\(\S3.\) TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VÉCTƠ
1. Tích của một số với một véc-tơ và các tính chất
+ Cho số \(k\) khác \(0\) và véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) khác \(\overrightarrow{0}\). Tích của số \(k\) với véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) là một véc-tơ, kí hiệu là \(k \overrightarrow{a}\).
+ Véc-tơ \(k \overrightarrow{a}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k>0\), ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k<0\) và có độ dài bằng \(|k| \cdot \left |\overrightarrow{a} \right |\).
+ Ta quy ước \(0 \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) và \(k \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\).
+ Người ta còn gọi tích một số với một véc-tơ là tích của một véc-tơ với một số.
Tính chất. Với hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bất kì, với mọi số thực \(h\) và \(k\), ta có:
\(\bullet\ \) \(k\left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )=k \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}\);
\(\bullet\ \) \((h+k) \overrightarrow{a}=h \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{a}\);
\(\bullet\ \) \(h\left (k \overrightarrow{a}\right )=(h k) \overrightarrow{a}\);
\(\bullet\ \) \(1 \cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\);
\(\bullet\ \) \(-1 \cdot \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\).
2. Điều kiện để hai véc-tơ cùng phương
Hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (\(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi có số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{a}=k \overrightarrow{b}\).
Ba điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng khi và chỉ khi có số \(k\) khác 0 để \(\overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{AC}\).
Chú ý. Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Với mọi véc-tơ \(\overrightarrow{c}\) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m ; n)\) sao cho \(\overrightarrow{c}=m \overrightarrow{a}+n \overrightarrow{b}\).
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ
Dạng 2. Sử dụng tính chất trung điểm, trọng tâm
Dạng 4. Biểu diễn véctơ qua hai véctơ không cùng phương
Dạng 1. Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ
Câu 1:
Trên đoạn thẳng \(AB\) cho trước, lấy điểm \(M\) sao cho \(AM=3MB\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.
Đáp án: \(\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MB}\)
Lời giải:
Ta có \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{MB}\) cùng hướng. Do đó \(AM=3MB\Rightarrow \overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MB}\Rightarrow \overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MB}\).
Câu 2:
Trên đường thẳng \(MN\) lấy điểm \(P\) sao cho \(\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}\). Điểm \(P\) được xác định đúng trong hình nào dưới đây?
Đáp án: Hình 3
Lời giải:
Ta có \(\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}\):
+) Do \(k=-3<0\) nên hai véctơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{MP}\) ngược hướng. Suy ra điểm \(M\) thuộc đoạn \(NP\).
+) Cũng từ đẳng thức véctơ suy ra \(MN=3MP\).
Vậy hình cần tìm là hình 3.
Dạng 2. Sử dụng tính chất trung điểm, trọng tâm
Câu 1:
Cho tam giác \(ABC\) có \(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AC\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\overrightarrow{IJ} =\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
Lời giải:
Ta có \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên
\(\overrightarrow{IJ} =\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\).
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Chọn mệnh đề đúng.
Đáp án: \(\overrightarrow{AG}=\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)
Lời giải:
Theo tính chất trọng tâm ta có:
\(AG=\displaystyle\frac{2}{3}AM\).
Mặt khác \(\overrightarrow{AG},\overrightarrow{AM}\) cùng hướng.
Vậy \(\overrightarrow{AG}=\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\).
Dạng 3. Tính độ dài véctơ
Câu 1:
Cho tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(O\), cạnh \(OA=a\). Khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án: \(\left| 7\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}\right|=5a\)
Lời giải:
+) Dựng các véc-tơ \( \overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}\) và \( \overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OB}\).
Dựng hình chữ nhật \(OCED\) suy ra \(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}\) (quy tắc hình bình hành).
Ta có
\(\left| 3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}\right|=\left| \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right|\) \(=\left| \overrightarrow{OE}\right|=OE=CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=5a\) đúng.
+) \(\left| 2\overrightarrow{OA}\right|+\left| 3\overrightarrow{OB}\right|=2\left| \overrightarrow{OA}\right|+3\left| \overrightarrow{OB}\right|\) \(=2a+3a=5a\) đúng.
+) \(\left| 11\overrightarrow{OA}\right|-\left| 6\overrightarrow{OB}\right|=11\left| \overrightarrow{OA}\right|-6\left| \overrightarrow{OB}\right|\) \(=11a-6a=5a\) đúng.
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\) đều, cạnh \(2a\), trọng tâm \(G\). Độ dài véc-tơ \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}\) là
Đáp án: \(\displaystyle\frac{4a\sqrt{3}}{3}\)
Lời giải:
Ta có
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}\)
và
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Từ đó
\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GC}\) \(=2\overrightarrow{GB}-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=2\overrightarrow{GB}.\)
Suy ra
\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}\right|=2\left|\overrightarrow{GB}\right|\) \(=2GB=2\cdot\displaystyle\frac{2a\sqrt{3}}{3}=\displaystyle\frac{4a\sqrt{3}}{3}.\)
Dạng 4. Biểu diễn véctơ qua hai véctơ không cùng phương
Câu 1:
Cho tam giác đều \(ABC\) và điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\)
Lời giải:
Từ giả thiết \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\) \(\Rightarrow B\) là trung điểm của \(IA\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}\).
Lại có
\(\begin{cases}\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{AB}.\end{cases}\)
\(\Rightarrow 2\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+3\overrightarrow{AB}\) \(=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+3\left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)=-2\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{CB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\).
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\), trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MC}\). Tìm hai số \(m\) và \(n\) sao cho \(\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}.\)
Đáp án: \(m=\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(n=\displaystyle\frac{2}{3}\)
Lời giải:
Ta có
\(\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MC}\Rightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}\right)\)
\(\Rightarrow 3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.\)
Vậy \(m=\displaystyle\frac{1}{3},n=\displaystyle\frac{2}{3}\).
Dạng 5. Bài toán tập hợp điểm
Câu 1:
Cho hai điểm \(A\), \(B\) phân biệt và cố định, với \(I\) là trung điểm của \(AB\). Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \(\left| 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|\) là
Đáp án: đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\)
Lời giải:
Chọn điểm \(E\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho
\(EB=2EA\Rightarrow 2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}\).
Chọn điểm \(F\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho
\(FA=2FB\Rightarrow 2\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{0}\).
Ta có
\(\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}\right|=\left|2\overrightarrow{MF}+2\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{FA}\right|\)
\(\Leftrightarrow \left| 3\overrightarrow{ME}+\underbrace{2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}}_{\overrightarrow{0}}\right|=\left| 3\overrightarrow{MF}+\underbrace{2\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}}_{\overrightarrow{0}}\right|\)
\(\Leftrightarrow \left| 3\overrightarrow{ME}\right|=\left| 3\overrightarrow{MF}\right|\)
\(\Leftrightarrow ME=MF.\) \((*)\)
Vì \(E\), \(F\) là hai điểm cố định nên từ đẳng thức \((*)\) suy ra tập hợp các điểm \(M\) là trung trực của đoạn thẳng \(EF\).
Do \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I\) cũng là trung điểm của \(EF\).
Vậy tập hợp các điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
Câu 2:
Cho hai điểm \(A\), \(B\) phân biệt và cố định, với \(I\) là trung điểm của \(AB\). Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|\) là
Đáp án: đường tròn tâm \(I\), đường kính \(\displaystyle\frac{AB}{2}\)
Lời giải:
Vì \(I\) là trung điểm của \(AB\) suy ra
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\).
Do đó
\(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|\Leftrightarrow \left| 2\overrightarrow{MI}\right|\)
\(=\left| \overrightarrow{BA}\right| \Leftrightarrow MI=\displaystyle\frac{AB}{2}\). \((*)\)
Vậy tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \((*)\) là đường tròn tâm \(I\), bán kính
\(R=\displaystyle\frac{AB}{2}\).