1. Công thức Niutơn - Lepnit
\begin{align*}&\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(x)\Bigg|_a^b=F(b)-F(a).\\ &\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{d}x=f(b)-f(a).\end{align*}
Chú ý:
\(\bullet\quad\) Đạo hàm của quãng đường di chuyển theo thời gian bằng tốc độ của chuyển động tại mỗi thời điểm \(\left(v(t)=s^{\prime}(t)\right)\). Do đó, nếu biết tốc độ \(v(t)\) tại mọi thời điểm \(t \in[a; b]\) thì tính được quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian từ \(a\) đến \(b\) theo công thức
\[s=s(b)-s(a)=\displaystyle\int\limits_a^b v(t) \mathrm{\,d}t.\]
\(\bullet\quad\) Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\). Khi đó \(\displaystyle\frac{1}{b-a} \displaystyle\int\limits_a^b f(x) \mathrm{\,d} x\) được gọi là giá trị trung bình của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([a; b]\).
2. Tính chất
1. \(\displaystyle\int\limits_{a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0\).
2. \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=-\displaystyle\int\limits_{b}^{a}f(x)\mathrm{d}x\).
3. \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f(x)\mathrm{d}x\).
4. \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f(x)\pm g(x)\right]\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\pm \displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x\).
5. \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}k\cdot f(x)\mathrm{d}x=k\cdot \displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\).
6. Nếu \(f(x)\geq 0,\ \forall x\in [a;b]\) thì \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\geq 0\).
7. Nếu \(f(x)\geq g(x),\ \forall x\in[a;b]\) thì \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\geq \displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x\).
8. Nếu \(m\leq f(x)\leq M,\ \forall x\in[a;b]\) thì \(m(b-a)\leq \displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\leq M(b-a)\).