\(\S1.\) TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Tính đơn điệu của hàm số

+) Trên khoảng \((a;b)\), nếu đồ thị đi lên từ trái sang phải thì hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên khoảng \((a;b)\).

+) Trên khoảng \((a;b)\), nếu đồ thị đi xuống từ trái sang phải thì hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((a;b)\).

Image

Định lí: Cho \(K\) là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

+) Nếu \(f'(x)>0,\ \forall x\in K\) thì \(f(x)\) đồng biến trên \(K\);

+) Nếu \(f'(x)<0,\ \forall x\in K\) thì \(f(x)\) nghịch biến trên \(K\).

Định lí mở rộng:

+) Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(K\), \(f'(x) \geq 0\) với mọi \(x \in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên \(K\).

+) Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(K\), \(f'(x) \leq 0\) với mọi \(x \in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên \(K\).

2. Cực trị của hàm số

Image

Image

+) Nếu \(x_i\) thuộc khoảng xác định \((a;b)\) và \(f'(x)\) đổi dấu khi đi qua \(x_i\) thì \(x_i\) là điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\) (với \(i=1, 2, \ldots\)).

+) Nếu \(f'(x_i)=0\) nhưng \(f'(x)\) không đổi dấu khi qua điểm \(x_i\) thì hàm số không có cực trị tại điểm \(x_i\) (với \(i=1, 2, \ldots\)).

+) Nếu \(f'(x)\) không đổi dấu trên khoảng \((a;b)\) thì \(f(x)\) không có cực trị trên khoảng đó.

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1. Tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\) khi biết đồ thị của \(f(x)\)

Dạng 2. Cực trị của hàm số \(f(x)\) khi biết đồ thị của \(f(x)\)

Dạng 3. Tính đơn điệu của hàm số đa thức và phân thức 1/1

Dạng 4. Cực trị của hàm số đa thức

Dạng 5. Tính đơn điệu của hàm số phân thức 2/1

Dạng 6. Cực trị của hàm số phân thức 2/1

Dạng 7. Tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\) khi biết biểu thức của \(f'(x)\)

Dạng 8. Cực trị của hàm số \(f(x)\) khi biết biểu thức của \(f'(x)\)

Dạng 9. Tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\) khi biết đồ thị của \(f'(x)\)

Dạng 10. Cực trị của hàm số \(f(x)\) khi biết đồ thị của \(f'(x)\)

Dạng 11. Tính đơn điệu của hàm hợp \(f(u)\) khi biết đồ thị của \(f'(x)\)

Dạng 12. Cực trị của hàm hợp \(f(u)\) khi biết đồ thị của \(f'(x)\)

Dạng 1. Tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\) khi biết đồ thị của \(f(x)\)

Tính từ trái sang phải:

+) Nếu đồ thị đi lên trên khoảng $(a;b)$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $(a;b)$.

+) Nếu đồ thị đi xuống trên khoảng $(a;b)$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $(a;b)$.

Chú ý. Đồ thị nói ở trên là đồ thị của hàm số $f(x)$.

Câu 1:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Image

Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?

Đáp án: Đồng biến trên khoảng \(\left(-1;0\right)\)

Lời giải:

Theo chiều từ trái sang phải, đồ thị hàm số đồng biến là một đường “đi lên”, đồ thị hàm số nghịch biến là một đường “đi xuống”. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-1;0\right)\).

Câu 2:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau

Image

Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đáp án: \((-\infty;-2)\)

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên \((-\infty;-1)\) nên nghịch biến trên \((-\infty;-2)\).

Dạng 2. Cực trị của hàm số \(f(x)\) khi biết đồ thị của \(f(x)\)

Dựa vào đồ thị:

Image

Dựa vào bảng biến thiên: Nếu $f(x)$ xác định tại điểm $x_0$ đồng thời $f'(x)$ đổi dấu khi qua $x_0$ thì điểm $x_0$ là điểm cực trị.

Image

Câu 1:

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

Image

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Đáp án: \(1\)

Lời giải:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có cực tiểu và \(x=1\) là điểm cực đại duy nhất của hàm số. Vậy hàm số đã cho có \(1\) điểm cực trị.

Câu 2:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau.

Image

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

Đáp án: \(x=2\)

Lời giải:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\).

Dạng 3. Tính đơn điệu của hàm số đa thức và phân thức 1/1

Để xét tính đơn điệu của hàm số $f(x)$ cho bởi công thức, ta lập bảng biến thiên của nó rồi dựa vào đó để kết luận.

Các bước lập bảng biến thiên như sau

B1. Tìm tập xác định của hàm số.

B2. Tính đạo hàm $f'(x)$.

B3. Giải phương trình $f'(x)=0$ để tìm nghiệm của đạo hàm đồng thời tìm các điểm mà tại đó $f'(x)$ không xác định.

B4. Sắp xếp các điểm trên theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Câu 1:

Cho hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{2x+3}{x-1}\). Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Đáp án: \((-\infty;1)\)\((1;+\infty)\)

Lời giải:

Tập xác định \(\mathscr D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-5}{(x-1)^2}<0\), \(\forall x\in\mathscr D\).

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\).

Câu 2:

Hàm số \(y=x^3-3x^2\) nghịch biến trên khoảng nào?

Đáp án: \((0;2)\)

Lời giải:

Ta có \(y'=3x^2-6x\), \(y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x=2.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Image

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên \((0;2)\) .

Dạng 4. Cực trị của hàm số đa thức

Để tìm điểm cực trị của hàm số $f(x)$ cho bởi công thức, ta lập bảng biến thiên của nó rồi sau đó dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Các bước lập bảng biến thiên như sau

B1. Tìm tập xác định của hàm số.

B2. Tính đạo hàm $f'(x)$.

B3. Giải phương trình $f'(x)=0$ để tìm nghiệm của đạo hàm đồng thời tìm các điểm mà tại đó $f'(x)$ không xác định.

B4. Sắp xếp các điểm trên theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Câu 1:

Gọi \(x_1\), \(x_2\) là các điểm cực trị của hàm số \(y=x^3-6x^2-7x+3\). Tính giá trị của biểu thức \(T=x_1+x_2\).

Đáp án: \(T=4\)

Lời giải:

\(x_1\), \(x_2\) là nghiệm của phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow3x^2-12x-7 = 0\).

Theo định lý Vi-ét ta có \(T= 4\).

Câu 2:

Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y=2x^3-3x^2+5\).

Đáp án: \((0; 5)\)

Lời giải:

Hàm bậc ba có \(y'=0\Leftrightarrow 6x^2-6x=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=0\\&x=1.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên của hàm số:

Image

Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là \((0; 5)\).

Dạng 5. Tính đơn điệu của hàm số phân thức 2/1

Lỗi khi trích xuất lý thuyết từ dữ liệu

Dạng 6. Cực trị của hàm số phân thức 2/1

Lỗi khi trích xuất lý thuyết từ dữ liệu

Dạng 7. Tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\) khi biết biểu thức của \(f'(x)\)

Vì đã có biểu thức của $f'(x)$ nên chỉ cần tìm nghiệm của $f'(x)$ và xác định dấu của nó là sẽ lập được bảng biến thiên của $f(x)$.

Các bước tiến hành như sau

B1. Tìm các nghiệm của phương trình $f'(x)=0$.

B2. Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ và kết luận.

Chú ý. Để xét dấu của $f'(x)$ ta cần chú ý những điểm sau

+) Dấu trên khoảng $(x_n;+\infty)$ ($x_n$ là nghiệm lớn nhất) cùng dấu với hệ số $a$.

+) Qua nghiệm đơn hoặc bội lẻ thì đổi dấu, qua nghiệm bội chẵn không đổi dấu.

Câu 1:

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'(x)=(1-x)^2(x+1)^3(3-x)\). Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đáp án: \((1;3)\)

Lời giải:

Ta có \(f'(x)\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\) và

\(f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=-1\\&x=1\\&x=3.\end{aligned}\right.\)

Bảng xét dấu:

Image

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;3)\), do đó đồng biến trên \((1;3)\).

Câu 2:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = (x+1)^2(x-1)^3(2-x)\). Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đáp án: \((1;2)\)

Lời giải:

Theo đề bài ta có bảng biến thiên sau

Image

Dạng 8. Cực trị của hàm số \(f(x)\) khi biết biểu thức của \(f'(x)\)

Vì đã có biểu thức của $f'(x)$ nên chỉ cần tìm nghiệm của $f'(x)$ và xác định dấu của nó là sẽ lập được bảng biến thiên của $f(x)$.

Các bước tiến hành như sau

B1. Tìm các nghiệm của phương trình $f'(x)=0$.

B2. Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ và kết luận.

Chú ý. Để xét dấu của $f'(x)$ ta cần chú ý những điểm sau

+) Dấu trên khoảng $(x_n;+\infty)$ ($x_n$ là nghiệm lớn nhất) cùng dấu với hệ số $a$.

+) Qua nghiệm đơn hoặc bội lẻ thì đổi dấu, qua nghiệm bội chẵn không đổi dấu.

Câu 1:

Biết hàm số \(f(x)\) có đạo hàm là \(f'(x)=x^2(x+1)^2(2x-1)\). Số điểm cực trị của hàm số \(f(x)\) là

Đáp án: \(1 \)

Lời giải:

Câu 2:

Biết hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=x^2(x+1)^2(x-2)^4\). Số điểm cực trị của hàm số \(f(x)\) là

Đáp án: \( 0\)

Lời giải:

Dạng 9. Tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\) khi biết đồ thị của \(f'(x)\)

Dựa vào đồ thị của hàm số $f'(x)$ sẽ lập được bảng biến thiên của hàm số $f(x)$.

Các bước tiến hành như sau

B1. Xác định các hoành độ giao điểm của đồ thị $f'(x)$ với trục hoành, đó chính là các nghiệm của $f'(x)$.

B2. Xác định dấu của $f'(x)$: dựa vào các phần đồ thị của $f'(x)$ nằm phía trên hoặc phía dưới trục hoành.

B3. Lập bảng biến thiên của $f(x)$.

Câu 1:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'(x)\). Biết rằng \(f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Image

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án: Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\)

Lời giải:

Đồ thị hàm số cho ta bảng biến thiên như sau:

Image

Từ đó ta có hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\).

Câu 2:

Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ bên.

Image

Khẳng định nào dưới đây sai?

Đáp án: Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty)\)

Lời giải:

Dạng 10. Cực trị của hàm số \(f(x)\) khi biết đồ thị của \(f'(x)\)

Dựa vào đồ thị của hàm số $f'(x)$ sẽ lập được bảng biến thiên của hàm số $f(x)$.

Các bước tiến hành như sau

B1. Xác định các hoành độ giao điểm của đồ thị $f'(x)$ với trục hoành, đó chính là các nghiệm của $f'(x)$.

B2. Xác định dấu của $f'(x)$: dựa vào các phần đồ thị của $f'(x)$ nằm phía trên hoặc phía dưới trục hoành.

B3. Lập bảng biến thiên của $f(x)$.

Câu 1:

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Image

Phát biểu nào sau đây đúng?

Đáp án: \(f(x)\) có đúng một cực đại và không có cực tiểu

Lời giải:

Từ bảng biến thiên ta thấy rằng hàm số \(f'(x)\) chỉ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm \(x=1\) và \(f(1)=3\). Do đó, hàm số \(f(x)\) có đúng một cực đại và không có cực tiểu.

Câu 2:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\).

Image

Số điểm cực đại của hàm số \(f(x)\) là

Đáp án: \(1\)

Lời giải:

Quan sát đồ thị hàm số \(y=f'(x)\), ta thấy \(f'(x)=0\) tại bốn điểm phân biệt \(x_1,x_2,x_3,x_4\).

Image

+) Tại \(x_1\) và \(x_3\), \(f'(x)\) không đổi dấu \(\Rightarrow f\) không đạt cực trị tại \(x_1\) và \(x_3\).

+) Tại \(x_2\) và \(x_4\), \(f'(x)\) đổi dấu \(\Rightarrow f\) đạt cực trị tại \(x_2\) và \(x_4\).

Dạng 11. Tính đơn điệu của hàm hợp \(f(u)\) khi biết đồ thị của \(f'(x)\)

Cách 1. Phương pháp nội suy

B1. Từ đồ thị của $f'(x)$ suy ra phương trình của $f'(x)$.

B2. Tính đạo hàm của hàm số $g(x)=f(u)$ theo công thức: $g'(x)=u'f'(u)$.

B3. Dựa vào phương trình của $f'(x)$, viết lại tường minh phương trình của $g'(x)$.

B4. Tiến hành tìm nghiệm của $g'(x)$, lập bảng biến thiên của $g(x)$ và kết luận.

Cách 2.

B1. Tính đạo hàm của hàm số $g(x)=f(u)$: $g'(x)=u'f'(u)$.

B2. Nếu bài toán yêu cầu tìm khoảng đồng biến thì giải bất phương trình $g'(x)>0$; còn nếu bài toán yêu cầu tìm khoảng nghịch biến thì giải bất phương trình $g'(x)<0$.

B3. Tập nghiệm tìm được là khoảng đồng biến (hoặc nghịch biến) của hàm số $g(x)$.

Câu 1:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\).

Image

Xét hàm số \(g(x)=f(x^2-2)\). Mệnh đề nào dưới đây sai?

Đáp án: Hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên \((-1;0)\)

Lời giải:

Ta có \(g'(x)=2xf'(x^2-2)\).

\(g'(x)=0 \Leftrightarrow \begin{cases}x=0\\x^2-2=-1 \quad \text{(nghiệm bội chẵn)}\\ x^2-2=2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \quad \text{(nghiệm đơn)}\\x=\pm 1 \quad \text{(nghiệm kép)}\\x=\pm 2 \quad \text{(nghiệm đơn)}.\end{cases}\)

\(g'(x) >0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\begin{cases}x >0\\f'(x^2-2) >0\end{cases}\\&\begin{cases}x < 0\\f'(x^2-2) < 0\end{cases}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\begin{cases}x >0\\x^2-2 >2\end{cases}\\&\begin{cases}x < 0\\x^2-2 < 2\end{cases}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x >2\\&-2 < x < 0.\end{aligned}\right.\)

Ta có bảng xét dấu \(g'(x)\) như sau

Image

Dựa vào bảng xét dấu \(g'(x)\) ta thấy hàm số \(g(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-2;0)\), \((2;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((0;2)\).

Câu 2:

Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau.

Image

Hàm số \(y=f(x^2)\) đồng biến trên khoảng

Đáp án: \(\left(1;2\right)\)

Lời giải:

Ta có \(y' = 2xf'(x^2)\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\ &f'(x^2)=0\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=0\\ &x^2=1\\ &x^2=4.\end{aligned}\right.\)

Để hàm số nghịch biến thì \(y' \leq 0 \Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 0 \\ f'(x^2) \leq 0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x \leq 0 \\ f'(x^2) \geq 0.\end{cases}\)

Ta có \(\begin{cases}x \geq 0 \\ f'(x^2) \leq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 0 \\ 1 \leq x^2 \leq 4\end{cases} \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 2\).

và \(\begin{cases}x \leq 0 \\ f'(x^2) \geq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x \leq 0 \\ 0\leq x^2 \leq 1\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x \leq 0 \\ x^2 \geq 4\end{cases} \Leftrightarrow x \leq -2\) hoặc \(-1 \leq x \leq 0\).

Dạng 12. Cực trị của hàm hợp \(f(u)\) khi biết đồ thị của \(f'(x)\)

Cách 1. Phương pháp nội suy

B1. Từ đồ thị của $f'(x)$ suy ra phương trình của $f'(x)$.

B2. Tính đạo hàm của hàm số $g(x)=f(u)$ theo công thức: $g'(x)=u'f'(u)$.

B3. Dựa vào phương trình của $f'(x)$, viết lại tường minh phương trình của $g'(x)$.

B4. Tiến hành tìm nghiệm của $g'(x)$, lập bảng biến thiên của $g(x)$ và kết luận.

Cách 2.

B1. Tính đạo hàm của hàm số $g(x)=f(u)$: $g'(x)=u'f'(u)$.

B2. Nếu bài toán yêu cầu tìm khoảng đồng biến thì giải bất phương trình $g'(x)>0$; còn nếu bài toán yêu cầu tìm khoảng nghịch biến thì giải bất phương trình $g'(x)<0$.

B3. Tập nghiệm tìm được là khoảng đồng biến (hoặc nghịch biến) của hàm số $g(x)$.

Câu 1:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.

Image

Hỏi đồ thị hàm số \(y = f^2(x)\)có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

Đáp án: \(2\) điểm cực đại, \(3\) điểm cực tiểu

Lời giải:

Ta có \(y=f^2(x)\Rightarrow y'=2f(x)f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}f(x)=0\\ f'(x)=0\end{aligned}\right.\).

Từ đồ thị ta có

+) \(f(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}x=0\\ x=1 \\ x=3\end{aligned}\right.\), trong đó \(x=1\) là nghiệm kép.

+) \(f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& x=a \ (\text{với} \ 0< a< 1) \\ & x=1 \\ & x=b \ (\text{với} \ 1< b< 3)\end{aligned}\right.\)

+) Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y=f^2(x)\) như sau

Image

Vậy hàm số \(y=f^2(x)\) có \(2\) điểm cực đại và \(3\) điểm cực tiểu.

Câu 2:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên.

Image

Hàm số \(y=\left(f(x)\right)^2\) có bao nhiêu cực trị?

Đáp án: \( 5 \)

Lời giải:

Ta có \(y'=2f(x)\cdot f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& f(x)=0\\& f'(x)=0.\end{aligned}\right.\)

Dựa vào đồ thị, ta có \(f(x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=0\\& x=1~(\text{kép})\\& x=3\end{aligned}\right.\) và \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=a~(\text{với}~0< a< 1)\\& x=1\\& x=b~(\text{với}~2< b< 3).\end{aligned}\right.\)

Bảng xét dấu của \(y'\)

Image

Hàm số \(y=\left(f(x)\right)^2\) có cực trị khi và chỉ khi \(y'\) đổi dấu khi \(x\) đi qua \(x_0\). Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(y'\) đổi dấu \(5\) lần. Vậy hàm số đã cho có \(5\) cực trị.

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1. Biết đồ thị của \(f(x)\)

Dạng 2. Biết biểu thức của \(f(x)\)

Dạng 3. Biết biểu thức của \(f'(x)\)

Dạng 4. Biết đồ thị của \(f'(x)\)

Dạng 1. Biết đồ thị của \(f(x)\)

Câu 1:

Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Image

Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

Đáp án:

  • Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0;2)\)
  • Hàm số đã cho đạt cực đại tại hai điểm \(x=-1\)\(x=5\)

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-2;1)\)\((7;+\infty)\)
  • Hàm số đã cho đạt cực đại tại hai điểm \(x=1\)

Lời giải:

Dạng 2. Biết biểu thức của \(f(x)\)

Dạng 3. Biết biểu thức của \(f'(x)\)

Câu 1:

Cho hàm số \(f(x)\) có \(f'(x)=(x+2)(x-1)^2(4-x)^3\), \(\forall x\in\mathbb{R}\). Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • Hàm số \(f(x)\) có đúng \(2\) điểm cực trị
  • Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên \((-\infty;-2)\)

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số \(f(x)\) có \(f'(x)=x^2(x-1)(x-2)\), \(\forall x\in\mathbb{R}\). Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((-\infty;1)\)
  • Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên \((1;2)\)

Lời giải:

Dạng 4. Biết đồ thị của \(f'(x)\)

Câu 1:

Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như sau:

Image

Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

Đáp án:

  • Hàm số đã cho có đúng \(3\) điểm cực trị

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như hình bên dưới.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((1;3)\)
  • \(x=0\) là điểm cực tiểu của hàm số đã cho

Lời giải:

Phần 3. Tự luận

Cơ bản

Nâng cao

Ứng dụng thực tế

Cơ bản

Câu 1:

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số có đồ thị cho ở hình bên dưới.

Image

Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\) và \((4;5)\), nghịch biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((2;4)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(x=4\).

Câu 2:

Cho hai hàm số \(y=g(x)\) có đồ thị được cho như hình. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của hàm số đã cho.

Image

Hàm số \(y=g(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-2;0)\), \((1;+\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((0;1)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và đạt cực tiểu tại \(x=-2\), \(x=1\).

Câu 3:

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(y=-x^3+2x^2-3\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=-3x^2+4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow -3x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{4}{3}\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Image

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \(\left(\displaystyle\frac{4}{3};+\infty\right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{4}{3}\right)\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=\displaystyle\frac{4}{3}\).

Câu 4:

Tìm các khoảng đơn điệu và tìm các điểm cực trị của hàm số \(f\left(x\right)=2x^3+6x^2+6x-9\).

Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(f'\left(x\right)=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\). Do đó \(y'\geq 0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\) và \(y'=0\) tại \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Image

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), không có điểm cực trị.

Câu 5:

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+1.\)

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=3x^2-6x-9\);

\(y'=0\Leftrightarrow 3x^2-6x-9=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=3\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Image

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-1)\) và \((3;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((-1;3)\).

Câu 6:

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=-\displaystyle\frac{1}{3}x^3+x^2-x+5.\)

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=-x^2+2x-1=(x-1)^2\);

\(y'\leq 0,\forall x\in \mathbb{R}\) và \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Image

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Câu 7:

Tìm cực trị của hàm số \(y=x^4+2x^2-3\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=4x^3+4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow =4x^3+4x=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Image

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\).

Câu 8:

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=x^4-2x^2+5\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=4x^3-4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow 4x^3-4x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm 1\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Image

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-1;0)\) và \(\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \((0;1)\).

Câu 9:

Tìm cực trị của hàm số \(y=x^{3}-6 x^{2}+9 x+30\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y^{\prime}=3 x^{2}-12 x+9 ; y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=3\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Image

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(y_{\text{CĐ}}=y(1)=34\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\) và \(y_{\text{CT}}=y(3)=30\).

Câu 10:

Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số \(y=2x^3+3x^2-36x+6\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=6x^2+6x-36\); \(y'=0 \Leftrightarrow x=-3\) hoặc \(x=2.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;-3)\) và \((2;+\infty)\), nghịch biến trên \((-3;2)\);

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-3\), \(y_{\text{CĐ}}=87\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=-38\).

Câu 11:

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y=x^3-3x^2+1\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\). Đạo hàm \(y'=3x^2-6x\).

\(y'=0\Leftrightarrow 3x^2-6x=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=0\\ &x=2.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên hai khoảng \((-\infty;0)\), \((2;+\infty)\) và nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).

Câu 12:

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y=x^4-4x^2+1\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=4x^3-8x=4x(x^2-2)\).

\(y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\ &x=\pm \sqrt{2}.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên hai khoảng \(\left(-\sqrt{2};1\right)\), \(\left(\sqrt{2};+\infty\right)\) và nghịch biến trên hai khoảng \(\left(-\infty;\sqrt{2}\right)\), \(\left(0;\sqrt{2}\right)\).

Câu 13:

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y=\displaystyle\frac{3}{2}x^4-2x^3-15x^2-18x+5\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=6x^3-6x^2-30x-18\).

\(y'=0\Leftrightarrow 6x^3-6x^2-30x-18=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-1\\ &x=3.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;3)\) và đồng biến trên khoảng \((3;+\infty)\).

Câu 14:

Tìm cực trị của hàm số \(y=x^{4}-3 x^{2}+1\).

Ta có \(y'=4x^3-6x\). Khi đó \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}.\)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Image

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\) và \(y_{\text{CT}}=y\left(\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=-\displaystyle\frac{5}{4}\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và \(y_{\text{CĐ}}=y(0)=1\).

Câu 15:

Tìm các điểm cực trị của hàm số \(y=x^3+3x^2-2\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=3x^2+6x\). Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow 3x^2+6x=0\Leftrightarrow x=0\ \vee\ x=-2.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\) và đạt cực tiểu tại \(x=0\).

Câu 16:

Tìm các điểm cực trị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x^4-2x^2+1\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=2x^3-4x\). Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow 2x^3-4x=0\Leftrightarrow x=0\ \vee\ x=\pm \sqrt{2}.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x=\pm \sqrt{2}\) và đạt cực đại tại \(x=0\).

Câu 17:

Tìm các điểm cực trị của hàm số \(y=x^4-\displaystyle\frac43 x^3-2x^2+4x+3\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=4x^3-4x^2-4x+4\). Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\).

Câu 18:

Xét chiều biến thiên của hàm số \(y = \displaystyle\frac{x -2}{x + 1}\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R} \setminus\{1\}\).

Ta có \(y' = \displaystyle\frac{\left(x - 1\right) - \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \displaystyle\frac{3}{\left(x + 1\right)^2} > 0\), với mọi \(x \neq 1\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Image

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty; -1\right)\) và \((-1;+\infty)\).

Câu 19:

Lập bảng biến thiên, tìm khoảng đơn điệu của hàm số: \(y=\displaystyle\frac{x-6}{1-2x}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\).

\(y'=\displaystyle\frac{-11}{\left(1 - 2 x\right)^2}<0\), \(\forall x\ne\displaystyle\frac{1}{2}\).

Bảng biến thiên

Image

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty; \displaystyle\frac{1}{2})\) và \((\displaystyle\frac{1}{2};+\infty)\).

Câu 20:

Xét tính đơn điệu của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{x+1}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}>0,\ \forall x\in\mathscr{D}\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Câu 21:

Tìm các điểm cực trị của hàm số \(y=x+\displaystyle\frac{4}{x-1}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm \(y'=1-\displaystyle\frac{4}{(x-1)^2}\). Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow (x-1)^2=4\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x-1=2\\ &x-1=-2\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=3\\ &x=-1.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x=3\).

Câu 22:

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\displaystyle\frac{3x+1}{2-x}\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{7}{(2-x)^2}>0,\,\forall x\neq 2\).

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

Câu 23:

Xét chiều biến thiên của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{3x+1}\).

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\displaystyle\frac{1}{3}\right\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2(3x+1)-3(2x-1)}{(3x+1)^2}=\displaystyle\frac{5}{(3x+1)^2}>0\) với mọi \(x\) khác \(- \displaystyle\frac{1}{3}\).

Vậy, hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{3x+1}\) đồng biến trên \(\left(-\infty; - \displaystyle\frac{1}{3}\right)\) và \(\left(- \displaystyle\frac{1}{3};+\infty\right)\).

Hàm số không có cực trị.

Câu 24:

Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x-7}{x-4}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{4\}\).

Ta có \(y=x+2+\displaystyle\frac{1}{x-4} \Rightarrow y'=1-\displaystyle\frac{1}{(x-4)^2}=\displaystyle\frac{x^2-8x+15}{(x-4)^2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x^2-8x+15=0 \Leftrightarrow x=3\) hoặc \(x=5.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;3)\) và \((5;+\infty)\), nghịch biến trên \((3;4)\) và \((4;5)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=3\), \(y_{\text{CĐ}}=4\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=5\), \(y_{\text{CT}}=8\).

Câu 25:

Tìm khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+2x+2}{x+1}\).

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+2)}{(x+1)^2}=\displaystyle\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-2\) (thỏa mãn).

Bảng biến thiên

Image

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-2 \right)\) và \(\left(0;+\infty \right)\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-2;-1 \right)\) và \(\left(-1;0 \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\) và \(y_{CD}=-2\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(y_{CT}=2\).

Câu 26:

Tìm cực trị của các hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x+3}{x-1}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\) hoặc \(x=1-\sqrt{2}\).

Lập bảng biến thiên của hàm số

Image

Hàm số đặt cực đại tại \(x=1-\sqrt{2}\) và đạt cực tiểu tại \(x=1+\sqrt{2}\).

Câu 27:

Tìm khoảng đơn điệu của hàm số \(y = \displaystyle\frac{x^2 -2x + 5}{x - 1}\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Ta có \(y' = \displaystyle\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right) - \left(x^2 - 2x + 5\right)}{(x - 1)^{2}} = \displaystyle\frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^{2}}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = -1\) hoặc \(x = 3\).

Ta có bảng biến thiên:

Image

Từ bảng biến thiên, ta có

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty; -1\right)\) và \(\left(3; +\infty\right)\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-1; 1\right)\) và \(\left(1; 3\right)\).

Câu 28:

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-x+1}{x-1}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+1)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\ &x=2.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((2;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((0;1)\), \((1;2)\).

Câu 29:

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+x+4}{x-3}\).

\(y=\frac{x^2+x+4}{x-3}\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

Ta có: \(y'=\frac{x^2-6x-7}{\left(x-3\right)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x^2-6x-7=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=7\)

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Image

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(7;+\infty\right)\) ; nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-1;3\right)\) và \(\left(3;7\right)\).

Câu 30:

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-x+1}{x-1}\).

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-x+1}{x-1}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2x}{(x-1)^2},\forall x\in \mathscr{D}\).

\begin{eqnarray*}y'=0 &\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=0 \Leftrightarrow x^2-2x=0\\& \Leftrightarrow&\hoac{&x=0\\&x=2.}\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên

Image

Hàm số đồng biến biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((0;1)\) và \((1;2)\).

Câu 31:

Tìm cực trị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^{2}-2 x+9}{x-2}\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Ta có: \(y^{\prime}=\displaystyle\frac{(2 x-2)(x-2)-\left(x^{2}-2 x+9\right)}{(x-2)^{2}}=\displaystyle\frac{x^{2}-4 x-5}{(x-2)^{2}}\);

\(y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=5\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Image

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\) và \(y_{\text{CĐ}}=y(-1)=-4\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=5\) và \(y_{\text{CT}}=y(5)=8\).

Câu 32:

Tìm cực trị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^{2}+2 x-1}{x+2}\).

\(y=\displaystyle\frac{-x^2+2 x-1}{x+2}\);

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus \{-2\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-4x+5}{(x+2)^2}\).

\(y'=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=-5.\)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Image

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(y_{\text{CĐ}}=y(1)=0\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-5\) và \(y_{\text{CT}}=y(-5)=12\).

Câu 33:

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+2 x+2}{x+1}\).

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+2 x+2}{x+1}\) xác định với mọi \(x\in \mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace-1\right\rbrace\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-2x}{\left(x+1\right)^{2}}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-2.\)

Bảng biến thiên

Image

Từ bảng biến thiên, suy ra

\(x=0\) là điểm cực đại của hàm số, \(f_{\text{CĐ}}=2\)

\(x=-2\) là điểm cực tiểu của hàm số, \(f_{\text{CT}}=6\).

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left(-2;-1\right)\cup\left(-1;0\right)\), nghịch biến trên \(\left(-\infty;-2\right)\cup\left(0;+\infty\right)\).

Câu 34:

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y=\sqrt{2x-x^2}\).

Điều kiện \(2x-x^2\geq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2\). Tập xác định \(\mathscr{D}=[0;2]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}=\displaystyle\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\).

Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow 1-x=0\Leftrightarrow x=1.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0;1)\) và nghịch biến trên khoảng \((1;2)\).

Câu 35:

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y=\sqrt{x^2-3x-4}\).

Điều kiện \(x^2-3x-4\geq 0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x\leq -1\\ &x\geq 4.\end{aligned}\right.\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=(-\infty;-1]\cup [4;+\infty)\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x-4}}\). Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow 2x-3=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{3}{2}.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;-1)\) và đồng biến trên \((4;+\infty)\).

Câu 36:

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y=4x-\sqrt{x^2-x+1}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=4-\displaystyle\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}=\displaystyle\frac{8\sqrt{x^2-x+1}-2x+1}{2\sqrt{x^2-x+1}}.\)

Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow 8\sqrt{x^2-x+1}=2x-1\Leftrightarrow \begin{cases}2x-1\geq0\\ 64(x^2-x+1)=(2x-1)^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\geq \displaystyle\frac{1}{2}\\ 60x^2-60x+63=0.\end{cases}\)

Phương trình vô nghiệm.

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Câu 37:

Tìm các điểm cực trị của hàm số \(y=|x|(x+2)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{x}{|x|}(x+2)+|x|=\displaystyle\frac{2(x^2+x)}{|x|}\ (x\neq 0)\).

Suy ra

\(y'=0\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow x=0\ (\text{loại})\ \vee\ x=-1.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x=0\).

Câu 38:

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(y=\sqrt{-x^2+4}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=[-2;2]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{-x^2+4}}\), \(y'=0 \Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{\text{CĐ}}=2\); hàm số không có cực tiểu.

Câu 39:

Tìm cực trị của hàm số \(y=\sqrt{4x-2x^2}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=[0;2]\).

Ta có \(y'=\left(\sqrt{4x-2x^2}\right)'=\displaystyle\frac{4-4x}{2\sqrt{4x-2x^2}}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên

Image

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(y_{\text{CĐ}}=\sqrt{2}\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(x=2\); \(y_{CT}=0\).

Câu 40:

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=x+\sqrt{16-x^2}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=[-4;4]\).

Đạo hàm: \(y'=1-\displaystyle\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{16-x^2}-x}{\sqrt{16-x^2}}\) với \(x\in (-4;4)\)

\begin{eqnarray*}y'=0&\Leftrightarrow&\heva{&\sqrt{16-x^2}=x\\&x>0}\\&\Leftrightarrow&\heva{&x>0\\&x^2=8}\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}.\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((-4;2\sqrt{2})\) và nghịch biến trên khoảng \((2\sqrt{2};4)\).

Câu 41:

Tìm điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)=x+\sqrt{9-x^2}\).

Hàm số đã cho có tập xác đinh \([-3;3]\). Ta có \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{9-x^2}-x}{\sqrt{9-x^2}}, \forall -3< x< 3.\)

Suy ra

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow \sqrt{9-x^2}=x \Leftrightarrow \heva{&x\ge 0 \\ &9-x^2=x^2} \Leftrightarrow x=\frac{3}{\sqrt{2}}.\)

Ta có bảng biến thiên của \(f(x)\)

Image

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có một điểm cực trị duy nhất là \(\left(\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}};3\sqrt{2}\right)\).

Câu 42:

Tìm các điểm cực trị của hàm số \(f(x)=x^2\ln x\).

Hàm số có tập xác định là \((0;+\infty)\). Ta có

\(f'(x)=2x\ln x+x.\)

Suy ra

\( f'(x)=0 \Leftrightarrow \ln x=-\displaystyle\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}. \)

Ta có bảng biến thiên như hình bên.

Image

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực trị \(x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\).

Câu 43:

Tìm các điểm cực trị của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2+x-1}{x^2-1}\).

Hàm số đã cho có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{-x^2-4x-1}{\left(x^2-1\right)^2}\), suy ra

\( f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2\pm \sqrt{3}. \)

Ta có bảng xét dấu \(f'(x)\)

Image

Từ đó hàm số đã cho có hai điểm cực trị \(x=-2-\sqrt{3}\) và \(x=-2+\sqrt{3}\).

Câu 44:

Tìm cực trị của hàm số \(y=x\cdot \mathrm{e}^x\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có

\(y'=\mathrm{e}^x+x \cdot\mathrm{e}^x \Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow\mathrm{e}^x+x \cdot\mathrm{e}^x=0 \Leftrightarrow\mathrm{e}^x(1+x)=0 \Leftrightarrow x=-1.\)

Bảng biến thiên

Image

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\) và giá trị cực tiểu \(y_\text{CT}=-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\).

Câu 45:

Tìm cực trị của hàm số \(y=x-\ln x\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=(0,+\infty)\).

Ta có

\(y'=1-\displaystyle\frac{1}{x} \Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow x=1.\)

Bảng biến thiên

Image

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\) và giá trị cực tiểu là \(y_\text{CT}=1\).

Câu 46:

Tìm các điểm cực trị của hàm số sau: \(y=3^{x-2 x^2}\).

Hàm số \(y=3^{x-2x^{2}}\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=3^{x-2x^{2}}\cdot\ln3\cdot\left(1-4x\right)\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Bảng biến thiên

Image

Từ bảng biến thiên, suy ra \(x=\displaystyle\frac{1}{4}\) là điểm cực đại của hàm số, \(y_{\text{CĐ}}=3^{\frac{1}{8}}\).

Câu 47:

Tìm các điểm cực trị của hàm số sau \(y=\ln \left(x^2+\mathrm{e}\right)\).

Hàm số \(y=\ln \left(x^2+\mathrm{e}\right)\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2x}{x^{2}+\mathrm{e}}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên

Image

Từ bảng biến thiên, suy ra \(x=0\) là điểm cực tiểu của hàm số, \(y_{\text{CT}}=1\).

Câu 48:

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=x(x+1)(x-4)^3,\forall x\in \mathbb{R}.\)

Tìm số điểm cực đại của hàm số đã cho.

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow \)x\( (x+1)(x-4)^3=0 \Leftrightarrow\hoac{&x=0\\&x=-1\\&x=4.}\)

Lập bảng biến thiên của hàm số \(f(x)\)

Image

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại.

Câu 49:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=(x+2)^2(x-2)^3(3-x)\), \(\forall x\in\mathbb{R}\). Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số đã cho.

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-2\), \(x=2\) và \(x=3\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((2;3)\), nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;2)\) và \((3;+\infty)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\), đạt cực đại tại điểm \(x=3\).

Câu 50:

Hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=x^2(x+2)\), \(\forall x\in\mathbb{R}\). Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(f(x)\).

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=0\) và \(x=-2\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-2)\), đồng biến trên khoảng \((-2;+\infty)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-2\).

Câu 51:

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=(x+1)^2(x-1)^3(2-x)\), \(\forall x\in\mathbb{R}\). Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(f(x)\).

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=\pm1\) và \(x=2\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;1)\) và \((2;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((1;2)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\), đạt cực đại tại điểm \(x=2\).

Câu 52:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=x(x-2)^3\), với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(f(x)\).

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=0\) và \(x=2\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), nghịch biến trên \((0;2)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\).

Câu 53:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=(x+1)^2(1-x)(x+3) \). Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số đã cho.

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=1\) và \(x=-3\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-3)\) và \((1;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((-3;1)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-3\), đạt cực đại tại điểm \(x=1\).

Câu 54:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=x(x-2)^3\), với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(f(x)\).

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=0\) và \(x=2\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), nghịch biến trên \((0;2)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\).

Câu 55:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=(x+1)^2(1-x)(x+3) \). Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số đã cho.

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=1\) và \(x=-3\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-3)\) và \((1;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((-3;1)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-3\), đạt cực đại tại điểm \(x=1\).

Câu 56:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị \(y=f'(x)\) trên \(\mathbb{R}\) như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số đã cho.

Image

Từ đồ thị của hàm số \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=1\), \(x=2\) và \(x=4\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\), \((1;2)\) và \((4;+\infty)\), đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\) và \((2;4)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\) và \(x=4\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\) và \(x=2\).

Câu 57:

Đạo hàm \(f'(x)\) của hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị như hình bên. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\).

Image

Từ đồ thị ta thấy \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=2\) và \(x=4\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số đồng biến trên \((-1;2)\) và \((4;5)\), nghịch biến trên \((-2;-1)\) và \((2;4)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\) và đạt cực tiểu tại \(x=-1\), \(x=4\).

Câu 58:

Cho hàm số \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình bên. Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số đã cho.

Image

Từ đồ thị của hàm số \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=1\) và \(x=3\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;3)\), đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\) và \((3;+\infty)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\) và \(x=3\).

Câu 59:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ.

Image

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=f(x)\)?

Từ đồ thị hàm số \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)>0\Leftrightarrow x>2\).

Vậy hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên \((2;+\infty)\).

Câu 60:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) là đường cong ở hình bên.

Image

Hỏi hàm số \(y=f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?

Số cực trị của hàm số \( y=f(x) \) là số điểm cắt của \( y=f'(x) \) với trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy có ba điểm cắt và một điểm đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành.

Vậy hàm số \( y=f(x) \) có \(3\) điểm cực trị.

Câu 61:

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([0 ; 3]\) thoả mãn \(f'\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)=f'(1)=f'\left(\displaystyle\frac{5}{2}\right)=0\) và có đồ thị là đường cong như hình bên.

Image

Tìm cực trị của hàm số đã cho trên khoảng \((0;3)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\displaystyle\frac{1}{3}\), \(y_{\text{CT}}=-\displaystyle\frac{1}{3}\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\displaystyle\frac{5}{2}\), \(y_{\text{CT}}=-2\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\), \(y_{\text{CĐ}}=0\).

Nâng cao

Ứng dụng thực tế

Câu 1:

Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số \(P(t)=\displaystyle\frac{a}{b+\mathrm{e}^{-0{,}75t}}\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu \(t=0\), quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ \(12\) tế bào/giờ. Tìm các giá trị của \(a\) và \(b\). Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?

Ta có \(P'(t)=\displaystyle\frac{0,75a \mathrm{e}^{-0,75t}}{\left(b+\mathrm{e}^{-0{,}75t}\right)^2}, t \geq 0\).

Theo đề bài, ta có \(P(0)=20\) và \(P'(0)=12\). Do đó, ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}\displaystyle\frac{a}{b+1}=20 \\ \displaystyle\frac{0,75a}{(b+1)^2=12}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=20(b+1)\\\displaystyle\frac{15}{b+1}=12\end{cases}\)

Giải hệ phương trình này, ta được \(a=25\) và \(b=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Khi đó, \(P'(t)=\displaystyle\frac{18{,}75\mathrm{e}^{-0{,}75t}}{\left(\displaystyle\frac{1}{4}+\mathrm{e}^{-0{,}75 t}\right)^2} > 0, \forall t \geq 0\), tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.

Tuy nhiên, do \(\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} P(t)=\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{25}{\displaystyle\frac{1}{4}+\mathrm{e}^{-0{,}75t}}=100\) nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá \(100\) tế bào.

Câu 2:

Giả sử chi phí \(C(x)\) (nghìn đồng) để sản xuất \(x\) đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi hàm số \(C(x)=30\,000+300x-2{,}5x^2+0{,}125x^3\).

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm \(C'(200)\) và giải thích ý nghĩa.

c) So sánh \(C'(200)\) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201.

a) Hàm chi phí biên là \(C'(x)=300-5x+0{,}375x^2\).

b) Ta có \(C'(200)=300-5\cdot 200+0,375\cdot 200^2=14300\).

Chi phí biên tại \(x=200\) là \(14\,300\) nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo (đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng \(14\,300\) nghìn đồng.

c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ \(201\) là

\(C(201)-C(200)=1\,004\,372{,}625- 990\,000=14\,372{,}625\) (nghìn đồng).

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên \(C'(200)\) đã tính ở câu b.

Câu 3:

Thể tích \(V\) của \(1\) kg nước (tính bằng \(\text{cm}^3\)) ở nhiệt độ \(T\) (đơn vị: \(\circ C\)) khi \(T\) thay đổi từ \(^\circ C\) đến \(30^\circ C\) được cho xấp xỉ bởi công thức:

\(V=999{,}87-0{,}06426T+0,0085043T^2-0{,}0000769T^3.\)

Tìm nhiệt độ \(T_0 \in \left(0;30\right)\) để kể từ nhiệt độ \(T_0\) trở lên thì thể tích \(V\) tăng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Xét hàm số \(f\left(T\right)=V=999{,}87-0{,}06426T+0,0085043T^2-0{,}0000769T^3\).

Hàm số xác định trên khoảng \(\left(0;30\right)\).

Ta có \(f'\left(T\right)=2{,}307 \cdot 10^{-4}T^2+0{,}0170086T-0{,}06426\).

\(f'\left(T\right)=0\Leftrightarrow x=3{,}6\) hoặc \(x=-77{,}33\Leftrightarrow x=3{,}6\).

Image

Vậy \(T_0=4^\circ C\) trở lên thì nhiệt độ tăng.

Câu 4:

Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở \(R_1\) và \(R_2\) thì điện tương đương \(R\) của mạch điện được tính theo công thức \(R=\displaystyle\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Image

Giả sử một điện trở \(8\Omega\) được mắc song sogn với một biến trở như hình vẽ. Nếu điện trở đó được kí hiệu là \(x (\Omega)\) thì điện trở tương đương \(R\) là hàm số của \(x\). Vẽ đồ thị của hàm số \(y=R(x)\), \(x>0\) và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi \(x\) tăng.

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá \(8\Omega\).

a) Ta có

\[ R(x)=\displaystyle\frac{8x}{x+8}\Rightarrow R'(x)=\frac{64}{(x+8)^2}>0,\ \forall x>0.\]

Do đó \(R(x)\) là một hàm đồng biến trên \((0;+\infty)\). Vậy \(R(x)\) tăng khi \(x\) tăng.

b) Dễ thấy \(\lim\limits_{x\to +\infty}R(x)=8\), kết hợp \(R(x)\) là hàm đồng biến nên khi \(x\) tăng thì \(R(x)\) không bao giờ vượt quá \(8\).

Câu 5:

Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự \(f\) (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách \(p\) từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách \(q\) từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{f}\).

Image

a) Viết công thức tính \(q=g\left(p \right)\) như một hàm số của biến \(p\in \left(f;+\infty \right)\).

b) Tính các giới hạn \(\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}g(p)\), \(\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}g(p)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số \(q=g \left(p \right)\) trên khoảng \(\left(f;+\infty \right)\).

a) Ta có \(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{f} \Rightarrow q=\displaystyle\frac{pf}{p-f}\). Do đó, \(q=g \left(p \right)=\displaystyle\frac{pf}{p-f}\) với \(p\in (f;+\infty)\).

b) \(\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}g(p)=\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{pf}{p-f}=\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{f}{1-\displaystyle\frac{f}{p}}=f\), \(\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}g(p)=\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{pf}{p-f}=+\infty\).

Ý nghĩa của \(\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}g(p)=f\): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.

Ý nghĩa của \(\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}g(p)=+\infty\): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự \(f\) thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là càng lớn.

c) Ta có \(q'=g' \left(p \right)=- \displaystyle\frac{f^2}{(p-f)^2}<0\) với mọi \(p\in \left(f;+\infty \right)\) nên hàm số nghịch biến trên \( \left(f;+\infty \right)\).

Bảng biến thiên

Image

Câu 6:

Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm \(t=0\) (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm \(t=126\) (s), cho bởi công thức sau: \(v(t)=0{,}001302t^3-0{,}09029t^2+23\), (\(v\) được tính bằng ft/s, 1 feet \(=0{,}3048 \mathrm{~m}\))

Image

Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?

Gia tốc của tàu con thoi là \(a(t)=v'(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t\).

Xét hàm số \(a(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t\) với \(t\in [0;126]\).

Ta có \(a'(t)=0{,}007812t-0{,}18058\);

\(a'(t)=0\Leftrightarrow t=23{,}11571941=t_0\).

Bảng biến thiên của hàm số \(a(t)\) như sau

Image

Từ bảng biến thiên suy ra, gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian từ \(23{,}11571941\) s đến \(126\) s.

Câu 7:

Điện trở \(R\, (\Omega)\) của một đoạn dây dẫn hình trụ được làm từ vật liệu có điện trở suất \(\rho\) \((\Omega\mathrm{m})\), chiều dài \(\ell\) m và tiết diện \(S\) (m\(^2\)) được cho bởi công thức \(R=\rho\cdot\displaystyle\frac{\ell}{S}\).

Image

Giả sử người ta khảo sát sự biến thiên của điện trở \(R\) theo tiết diện \(S\) (ở nhiệt độ \(20^\circ\)C) của một sợi dây điện dài \(10\) m làm từ kim loại có điện trở suất \(\rho\) và thu được đồ thị hàm số như hình.

a) Có nhận xét gì về sự biến thiên của điện trở \(R\) theo tiết diện \(S\)?

b) Từ đồ thị, hãy giải thích ý nghĩa của toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng \(R=0{,}001\).

c) Tính điện trở suất \(\rho\) của dây điện. Từ đó, hãy cho biết dây điện được làm bằng kim loại nào trong số các kim loại được cho ở bảng sau.

Image

Image

a) Ta thấy điện trở \(R\) tỉ lệ nghịch với tiết diện \(S\), do đó khi \(R\) càng giảm thì \(S\) càng tăng.

b) Từ đồ thị, toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng \(R=0{,}001\) là điểm \((0{,}000169; 0{,}001)\), tức là khi \(R=0{,}001\) \((\Omega)\) thì \(S=0{,}000169\) (m\(^2\)).

c) Thay tọa độ điểm \((0{,}000169; 0{,}001)\) vào \(R=\rho\cdot\displaystyle\frac{\ell}{S}\) (với \(\ell=10\) m), ta có

\(0{,}001=\rho\cdot\displaystyle\frac{\ell}{0{,}000169} \Leftrightarrow \rho=1{,}69 \cdot 10^{-8} \,(\Omega\mathrm{m}).\)

Vậy dây điện được làm bằng kim loại đồng.

Câu 8:

Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ \(2010\) đến \(2017\) có thể được tính xấp xỉ bằng công thức \(f(x)=0{,}01x^3-0{,}04x^2+0{,}25x+0{,}44\) (tỉ USD) với \(x\) là số năm tính từ \(2010\) đến \(2017\) \((0\leq x\leq 7)\).

a) Tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\).

b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ \(2010\) đến \(2017\).

a) Ta có \(f'(x)=0{,}03x^2-0{,}08x+0{,}25\).

b) Xét \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 0{,}03x^2-0{,}08x+0{,}25=0\) (vô nghiệm).

Bảng biến thiên

Image

Từ bảng biến thiên trên, ta thấy \(f(x)>0\), \(\forall x\in [0;7]\).

Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ \(2010\) đến \(2017\).

Câu 9:

Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục \(Ox\). Toạ độ của chất điểm tại thời điểm \(t\) được xác định bởi hàm số \(x(t)=t^3-6t^2+9t\) với \(t\geq 0\). Khi đó \(x'(t)\) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t\), kí hiệu \(v(t)\); \(v'(t)\) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm \(t\), kí hiệu \(a(t)\).

a) Tìm các hàm \(v(t)\) và \(a(t)\).

b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?

a) Ta có \(v(t)=x'(t)=3t^2-12t+9\) và \(a(t)=v'(t)=6t-12\).

b) Xét \(v(t)=0 \Leftrightarrow t=1\) hoặc \(t=3.\)

Bảng xét dấu

Image

Suy ra vận tốc của chất điểm tăng khi \(t\in (0;1) \cup (3;+\infty)\), và giảm khi \(t\in (1;3)\).

Câu 10:

Thể tích \(V\) (đơn vị: centimét khối) của \(1\) kg nước tại nhiệt độ \(T\left(0^{\circ}\mathrm{C}\leq T \leq 30^{\circ}\mathrm{C}\right)\) được tính bởi công thức sau: \(V(T)=999{,}87-0{,}06426T+0{,}0085043T^2-0{,}0000679T^3.\) Hỏi thể tích \(V(T), 0^{\circ}\mathrm{C}\leq T \leq 30^{\circ}\mathrm{C}\), giảm trong khoảng nhiệt độ nào?

Xét hàm số \(V(T)=999{,}87-0{,}06426T+0{,}0085043T^2-0{,}0000679T^3\), với \(T\in [0;30]\).

Ta có \(V'(T)=-0{,}0002037T^2+0{,}0170086T-0{,}06426\).

\(V'(T)=0\Leftrightarrow T=3{,}966514624=T_1\) hoặc \(T=79{,}53176716\not\in [0;30]\).

Bảng biến thiên của hàm số \(V(T)\) như sau

Image

Từ bảng biến thiên suy ra, thể tích \(V(T)\), \(0^{\circ}\mathrm{C}\leq T \leq 30^{\circ}\mathrm{C}\), giảm trong khoảng nhiệt độ từ \(0^\circ\)C đến \(3{,}966514624^\circ\)C.

Câu 11:

Xét phản ứng hóa học tạo ra chất \(C\) từ hai chất \(A\) và \(B\): \(A+B\longrightarrow C\). Giả sử nồng độ của hai chất \(A\) và \(B\) bằng nhau \([A]=[B]=a\) (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất \(C\) theo thời gian \(t\) (\(t>0\)) được cho bởi công thức: \([C]=\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\) (mol/l), trong đó \(K\) là hằng số dương.

a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm \(t>0\).

b) Chứng minh nếu \(x=[C]\) thì \(x'(t)=K(a-x)^2\).

c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t\longrightarrow +\infty\).

d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi \(t\longrightarrow +\infty\).

a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm \(t>0\).

Tốc độ của phản ứng là đạo hàm của \([C]=\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\) theo biến \(t\). Do đó

\[[C]^\prime =\left(\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\right)^\prime=\displaystyle\frac{a^2K\left(aKt+1\right)-a^2Kt\cdot aK}{\left(aKt+1\right)^2}=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}.\]

b) Chứng minh nếu \(x=[C]\) thì \(x'(t)=K(a-x)^2\).

Theo câu trên, nếu nếu \(x=[C]\) thì \(x^\prime(t)=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}\).

Ta lại có

\[K(a-x)^2=K \left(a-\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\right)^2=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}.\]

Vậy \(x'(t)=K(a-x)^2\).

c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t\longrightarrow +\infty\).

Ta có \(\lim\limits_{t\to +\infty}[C]=\lim\limits_{t\to +\infty}\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}=a\) (mol/l).

Vậy nồng độ của chất \(C\) dần đến \(a\) (mol/l).

d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi \(t\longrightarrow +\infty\).

Ta có \(\lim\limits_{t\to +\infty}x^\prime(t)=\lim\limits_{t\to +\infty}\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}=0\).

Vậy tốc độ của phản ứng dần đến \(0\).

Câu 12:

Trong \(8\) phút kể từ khi xuất phát, độ cao \(h\) (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào tời điểm \(t\) phút được cho bởi công thức \(h(t)=6t^3-81t^2+324t\). Đồ thị của hàm số \(h(t)\) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm \(3\) phút và \(6\) phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?

Image

Dựa vào đồ thị ta thấy khinh khí cầu tăng dần độ cao trong khoảng thời gian \(3\) phút đầu và từ phút thứ \(6\) đến phút thứ \(8\), khinh khí cầu giảm dần độ cao trong khoảng thời gian từ phút thứ \(3\) đến phút thứ \(6\).

Độ cao của khinh khí cầu tại thời điểm phút thứ \(3\) là lớn nhất trong khoảng thời gian \(6\) phút đầu, độ cao của khinh khí cầu tại thời điểm phút thứ \(6\) là nhỏ nhất trong khoảng thời gian từ phút thứ \(3\) đến phút thứ \(8\).

Câu 13:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(S=-t^3+9t^2+t+10\) trong đó \(t\) tính bằng (s) và \(S\) tính bằng (m). Xác định khoảng thời gian mà vận tốc của chất điểm tăng.

Ta có \(v=S'=-3 t^2+18 t+1\).

\(v'=-6t+18\).

\(v'=0\Leftrightarrow -6t+18=0 \Leftrightarrow t=3\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(3\) s thì vận tốc của chất điểm tăng.

Câu 14:

Thể tích \(V\) của \(1\) kg nước (tính bằng \(\text{cm}^3\)) ở nhiệt độ \(T\) (đơn vị: \(^\circ\)C) khi \(T\) thay đổi từ \(0^\circ\)C đến \(30^\circ\)C được cho xấp xỉ bởi công thức:

\(V=999{,}87-0{,}06426T+0{,}0085043T^2-0{,}0000769T^3.\)

Tìm nhiệt độ \(T_0 \in \left(0;30\right)\) để kể từ nhiệt độ \(T_0\) trở lên thì thể tích \(V\) tăng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Xét hàm số \(f\left(T\right)=V=999{,}87-0{,}06426T+0{,}0085043T^2-0{,}0000769T^3\).\\ Hàm số xác định trên khoảng \(\left(0;30\right)\).

Ta có \(f'\left(T\right)=2{,}307 \cdot 10^{-4}T^2+0{,}0170086T-0{,}06426\).

\(f'\left(T\right)=0\Leftrightarrow \hoac{&x=3{,}6\\&x=-77{,}33}\Leftrightarrow x=3{,}6\).

Khi đó, ta có bảng biến biên

Image

Vậy \(T_0=4^\circ\)C trở lên thì nhiệt độ tăng.

Câu 15:

Một công ty tiến hành khai thác \(17\) giếng dầu trong khu vực được chỉ định. Trung bình mỗi giếng dầu chiết xuất được \(245\) thùng dầu mỗi ngày. Công ty có thể khai thác nhiều hơn \(17\) giếng dầu nhưng cứ khai thác thêm một giếng thì lượng dầu mỗi giếng chiết xuất được hằng ngày sẽ giảm \(9\) thùng. Để giám đốc công ty có thể quyết định số giếng cần thêm cho phù hợp với tài chính, hãy chỉ ra số giếng công ty có thể khai thác thêm để sản lượng dầu chiết xuất tăng lên.

Gọi số giếng công ty có thể khai thác thêm là \(x\) (giếng, \(x\in \mathbb{N}\)).

Tổng số giếng công ty khai thác hàng ngày là \(17+x\) (giếng).

Số thùng chiết xuất được từ mỗi giếng hàng ngày là \(245-9x\) (thùng).

Sản lượng dầu chiết xuất hàng ngày là

\(f(x)=(245-9x)\cdot (17+x)=-9x^2+92x+4165.\)

Ta có \(f'(x)=-18x+92\).

\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{46}{9}\approx 5{,}1\).

Bảng biến thiên

Image

Ta có \(f(5)=4\,400\) và \(f(6)=4393\).

Vậy số giếng công ty có thể khai thác thêm để sản lượng dầu chiết suất tăng lên là \(5\) giếng.

Câu 16:

Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em (\textit{Hình a}) được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng \(80\) cm, mặt cắt được mô tả ở \textit{Hình b}.

Image

Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em.

a) Gọi \(S\) là diện tích mặt cắt. Tìm điều kiện của \(x\) và viết công thức tính \(S\) theo \(x\).

b) Diện tích mặt cắt sẽ tăng hay giảm khi chúng ta tăng giá trị của \(x\) từ 0 cm đến 10 cm?

a) Do tấm kim loại có bề rộng \(80 \mathrm{~cm}\) nên ta có \(2x+y=80 \Leftrightarrow y=80-2x\).

Để có thể thiết kế được máng trượt thì \(y>0 \Leftrightarrow 80-2 x>0 \Leftrightarrow x< 40\). Suy ra \(0< x< 40\).

Diện tích của mặt cắt máng trượt là: \(S=x y=x(80-2x)=-2x^2+80x\).

b) Ta có \(S(x)=-2x^2+80x \text{ với } x\in(0; 40)\).

\begin{eqnarray*}S'(x)&=&-4 x+80 \\S'(x)&=&0 \Leftrightarrow-4 x+80=0 \Leftrightarrow x=20.\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên của hàm số \(S(x)\) như sau

Image

Vậy từ khi \(x\) tăng từ \(0\) cm đến \(20\) cm thì diện tích mặt cắt sẽ tăng dần.

\end{enumerate}

Câu 17:

Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em (\textit{Hình 5a}) được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng \(80\) cm, mặt cắt được mô tả ở \textit{Hình 5b}.

Image

Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em.

a) Gọi \(S\) là diện tích mặt cắt. Tìm điều kiện của \(x\) và viết công thức tính \(S\) theo \(x\).

b) Với \(x\) đạt giá trị bằng bao nhiêu thì mức độ đảm bảo an của cầu trượt đạt cực đại?

a) Do tấm kim loại có bề rộng \(80 \mathrm{~cm}\) nên ta có: \(2x+y=80 \Leftrightarrow y=80-2x\).

Để có thể thiết kế được máng trượt thì \(y>0 \Leftrightarrow 80-2 x>0 \Leftrightarrow x< 40\). Suy ra \(0< x< 40\).

Diện tích của mặt cắt máng trượt là: \(S=x y=x(80-2x)=-2x^2+80x\).

b) Ta có:

Image

Do đó, hàm số \(S(x)\) đạt cực đại tại \(x=20\) và \(S_{\text{CĐ}}=800\).

Vậy mức độ đảm bảo an toàn của cầu trượt đạt cực đại thì \(x=20\) (cm).

Câu 18:

Định luật Moore được xây dựng bởi Gordon More-một trong những sáng lập viên của tập đoàn sản xuất chip máy tính nổi tiếng Intel. Định luật ban đầu được phát biểu như sau

\lq\lq Số lượng transistor trên mỗi đơn vị inch vuông sẽ tăng lên gấp đôi sau mỗi \(24\) tháng. \rq\rq (\(1\) inch vuông xấp xỉ \(6{,}45\) cm\(^2\)).

Phương trình sau đây mô tả định luật Moore

\(n_i=n_0\cdot 2^{\tfrac{y_i-y_0}{2}}\)

trong đó \(n_0\) là số lượng transitor trên một đơn vị diện tích ban đầu, \(y_0\) là năm ứng với \(n_0\), \(n_i\) là số lượng transitor tại năm \(y_i\) đang xét.

Nhận xét về tính đơn điệu của hàm số mô tả định luật Moore.

Xét hàm số \(n_i=n_0\cdot 2^{\tfrac{y_i-y_0}{2}}\).

Ta có \(n_i'=n_0\cdot 2^{\tfrac{y_i-y_0}{2}}\cdot \ln 2>0~\forall y_i\).

Suy ra hàm số đồng biến.

Câu 19:

Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (Hình vẽ).

Image

Giả sử vị trí \(s(t)\) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm \(t\) (giây) được cho bởi công thức

\(s(t)=t^3-9t^2+15t,\,\, t\ge 0.\)

Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc \(v\left(t\right)\) là đạo hàm của \(s\left(t\right)\).

Ta có \(v\left(t\right) = s'\left(t\right) = \left(t^3 -9t^2 + 15t\right)' = 3t^2 - 18t + 15\).

Tập xác định \(\mathscr{D} = \mathbb{R}\).

Ta có \(v(t)=0\Leftrightarrow\hoac{&t=1 \\&t=5. }\)

Bảng xét dấu

Image

Chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi \(v\left(t\right) > 0\), tức là \(t \in \left(-\infty; 1\right) \cup \left(5; +\infty\right)\).

Chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi \(v\left(t\right) < 0\), tức là \(1 < t < 5\).

Câu 20:

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao \(2 \mathrm{~m}\) với vận tốc ban đầu là \(24{,}5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao \(h\) (mét) của vật sau \(t\) (giây) được cho bởi công thức

\(h(t)=2+24{,}5 t-4{,}9t^{2}.\)

Hỏi tại từ thời điểm \(t=3\) (giây) đến \(t=4\) (giây), thì độ cao của vật tăng hay giảm?

Xét hàm số \(h(t)=2+24{,}5 t-4{,}9t^{2}\) với \(t>0\).

Ta có \(h'(t)=24{,}5-9{,}8t\).

\(h'(t)=0\Leftrightarrow t=2{,}5\).

Lập bảng biến thiên của \(h(t)\):

Image

Từ bảng biến thiên ta suy ra từ thời điểm \(t=3\) (giây) đến \(t=4\) (giây), thì độ cao của vật giảm.

Câu 21:

Giả sử dân số của một thị trấn sau \(t\) năm kể từ năm \(2000\) được mô tả bởi hàm số \(N\left(t\right)=\frac{25t+10}{t+5}, t\ge0,\)

trong đó \(N\left(t\right)\) được tính bằng nghìn người. Tính đạo hàm \(N^\prime\left(t\right)\) và \(\lim\limits_{t \to +\infty}N\left(t\right)\). Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.

Xét hàm số \(N\left(t\right)=\displaystyle\frac{25t+10}{t+5}, t\ge0\).

Ta có \(N^\prime\left(t\right)=\displaystyle\frac{115}{\left(t+5\right)^2}\).

\(\lim\limits_{t \to +\infty}N\left(t\right)=\lim\limits_{t \to +\infty}\displaystyle\frac{25t+10}{t+5}=25\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau

Image

Từ bảng biến thiên ta có dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá \(25\) ngàn người.

Câu 22:

Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian \(t\) cho bởi công thức \(y(t)=5-\displaystyle\frac{15t}{9t^{2}+1}\), với \(y\) được tính theo mg/l và \(t\) được tính theo giờ, \(t \geq 0\). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y(t)\). Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian \(t\) trở nên rất lớn?

Hàm số

\(y(t)=5-\displaystyle\frac{15t}{9t^{2}+1}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \left(5-\displaystyle\frac{15t}{9t^{2}+1}\right)=5\).

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=5\).

Khi thời gian \(t\) trở nên rất lớn thì nồng độ oxygen trong hồ sẽ tiến dần về \(5\) mg/l.

Câu 23:

Tại một công ty sản xuất đồ chơi \(A\), công ty phải chi \(50\,000\) USD để thiết lập dây chuyền sản xuất ban đầu. Sau đó, cứ sản xuất được một sản phẩm đồ chơi \(A\), công ty phải trả \(5\) USD cho nguyên liệu thô và nhân công. Gọi \(x\) (\(x\geq 1\)) là số đồ chơi \(A\) mà công ty đã sản xuất và \(T(x)\) (đơn vị USD) là tổng tiền bao gồm cả chi phí ban đầu mà công ty phải chi trả khi sản xuất \(x\) đồ chơi \(A\). Người ta xác định chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi \(A\) là \(M(x)=\displaystyle\frac{T(x)}{x}\).

Image

a) Xem \(M(x)\) là hàm số theo \(x\) xác định trên nửa khoảng \([1;+\infty)\), tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số này.

b) Nêu nhận xét về chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi \(A\) khi \(x\) đủ lớn.

a) Chi phí bỏ ra để sản xuất đồ chơi là \(T(x)=50\,000+5x\) (USD).

Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là \(M(x)=\displaystyle\frac{T(x)}{x}=\displaystyle\frac{50\,000+5x}{x}\) (với \(x\geq 1\)).

Ta có \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}M(x)=5\). Suy ra đường thẳng \(y=5\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

b) Khi số đồ chơi \(A\) được sản xuất với số lượng \(x\) đủ lớn thì chi phí trung bình tiệm cận với tổng của giá nguyên liệu thô và nhân công.

Câu 24:

Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số

\(y=h(x)=-\displaystyle\frac{1}{1\,320\,000}x^3+\displaystyle\frac{9}{3\,520}x^2-\displaystyle\frac{81}{44}x+840, \text { với } 0\leq x\leq 2\,000.\)

Image

Tìm tọa độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đoạn \([0; 2\,000]\).

Trên đoạn \([0; 2\,000]\), ta có \(y'=-\displaystyle\frac{1}{440\,000}x^2+\displaystyle\frac{9}{1\,760}x^2-\displaystyle\frac{81}{44}\).

Suy ra \(y'=0 \Leftrightarrow \hoac{& x=450\\& x=1800.}\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy tọa độ các đỉnh là \(\left(450; \displaystyle\frac{7365}{16}\right)\), và \(\left(1\,800, \displaystyle\frac{15\,315}{11}\right)\).

Câu 25:

Giả sử doanh số (tính bằng sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong một năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f(t)=\displaystyle\frac{5000}{1+5\mathrm{e}^{-t}},\, t\ge0,\)

trong đó thời gian \(t\) được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó đạo hàm \(f'(t)\) biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là cực đại?

Gọi \(g(t)\) là hàm tốc độ bán hàng.

Khi đó \(g(t)=f'(t)=\displaystyle\frac{25\,000\mathrm{e}^{-t}}{(1+5\mathrm{e}^{-t})^2}\), \(t\ge0\).

Ta có \(g'(t)=\displaystyle\frac{25\,000\mathrm{e}^{-t}(1+5\mathrm{e}^{-t})(5\mathrm{e}^{-t}-1)}{(1+5\mathrm{e}^{-t})^4}\); \(g'(t)=0\Leftrightarrow t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}\).

Bảng biến thiên hàm số

Image

Hàm số đạt cực đại tại \(t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}\approx1{,}6\).

Vậy sau khi phát hành \(1{,}6\) năm thì tốc độ bán hàng là cực đại.

Câu 26:

Từ một miếng tôn hình tròn bán kính \(2\) m, người ta cắt ra một hình chữ nhật rồi uốn thành mặt xung quanh của một chiếc thùng phi hình trụ như hình vẽ.

Image

Tính diện tích phần tôn bị cắt bỏ biết thể tích thùng đạt cực đại (làm tròn đến hàng đơn vị).

Gọi \(h\), \(x\) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật. Gọi \(r\) là bán kính đáy của hình trụ thu được.

Khi đó \(V_{\text{trụ}}=\pi r^2 h\). \quad \((1)\)

Vì chu vi đáy của hình trụ là chiều dài của hình chữ nhật nên

\(C=2\pi r=x \Rightarrow r=\displaystyle\frac{x}{2\pi}.\quad (2)\)

Image

Vì miếng tôn hình tròn bán kính \(2\) m nên

\(\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{h}{2}\right)^2=2^2 \Rightarrow x^2=16-h^2. \quad (3)\)

Từ \((1)\), \((2)\), \((3)\) suy ra

\(V_{\text{trụ}}=\pi \cdot \displaystyle\frac{16-h^2}{(2\pi)^2}\cdot h =\displaystyle\frac{1}{4\pi }\cdot h(16-h^2)=\displaystyle\frac{1}{4\pi }\cdot (16h-h^3).\)

Xét hàm số \(f(h)=16h-h^3\), có \(f'(h)=16-3h^2=0 \Rightarrow h=\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}~\overset{\text{đặt}}{=}~h_0\) và bảng biến thiên

Image

Suy ra thể tích thùng đạt cực đại khi \(h=\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}\Rightarrow x=\displaystyle\frac{4\sqrt{6}}{3}\).

Vậy diện tích phần tôn bị cắt bỏ là

\(S=S_{\text{hình tròn}}-S_{\text{hình chữ nhật}}=\pi \cdot 2^2 -x\cdot h=4\pi -\displaystyle\frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot \displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 5.\)

Câu 27:

Sau khi tiêu thụ đồ uống có cồn, nồng độ cồn trong máu (\textit{blood alcohol concentration} hoặc BAC) tăng lên khi rượu được hấp thụ, tiếp theo là giảm dần khi rượu được chuyển hóa. Hàm số \(C(t)=1{,}35\cdot t\cdot \mathrm{e}^{-2{,}802t}\) minh họa BAC trung bình, tính theo đơn vị mg/mL, của một nhóm \(8\) người đàn ông sau khi tiêu thụ nhanh \(15\) mL ethanol (tương ứng với một thức uống có cồn) trong \(t\) giờ. Tính giá trị cực đại của BAC trong \(3\) giờ đầu tiên.

Ta có \(C'(t)=\mathrm{e}^{-2{,}802 t} (1{,}35 - 3{,}7827 t)=0\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{500}{1401}=t_0\).

Bảng biến thiên của hàm số \(C(t)\) trên \([0;3]\)

Image

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đạt cực đại bằng \(C(t_0)\approx 0{,}18\) mg/mL.

Câu 28:

Một phần đường ray tàu lượn siêu tốc có dạng đồ thị hàm số bậc ba \(y=f(x)=-\displaystyle\frac{1}{2\,000}x^3+\displaystyle\frac{17}{200}x^2-4x+50\). Trục \(Ox\) mô tả quãng đường tàu di chuyển theo chiều ngang (tính bằng centimét), trục \(Oy\) mô tả chiều cao của đường ray (tính bằng centimét) tại mỗi vị trí \(x\).

Image

Tìm tọa độ các cực trị của đường ray trên đoạn \([0;100]\).

Ta có \(y'=-\displaystyle\frac{3}{2\,000}x^2+\displaystyle\frac{17}{100}x-4\).

Xét \(y'=0\Leftrightarrow \hoac{&x=\displaystyle\frac{100}{3}\\&x=80.}\)

Bảng biến thiên

Image

Ta có tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)\) là \(A\left(\displaystyle\frac{100}{3};-\displaystyle\frac{200}{27}\right)\) và \(B(80;18)\).

Câu 29:

Khi một vật lạ mắc vào khí quản buộc một người phải ho, cơ hoành sẽ đẩy lên trên, làm tăng áp lực trong phổi. Đồng thời, khí quản co lại, khiến vật thể bị tống ra ngoài, không khí di chuyển nhanh hơn và tăng áp lực lên vật thể. Thông qua mô hình toán học, vật tốc (tính bằng cm/s) của luồng khí qua khí quản của một người trưởng thành liên quan đến bán kính \(r\) của khí quản (tính bằng cm) theo hàm số

\(v(r)=3{,}2(1-r)r^2\, \text{ với }\displaystyle\frac{1}{2}\le r\le 1.\)

Tìm giá trị của \(r\) để \(v\) đạt cực đại.

Ta có

\(v'(r)=(6{.}4 - 9{.}6 r) r=0\Leftrightarrow \hoac{&r=0\\&r=\displaystyle\frac{2}{3}.}\)

Bảng biến thiên của \(v(r)\)

Image

Vậy với \(r=\displaystyle\frac{2}{3}\) thì \(v\) đạt cực đại.

Câu 30:

Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau \(t\) giờ \((t \geq 0)\) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)

\(y(t)=5-\frac{15 t}{9 t^2+1}.\)

Image

\noindent

Tìm các thời điểm nồng độ oxygen trong nước đạt cực trị?

Ta có \(y'(t)=\displaystyle\frac{135t^2-15}{(9t^2+1)^2}=0\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Bảng biến thiên của hàm \(y(t)\)

Image

Vậy nồng độ oxygen trong nước đạt cực tiểu tại thời điểm \(t=\displaystyle\frac{1}{3}\) giờ.

Câu 31:

Khối lượng \(q\) (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán \(p\) (nghìn đồng/kg) theo công thức \(p=15-\displaystyle\frac{1}{2} q\). Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức \(R=p q\). Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để doanh thu đạt cực trị và xác định doanh thu đó.

Ta có \(p=15-\displaystyle\frac{1}{2} q\) \(\Rightarrow q=30-2p\).

Lại có \(R=pq=p\left(30-2p\right)\Rightarrow R=-2p^2+30p\) với \(0< p\).

Xét \(R'=-4p+30=0\Leftrightarrow p=7{,}5\).

Ta có bảng biến thiên như sau

Image

Từ bảng biến thiên thấy để đạt được doanh thu đạt cực trị thì giá bán mỗi kilôgam sản phẩm \(p=7{,}5\) (nghìn đồng/kg) khi đó doanh thu sẽ là \(R(7{,}5)=112{,}5\) (nghìn đồng).