\(\S3.\) TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VÉCTƠ
1. Tích của một số với một véc-tơ và các tính chất
+ Cho số \(k\) khác \(0\) và véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) khác \(\overrightarrow{0}\). Tích của số \(k\) với véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) là một véc-tơ, kí hiệu là \(k \overrightarrow{a}\).
+ Véc-tơ \(k \overrightarrow{a}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k>0\), ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k<0\) và có độ dài bằng \(|k| \cdot \left |\overrightarrow{a} \right |\).
+ Ta quy ước \(0 \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) và \(k \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\).
+ Người ta còn gọi tích một số với một véc-tơ là tích của một véc-tơ với một số.
Tính chất. Với hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bất kì, với mọi số thực \(h\) và \(k\), ta có:
\(\bullet\ \) \(k\left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )=k \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}\);
\(\bullet\ \) \((h+k) \overrightarrow{a}=h \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{a}\);
\(\bullet\ \) \(h\left (k \overrightarrow{a}\right )=(h k) \overrightarrow{a}\);
\(\bullet\ \) \(1 \cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\);
\(\bullet\ \) \(-1 \cdot \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\).
2. Điều kiện để hai véc-tơ cùng phương
Hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (\(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi có số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{a}=k \overrightarrow{b}\).
Ba điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng khi và chỉ khi có số \(k\) khác 0 để \(\overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{AC}\).
Chú ý. Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Với mọi véc-tơ \(\overrightarrow{c}\) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m ; n)\) sao cho \(\overrightarrow{c}=m \overrightarrow{a}+n \overrightarrow{b}\).
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ
Dạng 2. Sử dụng tính chất trung điểm, trọng tâm
Dạng 4. Biểu diễn véctơ qua hai véctơ không cùng phương
Dạng 1. Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ
Câu 1:
Cho tam giác \(ABC\). Điểm \(I\) thỏa \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\). Chọn mệnh đề đúng.
Đáp án: \(\overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\)
Lời giải:
\(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\Leftrightarrow B\) là trung điểm của \(AI\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{CI}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\).
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\), gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB=2MC\). Khi đó, ta có
Đáp án: \(\overrightarrow{AM}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)
Lời giải:
\(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB=2MC\) thì
\(\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MC}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=-2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}\right)\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.\)
Dạng 2. Sử dụng tính chất trung điểm, trọng tâm
Câu 1:
Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \( CD\). Khi đó \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\) bằng
Đáp án: \( 2\overrightarrow{MN}\)
Lời giải:
Ta có
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}.\)
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}.\)
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta được
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}=2\overrightarrow{MN}.\)
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\), gọi \(M\), \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\overrightarrow{MN}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
Lời giải:
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, ta suy ra
\(\overrightarrow{MN}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.\)
Dạng 3. Tính độ dài véctơ
Câu 1:
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Tính \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|\).
Đáp án: \(2a\sqrt{2}\)
Lời giải:
Ta có
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|\) \(=2\left|\overrightarrow{AC}\right|=2AC =2a\sqrt{2}\).
Vậy
\(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|=2a\sqrt{2}.\)
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\) đều, cạnh \(2a\), trọng tâm \(G\). Độ dài véc-tơ \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}\) là
Đáp án: \(\displaystyle\frac{4a\sqrt{3}}{3}\)
Lời giải:
Ta có
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}\)
và
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Từ đó
\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GC}\) \(=2\overrightarrow{GB}-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=2\overrightarrow{GB}.\)
Suy ra
\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}\right|=2\left|\overrightarrow{GB}\right|\) \(=2GB=2\cdot\displaystyle\frac{2a\sqrt{3}}{3}=\displaystyle\frac{4a\sqrt{3}}{3}.\)
Dạng 4. Biểu diễn véctơ qua hai véctơ không cùng phương
Câu 1:
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\overrightarrow{DM}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}\)
Lời giải:
Xét các đáp án ta thấy bài toán yêu cần phân tích véc-tơ \(\overrightarrow{DM}\) theo hai véc-tơ \(\overrightarrow{DC}\) và \(\overrightarrow{BC}\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên
\(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\).
Và \(M\) là trung điểm \(AB\) nên
\(2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}\).
Suy ra
\(\overrightarrow{DM}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}\).
Câu 2:
Cho tam giác đều \(ABC\) và điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\)
Lời giải:
Từ giả thiết \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\) \(\Rightarrow B\) là trung điểm của \(IA\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}\).
Lại có
\(\begin{cases}\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{AB}.\end{cases}\)
\(\Rightarrow 2\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+3\overrightarrow{AB}\) \(=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+3\left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)=-2\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{CB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\).
Dạng 5. Bài toán tập hợp điểm
Câu 1:
Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: \(M\) là trung điểm của \(BC\)
Lời giải:
Xét tam giác \(ABC\), ta có
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}\)
\(\Leftrightarrow M\) là trung điểm của \(BC\).
Câu 2:
Cho tam giác \( ABC \), trọng tâm \( G \), gọi \( I \) là trung điểm \( BC \), \( M \) là điểm thỏa mãn \( 2|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| \). Khi đó, tập hợp điểm \( M \) thỏa là
Đáp án: Đường trung trực của \( IG \)
Lời giải:
Ta có
\(2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right| \Leftrightarrow 2\left|3\overrightarrow{MG}\right|\) \(=3\left|\overrightarrow{MI}\right| \Leftrightarrow MG=MI\).
Vậy \( G \) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \( IG \).