Dạng 1. Tìm các khoảng đơn điệu dựa vào đồ thị của f(x)
Dạng 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số cho bởi công thức
Dạng 3. Xác định tính đơn điệu của hàm số f(x) khi biết biểu thức f'(x)
Dạng 4. Xác định tính đơn điệu của hàm số f(x) khi biết đồ thị f'(x)
Dạng 5. Xác định tính đơn điệu của hàm số f(u) khi biết đồ thị f'(x)
Câu 1:
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y=x^3-\displaystyle\frac{3}{2}x^2\) có đồ thị như hình bên.
Quan sát đồ thị ta thấy hàm số \(y=x^3-\displaystyle\frac{3}{2}x^2\) đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((1;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((0;1)\).
Câu 2:
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y=\sqrt[3]{\left(x^2-4\right)^2}\) có đồ thị như hình bên.
Quan sát đồ thị ta thấy hàm số \(y=\sqrt[3]{\left(x^2-4\right)^2}\) đồng biến trên các khoảng \((-2;0)\), \((2;+\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((0;2)\).
Câu 1:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=x^4-2x^2+5\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y'=4x^3-4x\);
\(y'=0\Leftrightarrow 4x^3-4x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm 1\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-1;0)\) và \(\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \((0;1)\).
Câu 2:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=-x^3+2x^2-3\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y'=-3x^2+4x\);
\(y'=0\Leftrightarrow -3x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{4}{3}\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \(\left(\displaystyle\frac{4}{3};+\infty\right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{4}{3}\right)\).
Câu 3:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=-\displaystyle\frac{1}{3}x^3+x^2-x+5.\)
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y'=-x^2+2x-1=(x-1)^2\);
\(y'\leq 0,\forall x\in \mathbb{R}\) và \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 4:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+1.\)
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y'=3x^2-6x-9\);
\(y'=0\Leftrightarrow 3x^2-6x-9=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=3\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-1)\) và \((3;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((-1;3)\).
Câu 5:
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=-2x^2+4x+3.\)
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y'=-4x+4\);
\(y'=0\Leftrightarrow -4x+4=0\Leftrightarrow x=1\).
Ta có bảng xét dấu \(y'\) như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;1)\); nghịch biến trên khoảng \((1;+\infty)\).
Câu 6:
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=-x^3+x^2-5\).
Hàm số \(y=-x^3+x^2-5\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Ta có \(y'=-3x^2+2x\); \(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{2}{3};\,x=0.\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy, hàm số đã cho
+) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{2}{3}\right)\);
+) nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \(\left(\displaystyle\frac{2}{3};+\infty\right)\).
Câu 7:
Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=f\left(x\right)=2x^3+6x^2+6x-9\).
Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\).
Ta có \(y'=f'\left(x\right)=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\). Do đó \(y'\geq 0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\) và \(y'=0\) tại \(x=-1\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 8:
Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: \(y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+1\).
Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\).
Ta có \(y'=f'\left(x\right)=3x^2-6x\);
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0;\,x=2.\)
Bảng biến thiên:
Suy ra hàm số \(y=x^3-3x^2+1\) đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(0;2\right)\).
Câu 9:
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=-x^3+2x^2-5x+3\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y'=-3x^2+4x-5\);
\(y'=0\Leftrightarrow -3x^2+4x-5=0\left(\text{phương trình vô nghiệm}\right) \)
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\).
Câu 10:
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1\).
\(y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y'=x^2-4x+3\);
\(y'=0\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=3\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;1)\) và \(\left(3;+\infty\right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left(1;3\right)\).
Câu 11:
Tìm khoảng đơn điệu của hàm số: \(y = \displaystyle\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 + 5x + 2\).
Tập xác định: \(\mathscr{D} = \mathbb{R}\).
Ta có \(y' = x^2 + 6x + 5\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow x^2 + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = -1 ;\, x = -5.\)
Ta có bảng biến thiên:
Hàm số \(y = \displaystyle\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 + 5x + 2\) đồng biến trên khoảng\(\left(-\infty; -5\right)\) và \((-1; +\infty)\).
Hàm số \(y = \displaystyle\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 + 5x + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-5; -1\right)\).
Câu 12:
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y=x^2-4 x+2\).
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có \(y'=2 x-4\); \(y'>0\) với \(x \in(2;+\infty)\); \(y'< 0\) với \(x \in(-\infty; 2)\).
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty; 2)\).
Câu 13:
Xét tính đơn điệu của hàm số: \(h(x)=x^3\).
Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
Ta có \(h'(x)=3x^2\); \(h'(x)=0 \Leftrightarrow x=0\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(h(x)=x^3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 14:
Xét tính đơn điệu của hàm số: \(f(x)=-x^3+3x^2\).
Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
Ta có \(f'(x)=-3x^2+6x\); \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(f(x)=-x^3+3 x^2\) đồng biến trên khoảng \((0;2)\), nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\).
Câu 15:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\displaystyle\frac{3x+1}{2-x}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{7}{(2-x)^2}>0,\,\forall x\neq 2\).
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).
Câu 16:
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-1}{x+2}\).
Hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-1}{x+2}\) xác định với mọi \(x \in \mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace -2\right\rbrace\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{3}{\left(x+2\right)^{2}}>0\) với mọi \(x\in \mathscr{D}\) nên hàm số đã cho không có cực trị.
Bảng biến thiên
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left(-\infty;-2\right)\cup\left(-2;+\infty\right)\).
Câu 17:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{x+2}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).
Ta có: \(y'=\frac{5}{\left(x+2\right)^2}>0,\,\forall x\neq -2\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-2)\) và \(\left(-2;+\infty\right)\).
Câu 18:
Tìm cực trị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\).
Tâp xác định của hàm số là \(\mathbb{R} \setminus\{1\}\).
Ta có: \(y^{\prime}=\displaystyle\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^{2}}=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^{2}}< 0\), vơi moi \(x \neq 1\).
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biên thiên suy ra hàm số không có cực trị.
Câu 19:
Xét chiều biến thiên của hàm số \(y = \displaystyle\frac{x -2}{x + 1}\).
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R} \setminus\{1\}\).
Ta có \(y' = \displaystyle\frac{\left(x - 1\right) - \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \displaystyle\frac{3}{\left(x + 1\right)^2} > 0\), với mọi \(x \neq 1\).
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty; -1\right)\).
Câu 20:
Tìm khoảng đơn điệu và cực trị (nếu có) của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-6}{1-2x}\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\).
\(y'=\displaystyle\frac{-11}{\left(1 - 2 x\right)^2}< 0\), \(\forall x\ne\displaystyle\frac{1}{2}\).
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty; \displaystyle\frac{1}{2})\) và \((\displaystyle\frac{1}{2};+\infty)\).
Hàm số không có cực trị.
Câu 21:
Xét chiều biến thiên của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{3x+1}\).
Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\displaystyle\frac{1}{3}\right\}\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2(3x+1)-3(2x-1)}{(3x+1)^2}=\displaystyle\frac{5}{(3x+1)^2}>0\) với mọi \(x\) khác \(- \displaystyle\frac{1}{3}\).
Vậy, hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{3x+1}\) đồng biến trên \(\left(-\infty; - \displaystyle\frac{1}{3}\right)\) và \(\left(- \displaystyle\frac{1}{3};+\infty\right)\).
Câu 22:
Chứng minh rằng hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+1}{x-3}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{3\}\).
Ta có \(y'=-\displaystyle\frac{7}{(x-3)^2}< 0\), \(\forall x\in\mathscr{D}\).
Suy ra hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+1}{x-3}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Câu 23:
Chứng minh rằng hàm số \(g(x)=\displaystyle\frac{x}{x-1}\) nghịch biến trên khoảng \((1;+\infty)\).
Hàm số xác định trên \((1;+\infty)\).
Ta có \(g'(x)=-\displaystyle\frac{1}{(x-1)^2}< 0\) với mọi \(x\in(1;+\infty)\).
Vậy \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((1 ;+\infty)\).
Câu 24:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x}{x+1}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{7}{(2-x)^2}>0,\,\forall x\neq 2\).
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).
\(y=\displaystyle\frac{x^2-2x}{x+1}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{x^2+2x-2}{(x+1)^2}\) với \(x\neq -1\);
\(y'= 0\Leftrightarrow x^2+2x-2=0\Leftrightarrow x=-1-\sqrt{3}\) hoặc \(x=-1+\sqrt{3}\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-1-\sqrt{3})\) và \((-1+\sqrt{3};+\infty)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \((-1-\sqrt{3};-1)\) và \((-1;-1+\sqrt{3})\).
Câu 25:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+4}{x}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}\) với \(x\neq 0\);
\(y'= 0\Leftrightarrow x^2-4=0\Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=2\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-2)\) và \((2;+\infty)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \((-2;0)\) và \((0;2)\).
Câu 26:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+x+4}{x-3}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\).
Ta có: \(y'=\frac{x^2-6x-7}{\left(x-3\right)^2}\).
\(y'=0\Leftrightarrow x^2-6x-7=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=7\)
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(7;+\infty\right)\) ; nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-1;3\right)\) và \(\left(3;7\right)\).
Câu 27:
Tìm khoảng đơn điệu của hàm số \(y = \displaystyle\frac{x^2 -2x + 5}{x - 1}\).
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
Ta có \(y' = \displaystyle\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right) - \left(x^2 - 2x + 5\right)}{(x - 1)^{2}} = \displaystyle\frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^{2}}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = -1\) hoặc \(x = 3\).
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty; -1\right)\) và \(\left(3; +\infty\right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-1; 1\right)\) và \(\left(1; 3\right)\).
Câu 28:
Tìm khoảng đơn điệu của hàm số: \(y = \displaystyle\frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 2}\).
Tập xác định: \(\mathscr{D} = \mathbb{R}\setminus \{2\}\).
Ta có \(y' = \displaystyle\frac{\left(-2x+5\right)\left(x-2\right) - \left(-x^2 +5x - 7\right)}{\left(x-2\right)^{2}} = \displaystyle\frac{-x^2 + 4x - 3}{\left(x - 2\right)^{2}}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 3 ;\, x = 1 \left(\text{Thỏa mãn}\right)\).
Ta có bảng biến thiên:
Hàm số \(y = \displaystyle\frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 2}\) đồng biến trên khoảng \(\left(1; 2\right)\) và \(\left(2; 3\right)\).
Hàm số \(y = \displaystyle\frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 2}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty; 1\right)\) và \(\left(3; +\infty\right)\).
Câu 29:
Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=f\left(x\right)=x+\displaystyle\frac{1}{x}\).
Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\setminus\left\{{0}\right\}\).
Ta có \(y'=f'\left(x\right)=1-\displaystyle\frac{1}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=1;\,x=-1.\)
Bảng biến thiên:
Suy ra hàm số \(y=x+\displaystyle\frac{1}{x}\) đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(0;1\right)\).
Câu 30:
Xét chiều biến thiên của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{x^2+1}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y'=\frac{-x+1}{\left(x^2+1\right)^2}\).
\(y'=0\Leftrightarrow x=1\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) ; nghịch biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\).
Câu 31:
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{x^2+4}\).
\(y=\displaystyle\frac{x}{x^2+4}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x^2+4}{(x^2+4)^2}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=\pm 2\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy, hàm số đã cho
đồng biến trên khoảng \((-2;2)\);
nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((2;+\infty)\).
Câu 32:
Tìm cực trị của hàm số \(y=\sqrt{-x^2+4}\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=[-2;2]\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{-x^2+4}}\), \(y'=0 \Leftrightarrow x=0\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{\text{CĐ}}=2\); hàm số không có cực tiểu.
Câu 33:
Tìm cực trị của hàm số \(y=\sqrt{4x-2x^2}\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=[0;2]\).
Ta có \(y'=\left(\sqrt{4x-2x^2}\right)'=\displaystyle\frac{4-4x}{2\sqrt{4x-2x^2}}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).
Lập bảng biến thiên của hàm số
Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(y_{\text{CĐ}}=\sqrt{2}\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(x=2\); \(y_{CT}=0\).
Câu 34:
Tìm khoảng đơn điệu và cực trị (nếu có) của hàm số: \(y=\sqrt{4x-x^2}\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=[0;4]\).
\(y'=\displaystyle\frac{2-x}{\sqrt{4x-x^2}}\), \(y'=0\Leftrightarrow x=2\).
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên khoảng \((2;4)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;2\right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\) và \(y_{\text{CĐ}}=2\).
Câu 35:
Xét chiều biến thiên của hàm số \(y=\sqrt{4-x^2}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\left[-2; 2\right]\).
Ta có: \(y'=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\).
\(y'=0\Leftrightarrow x=0\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-2;0\right)\) ; nghịch biến trên khoảng \(\left(0;2\right)\).
Câu 36:
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=\sqrt{x^2-x-20}\).
Hàm số \(y=\sqrt{x^2-x-20}\) xác định trên khoảng \(\mathscr{D}=(-\infty;5]\cup[5;+\infty)\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-20}},\forall x\in(-\infty;-4)\cup(5;+\infty)\);
\(y'=0\Leftrightarrow 2x-1=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{2}\notin\mathscr{D}\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy, hàm số đã cho
đồng biến trên khoảng \((5;+\infty)\);
nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-4)\).
Câu 37:
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=\mathrm{e}^{x^2}\).
\(y=\mathrm{e}^{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Ta có \(y'=2x\cdot\mathrm{e}^{x^2}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=0\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy, hàm số đã cho
đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\);
nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\).
Câu 38:
Tìm các điểm cực trị của hàm số \(y=3^{x-2 x^2}\).
Hàm số \(y=3^{x-2x^{2}}\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
Ta có \(y'=3^{x-2x^{2}}\cdot\ln3\cdot\left(1-4x\right)\).
\(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{4}\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra \(x=\displaystyle\frac{1}{4}\) là điểm cực đại của hàm số, \(f_{\text{CĐ}}=3^{\frac{1}{8}}\).
Câu 39:
Tìm các điểm cực trị của hàm số \(y=\ln \left(x^2+\mathrm{e}\right)\).
Hàm số \(y=\ln \left(x^2+\mathrm{e}\right)\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2x}{x^{2}+\mathrm{e}}\).
\(y'=0\Leftrightarrow x=0\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra \(x=0\) là điểm cực tiểu của hàm số, \(f_{\text{CT}}=1\).
Câu 40:
Cho hàm số \(y=x^3-3x^2+2\).
a) Tìm điểm \(I\) thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của \(I\) là nghiệm của phương trình \(y''=0\).
b) Chứng mình rằng \(I\) là trung điểm nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
a) Ta có \(y'=3x^2-6x\).
Suy ra \(y''=6x-6\). \(y''=0 \Rightarrow 6x-6=0 \Leftrightarrow x=1\).
Do điểm \(I\) thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của \(I\) là nghiệm của phương trình \(y''=0\) nên \(I(1;0)\)
b) Do \(y'=3x^2-6x\). \(y'=0 \Rightarrow x=0\) và \(x=2\).
Mặc khác \(y''(0)=-6< 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \((0;2)\) và \(y''(2)=6>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \((2;-2)\).
Do đó \(I\) là là trung điểm nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Câu 1:
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(f'(x) = x(x-2)^2\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Ta có bảng biến thiên
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\) và đồng biến trên \((0;+\infty)\).
Câu 2:
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'(x)=(1-x)^2(x+1)^3(3-x)\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Ta có \(f'(x)\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\) và
\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1;\,x=1;\,x=3.\)
Bảng biến thiên
Câu 3:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=\left( x^2-1 \right)(x+1)(5-x)\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Ta có \(f'(x)=(x-1)(x+1)^2(5-x)\).
Bảng biến thiên của hàm số \(f(x)\).
Câu 4:
Hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = x^2(x + 2)\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Xét \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,x = -2.\)
Khi đó ta có bảng biến thiên
Câu 5:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = (x+1)^2(x-2)^3(3-x)\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Theo đề bài ta có bảng biến thiên sau
Câu 6:
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=(x+1)^2(x-1)^3(2-x)\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow (x+1)^2(x-1)^3(2-x)=0 \Leftrightarrow x=\pm1;\,x=2.\)
Ta có bảng xét dấu \(f'(x)\) như sau
Câu 7:
Hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=x^2(x+2)\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Ta có \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2(x+2)=0\Leftrightarrow x=0;\,x=-2\).
Bảng biến thiên
Câu 8:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=(x+2)^2(x-2)^3(3-x)\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Bảng biến thiên của \(f(x)\)
Câu 9:
Cho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn \(f'(x)=x^2-5x+4,\ \forall x\in \mathbb{R}\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Ta có \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-5x+4=0 \Leftrightarrow x=1;\, x=4.\)
Bảng biến thiên
Câu 1:
Đồ thị của đạo hàm bậc nhất \(y=f'(x)\) của hàm số \(f(x)\) được cho trong hình bên. Hàm số \(f(x)\) đồng biến, nghịch biến trên những khoảng nào?
Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'(x)\), suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y=f(x)\) như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((2;4)\) và \((6;+\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((0;2)\) và \((4;6)\).
Câu 2:
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'(x)\). Biết rằng \(f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Từ đồ thị hàm số \(f'(x)\), ta có bảng biến thiên như sau:
Câu 3:
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) là đường cong trong hình bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Từ đồ thị hàm số \(f'(x)\), ta có bảng biến thiên như sau:
Câu 4:
Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \) và hàm số \( y=f'(x) \) có đồ thị như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Từ đồ thị hàm số \(f'(x)\), ta có bảng biến thiên như sau:
Câu 5:
Cho hàm bậc ba \(y=f(x)\) có đồ thị đạo hàm \(y=f'(x)\) như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Dựa vào đồ thị của \(f'(x)\), ta có bảng biến thiên như sau:
Câu 6:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình vẽ bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Từ đồ thị hàm số \(f'(x)\), ta có bảng biến thiên như sau:
Khi đó, hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-1;0)\), \((2;+\infty)\).
Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\), \((0;2)\).
Câu 7:
Hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị \(y=f'(x)\) như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên như sau
Câu 8:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\) được cho bởi hình vẽ bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'(x)\), ta suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y=f(x)\) như sau:
Câu 9:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), và đồ thị của \(f'(x)\) trên \(\mathbb{R}\) như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'(x)\), ta suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y=f(x)\) như sau:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-2)\), đồng biến trên khoảng \((-2;+\infty)\).
Câu 10:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'(x)\), ta suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y=f(x)\) như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-1)\), nghịch biến trên khoảng \((-1;+\infty)\).
Câu 11:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'(x)\), ta suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y=f(x)\) như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-4)\), \((0;2)\) và \((4;+\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-4;0)\) và \((2;4)\).
Câu 12:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'(x)\), suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y=f(x)\) như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((2;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((-2;2)\).
Câu 13:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'(x)\), suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y=f(x)\) như sau:
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((-1;3)\); đồng biến trên các khoảng \((-2;-1)\), \((3;+\infty)\).
Câu 1:
Cho hàm số \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Xét tính đơn điệu của hàm số \(g(x)=f(1- x)\).
Ta có \(g'(x)= -f'(1-x)\).
Suy ra
\begin{align*}g'(x)=0\Leftrightarrow\ &-f'(1-x)=0\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&1-x=-1\\ &1-x=2\\ &1-x=3\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=2\\ &x=-1\\ &x=-2.\end{aligned}\right.\end{align*}
Ta có \(g'(3)=-f'(1-3)=-f'(-2)>0\) và các nghiệm của \(g'(x)\) đều là nghiệm đơn.
Bảng biến thiên của hàm \(g(x)\):
Suy ra \(g(x)\) đồng biến trên \((-2; -1)\) và \((2; + \infty)\); Nghịch biến trên \((-\infty;-2)\) và \((-1;2)\).
Câu 2:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ
Tìm các khoảng đồng biến của hàm số \(g(x)=f(3-x)\).
Ta có \(g'(x)=-f'(3-x)\).
Suy ra
\begin{align*}g'(x)=0\Leftrightarrow\ &-f'(3-x)=0\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&3-x=-1\\ &3-x=3\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=4\\ &x=0.\end{aligned}\right.\end{align*}
Ta có \(g'(5)=-f'(3-5)=-f'(-2)< 0\) và các nghiệm của \(g'(x)\) đều là nghiệm đơn.
Bảng biến thiên của hàm \(g(x)\):
Suy ra \(g(x)\) đồng biến trên \((0;4)\); Nghịch biến trên \((-\infty;-1)\) và \((4;+\infty)\).
Câu 3:
Cho hàm số \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(g(x) = f(x^2 - 1)\).
Ta có \(g'(x)=2xf'(x^2-1)\).
Suy ra
\begin{align*}g'(x)=0\Leftrightarrow\ &2xf'(x^2-1)=0\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&2x=0\\ &x^2-1=-1\\ &x^2-2=1\\ &x^2-1=3\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=0\\ &x^2=0\\ &x^2=3\\ &x^2=4\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=0\quad (\text{bội ba})\\ &x=\pm\sqrt{3}\quad (\text{đơn})\\ &x=\pm 2\quad (\text{đơn}).\end{aligned}\right.\end{align*}
Ta có \(g'(3)=2\cdot 3f'(3^2-1)=6f'(8)>0\) và các nghiệm của \(g'(x)\) là nghiệm đơn, bội lẻ.
Bảng biến thiên của hàm \(g(x)\):
Câu 4:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Xét tính đơn điệu của hàm số \(g(x)=f(3-2x)+1\).
Ta có \(g'(x)=-2f'(3-2x)\).
Suy ra
\begin{align*}g'(x)=0\Leftrightarrow\ &-2f'(3-2x)=0\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&3-2x=-1\\ &3-2x=1\\ &3-2x=4\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=2\quad (\text{đơn})\\ &x=1\quad (\text{đơn})\\ &x=-\displaystyle\frac{1}{2}\quad (\text{đơn}).\end{aligned}\right.\end{align*}
Ta có \(g'(3)=-2f'(3-2\cdot 3)=-2f'(-3)>0\) và các nghiệm của \(g'(x)\) là nghiệm đơn.
Bảng biến thiên của hàm \(g(x)\):
Câu 5:
Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(g(x)=f(1-2x)\).
Ta có \(g'(x)=-2f'(1-2x)\).
\begin{align*}g'(x)=0\Leftrightarrow\ &-2f'(1-2x)=0\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&1-2x=1\\ &1-2x=2\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=0\quad (\text{đơn})\\ &x=-\displaystyle\frac{1}{2}\quad (\text{đơn}).\end{aligned}\right.\end{align*}
Ta có \(g'(1)=-2f'(1-2\cdot 1)=-2f'(-1)< 0\) và các nghiệm của \(g'(x)\) là nghiệm đơn.
Bảng biến thiên của hàm \(g(x)\):
Câu 6:
Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình bên. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số \(g(x)=f(2-x)\).
Ta có \(g'(x)= -f'(2-x)\).
Suy ra
\begin{align*}g'(x)=0\Leftrightarrow\ &-f'(2-x)=0\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&2-x=-1\\ &2-x=1\\ &2-x=4\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=3\\ &x=1\\ &x=-2.\end{aligned}\right.\end{align*}
Ta có \(g'(4)=-f'(2-4)=-f'(-2)>0\) và các nghiệm của \(g'(x)\) đều là nghiệm đơn.
Bảng biến thiên của hàm \(g(x)\):
Vậy hàm số \(g(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-2;1)\) và \((3;+\infty)\).
Câu 7:
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số \(g(x) = f\left(x^2 - 5\right)\).
Ta có: \(g'(x)=2xf'(x^2-5)\).
Và \(f'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-4\\ &x=-1\\ &x=2\end{aligned}\right.\).
Suy ra
\begin{align*}&g'(x)=0\\\Leftrightarrow\ &2xf'(x^2-5)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2x=0\\ &f'(x^2-5)=0\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=0\\ &x^2-5=-4\\ &x^2-5=-1\\ &x^2-5=2\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=0\\ &x=\pm 1\\ &x=\pm 2\\ &x=\pm\sqrt{7}.\end{aligned}\right.\end{align*}
Ta có \(g'(3)=2\cdot 3f'(3^2-5)=6f'(4)>0\) và các nghiệm của \(g'(x)\) đều là nghiệm đơn.
Bảng biến thiên của \(g(x)\)
Vậy hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-\sqrt{7})\), \((-2;-1)\), \((0;1)\), \((2;\sqrt{7})\).
Câu 8:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng xét dấu đạo hàm \(f'(x)\) như sau
Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số \(g(x)=f(x-1)+2\).
Từ bảng xét dấu của \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)\) có các nghiệm \(x=-2\), \(x=-1\), \(x=2\), \(x=4\).
Ta có \(g'(x)=f'(x-1)\).
Suy ra
\begin{align*}g'(x)=0\Leftrightarrow\ &f'(x-1)=0\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x-1=-2\\ &x-1=-1\\ &x-1=2\\ &x-1=4\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=-1\\ &x=0\\ &x=3\\ &x=5.\end{aligned}\right.\end{align*}
Ta có \(g'(6)=f'(6-1)=f'(5)>0\) và các nghiệm của \(g'(x)\) đều là nghiệm đơn.
Bảng xét dấu của \(g'(x)\):
Vậy \(g(x)\) nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\), \((3;5)\).
Câu 9:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên sau
Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số \(g(x)=f\left(2x+7\right)\).
Ta có \(g'(x)=2f'\left(2x+7\right)\).
Từ bảng biến thiên của hàm số \(f(x)\), ta thấy hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên hai khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty)\).
Suy ra \(f'(x)< 0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&-1< x< 0\\ &x>1.\end{aligned}\right.\)
Hàm số \(g(x)\) nghịch biến khi
\(g'(x)< 0 \Leftrightarrow f'\left(2x+7\right)< 0\) \(\Leftrightarrow -1< 2x+7< 0;\,2x+7> 1\Leftrightarrow\) \(\-4< x < -\displaystyle\frac{7}{2};\,x>3.\)
Vậy hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên \(\left(-4;-\displaystyle\frac{7}{2}\right)\) và \((3;+\infty)\).
Câu 10:
Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình bên. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số \(g(x)=f(3-2x)\).
Ta có \(g'(x)=-2f'\left(3-2x\right)\).
\(g'(x)< 0\Leftrightarrow f'\left(3-2x\right)>0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&3-2x>5;\\ &-2< 3-2x< 2\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x< -1\\&\displaystyle\frac{1}{2}< x< \displaystyle\frac{5}{2}.\end{aligned}\right.\)
Vậy hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{5}{2}\right)\).
Câu 11:
Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số \(g(x)=f\left(x^2\right)\).
Ta có \(g'(x)=2xf'\left(x^2\right)\).
\begin{align*}g'(x)=0\Leftrightarrow\ &2xf'(x^2)=0\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=0\\ &f'(x^2)=0\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=0\\ &x^2=-1\\ &x^2=1\\ &x^2=4\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=0\\ &x=\pm 1\\ &x=\pm 2.\end{aligned}\right.\end{align*}
Ta có \(g'(3)=2\cdot 3f'(3^2)=6f'(9)< 0\) và các nghiệm của \(g'(x)\) đều là nghiệm đơn.
Ta có bảng biến thiên của \(g(x)\) như sau
Vậy hàm số \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((1;\infty)\).
Câu 12:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị \(y=f'(x)\) trên \(\mathbb{R}\) như hình vẽ (trên \(\mathbb{R}\) thì đồ thị \(y=f'(x)\) là một nét liền và chỉ có 4 điểm chung với Ox tại các điểm có hoành độ lần lượt là \(-1,1,2,4\)). Đặt \(g(x)=f(1-x)\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(g(x)\).
Ta có \(g'(x)=-f'(1-x)\).
\(g'(x)>0\Leftrightarrow f'(1-x)< 0\Leftrightarrow 1-x< -1;\,1< 1-x< 2\\ &1-x>4\Leftrightarrow x>2\\ &-1< x< 0\\ &x< -3.\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-3)\), \((-1;0)\), \((2;+\infty)\).
\(g'(x)< 0\Leftrightarrow f'(1-x)>0\Leftrightarrow -1< 1-x< 1\\ &2< 1-x< 4\Leftrightarrow 0< x< 2\\ &-3< x< -1.\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;2)\), \((-3;-1)\).
Câu 13:
Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau. Xét tính đơn điệu của hàm số \(g(x)=f(x^2)\).
Ta có \(g'(x)=2xf'\left(x^2\right)\).
\begin{align*}
g'(x)=0\Leftrightarrow\ &2xf'(x^2)=0
\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=0\\ &f'(x^2)=0\end{aligned}\right.
\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=0\\ &x^2=-1\\ &x^2=1\\ &x^2=4\end{aligned}\right.
\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=0\\ &x=\pm 1\\ &x=\pm 2.\end{aligned}\right.
\end{align*}
Ta có \(g'(3)=-f'(1-3)=2\cdot 3f'(3^2)=6f'(9)>0\) và các nghiệm của \(g'(x)\) đều là nghiệm đơn.
Ta có bảng biến thiên của \(g(x)\) như sau
Câu 14:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.
Xét tính đơn điệu của hàm số \(g(x)=f(x^2-1)\).
Ta có \(g'(x)=2xf'\left(x^2-1 \right)\).
\begin{align*}g'(x)=0 \Leftrightarrow\ &f'\left( x^2-1 \right)=0;\,x=0\\ \Leftrightarrow\ &x^2-1=-1;\,x^2-1=2;\,x=0\\ \Leftrightarrow\ &x=\pm \sqrt{3};\, x=0.\end{align*}
Ta có \(g'(2)=2\cdot2f'(2^2-1)=4f'(3)>0\) và các nghiệm của \(g'(x)\) là nghiệm đơn.
Bảng biến thiên của \(g(x)\):
Câu 15:
Cho hàm số \( y=f(x) \). Biết hàm số \( y=f'(x) \) có đồ thị như hình vẽ bên. Xét tinh đơn điệu của hàm số \(g(x)=f(3-x^{2})+2\).
Ta có \(g'(x)=-2xf'\left( 3-x^2 \right)\).
\begin{align*}g'(x)=0 \Leftrightarrow\ &f'\left( 3-x^2 \right)=0;\,x=0\\ \Leftrightarrow\ &3-x^2=-6;\,3-x^2=-1;\,3-x^2=2;\,x=0\\ \Leftrightarrow\ &x=\pm 3;\,x=\pm 2;\,x=\pm 1;\,x=0.\end{align*}
Ta có \(g'(4)=-2\cdot4f'(3-4^2)=-8f'(-13)>0\) và các nghiệm của \(g'(x)\) là nghiệm đơn.
Bảng biến thiên của hàm số \(g(x)\):
Câu 16:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\) (\(y=f'(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)). Xét tính đơn điệu của hàm số \(g(x)=f(x^2-2)\).
Ta có \(g'(x)=2xf'(x^2-2)\).
\begin{align*}&g'(x)=0\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}x=0\\x^2-2=-1 \quad \text{(bội chẵn)}\\x^2-2=2\end{cases}\\\Leftrightarrow\ &\begin{cases}x=0 \quad \text{(đơn)}\\x=\pm 1 \quad \text{(bội chẵn)}\\x=\pm 2 \quad \text{(đơn)}.\end{cases}\end{align*}
Ta có \(g'(3)=2\cdot3f'(3^2-2)=6f'(8)>0\).
Bảng biến thiên của \(g(x)\) như sau:
Vậy hàm số \(g(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-2;0)\), \((2;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((0;2)\).
Câu 17:
Cho hàm số \(y=f(x)\) biết hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Xét tính đơn điệu của hàm số \(g(x)=f\left(2-x^2 \right)\).
Ta có \(g'(x)=-2xf'\left( 2-x^2 \right)\).
\begin{align*}&g'(x)=0\\ \Leftrightarrow\ &f'\left(2-x^2 \right)=0;\,x=0\\ \Leftrightarrow\ &2-x^2=-1\quad (\text{bội chẵn});\,2-x^2=2;\,x=0\\ \Leftrightarrow\ &x=\pm \sqrt{3}\quad (\text{bội chẵn});\,x=0.\end{align*}
Ta có \(g'(2)=-2\cdot2f'(2-2^2)=-4f'(-2)>0\).
Bảng biến thiên của hàm số \(g(x)\):
Vậy hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên \((-\infty;0)\), đồng biến trên \((0;+\infty)\).
Câu 18:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình bên. Xét tính đơn điệu của hàm số \(y=f(1+x^2)\).
Ta có \(g'(x)=2xf'(1+x^2)\).
\begin{align*}&g'(x)=0\\ \Leftrightarrow\ &2xf'(1+x^2)=0\\ \Leftrightarrow\ &2x=0;\,f'(1+x^2)=0\\ \Leftrightarrow\ &x=0;\,1+x^2=-2;\,1+x^2=0\quad (\text{kép});\,1+x^2=2\\ \Leftrightarrow\ &x=0;\,x=\pm 1.\end{align*}
Ta có \(g'(2)=2\cdot2f'(1+2^2)=4f'(5)< 0\).
Bảng biến thiên của \(g(x)\):
Vậy hàm số \(g(x)\) đồng biến trên \((-\infty;-1)\) và \((0;1)\); nghịch biến trên \((-1;0)\) và \((1;+\infty)\).
Câu 19:
Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ ở bên. Xét tính đơn điệu của hàm số \(g(x)=f(x-3)\).
Ta có \(g'(x)=f'(x-3)\).
Cho \(g'(x)=0 \Leftrightarrow f'(x-3)=0\Leftrightarrow x-3=-1;\, x-3=1;\, x-3=3\Leftrightarrow x=2;\, x=4;\, x=6.\)
Ta có \(g'(7)=f'(7-3)=f'(4)< 0\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số \(g(x)\) đồng biến trên \((-\infty;2)\) và \((4;6)\); nghịch biến trên \((2;4)\) và \((6;+\infty)\)
Câu 20:
Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ ở bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(g(x)=f(2x-4)\).
Ta có \(g'(x)=2\cdot f'(2x-4)\).
Cho \(g'(x)=0 \Leftrightarrow f'(2x-4)=0 \Leftrightarrow 2x-4=-2;\, 2x-4=0\quad (\text{kép});\, 2x-4=2 \Leftrightarrow x=1;\, x=2\quad (\text{kép});\, x=3.\)
Ta có \(g'(4)=2f'(2\cdot4-4)=2f'(4)< 0\).
Bảng biến thiên
Câu 21:
Cho hàm số \(y=f(x)\) là hàm số bậc ba có đồ thị như vẽ bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(g(x)=f(x^2-2x+1)-3\).
Từ đồ thị, ta thấy hàm số \(f(x)\) có hai cực trị là \(x=\pm1\).
Suy ra \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm 1\).
Ta có \(g'(x)=2(x-1)f'(x^2-2x+1)\).
\begin{align*}&g'(x)=0\\ \Leftrightarrow\ &2(x-1)=0;\,f'(x^2-2x+1)=0\\ \Leftrightarrow\ &x=1;\,x^2-2x+1=-1 ;\, x^2-2x+1=1\\ \Leftrightarrow\ &x=1;\,x=0 ;\,x=2.\end{align*}
Ta có bảng xét dấu:
Vậy hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên \((-\infty;0)\) và \((1;2)\); đồng biến trên \((0;1)\) và \((2;+\infty)\).
Câu 22:
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Xét hàm số \(g(x)=f(x^2-2)\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(g(x)\).
Từ đồ thị ta thấy \(f(x)\) có hai cực trị là \(x=\pm 1\), suy ra \(f'(x)=0\) có hai nghiệm \(x=\pm 1\).
Ta có \(g'(x)=2x\cdot f'\left(x^2-2\right)\).
\begin{align*}&g'(x)=0\\ \Leftrightarrow\ &2x\cdot f'\left(x^2-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\ & x=0 ;\, f'\left(x^2-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\ &x=0 ;\, x^2-2=-1;\, x^2-2=1\\ \Leftrightarrow\ & x=0 ;\, x=\pm 1;\, x=\pm \sqrt{3}.\end{align*}
Bảng biến thiên của \(g(x)\):
Câu 23:
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Xét hàm số \(g(x)=f(x^2+1)\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(g(x)\).
Từ đồ thị ta thấy \(f(x)\) có ba cực trị là \(x=\pm 1\) và \(x=3\).
Suy ra \(f'(x)=0\) có ba nghiệm \(x=\pm 1\), \(x=3\).
Ta có \(g'(x)=2x\cdot f'\left(x^2+1\right)\).
\begin{align*}&g'(x)=0\\ \Leftrightarrow\ &2x\cdot f'\left(x^2+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\ & x=0 ;\, f'\left(x^2+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\ & x=0 ;\, x^2+1=-1;\, x^2+1=1;\,x^2+1=3\\ \Leftrightarrow\ & x=0\quad (\text{bội ba}) ;\,x=\pm \sqrt{2}.\end{align*}
Bảng biến thiên của \(g(x)\):
Câu 24:
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Xét hàm số \(g(x)=f(x^2-2)\). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(g(x)\).
Từ đồ thị ta thấy \(f(x)\) có ba cực trị là \(x=\pm 2\) và \(x=0\).
Suy ra \(f'(x)=0\) có ba nghiệm \(x=\pm 2\), \(x=0\).
Ta có \(g'(x)=2x\cdot f'\left(x^2-2\right)\).
\begin{align*}&g'(x)=0\\ \Leftrightarrow\ &2x\cdot f'\left(x^2-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\ & x=0 ;\, f'\left(x^2-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\ &x=0 ;\, x^2-2=-2;\, x^2-2=2;\,x^2-2=0\\ \Leftrightarrow\ & x=0\quad (\text{bội ba});\,x=\pm2;\,x=\pm \sqrt{2}.\end{align*}
Bảng biến thiên của \(g(x)\):
Câu 1:
Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ \(2010\) đến \(2017\) có thể được tính xấp xỉ bằng công thức \(f(x)=0{,}01x^3-0{,}04x^2+0{,}25x+0{,}44\) (tỉ USD) với \(x\) là số năm tính từ \(2010\) đến \(2017\) \((0\leq x\leq 7)\).
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\).
b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ \(2010\) đến \(2017\).
a) Ta có \(f'(x)=0{,}03x^2-0{,}08x+0{,}25\).
b) Xét \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 0{,}03x^2-0{,}08x+0{,}25=0\) (vô nghiệm).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên trên, ta thấy \(f(x)>0\), \(\forall x\in [0;7]\).
Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ \(2010\) đến \(2017\).
Câu 2:
Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục \(Ox\). Toạ độ của chất điểm tại thời điểm \(t\) được xác định bởi hàm số \(x(t)=t^3-6t^2+9t\) với \(t\geq 0\). Khi đó \(x'(t)\) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t\), kí hiệu \(v(t)\); \(v'(t)\) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm \(t\), kí hiệu \(a(t)\).
a) Tìm các hàm \(v(t)\) và \(a(t)\).
b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?
a) Ta có \(v(t)=x'(t)=3t^2-12t+9\) và \(a(t)=v'(t)=6t-12\).
b) Xét \(v(t)=0 \Leftrightarrow t=1;\, t=3.\)
Bảng xét dấu
Suy ra vận tốc của chất điểm tăng khi \(t\in (0;1) \cup (3;+\infty)\), và giảm khi \(t\in (1;3)\).
Câu 3:
Điện trở \(R\, (\Omega)\) của một đoạn dây dẫn hình trụ được làm từ vật liệu có điện trở suất \(\rho\) \((\Omega\mathrm{m})\), chiều dài \(\ell\) m và tiết diện \(S\) (m\(^2\)) được cho bởi công thức \(R=\rho\cdot\displaystyle\frac{\ell}{S}\).
Giả sử người ta khảo sát sự biến thiên của điện trở \(R\) theo tiết diện \(S\) (ở nhiệt độ \(20^\circ\)C) của một sợi dây điện dài \(10\) m làm từ kim loại có điện trở suất \(\rho\) và thu được đồ thị hàm số như hình.
a) Có nhận xét gì về sự biến thiên của điện trở \(R\) theo tiết diện \(S\)?
b) Từ đồ thị, hãy giải thích ý nghĩa của toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng \(R=0{,}001\).
c) Tính điện trở suất \(\rho\) của dây điện. Từ đó, hãy cho biết dây điện được làm bằng kim loại nào trong số các kim loại được cho ở bảng sau
a) Ta thấy điện trở \(R\) tỉ lệ nghịch với tiết diện \(S\), do đó khi \(R\) càng giảm thì \(S\) càng tăng.
b) Từ đồ thị, toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng \(R=0{,}001\) là điểm \((0{,}000169; 0{,}001)\), tức là khi \(R=0{,}001\) \((\Omega)\) thì \(S=0{,}000169\) (m\(^2\)).
c) Thay tọa độ điểm \((0{,}000169; 0{,}001)\) vào \(R=\rho\cdot\displaystyle\frac{\ell}{S}\) (với \(\ell=10\) m), ta có
\(0{,}001=\rho\cdot\displaystyle\frac{\ell}{0{,}000169} \Leftrightarrow \rho=1{,}69 \cdot 10^{-8} \,(\Omega\mathrm{m}).\)
Vậy dây điện được làm bằng kim loại đồng.
Câu 4:
Thể tích \(V\) (đơn vị: centimét khối) của \(1\) kg nước tại nhiệt độ \(T\) \(\left(0^{\circ}\mathrm{C}\leq T \leq 30^{\circ}\mathrm{C}\right)\) được tính bởi công thức sau: \(V(T)=999{,}87-0{,}06426T+0{,}0085043T^2-0{,}0000679T^3.\) Hỏi thể tích \(V(T)\), \(0^{\circ}\mathrm{C}\leq T \leq 30^{\circ}\mathrm{C}\), giảm trong khoảng nhiệt độ nào?
Xét hàm số \(V(T)=999{,}87-0{,}06426T+0{,}0085043T^2-0{,}0000679T^3\), với \(T\in [0;30]\).
Ta có \(V'(T)=-0{,}0002037T^2+0{,}0170086T-0{,}06426\).
\(V'(T)=0\Leftrightarrow T=3{,}966514624=T_1\) hoặc \(T=79{,}53176716\not\in [0;30]\).
Bảng biến thiên của hàm số \(V(T)\) như sau
Từ bảng biến thiên suy ra, thể tích \(V(T)\) giảm trong khoảng nhiệt độ từ \(0^\circ\)C đến \(3{,}966514624^\circ\)C.
Câu 5:
Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm \(t=0\) (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm \(t=126\) (s), cho bởi công thức sau: \(v(t)=0{,}001302t^3-0{,}09029t^2+23\), (\(v\) được tính bằng ft/s, 1 feet \(=0{,}3048 \mathrm{~m}\))
Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?
Gia tốc của tàu con thoi là \(a(t)=v'(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t\).
Xét hàm số \(a(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t\) với \(t\in [0;126]\).
Ta có \(a'(t)=0{,}007812t-0{,}18058\);
\(a'(t)=0\Leftrightarrow t=23{,}11571941=t_0\).
Bảng biến thiên của hàm số \(a(t)\) như sau
Từ bảng biến thiên suy ra, gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian từ \(23{,}11571941\) s đến \(126\) s.
Câu 6:
Xét phản ứng hóa học tạo ra chất \(C\) từ hai chất \(A\) và \(B\): \(A+B\longrightarrow C\). Giả sử nồng độ của hai chất \(A\) và \(B\) bằng nhau \([A]=[B]=a\) (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất \(C\) theo thời gian \(t\) (\(t>0\)) được cho bởi công thức: \([C]=\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\) (mol/l), trong đó \(K\) là hằng số dương.
a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm \(t>0\).
b) Chứng minh nếu \(x=[C]\) thì \(x'(t)=K(a-x)^2\).
c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t\longrightarrow +\infty\).
d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi \(t\longrightarrow +\infty\).
a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm \(t>0\).
Tốc độ của phản ứng là đạo hàm của \([C]=\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\) theo biến \(t\). Do đó
\[[C]^\prime =\left(\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\right)^\prime=\displaystyle\frac{a^2K\left(aKt+1\right)-a^2Kt\cdot aK}{\left(aKt+1\right)^2}=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}.\]
b) Chứng minh nếu \(x=[C]\) thì \(x'(t)=K(a-x)^2\).
Theo câu trên, nếu nếu \(x=[C]\) thì \(x^\prime(t)=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}\).
Ta lại có
\[K(a-x)^2=K \left(a-\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\right)^2=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}.\]
Vậy \(x'(t)=K(a-x)^2\).
c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t\longrightarrow +\infty\).
Ta có \(\lim\limits_{t\to +\infty}[C]=\lim\limits_{t\to +\infty}\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}=a\ (mol/l)\).
Vậy nồng độ của chất \(C\) dần đến \(a\ (mol/l)\).
d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi \(t\longrightarrow +\infty\).
Ta có \(\lim\limits_{t\to +\infty}x^\prime(t)=\lim\limits_{t\to +\infty}\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}=0\).
Vậy tốc độ của phản ứng dần đến \(0\).
Câu 7:
Thể tích \(V\) của \(1\) kg nước (tính bằng \(\text{cm}^3\)) ở nhiệt độ \(T\) (đơn vị: \(\circ C\)) khi \(T\) thay đổi từ \(^\circ C\) đến \(30^\circ C\) được cho xấp xỉ bởi công thức:
\(V=999{,}87-0{,}06426T+0,0085043T^2-0{,}0000769T^3.\)
Tìm nhiệt độ \(T_0 \in \left(0;30\right)\) để kể từ nhiệt độ \(T_0\) trở lên thì thể tích \(V\) tăng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Xét hàm số \(f\left(T\right)=V=999{,}87-0{,}06426T+0,0085043T^2-0{,}0000769T^3\).
Hàm số xác định trên khoảng \(\left(0;30\right)\)
Ta có \(f'\left(T\right)=2{,}307 \cdot 10^{-4}T^2+0{,}0170086T-0{,}06426\).
\(f'\left(T\right)=0\Leftrightarrow x=3{,}6;\,x=-77{,}33\Leftrightarrow x=3{,}6\).
Vậy \(T_0=4^\circ C\) trở lên thì nhiệt độ tăng.
Câu 8:
Một cốc chứa \(30 \mathrm{ml}\) dung dịch \(\mathrm{KOH}\) (potassium hydroxide) với nồng độ \(100 \mathrm{mg} / \mathrm{ml}\).
Một bình chứa dung dịch \(\mathrm{KOH}\) khác với nồng độ \(8 \mathrm{mg} / \mathrm{ml}\) được trộn vào cốc.
a) Tính nồng độ \(\mathrm{KOH}\) trong cốc sau khi trộn \(x(\mathrm{ml})\) từ bình chứa, kí hiệu là \(C(x)\).
b) Coi \(C(x)\) là hàm số xác định với \(x \geq 0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
c) Giải thích tại sao nồng độ \(\mathrm{KOH}\) trong cốc giảm theo \(x\) nhưng luôn lớn hơn \(8 \mathrm{mg} / \mathrm{ml}\).
a) Nồng độ sau khi trộn là \(C(x)=\displaystyle\frac{8x+3000}{x+100}\).
b) Tập xác định của hàm số \([0;+\infty)\).
Sự biến thiên
Ta có: \(y^{\prime}=-\displaystyle\frac{2200}{(x+100)^2}< 0\) với mọi \(x \ge 0\).
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng trên \([0;+\infty)\).
Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận
\(\begin{aligned}&\lim_{x \rightarrow+\infty} y=\lim_{x\rightarrow+\infty}\displaystyle\frac{8x+3000}{x+100}=8.\end{aligned}\)
Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=8\).
Bảng biến thiên:
Đồ thị
c) Hàm \(C(x)\) là hàm nghịch biến nên nồng độ KOH giảm, nhưng do đường thẳng \(y=8\) là tiệm cận ngang nên \(C(x)>8\) với mọi \(x\ge 0\).
Câu 9:
Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở \(R_1\) và \(R_2\) thì điện tương đương \(R\) của mạch điện được tính theo công thức \(R=\displaystyle\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
Giả sử một điện trở \(8\Omega\) được mắc song sogn với một biến trở như hình vẽ. Nếu điện trở đó được kí hiệu là \(x (\Omega)\) thì điện trở tương đương \(R\) là hàm số của \(x\). Vẽ đồ thị của hàm số \(y=R(x)\), \(x>0\) và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết
a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi \(x\) tăng.
b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá \(8\Omega\).
a) Ta có
\[ R(x)=\displaystyle\frac{8x}{x+8}\Rightarrow R'(x)=\frac{64}{(x+8)^2}>0, \forall x>0. \]
Do đó \(R(x)\) là một hàm đồng biến trên \((0;+\infty)\). Vậy \(R(x)\) tăng khi \(x\) tăng.
b) Dễ thấy \(\lim\limits_{x\to +\infty}R(x)=8\), kết hợp \(R(x)\) là hàm đồng biến nên khi \(x\) tăng thì \(R(x)\) không bao giờ vượt quá \(8\).
Câu 10:
Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất \(2\) m với vận tốc ban đầu \(24{,}5\) m/s là \(h(t)=2+24{,}5t-4{,}9t^2\) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, \(2016\)).
a) Tìm vận tốc của vật sau \(2\) giây.
b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?
c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là \(v=h'(t)=24{,}5-9{,}8t\) m/s.
Do đó, vận tốc của vật sau \(2\) giây là \(v(2)=24{,}5-9{,}8\cdot 2=4{,}9\) m/s.
b) Vì \(h(t)\) là hàm số bậc hai có hệ số \(a=-4{,}9< 0\) nên \(h(t)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(t=-\displaystyle\frac{b}{2a}=\displaystyle\frac{24{,}5}{2\cdot 4{,}9}=2{,}5\) (giây). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là \(h(2{,}5)=32{,}625\) m.
c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là \(h=2+24{,}5t-4{,}9t^2=0\), hay \(t \approx 5{,}08\) (giây).
Vận tốc của vật lúc chạm đất là \(v(5{,}08)=24{,}5-9{,}8\cdot 5{,}08=-25{,}284\) m/s.
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).
Câu 11:
Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số \(P(t)=\displaystyle\frac{a}{b+\mathrm{e}^{-0{,}75t}}\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu \(t=0\), quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ \(12\) tế bào/giờ. Tìm các giá trị của \(a\) và \(b\). Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?
Ta có \(P'(t)=\displaystyle\frac{0,75a \mathrm{e}^{-0,75t}}{\left(b+\mathrm{e}^{-0{,}75t}\right)^2}, t \geq 0\).
Theo đề bài, ta có \(P(0)=20\) và \(P'(0)=12\). Do đó, ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases}\displaystyle\frac{a}{b+1}=20\\ \displaystyle\frac{0,75a}{(b+1)^2=12}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=20(b+1)\\\displaystyle\frac{15}{b+1}=12\end{cases}\)
Giải hệ phương trình này, ta được \(a=25\) và \(b=\displaystyle\frac{1}{4}\).
Khi đó, \(P'(t)=\displaystyle\frac{18{,}75\mathrm{e}^{-0{,}75t}}{\left(\displaystyle\frac{1}{4}+\mathrm{e}^{-0{,}75 t}\right)^2} > 0, \forall t \geq 0\), tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.
Tuy nhiên, do \(\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} P(t)=\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{25}{\displaystyle\frac{1}{4}+\mathrm{e}^{-0{,}75t}}=100\) nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá \(100\) tế bào.
Câu 12:
Giả sử chi phí \(C(x)\) (nghìn đồng) để sản xuất \(x\) đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi hàm số \(C(x)=30\,000+300x-2{,}5x^2+0{,}125x^3\).
a) Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm \(C'(200)\) và giải thích ý nghĩa.
c) So sánh \(C'(200)\) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201.
a) Hàm chi phí biên là \(C'(x)=300-5x+0{,}375x^2\).
b) Ta có \(C'(200)=300-5\cdot 200+0,375\cdot 200^2=14300\).
Chi phí biên tại \(x=200\) là \(14\,300\) nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo (đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng \(14\,300\) nghìn đồng.
c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ \(201\) là
\(C(201)-C(200)=1\,004\,372{,}625- 990\,000=14\,372{,}625\) (nghìn đồng).
Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên \(C'(200)\) đã tính ở câu b.
Câu 13:
Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán \(x\) chiếc máy xay sinh tố hằng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là \(P(x)=-0,3 x^3+36 x^2+1\,800 x-48\,000.\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=P(x), x \geq 0\). Sử dụng đồ thị đã vẽ để trả lời các câu hỏi sau:
a) Khi chỉ sản xuất một vài máy xay sinh tố, công ty sẽ bị lỗ (vì lúc này lợi nhuận âm). Hỏi hằng tháng công ty phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn?
b) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu? Công ty có nên sản xuất \(200\) chiếc máy xay sinh tố hằng tháng hay không?
Xét hàm số
\(y=P(x)=-0,3 x^3+36 x^2+1\,800 x-48\,000,\, x \geq 0.\)
Ta có
\(y'=P'(x)=-0,9 x^2+72 x+1800 ; y'=0 \Leftrightarrow x=100\) (vì \(x \geq 0\)).
\(P'(x)>0\) với mọi \(x \in[0 ; 100)\) và \(P'(x)< 0\) với mọi \(x \in(100 ;+\infty)\).
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \([0 ; 100)\) và nghịch biến trên khoảng \((100 ;+\infty)\).
Tại \(x=100\), hàm số đạt cực đại và \(y_\text{CĐ}=y(100)=192\,000\).
\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} P(x)=-\infty\).
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số như bên (ở đây ta lấy một đơn vị trên trục hoành bằng \(1\,000\) đơn vị trên trục tung).
Từ đồ thị đã vẽ suy ra:
a) Đồ thị xuất phát từ điểm \((0 ;-48\,000)\), ở phía dưới trục hoành (tức là công ty đang bị lỗ), và giao với trục hoành tại điểm đầu tiên có hoành độ \(x=20\). Do đó, hằng tháng công ty cần sản xuất ít nhất \(20\) chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn.
b) Từ đồ thị ta thấy khi sản xuất hơn \(100\) chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng thì càng sản xuất nhiều lợi nhuận càng giảm. Do đó, công ty không nên sản xuất \(200\) chiếc máy xay sinh tố hằng tháng.
Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể thu được là \(y_\text{CĐ}=y(100)=192\,000\) (nghìn đồng), tức là \(192\) triệu đồng, đạt được khi sản xuất đúng \(100\) chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng.
Câu 14:
Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(y=t^3-12t+3, t \geq 0\).
a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?
c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \(0\leq t \leq 3\).
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?
a) Vận tốc của hạt chuyển động là \(v(t)=y'=3t^2-12\).
Gia tốc của hạt chuyển động là \(a(t)=v'(t)=6t\).
b) Vận chuyển động đi lên khi \(v(t)\ge0 \Leftrightarrow t\ge 2\).
Vận chuyển động đi xuống khi \(v(t)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 2\).
c) Khi \(0\le t\le 2\), vật đi xuống nên quãng đường đi được trong khoảng thời gian \(0\le t \le 2\) là \(y(0)-y(2)=16.\)
Khi \(2\le t\le 3\), vật đi lên nên quãng đường đi được là trong khoảng thời gian \(2\le t \le 3\) là \(y(3)-y(2)=7.\)
Do đó quãng đường đi được trong khoảng thời gian \(0\le t \le 3\) là \(23\) m.
d) Hạt tăng tốc khi \(a(t)\ge 0 \Leftrightarrow t\ge 0\), hạt giảm tốc khi \(a(t)\le0 \Leftrightarrow t \le 0\).
Câu 15:
Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất \(x\) đơn vị hàng hoá nào đó là:
\(C(x)=23\,000+50 x-0{,}5x^2+0{,}00175x^3.\)
a) Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm \(C'(100)\) và giải thích ý nghĩa của nó.
c) So sánh \(C'(100)\) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101.
a) Hàm chi phí biên là \(C'(x)=0{,}00525x^2-x+50\).
b) Ta có \(C'(100)=0{,}00525\cdot 100^2-100+50=2{,}5\) (trăm nghìn đồng).
Chi phí biên tại \(x=100\) là \(250\,000\) đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn thứ \(101\)) là khoảng \(250\,000\) đổng.
c) Chi phí sản xuất đơn hàng thứ \(101\) là
\(C(101)-C(100)=24\,752{,}52675-24\,750=2{,}52675\) (trăm nghìn đồng)
Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên \(C'(100)\) đã tính ở câu trên.
Câu 16:
Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự \(f\) (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách \(p\) từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách \(q\) từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{f}\).
a) Viết công thức tính \(q=g\left(p \right)\) như một hàm số của biến \(p\in \left(f;+\infty \right)\).
b) Tính các giới hạn \(\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}g(p)\), \(\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}g(p)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
c) Lập bảng biến thiên của hàm số \(q=g \left(p \right)\) trên khoảng \(\left(f;+\infty \right)\).
a) Ta có \(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{f} \Rightarrow q=\displaystyle\frac{pf}{p-f}\). Do đó, \(q=g \left(p \right)=\displaystyle\frac{pf}{p-f}\) với \(p\in (f;+\infty)\).
b) \(\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}g(p)=\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{pf}{p-f}=\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{f}{1-\displaystyle\frac{f}{p}}=f\), \(\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}g(p)=\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{pf}{p-f}=+\infty\).
Ý nghĩa của \(\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}g(p)=f\): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.
Ý nghĩa của \(\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}g(p)=+\infty\): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự \(f\) thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là càng lớn.
c) Ta có \(q'=g' \left(p \right)=- \displaystyle\frac{f^2}{(p-f)^2}< 0\) với mọi \(p\in \left(f;+\infty \right)\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left(f;+\infty \right)\).
Bảng biến thiên
Câu 17:
Dân số của một quốc gia sau \(t\) (năm) kể từ năm \(2023\) được ước tính bởi công thức \(N(t)=100\mathrm{e}^{0, 012t}\) (\(N(t)\) được tính bằng triệu người, \(0\le t\le 50\)).
a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm \(2030\) và \(2035\) (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).
b) Xem \(N(t)\) là hàm số của biến số \(t\) xác định trên đoạn \(\left[0;50\right]\). Xét chiều biến thiên của hàm số \(N(t)\) trên đoạn \(\left[0;50\right]\).
c) Đạo hàm của hàm số \(N(t)\) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/ năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là \(1{,}6\) triệu người/ năm?
a) Dân số của quốc gia vào năm \(2030\) là \(N(7)=100\mathrm{e}^{0{,}012\cdot ^7}=100\mathrm{e}^{0{,}084}=108{,}763\) (triệu người).
Dân số của quốc gia vào năm \(2035\) là \(N(12)=100 \mathrm{e}^{0{,}012 \cdot 12}=100 \mathrm{e}^{0{,}144}=115,488\) (triệu người).
b) Trên đoạn \(\left[0;50\right]\) ta có \(N'(t)=0{,}012\cdot 100 \mathrm{e}^{0{,}012t}=1,2 \mathrm{e}^{0{,}012t}>0\) với mọi \(t \in \left[0;50\right]\).
Do đó, hàm số \(N(t)\) đồng biến trên đoạn \(\left[0;50\right]\).
c) Ta có \(N'(t)=1{,}2 \mathrm{e}^{0{,}012t}\).
Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là \(1,6\) triệu người/năm ta có
\(1{,}6=1{,}2\mathrm{e}^{0{,}012t}\Leftrightarrow{\mathrm{e}^{0{,}012t}}=\displaystyle\frac{4}{3}\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{250\ln \displaystyle\frac{4}{3}}{3}\approx 23{,}97\).
Vậy vào năm \(2046\) thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là \(1{,}6\) triệu người/ năm.