\(\S4.\) TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
1. Góc giữa hai véc-tơ
+ Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\). Từ một điểm \(O\) bất kì ta vẽ \(\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{b}\).
+ Góc \(\widehat{A O B}\) với số đo từ \(0^{\circ}\) đến \(180^{\circ}\) được gọi là góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).
+ Ta kí hiệu góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(\left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right )\).
+ Nếu \(\left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right )=90^{\circ}\) thì ta nói rằng \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau, kí hiệu là \(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\).
Chú ý.
+ Từ định nghĩa ta có \(\left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right )=\left (\overrightarrow{b}, \overrightarrow{a}\right )\).
+ Góc giữa hai véc-tơ cùng hướng và khác \(\overrightarrow{0}\) luôn bằng \(0^{\circ}\).
+ Góc giữa hai véc-tơ ngược hướng và khác \(\overrightarrow{0}\) luôn bằng \(180^{\circ}\).
+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) hoặc \(\overrightarrow{b}\) là véc-tơ \(\overrightarrow{0}\) thì ta quy ước số đo góc giữa hai véc-tơ đó là tuỳ ý (từ \(0^{\circ}\) đến \(180^{\circ}\)).
2. Tích vô hướng của hai véc-tơ
Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\).
Tích vô hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\), được xác định bởi công thức:
\(\quad\) \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\left |\overrightarrow{a} \right | \cdot \left |\overrightarrow{b} \right | \cdot \cos \left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right).\)
Chú ý.
+ Trường hợp ít nhất một trong hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bằng \(\overrightarrow{0}\), ta quy ước \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0\).
+ Với \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\), ta có \(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0\).
+ Khi \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\) thì tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}^{2}\) và được gọi là bình phuơng vô hướng của véc-tơ \(\overrightarrow{a}\).
+ Ta có \(\overrightarrow{a}^{2}=|\overrightarrow{a}| \cdot|\overrightarrow{a}| \cdot \cos 0^{\circ}=|\overrightarrow{a}|^{2}\). Vậy bình phương vô hướng của một véc-tơ luôn bằng bình phương độ dài của véc-tơ đó.
+ \(\left(\overrightarrow{AB}\right)^2=AB^2\).
3. Tính chất của tích vô hướng
Với ba véc-tơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) bất kì và mọi số \(k\), ta có:
+ \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}\);
+ \(\overrightarrow{a} \cdot \left (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right )=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}\);
+ \(\left (k \overrightarrow{a}\right ) \cdot \overrightarrow{b}=k\left (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\right )=\overrightarrow{a} \cdot \left (k \overrightarrow{b} \right )\).
+ \(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )^{2}=\overrightarrow{a}^{2}-2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}\).
+ \(\left(\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) \cdot \left (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )=\overrightarrow{a}^{2}-\overrightarrow{b}^{2}.\)
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. Tính góc giữa hai véctơ
Dạng 1. Tính góc giữa hai véctơ
Câu 1:
Cho hình vuông \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Đáp án: \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)=45^\circ\)
Lời giải:
Hiển nhiên ta thấy ngay
\(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=45^\circ.\)
nên \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)=45^\circ\) = \(180^circ\) - \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=45^\circ\) = \(135^\circ\).
Câu 2:
Cho hình vuông \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án: \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA} \right)=45^\circ\)
Lời giải:
Ta có
+) \(\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB} \right)=90^\circ\).
+) \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA} \right)=180^\circ-\widehat{BAC}=180^\circ-45^\circ=135^\circ\).
+) \(\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC} \right)=0^\circ\).
+) \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right)=180^\circ\).
Dạng 2. Tính tích vô hướng
Câu 1:
Cho ba điểm \(O,~A,~B\) thẳng hàng và điểm \(O\) nằm ngoài đoạn thẳng \(AB\). Biết \(OA=a,~OB=b\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\).
Đáp án: \(ab\)
Lời giải:
Ta có
\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=OA\cdot OB\cdot\cos 0^\circ=ab.\)
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC=a\), \(CA=b\), \(AB=c\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Tính \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}\).
Đáp án: \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=\displaystyle\frac{b^2-c^2}{2}\)
Lời giải:
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) suy ra
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\).
Khi đó
\(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} )\cdot\overrightarrow{BC}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} )\cdot(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} )\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} )\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} )\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}({{\overrightarrow{AC}}^2}-\overrightarrow{AB}^2 )=\displaystyle\frac{1}{2}(AC^2-AB^2 )=\displaystyle\frac{b^2-c^2}{2}\).
Dạng 3. Bài toán tập hợp điểm
Câu 1:
Tìm tập các hợp điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow{MB}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} )=0\) với \(A\), \(B\), \(C\) là ba đỉnh của tam giác.
Đáp án: Đường tròn
Lời giải:
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác
\(ABC\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\).
Ta có
\(\overrightarrow{MB}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} )=0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MB}\cdot 3\overrightarrow{MG}=0\) \(\Leftrightarrow \overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MG}=0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MB}\perp \overrightarrow{MG}\).\qquad \((* )\).
Biểu thức \((* )\) chứng tỏ \(MB\perp MG\) hay \(M\) nhìn đoạn \(BG\) dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn đường kính \(BG\).
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\). Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow{MA}(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} )=0\) là
Đáp án: đường tròn
Lời giải:
Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}\).
Ta có
\(\overrightarrow{MA}(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} )=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\cdot 2\overrightarrow{MI}=0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MI}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{MI}\). \((*)\)
Biểu thức \((* )\) chứng tỏ \(MA\perp MI\) hay \(M\) nhìn đoạn \(AI\) dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn đường kính \(AI\).
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Dạng 1.
Dạng 2. Tính tích vô hướng
Dạng 3. Bài toán tập hợp điểm
Dạng 4.
Phần 3. Tự luận
Dạng 2. Tính tích vô hướngHàm hợp
Dạng 3. Bài toán tập hợp điểmỨng dụng thực tế