\(\S1.\) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Tích vô hướng và tích có hướng của hai véctơ

Cho hai véctơ \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\), \(\overrightarrow{v}=(x;y;z)\). Khi đó

Tích vô hướng của hai véctơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là một số thực, xác định bởi:

\[\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=ax+by+cz.\]

Chú ý:<\strong>

\(\bullet\quad\) \(\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).

\(\bullet\quad\) \(\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|}=\dfrac{ax+by+cz}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.\)

\(\bullet\quad\) \(\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}\Leftrightarrow\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow ax+by+cz=0\).

Tích có hướng của hai véctơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là một véctơ, xác định bởi:

\[\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\left(\begin{vmatrix}b&c\\ y&z\end{vmatrix}; \begin{vmatrix}c&a\\ z&x\end{vmatrix}; \begin{vmatrix}a&b\\ x&y\end{vmatrix}\right).\]

Chú ý:

\(\bullet\quad\) \(\begin{cases}\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]\perp \overrightarrow{u}\\ \left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]\perp\overrightarrow{v}.\end{cases}\)

\(\bullet\quad\) \(\Big|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]\Big|=\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot\sin\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).\)

\(\bullet\quad\) \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) cùng phương \(\Leftrightarrow\) \(\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\overrightarrow{0}\).

\(\bullet\quad\) \(S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\sin A=\dfrac{1}{2}\Bigg|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\Bigg|\).

2. Véctơ pháp tuyến, cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng

\(\bullet\quad\) Nếu véctơ \(\overrightarrow{n}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và có giá vuông góc với \((P)\) thì \(\overrightarrow{n}\) được gọi là véctơ pháp tuyến của \((P)\).

\(\bullet\quad\) Nếu hai véctơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong \((P)\) thì \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) được gọi là cặp véctơ chỉ phương của \((P)\).

\(\bullet\quad\) Nếu \((P)\) có cặp véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) thì nó có một véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\).

Image

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Nếu \((P)\colon\begin{cases}\text{qua}\, M(x_0;y_0;z_0)\\ \text{vtpt:}\, \overrightarrow{n}=(a;b;c)\end{cases}\) thì

\[(P)\colon a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.\]

Image

Phương trình các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\colon z=0\), \((Oyz)\colon x=0\), \((Ozx)\colon y=0\).

4. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Nếu \((P)\) đi qua \(A(a;0;0),\,B(0;b;0),\,C(0;0;c)\) với \(abc \neq 0\) thì

\[(P)\colon \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\]

Image

5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng

\((P)\colon A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\) \(\Rightarrow\overrightarrow{n}_P = (A_1; B_1; C_1)\)

\((Q)\colon A_2x + B_2y + C_2y +D_2 = 0\) \(\Rightarrow\overrightarrow{n}_Q = (A_2; B_2; C_2).\)

Image

\(\bullet\quad\) \((P) \parallel (Q) \Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{n}_P = k\overrightarrow{n}_Q\\ D_1\neq kD_2.\end{cases}\)

\(\bullet\quad\) \((P)\perp (Q)\Leftrightarrow \overrightarrow{n}_P\cdot \overrightarrow{n}_Q=0.\)

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm \(M(x_M;y_M;z_M)\) đến mặt phẳng \((P)\colon ax+by+cz+d=0\) được tính theo công thức:

\[\mathrm{d\,}(M,(P))=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.\]

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 5.

Dạng 6.

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 5.

Dạng 6.

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 1.

Lỗi khi tải dữ liệu từ /tnds/t12/ch1/dst12c5b1g1.tex

Dạng 2.

Lỗi khi tải dữ liệu từ /tnds/t12/ch1/dst12c5b1g2.tex

Dạng 3.

Lỗi khi tải dữ liệu từ /tnds/t12/ch1/dst12c5b1g3.tex

Dạng 4.

Lỗi khi tải dữ liệu từ /tnds/t12/ch1/dst12c5b1g4.tex

Phần 3. Tự luận

Dạng 1. Biết biểu thức

Dạng 2. Hàm hợp

Dạng 3. Ứng dụng thực tế

Dạng 1. Biết biểu thức

Lỗi khi tải dữ liệu từ /tuluan/t12/ch1/tlt12c5b1g1.tex

Dạng 2. Hàm hợp

Lỗi khi tải dữ liệu từ /tuluan/t12/ch1/tlt12c5b1g2.tex

Dạng 3. Ứng dụng thực tế

Lỗi khi tải dữ liệu từ /tuluan/t12/ch1/tlt12c5b1g3.tex