\(\S1.\) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Tích vô hướng và tích có hướng của hai véctơ
Cho hai véctơ \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\), \(\overrightarrow{v}=(x;y;z)\). Khi đó
\[\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=ax+by+cz.\]
Chú ý:<\strong>
\(\bullet\quad\) \(\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
\(\bullet\quad\) \(\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|}=\dfrac{ax+by+cz}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.\)
\(\bullet\quad\) \(\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}\Leftrightarrow\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow ax+by+cz=0\).
\[\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\left(\begin{vmatrix}b&c\\ y&z\end{vmatrix}; \begin{vmatrix}c&a\\ z&x\end{vmatrix}; \begin{vmatrix}a&b\\ x&y\end{vmatrix}\right).\]
Chú ý:
\(\bullet\quad\) \(\begin{cases}\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]\perp \overrightarrow{u}\\ \left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]\perp\overrightarrow{v}.\end{cases}\)
\(\bullet\quad\) \(\Big|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]\Big|=\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot\sin\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).\)
\(\bullet\quad\) \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) cùng phương \(\Leftrightarrow\) \(\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\overrightarrow{0}\).
\(\bullet\quad\) \(S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\sin A=\dfrac{1}{2}\Bigg|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\Bigg|\).
2. Véctơ pháp tuyến, cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng
\(\bullet\quad\) Nếu véctơ \(\overrightarrow{n}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và có giá vuông góc với \((P)\) thì \(\overrightarrow{n}\) được gọi là véctơ pháp tuyến của \((P)\).
\(\bullet\quad\) Nếu hai véctơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong \((P)\) thì \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) được gọi là cặp véctơ chỉ phương của \((P)\).
\(\bullet\quad\) Nếu \((P)\) có cặp véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) thì nó có một véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\).
Nếu \((P)\colon\begin{cases}\text{qua}\, M(x_0;y_0;z_0)\\ \text{vtpt:}\, \overrightarrow{n}=(a;b;c)\end{cases}\) thì
\[(P)\colon a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.\]
Nếu \((P)\) đi qua \(A(a;0;0),\,B(0;b;0),\,C(0;0;c)\) với \(abc \neq 0\) thì
\[(P)\colon \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\]
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng
\((P)\colon A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\) \(\Rightarrow\overrightarrow{n}_P = (A_1; B_1; C_1)\)
\((Q)\colon A_2x + B_2y + C_2y +D_2 = 0\) \(\Rightarrow\overrightarrow{n}_Q = (A_2; B_2; C_2).\)
\(\bullet\quad\) \((P) \parallel (Q) \Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{n}_P = k\overrightarrow{n}_Q\\ D_1\neq kD_2.\end{cases}\)
\(\bullet\quad\) \((P)\perp (Q)\Leftrightarrow \overrightarrow{n}_P\cdot \overrightarrow{n}_Q=0.\)
Khoảng cách từ điểm \(M(x_M;y_M;z_M)\) đến mặt phẳng \((P)\colon ax+by+cz+d=0\) được tính theo công thức:
\[\mathrm{d\,}(M,(P))=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.\]
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
4. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1.
Dạng 2.
Dạng 3.
Dạng 4.
Dạng 5.
Dạng 6.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Dạng 1.
Lỗi khi tải dữ liệu từ /tnds/t12/ch1/dst12c5b1g1.tex Dạng 2.
Lỗi khi tải dữ liệu từ /tnds/t12/ch1/dst12c5b1g2.tex Dạng 3.
Lỗi khi tải dữ liệu từ /tnds/t12/ch1/dst12c5b1g3.tex Dạng 4.
Lỗi khi tải dữ liệu từ /tnds/t12/ch1/dst12c5b1g4.tex
Phần 3. Tự luận
Dạng 1. Biết biểu thức
Lỗi khi tải dữ liệu từ /tuluan/t12/ch1/tlt12c5b1g1.tex Dạng 2. Hàm hợp
Lỗi khi tải dữ liệu từ /tuluan/t12/ch1/tlt12c5b1g2.tex Dạng 3. Ứng dụng thực tế
Lỗi khi tải dữ liệu từ /tuluan/t12/ch1/tlt12c5b1g3.tex