\(\S3.\) TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VÉCTƠ

1. Tích của một số với một véc-tơ và các tính chất

+ Cho số \(k\) khác \(0\) và véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) khác \(\overrightarrow{0}\). Tích của số \(k\) với véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) là một véc-tơ, kí hiệu là \(k \overrightarrow{a}\).

+ Véc-tơ \(k \overrightarrow{a}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k>0\), ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k<0\) và có độ dài bằng \(|k| \cdot \left |\overrightarrow{a} \right |\).

+ Ta quy ước \(0 \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) và \(k \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\).

+ Người ta còn gọi tích một số với một véc-tơ là tích của một véc-tơ với một số.

Tính chất. Với hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bất kì, với mọi số thực \(h\) và \(k\), ta có:

\(\bullet\ \) \(k\left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )=k \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}\);

\(\bullet\ \) \((h+k) \overrightarrow{a}=h \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{a}\);

\(\bullet\ \) \(h\left (k \overrightarrow{a}\right )=(h k) \overrightarrow{a}\);

\(\bullet\ \) \(1 \cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\);

\(\bullet\ \) \(-1 \cdot \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\).

2. Điều kiện để hai véc-tơ cùng phương

Hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (\(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi có số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{a}=k \overrightarrow{b}\).

Ba điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng khi và chỉ khi có số \(k\) khác 0 để \(\overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{AC}\).

Chú ý. Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Với mọi véc-tơ \(\overrightarrow{c}\) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m ; n)\) sao cho \(\overrightarrow{c}=m \overrightarrow{a}+n \overrightarrow{b}\).

Phần 1
Phần 2
Phần 3

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1. Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ

Dạng 2. Sử dụng tính chất trung điểm, trọng tâm

Dạng 3. Tính độ dài véctơ

Dạng 4. Biểu diễn véctơ qua hai véctơ không cùng phương

Dạng 5. Bài toán tập hợp điểm

Dạng 1. Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ

Câu 1:

Cho tam giác \(ABC\), điểm \(I\) thoả \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\). Chọn mệnh đề đúng.

\(\overrightarrow{CI}=-\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}-\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{CI}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}-\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{CI}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}\)

Đáp án: \(\overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\)

Lời giải:

Ta có

\(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB} \Leftrightarrow \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CI}\) \(=2\overrightarrow{CB}-2\overrightarrow{CI}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{CI}=2\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\).

Câu 2:

Cho tam giác \(ABC\), \( E\) là điểm trên đoạn \(BC\) sao cho \(BE=\displaystyle\frac{1}{4}BC\). Tìm khẳng định đúng?

\(\overrightarrow{AE}=\displaystyle\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AE}=\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AE}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\displaystyle\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\)

Đáp án: \(\overrightarrow{AE}=\displaystyle\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)

Lời giải:

Vì \(E\) nằm trên đoạn thẳng \(BC\) nên hai véc-tơ \(\overrightarrow{BE}\), \(\overrightarrow{BC}\) cùng hướng.

Do đó, từ \(BE=\displaystyle\frac{1}{4}BC\) ta có

\(\overrightarrow{BE}=\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AE}=\displaystyle\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}.\)

Dạng 2. Sử dụng tính chất trung điểm, trọng tâm

Câu 1:

Cho \( G \) là trọng tâm tam giác \( ABC \) và \( I \) là trung điểm cạnh \( BC \). Hãy chọn đẳng thức đúng.

\( \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI} \)
\( \overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GI} \)
\( \overrightarrow{IG}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{AI} \)
\( \overrightarrow{GA}=\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{AI} \)

Đáp án: \( \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI} \)

Lời giải:

Vì \( I \) là trung điểm cạnh \( BC \) nên

\( \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI} \).

Câu 2:

Cho hình bình hành \(MNPQ\) có \(G\) là trọng tâm tam giác \(MPQ\). Đẳng thức nào sau đây sai?

\(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NQ}\)
\(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=\displaystyle\frac{3}{2}\overrightarrow{NG}\)
\(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP} +\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{0}\)
\(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{NQ}=3\overrightarrow{NG}\)

Đáp án: \(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP} +\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{0}\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{NQ}=3\overrightarrow{NG}\) (tính chất trọng tâm);

và

\(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP} =\overrightarrow{NQ}=\displaystyle\frac{3}{2}\overrightarrow{NG}\).

Dạng 3. Tính độ dài véctơ

Câu 1:

Cho tam giác \(ABC\) đều, cạnh bằng \(a\), có \(I\), \(J\), \(K\) lần lượt là trung điểm \(BC\), \(CA\) và \(AB\). Tính giá trị của \(\left|\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}\right|\).

\(\displaystyle\frac{3a\sqrt{3}}{2}\)
\(3a\)
\(\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(0\)

Đáp án: \(0\)

Lời giải:

Ta có

\(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\) \(+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(= \displaystyle\frac{1}{2}\left[\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\right)+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\right]\) \(=\overrightarrow{0}.\)

Do đó

\(\left|\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}\right|=0\).

Câu 2:

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Tính \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|\).

\(3a\)
\(2a+a\sqrt{2}\)
\(3a\sqrt{2}\)
\(2a\sqrt{2}\)

Đáp án: \(2a\sqrt{2}\)

Lời giải:

Ta có

\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|\) \(=2\left|\overrightarrow{AC}\right|=2AC =2a\sqrt{2}\).

Vậy

\(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|=2a\sqrt{2}.\)

Dạng 4. Biểu diễn véctơ qua hai véctơ không cùng phương

Câu 1:

Cho tam giác đều \(ABC\) và điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

\(\overrightarrow{CI}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}}{3}\)
\(\overrightarrow{CI}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}}{-3}\)
\(\overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{CI}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}}{3}\)

Đáp án: \(\overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\)

Lời giải:

Từ giả thiết \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\) \(\Rightarrow B\) là trung điểm của \(IA\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}\).

Lại có

\(\begin{cases}\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{AB}.\end{cases}\)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+3\overrightarrow{AB}\) \(=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+3\left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)=-2\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{CB}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\).

Câu 2:

Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(I\) là điểm thỏa điều kiên \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\). Biểu thị vec-tơ \(\overrightarrow{AI}\) theo hai véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) là

\(\overrightarrow{AI}=-\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AI}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AI}=-\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AI}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

Đáp án: \(\overrightarrow{AI}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

Lời giải:

Từ \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\) ta suy ra

\(\overrightarrow{IA}+2\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\right) +3\left( \overrightarrow{IA}+ \overrightarrow{AC}\right) =\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow 6\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\)

Dạng 5. Bài toán tập hợp điểm

Câu 1:

Cho tam giác \(ABC\), tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|.\)

Tập hợp các điểm \(M\) là một đường tròn
Tập hợp các điểm \(M\) là tập rỗng
Tập hợp các điểm \(M\) là một đường thẳng
Tập hợp các điểm \(M\) chỉ là một điểm trùng với \(A\)

Đáp án: Tập hợp các điểm \(M\) là một đường tròn

Lời giải:

Gọi \(I\) là điểm thỏa \(\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\), ta có

\(\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)-2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)\right|\)

\(=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\right|\)

\(\Leftrightarrow2MI=\left|2\overrightarrow{JA}\right|\text{ (với }J\text{ là trung điểm của }BC\text{)}\)

\(\Leftrightarrow MI=JA\) (hằng số)

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \(JA\).

Câu 2:

Cho tam giác \( ABC \), trọng tâm \( G \), gọi \( I \) là trung điểm \( BC \), \( M \) là điểm thỏa mãn \( 2|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| \). Khi đó, tập hợp điểm \( M \) thỏa là

Đường tròn tâm \( I \), bán kính \( BC \)
Đường trung trực của \( BC \)
Đường trung trực của \( IG \)
Đường tròn tâm \( G \), bán kính \( BC \)

Đáp án: Đường trung trực của \( IG \)

Lời giải:

Ta có

\(2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right| \Leftrightarrow 2\left|3\overrightarrow{MG}\right|\) \(=3\left|\overrightarrow{MI}\right| \Leftrightarrow MG=MI\).

Vậy \( G \) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \( IG \).

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Phần 3. Tự luận

Dạng 1. Biết biểu thức

Dạng 2. Hàm hợp

Dạng 3. Ứng dụng thực tế