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\ &x=2.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((2;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((0;1)\), \((1;2)\).

\(y=\frac{x^2+x+4}{x-3}\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

Ta có: \(y'=\frac{x^2-6x-7}{\left(x-3\right)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x^2-6x-7=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=7\)

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(7;+\infty\right)\) ; nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-1;3\right)\) và \(\left(3;7\right)\).

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-x+1}{x-1}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2x}{(x-1)^2},\forall x\in \mathscr{D}\).

\begin{eqnarray*}y'=0 &\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=0 \Leftrightarrow x^2-2x=0\\& \Leftrightarrow&\hoac{&x=0\\&x=2.}\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((0;1)\) và \((1;2)\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Ta có: \(y^{\prime}=\displaystyle\frac{(2 x-2)(x-2)-\left(x^{2}-2 x+9\right)}{(x-2)^{2}}=\displaystyle\frac{x^{2}-4 x-5}{(x-2)^{2}}\);

\(y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=5\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\) và \(y_{\text{CĐ}}=y(-1)=-4\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=5\) và \(y_{\text{CT}}=y(5)=8\).

\(y=\displaystyle\frac{-x^2+2 x-1}{x+2}\);

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus \{-2\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-4x+5}{(x+2)^2}\).

\(y'=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=-5.\)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(y_{\text{CĐ}}=y(1)=0\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-5\) và \(y_{\text{CT}}=y(-5)=12\).

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+2 x+2}{x+1}\) xác định với mọi \(x\in \mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace-1\right\rbrace\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-2x}{\left(x+1\right)^{2}}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-2.\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra

\(x=0\) là điểm cực đại của hàm số, \(f_{\text{CĐ}}=2\)

\(x=-2\) là điểm cực tiểu của hàm số, \(f_{\text{CT}}=6\).

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left(-2;-1\right)\cup\left(-1;0\right)\), nghịch biến trên \(\left(-\infty;-2\right)\cup\left(0;+\infty\right)\).

Điều kiện \(2x-x^2\geq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2\). Tập xác định \(\mathscr{D}=[0;2]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}=\displaystyle\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\).

Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow 1-x=0\Leftrightarrow x=1.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0;1)\) và nghịch biến trên khoảng \((1;2)\).

Điều kiện \(x^2-3x-4\geq 0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x\leq -1\\ &x\geq 4.\end{aligned}\right.\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=(-\infty;-1]\cup [4;+\infty)\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x-4}}\). Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow 2x-3=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{3}{2}.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;-1)\) và đồng biến trên \((4;+\infty)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=4-\displaystyle\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}=\displaystyle\frac{8\sqrt{x^2-x+1}-2x+1}{2\sqrt{x^2-x+1}}.\)

Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow 8\sqrt{x^2-x+1}=2x-1\Leftrightarrow \begin{cases}2x-1\geq0\\ 64(x^2-x+1)=(2x-1)^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\geq \displaystyle\frac{1}{2}\\ 60x^2-60x+63=0.\end{cases}\)

Phương trình vô nghiệm.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{x}{|x|}(x+2)+|x|=\displaystyle\frac{2(x^2+x)}{|x|}\ (x\neq 0)\).

Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow x=0\ (\text{loại})\ \vee\ x=-1.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x=0\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=[-2;2]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{-x^2+4}}\), \(y'=0 \Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{\text{CĐ}}=2\); hàm số không có cực tiểu.

Tập xác định \(\mathscr{D}=[0;2]\).

Ta có \(y'=\left(\sqrt{4x-2x^2}\right)'=\displaystyle\frac{4-4x}{2\sqrt{4x-2x^2}}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(y_{\text{CĐ}}=\sqrt{2}\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(x=2\); \(y_{CT}=0\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=[-4;4]\).

Đạo hàm: \(y'=1-\displaystyle\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{16-x^2}-x}{\sqrt{16-x^2}}\) với \(x\in (-4;4)\)

\begin{eqnarray*}y'=0&\Leftrightarrow&\heva{&\sqrt{16-x^2}=x\\&x>0}\\&\Leftrightarrow&\heva{&x>0\\&x^2=8}\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}.\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((-4;2\sqrt{2})\) và nghịch biến trên khoảng \((2\sqrt{2};4)\).

Hàm số đã cho có tập xác đinh \([-3;3]\). Ta có \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{9-x^2}-x}{\sqrt{9-x^2}}, \forall -3< x< 3.\)

Suy ra

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow \sqrt{9-x^2}=x \Leftrightarrow \heva{&x\ge 0 \\ &9-x^2=x^2} \Leftrightarrow x=\frac{3}{\sqrt{2}}.\)

Ta có bảng biến thiên của \(f(x)\)

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có một điểm cực trị duy nhất là \(\left(\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}};3\sqrt{2}\right)\).

Hàm số có tập xác định là \((0;+\infty)\). Ta có

\(f'(x)=2x\ln x+x.\)

Suy ra

\( f'(x)=0 \Leftrightarrow \ln x=-\displaystyle\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}. \)

Ta có bảng biến thiên như hình bên.

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực trị \(x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\).

Hàm số đã cho có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{-x^2-4x-1}{\left(x^2-1\right)^2}\), suy ra

\( f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2\pm \sqrt{3}. \)

Ta có bảng xét dấu \(f'(x)\)

Từ đó hàm số đã cho có hai điểm cực trị \(x=-2-\sqrt{3}\) và \(x=-2+\sqrt{3}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có

\(y'=\mathrm{e}^x+x \cdot\mathrm{e}^x \Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow\mathrm{e}^x+x \cdot\mathrm{e}^x=0 \Leftrightarrow\mathrm{e}^x(1+x)=0 \Leftrightarrow x=-1.\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\) và giá trị cực tiểu \(y_\text{CT}=-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=(0,+\infty)\).

Ta có

\(y'=1-\displaystyle\frac{1}{x} \Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow x=1.\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\) và giá trị cực tiểu là \(y_\text{CT}=1\).

Hàm số \(y=3^{x-2x^{2}}\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=3^{x-2x^{2}}\cdot\ln3\cdot\left(1-4x\right)\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra \(x=\displaystyle\frac{1}{4}\) là điểm cực đại của hàm số, \(y_{\text{CĐ}}=3^{\frac{1}{8}}\).

Hàm số \(y=\ln \left(x^2+\mathrm{e}\right)\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2x}{x^{2}+\mathrm{e}}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra \(x=0\) là điểm cực tiểu của hàm số, \(y_{\text{CT}}=1\).

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow \)x\( (x+1)(x-4)^3=0 \Leftrightarrow\hoac{&x=0\\&x=-1\\&x=4.}\)

Lập bảng biến thiên của hàm số \(f(x)\)

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại.

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-2\), \(x=2\) và \(x=3\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((2;3)\), nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;2)\) và \((3;+\infty)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\), đạt cực đại tại điểm \(x=3\).

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=0\) và \(x=-2\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-2)\), đồng biến trên khoảng \((-2;+\infty)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-2\).

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=\pm1\) và \(x=2\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;1)\) và \((2;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((1;2)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\), đạt cực đại tại điểm \(x=2\).

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=0\) và \(x=2\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), nghịch biến trên \((0;2)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\).

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=1\) và \(x=-3\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-3)\) và \((1;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((-3;1)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-3\), đạt cực đại tại điểm \(x=1\).

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=0\) và \(x=2\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), nghịch biến trên \((0;2)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\).

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=1\) và \(x=-3\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-3)\) và \((1;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((-3;1)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-3\), đạt cực đại tại điểm \(x=1\).

Từ đồ thị của hàm số \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=1\), \(x=2\) và \(x=4\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\), \((1;2)\) và \((4;+\infty)\), đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\) và \((2;4)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\) và \(x=4\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\) và \(x=2\).

Từ đồ thị ta thấy \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=2\) và \(x=4\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên \((-1;2)\) và \((4;5)\), nghịch biến trên \((-2;-1)\) và \((2;4)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\) và đạt cực tiểu tại \(x=-1\), \(x=4\).

Từ đồ thị của hàm số \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=1\) và \(x=3\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;3)\), đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\) và \((3;+\infty)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\) và \(x=3\).

Từ đồ thị hàm số \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)>0\Leftrightarrow x>2\).

Vậy hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên \((2;+\infty)\).

Số cực trị của hàm số \( y=f(x) \) là số điểm cắt của \( y=f'(x) \) với trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy có ba điểm cắt và một điểm đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành.

Vậy hàm số \( y=f(x) \) có \(3\) điểm cực trị.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\displaystyle\frac{1}{3}\), \(y_{\text{CT}}=-\displaystyle\frac{1}{3}\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\displaystyle\frac{5}{2}\), \(y_{\text{CT}}=-2\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\), \(y_{\text{CĐ}}=0\).

Ta có \(P'(t)=\displaystyle\frac{0,75a \mathrm{e}^{-0,75t}}{\left(b+\mathrm{e}^{-0{,}75t}\right)^2}, t \geq 0\).

Theo đề bài, ta có \(P(0)=20\) và \(P'(0)=12\). Do đó, ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}\displaystyle\frac{a}{b+1}=20 \\ \displaystyle\frac{0,75a}{(b+1)^2=12}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=20(b+1)\\\displaystyle\frac{15}{b+1}=12\end{cases}\)

Giải hệ phương trình này, ta được \(a=25\) và \(b=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Khi đó, \(P'(t)=\displaystyle\frac{18{,}75\mathrm{e}^{-0{,}75t}}{\left(\displaystyle\frac{1}{4}+\mathrm{e}^{-0{,}75 t}\right)^2} > 0, \forall t \geq 0\), tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.

Tuy nhiên, do \(\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} P(t)=\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{25}{\displaystyle\frac{1}{4}+\mathrm{e}^{-0{,}75t}}=100\) nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá \(100\) tế bào.

a) Hàm chi phí biên là \(C'(x)=300-5x+0{,}375x^2\).

b) Ta có \(C'(200)=300-5\cdot 200+0,375\cdot 200^2=14300\).

Chi phí biên tại \(x=200\) là \(14\,300\) nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo (đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng \(14\,300\) nghìn đồng.

c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ \(201\) là

\(C(201)-C(200)=1\,004\,372{,}625- 990\,000=14\,372{,}625\) (nghìn đồng).

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên \(C'(200)\) đã tính ở câu b.

Xét hàm số \(f\left(T\right)=V=999{,}87-0{,}06426T+0,0085043T^2-0{,}0000769T^3\).

Hàm số xác định trên khoảng \(\left(0;30\right)\).

Ta có \(f'\left(T\right)=2{,}307 \cdot 10^{-4}T^2+0{,}0170086T-0{,}06426\).

\(f'\left(T\right)=0\Leftrightarrow x=3{,}6\) hoặc \(x=-77{,}33\Leftrightarrow x=3{,}6\).

Vậy \(T_0=4^\circ C\) trở lên thì nhiệt độ tăng.

a) Ta có

\[ R(x)=\displaystyle\frac{8x}{x+8}\Rightarrow R'(x)=\frac{64}{(x+8)^2}>0,\ \forall x>0.\]

Do đó \(R(x)\) là một hàm đồng biến trên \((0;+\infty)\). Vậy \(R(x)\) tăng khi \(x\) tăng.

b) Dễ thấy \(\lim\limits_{x\to +\infty}R(x)=8\), kết hợp \(R(x)\) là hàm đồng biến nên khi \(x\) tăng thì \(R(x)\) không bao giờ vượt quá \(8\).

a) Ta có \(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{f} \Rightarrow q=\displaystyle\frac{pf}{p-f}\). Do đó, \(q=g \left(p \right)=\displaystyle\frac{pf}{p-f}\) với \(p\in (f;+\infty)\).

b) \(\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}g(p)=\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{pf}{p-f}=\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{f}{1-\displaystyle\frac{f}{p}}=f\), \(\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}g(p)=\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{pf}{p-f}=+\infty\).

Ý nghĩa của \(\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}g(p)=f\): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.

Ý nghĩa của \(\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}g(p)=+\infty\): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự \(f\) thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là càng lớn.

c) Ta có \(q'=g' \left(p \right)=- \displaystyle\frac{f^2}{(p-f)^2}<0\) với mọi \(p\in \left(f;+\infty \right)\) nên hàm số nghịch biến trên \( \left(f;+\infty \right)\).

Bảng biến thiên

Gia tốc của tàu con thoi là \(a(t)=v'(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t\).

Xét hàm số \(a(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t\) với \(t\in [0;126]\).

Ta có \(a'(t)=0{,}007812t-0{,}18058\);

\(a'(t)=0\Leftrightarrow t=23{,}11571941=t_0\).

Bảng biến thiên của hàm số \(a(t)\) như sau

Từ bảng biến thiên suy ra, gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian từ \(23{,}11571941\) s đến \(126\) s.

a) Ta thấy điện trở \(R\) tỉ lệ nghịch với tiết diện \(S\), do đó khi \(R\) càng giảm thì \(S\) càng tăng.

b) Từ đồ thị, toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng \(R=0{,}001\) là điểm \((0{,}000169; 0{,}001)\), tức là khi \(R=0{,}001\) \((\Omega)\) thì \(S=0{,}000169\) (m\(^2\)).

c) Thay tọa độ điểm \((0{,}000169; 0{,}001)\) vào \(R=\rho\cdot\displaystyle\frac{\ell}{S}\) (với \(\ell=10\) m), ta có

\(0{,}001=\rho\cdot\displaystyle\frac{\ell}{0{,}000169} \Leftrightarrow \rho=1{,}69 \cdot 10^{-8} \,(\Omega\mathrm{m}).\)

Vậy dây điện được làm bằng kim loại đồng.

a) Ta có \(f'(x)=0{,}03x^2-0{,}08x+0{,}25\).

b) Xét \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 0{,}03x^2-0{,}08x+0{,}25=0\) (vô nghiệm).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên trên, ta thấy \(f(x)>0\), \(\forall x\in [0;7]\).

Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ \(2010\) đến \(2017\).

a) Ta có \(v(t)=x'(t)=3t^2-12t+9\) và \(a(t)=v'(t)=6t-12\).

b) Xét \(v(t)=0 \Leftrightarrow t=1\) hoặc \(t=3.\)

Bảng xét dấu

Suy ra vận tốc của chất điểm tăng khi \(t\in (0;1) \cup (3;+\infty)\), và giảm khi \(t\in (1;3)\).

Xét hàm số \(V(T)=999{,}87-0{,}06426T+0{,}0085043T^2-0{,}0000679T^3\), với \(T\in [0;30]\).

Ta có \(V'(T)=-0{,}0002037T^2+0{,}0170086T-0{,}06426\).

\(V'(T)=0\Leftrightarrow T=3{,}966514624=T_1\) hoặc \(T=79{,}53176716\not\in [0;30]\).

Bảng biến thiên của hàm số \(V(T)\) như sau

Từ bảng biến thiên suy ra, thể tích \(V(T)\), \(0^{\circ}\mathrm{C}\leq T \leq 30^{\circ}\mathrm{C}\), giảm trong khoảng nhiệt độ từ \(0^\circ\)C đến \(3{,}966514624^\circ\)C.

a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm \(t>0\).

Tốc độ của phản ứng là đạo hàm của \([C]=\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\) theo biến \(t\). Do đó

\[[C]^\prime =\left(\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\right)^\prime=\displaystyle\frac{a^2K\left(aKt+1\right)-a^2Kt\cdot aK}{\left(aKt+1\right)^2}=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}.\]

b) Chứng minh nếu \(x=[C]\) thì \(x'(t)=K(a-x)^2\).

Theo câu trên, nếu nếu \(x=[C]\) thì \(x^\prime(t)=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}\).

Ta lại có

\[K(a-x)^2=K \left(a-\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\right)^2=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}.\]

Vậy \(x'(t)=K(a-x)^2\).

c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t\longrightarrow +\infty\).

Ta có \(\lim\limits_{t\to +\infty}[C]=\lim\limits_{t\to +\infty}\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}=a\) (mol/l).

Vậy nồng độ của chất \(C\) dần đến \(a\) (mol/l).

d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi \(t\longrightarrow +\infty\).

Ta có \(\lim\limits_{t\to +\infty}x^\prime(t)=\lim\limits_{t\to +\infty}\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}=0\).

Vậy tốc độ của phản ứng dần đến \(0\).

Dựa vào đồ thị ta thấy khinh khí cầu tăng dần độ cao trong khoảng thời gian \(3\) phút đầu và từ phút thứ \(6\) đến phút thứ \(8\), khinh khí cầu giảm dần độ cao trong khoảng thời gian từ phút thứ \(3\) đến phút thứ \(6\).

Độ cao của khinh khí cầu tại thời điểm phút thứ \(3\) là lớn nhất trong khoảng thời gian \(6\) phút đầu, độ cao của khinh khí cầu tại thời điểm phút thứ \(6\) là nhỏ nhất trong khoảng thời gian từ phút thứ \(3\) đến phút thứ \(8\).

Ta có \(v=S'=-3 t^2+18 t+1\).

\(v'=-6t+18\).

\(v'=0\Leftrightarrow -6t+18=0 \Leftrightarrow t=3\).

Bảng biến thiên

Vậy trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(3\) s thì vận tốc của chất điểm tăng.

Xét hàm số \(f\left(T\right)=V=999{,}87-0{,}06426T+0{,}0085043T^2-0{,}0000769T^3\).\\ Hàm số xác định trên khoảng \(\left(0;30\right)\).

Ta có \(f'\left(T\right)=2{,}307 \cdot 10^{-4}T^2+0{,}0170086T-0{,}06426\).

\(f'\left(T\right)=0\Leftrightarrow \hoac{&x=3{,}6\\&x=-77{,}33}\Leftrightarrow x=3{,}6\).

Khi đó, ta có bảng biến biên

Vậy \(T_0=4^\circ\)C trở lên thì nhiệt độ tăng.

Gọi số giếng công ty có thể khai thác thêm là \(x\) (giếng, \(x\in \mathbb{N}\)).

Tổng số giếng công ty khai thác hàng ngày là \(17+x\) (giếng).

Số thùng chiết xuất được từ mỗi giếng hàng ngày là \(245-9x\) (thùng).

Sản lượng dầu chiết xuất hàng ngày là

\(f(x)=(245-9x)\cdot (17+x)=-9x^2+92x+4165.\)

Ta có \(f'(x)=-18x+92\).

\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{46}{9}\approx 5{,}1\).

Bảng biến thiên

Ta có \(f(5)=4\,400\) và \(f(6)=4393\).

Vậy số giếng công ty có thể khai thác thêm để sản lượng dầu chiết suất tăng lên là \(5\) giếng.

a) Do tấm kim loại có bề rộng \(80 \mathrm{~cm}\) nên ta có \(2x+y=80 \Leftrightarrow y=80-2x\).

Để có thể thiết kế được máng trượt thì \(y>0 \Leftrightarrow 80-2 x>0 \Leftrightarrow x< 40\). Suy ra \(0< x< 40\).

Diện tích của mặt cắt máng trượt là: \(S=x y=x(80-2x)=-2x^2+80x\).

b) Ta có \(S(x)=-2x^2+80x \text{ với } x\in(0; 40)\).

\begin{eqnarray*}S'(x)&=&-4 x+80 \\S'(x)&=&0 \Leftrightarrow-4 x+80=0 \Leftrightarrow x=20.\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên của hàm số \(S(x)\) như sau

Vậy từ khi \(x\) tăng từ \(0\) cm đến \(20\) cm thì diện tích mặt cắt sẽ tăng dần.

\end{enumerate}

a) Do tấm kim loại có bề rộng \(80 \mathrm{~cm}\) nên ta có: \(2x+y=80 \Leftrightarrow y=80-2x\).

Để có thể thiết kế được máng trượt thì \(y>0 \Leftrightarrow 80-2 x>0 \Leftrightarrow x< 40\). Suy ra \(0< x< 40\).

Diện tích của mặt cắt máng trượt là: \(S=x y=x(80-2x)=-2x^2+80x\).

b) Ta có:

Do đó, hàm số \(S(x)\) đạt cực đại tại \(x=20\) và \(S_{\text{CĐ}}=800\).

Vậy mức độ đảm bảo an toàn của cầu trượt đạt cực đại thì \(x=20\) (cm).

Xét hàm số \(n_i=n_0\cdot 2^{\tfrac{y_i-y_0}{2}}\).

Ta có \(n_i'=n_0\cdot 2^{\tfrac{y_i-y_0}{2}}\cdot \ln 2>0~\forall y_i\).

Suy ra hàm số đồng biến.

Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc \(v\left(t\right)\) là đạo hàm của \(s\left(t\right)\).

Ta có \(v\left(t\right) = s'\left(t\right) = \left(t^3 -9t^2 + 15t\right)' = 3t^2 - 18t + 15\).

Tập xác định \(\mathscr{D} = \mathbb{R}\).

Ta có \(v(t)=0\Leftrightarrow\hoac{&t=1 \\&t=5. }\)

Bảng xét dấu

Chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi \(v\left(t\right) > 0\), tức là \(t \in \left(-\infty; 1\right) \cup \left(5; +\infty\right)\).

Chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi \(v\left(t\right) < 0\), tức là \(1 < t < 5\).

Xét hàm số \(h(t)=2+24{,}5 t-4{,}9t^{2}\) với \(t>0\).

Ta có \(h'(t)=24{,}5-9{,}8t\).

\(h'(t)=0\Leftrightarrow t=2{,}5\).

Lập bảng biến thiên của \(h(t)\):

Từ bảng biến thiên ta suy ra từ thời điểm \(t=3\) (giây) đến \(t=4\) (giây), thì độ cao của vật giảm.

Xét hàm số \(N\left(t\right)=\displaystyle\frac{25t+10}{t+5}, t\ge0\).

Ta có \(N^\prime\left(t\right)=\displaystyle\frac{115}{\left(t+5\right)^2}\).

\(\lim\limits_{t \to +\infty}N\left(t\right)=\lim\limits_{t \to +\infty}\displaystyle\frac{25t+10}{t+5}=25\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau

Từ bảng biến thiên ta có dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá \(25\) ngàn người.

Hàm số

\(y(t)=5-\displaystyle\frac{15t}{9t^{2}+1}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \left(5-\displaystyle\frac{15t}{9t^{2}+1}\right)=5\).

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=5\).

Khi thời gian \(t\) trở nên rất lớn thì nồng độ oxygen trong hồ sẽ tiến dần về \(5\) mg/l.

a) Chi phí bỏ ra để sản xuất đồ chơi là \(T(x)=50\,000+5x\) (USD).

Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là \(M(x)=\displaystyle\frac{T(x)}{x}=\displaystyle\frac{50\,000+5x}{x}\) (với \(x\geq 1\)).

Ta có \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}M(x)=5\). Suy ra đường thẳng \(y=5\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

b) Khi số đồ chơi \(A\) được sản xuất với số lượng \(x\) đủ lớn thì chi phí trung bình tiệm cận với tổng của giá nguyên liệu thô và nhân công.

Trên đoạn \([0; 2\,000]\), ta có \(y'=-\displaystyle\frac{1}{440\,000}x^2+\displaystyle\frac{9}{1\,760}x^2-\displaystyle\frac{81}{44}\).

Suy ra \(y'=0 \Leftrightarrow \hoac{& x=450\\& x=1800.}\)

Bảng biến thiên

Vậy tọa độ các đỉnh là \(\left(450; \displaystyle\frac{7365}{16}\right)\), và \(\left(1\,800, \displaystyle\frac{15\,315}{11}\right)\).

Gọi \(g(t)\) là hàm tốc độ bán hàng.

Khi đó \(g(t)=f'(t)=\displaystyle\frac{25\,000\mathrm{e}^{-t}}{(1+5\mathrm{e}^{-t})^2}\), \(t\ge0\).

Ta có \(g'(t)=\displaystyle\frac{25\,000\mathrm{e}^{-t}(1+5\mathrm{e}^{-t})(5\mathrm{e}^{-t}-1)}{(1+5\mathrm{e}^{-t})^4}\); \(g'(t)=0\Leftrightarrow t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}\).

Bảng biến thiên hàm số

Hàm số đạt cực đại tại \(t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}\approx1{,}6\).

Vậy sau khi phát hành \(1{,}6\) năm thì tốc độ bán hàng là cực đại.

Gọi \(h\), \(x\) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật. Gọi \(r\) là bán kính đáy của hình trụ thu được.

Khi đó \(V_{\text{trụ}}=\pi r^2 h\). \quad \((1)\)

Vì chu vi đáy của hình trụ là chiều dài của hình chữ nhật nên

\(C=2\pi r=x \Rightarrow r=\displaystyle\frac{x}{2\pi}.\quad (2)\)

Vì miếng tôn hình tròn bán kính \(2\) m nên

\(\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{h}{2}\right)^2=2^2 \Rightarrow x^2=16-h^2. \quad (3)\)

Từ \((1)\), \((2)\), \((3)\) suy ra

\(V_{\text{trụ}}=\pi \cdot \displaystyle\frac{16-h^2}{(2\pi)^2}\cdot h =\displaystyle\frac{1}{4\pi }\cdot h(16-h^2)=\displaystyle\frac{1}{4\pi }\cdot (16h-h^3).\)

Xét hàm số \(f(h)=16h-h^3\), có \(f'(h)=16-3h^2=0 \Rightarrow h=\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}~\overset{\text{đặt}}{=}~h_0\) và bảng biến thiên

Suy ra thể tích thùng đạt cực đại khi \(h=\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}\Rightarrow x=\displaystyle\frac{4\sqrt{6}}{3}\).

Vậy diện tích phần tôn bị cắt bỏ là

\(S=S_{\text{hình tròn}}-S_{\text{hình chữ nhật}}=\pi \cdot 2^2 -x\cdot h=4\pi -\displaystyle\frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot \displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 5.\)

Ta có \(C'(t)=\mathrm{e}^{-2{,}802 t} (1{,}35 - 3{,}7827 t)=0\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{500}{1401}=t_0\).

Bảng biến thiên của hàm số \(C(t)\) trên \([0;3]\)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đạt cực đại bằng \(C(t_0)\approx 0{,}18\) mg/mL.

Ta có \(y'=-\displaystyle\frac{3}{2\,000}x^2+\displaystyle\frac{17}{100}x-4\).

Xét \(y'=0\Leftrightarrow \hoac{&x=\displaystyle\frac{100}{3}\\&x=80.}\)

Bảng biến thiên

Ta có tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)\) là \(A\left(\displaystyle\frac{100}{3};-\displaystyle\frac{200}{27}\right)\) và \(B(80;18)\).

Ta có

\(v'(r)=(6{.}4 - 9{.}6 r) r=0\Leftrightarrow \hoac{&r=0\\&r=\displaystyle\frac{2}{3}.}\)

Bảng biến thiên của \(v(r)\)

Vậy với \(r=\displaystyle\frac{2}{3}\) thì \(v\) đạt cực đại.

Ta có \(y'(t)=\displaystyle\frac{135t^2-15}{(9t^2+1)^2}=0\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Bảng biến thiên của hàm \(y(t)\)

Vậy nồng độ oxygen trong nước đạt cực tiểu tại thời điểm \(t=\displaystyle\frac{1}{3}\) giờ.

Ta có \(p=15-\displaystyle\frac{1}{2} q\) \(\Rightarrow q=30-2p\).

Lại có \(R=pq=p\left(30-2p\right)\Rightarrow R=-2p^2+30p\) với \(0< p\).

Xét \(R'=-4p+30=0\Leftrightarrow p=7{,}5\).

Ta có bảng biến thiên như sau

Từ bảng biến thiên thấy để đạt được doanh thu đạt cực trị thì giá bán mỗi kilôgam sản phẩm \(p=7{,}5\) (nghìn đồng/kg) khi đó doanh thu sẽ là \(R(7{,}5)=112{,}5\) (nghìn đồng).