Vì các đường thẳng \(AA'\), \(BB'\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), nên \(\overrightarrow{AA'}\) và \(\overrightarrow{BB'}\) đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\).

Đường thẳng \(BD\) vuông góc với hai đường thẳng \(AC\) và \(AA'\), nên vuông góc với mặt phẳng \((ACCA')\). Vậy \(\overrightarrow{BD}\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ACCA')\).

Đường thẳng \(A'C'\) không vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), nên vectơ \(\overrightarrow{A'C'}\) không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Vậy các khẳng định a và b là đúng, khẳng định c là sai.

Vì \((\alpha)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\) nên \(AB\perp(\alpha)\).

Do đó \(\overrightarrow{AB}=(-4;2;-2)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((\alpha)\).

Ta có

\([\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=\left(\begin{vmatrix}-2&0\\1&-4\end{vmatrix};\begin{vmatrix}0&1\\-4&3\end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1& -2\\3 & 1\end{vmatrix}\right)=(8;4;7)\).

Ta có \(\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{u}\), suy ra \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương. Do đó \([\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}]=\overrightarrow{0}=(0;0;0)\).

Ta có

\(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}]=\left(\begin{vmatrix}-1&0\\-1&2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}0&2\\2&1\end{vmatrix};\begin{vmatrix} 2& -1\\1 & -1\end{vmatrix}\right)=(-2;-4;-1)\ne\overrightarrow{0}\).

Do đó \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) là cặp véc-tơ chỉ phương và \(\overrightarrow{n}\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((\alpha)\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-3;3;-1)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;2;2)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của \((ABC)\).

Do đó \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}]=\left(\begin{vmatrix}3&-1\\2&2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}-1&-3\\2&0\end{vmatrix};\begin{vmatrix} -3& 3\\0 & 2\end{vmatrix}\right)=(8;6;-6)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((ABC)\).

a) Mặt phẳng \((\alpha)\) nhận \(\overrightarrow{n}=(1;2;-1)\) làm một véc-tơ pháp tuyến.

b) Do \(\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{n}\) nên \(\overrightarrow{m}\) cũng là một véc-tơ pháp tuyến của \((\alpha)\).

c) Ta cần kiểm tra xem trong hai điểm \(A(1;3;2)\), \(B(1;1;4)\), điểm nào có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng \((\alpha)\).

Do \(1+2\cdot 3-2+1\ne\) và \(1+2\cdot 1-4+1=0\) nên trong hai điểm \(A\), \(B\) chỉ có tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng \((\alpha)\).

Vậy điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \((\alpha)\), điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \((\alpha)\).

a) Ta có \(-2+2=0\) nên tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng \((\alpha)\).

Vậy điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \((\alpha)\).

b) Mặt phẳng \((\alpha)\) nhận \(\overrightarrow{n}=(1;0;0)\) làm một véc-tơ pháp tuyến.

Mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình là

\(3(x-2)-4[y-(-1)]+6(z-0)=0\Leftrightarrow 3x-4y+6z-10=0.\)

Măt phẳng \((\alpha)\) vuông góc với trục \(Oz\) nên nhận véc-tơ \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình là

\(1[z-(-4)]=0\Leftrightarrow z+4=0.\)

Mặt phẳng \((ABC)\) song song với trục \(Oy\) và đường thẳng \(BC\) nên nhận \(\overrightarrow{j}=(0;1;0)\), \(\overrightarrow{BC}=(-2;2;-1)\) làm cặp véc-tơ chỉ phương.

Do đó \((ABC)\) có một véc-tơ pháp tuyến là

\(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{j},\overrightarrow{BC}]=(-1;0;2).\)

Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(A(1;-2;-1)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(-1;0;2)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(-1(x-1)+2[z-(-1)]=0\Leftrightarrow -x+2z+3=0\Leftrightarrow x-2z-3=0.\)

a) Hai véc-tơ \(\overrightarrow{AB}=(1;1;2)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;0;5)\) không cùng phương nên ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.

b) Mặt phẳng \((ABC)\) có cặp véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB}=(1;1;2)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;0;5)\) nên có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(5;-3;-1)\).

Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua \(A(2;1;-1)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(5;-3;-1)\) nên có phương trình

\(5(x-2)-3(y-1)-1(z+1)=0\Leftrightarrow 5x-3y-z-8=0.\)

Mặt phẳng \((Q)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_Q}=(1;3;1)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\), \(B\) và vuông góc với \((Q)\) nên có cặp véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=(1;2;3)\) và \(\overrightarrow{n_Q}=(1;3;1)\).

Do đó \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_Q}\right]=(-7;2;1)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A(1;2;-2)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_P}=(-7;2;1)\) nên có phương trình

\(-7x+2y+z-((-7)\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot(-2))=0\Leftrightarrow 7x-2y-z-5=0.\)

Các mặt phẳng đã cho có vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow{n_\alpha}=(3;-1,1), \overrightarrow{n_{\beta}}=(3\sqrt{2};-\sqrt{2};\sqrt{2})\).

Do \(\overrightarrow{n_p}=\sqrt{2}\cdot\overrightarrow{n_a}\) và \(1\neq\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\) nên hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) song song với nhau.

a) Các mặt phẳng đã cho có vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow{n_\alpha}=(5;2,-4), \overrightarrow{n_{\beta}}=10;4;-2)\).

Do \(\overrightarrow{n_\alpha}\) không cùng phương \(\overrightarrow{n_\beta}\) nên hai mặt phẳng đã cho cắt nhau.

b) Ta có \(\begin{cases}&5\cdot1+2\cdot(-3)+6=5\\&10\cdot1+4\cdot(-3)-2\cdot5+12=0}\) nên \(M(1;-3;5)\) không thuộc mặt phẳng \((\alpha)\) nhưng thuộc mặt phẳng \((\beta)\).

c) Mặt phẳng \((P)\) song song với \((\alpha)\) nên \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_\alpha}\).

Do đó \((P)\) có phương trình

\[5(x-1)+2(y+3)-4(z-5)=0 \Leftrightarrow 5x+2y-4z+21=0.\]

Khoảng cách tử điểm \(M(1;2;-1)\) đến mặt phẳng \((P)\colon x+2y-2z+5=0\) là

\(\mathrm{d}(M,(P))=\displaystyle\frac{|1+2 \cdot 2-2 \cdot(-1)+5|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=4.\)

}

a) Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_P}=(1;3;1),\overrightarrow{n_Q}=(1;3;1)\).

Do đó \(\overrightarrow{n_P}=1 \cdot \overrightarrow{n}_Q\). Và do \(5 \ne 1 \cdot 2\) nên hai mặt phẳng đã cho song song với nhau.

b) Gọi \(M(-2;0;0) \in (P)\).

Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) bằng

\[\mathrm{d}(M,(Q))=\displaystyle\frac{|-2+3\cdot0 +0 +5|}{\sqrt{1^2+3^2+1^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{11}}{11}.\]

Mặt phẳng \((P)\) qua \(M(1;2;-1)\) vuông góc với trục \(Ox\) nên có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) là

\[1(x-1)+0(y-2)+0(z+1)=0 \Leftrightarrow x-1=0.\]

Mặt phẳng \((Q),(R)\) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_Q}=(3;2;-1),\overrightarrow{n_R}=(1;1;-1)\).

Mặt phẳng \((P)\) qua \(M(1;-1;5)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\left [\overrightarrow{n_Q};\overrightarrow{n_R}\right ]=(-1;2;1)\) nên có phương trình là

\[-1(x-1)+2(y+1)+1(z-5)=0 \Leftrightarrow -x+2y+z-2=0.\]

\(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\). Mặt phẳng \((Q)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_Q}=(1;2;-3)\).

Mặt phẳng cần tìm qua \(M(2;3;-1)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{i};\overrightarrow{n_Q}\right]=(0;3;2)\) nên có phương trình là

\[0(x-2)+3(y-3) +2(z+1)=0 \Leftrightarrow 3y+2z-7=0.\]

a) \(\mathrm{d}\left(A,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|1-2\cdot(-1)+2\cdot2-1\right|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=2\).

b) Mặt phẳng \((P)\) nhận vectơ có toạ độ \((1;-2;2)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Vì mặt phẳng \((Q)\) song song mặt phẳng \((P)\) nên phương trình mặt phẳng \((Q)\) có dạng \(x-2y+2z+D=0\) (trong đó \(D\ne-1\)).

Mà \((Q)\) đi qua \(A\) nên ta có \(1-2\cdot(-1)+2\cdot2+D=0\Leftrightarrow D=-7\) (thoả \(D\ne-1\)).

Phương trình mặt phẳng \((Q)\) là

\(x-2y+2z-7=0.\)

c) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-2;2;-2)\) và mặt phẳng \((P)\) nhận vectơ \(\overrightarrow{n}_P=(1;-2;2)\) làm một vectơ pháp tuyến, \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}_P\right]=(4;2;2)\).

Mặt phẳng \((R)\) chứa \(A\), \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) nên nhận vectơ có toạ độ \((4;2;2)\) là một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng \((R)\) là

\(4(x-1)+2(y+1)+2(z-2)=0\Leftrightarrow 4x+2y+2z-6=0.\)

Vì mặt phẳng \((R)\) đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) nên nhận hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(1;-1;-1)\) và \(\overrightarrow{v}=(2;1;-1)\) làm hai vectơ chỉ phương.

Khi đó, mặt phẳng \((Q)\) nhận vectơ \(\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=(2;-1;3)\) làm một vectơ pháp tuyến, đồng thời đi qua điểm \(A(-1;2;0)\) nên phương trình mặt phẳng là

\(2(x+1)-(y-2)+3z=0\Leftrightarrow 2x-y+3z+4=0.\)

+) Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua ba điểm \(A(4 ; 0 ; 0)\), \(B(0 ; -5 ; 0)\), \(C(0 ; 0 ; 6)\) có phương trình là

\(\displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{y}{-5}+\displaystyle\frac{z}{6}=1.\)

+) Ta có \(\overrightarrow{BC}=(0 ; 5 ; 6)\), \(\overrightarrow{BD}=(-5 ; 8 ; 4)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((BCD)\) nên một véc-tơ pháp tuyến của \((BCD)\) là \(\left[\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD}\right]=(-28 ; -30 ; 25)\).

Vậy mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B(0 ; -5 ; 0)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(-28 ; -30 ; 25)\) nên có phương trình là

\begin{eqnarray*}-28x-30(y+5)+25z=0 \qquad \text{hay } -28x-30y+25 z-150=0.\end{eqnarray*}

+) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-4 ; -5 ; 0)\), \(\overrightarrow{AD}=(-9 ; 3 ; 4)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABD)\) nên một véc-tơ pháp tuyến của \((ABD)\) là \(\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\right]=(-20 ; 16 ; -57)\).

Vậy mặt phẳng \((ABD)\) đi qua \(A(4 ; 0 ; 0)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(-20 ; 16 ; -57)\) nên có phương trình là

\(-20(x-4)+16y-57z=0\) hay \(-20x+16y-57 z+80=0\).

+) Ta có \(\overrightarrow{AC}=(-4 ; 0 ; 6)\), \(\overrightarrow{AD}=(-9 ; 3 ; 4)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((ACD)\) nên một véc-tơ pháp tuyến của \((ACD)\) là \(\left[\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right]=(-18 ; -38 ; -12)\).

Vậy mặt phẳng \((ACD)\) đi qua \(A(4 ; 0 ; 0)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(9 ; 19 ; 6)\) nên có phương trình là

\(9(x-4)+19y+6z=0\) hay \(9x+19y+6z-36=0.\)

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-4 ; 5 ;-1)\), \(\overrightarrow{CD}=(-1 ; 0 ; 2)\) nên \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}\) không cùng phương.

Mà giá của \(\overrightarrow{AB}\) nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\) và giá của \(\overrightarrow{CD}\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\) nên \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) là một cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((\alpha)\).

Vậy một véc-tơ pháp tuyến của \((\alpha)\) là

\(\begin{aligned}\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}\right]&=\left(\left|\begin{array}{cc}5 & -1 \\0 & 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& -4\\2 & -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-4& 5 \\-1& 0\end{array}\right|\right)\\ &=\left(5\cdot 2-0 \cdot(-1);(-1)\cdot(-1)-2\cdot(-4);(-4)\cdot0-5\cdot(-1)\right)\\&=(10 ; 9 ; 5).\end{aligned}\)

a) Một véc-tơ pháp tuyến của \((\alpha)\) là \(\overrightarrow{n}=(2 ; 3 ;-1)\).

b) Thay lần lượt toạ độ của các điểm \(A\) và \(B\) vào vế trái của phương trình \((\alpha)\), ta có

\(2\cdot 1+3\cdot 3-2+2=11 \neq 0\), nên toạ độ điểm \(A\) không thoả mãn phương trình của \((\alpha)\).

Vậy \(A\) không thuộc \((\alpha)\).

\(2\cdot 4+3\cdot(-1)-7+2=0\), nên toạ độ điểm \(B\) thoả mãn phương trình của \((\alpha)\).

Vậy \(B\) thuộc \((\alpha)\).

a) Véc-tơ \(\overrightarrow{n}=(1 ; -5 ; 0)\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\).

b) Véc-tơ \(\overrightarrow{n'}=(0 ; 2 ; 0)\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta)\).

\((\alpha)\) đi qua \(M_{0}(1 ; -2 ; 3)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(-2 ; 1 ; 4)\) nên có phương trình là

\begin{eqnarray*}-2(x-1)+(y+2)+4(z-3)=0 \qquad \text{hay } -2x+y+4z-8=0.\end{eqnarray*}

Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua điểm \(P\) và nhận \(\overrightarrow{MN}=(3; 2 ; 1)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\begin{eqnarray*}3(x-5)+2(y-2)+(z-1)=0 \qquad \text{hay } 3x+2y+z-20=0.\end{eqnarray*}

\((\alpha)\) có cặp véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=(0 ; 2 ; 1)\), \(\overrightarrow{b}=(-1 ; 4 ; 0)\) nên \((\alpha)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right]=(-4 ; -1 ; 2)\).

Vậy \((\alpha)\) đi qua \(N(3 ; 1 ; -2)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(-4 ; -1 ; 2)\) nên có phương trình là

\begin{eqnarray*}-4(x-3)-(y-1)+2(z+2)=0 \qquad \text{hay } -4x-y+2z+17=0.\end{eqnarray*}

Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng cần tìm.

Ta thấy hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{c}\) cùng phương và \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương nên \((\alpha)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right]=(-4 ;10 ; 8)\).

Vậy \((\alpha)\) đi qua \(A(4 ; 1 ; 0)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(-4 ; 10 ; 8)\) nên có phương trình là

\begin{eqnarray*}-4(x-4)+10(y-1)+8z=0 \qquad \text{hay } -2x+5y+4z+3=0.\end{eqnarray*}

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2 ; 1 ;-2)\), \(\overrightarrow{AC}=(-12 ; 6 ; 0)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của \((\alpha)\) nên một véc-tơ pháp tuyến của \((\alpha)\) là \(\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right]=(12 ; 24 ; 24)\).

Vậy \((\alpha)\) qua \(A(2 ; -1 ; 3)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(12 ; 24 ; 24)\) nên có phương trình là

\begin{eqnarray*}12(x-2)+24(y+1)+24(z-3)=0 \qquad \text{hay } x+2y+2 z-6=0.\end{eqnarray*}

b) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-a ; b ; 0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-a ; 0 ; c)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của \((\alpha)\) nên một véc-tơ pháp tuyến của \((\alpha)\) là \(\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right]=(b c ; c a ; a b)\).

Vậy \((\alpha)\) đi qua \(A(a ; 0 ; 0)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(b c ; c a ; a b)\) nên có phương trình là

\(b c\cdot(x-a)+c a\cdot(y-0)+a b\cdot(z-0)=0 \Leftrightarrow b c x+c a y+a b z-a b c=0.\)

\(\text{Hay } b c x+c a y+a b z=a b c \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{y}{b}+\displaystyle\frac{z}{c}=1.\)

a) Xét \((\alpha)\colon 2x-3y+z+5=0\) và \(\left(\alpha'\right)\colon -4x+6y-2z+7=0\).

Ta có \(\displaystyle\frac{2}{-4}=\displaystyle\frac{-3}{6}=\displaystyle\frac{1}{-2} \neq \displaystyle\frac{5}{7}\) nên \((\alpha) \parallel \left(\alpha'\right)\).

b) Mặt phẳng \((\alpha)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(2 ;-3 ; 1)\).

Vì \((\beta) \parallel (\alpha)\) nên \((\beta)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(2 ;-3 ; 1)\).

Vậy mặt phẳng \((\beta)\) đi qua điểm \(M(1 ;-2 ; 3)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(2 ;-3 ; 1)\) nên có phương trình là

\begin{eqnarray*}2(x-1)-3(y+2)+(z-3)=0 \qquad \text{hay } 2x-3y+z-11=0.\end{eqnarray*}

Ba mặt phẳng \(\left(\alpha_{1}\right)\), \(\left(\alpha_{2}\right)\) và \(\left(\alpha_{3}\right)\) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{1}=(3 ; -2 ; -1)\), \(\overrightarrow{n}_{2}=(2 ; 4 ; -2)\) và \(\overrightarrow{n_{3}}=(1 ; 2 ; -1)\).

Ta có

\(\overrightarrow{n}_{1} \cdot \overrightarrow{n}_{2}=3 \cdot 2+(-2) \cdot 4+(-1) \cdot(-2)=0\) nên \(\left(\alpha_{1}\right) \perp\left(\alpha_{2}\right)\);

\(\overrightarrow{n}_{1} \cdot \overrightarrow{n_{3}}=3 \cdot 1+(-2) \cdot 2+(-1) \cdot(-1)=0\) nên \(\left(\alpha_{1}\right) \perp\left(\alpha_{3}\right)\);

\(\overrightarrow{n}_{2} \cdot \overrightarrow{n_{3}}=2 \cdot 1+4 \cdot 2+(-2) \cdot(-1)=12 \neq 0\) nên \(\left(\alpha_{2}\right)\), \(\left(\alpha_{3}\right)\) không vuông góc với nhau.

Ta có

\(\overrightarrow{SA}=(0 ; 0 ; -4)\), \(\overrightarrow{AB}=(3 ; 3 ; 0)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left(SAB\right)\) nên một véc-tơ pháp tuyến của \(\left(SAB\right)\) là \(\overrightarrow{n}_{1}=\left[\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{AB}\right]=(12; -12 ; 0)\).

\(\overrightarrow{AB}=(3 ; 3 ; 0)\), \(\overrightarrow{AC}=(6 ; 0 ; 0)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) nên một véc-tơ pháp tuyến của \(\left(ABC\right)\) là \(\overrightarrow{n}_{2}=\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right]=(0; 0 ; -18)\).

\(\overrightarrow{SB}=(3 ; 3 ; -4)\), \(\overrightarrow{BC}=(3 ; -3 ; 0)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) nên một véc-tơ pháp tuyến của \(\left(SBC\right)\) là \(\overrightarrow{n_{3}}=\left[\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{BC}\right]=(-12; -12 ; -18)\).

Ta có

\(\overrightarrow{n}_{1} \cdot \overrightarrow{n}_{2}=12 \cdot 0+(-12) \cdot 0+ 0 \cdot 18=0\) nên \(\left(SAB\right) \perp\left(ABC\right)\).

\(\overrightarrow{n}_{1} \cdot \overrightarrow{n_{3}}=12 \cdot (-12)+(-12) \cdot (-12)+ 0 \cdot (-18)=0\) nên \(\left(SAB\right) \perp\left(SBC\right)\).

Gọi \(\overrightarrow{n}_{\beta}=(2 ; -1 ; 3)\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta)\).

\((\alpha)\) vuông góc với \((\beta)\) nên \(\overrightarrow{n}_{\beta}=(2 ; -1 ; 3)\) có giá song song hoặc nằm trong \((\alpha)\).

\((\alpha)\) đi qua \(A\) và \(B\) nên \(\overrightarrow{AB}=(-1 ; -2 ; 5)\) có giá nằm trong \((\alpha)\).

Hơn nữa \(\overrightarrow{A B}=(-1 ; -2 ; 5)\) và \(\overrightarrow{n}_{\beta}=(2 ; -1 ; 3)\) không cùng phương nên chúng là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((\alpha)\).

Do đó mặt phẳng \((\alpha)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{\alpha}=\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{n}_{\beta}\right]=(-1 ; 13 ; 5)\).

Vậy phương trình của \((\alpha)\) là

\begin{eqnarray*}-(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0 \qquad \text{hay } x-13y-5z+5=0.\end{eqnarray*}

Gọi \(\overrightarrow{n}_{P}=(2 ; -1 ; 3)\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left(P\right)\) và \(\overrightarrow{n}_{Q}=(1 ; 2 ; -2)\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left(Q\right)\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left(P\right)\) và \(\left(Q\right)\) nên \(\overrightarrow{n}_{P}\), \(\overrightarrow{n}_{Q}\) là cặp véc-tơ chỉ phương của \((\alpha)\).

Do đó mặt phẳng \((\alpha)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{\alpha}=\left[\overrightarrow{n}_{P}, \overrightarrow{n}_{Q}\right]=(-4 ; 7 ; 5)\).

Vậy phương trình của \((\alpha)\) là

\begin{eqnarray*}-4(x-3)+7(y-1)+5(z+1)=0 \qquad \text{hay } -4x+7y+5z+10=0.\end{eqnarray*}

a) \(\mathrm{d}(O,(\alpha))=\displaystyle\frac{|2\cdot0+3\cdot0-6\cdot0-7|}{\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}}=\displaystyle\frac{7}{7}=1 ;\) \\\(\mathrm{d}(M,(\alpha))=\displaystyle\frac{|2\cdot1+3\cdot(-2)-6\cdot3-7|}{\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}}=\displaystyle\frac{29}{7}\).

b) Ta có \(\displaystyle\frac{2}{2}=\displaystyle\frac{3}{3}=\displaystyle\frac{-6}{-6}\ne \displaystyle\frac{-7}{14}\) nên \((\alpha)\parallel (\beta)\). Lấy điểm \(N(-7;0;0)\in(\beta)\).

Vây \(\mathrm{d}((\alpha),(\beta))=\mathrm{d}(N,(\alpha)) \displaystyle\frac{|2\cdot(-7)+3\cdot0-6\cdot0-7|}{\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}}=\displaystyle\frac{21}{7}=3\).

a) \(\mathrm{d}(A,(\alpha))=\displaystyle\frac{|2\cdot(-2)-2\cdot(-3)+1\cdot(-5)-5|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}} =\displaystyle\frac{8}{3}\);

b) Lấy \(A(0;4;0)\in (\alpha)\).

Vì \((\alpha) \parallel (\beta)\) nên \(\mathrm{d}((\alpha),(\beta))=\mathrm{d}(A,(\beta))=\displaystyle\frac{|4+5|}{1} =9\).

}

Mặt phẳng \((Oxy)\) qua \(O(0;0;0)\) và nhận \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là \(z=0\).

Mặt phẳng \((Oxz)\) qua \(O(0;0;0)\) và nhận \(\overrightarrow{j}=(0;1;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là \(y=0\).

Mặt phẳng \((Oyz)\) qua \(O(0;0;0)\) và nhận \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là \(x=0\).

a) Đi qua \(M(1;-2;4)\) và nhận \(\overrightarrow{n} =(2;3;5)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

\(2(x-1)+3(y+2)+5(z-4)=0\Leftrightarrow 2x+3y+5z-16=0 .\)

b) Đi qua \(A(0;-1;2)\) và song song với giá của mỗi véc-tơ \(\overrightarrow{u}=(3;2;1)\) và \(\overrightarrow{v}=(-3;0;1)\) nên có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=(2;-6;6)\) có phương trình là

\(2(x-0)-6(y+1)+6(z-2)=0\Leftrightarrow x-3y+3z-18=0 .\)

c) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(3;-6;0) ,\overrightarrow{AC}=(5;3;3)\), nên véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là

\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(-18;-9;39) .\)

Mà \((ABC)\) đi qua \(A\) nên có phương trình là

\(-18(x+1)-9(y-2)+39(z-3)=0\Leftrightarrow -18x-9y+39z-117=0 .\)

d) Đi qua ba điểm \(A(-3;0;0),B(0;-2;0)\) và \(C(0;0;-1)\) có phương trình là

\(\displaystyle\frac{x}{-3}+\displaystyle\frac{y}{-2}+\displaystyle\frac{z}{-1}=1\Leftrightarrow 2x+3y+6z+6=0 .\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\Rightarrow I(3;1;-2)\).

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow{AB}=(2;-4;4)\) là véc-tơ pháp tuyến có phương trình

\(2(x-3)-4(y-1)+4(z+2)=0\Leftrightarrow x-2y+2z+3=0 .\)

}

a) Mặt phẳng \((P)\) chứa trục \(Ox\) và điểm \(M(-4;1;2)\) nên có véc-tơ pháp tuyến \\\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}\right]=(0;-2;1)\), phương trình của \((P)\) là \(-2y+z=0\).

b) Mặt phẳng \((Q)\) chứa trục \(Oy\) và điểm \(N(0;4;-3)\) nên có véc-tơ pháp tuyến \\\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{j},\overrightarrow{ON}\right]=(-3;0;0)\), phương trình của \((Q)\) là \(x=0\).

c) Mặt phẳng \((R)\) chứa trục \(Oz\) và điểm \(P(3;0;-7)\) nên có véc-tơ pháp tuyến \\\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{k},\overrightarrow{OP}\right]=(0;3;0)\), phương trình của \((R)\) là \(y=0\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) song song với mặt phẳng \((\beta)\) nên có dạng \(2x-y+3z+m=0 \,\,(m\ne 4)\).

\(M\in (\alpha)\Leftrightarrow 2\cdot1-1\cdot3+3\cdot(-2)+m=0\Leftrightarrow m=7\) (nhận).

Vậy \((\alpha)\colon 2x-y+3z+7=0\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(4;2;2)\) và véc-tơ pháp tuyến của \((\beta)\) là \(\overrightarrow{n_{\beta}}=(2;-1;1)\).

Véc-tơ pháp tuyến của \((\alpha)\) là \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{\beta}}\right]=(4;0;-8)\).

Mà \((\alpha)\) đi qua \(A(1;0;1)\) nên có phương trình là

\(4(x-1)+0(y-0)-8(z-1)=0\Leftrightarrow x-2z+1=0 .\)

}

a) Ta có \(\displaystyle\frac{1}{-2}=\displaystyle\frac{2}{-4}=\displaystyle\frac{-3}{6}\ne \displaystyle\frac{2}{-5}\) nên \((\alpha_1) \parallel (\alpha_2)\);

b) Véc-tơ pháp tuyến của \((\beta_1)\) là \(\overrightarrow{n}_1=(1;0;2)\), véc-tơ pháp tuyến của \((\beta_2)\) là \(\overrightarrow{n}_2=(4;-3;-2)\).

Ta có \(\overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2=4\cdot1+0\cdot(-3)+2\cdot(-2) =0\) nên \((\beta_1)\perp (\beta_2)\);

c) Ta có \(\displaystyle\frac{1}{2}\ne \displaystyle\frac{1}{3}\) nên \((\gamma_1)\) cắt \((\gamma_2)\).

Véc-tơ pháp tuyến của \((\gamma_1)\) là \(\overrightarrow{n}_1=(1;-2;1)\), véc-tơ pháp tuyến của \((\gamma_2)\) là \(\overrightarrow{n}_2=(2;-4;3)\).

Ta có \(\overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2=1\cdot2+(-2)\cdot(-4)+1\cdot3 =13\ne 0\) nên \((\gamma_1)\) không vuông góc \((\gamma_2)\).

}

Áp dụng công thức tính khoảng cách

a) \(\mathrm{d}(A,(\alpha))=\displaystyle\frac{|2\cdot4-2\cdot2+1\cdot(-3)-9|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{8}{3}\);

b) \(\mathrm{d}(A,(\beta))=\displaystyle\frac{|0\cdot4+12\cdot2-5\cdot(-3)+5|}{\sqrt{0^2+(12)^2+(-5)^2}}=\displaystyle\frac{44}{13}\);

c) \(\mathrm{d}(A,(Oxy))=\displaystyle\frac{|0\cdot4+0\cdot2+1\cdot(-3)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=3\).

a) Phương trình tham số của \(d\) là \(\begin{cases}x=2+t\\y=-2-t\\z=1+2t\end{cases} (t\in \mathbb{R}).\)

b) Điểm \(M_\circ(x_\circ ; y_\circ ; z_\circ)\) thuộc đường thẳng \(d\) khi và chỉ khi có giá trị \(t\) thoả mãn hệ

phương trình \(\begin{cases}x_\circ = 2 + t\\y_\circ = -2 - t\\z_\circ=1+2t.\end{cases}\)

Ta có:

Với \(A(3; -3; 3)\), ta xét \(\begin{cases}3 = 2 + t\\-3 = -2 - t\\3=1+2t.\end{cases}\)

Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất \(t = 1\) nên \(A\) thuộc \(d\) ứng với \(t = 1\).

Với \(B(1;-1; 1)\), ta xét \(\begin{cases}1 = 2 + t\\-1 = -2 - t\\1=1+2t.\end{cases}\)

Hệ phương trình này vô nghiệm nên \(B\) không thuộc \(d\).

a) Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow{a} = (2; -3; 4).\)

b) Với \(t = 0\), thay \(t = 0\) vào phương trình của \(d\), ta có \(\begin{cases}x =1+2\cdot 0=-1\\y=3-3\cdot 0=3\\z=5+4\cdot 0=5.\end{cases}\)

Vậy điểm \(M_1(-1; 3; 5)\) thuộc \(d\) ứng với \(t = 0.\)

Tương tự với \(t =-1\) và \(t = 2\), ta có các điểm thuộc \(d\) tương ứng là \(M_2(-3; 6; 1), M_3(3; -3; 13).\)

a) Phương trình tham số của \(d\) là \(\begin{cases}x=6+2t\\y=-2+2t\\z=3-t.\end{cases}\)

b) Vì \(M\in d\) nên \(M(6+2t;-2+2t;3-t)\). Theo giả thiết \(OM=7\) nên

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{(6+2t)^2+(-2+2t)^2+(3-t)^2}=7\\&\Leftrightarrow& 9t^2+10t=0\\&\Leftrightarrow& \hoac{&t=0\\&t=-\tfrac{10}{9}}\\\end{eqnarray*}

Với \(t=0\), ta được \(M_1(6;-2;3)\).

Với \(t=-\displaystyle\frac{10}{9}\), ta được \(M_2\left(\displaystyle\frac{34}{9};-\displaystyle\frac{38}{9};\displaystyle\frac{37}{9}\right)\)

a) Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là \(\displaystyle\frac{x - 4}{-1} =\displaystyle\frac{y - 2}{-4}=\displaystyle\frac{z + 1}{3}.\)

b) \textbf{Cách 1:} Từ phương trình tham số của \(d\), ta có \(d\) đi qua điểm \(M (2;-1; 3)\) và có một

vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a} = (-1; 2; -3).\).

Suy ra, phương trình chính tắc của \(d\) là \(\displaystyle\frac{x - 2}{-1} = \displaystyle\frac{y + 1}{2} =\displaystyle\frac{z - 3}{-3}.\)

\textbf{Cách 2:} Từ phương trình tham số của \(d\), tính \(t\) theo \(x, y, z\), ta có \(\begin{cases}t =\displaystyle\frac{x-2}{-1}\\t =\displaystyle\frac{y+1}{2}\\t=\displaystyle\frac{z-3}{-3}.\end{cases}\)

Vậy \(\displaystyle\frac{x - 2}{-1} =\displaystyle\frac{y + 1}{2} =\displaystyle\frac{z - 3}{-3}.\) Đây là phương trình chính tắc của \(d\).

a) Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow{a} = (2; 3; 6).\)

b) Một điểm thuộc \(d\) khi toạ độ của điểm đó thoả mãn phương trình chính tắc của \(d\):

\[\displaystyle\frac{x - 3}{2}=\displaystyle\frac{y + 2}{3}=\displaystyle\frac{z}{6}\quad (\ast)\]

Thay toạ độ của các điểm \(A, B\) vào phương trình chính tắc \((\ast)\). Ta có:

Điểm \(A (1; -5; -6)\) thoả mãn \((\ast)\) vì \(\displaystyle\frac{1-3}{2}=\displaystyle\frac{-5+2}{3}=\displaystyle\frac{-6}{6}\) nên \(A\) thuộc \(d\).

Điểm \(B (3; -2; 1)\) không thoả mãn \((\ast)\) vì \(\displaystyle\frac{3-3}{2}=\displaystyle\frac{-2+2}{3} \ne \displaystyle\frac{1}{6}\) nên \(B\) không thuộc \(d\).

a) Đường thẳng \(d\) qua \(N(-2; 3; 1)\), có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a} = (3; -4; 5)\) có phương trình chính tắc là

\(\displaystyle\frac{x+2}{3}=\displaystyle\frac{y-3}{-4}=\displaystyle\frac{z-1}{5}\)

b) Thế \(x_A=4\) vào phương trình trên, ta được \(\begin{cases}\displaystyle\frac{y-3}{-4}=\displaystyle\frac{4+2}{3}=2\\\displaystyle\frac{z-1}{5}=\displaystyle\frac{4+2}{3}=2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=-5\\z=11.\end{cases}\)

Vậy tọa độ \(A(4;-5;11)\).

Phương trình tham số của \(AB\) là

\[\begin{cases}x=4+(3-4)t\\y=2+(-2-2)t\\z=-1+(2-(-1))t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=4-t\\y=2-4t\\z=-1+3t\end{cases}\, (t\in \mathbb{R}).\]

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(AB\) là

\[\displaystyle\frac{x - 4}{3-4} =\displaystyle\frac{y - 2}{-2-2} =\displaystyle\frac{z - (-1)}{2-(-1)}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x - 4}{-1} =\displaystyle\frac{y - 2}{-4} =\displaystyle\frac{z+1}{3}\]

Đường thẳng \(AB\) qua \(A(2;-3;4)\) nhận \(\overrightarrow{AB}=(-6;8;-4)=-2(3;-4;2)\) làm véc-tơ chỉ phương nên phương trình tham số của \(AB\) là

\[\begin{cases}x=2+3t\\y=-3-4t\\z=4+2t\end{cases}\]

Đường thẳng \(AB\) qua \(A(2;-3;4)\) nhận \(\overrightarrow{AB}=(-6;8;-4)=-2(3;-4;2)\) làm véc-tơ chỉ phương nên phương trình chính tắc của \(AB\) là

\[\displaystyle\frac{x-2}{3}=\displaystyle\frac{y+3}{-4}=\displaystyle\frac{z-4}{2}\]

Gọi \(M(-1;1;2)\) là trung điểm của \(AB\).

Đường trung tuyến \(OM\) của tam giác \(OAB\) qua \(O\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{OM}\) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình tham số là

\[\begin{cases}x=-t\\y=t\\z=2t\end{cases}\]

Đường trung tuyến \(OM\) của tam giác \(OAB\) qua \(O\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{OM}\) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình chính tắc là

\[\displaystyle\frac{x}{-1}=\displaystyle\frac{y}{1}=\displaystyle\frac{z}{2}\]

a) \(\left(\alpha\right)\colon 3x+4y+5z-1=0\) và \(\left(\beta\right)\colon 2x+y+z-3=0\).

\(\left(\alpha\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=\left(3;4;5\right)\) và \(\left(\beta\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=\left(2;1;1\right)\).

Ta có \(\cos\left(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\right)

=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|} =\displaystyle\frac{15}{\sqrt{9+16+25}\cdot{\sqrt{4+1+1}}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\right)=30^\circ\).

b) \(\left(\alpha\right)\colon x-y+2z-1=0\) và \(\left(\beta\right)\colon x+2y-z+3=0\).

\(\left(\alpha\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=\left(1;-1;2\right)\) và \(\left(\beta\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=\left(1;2;-1\right)\).

Ta có \(\cos\left(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\displaystyle\frac{\sqrt{1}}{2}\Rightarrow \left(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\right)=60^\circ\).

c) \(\left(\alpha\right)\colon x+3y-2z-1\) và \(\left(\beta\right)\colon 4x+2y+5z-3\).

\(\left(\alpha\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=\left(1;3;-2\right)\) và \(\left(\beta\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=\left(4;2;5\right)\).

Ta có \(\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}=4+6-10=0\Rightarrow \left(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\right)=90^\circ\).

a) Phương trình của \(AB\) đi qua \(A(1;0;-3)\), nhận \(\overrightarrow{AB}=(-4;1;3)\) là véc-tơ chỉ phương là

\[AB \colon \begin{cases}x=1-4t\\y=t\\z=-3+3t.\end{cases}\]

b) Gọi đường thẳng cần tìm là \(d\).

Do \(d \parallel \Delta\) nên véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_d\) của \(d\) là véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_{\Delta}\) của \(\Delta\).

\(d\) đi qua \(M(2;3;-5)\), nhận \(\overrightarrow{u}_{\Delta}=\overrightarrow{u}_d=(2;-4;-5)\) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình \[\begin{cases}x=2+2t\\y=3-4t\\z=-5-5t\end{cases}\quad (t \in \mathbb{R}).\]

a) Do \((\beta) \parallel (\alpha)\) nên \(\overrightarrow{n}_{\beta}=\overrightarrow{n}_{\alpha}=(2;-1;2)\).

\((\beta)\) chứa điểm \(M(1;-1;2)\), có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{\beta}=(2;-1;2)\)

\[(\beta) \colon 2(x-1)-1(y+1)+2(z-2)=0 \Leftrightarrow 2x-y+2z-7=0.\]

b) Khoảng cách từ \(M\) đến \((\alpha)\) là \(\mathrm{d}(M,(\alpha))=\displaystyle\frac{\left|2\cdot 1-(-1)+2\cdot 2+11 \right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=6\).

Ta có tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) là

\([\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(2\cdot 5-3\cdot 1;3\cdot 4-1\cdot 5;1\cdot 1-2\cdot 4)=(7;7;-7).\)

Do đó, mặt phẳng \((P)\) nhận \(\overrightarrow{n}=\displaystyle\frac{1}{7}\left[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right]=(1 ; 1 ;-1)\) làm một vectơ pháp tuyến.

a) Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(3 ;-5 ; 7)\).

Mặt phẳng \((Q)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n'}=(1 ; 1 ; 0)\).

b) Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình của \((P)\), ta được

\(3 \cdot 1-5 \cdot 3+7 \cdot 1+5=0\).

Vậy \(A\) thuộc \((P)\).

Thay tọa độ điểm \(B\) vào phương trình của \((P)\), ta được \(3 \cdot 1-5 \cdot 2+7 \cdot 3+5=19\neq 0\).

Vậy \(B\) không thuộc \((P)\).

Vì \((P)\) đi qua điểm \(M(1 ; 2 ; 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1 ; 2 ; 1)\) nên phương trình của \((P)\) là

\(1(x-1)+2(y-2)+1(z-3)=0 \Leftrightarrow x+2 y+z-8=0.\)

(P) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=(1 ; 2 ; 1), \overrightarrow{b}=(2 ; 1 ; 3)\), suy ra \((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]=(2.3-1.1 ; 1.2-1.3 ; 1.1-2.2)=(5 ;-1 ;-3)\).

Phương trình của \((P)\) là

\(5(x-4)-1(y-0)-3(z-1)=0 \Leftrightarrow 5 x-y-3 z-17=0 .\)

\((P)\) đi qua ba điểm \(A(1; 1; 1), B(1; 2; 2), C(4; 1; 0)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB} = (0; 1; 1)\), \(\overrightarrow{AC} = (3; 0; -1)\),suy ra \((P)\) có vector pháp tuyến là\

\centerline\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right] = (1\cdot(-1) - 1\cdot0; 1\cdot3- 0\cdot(-1);0\cdot0 - 1\cdot3) = (-1; 3; -3)\).}

Phương trình của \((P)\) là

\((-1)(x-1) + 3(y-1) - 3(z-1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z - 1 = 0\).

\((P)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB} = (-a; b; 0)\), \(\overrightarrow{AC} = (-a; 0; c)\), do đó \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right] = (bc; ac; ab)\). Suy ra \((P)\) có phương trình:

\(bc(x-a) + ac(y-0) + ab(z - 0) = 0\) hay \(bcx + acy + abz - abc = 0\) hay \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\)

Các mặt phẳng \((P), (Q), (S)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n_1} =(4; 3; 1)\), \(\overrightarrow{n_2} = (8; 6; 2)\), \(\overrightarrow{n_3} =(4; 2; 1)\).

a) Xét \((P)\) và \((Q)\), ta có \(\overrightarrow{n_2} = 2\overrightarrow{n_1}, 9 \neq 2\cdot 5.\) Vậy \((P) \parallel (Q)\).

b) Xét \((P)\) và \((Q)\), ta có \(\overrightarrow{n_3} = 2\overrightarrow{n_1}, 10 = 2\cdot 5.\) Vậy \((P) \equiv (R)\).

c) Xét \((P)\) và \((S)\), ta có \(\displaystyle\frac{4}{4} \neq \displaystyle\frac{3}{2}\) suy ra \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_4}\) không cùng phương. Vậy \((P)\) cắt \((S)\).

Dễ thấy điểm \(M\) không nằm trên \((P)\). Vì \((Q) \parallel (P)\) nên \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (2; 1; 1)\).

Phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(M\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) là

\(2(x-1) + (y-2) + (z-3) = 0\) hay \(2x + y + z - 7 = 0\).

Các mặt phẳng \((P), (Q), (R)\) có véctơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n_1} = (1; -4; 3)\), \(\overrightarrow{n_2} = (4; 1; 0)\), \(\overrightarrow{n_3} = (1; 1; 1)\).

Xét \((P)\) và \((Q)\), ta có \(\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}= 1\cdot 4 + (-4)\cdot 1 + 3\cdot 0 = 0\). Vậy \((P) \perp (Q)\).

Xét \((P)\) và \((R)\), ta có \(\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_3}= 1\cdot1 + (-4)\cdot1 + 3\cdot1 = 0\). Vậy \((P) \perp (R)\).

a) \(\mathrm{d}[M,(P)] = \displaystyle\frac{|1.1 + 1.2 + 1.3 + 12|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \displaystyle\frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}.\)

b) \(\mathrm{d}[M,(Q)] = \displaystyle\frac{|4.1 + 3.2 + 0.3 + 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2}} =\displaystyle\frac{20}{5} = 4\).

Ta lấy điểm \(M\left(0;-9;0\right)\) thuộc \(\left(P\right)\).

Do hai mặt phẳng \(\left(P\right)\) và \(\left(Q\right)\) song song nên khoảng cách giữa chúng là:

\(d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=d\left(M,\left(Q\right)\right)=\frac{\left| 2\cdot 0+1.\left(-9\right)+2.0+99 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{90}{3}=30.\)

Vì mặt phẳng \(\left(MNP\right)\) chứa ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) nên nhận \(\overrightarrow{MN}=\left(1;2;1\right)\) và \(\overrightarrow{MP}=\left(2;4;4\right)\) làm hai vectơ chỉ phương.

Do đó, một vectơ pháp tuyến của \(\left(MNP\right)\) là \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP}\right]=(4,-2,0)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left(MNP\right)\) là

\(4(x-2)-2(y-1)=0 \Leftrightarrow 4x -2y -6=0 \Leftrightarrow 2x-y-3=0\)

Chiều cao của hình chóp \(O.MNP\) là

\(d\left(O,\left(MNP\right)\right) = \displaystyle\frac{\left| 2\cdot 0 - 0 -3\right|}{\sqrt{2^2 + \left(-1\right)^2}}= \displaystyle\frac{3 \sqrt{5}}{5}\).

Ta lấy điểm \(M(1;-13;1)\) thuộc \((R)\). Do hai mặt phẳng \((R)\) và \((S)\) song song nên khoảng cách giữa chúng là

\(d\left(\left(R\right), \left(S\right)\right)=d\left(M, \left(S\right)\right)=\displaystyle\frac{\left| 16 \cdot 1 + 12 \cdot (-13) -2\right|}{\sqrt{16^2 + 12^2}}=\displaystyle\frac{71}{10}\).

a) Gọi \((P)\) là mặt phẳng cần tìm. Vì \((P)\) đi qua điểm \(A\left(2;0;0\right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)\) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình của \((P)\) là

\(2 \left(x-2\right)+1\left(y-0\right)-1\left(z-0\right)=0 \Leftrightarrow 2x+y-z-4=0.\)

b) Gọi \((Q)\) là mặt phẳng cần tìm. Vì \((Q)\) song song với giá của mỗi vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(1;2;3\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left(-2;0;1\right)\) nên \((Q)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\), suy ra \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\left(2;-7;4\right)\).

Phương trình của \((Q)\) là

\(2\left(x-1\right)-7\left(y-2\right)+4\left(z-3\right)=0 \Leftrightarrow 2x-7y+4z=0.\)

c) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua ba điểm \(A,B,C\) là \(\displaystyle\frac{x}{1}+\displaystyle\frac{y}{2}+\displaystyle\frac{z}{4}=1\).

a) Mặt phẳng \(\left(Oxy\right)\) đi qua điểm \(O\) và vuông góc với trục \(Oz\). Do đó mặt phẳng \(\left(Oxy\right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)\). Từ đó phương trình mặt phẳng \(\left(Oxy\right)\) là

\(0\left(x-0\right)+0\left(y-0\right)+1\left(z-0\right)=0 \Leftrightarrow z=0\)

Tương tự ta có phương trình mặt phẳng \(\left(Oyz\right),\left(Oxz\right)\) lần lượt là \(x=0, y=0\).

b) Gọi \((P), (Q), (R)\) là các mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và lần lượt song song với các mặt phẳng \(\left(Oxy\right),\left(Oyz\right),\left(Oxz\right)\).

Vì \((P)\parallel (Oxy)\) nên \((P)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}\) là

\(0\left(x+1\right)+0\left(y-9\right)+1\left(z-8\right)=0 \text{ hay } z-8=0.\)

Tương tự, ta có phương trình mặt phẳng \((Q)\) và \((R)\) lần lượt là \(x+1=0\) và \(y-9=0\).

Vì \((Q)\parallel (P)\) nên \((Q)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(3;-5;4)\).

Phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(C\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) là

\(3\left(x-1\right)-5\left(y+5\right)+4\left(z-0\right)=0 \text{ hay } 3x-5y+4z-28=0.\)

Mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\) có 2 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=\left(4;2;2\right)\) và \(\overrightarrow{n_\beta}=(2;-1;1)\).

Do đó, 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\) là \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_\beta}\right]=\left(4;0;-8\right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\) là

\(4\left(x-1\right)+0\left(y-0\right)-8\left(z-1\right)=0\) hay \(4x-8z+4=0\) hay \(x-2y+1=0.\)

Mặt phẳng \(\left(R \right)\) có 2 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{n_{(P)}}=\left(4;-2;6\right)\) và \(\overrightarrow{n_{(Q)}}=(2;2;2)\). Do đó, 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left(R \right)\) là \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{n_{(P)}},\overrightarrow{n_{(Q)}}\right]=\left(-16;4;12\right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\) là

\(-16\left(x-1\right)+4\left(y-2\right)+12\left(z+1\right)=0\) hay \(-16x+4y+12z+20=0\) hay \(-4x+y+3z+5=0.\)

Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\left(0;0;0\right)\) đến mặt phẳng \((P) \colon 2x-2y-z+3=0\) là

\(d(O,\left(P\right))=\displaystyle\frac{\left| 2 \cdot 0 -2 \cdot 0 - 0 + 3\right|}{\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=1\)

Khoảng cách từ điểm \(M\left(1;-2;13\right)\) đến mặt phẳng \((P) \colon 2x-2y-z+3=0\) là

\(d(O,\left(P\right))=\displaystyle\frac{\left| 2 \cdot 1 -2 \cdot (-2) - 13 + 3\right|}{\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\displaystyle\frac{4}{3}\)

Chọn \(M\left(2;0;0\right)\) thuộc mặt phẳng \((P)\).

Do \((P)\) và \((Q)\) song song nên khoảng cách giữa chúng là

\(d((P),(Q))=d(M,(Q))=\displaystyle\frac{\left| 2 - 8\right|}{\sqrt{1^2}}=6\)

a) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(1;1;-2)\), \(\overrightarrow{n}'=(3;-5;1)\).

Ta có \(\cos\left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |1\cdot 3+1\cdot (-5)+(-2)\cdot 1 \right |}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{4}{\sqrt{210}}\).

Suy ra \(((P),(P'))\approx 73^{\circ}59'\).

b) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(1;1;0)\), \(\overrightarrow{n}'=(0;1;1)\).

Ta có \(\cos\left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |1\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 1 \right |}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Suy ra \(((P),(P'))=60^{\circ}\).

c) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(2;4;-1)\), \(\overrightarrow{n}'=(3-5;26)\).

Ta có \(\cos\left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |2\cdot 3+4\cdot 5+(-1)\cdot 26 \right |}{\sqrt{2^2+4^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+5^2+26^2}}=0\).

Suy ra \(((P),(P'))=90^{\circ}\).

a) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(3;7;-1)\), \(\overrightarrow{n}'=(1;1;-10)\).

Ta có \(\cos\left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |3\cdot 1+7\cdot 1+(-1)\cdot (-10) \right |}{\sqrt{3^2+7^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+(-10)^2}}=\displaystyle\frac{10\sqrt{6018}}{3009}\).

Suy ra \(((P),(P'))\approx 75^{\circ}4'\).

b) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(1;1;-2)\), \(\overrightarrow{n}'=(3;-5;1)\).

Ta có \(\cos\left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |1\cdot 3+1\cdot (-5)+(-2)\cdot 1 \right |}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{4}{\sqrt{210}}\).

Suy ra \(((P),(P'))\approx 73^{\circ}59'\).

c) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(1;0;1)\), \(\overrightarrow{n}'=(0;3;3)\).

Ta có \(\cos\left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |1\cdot 0+0\cdot 3+1\cdot 3 \right |}{\sqrt{1^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+3^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Suy ra \(((P),(P')=60^{\circ}\).

\((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(0;4;4)\) và \(\overrightarrow{n}'=(7;0;7)\).

Ta có \(\cos \left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |0\cdot 7+4\cdot 0+4\cdot 7 \right |}{\sqrt{0^2+4^2+4^2}\cdot\sqrt{7^2+0^2+7^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Suy ra \(\left ((P),(P') \right )=60^{\circ}\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là

\(3 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (y - 2) + 1 \cdot (z - 7) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y + z - 14 = 0.\)

Xét vectơ \(\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}]= \left(\left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 3 & 2\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right|\right)\), tức là \(\overrightarrow{n}=(5 ;-3 ; 7)\).

Khi đó, \(\overrightarrow{n}\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\).

Vậy mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình là:

\(5 \cdot (x+3)+(-3) \cdot(y-1) + 7 \cdot (z-0) = 0\Leftrightarrow 5 x - 3y + 7z+ 18 = 0.\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (0; 1;-1)\), \(\overrightarrow{AC} = (-1; 1; 0)\).

Xét vectơ \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = \left(\left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right|\right)\), tức là \(\overrightarrow{n} = (1 ; 1 ; 1)\).

Khi đó, \(\overrightarrow{n}\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\).

Vậy mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình là

\(1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 3 = 0.\)

Ta có: \(\overrightarrow{A B}=(-a ; b ; 0) \neq \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{A C}=(-a ; 0 ; c) \neq \overrightarrow{0}\).

Xét vectơ

\(\overrightarrow{n}= [\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] = \left(\left|\begin{array}{cc}b & 0 \\0 & c \end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}0 & -a \\ c & -a \end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll}-a & b \\ -a & 0 \end{array}\right|\right)\)

tức là \(\overrightarrow{n} = (b c ; c a ; a b)\).

Do \(\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}\) nên \(\overrightarrow{n}\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\).

Vậy mặt phẳng \((ABC)\) có phương trình là

\(bc \cdot (x - a) + ca \cdot (y - 0) + a b \cdot (z - 0) = 0 \\ \Leftrightarrow bcx + cay + abz - abc = 0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{a} + \displaystyle\frac{y}{b} + \displaystyle\frac{z}{c} = 1\).

a) \((P)\) đi qua điểm \(M(-3;1;4)\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2;-4;1)\) có phương trình là \(2\cdot (x+3)-4\cdot(y-1)+1\cdot (z-4)=0 \Leftrightarrow 2x-4y+z+6=0\).

b) Ta có \(\left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right]= (-11;-7;-5)\), do đó mặt phẳng \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(-11;-7;-5)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(-11\cdot (x-2)-7\cdot (y+1) -5\cdot (z-5)=0 \Leftrightarrow -11x-7y-5z+40=0\).

c) Do \((P) \parallel (Q)\) nên mặt phẳng \((P)\) nhận véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\) làm véc-tơ pháp tuyến. Vậy mặt phẳng \((P)\) đi qua \(I(4;0;-7)\) và \(\overrightarrow{n}_{P}=(2;1;-1)\) có phương trình là \(2\cdot (x-4)+1\cdot (y-0)-1\cdot (z+7)=0 \Leftrightarrow 2x+y-z-15=0\).

d) Mặt phẳng \((P)\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta\) nên véc-tơ chỉ phương của \(\Delta\) cũng là véc-tơ pháp tuyến của \((P)\). Vậy \((P)\) đi qua điểm \(K(-4;9;2)\) và \(\overrightarrow{n}_{P}=(2;1;5)\) nên có phương trình là \(2\cdot (x+4) +1\cdot (y-9)+5\cdot (z-2)=0 \Leftrightarrow 2x+y+5z-11=0\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(I(3;-4;5)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(2;7;-1)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

\(2(x-3)+7(y+4)-(z-5)=0 \Leftrightarrow 2x+7y-z+23=0.\)

Mặt phẳng \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=(-12;6;-3)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(-12(x+1)+6(y-2)-3(z-3)=0 \Leftrightarrow 4x-2y+z-3=0\).

a) Mặt phẳng \((P)\) qua \(I(3;-4;1)\) và nhận \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(1(x-3)+0(y+4)+0(z-1)=0 \Leftrightarrow x-3=0.\)

b) Mặt phẳng \((P)\) qua \(K(-2;4;-1)\) và nhận \(\overrightarrow{k}=(0;1;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(0(x+2)+1(y-4)+0(z+1)=0 \Leftrightarrow y-4=0.\)

b) Mặt phẳng \((P)\) song song với mặt phẳng \((Q)\colon 3x+7y+10z+1=0\) nên \((P)\colon 3x+7y+10z+d=0.\)

Mặt khác, \((P)\) qua \(K(-2;4;-1)\) nên

\(3\cdot (-2)+7\cdot 4+10\cdot (-1)+d=0 \Leftrightarrow d=-2.\)

Vây \((P)\colon 3x+7y+10z-2=0\).

Ta có

\(\overrightarrow{AB}=(-1;3;-1)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;1;-1)\), \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-2;-2;-4)\);

Mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm \(A(1;1;1)\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(-2;-2;-4)\) nên có phương trình

\(-2(x-1)-2(y-1)-4(z-1)=0 \Leftrightarrow x+y+2z-4=0.\)

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng \((P)\) là \(\displaystyle\frac{x}{5}+\displaystyle\frac{y}{3}+\displaystyle\frac{z}{6}=1\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;-1;-1)\) là VTPT của mặt phẳng, suy ra phương trình mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \(AB\) là

\(1\cdot(x-1)-1\cdot(y-1)-1\cdot(z-2)=0\Leftrightarrow x-y-z+2=0\).

Mặt phẳng \((Oxz)\) qua điểm \(O(0;0;0)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{j}=(0;1;0)\) nên có phương trình \(y=0\).

Mặt phẳng \(Oxy\) có phương trình là \(z=0\).

Phương trình của mặt phẳng cần tìm là

\(-2(x-1)+0(y-2)+1(z-3)=0 \Leftrightarrow -2x+z-1=0\).

Phương trình mặt phẳng qua \(M(1;2;-1)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(2;0;-3)\) là

\(2(x-1)-3(z+1)=0\Leftrightarrow 2x - 3z - 5 = 0\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(-3;4;-2)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(-2;3;-4)\) làm véc-tơ pháp tuyến là

\(-2(x+3)+3(y-4)-4(z+2)=0 \Leftrightarrow 2x-3y+4z+26=0.\)

Do mặt phẳng \((Oxz)\) đi qua điểm \(O(0;0;0)\) và nhận \(\overrightarrow{j}=(0;1;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là \(y=0\).

Mặt phẳng đi qua điểm \(A(1;-1;2)\) và có \(1\) véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} =(4;2;-6)\) thì phương trình có dạng:

\(4(x-1)+2(y+1)-6(z-2)=0\Leftrightarrow 4x+2y-6z+10=0\Leftrightarrow 2x+y-3z+5=0\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua điểm \(M(1;2;-3)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(1;-2;3)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

\(1(x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0\Leftrightarrow x-2y+3z+12=0\).

Phương trình của mặt phẳng \((P)\) là

\(3(x-0)+2(y-0)+1(z-0)=0\Leftrightarrow 3x+2y+z=0.\)

\(\overrightarrow{OG}=(1;1;1).\)

Phương trình của mặt phẳng \((P)\) là \(x+y+z-3=0\).

Phương trình mặt phẳng

\(\left(\alpha\right)\colon 2(x - 1) + 3(y + 2) + 5(z - 4)=0\Leftrightarrow 2x + 3y + 5z - 16=0\).

Mặt phẳng \((Oyz)\) có phương trình là \(x=0\).

Phương trình mặt phẳng là

\(2(x-2)+1(y+1)-1(z-0)=0\Leftrightarrow 2x+y-z-3=0\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(-1;2;0)\) và nhận \(\overrightarrow{n} =(-1;0;2)\) làm một véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

\(-1(x+1)+0(y-2)+2(z-0)=0 \Leftrightarrow x-2z+1=0\).

Mặt phẳng qua \(A\), vuông góc với trục \(Ox\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là \(x+1=0\).

}

Phương trình mặt phẳng

\((\beta)\colon 2(x-0)-7(y-0)+5(z-0)=0\Leftrightarrow 2x-7y+5z=0\).

Ta có \(A(0;1;2)\), \(\overrightarrow{BC}=(-4;2;0)\).

Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\) nhận \(\overrightarrow{BC}\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng cần tìm là

\(-4(x-0)+2(y-1)=0\Leftrightarrow 2x-y+1=0.\)

Mặt phẳng cần tìm vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\overrightarrow{CB} = (1;-4;2)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Mặt phẳng đi qua \(A\), nhận \((1;-4;2)\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là \(x - 4y + 2z + 4 = 0\).

Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) nhận \(\overrightarrow{CB}=\left(1;2;5\right)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Do đó \(\left(\alpha\right)\) có phương trình là \(x-2+2\left(y+1\right)+5\left(z-1\right)=0\Leftrightarrow x+2y+5z-5=0\).

Ta có \(\overrightarrow{BA}=(2;-3;-3)\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Suy ra phương trình mặt phẳng \((P)\colon 2x-3y-3z-6=0\).

}

Ta có \(\overrightarrow{BC}=(-1;-2;2)\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) cần tìm.

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}=-\overrightarrow{BC}=(1;2;-2)\) cũng là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \((P)\) là

\(1(x+1)+2(y-1)-2(z-1)\Leftrightarrow x+2y-2z+1=0\).

Có \(\overrightarrow{AB}=(-4;6;2)\).

Phương trình mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(AB\) là

\begin{eqnarray*}-4(x-5)+6(y+4)+2(z-2)=0\Leftrightarrow 2x-3y-z-20=0.\end{eqnarray*}

Ta có \(\overrightarrow{n}_{(P)}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=(2;-6;6)=2(1;-3;3)\).

Lại có \((P)\) đi qua \(M(0;-1;4)\) nên có phương trình

\(x-3(y+1)+3(z-4)=0\Leftrightarrow x-3y+3z-15=0\).

Mặt phẳng đi qua \(A(2;1;-1)\) và vuông góc với \(BC\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{BC}=(1;-2;-5)\) nên nó có phương trình là

\(1\cdot (x-2)+(-2)\cdot (y-1)+(-5)\cdot (z+1)=0\Leftrightarrow x-2y-5z-5=0.\)

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1;-1;-2)\), \(\overrightarrow{AC}=(-2;4;-4)\), suy ra \(\overrightarrow{n}_{(ABC)}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(12;0;-6)=6(2;0;-1)\).

Vậy \((ABC)\) có phương trình

\(2(x-4)-(z-5)=0\Leftrightarrow 2x-z-3=0\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;0;-3)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1;1;0)\)

nên \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right]=(3;3;1)\).

Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua \(C(2;0;2)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(3;3;1)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình

\(3(x-2)+3y+(z-2)=0 \Leftrightarrow 3x+3y+z-8=0\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(0;4;2)\), \(\overrightarrow{AC}=(-3;4;3)\).

Gọi \(\overrightarrow{n}\) là vector pháp tuyến của \((ABC)\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AC}\).

Nên chọn \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(4;-6;12)\).

\((ABC)\) qua \(A(3;-2;-2)\) có vector pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\)

\(\Rightarrow (ABC)\colon 4(x-3)-6(y+2)+12(z+2)=0\\ \Rightarrow (ABC)\colon 2x-3y+6z=0\).

Ta có, \(\overrightarrow{AB}=(2;1;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;0;1)\) \(\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(1;-2;-1)\).

Vậy mặt phẳng qua ba điểm \(A\), \(B\), và \(C\) là \(x-2y-z+2=0\).

\(\overrightarrow{AB}=(1;-3;2)\), \(\overrightarrow{AC}=(4;0;-1)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(3;9;12)\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là

\((x-0)+3(y-1)+4(z-1)=0\Leftrightarrow x+3y+4z-7=0.\)

Ta có \(\begin{cases}&\overrightarrow{AB}=(-1;-2;4)\\ &\overrightarrow{AC}=(-2;1;3).}\)

Theo giả thiết mặt phẳng cần tìm qua \(A(2;0;-1)\) và nhận \([\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-10; -5; -5)=-5(2;1;1)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng qua \(A,B,C\) là

\(2(x-2)+(y-0)+(z+1)=0\Leftrightarrow 2x+y+z-3=0.\)

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1;2;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(0;1;-2)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(-4;2;-1)\)

\(\Rightarrow\) phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là

\(-4(x-2)+2y-z=0\Leftrightarrow 4x-2y+z-8=0\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(3;6;-1)\), \(\overrightarrow{AC}=(4;3;-2)\).

Khi đó, mặt phẳng \((ABC)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(-9;2;-15)\).

Hơn nữa, \(A(-2;-1;3)\in(ABC)\) nên \((ABC):-9(x+2)+2(y+1)-15(z-3)=0\).

Hay \((ABC):9x-2y+15z-29=0\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;3;1);\overrightarrow{AC}=(2;-2;2)\).

Mặt phẳng \((ABC)\) nhận \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(8;-2;-10)\) làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\) là

\(8(x-1)-2(y-2)-10(z-3)=0 \Leftrightarrow 4x-y-5z+13=0\).

Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng \((ABC)\) với \(A(-1;0;0)\), \(B(0;2;0)\), \(C(0;0;3)\) là

\[\displaystyle\frac{x}{-1}+\displaystyle\frac{y}{2}+\displaystyle\frac{z}{3}=1.\]

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) là

\(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{y}{-1}+\displaystyle\frac{z}{3}=1\).

Phương trình mặt phẳng qua ba điểm \(M(2;0;0)\), \(N(0;-1;0)\) và \(P(0;0;2)\) là

\(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{y}{-1}+\displaystyle\frac{z}{2}=1\).

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(M(-1; 0; 0), N(0; 2; 0), P(0; 0; -3)\) là

\(\displaystyle\frac{x}{-1}+\displaystyle\frac{y}{2}+\displaystyle\frac{z}{-3}=1\).

{Ta có \(A(8; 0; 0)\), \(B(0; -2; 0)\), \(C(0; 0; 4)\).

Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng \((ABC)\) là

\(\displaystyle\frac{x}{8}+\displaystyle\frac{y}{-2}+\displaystyle\frac{z}{4}=1\Leftrightarrow x-4y+2z-8=0.\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là \(x-4y+2z-8=0\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là

\(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{y}{-2}+\displaystyle\frac{z}{-1}=1.\)

Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta được

\((ABC)\colon \displaystyle\frac{x}{-2}+\displaystyle\frac{y}{3}+\displaystyle\frac{z}{2}=1\).

}

Ta có phương trình theo đoạn chắn của \((\alpha)\) là

\(\displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{y}{-2}+\displaystyle\frac{z}{6}=1\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là \(\displaystyle\frac{x}{1} +\displaystyle\frac{y}{-2} +\displaystyle\frac{z}{3} =1\) (phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).

Mặt phẳng \((MNP)\) có phương trình là

\(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{y}{1}+\displaystyle\frac{z}{2}=1\).

Mặt phẳng \((ABC)\) có phương trình là

\(\displaystyle\frac{x}{1}+\displaystyle\frac{y}{-2}+\displaystyle\frac{z}{3}=1\).

Phương trình \((ABC)\) là

\(\displaystyle\frac{x}{8}+\displaystyle\frac{y}{2}+\displaystyle\frac{z}{-4}=1\Leftrightarrow x+4y-2z-8=0\).

Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt tại \(A(1;0;0)\), \(B(0;-2;0)\) và \(C(0;0;3)\) là

\(\displaystyle\frac{x}{1}+\displaystyle\frac{y}{-2}+\displaystyle\frac{z}{3}=1\).

Vì tứ diện \(OABC\) là tứ diện vuông tại đỉnh \(O\) và \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(OH \perp (ABC)\).

Do đó \(\overrightarrow{OH}=(2;1;1)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((ABC)\) và vì \(H\in (ABC)\) nên phương trình \((ABC)\) là

\(2(x-2)+(y-1)+(z-1)=0 \Leftrightarrow 2x+y+z-6=0.\)

Giả sử \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c), abc\neq 0\).

Khi đó \((\alpha)\colon \displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{y}{b}+\displaystyle\frac{z}{c}=1\).

Ta có \(\overrightarrow{HA}=(a-1;-2;3)\), \(\overrightarrow{HB}=(-1;b-2;3)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;-b;c)\) và \(\overrightarrow{AC}=(-a;0;c)\).

\(H\) là trực tâm của \(\triangle ABC\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{AC}=0}\Leftrightarrow \begin{cases}2b+3c=0\\a+3c=0}\Rightarrow a=2b=-3c\).

Mặt khác \(H\in (\alpha)\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{2}{b}-\displaystyle\frac{3}{c}=1\).

Suy ra \(\displaystyle\frac{1}{-3c}+\displaystyle\frac{4}{-3c}-\displaystyle\frac{3}{c}=1\Leftrightarrow 14=-3c\Leftrightarrow c=-\displaystyle\frac{14}{3}\Rightarrow a=14,b=7\).

Vậy \((\alpha)\colon \displaystyle\frac{x}{14}+\displaystyle\frac{y}{7}+\displaystyle\frac{z}{-\displaystyle\frac{14}{3}}=1\) hay \((\alpha)\colon x+2y-3z-14=0\).

Giả sử \((P)\) cắt các trục tọa độ tại \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c), abc\neq 0\).

Khi đó \((P)\colon \displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{y}{b}+\displaystyle\frac{z}{c}=1\).

Ta có \(\overrightarrow{HA}=(a-1;-2;-3)\), \(\overrightarrow{HB}=(-1;b-2;-3)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;-b;c)\) và \(\overrightarrow{AC}=(-a;0;c)\).

\(H\) là trực tâm của \(\triangle ABC\Rightarrow \begin{cases} \overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2b-3c=0\\ a-3c=0\end{cases}\Rightarrow a=2b=3c\).

Mặt khác \(H\in (P)\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{2}{b}+\displaystyle\frac{3}{c}=1\).

Suy ra \(\displaystyle\frac{1}{3c}+\displaystyle\frac{4}{3c}+\displaystyle\frac{3}{c}=1\Leftrightarrow 14=3c\Leftrightarrow c=\displaystyle\frac{14}{3}\Rightarrow a=14,b=7\).

Vậy \((P)\colon \displaystyle\frac{x}{14}+\displaystyle\frac{y}{7}+\displaystyle\frac{z}{\displaystyle\frac{14}{3}}=1\) hay \((P)\colon x+2y+3z-14=0\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}(-2;4;-4)\) trung điểm \(AB\) là \(M(3;-1;5)\).

Mặt phẳng trung trực của \(AB\) là

\(-2(x-3)+4(y+1)-4(z-5)=0\Leftrightarrow x-2y+2z-15=0.\)

Mặt phẳng trung trực của \(MN\) nhận \(\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}=(1;1;-3)\) làm véc-tơ pháp tuyến và đi qua trung điểm \(I(2;0;-1)\) của \(MN\) nên nó có phương trình \(x+y-3z-5=0\).

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua trung điểm \(I(-1;1;-2)\) của \(AB\) và nhận véc-tơ \(\overrightarrow{AB}=(4;-8;-6)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

\(4(x+1)-8(y-1)-6(z+2)=0 \Leftrightarrow 2x-4y-3z=0.\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) suy ra tọa độ điểm \(I\left(4; 1; 0\right)\). Mặt khác ta có \(\overrightarrow{AB}\left(2; 8; - 4\right)\), do giả thiết mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\) nhận \(\overrightarrow{AB}\) là véc-tơ pháp tuyến và đi qua điểm \(I\). Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực là

\(2\cdot\left(x - 4\right) + 8\cdot\left(y - 1\right) + (- 4)\cdot\left(z - 0\right) = 0\Leftrightarrow x + 4y - 2z - 6 = 0.\)

Do đó \(a = 4\), \(b = -2\) và \(c = - 6\) nên \(a + b + c = - 4\).

Trung điểm của \(AB\) là \(I(2; 1; 2)\).

Ta có \(\overrightarrow{AI}=(1; -1; -1)\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) là

\(x-2-(y-1)-(z-2)=0\Leftrightarrow x-y-z+1=0.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) suy ra tọa độ \(I\left(- 1; 3; 0\right)\) và \(\overrightarrow{AB} = \left(8; - 2;- 2\right)\). Gọi \(\overrightarrow{n}\) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\) ta chọn \(\overrightarrow{n}\left(4; -1;- 1\right)\). Khi đó phương trình mặt phẳng trung trực là

\(4\cdot\left(x + 1\right) + (- 1)\cdot\left(y - 3\right) + (- 1)\cdot\left(z - 0\right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y - z + 7 = 0\)

Mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\) đi qua trung điểm \(I(3;2;-1)\) của đoạn \(AB\) và nhận véc-tơ \(\overrightarrow{AB}=(4;-2;-2)=2(2;-1;-1)\) làm véc-tơ pháp tuyến, do đó phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) là

\[2(x-3)-(y-2)-(z+1)=0\Leftrightarrow 2x-y-z-5=0.\]

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(4;-2;2)\), trung điểm của \(AB\) là \(I(1;1;1)\).

Mặt phẳng trung trực của \(AB\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow{AB}\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

\[4(x-1)-2(y-1)+2(z-1)=0\Leftrightarrow 2x-y+z-2=0.\]

Ta có mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua điểm \(I(4;3;-1)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) và nhận \(\overrightarrow {AB}=(4;4;-6)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình là

\(4(x-4)+4(y-3)-6(z+1)=0\Leftrightarrow 2x+2y-3z-17=0\).

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{AB}=(-6; 2; 2)\) và đi qua trung điểm \(I(1;1;2)\) của đoạn thẳng \(AB\). Do đó, phương trình mặt phẳng đó là

\[-6(x-1) + 2(y-1) + 2(z-2)=0\Leftrightarrow-6x + 2y + 2z=0\Leftrightarrow 3x-y-z=0.\]

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(4;-2;2)\), trung điểm của \(AB\) là \(I(1;1;1)\).

Mặt phẳng trung trực của \(AB\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow{AB}\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

\[4(x-1)-2(y-1)+2(z-1)=0\Leftrightarrow 2x-y+z-2=0.\]

Ta có \((Q)\parallel (P)\), suy ra \(\overrightarrow{n}_{(Q)}=\overrightarrow{n}_{(P)}=(2;-1;1)\).

Lại có \((Q)\) đi qua \(A(1;-1;2)\) nên có phương trình

\(2(x-1)-(y+1)+(z-2)=0\Leftrightarrow 2x-y+z-5=0\).

Do \((\beta) \parallel (\alpha)\) nên phương trình mặt phẳng \((\beta)\) có dạng \(x + 2y + 2z + c = 0\) (\(c \neq -1\)).

Do \((\beta)\) đi qua điểm \(M\) nên \(1 + 0 + 12 + c = 0 \Rightarrow c = -13\).

Vậy phương trình mặt phẳng \((\beta)\) là \(x + 2y + 2z - 13 = 0\).

Mặt phẳng \((\beta)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_{\beta}=(6;-5;1)\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(M(1;-3;4)\) và nhận \(\overrightarrow{n}_\beta\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình

\(6(x-1)-5(y+3)+1(z-4)=0\Leftrightarrow 6x-5y+z-25=0.\)

Do mặt phẳng \((\beta)\) song song với mặt phẳng \((\alpha) \colon 3x - y + z + 4 = 0\) nên phương trình mặt phẳng \((\beta)\) có dạng \(3x - y + z + c = 0\) với \(c \neq 4\).

Vì mặt phẳng \((\beta)\) đi qua \(M(3; -1; 2)\) nên \(c = -12\).

Vậy phương trình mặt phẳng \((\beta) \colon 3x - y + z - 12 = 0\).

\((P) \parallel (a) \colon 2x-y+3z+2 = 0 \Rightarrow (P) \colon 2x-y+3z+d = 0\).

Vì \(A(-2;1;-2) \in (P) \Rightarrow 2 \cdot (-2) - 1 + 3 \cdot (-2) + d = 0 \Rightarrow d = 11\).

Vậy \((P): 2x - y + 3z + 11=0\).

Mặt phẳng song song với mặt phẳng \((Q)\colon 2x+3y-4z-5=0\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{u}=(2;3;-4)\).

Mà mặt phẳng đó qua \(A(1;2;3)\) nên nó có phương trình là

\(2(x-1)+3(y-2)-4(z-3)=0\Leftrightarrow 2x+3y-4z+4=0.\)

Gọi \((Q)\) là mặt phẳng cần tìm, ta có

\((Q)\) song song với \((P)\) nên phương trình \((Q)\) có dạng

\[(Q)\colon 3x-2y+z+D = 0.\]

Mặt khác, \((Q)\) đi qua \(M(2;1;-2)\) nên ta có

\[3\cdot 2-2\cdot 1+1\cdot (-2)+D = 0\Rightarrow D= -2.\]

Vậy \((Q)\colon 3x-2y+z-2=0\).

}

Gọi mặt phẳng \((Q)\) song song với mặt phẳng \((P)\), mặt phẳng \((Q)\) có dạng \(2x-y+3z+D=0\, (D \ne 2)\).

\(A(2;-1;2)\in (Q) \Rightarrow D=-11\).

Vậy mặt phẳng cần tìm là \(2x-y+3z-11=0\).

Do mặt phẳng \((Q)\) song song với mặt phẳng \((P)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(3;-2;4)\).

Phương trình mặt phẳng

\((Q)\colon 3(x-2)-2(y+1)+4(z+3)=0 \Leftrightarrow 3x-2y+4z+4=0\).

Mặt phẳng \((Q)\parallel (P)\Rightarrow\) phương trình mặt phẳng \((Q)\) có dạng: \(3x-y+2z+d=0\) với \(d\neq 4\).

Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((Q)\) nên \(3\cdot3 +1-4+4=0 \Rightarrow d= -6\), suy ra phương trình mặt phẳng \((Q)\) là \(3x-y+2z-6=0\).

\((P)\) chứa \(Oz\) nên \(\overrightarrow{k} = (0;0;1)\) nằm trên \((P)\).

Ngoài ra, \((P)\) chứa \(O\) và \(A\) nên véc-tơ \(\overrightarrow{OA} = (1;-3;2)\) nằm trên \((P)\).

Vậy ta có \(\overrightarrow{n}_{(P)} = \left[\overrightarrow{k},\overrightarrow{OA}\right] = (3;1;0)\).

Do đó \(M = \displaystyle\frac{1}{3}.\)

Gọi \(\vec n\) là vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) chứa trục \({Ox}\) và đi qua điểm \(A(1;1;-1)\).

Ta có \(\begin{cases}&\vec n \bot \overrightarrow {OA}= \left(1;1;-1\right)\\& \overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{i}= \left(1;0;0\right).}\)

Chọn một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \(\overrightarrow{n} = \left[\overrightarrow{i},\overrightarrow{OA}\right] = \left(0;1;1\right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng là \(y + z = 0\).

Mặt phẳng \((P)\) có cặp véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{k}\left(0;0;1\right), \overrightarrow{OP}\left(3;-4;7\right)\).

Suy ra mặt phẳng có \((P)\) một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{k}\wedge \overrightarrow{OP}=\left(-4;-3;0\right)=-1\left(4;3;0\right)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(O\left({0;0;0}\right)\), có véc-tơ pháp tuyến \(\left(4;3;0\right)\).

Vậy mặt phẳng có \((P)\) có phương trình tổng quát là \(4x+3y=0\)

\((P)\) có cặp véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{v}_{Oy}=(0;1;0)\) và \(\overrightarrow{OM}=(-1;2;4)\). Khi đó véc-tơ pháp tuyến của \((P)\) là \(\overrightarrow{n}_{(P)}=(-4;0;-1)\), ta chọn \(\overrightarrow{n}_{(P)}=(4;0;1)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M(-1;2;4)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{(P)}=(4;0;1)\) nên có phương trình \(4(x+1)+(z-4)=0\) hay \(4x+z=0\).

(P) chứa véc-tơ \(\overrightarrow{j}=(0;1;0)\) và \(\overrightarrow{OM}=(1;-2;3)\).

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là

\[\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{j};\overrightarrow{OM}\right]=(3;0;-1).\]

Khi đó phương trình mặt phẳng \((P)\) là

\[3(x-0)+0(y-0)-1(z-0)=0\Leftrightarrow 3x-z=0.\]

Do mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đi qua \(M\) và chứa trục \(Ox\) nên \(\left(\alpha\right)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}\right]\) với \(\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)\) và \(\overrightarrow{OM}=\left(1;0;-1\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left(0;1;0\right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) là \(y=0\).

Ta có \(\overrightarrow{OA}=(1;1;3)\), \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\), \(\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{i}\right]=(0;3;-1)\).

Mặt phẳng \((P)\) qua \(A\) và chứa \(Ox\) nên \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_P=(0;3;-1)\).

Suy ra

\((P)\colon 0(x-1)+3(y-1)-1(z-3)=0\Leftrightarrow 3y-z=0\).

Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và chứa trục \(Oy\), thì \((\alpha)\) đi qua điểm \(O(0;0;0)\).

Khi đó, \((\alpha)\) chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{OM}(1;4;-3)\) và \(\overrightarrow{j}(0;1;0)\) suy ra \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left[\overrightarrow{OM},\overrightarrow{j}\right]=(3;0;1)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha)\colon 3x+z=0\).

Mặt phẳng \((P)\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{OM}=(1;2;1)\) và \(\overrightarrow{k}=(0,0,1)\) làm véc-tơ chỉ phương, do đó nhận véc-tơ \(\overrightarrow{n}= \left[ \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{k} \right] = (-2;1;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến. Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(O(0;0;0)\) và nhận \(\overrightarrow{n}\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình \(-2x+y=0 \Leftrightarrow 2x-y =0.\)

\(\overrightarrow{OA}=(1;1;-1)\), véc-tơ đơn vị của trục \(Ox\) là \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\).

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{i}]=(0;-1;-1)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(-y-z=0\) hay \(y+z=0\).

Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng \((Q)\).

Vì mặt phẳng \((P)\colon x-y+z+1=0\) nên ta có \(\overrightarrow{n}_{\text{p}}=(1;-1;1)\).

Ta có \(A(0;1;1), B(-1;0;2)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-1;-1;1)\).

Do \((Q)\) đi qua \(A(0;1;1), B(-1;0;2)\) và vuông góc với \((P)\colon x-y+z+1=0\) nên \((Q)\) đi qua \(A(0;1;1)\) và nhận \(\overrightarrow{n}_{\text{Q}}=[\overrightarrow{n}_{\text{p}},\overrightarrow{AB}]=(0;-2;-2)\) làm một véc-tơ pháp tuyến.

Vì vậy phương trình \((Q)\) là

\(0(x-0)-2(y-1)-2(z-1)=0\Leftrightarrow y+z-2=0\).

}

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) là \(\overrightarrow{n}_{(\alpha)}=(1;-1;2)\), véc-tơ chỉ phương của trục \(Oz\) là \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\).

Mặt phẳng cần tìm có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{n}_{(\alpha)},\overrightarrow{k}\right] =(-1;-1;0)\) và đi qua gốc tọa độ nên có phương trình là \(x+y=0.\)

Gọi \(\overrightarrow{p}=(2;-1;3)\), \(\overrightarrow{q}(0;1;0)\) lần lượt là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\). Khi đó mặt phẳng \((R)\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{w}=-\left[ \overrightarrow{p},\overrightarrow{q} \right]=(3;0;-2)\) làm một véc-tơ pháp tuyến. Do đó \((R)\) có phương trình \(3x-2z-1=0\).

Giả sử \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\), với \(a,b,c>0\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(\displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{y}{b}+\displaystyle\frac{z}{c}=1\). Theo giả thiết ta có

\(\begin{cases}\displaystyle\frac{a}{1}=\displaystyle\frac{b}{2}=\displaystyle\frac{c}{3}\\ \displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{3}{b}-\displaystyle\frac{2}{c}=1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=2\\ b=4\\ c=8.\end{cases}\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(4x+2y+z-8=0\).

Mặt phẳng \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(1;2;-1)\) và \(\overrightarrow{AB}=(-1;-1;2)\).

Mặt phẳng \((Q)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{AB}]=(3;-1;1)\).

Từ đó, phương trình mặt phẳng \((Q)\) là \(3x-y+z-4=0\).

}

Do \((Q)\parallel (P)\Rightarrow (Q)\colon x+y+z+d=0,\quad d\neq -2\).

Mà \(d\left(A,(Q)\right)=3\sqrt{3}\Leftrightarrow |6+d|=9 \Leftrightarrow d=3;\, d=-15.\)

Vậy \((Q_1)\colon x+y+z+3=0\) và \((Q_2)\colon x+y+z-15=0\).

}

Ta có \(\overrightarrow{n}_{(P)} = (1;1;-1)\) và

\(\overrightarrow{n}_{(Q)} = (1;-2;3).\)

Suy ra \(\left[\overrightarrow{n}_{(P)},\overrightarrow{n}_{(Q)}\right]= (1;-4;-3).\)

Do \((\alpha)\) vuông góc với \((P)\) và \((Q)\) nên \(\begin{cases}\overrightarrow{n}_{(\alpha)} \perp \overrightarrow{n}_{(P)}\\\overrightarrow{n}_{(\alpha)} \perp \overrightarrow{n}_{(Q)}\end{cases}\).

Chọn \(\overrightarrow{n}_{(\alpha)} = \left[\overrightarrow{n}_{(P)},\overrightarrow{n}_{(Q)}\right]=(1;-4;-3)\).

Hơn nữa, \((\alpha)\) đi qua \(M(1;-2;5)\) nên có phương trình là

\((x-1)-4(y+2)-3(z-5)=0\Leftrightarrow x-4y-3z+6=0.\)

Vì \((Q)\) là mặt phẳng đi qua \(A\), \(B\) và vuông góc với \((P)\) nên mặt phẳng \((Q)\) nhận \(\overrightarrow{AB}=(1;1;2)\) và \(\overrightarrow{n}_{(P)}=(1;2;-5)\) làm hai véc-tơ chỉ phương.

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\) là \(\overrightarrow{n}_{(Q)}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}_{(P)}\right]=(-9;7;1)\).

Phương trình mặt phẳng \((Q)\colon -9(x-3)+7(y-1)+1(z-1)=0\Leftrightarrow 9x-7y-z-19=0\).

Ta có các véc-tơ pháp tuyến của \((P)\) và \((Q)\) là \(\overrightarrow{n}_P = (3; -2; 1), \overrightarrow{n}_Q = (5; -4; 3)\).

Theo giả thiết mặt phẳng \((\alpha)\) vuông góc với \((P)\) và \((Q)\) do đó \(\overrightarrow{n}_\alpha \perp (\overrightarrow{n}_P, \overrightarrow{n}_Q)\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}_\alpha = \left[\overrightarrow{n}_P; \overrightarrow{n}_Q\right] = \left(1; 2; 1\right)\).

Suy ra, phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) có dạng \(1(x - 2) + 2(y + 1) + 1(z - 5) = 0\).

Hay \(x + 2y + z - 5 = 0\).

Mặt phẳng \(\left(\gamma\right)\) qua \(M\left(3; - 1; - 5\right)\) và có VTPT \(\overrightarrow{n}_{P}=\left[\overrightarrow{n}_{\alpha}, \overrightarrow{n}_{\beta}\right]=\left(2; 1; - 2\right)\).

Phương trình mặt phẳng

\(\left(\gamma\right)\colon 2(x - 3) + 1. (y + 1) - 2(z + 5)=0\Leftrightarrow 2x + y - 2z - 15=0\).

Giả sử \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có \(\begin{cases}\displaystyle\frac{a}{3}=1 \\ \displaystyle\frac{b}{3}=2 \\ \displaystyle\frac{c}{3}=3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=3 \\ b=6 \\ c=9.\end{cases}\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là

\(\displaystyle\frac{x}{3}+\displaystyle\frac{y}{6}+\displaystyle\frac{z}{9}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-18=0\).

Ta có \(A_1(0;2;3)\), \(A_2(1;0;3)\), \(A_3(1;2;0)\).

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((A_1A_2A_3)\) là \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3}\right ]=(6;3;2)\).

Phương trình mặt phẳng \((A_1A_2A_3)\) là \(6x+3y+2z-12=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac {x}{2}+ \displaystyle\frac {y}{4}+\displaystyle\frac {z}{6}=1\).

Mặt phẳng \((Q)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{(Q)}=(1;2;-3)\).\\ Mặt phẳng \((R)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{(R)}=(2;-3;1)\).

Khi đó mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{(P)}=[\overrightarrow{n}_{(Q)},\overrightarrow{n}_{(R)}]=(-7;-7;-7)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là

\(-7(x+1)-7(y+2)-7(z-5)=0\Leftrightarrow -7x-7y-7z+14=0\Leftrightarrow x+y+z-2=0.\)

Gọi \(\overrightarrow{n}\) là vtpt của mặt phẳng \((\alpha)\).

Ta có \(\begin{cases} AB \subset (\alpha) \\ OC \parallel (\alpha) \end{cases} \Rightarrow

\begin{cases} \overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{OC} \end{cases}\(nên\)\overrightarrow{n}\(cùng phương với\)\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{OC}\(.

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;-1;-2),\ \overrightarrow{OC}=(2;0;3) \Rightarrow \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{OC}=(-3;-7;2) = (-1) \cdot (3;7;-2).\) Ta chọn \(\overrightarrow{n} = (3;7;-2)\). \\ Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là: \(3x+7y-2z-11=0.\)

Ta có \(\overrightarrow n_1=(1;1;3), \overrightarrow n_2 =(2;-1;1)\) lần lượt là véc-tơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((Q), (R)\).

Do mặt phẳng \((P)\) vuông góc với hai mặt phẳng \((Q), (R)\) nên \([\overrightarrow n_1, \overrightarrow n_2]=(4;5;-3)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((P)\).

Từ đó suy ra mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(4x+5y-3z-22=0\).

\(\bullet\) Hai mặt phẳng đã cho có các véc-tơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}_1 = (1; 2; -1)\) và \(\overrightarrow{n_2} = (2; -1; 1)\).

\(\bullet\) Mặt phẳng \((P)\) cần tìm có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{n}_1 \wedge \overrightarrow{n}_2 = (1; -3; -5)\).

\(\bullet\) Ta có \((P)\colon (x - 3) - 3y - 5(z + 1) = 0\).

Suy ra \((P)\colon x - 3y - 5z - 8 =0\).

\((P_1)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1}=(1;2;3)\).

\((P_2)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2}=(1;1;-1)\).

Do \(\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=1+2-3=0\) nên \(\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}\).

Suy ra \((P_1)\perp (P_2)\).

Hai mặt phẳng \((\alpha)\), \((\beta)\) có hai véc-tơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow{n}=(1;-3;2)\), \(\overrightarrow{n'}=(5;1;-1)\).

Ta có \(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n'}=1\cdot 5 +(-3)\cdot 1+2\cdot(-1)=0\) nên \(\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{n'}\).

Do đó \((\alpha)\) vuông góc với \((\beta)\).

Hai mặt phẳng \((\alpha)\), \((\beta)\) có hai véc-tơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow{n}=(3;1;-1)\), \(\overrightarrow{n'}=(9;3;-3)\).

Ta có \(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n'}=3\cdot 9+1\cdot 3+(-1)\cdot(-3)=33\ne0\).

Do đó \((\alpha)\) không vuông góc với \((\beta)\).

a) Mặt phẳng \((P),(Q)\) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_P}=(1;3;-1),\overrightarrow{n_Q}=(1;-1;-2)\).

Do \(\overrightarrow{n_P} \cdot \overrightarrow{n_Q}=1 \cdot 1 +3 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-2)=0\) nên hai véc-tơ đó vuông góc nhau. Do đó hai mặt phẳng đã cho vuông góc với nhau.

b) Gọi \(M(a;0;0) \in Ox\).

Khi đó

\(\begin{aligned}\mathrm{d}(M,(P))=\mathrm{d}(M,(Q)) & \Leftrightarrow \displaystyle\frac{|a+3 \cdot0 - 0 |}{\sqrt{1^2+3^2+(-1)^2}} = \displaystyle\frac{|a-0-2 \cdot 0 +1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2}|}\\& \Leftrightarrow \displaystyle\frac{|a+3|}{\sqrt{11}}=\displaystyle\frac{|a+1|}{\sqrt{6}}\\& \Leftrightarrow 5a^2-14a-43=0 \\& \Leftrightarrow a=\displaystyle\frac{7+2\sqrt{66}}{5};\,a=\displaystyle\frac{7-2\sqrt{66}}{5}.\end{aligned}\)

Hai mặt phẳng \((P_1)\), \((P_2)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}_1 = (1; -1; -2), \overrightarrow{n}_2 = (1; -1; 1).\)

Vì \(\overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2 = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + (-2) \cdot 1 = 0\) nên \(\overrightarrow{n}_1 \perp \overrightarrow{n}_2\).

Vậy \((P_1) \perp (P_2)\).

Hai mặt phẳng \((P_1)\), \((P_2)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là

\(\overrightarrow{n}_1=(2 ;-1 ;-3), \overrightarrow{n}_2=(6 ;-3 ;-9).\)

Vì \(\overrightarrow{n}_2 = 3 \overrightarrow{n}_1\) và \(D_1 = 1 \neq 3 \cdot 1 = 3 D_1\) nên \((P_1) \parallel (P_2)\).

Ta có \(\overrightarrow{n}_{P_1}=(2;2;-1)\) và \(\overrightarrow{n}_{P_2}=(1;-2;-2)\).

\(\cos \left(\left(P_1\right);\left(P_2\right)\right) = \displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_{P_1} \cdot \overrightarrow{n}_{P_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n}_{P_1}\right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_{P_2}\right|} = 0\).

Suy ra \(\left(\left(P_1\right);\left(P_2\right)\right)=90^{\circ}\).

\((P_1)\), \((P_2)\) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(1;1;2)\) và \(\overrightarrow{n}_2=(2;-1;1)\).

Ta có \(\cos\left((P_1),(P_2)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}_2\right|}=\displaystyle\frac{|1\cdot2+1\cdot(-1)+2\cdot1|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy \(\left((P_1),(P_2)\right)=60^\circ\).

Do \((P_1)\), \((P_2)\) có hai véc-tơ pháp tuyến lần lượt là

\(\overrightarrow{n}_1=\left(\sqrt{3};0;1\right),\, \overrightarrow{n}_2=\left(-\sqrt{3};0;1\right)\)

nên

\(\cos\left((P_1),(P_2)\right)=\displaystyle\frac{\left|\sqrt{3}\cdot\left(-\sqrt{3}\right)+0\cdot0+1\cdot1\right|}{\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+0^2+1^2}\cdot\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Suy ra \(\left((P_1),(P_2)\right)=60^\circ\).

\((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(1 ; -1 ; 0)\), \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH}=(2 ; -1 ; -2)\).

Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) ta có

\(\cos\varphi=\displaystyle\frac{|2\cdot 1+1\cdot 1-2\cdot 0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \varphi=45^{\circ}.\)

\((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(2 ; -1 ; -1)\).

\((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2=(1 ; 0 ; -1)\).

Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) ta có

\(\cos\varphi=\displaystyle\frac{\left| 2\cdot 1-1\cdot 0+ 1\cdot 1\right| }{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \varphi=60^{\circ}\).

Các mặt phẳng \((P)\), \((Q)\) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1; 2; 2)\), \(\overrightarrow{n'}=(1; 1;-1)\).

Ta có

\(\cos ((P),(Q))=\displaystyle\frac{|1\cdot 1+2\cdot 1+2\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{9}\).

Do đó \(((P),(Q)) \approx 78{,}9^{\circ}\).

Mặt phẳng \((ABD)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{BD}=(3; 3; 0)\) và \(\overrightarrow{AD}=(3; 0;-4)\).

Suy ra \((ABD)\) có vectơ pháp tuyến \(\left[\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{AD}\right]=(-12; 12;-9)\).

Do đó \(\overrightarrow{n}=(-4; 4;-3)\) cũng là vectơ pháp tuyến của \((ABD)\).

Mặt phẳng \((ACD)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AC}=(0; 3;-4)\) và \(\overrightarrow{AD}=(3; 0;-4)\).

Suy ra \((ACD)\) có vectơ pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right]=(-12;-12;-9)\).

Do đó \(\overrightarrow{m}=(4; 4; 3)\) cũng là vectơ pháp tuyến của \((ACD)\).

Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng \((A B D)\) và \((A C D)\).

Khi đó

\(\cos \varphi=|\cos (\overrightarrow{n}, \overrightarrow{m})|=\displaystyle\frac{|-4 \cdot 4+4 \cdot 4+(-3) \cdot 3|}{\sqrt{(-4)^2+4^2+(-3)^2} \cdot \sqrt{4^2+4^2+3^2}}=\displaystyle\frac{9}{41}.\)

Vậy \(\varphi \approx 77{,}3^\circ\).

\((\alpha)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(1;2;2)\).

\((\beta)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=(7;-8;-15)\).

\(\cos((\alpha),(\beta))=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\displaystyle\frac{|1\cdot 7+2\cdot (-8)+2\cdot (-15)|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\sqrt{7^2+(-8)^2+(-15)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow ((\alpha),(\beta))=45^{\circ}\).

Mặt phẳng \((P)\) nhận vectơ \(\overrightarrow{u}=(1;1;1)\) là một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng \(Oxy) nhận vectơ \(\overrightarrow{v}=(0;0;1)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có

\begin{eqnarray*}\cos((P),(Oxy))&=&|\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|\\&=&\displaystyle\frac{1\cdot0+1\cdot0+1\cdot1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\sqrt{0^2+0^2+1^2}}\\&=&\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}.\end{eqnarray*}

Suy ra \(((P),(Oxy))\approx 54{,}7^\circ\).

Trục \(Oz\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{i}=(0; 0; 1)\), mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;2; -1)\).

Ta có

\(\sin (Oz,(P))=\displaystyle\frac{|0 \cdot 1+0 \cdot2+1 \cdot (-1)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}.\)

Vậy \(\left(Oz, (P)\right) \approx 24^\circ\).

Trục \(Ox\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{i}=(1; 0; 0)\), mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(\sqrt{2};-1; 1)\).

Ta có

\(\sin (Ox,(P))=\displaystyle\frac{|1 \cdot \sqrt{2}+0 \cdot(-1)+0 \cdot 1|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2} \cdot \sqrt{\sqrt{2}^2+(-1)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

Vậy \(Ox\) tạo với \((P)\) góc \(45^{\circ}\).

Hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) có véc-tơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}_{\alpha}=(1;2;4)\) và \(\overrightarrow{n}_{\beta}=(2;3;-2)\).

Ta có \(\overrightarrow{n}_{\alpha}\cdot \overrightarrow{n}_{\beta}=1\cdot 2+2\cdot 3+4\cdot (-2)=0\Rightarrow \left(\alpha\right)\perp \left(\beta\right)\).

\(\bullet\) \(\cos ((P),(Q)) = \displaystyle\frac{|8\cdot \sqrt{2} + 4\cdot \sqrt{2} -8\cdot 0|}{\sqrt{8^2 + (-4)^2 + (-8)^2}\cdot \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).

\(\bullet\) Suy ra góc giữa \((P)\) và \((Q)\) bằng bao nhiêu? \(45^\circ\).

Ta có \(\begin{cases} \overrightarrow{n}_{(P)}=(1;0;1)\\\overrightarrow{n}_{(Q)}=(1;-2;2)\end{cases}\Rightarrow\cos\left((P);(Q)\right)=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{n}_{(P)}\cdot\overrightarrow{n}_{(Q)}|}{|\overrightarrow{n}_{(P)}|\cdot |\overrightarrow{n}_{(Q)}|}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow\varphi=45^\circ\).

Vì \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \((P)\) nên \(\overrightarrow{n}_{(P)} = \overrightarrow{OH}=(2;-1;2)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((P)\).

\((Q)\colon x-y-11=0 \Rightarrow \overrightarrow{n}_{(Q)} = (1;-1;0)\).

Ta có \(\cos \left(\widehat{ (P), (Q) }\right) = \left| \cos \left(\widehat{ \overrightarrow{n}_{(P)}, \overrightarrow{n}_{(Q)} }\right) \right| = \displaystyle\frac{\left| 2\cdot 1 + (-1)\cdot (-1) +2\cdot 0 \right|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}\cdot \sqrt{1^2+(-1)^2}} =\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Vậy góc giữa mặt phẳng \((P)\) và mặt phẳng \((Q)\) là \(45^\circ\).

Véc-tơ pháp tuyến của \((P)\) là \(\overrightarrow{n}_{P}=(-6;m;-2m)\), véc-tơ pháp tuyến của \((Q)\) là \(\overrightarrow{n}_{Q}=(2;1;-2)\).

Mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt phẳng \((Q)\) khi và chỉ khi

\[\overrightarrow{n}_{P}\cdot\overrightarrow{n}_{Q}=0\Leftrightarrow -12+m+4m=0\Leftrightarrow m=\displaystyle\frac{12}{5}.\]

Mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) có véc-tơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}_1=(2;-1;2)\) và \(\overrightarrow{n}_2=(1;m;1)\).

Do đó \((P) \perp (Q) \Leftrightarrow \overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2=0 \Leftrightarrow 2-m+2=0 \Leftrightarrow m=4\).

Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi

\(\displaystyle\frac{3}{6}=\displaystyle\frac{-m}{5}=\displaystyle\frac{-1}{-2} \ne \displaystyle\frac{7}{-4}\) \(\Leftrightarrow m=-\displaystyle\frac{5}{2}\).

\((P)\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_{(P)}=(2;4;3)\), \((Q)\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_{(Q)}=(m;-n;-6)\).

Để hai mặt phẳng trên song song thì

\(\overrightarrow{u}_{(Q)}=k\overrightarrow{u}_{(P)}\,(k \neq 0) \Leftrightarrow \begin{cases} m=2k\\ -n=4k\\ -6=3k\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k=-2\\ m=-4\\ n=8.\end{cases}\)

Ta có \(A(0;0;0)\in (Q)\).

\((P)\parallel (Q)\Leftrightarrow \begin{cases}\displaystyle\frac{1}{1}=\displaystyle\frac{m}{1}=\displaystyle\frac{m-1}{2}\\A(0;0;0)\notin (P)\end{cases}\).

Hệ này vô nghiệm. Do đó \((P)\) không song song với \((Q)\), với mọi giá trị của \(m\).

Gọi \(\overrightarrow{n}_{P}\) và \(\overrightarrow{n}_{Q}\) lần lượt là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).

Ta có \(\overrightarrow{n}_P=(1;2;-1)\) và \(\overrightarrow{n}_Q=(1;-4;m-1)\).

Ta có \((P)\perp(Q)\Leftrightarrow \overrightarrow{n}_P\cdot\overrightarrow{n}_Q=0\Leftrightarrow 1-8-(m-1)=0\Leftrightarrow m=-6\).

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \(\overrightarrow{n}_{P}=(1;m+1;-2)\) và véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\) là \(\overrightarrow{n}_{Q}=(2;-1;0)\).

Để \((P)\perp(Q)\) thì

\[\overrightarrow{n}_{P}\cdot \overrightarrow{n}_{Q}=0\Leftrightarrow 2-m-1=0\Leftrightarrow m=1.\]

Vì \(2\neq 7\) nên \((P)\parallel (Q)\) khi \(\displaystyle\frac{1}{n}=\displaystyle\frac{m}{1}=\displaystyle\frac{3}{1} \Leftrightarrow \begin{cases}m=3\\n=\displaystyle\frac{1}{3}.\end{cases}\)

Ta có \((P)\parallel(Q)\Leftrightarrow\displaystyle\frac{2}{b}=\displaystyle\frac{a}{-6}=\displaystyle\frac{3}{-6}\ne\displaystyle\frac{-5}{-2}\) với \(b\ne0\). Suy ra \(\begin{cases}a=3\\b=-4\end{cases}\).

\(M(0;0;m)\) thuộc trục \(Oz\).

Ta có \(\overrightarrow{AM}=(1;-\sqrt{3};m)\), \(\overrightarrow{AB}=(2;0;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;-\sqrt{3};\sqrt{3})\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}_1 =\left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right] =(0;-2\sqrt{3};-2\sqrt{3})\),

\(\overrightarrow{n}_2 =\left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM} \right] =(0;-2m;-2\sqrt{3})\).

Mặt phẳng \((ABC)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1\), mặt phẳng \((MAB)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2\).

Hai mặt phẳng \((MAB)\) và \((ABC)\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\(\overrightarrow{n}_1 \perp \overrightarrow{n}_2

\Leftrightarrow 0\cdot 0 +(-2\sqrt{3})\cdot (-2m) + (-2\sqrt{3})\cdot (-2\sqrt{3}) =0

\Leftrightarrow m=-\sqrt{3}.\)

Mặt phẳng \((OAB)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_3 = \left[ \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} \right] =(0;0;-2\sqrt{3})\).

Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng \((MAB)\) và \((OAB)\).

Khi đó

\(\cos \varphi =\left| \cos \left(\overrightarrow{n}_2, \overrightarrow{n}_3\right) \right| = \displaystyle\frac{\left| \overrightarrow{n}_2 \cdot \overrightarrow{n}_3 \right|}{\left| \overrightarrow{n}_2 \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_3 \right|}=\displaystyle\frac{12}{2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3}} =\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}.\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((MAB)\) và \((OAB)\) là \(45^\circ\).

Ta có \(\overrightarrow{AB} = (2;-2;0)\), \(\overrightarrow{AC} = (0;-2;\sqrt{2})\), \(\overrightarrow{AD}=(0;4;0)\).

Ta có

\(\left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right] = \left(\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -2 & \sqrt{2}\end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ \sqrt{2} & 0\end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & -2\end{vmatrix}\right) = \left(-2\sqrt{2};-2\sqrt{2};-4\right)\).

Suy ra mặt phẳng \((ABC)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_{ABC}=(1;1;\sqrt{2})\).

Ta có \(\left[ \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right] = \left(\begin{vmatrix} -2 & \sqrt{2} \\ 4 & 0 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0\end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 4\end{vmatrix}\right) = \left(-4\sqrt{2};0;0\right)\).

Suy ra mặt phẳng \((ACD)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_{ACD}=(1;0;0)\).

Ta có

\(\cos ((ABC),(ACD)) = \displaystyle\frac{|\overrightarrow{n}_{ABC} \cdot \overrightarrow{n}_{ACD}|}{|\overrightarrow{n}_{ABC}| \cdot |\overrightarrow{n}_{ABC}|} = \displaystyle\frac{1}{2}\).

Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến mặt phẳng \((P)\) là

\(\mathrm{d}\left(M_0,(P)\right) = \displaystyle\frac{|2 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 + (-1) \cdot (-5) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = 4.\)

a) Ta có \(\overrightarrow{n}_1 = (2; -4; -4)\), \(\overrightarrow{n}_2 = (1; -2; -2)\) lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((P_1)\), \((P_2)\).

Do \(\overrightarrow{n}_1 = 2 \overrightarrow{n}_2\), \(D_1 = 3 \neq 2 = 2 D_2\) nên \((P_1) \parallel (P_2)\).

b) Chọn điểm \(M_0 \left(-\displaystyle\frac{3}{2} ; 0 ; 0\right) \in (P_1)\). Suy ra khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến mặt phẳng \((P_2)\) là:

\(\mathrm{d}\left(M_0, (P_2)\right) = \displaystyle\frac{\left|- \displaystyle\frac{3}{2} + 1\right|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \displaystyle\frac{1}{6}.\)

Do khoảng cách giưa hai mặt phẳng song song \((P_1)\), \((P_2)\) bằng \(\mathrm{d}\left(M_0, (P_2)\right)\) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \((P_1)\), \((P_2)\) bằng \(\displaystyle\frac{1}{6}\).

Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến mặt phẳng \((P)\) là

\(d\left(M_0,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|2\cdot 3+(-2)\cdot 1+(-1)\cdot(-5)+3\right|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}}=4.\)

Ta có \(\mathrm{d}\left(M,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|1-2+12+1\right|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=4\).

a) Do \(\displaystyle\frac{4}{8}=\displaystyle\frac{-1}{-2}=\displaystyle\frac{-1}{-2}\ne \displaystyle\frac{1}{1}\) nên \((P_1)\parallel (P_2)\).

b) Lấy \(A(0,0,1)\in (P_1)\) thì

\(\mathrm{d}\left((P_1),(P_2)\right)=\mathrm{d}\left(A,(P_2)\right)=\displaystyle\frac{\left|-2+1\right|}{\sqrt{8^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}.\)

Ta có \(\mathrm{d}(O,(P))=\displaystyle\frac{|2\cdot0+2\cdot0-0+1|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{1}{3}.\)

Mặt phẳng \((P),(Q)\) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_P}=(1;1;1)\), \(\overrightarrow{n_Q}=(1;1;1)\).

Ta có \(\overrightarrow{n_P}=1 \cdot \overrightarrow{n_Q}\) và \(6 \neq 1 \cdot 2\) nên hai mặt phẳng đã cho song song với nhau.

Lấy \(M(-2;0;0) \in (P)\). Khi đó khoảng cách hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) bằng

\[\mathrm{d}(M;(Q)) = \displaystyle\frac{|-2+0+0+6|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}.\]

Ta có \(d=\displaystyle\frac{\left|2\cdot 2-1\cdot(-1)+5\cdot 3+4\right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}=\displaystyle\frac{24}{\sqrt{30}}\).

Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\) là \(\mathrm{d}\left[A,(P)\right]=\displaystyle\frac{|2\cdot 1+3\cdot(-3)+4\cdot 1-5|}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}=\displaystyle\frac{8}{\sqrt{29}}.\)

Ta có \(\mathrm{d}(A,(P))=\displaystyle\frac{|2+3+4-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\displaystyle\frac{6}{3}=2\).

Khoảng cách từ \(M(1;-2;0)\) đến mặt phẳng \((P)\) là

\(\mathrm{d}(M;(P))=\displaystyle\frac{|2\cdot 1-2\cdot (-2)+1\cdot 0-1|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{5}{3}.\)

\(d(M;(P))=\displaystyle\frac{|2\cdot(-1)-2\cdot2+(-3)+5|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{4}{3}.\)

Ta có \(\mathrm{d}=\displaystyle\frac{\left|1-4-2+1\right|}{\sqrt{1+4+4}}=\displaystyle\frac{4}{3}\).

Ta có \((Oxy) \colon z=0\). Ta được \(d(A,(Oxy)) = \displaystyle\frac{|-6|}{1} = 6\).

Ta có \(\mathrm{d}=\displaystyle\frac{\left|3\cdot 1 - 4\cdot 2 + 2\cdot 3 + 4 \right|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2}} = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{29}}\).

Ta có \(\mathrm{d}(A,(P))=\displaystyle\frac{\left|-1-2\cdot0-2\cdot(-2)+9\right| }{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{12}{3}=4\).

Ta có \(\mathrm{d}(M,(P))=\displaystyle\frac{|4+3\cdot 2 - 5|}{\sqrt{4^2+3^2}}=1\).

Khoảng cách \(d=\mathrm{d}\left(A,(P)\right)=\displaystyle\frac{|2\cdot 1+3\cdot (-3)+4\cdot 1-5|}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}=\displaystyle\frac{8}{\sqrt{29}}\).

Áp dụng công thức khoảng cách ta được

\(\mathrm{d}=\displaystyle\frac{|16\cdot 2-12\cdot 0-15\cdot 1-4|}{\sqrt{16^2+(-12)^2+(-15)^2}}=\displaystyle\frac{13}{25}.\)

Ta có \(\mathrm{d}(A,(P))=\displaystyle\frac{|3\cdot 1+4\cdot(-2)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{29}}\).

\(\mathrm{d}(A,(P))=\displaystyle\frac{ \left| 3 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 + 4 \right|}{\sqrt{3^2+(-4)^2+2^2}} = \displaystyle\frac{21}{\sqrt{29}}.\)

Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng \((ABC)\colon \displaystyle\frac{x}{1}+\displaystyle\frac{y}{-1}+\displaystyle\frac{z}{2}=1\) hay \((ABC)\colon 2x-2y+z-2=0.\)

Từ đó: \(\mathrm{d}(O,(ABC))=\displaystyle\frac{|0+0+0-2|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\)

Khoảng cách từ điểm \(M\) tới \((Oxy)\) là \(\left|z_M\right|=|-5|=5\).

Ta có \(\mathrm{d}(O,(P))=\displaystyle\frac{|-6|}{\sqrt{4+1+4}}=2\).

Ta có \(\mathrm{d}\left(A,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|3\cdot 1+4\cdot (-2)+2\cdot 3+4\right|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{29}}\).

Ta có \(\mathrm{\,d}\left(A,(P)\right)=\displaystyle\frac{\vert 1+3(-2)-4\cdot 3+9\vert}{\sqrt{1^2+3^2+(-4)^2}}=\displaystyle\frac{4\sqrt{26}}{13}\).

Mặt phẳng \(Oxy\) có phương trình \(z=0\). Do đó \(\mathrm{d}(A,Oxy) = |-4| =4\).

Ta có \(\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{-2}{-4}=\displaystyle\frac{-2}{-4}\ne \displaystyle\frac{6}{-2}\) nên hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song nhau.

Chọn \(A(0;0;3)\in (P)\). Khi đó

\(\mathrm{d}\left((P),(Q)\right) =\mathrm{\,d}\left(A,(Q)\right) = \displaystyle\frac{|0-0-12-2|}{\sqrt{4+16+16}}=\displaystyle\frac{7}{3}\).

Phương trình mặt phẳng \((Oyz)\) là \(x=0\). Khi đó, khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((Oyz)\) được tính bởi

\(\mathrm{d}(A,(Oyz))=\displaystyle\frac{\left| x_A\right| }{1}=3.\)

\(d(M,(P))=\displaystyle\frac{|2-2\cdot 4+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\).

Ta có \(\mathrm{d}\left(A, (P)\right)=\displaystyle\frac{|-1-0+4+9|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{12}{3}=4\).

Ta thấy \((\alpha) \parallel (\beta) \Rightarrow \mathrm{d}((\alpha);(\beta)) = \mathrm{d}(M;(\beta)) = \displaystyle\frac{|16 - 2|}{ \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} } = \sqrt{14}\) với \(M(0;0;2) \in (\alpha)\).

Ta có \(\mathrm{d}(M;(P))= \displaystyle\frac{\left| 2\cdot 2 - 2 + 2\cdot (-1)+1 \right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Ta có \(\mathrm{d} (A,(P)) = \displaystyle\frac{|2\cdot 1 + 3 \cdot (-1) - 2 + 2|}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{14}}.\)

Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((P)\) bằng bao nhiêu? \(\mathrm{d}(M, (P))=\displaystyle\frac{|2 \cdot 2-1-2\cdot 4-7|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=4\).

Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có

\(\mathrm{d}\left(O,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|0+2\cdot 0-2\cdot 0-12\right|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=4.\)

Ta có: \(\mathrm{d}\left[(P),(Q)\right]=\displaystyle\frac{|-10+3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\displaystyle\frac{7}{3}\).

Lấy \(M(-3;0;0)\in (P)\). Vì \((P)\parallel (Q)\) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) bằng bao nhiêu? khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((Q)\).

Ta có \(\mathrm{d}(M,(Q))=\displaystyle\frac{|x_M+2y_M-2z_M-1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{4}{3}\).

Ta thấy \((\alpha)\) và \((\beta)\) song song với nhau nên

với \(A(0;2;0) \in (\alpha)\).

Khi đó \(\mathrm{d}[(\alpha);(\beta)]=\mathrm{d}(A;(\beta))=\displaystyle\frac{|4-7|}{\sqrt{1+4+4}}=1\).

Chọn \(A(0;0;1)\in(P)\). Vì \((P)\) và \((Q)\) song song nhau nên

\[\mathrm{d}((P);(Q))=\mathrm{d}(A;(Q))=\displaystyle\frac{|2\cdot0-2\cdot0+1-7|}{3}=2.\]

Ta thấy mặt phẳng \((P)\colon 2x-y+z=0\) đi qua điểm \(O(0;0;0)\).

Vì \((P) \parallel (Q)\) nên

\[\mathrm{d}\left((P),(Q)\right) = \mathrm{d}\left(O,(Q)\right) = \displaystyle\frac{|2\cdot 0-0+0-7|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} = \displaystyle\frac{7}{\sqrt{6}}.\]

Chọn \(M(0;-7;0) \in (P)\).

Vì \((P) \parallel (Q)\) nên

\(\mathrm{d}\left[(P),(Q)\right]=\mathrm{d}\left[M,(Q)\right]=\displaystyle\frac{|7-1|}{\sqrt{4+1+4}}=2.\)

Ta thấy \(O(0;0;0)\in (P)\) và \((P)\parallel (Q)\) nên

\(\mathrm{\,d}((P),(Q))=\mathrm{\,d}(O,(Q))=\displaystyle\frac{|0+2\cdot 0+2\cdot 0-12|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\displaystyle\frac{12}{3}=4.\)

Đưa hình lập phương vào hệ trục tọa độ như trên hình, theo đề bài ta có \(O(0;0;0)\); \(B(a;0;0)\); \(C(a;a;0)\); \(D(0;a;0)\); \(O'(0;0;a)\); \(B'(a;0;a)\); \(C'(a;a;a)\); \(D'(0;a;a)\);

a) Ta có \(\overrightarrow{OB'}=(a;0;a)\); \(\overrightarrow{OD'}=(0;a;a)\); \(\overrightarrow{O'C}=(a;a;-a)\).

Khi đó \(\overrightarrow{O'C}\cdot \overrightarrow{OB'}=0\) và \(\overrightarrow{O'C}\cdot \overrightarrow{OD'}=0\) nên suy ra \(O'C \perp OB'\), \(O'C \perp OD'\). Do đó \(O'C \perp (OB'D')\).

b) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(OB'D'\), ta có \(G\left(\displaystyle\frac{a}{3}; \displaystyle\frac{a}{3}; \displaystyle\frac{2a}{3}\right)\).

Khi đó \(\overrightarrow{O'G}=\left(\displaystyle\frac{a}{3}; \displaystyle\frac{a}{3}; -\displaystyle\frac{a}{3}\right)\).

Ta có \(\overrightarrow{O'C}=(a;a;-a)\) và \(\overrightarrow{O'G}=\left(\displaystyle\frac{a}{3}; \displaystyle\frac{a}{3}; -\displaystyle\frac{a}{3}\right)\) suy ra \(\overrightarrow{O'C}=3\overrightarrow{O'G}\). Do đó \(O'\), \(G\), \(C\) thẳng hàng. Mà \(G\) là trọng tâm tam giác \(OB'D'\) nên suy ra \(G\) là giao điểm của đường chéo \(O'C\) và mặt phẳng \(\left(OB'D'\right)\).

c) Ta có \(\overrightarrow{C'B}= (0;-a;-a)\); \(\overrightarrow{C'D}=(-a;0;-a)\).

Khi đó \(\overrightarrow{O'C}\cdot \overrightarrow{C'B}=0\) và \(\overrightarrow{O'C}\cdot \overrightarrow{C'D}=0\) nên suy ra \(O'C \perp C'B\), \(O'C \perp C'D\).

Do đó \(O'C \perp (C'BD)\). \\Ta có \(\overrightarrow{O'C}=(a;a;-a)=a(1;1;-1)\) nên mặt phẳng nhận véc-tơ \(\overrightarrow{n}_1=(1;1;-1)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Vậy mặt phẳng \((C'BD)\) đi qua \(B(a;0;0)\) và có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(1;1;-1)\) nên có phương trình \(1\cdot (x-a)+1\cdot (y-0)-1\cdot (z-0) = 0\Leftrightarrow x+y-z-a=0\).

\(\mathrm{d}\left(B';(C'BD)\right)=\displaystyle\frac{a+0-a-a}{\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left(CO'D\right)\) và \(\left(C'BD\right)\).

Ta có mặt phẳng \((C'BD)\) vó véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(1;1;-1)\).

Ta có \(OD'\perp (O'CD)\) và \(\overrightarrow{OD'}=(0;a;a)=a(0;1;1)\) nên mặt phẳng \((O'CD)\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{n_2}=(0;1;1)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

\(\cos \left((CO'D);(C'BD)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1\right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_2\right|}= 0\).

a) Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(\displaystyle\frac{a}{2};0;-\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\) và \(\overrightarrow{CD}=\left(a;0;0\right)\).

Khi đó \(\cos\left(SA,CD\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{CD}\right|}{\left|\overrightarrow{SA}\right|\cdot\left|\overrightarrow{CD}\right|}=\displaystyle\frac{\left|\displaystyle\frac{a}{2}\cdot a+0\cdot0+\left(-\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\cdot0\right|}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2+0^2+\left(-\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}\cdot\sqrt{a^2+0^2+0^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy \(\left(SA,CD\right)=60^\circ\).

b) Ta có \(\overrightarrow{AC}=\left(-a;a;0\right)\). Khi đó mặt phẳng \((SAC)\) có véc-tơ pháp tuyến cùng phương với véc-tơ \(\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{2};\displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{2};\displaystyle\frac{a^2}{2}\right)=\displaystyle\frac{a^2}{2}\left(\sqrt{3};\sqrt{3};1\right).\)

Suy ra một véc-tơ pháp tuyến của \((SAC)\) là \(\overrightarrow{n}=\left(\sqrt{3};\sqrt{3};1\right)\).

Ta lại có \(\overrightarrow{SD}=\left(\displaystyle\frac{a}{2};a;-\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\), suy ra \(SD\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left(1;2;-\sqrt{3}\right)\).

Do đó \(\sin\left(SD,(SAC)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}=\displaystyle\frac{\left|\sqrt{3}\cdot1+\sqrt{3}\cdot2+1\cdot\left(-\sqrt{3}\right)\right|}{\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2+\left(-\sqrt{3}\right)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{42}}{14}\).

Vậy \(\left(SD,(SAC)\right)\approx28^\circ\).

a) Ta thấy \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OD}=(0;3;0)\) nên

\(\begin{cases}x_C-2=0\\y_C-0=3\\z_C-0=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_C=2\\y_C=3\\z_C=0.\end{cases}\)

Suy ra \(C(2;3;0)\).

b) Mặt phẳng \((SBD)\) cắt ba trục tọa độ tại \(B(2;0;0)\), \(D(0;4;0)\) và \(S(0;0;4)\) nên có phương trình

\((SBD)\colon \displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{y}{3}+\displaystyle\frac{z}{4}=1 \Leftrightarrow 6x+4y+3z-12=0.\)

c) Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((SBD)\) là

\(\mathrm{d}\left(C,(SBD)\right)=\displaystyle\frac{\left|12+12+0-12\right|}{\sqrt{36+16+9}}=\displaystyle\frac{12\sqrt{61}}{61}.\)

Trong hình vuông \(A D D^{\prime} A^{\prime}\), ta có: \(A D^{\prime} \perp D A^{\prime}\).

Do \(CD \perp\left(A D D^{\prime} A^{\prime}\right)\) nên \(A D^{\prime} \perp C D\). Suy ra \(A D^{\prime} \perp\left(C D A^{\prime} B^{\prime}\right)\).

Mặt khác, ta có: \(A A^{\prime} \perp(A B C D)\), suy ra góc giữa hai mặt phẳng \((A B C D)\) và \(\left(C D A^{\prime} B^{\prime}\right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(A A^{\prime}\) và \(A D^{\prime}\), đó là góc \(A^{\prime} A D^{\prime}\).\\ Vì tam giác \(A^{\prime} A D^{\prime}\) vuông cân tại \(A^{\prime}\) nên \(\widehat{A^{\prime} A D^{\prime}}=45^{\circ}\). \\Vậy \(\left((A B C D),\left(C D A^{\prime} B^{\prime}\right)\right)=\widehat{A^{\prime} A D^{\prime}}=45^{\circ}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;0\right)\), \(\overrightarrow{AC}=\left(-1;0;1\right)\), \(\overrightarrow{AD}=\left(-3;1;-1\right)\),

\(\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right]=\left(1;1;1\right)\).

\(\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right]\cdot \overrightarrow{AD}=-3+1-1=-3\ne 0\). Do đó \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;0\right)\), \(\overrightarrow{CD}=\left(-2;1;-2\right)\).

Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) ta có \(\cos\varphi=\displaystyle\frac{\left| \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}\right| }{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CD}|}=\displaystyle\frac{\left| 2+1+0\right| }{\sqrt{1+1+0}\cdot\sqrt{4+1+4}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \varphi=45^{\circ}.\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là \(\varphi=45^{\circ}\).

c) Ta có \(V=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\left| \left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right]\cdot \overrightarrow{AD}\right| =\displaystyle\frac{1}{6}\cdot 3=2\).

\(\overrightarrow{BC}=\left(0;-1;1\right)\), \(\overrightarrow{BD}=\left(-2;0;-1\right)\),

\(S_{BCD}=\displaystyle\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right] \right|=\displaystyle\frac{3}{2}\).

Gọi \(AH\) là đường cao kẻ từ \(A\) của hình chóp \(A.BCD\). Khi đó

\(AH=\displaystyle\frac{3V}{S_{BCD}}=4\).

a) \(\overrightarrow{BC}=\left(-1;2;-7\right)\), \(\overrightarrow{BD}=\left(0;4;-6\right)\);

\(\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left(16; -6; -4\right)\).

Mặt phẳng \((B C D)\) đi qua \(B\left(1; 0; 6\right)\) và nhận \(\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left(16; -6; -4\right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \(\left(BCD\right)\) là \(16\left(x-1\right)-6\left(y-0\right)-4\left(z-6\right)=0\Leftrightarrow 8x-3y-2z+10=0.\)

Ta có \(-16-18-6+10=-30\ne 0\) nên \(A\left(-2; 6; 3\right)\notin \left(BCD\right)\). Suy ra \(A B C D\) là một tứ diện.

b) Chiều cao \(A H\) của tứ diện \(A B C D\) là \(AH=\mathrm{d}\left(A,\left(BCD\right)\right)=\displaystyle\frac{\left| -16-18-6+10\right| }{\sqrt{8^2+(-3)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{30}{\sqrt{77}}.\)

c) \(\overrightarrow{AB}=\left(3;-6;3\right)\), \(\overrightarrow{CD}=\left(1;2;1\right)\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(B\left(1; 0; 6\right)\) và nhận \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right]=\left(-12; 0; 12\right)\) làm vectơ pháp tuyến.\\ Phương trình \(\left(\alpha\right)\) là

\(-12\left(x-1\right)+0\left(y-0\right)+12\left(z-6\right)=0\Leftrightarrow -x+z-5=0\).

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) chứa \(A B\) và song song với \(C D\) là \(-x+z-5=0\).

Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho các điểm có tọa độ như sau: \(O(0;0;0)\), \(O'(2a;0;0)\), \(B(0;3a;0)\), \(C(0;0;1a)\).

Trong không gian \(Oxyz\) vừa chọn, ta có \(B'(2a;3a;0)\), \(C'(2a;0;1a)\), \(\overrightarrow{BO}'=(0;-3a;0)\), \(\overrightarrow{CB}'=(2a;3a;-a)\).

a) Hai đường thẳng \(BO'\) và \(B'C\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{u}=(0;3;0)\), \(\overrightarrow{v}=(2;3;-1)\).

Ta có

\begin{eqnarray*}\cos (BO',B'C)&=&\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} \right |}{\left |\overrightarrow{u} \right |\cdot\left |\overrightarrow{v} \right |}\\&=&\displaystyle\frac{\left |0\cdot 2+3\cdot 3+0\cdot (-1) \right |}{\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{14}}.\end{eqnarray*}

Suy ra \((BO',B'C)\approx 36^{\circ}42'\).

b) Ta có phương trình mặt phẳng \((O'BC)\) theo đoạn chắn là \(\displaystyle\frac{x}{2a}+\displaystyle\frac{y}{3a}+\displaystyle\frac{z}{a}=1\) hay \(3x+2y+6z-6a=0\).

Mặt phẳng \((O'BC)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(3;2;6)\), mặt đáy \((OBC)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa mặt phẳng \((O'BC)\) và mặt đáy.

Ta có \(\cos\alpha =\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{k} \right |}{\left |\overrightarrow{n} \right |\cdot\left |\overrightarrow{k} \right |}=\displaystyle\frac{\left |3\cdot 0+2\cdot 0+6\cdot 1 \right |}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}\cdot\sqrt{1^2}}=\displaystyle\frac{6}{7}\).

Suy ra \(\left ((O'BC),(OBC) \right )\approx 31^{\circ}1'\).

c) Gọi \(\beta\) là góc giữa đường thẳng \(B'C\) và mặt phẳng \((O'BC)\).

Ta có \(\sin\beta =\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n} \right |}{\left |\overrightarrow{v} \right |\cdot\left |\overrightarrow{n} \right |}=\displaystyle\frac{\left |2\cdot 3+3\cdot 2+(-1)\cdot 6 \right |}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+2^2+6^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{14}}{49}\).

Suy ra \((B'C,(O'BC))\approx 13^{\circ}15'\).

Chọn hệ tọa độ \(Oxyz\) sao cho các điểm có tọa độ như sau: \(A(0;0;0)\), \(B(2a;0;0)\), \(D(0;3a;0)\), \(S(0;0;2a)\).

Trong không gian \(Oxyz\) vừa chọn, ta có \(C(2a;3a;0)\), \(\overrightarrow{SC}=(2a;3a;-2a)\), \(\overrightarrow{BD}=(-2a;3a;0)\).

a) Hai đường thẳng \(SC\) và \(BD\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{u}=(2;3;-2)\), \(\overrightarrow{v}=(-2;3;0)\).

Ta có

\begin{eqnarray*}

\cos (SC,BD)=\displaystyle\frac{\left |2\cdot (-2)+3\cdot 3+(-2)\cdot 0 \right |}{\sqrt{2^2+3^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{(-2)^2+3^2+0^2}}=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{221}}.

\end{eqnarray*}

Suy ra \((SC,BD)\approx 70^{\circ}21'\).

b) Ta có phương trình mặt phẳng \((SBD)\) theo đoạn chắn là \(\displaystyle\frac{x}{2a}+\displaystyle\frac{y}{3a}+\displaystyle\frac{z}{2a}=1\) hay \(3x+2y+3z-6a=0\).

Mặt phẳng \((SBD)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(3;2;3)\), mặt đáy \((ABCD)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa mặt phẳng \((SBD)\) và mặt đáy.

Ta có \(\cos\alpha =\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{k} \right |}{\left |\overrightarrow{n} \right |\cdot\left |\overrightarrow{k} \right |}=\displaystyle\frac{\left |3\cdot 0+2\cdot 0+3\cdot 1 \right |}{\sqrt{3^2+2^2+3^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{22}}\).

Suy ra \(\left ((SBD),(ABCD) \right )\approx 50^{\circ}14'\).

c) Gọi \(\beta\) là góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((SBD)\).

Ta có \(\sin\beta =\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n} \right |}{\left |\overrightarrow{u} \right |\cdot\left |\overrightarrow{n} \right |}=\displaystyle\frac{\left |2\cdot 3+3\cdot 2+(-2)\cdot 3 \right |}{\sqrt{2^2+3^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{3^2+2^2+3^2}}=\displaystyle\frac{6}{\sqrt{374}}\).

Suy ra \(\left (SC,(SBD) \right )\approx 18^{\circ}4'\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Axyz\) với \(A\left(0;0;0\right)\) là gốc tọa độ, \(AB\) là trục \(Ax\), \(AC\) là trục \(Ay\) và \(AS\) là trục \(Az\). Khi đó ta có

\(B\left(2;0;0\right), D\left(0;5;0\right), S\left(0;0;3\right)\)

Vì \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) nên

\(\left\{\begin{array}{l}x_D-x_A=x_C-x_B\\y_D-y_A=y_C-y_B\\z_D-z_A=z_C-z_B\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0-0=x_C-2\\5-0=y_C-0\\0-0=z_C-0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_C=2\\y_C=5\\z_C=0\end{array}\right. \Rightarrow C\left(2;5;0\right)\)

Mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) có hai vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{SB}=\left(2;0;-3\right)\) và \(\overrightarrow{SB}=\left(2;5;-3\right)\). Do đó mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}\right]=\left(15;0;10\right)\).

Phương trình tổng quát của \(\left(SBC\right)\) là

\(15\cdot \left(x-0\right)+0\cdot \left(y-0\right)+10\cdot \left(z-3\right)=0 \text{ hay } 15x+10z-30=0 \text{ hay } 3x+2z-6=0\)

Khi đó, khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) là

\(d(A,(SBC))=\displaystyle\frac{\left| 3\cdot 0 +2 c\cdot 0 -6\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\displaystyle\frac{6 \sqrt{13}}{13}\)

a) Mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=\left(-4;5;-1\right),\overrightarrow{AC}=\left(0;-1;1\right)\), suy ra \((ABC)\) có vectơ pháp tuyến là

\(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(4;4;4\right)\)

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là

\(4\left(x-4\right)+4\left(y-0\right)+4\left(z-2\right)=0 \text{ hay } 4x+4y+4z-24=0 \text{ hay } x+y+z-6=0.\)

Tương tự ta có phương trình mặt phẳng \((ABD)\) là \(14x+13y+9z-74=0\).

b) Ta có mặt phẳng \((P)\) có hai vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AD}\). Do đó, mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}\right]=\left(-16;-14;-10\right)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là

\(-16\left(x-4\right) -14\left(y-0\right) -10\left(z-2\right)=0 \text{ hay } -16x-14y-10z+84=0 \text{ hay } 8x+7y+5z-42=0.\)

Ta có: \(AC=AB\sqrt{2}=2a\)

Suy ra \(OA=OB=OC=OD=a\)

Từ hình vẽ ta có

\(S(0;0;2), A(-1;0;0), B(0;1;0), C(1;0;0)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left(SAB\right)\) là

\(\displaystyle\frac{x}{-1}+\displaystyle\frac{y}{1}+\displaystyle\frac{z}{2}=1 \Leftrightarrow -2x+2y+z-2=0\)

Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left(SAB\right)\) là

\(d\left(C, \left(SAB\right)\right) = \displaystyle\frac{\left| -2 \cdot 1 + 2\cdot 0 + 0 -2 \right|}{\sqrt{\left(-2\right)^2 + 2^2 +1^2}}=\displaystyle\frac{4}{3}\)

Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua ba điểm \(A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(5; 2; 3)\) nên có cặp véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB} = (1; 2; 3), \overrightarrow{AC}= (4; 1; 2)\(, suy ra\)(ABC)\(có véctơ pháp tuyến

\(\overrightarrow{n}= (2\cdot 2 - 3\cdot1; 3\cdot4 - 1\cdot2; 1 - 2\cdot4) = (1; 10; -7)\).

Phương trình của \((ABC)\) là \((x-1) + 10(y-1) - 7(z-1) = 0\) hay \(x + 10y - 7z = 0\).

Chiều cao \(SH\) của hình chóp \(S.ABC\) chính là khoảng cách từ điểm \(S\) đến \((ABC)\).

Ta có \(SH = \mathrm{d}[S,(ABC)]=\displaystyle\frac{\left|1\cdot5 + 10\cdot0 + (-7)\cdot1 -4\right|}{\sqrt{1^2 + 10^2 + (-7)^2}} = \displaystyle\frac{6}{5\sqrt{6}} = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{5}\).

Ta có \(B'(0;1;1)\), \(C(1;1;0)\), \(C'(1;1;1)\), \(D'(1;0;1)\).

a) Ta có \(\overrightarrow{A'C} =(1;1;-1)\), \(\overrightarrow{AD'} =(1;0;1)\), \(\overrightarrow{B'A} =(0;-1;-1)\).

Suy ra \(\overrightarrow{A'C}\cdot \overrightarrow{AD'}=0\), \(\overrightarrow{A'C}\cdot \overrightarrow{B'A}=0\).

Do đó \(\begin{cases} A'C\perp AD'\\ A'C\perp B'A\\ \text{Trong } (AB'D'),\, AD'\cap B'A=A\end{cases}\) suy ra \(A'C \perp\left(A B'D'\right)\).

b) Ta có \(\begin{cases} AB'\parallel DC'\\ AD'\parallel BC'\\ \text{Trong } (AB'D'),\, AB'\cap AD'=A\\ \text{Trong } (C'BD),\, DC'\cap BC'=C'\end{cases}\) suy ra \(\left(A B'D'\right) \parallel\left(C'B D\right)\).

Gọi \(I\), \(I'\) lần lượt là tâm hình vuông \(ABCD\), \(A'B'C'D'\).

Kẻ \(IH\perp AI'\).

Ta có \(\begin{cases} B'D'\perp AA'\\ B'D'\perp A'C'\\ \text{Trong } \left(A CC'A'\right),\, AA'\cap A'C=A'\end{cases}\) suy ra \(B'D'\perp \left(A CC'A'\right)\).

Nên \(B'D'\perp IH\).

Ta có \(\begin{cases} IH\perp AI'\\ IH\perp B'D'\\ \text{Trong } \left(A B'D'\right),\, AI'\cap B'D'=I'}\) suy ra \(IH\perp \left(A B'D'\right)\).

Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left(A B'D'\right)\) và \(\left(C'B D\right)\) là

\[\mathrm{d}(\left(A B'D'\right),\left(C'B D\right))=\mathrm{d}(I,\left(A B'D'\right))=IH.\]

Xét tam giác \(IAI'\) vuông tại \(I\) có \(II'=1\), \(IA=\displaystyle\frac{AC}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Suy ra \(IH=\displaystyle\frac{II'\cdot IA}{\sqrt{II'^2+IA^2}}=\displaystyle\frac{1\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}} =\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Vậy \(\mathrm{d}(\left(A B'D'\right),\left(C'B D\right))=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{DA'}=(-1;0;1)\), \(\overrightarrow{DC'}=(0;1;1)\).

\(\left[\overrightarrow{DA'},\overrightarrow{DC'} \right]=(-1;1;-1)\).

Mặt phẳng \((\left(DA'C'\right)\) và \(\left(ABB'A'\right)\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(-1; 1;-1)\) và \(\overrightarrow{AD}=(1;0;0)\).

Ta có

\[\cos \left((\left(DA'C'\right),\left(ABB'A'\right)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AD}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right| \cdot\left|\overrightarrow{AD}\right|}=\displaystyle\frac{|-1 \cdot 1+1 \cdot 0+(-1)\cdot0|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}.\]

Vậy \((\left(DA'C'\right),\left(ABB'A'\right))\approx 54{,}74^{\circ}\).

a) Phương trình mặt phẳng \((SBD)\) là \[\displaystyle\frac{x}{1}+\displaystyle\frac{y}{3}+\displaystyle\frac{z}{2}=1 \Leftrightarrow 6x+2y+3z-6=0.\]

Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBD)\) là

\[\mathrm{d}(A,(SBD))=\displaystyle\frac{|6\cdot 0+2\cdot 0+3\cdot 0-6|}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}}=\displaystyle\frac{6}{7}.\]

b) Đường thẳng \(SD\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{SD}=(0;3;-2)\), mặt phẳng \((SAB)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{j}=(0;1;0)\).

Ta có

\[\sin (SD,(SAB))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{SD} \cdot \overrightarrow{j}\right|}{\left|\overrightarrow{SD}\right| \cdot\left|\overrightarrow{j}\right|}=\displaystyle\frac{|0 \cdot 0+3 \cdot 1+(-2)\cdot0|}{\sqrt{0^2+3^2+(-2)^2} \cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{13}}{13}.\]

Vậy \(((SD,(SAB))\approx 33{,}69^{\circ}\).

c) Ta có \(\overrightarrow{SB}=(-1;0;2)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;3;0)\).

\(\left[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{BC} \right]=(-6;0;-3)\).

Ta có \(\overrightarrow{SC}=(1;3;-2)\), \(\overrightarrow{CD}=(-1;0;0)\).

\(\left[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{CD} \right]=(0;-2;3)\).

Mặt phẳng \((SBC)\) và \((SCD)\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(-6; 0;-3)\) và \(\overrightarrow{n'}=(0;-2;3)\).

Ta có

\(\cos ((SBC),(SCD))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n'}\right|}=\displaystyle\frac{|-6 \cdot 0+0 \cdot (-2)+(-3)\cdot3|}{\sqrt{(-6)^2+0^2+(-3)^2} \cdot \sqrt{0^2+(-2)^2+3^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{65}}{65}.\)

Vậy \(((SBC),(SCD))\approx 68{,}15^{\circ}\).

a) Vì \(\overrightarrow{A B}\) và \(\overrightarrow{A D}\) không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng \((A B C D)\) nên \(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}\) là một cặp vectơ chỉ phương của \((A B C D)\).

b) Vì \(A A' \perp(A B C D)\) nên \(\overrightarrow{A A'}\) là một vectơ pháp tuyến của \((A B C D)\).

Mặt phẳng \(\left(OAB\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]=\left(0;0;ab\right)=ab(0,0,1)\).

Mặt phẳng \(\left(OCB\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right]=\left(bc;0;0\right)=bc(1,0,0)\).

Mặt phẳng \(\left(OAC\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_3}=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right]=\left(0;-ac;0\right)=-ac(0,1,0)\).

Mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) có phương trình là \(\displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{y}{b}+\displaystyle\frac{z}{c}=1\) hay

\(bcx+acy+abz=abc\).

Do đó, \((ABC)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_4}=\left(bc,ac,ab\right)\).

Ta có

\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{ab}{\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}}\);

\(\cos\beta=\displaystyle\frac{bc}{\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}}\);

\(\cos\gamma=\displaystyle\frac{ac}{\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}}\).

Suy ra \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\).

a) Ta có \(\overrightarrow{BC}=(-1;2;-7)\) và \(\overrightarrow{BD}=(0;4;-6)\).

Do đó \(\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(16;-6;-4)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((BCD)\).

Chọn \(\overrightarrow{n}=(8;-3;-2)\) là véc-tơ pháp tuyến của \((BCD)\).

Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B(1;0;6)\) và nhận \(\overrightarrow{n_1}=(8;-3;-2)\) là véc-tơ pháp tuyến là

\[(BCD) \colon 8(x-1)-3(y-0)-2(z-6)=0 \Leftrightarrow 8x-3y-2z+4=0.\]

Do \(8\cdot (-2)-3\cdot 6-2\cdot 3+4=-36 \ne 0\) nên điểm \(A(-2;6;3)\) không thuộc \((BCD)\).

Suy ra \(A.BCD\) là một hình chóp.

b) Chiều cao \(AH\) của hình chóp \(A.BCD\) là khoảng cách từ \(A\) đến \((BCD)\). Ta có

\[\mathrm{d}(A,(BCD))=\displaystyle\frac{\left|-36\right|}{\sqrt{8^2+(-3)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{36\sqrt{77}}{77}.\]

c) \((\alpha)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) nên nhận tích có hướng của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(3;-6;3)\), \(\overrightarrow{CD}=(1;2;1)\) và \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right]=(-12;0;12)\).

\((\alpha)\) qua \(A(-2;6;3)\) và nhận \(\overrightarrow{n_2}=(-1;0;1)\) làm véc-tơ pháp tuyến. Ta có \[(\alpha) \colon -1(x+2)+0(y-6)+1(z-3)=0 \Leftrightarrow -x+z-5=0.\]

a) \((ABC)\) đi qua \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\) nên

\((ABC) \colon \displaystyle\frac{x}{1}+\displaystyle\frac{y}{1}+\displaystyle\frac{z}{1}=1\).

Véc-tơ pháp tuyến của \((ABC)\) là \(\overrightarrow{n}_{1}=(1;1;1)\).

Mặt khác \(\overrightarrow{BC}=(0;-1;1)\), \(\overrightarrow{BD}=(-2;0;-1)\) và \(\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right]=(1;-2;-2)\).

Véc-tơ pháp tuyến của \((BCD)\) là \(\overrightarrow{n}_2=(1;-2;-2)\).

Ta có \(\cos\left((ABC),(BCD)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1\right|\cdot \left| \overrightarrow{n}_2\right|}=\displaystyle\frac{\left|1\cdot 1+1\cdot (-2)+1\cdot (-2)\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow \left((ABC),(BCD)\right) \approx 54{,}7^{\circ}\).

b) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)\) và \(\overrightarrow{CD}=(-2;1;-2)\) lần lượt là véc-tơ chỉ phương của \(AB\) và \(CD\).

\(\cos(AB,CD)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}\right|}{\left|\overrightarrow{AB} \right|\cdot \left|\overrightarrow{CD}\right|}=\displaystyle\frac{\left|(-1)\cdot (-2)+1\cdot 1+0\cdot (-2)\right|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}\sqrt{(-2)^2+1^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow (AB,CD)=45^{\circ}\).

c) Đường thẳng \(AB\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)\).

Mặt phẳng \((BCD)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=(1;-2;-2)\).

\(\sin(AB,(BCD))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{u} \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|}=\displaystyle\frac{\left|-1\cdot 1+1 \cdot (-2)+0\cdot (-2) \right|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow (AB,(BCD))=45^{\circ}\).

Ta có \(AC=BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc tọa độ \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) như hình vẽ.

Gọi \(z\) là chiều cao của lều.

Ta có \(O(0;0;0),A(2\sqrt{2};0;0),B(0;2\sqrt{2};0),C(-2\sqrt{2};0;0),D(0;-2\sqrt{2};0),S(0;0;z)\), với \(z>0\).

Ta có \(\overrightarrow{AD}=(-2\sqrt{2};-2\sqrt{2};0),\overrightarrow{AB}=(-2\sqrt{2};2\sqrt{2};0),\overrightarrow{AS}=(-2\sqrt{2};0;z)\).

Vectơ pháp tuyến của \((SAD)\) là \(\overrightarrow{n_1}=[\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AS}]=(-2z\sqrt{2};2z\sqrt{2};-8)\).

Vectơ pháp tuyến của \((SAB)\) là \(\overrightarrow{n_2}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AS}]=(2z\sqrt{2};2z\sqrt{2};8)\).

Ta có

\begin{eqnarray*}\cos((SAD),(SAB))&=&\displaystyle\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}\\&=&\displaystyle\frac{|-2z\sqrt{2}\cdot 2z\sqrt{2}+2z\sqrt{2}\cdot 2z\sqrt{2}+8\cdot(-8)|}{\sqrt{(-2z\sqrt{2})^2+(2z\sqrt{2})^2+(-8)^2}\cdot \sqrt{(2z\sqrt{2})^2+(2z\sqrt{2})^2+8^2}}\\&=&\displaystyle\frac{64}{16z^2+64}.\end{eqnarray*}

Vì góc giữa hai mặt bên bằng \(60^{\circ}\) nên góc giữa hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SAB)\) bằng \(60^{\circ}\).

Do đó

\(\cos 60^{\circ}=\displaystyle\frac{64}{16z^2+64} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{64}{16z^2+64}\Leftrightarrow 16z^2+64=128\Leftrightarrow \hoac{&z=2\\&z=-2}\)

Vì \(z>0\) nên ta có \(S(0;0;2)\).

Vậy chiều cao của lều là \(2\) m.

a) Gọi \(D(x_D;y_D;z_D) \Rightarrow \overrightarrow{DC}=(7-x_D;7-y_D;5-z_D)\).

\(ABCD\) là hình bình hành

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \begin{cases}1=7-x_D\\2=7-y_D\\3=5-z_D\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_D=6\\y_D=5\\z_D=2\end{cases}\Rightarrow D(6;5;2)\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;2;3)\), \(\overrightarrow{AC}=(6;6;4)\).

Véc-tơ pháp tuyến của \((ABCD)\) là \(\overrightarrow{n}_1=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(-10;14;-6)\).

Mà \((ABCD)\) qua \(A(1;1;1)\) nên có phương trình là

\(-10(x-1)+14(y-1)-6(z-1)=0\Leftrightarrow -5x+7y-3z+1=0 .\)

Ta có \(\overrightarrow{SC}-(10;5;-1)\), \(\overrightarrow{SD}=(9;3;-4)\).

Véc-tơ pháp tuyến của \((SCD)\) là

\(\overrightarrow{n}_1=\left[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD}\right]=(-17;31;-15) .\)

Mà \((SCD)\) qua \(S(-3;2;6)\) nên có phương trình là

\(-17(x+3)+31(y-2)-15(z-6)=0\Leftrightarrow -17x+31y-15z-23=0 .\)

b) Gọi \(h\) là chiều cao của hình chóp \(S.ABCD\).

Khi dó \(h=\mathrm{d}(S,(ABCD))=\displaystyle\frac{|-5\cdot (-3)+7\cdot2-3\cdot6+1|}{\sqrt{(-5)^2+7^2+(-3)^2}}=\displaystyle\frac{12\sqrt{83}}{83}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;1;1)\), \(\overrightarrow{DC}=(x_C-1;y_C+1;z_C-1)\).

\(ABCD\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} 1=x_C-1\\ 1=y_C+1\\ 1=z_C-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_C=2\\ y_C=0\\ z_C=2\end{cases}\Rightarrow C(2;0;2)\).

Ta có \(\overrightarrow{CC'}=(2;5;-7),\overrightarrow{DD'}=(x_{D'}-1;y_{D'}+1;z_{D'}-1)\).

\(CC'D'D\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} 2=x_{D'}-1\\ 5=y_{D'}+1\\ -7=z_{D'}-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_{D'}=3\\ y_{D'}=4\\ z_{D'}=-6\end{cases}\Rightarrow D'(3;4;-6)\).

\(\overrightarrow{AB}=(1;1;1)\), \(\overrightarrow{AD}=(0;-1;0)\) nên véc-tơ pháp tuyến của \((ABCD)\) là\\\(\overrightarrow{n}_1=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right]=(1;0;-1)\).\\ Mà mặt phẳng \((ABCD)\) qua \(A(1;0;1)\) nên có phương trình là

\((x-1)+0(y-0)-(z-1)=0\Leftrightarrow x-z=0 .\)

Mặt phẳng \((A'B'C'D') \parallel (ABCD)\) nên phương trình có dạng \(x-z+m=0\,\,(m\ne0)\).

Mà \(D'(3;4;-6) \in(A'B'C'D')\Leftrightarrow 1\cdot3+(-1)\cdot(-6)+m=0\Leftrightarrow m=-9\) (nhận).

Vậy phương trình mặt phẳng \((A'B'C'D')\) là \(x-z-9=0\).

\(\overrightarrow{AD'}=(2;3;-7)\), \(\overrightarrow{AD}=(0;-1;0)\) nên véc-tơ pháp tuyến của \((ADD'A')\) là\\\(\overrightarrow{n}_2=\left[\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AD'}\right]=(7;0;-2)\).\\ Mà mặt phẳng \((ADD'A')\) qua \(A(1;0;1)\) nên có phương trình là

\(7(x-1)+0(y-0)-2(z-1)=0\Leftrightarrow 7x-2z-5=0.\)

b) Gọi \(h\) là chiều cao của hình hộp \(\Rightarrow h=\mathrm{d}(A,(A'B'C'D')) =\displaystyle\frac{|1\cdot1+0-1\cdot1-9|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{9\sqrt{2}}{2}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{BC}=(8;0;4)\), \(\overrightarrow{BD}=(4;3;5)\) nên véc-tơ pháp tuyến của \((BCDF)\) là \(\overrightarrow{n}_1=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right]=(-12;-24;24)\).

Mà \((BCDF)\) qua \(B(-3;-1;-4)\) có phương trình là

\(-12(x+3)-24(y+1)+24(z+4)=0 \Leftrightarrow x+2y-2z-3=0 .\)

\(\overrightarrow{CD}=(-4;3;1)\), \(\overrightarrow{AE}=(x_E-2;y_E+1;z_E-6)\).

\(ACDE\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AE}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} -4=x_E-2\\ 3=y_E+1\\ 1=z_E-6\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_E=-2\\ y_E=2\\ z_E=7\end{cases}\Rightarrow E(-2;2;7)\).

Ta có \(\overrightarrow{AE}=(-4;3;1)\), \(\overrightarrow{AB}=(-5;0;-10)\) nên véc-tơ pháp tuyến của \((ABFE)\) là\\ \(\overrightarrow{n}_2=\left[\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB}\right]=(-30;-45;15)\).

Mà \((ABFE)\) qua \(A(2;-1;6)\) nên có phương trình là

\(-30(x-2)-45(y+1)+15(z-6)=0 \Leftrightarrow -2x-3y+z-5=0 .\)

\(\overrightarrow{CD}=(-4;3;1)\), \(\overrightarrow{BF}=(x_F+3;y_F+1;z_F+4)\).

\(CDFB\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BF}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} -4=x_F+3\\ 3=y_F+1\\ 1=z_F+4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_F=-7\\ y_F=2\\ z_F=-3\end{cases}\Rightarrow F(-7;2;-3)\).

Ta có \(\overrightarrow{EF}=(-5;0;-10)\), \(\overrightarrow{ED}=(3;0;-6)\) nên véc-tơ pháp tuyến của \((DEF)\) là\\ \(\overrightarrow{n_3}=\left[\overrightarrow{EF},\overrightarrow{ED}\right]=(0;-60;0)\).

Mà \((DEF)\) qua \(E(-2;2;7)\) nên có phương trình là

\(0(x+2)-60(y-2)+0(z-7)=0\Leftrightarrow y-2=0 .\)

b) Khoảng cách từ \(A\) đến \((BCDF)\)

là \( \mathrm{d}(A,(BCDF))=\displaystyle\frac{\left|1\cdot2+2\cdot(-1)-2\cdot6-3\right|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=5\).

Khoảng cách từ \(A\) đến \((DEF)\)

là \( \mathrm{d}(A,(DEF))=\displaystyle\frac{\left|0\cdot2+1\cdot(-1)+0\cdot6-2\right|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=3

\).

Hai vectơ \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{CA}\) có giá trùng với \(d\), hai vectơ \(\overrightarrow{A_1C_1}\) và \(\overrightarrow{C_1A_1}\) có giá song song với \(d\)

(do \(AC\parallel A'C'\)).

Vậy ta có bốn vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA},\overrightarrow{A'C'}, \overrightarrow{C'A'}\).

Ta có: \(d=(SAB)\cap (SCD)=SD\).

Vậy vec-tơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow{SD}\) hay \(\overrightarrow{DS}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{AC}=(0;-1;1),\overrightarrow{AD}=(-1;-1;3),\overrightarrow{BC}=(4;-6;2),\overrightarrow{BD}=(4;-6;4)\).

Mặt phẳng \((ACD)\) qua \(A(5;1;3)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=(-2;-1;-1)\) có phương trình là

\(-2(x-5)-(y-1)-(z-3)=0\Leftrightarrow 2x+y+z-14=0 .\)

Mặt phẳng \((BCD)\) qua \(B(1;6;2)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right]=(-12;-8;0)\) có phương trình là

\(-12(x-1)-8(y-6)-0(z-3)=0\Leftrightarrow 3x+2y-15=0 .\)

b) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-4;5;-1)\), \(\overrightarrow{CD}=(-1;0;2)\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) chứa cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\) qua \(A(5;1;3)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]=(10;9;5)\) có phương trình là

\(10(x-5)+9(y-1)+5(z-3)=0\Leftrightarrow 10x+9y+5z-74=0 .\)

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1 ; -2 ; 5)\), \(\overrightarrow{AC}=(-3 ; 1 ; 2)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) nên một véc-tơ pháp tuyến của \(\left(ABC\right)\) là \(\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right]=(-9 ; -13 ; -7)\).

Mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) đi qua \(A(3 ; 1 ; -1)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(-9 ; -13 ; -7)\) nên có phương trình là

\begin{eqnarray*}-9(x-3)-13(y-1)-7(z+1)=0 \qquad \text{hay } -9x-13y-7z+33=0.\end{eqnarray*}

Ta có \(\displaystyle\frac{9}{-9}=\displaystyle\frac{13}{-13}=\displaystyle\frac{7}{-7} \neq \displaystyle\frac{0}{33}\) nên \(\left(ABC\right) \parallel \left(\alpha\right)\).

b) Mặt phẳng \(\left(A'B'C'\right)\) song song \(\left(ABC\right)\) và đi qua điểm \(A'(3 ; 2 ; -5)\) nên có phương trình là

\begin{eqnarray*}9(x-3)+13(y-2)+7(z+5)=0 \qquad \text{hay } 9x+13y+7z+15=0.\end{eqnarray*}

a) Véc-tơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((ABCD)\), \((SAB)\), \((SAD)\) và \((SAC)\) lần lượt là

\(\overrightarrow{SA}\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\).

\(\overrightarrow{AD}\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\).

\(\overrightarrow{AB}\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAD)\).

\(\overrightarrow{BD}\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAC)\).

b) Hai cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((SCD)\) là \(\overrightarrow{SC}\), \(\overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{SC}\), \(\overrightarrow{SD}\).

Bốn véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left(AA'B'B\right)\) là \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{A'D'}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{B'C'}\).

Hai cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((AA'B'B)\) là \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AA'}\) và \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AB'}\).

Đường thẳng \(B C^{\prime}\) nhận các vectơ \(\overrightarrow{B C^{\prime}}, \overrightarrow{C^{\prime}B}, \overrightarrow{A D^{\prime}}, \overrightarrow{D^{\prime}A}\) là các vectơ chỉ phương.

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \Rightarrow \begin{cases}x_B-x_A=x_C-x_D\\y_B-y_A=y_C-y_D\\z_B-z_A=z_C-z_D\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_C=1\\y_C=4\\z_C=2.}\)

Vậy \(C(1;4;2)\).

Tương tự ta có \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'} \Rightarrow \begin{cases}x_B'=-1\\y_B'=4\\z_B'=3.\end{cases}\)

Vậy \(B'(-1;4;3)\).

Tương tự ta có \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{DD'} \Rightarrow \begin{cases}x_D'=1\\y_D'=1\\z_D'=0.\end{cases}\)

Vậy \(D'(1;1;0)\).

b) Ta có \(C(2;-1;1),B'(-1;4;3),D'(1;1;0)\).

\(\overrightarrow{CB'}=(-3;5;2),\overrightarrow{CD'}=(-1;2;-1), \left[\overrightarrow{CB'};\overrightarrow{CD'}\right]=(-9;-5;-1)\).

Phương trình mặt phẳng \((CB'D')\) là

\[-9(x-2)-5(y+1)-1(z-1)=0 \Leftrightarrow 9x+5y+z-14=0.\]

Mặt phẳng \((A'B'C')\) nhận \(\overrightarrow{AB}=(3;1;2)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;1;-1)\) làm cặp véc-tơ chỉ phương nên có véc-tơ pháp tuyến là

\(\vec n=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-3;5;2).\)

Mặt phẳng \((A'B'C')\) đi qua \(A'(1;1;1)\) và nhận \(\vec n=(-3;5;2)\) làm một véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

\(-3(x-1)+5(x-1)+2(x-1)=0\Leftrightarrow 3x-5y+2z+4=0.\)

a) Ta có phương trình tham số của đường thẳng \(GH\) là \(\begin{cases}&x=1+t \\&y=0,5+2t\\ & z=2t}\), \(t\in \mathbb{R}\).

\(\sin \left(d; (Oxy)\right) = \left|\cos\left(\overrightarrow{u}_{d}; \overrightarrow{n}_{Oxy}\right)\right| = \displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_{d}\cdot \overrightarrow{n}_{Oxy}\right|}{\left|\overrightarrow{u}_{d}\right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_{Oxy}\right|} = \displaystyle\frac{\left|1\cdot 0 + 2\cdot 0 + 2\cdot 1\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{2}{3}\).

\(\Rightarrow \left(d;(Oxy)\right)\approx 41^{\circ} 49'\).

Vậy góc \(\theta\) mà đường bay tạo với phương ngang xấp xỉ \(41^{\circ} 49'\).

b) Ta có điểm \(M\left(2;2,5;4\right)\) nằm trên đường thẳng \(GH\).

Hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \((Oxy)\) là \(N(2;2,5;0)\) và điểm \(N\) nằm trên đường thẳng \(GF\).

Vậy \(GF\) đi qua \(G(1;0,5;0)\) và nhận véc-tơ \(\overrightarrow{GN}=(1;2;0)\) làm véc-tơ chỉ phương, do đó có phương trình là \(\begin{cases}&x=1+t\\&y=0,5+2t\\&z=0}\), \(t\in \mathbb{R}\).

c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao \(2\) km, khi đó ta có

\(2t=2 \Leftrightarrow t=1\). Tọa độ điểm mà máy bay bắt đầu đi vào mây là \((2;2,5;2)\).

d) Gọi \(H(1+t; 0,5+2t;2t)\) là vị trí cần tìm. Ta có \(\overrightarrow{HM}=(4-t; 4-2t; 3-2t)\).

Ta có \(HM \perp GH\) suy ra \(\overrightarrow{HM}\cdot \overrightarrow{u}_{GH} = 0 \Leftrightarrow (4-t)\cdot 1 + (4-2t)\cdot 2 + (3-2t) \cdot 2 =0 \Leftrightarrow t=2.\)

Vậy \(H(3;4,5;4)\).

Khoảng cách từ trực thăng đến đỉnh núi là \(MH = \sqrt{(3-5)^2+(4,5-4,5)^2+(4-3)^2} =\sqrt{5} \approx 2,236\) km.

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;2;0)\), \(\overrightarrow{AC}=\left(4;2;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) suy ra \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(1;-1;-4)\).

Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua \(A(2;1;3)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(1;-1;-4)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

\(1\cdot (x-2)-1\cdot (y-1)-4\cdot (z-3)=0 \Leftrightarrow x-y-4z+9=0.\)

b) Thay tọa độ \(D(4;0;2,8)\) vào phương trình mặt phẳng \((ABC)\) ta được \(4-0-4\cdot 2{,}8+9=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{5}{9}=0\) không thỏa.

Vậy \(D\) không thuộc mặt phẳng \((ABC)\).

a) Do \(B\in (CBEF)\colon z=3\) nên \(z_B=3 \Rightarrow 2k=3 \Rightarrow k=\displaystyle\frac{3}{2}\).

Suy ra \(B\left(6;\displaystyle\frac{9}{2};3\right)\).

b) Mặt phẳng \((AOBC)\) chứa \(Ox\) nên có phương trình là \(by+cz=0\) với \(b\), \(c\) không đồng thời bằng \(0\).

Mà \((AOBC)\) qua \(B\left(6;\displaystyle\frac{9}{2};3\right)\) nên \(\displaystyle\frac{9}{2}b+3c=0\).

Chọn \(b=2\) thì \(c=-3\). Do vậy \((AOBC)\colon 2y-3z=0\).

c) Tương tự câu trên, ta thấy \((DOBE)\colon x-2z=0\).

d) Mặt phẳng \((AOBC)\colon 2y-3z=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\vv n_1=(0;2;3)\).

Mặt phẳng \((DOBE)\colon x-2z=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\vv n_2=(1;0;-2)\).

a) Ta có \(AB=\sqrt{(3-3)^2+(7{,}5+2{,}5)^2+(0-0{,}5)^2}=\sqrt{100{,}25}\) (km).

Do đó, thời gian để máy bay từ vị trí \(A\) hạ cánh tại vị trí \(B\) là

\[\displaystyle\frac{\sqrt{100{,}25}}{300}\,(\text{h})=\displaystyle\frac{\sqrt{100{,}25}}{300}\cdot 60\,\left(\text{phút}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{100{,}25}}{5}\,\left(\text{phút}\right)=\sqrt{4{,}01}\,\left(\text{phút}\right)\approx 2\,\left(\text{phút}\right).\]

b) Giả sử điểm \(C\left(x_C;y_C;z_C\right)\) là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh, suy ra \(C\in (\alpha)\). Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta thấy mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình là

\(\displaystyle\frac{x}{9}-\displaystyle\frac{y}{9}+\displaystyle\frac{z}{0{,}9}=1 \Leftrightarrow x-y+10z=9 \Rightarrow x_C-y_C+10z_C=9.\)

Mặt khác, vì \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\) là hai véc-tơ cùng hướngng nên tồn tại số thực \(t>0\) sao cho \(\overrightarrow{AC}=t\cdot \overrightarrow{AB}\). Do \(\overrightarrow{AC}=\left(x_C-3;y_C+2{,}5;z_C-0{,}5\right)\); \(\overrightarrow{AB}=\left(3-3;7{,}5+2{,}5;0-0{,}5\right)=\left(0;10;-0{,}5\right)\)

nên \(\begin{cases}&x_C-3=0t\\&y_C+2{,}5=10t\\&z_C-0{,}5=-0{,}5t} \Leftrightarrow \begin{cases}&x_C=3\\&y_C=10t-2{,}5\\&z_C=-0{,}5t+0{,}5.}\)

Vì \(C\in(\alpha)\) nên \(3-(10 t-2{,}5)+10(-0{,}5 t+0{,}5)=9 \Leftrightarrow t=0{,}1\). Suy ra \(C(3;-1{,}5;0{,}45)\).

Vậy tại vị trí \(C\), độ cao của máy bay là \(0{,}45\) km.

a) Hai mặt phẳng tương ứng mỗi mái nhà là \((ABP)\) và \((CDP)\).

Do mặt phẳng \((ABP)\) có cặp véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=(0;20;1)\), \(\overrightarrow{AP}=(-5;0;-3)\) nên có một véc-tơ pháp tuyến là

\[\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP}\right]=\left(\begin{vmatrix}20 & 1\\0 & -3\end{vmatrix};\begin{vmatrix}1 & 0\\-3 & -5\end{vmatrix};\begin{vmatrix}0 & 20\\-5 & 0\end{vmatrix}\right)=\left(-60;-5;100\right)\]

Mà mặt phẳng \((ABP)\) đi qua điểm \(A(10;0;9)\) nên có phương trình là \(-60(x-10)-5(y-0)+100(z-9)=0 \Leftrightarrow 12x+y-20z+60=0\).

Do mặt phẳng \((CDP)\) có cặp véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{DP}=(5;0;-3)\), \(\overrightarrow{DC}=(0;20;1)\) nên có một véc-tơ pháp tuyến là

\([\overrightarrow{DP},\overrightarrow{DC}]=\left(\left|\begin{array}{cc}0 & -3\\20 & 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-3 & 5\\1 & 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}5 & 0\\0 & 20\end{array}\right|\right)=(60;-5;100).\)

Mà mặt phẳng \((CDP)\) đi qua điểm \(D(0;0;9)\) nên có phương trình là \(60(x-0)-5(y-0)+100(z-9)=0 \Leftrightarrow 12x-y+20z-180=0\).

b) Vì các bức tường của nhà kho đều được xây vuông góc với mặt đất nên với hệ tọa độ trên ta có \(Q(x;20;z)\).

Do điểm \(Q\) thuộc mặt phẳng \((ABP)\) nên tọa độ của điểm \(Q\) thoả mãn \(12x+20-20z+60=0\) tức là \(3x-5z=-20\).

Do điểm \(Q\) thuộc mặt phẳng \((CDP)\) nên tọạ độ của điểm \(Q\) thoả mãn \(12x-20+20z-180=0\), tức là \(3x+5z=50\).

Ta có hệ phương trình \(\begin{cases}3x-5z=-20\\3x+5z=50\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=5\\z=7.\end{cases}\)

Vậy \(Q(5;20;7)\).

a) Với \(P(5;0;6)\) và \(Q(5;20;7)\) ta có \(\overrightarrow{PQ}=(0;20;1)\).

a) Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là

\(\displaystyle\frac{x}{3} + \displaystyle\frac{y}{3} + \displaystyle\frac{z}{2} = 1 \;\;(*)\)

b) Thay toạ độ của điểm \(D\) vào vế trái của phương trình (*), ta có \(\displaystyle\frac{1}{3} + \displaystyle\frac{1}{3} + \displaystyle\frac{1}{2} \neq 1\).

Suy ra điểm \(D\) không thuộc mặt phẳng \((ABC)\).

Vậy bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) không đồng phẳng.

a) Theo hình vẽ ta có toạ độ các điểm \(A\left(70; 0; 0\right)\), \(B\left(70; 0; -60\right)\), \(C\left(70; 80; 0\right)\), \(D\left(50; 0; 0\right)\)

b) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(0; 0; -60\right)\), \(\overrightarrow{AC}=\left(0; 80; 0\right)\).

Mặt phẳng \((A B C )\) đi qua \(A\left(70; 0; 0\right)\) và nhận \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left(6400; 0; 0\right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình \(\left(ABC\right)\) là \(6400\left(x-70\right)+0\left(y-0\right)+0\left(z-0\right)=0\Leftrightarrow x-70=0\).

Mặt phẳng \((A C D )\) đi qua \(A\left(70; 0; 0\right)\) và nhận \(\overrightarrow{k}=\left(0; 0; 1\right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình \(\left(A C D\right)\) là \(z=0\).

Mặt phẳng \(\left(ACD\right)\) cũng là mặt phẳng \(\left(Oxy\right)\).

c) Đường thẳng \(A C\) đi qua điểm \(A\left(70; 0; 0\right)\) và nhận \(\overrightarrow{AC}=\left(0; 80; 0\right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng \(AC\) là \(\begin{cases}x=70\\y=t\\z=0\end{cases}\).

d) Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((A B C)\) là \(\mathrm{d}\left(M,\left(A B C\right)\right)=\displaystyle\frac{\left|0-70 \right| }{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=70\).

Gọi \(\left(\alpha\right)\colon z-4=0\).

Khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in là

\(\mathrm{d}\left(M,\left(\alpha\right)\right)=\displaystyle\frac{\left| 24-4\right| }{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=20\).

a) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(2;0;2)\) và \(\overrightarrow{n}'=(1;0;1)\).

Ta có \(\cos \left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |2\cdot 1+0\cdot 0+2\cdot 1 \right |}{\sqrt{2^2+0^2+2^2}\cdot\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=1\).

Suy ra \(\left ((P),(P') \right )=0^{\circ}\).

b) \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\).

Ta có \(\cos \left ((P),(Q) \right )=\displaystyle\frac{\left |2\cdot 0+0\cdot 0+2\cdot 1 \right |}{\sqrt{2^2+0^2+2^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Suy ra \(((P),(Q))=45^{\circ}\).

Mà \((P)\parallel (P')\) nên \(((P'),(Q))=45^{\circ}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{ST}=(2;2;12)\), \(\overrightarrow{SP}=(10;0;0)\).

\(\left[\overrightarrow{ST},\overrightarrow{SP} \right]=(0;120;-20)=20(0;6;-1)\).

Mặt phẳng \((STAP)\) đi qua điểm \(S(0;0;0)\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(0;6;-1)\).

Phương trình mặt phẳng \((STAP)\) là \((STAP)\colon 6y-z=0.\)

Ta có \(\overrightarrow{QP}=(0;-10;0)\), \(\overrightarrow{QR}=(-2;-2;12)\).

\(\left[\overrightarrow{QP},\overrightarrow{QR} \right]=(-120;0;-20)=-20(6;0;1)\).

Mặt phẳng \((QPAR)\) đi qua điểm \(P(10;0;0)\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=(6;0;1)\).

Phương trình mặt phẳng \((QPAR)\) là

\[(QPAR)\colon 6(x-10)+1(y-0)=0 \Leftrightarrow 6x+y-60=0.\]

Ta có \(H(0;10;0)\) và \(\overrightarrow{ST}=(2;2;12)\), \(\overrightarrow{SH}=(0;10;0)\).

\(\left[\overrightarrow{ST},\overrightarrow{SH} \right]=(-120;0;20)=20(-6;0;1)\).

Mặt phẳng \((STBH)\) đi qua điểm \(S(0;0;0)\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_3}=(-6;0;1)\).

Phương trình mặt phẳng \((STBH)\) là \((STBH)\colon -6x+z=0.\)

Ta có \(\overrightarrow{QH}=(-10;0;0)\), \(\overrightarrow{QR}=(-2;-2;12)\).

\(\left[\overrightarrow{QH},\overrightarrow{QR} \right]=(0;120;20)=20(0;6;1)\).

Mặt phẳng \((QHBR)\) đi qua điểm \(H(0;10;0)\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_4}=(0;6;1)\).

Phương trình mặt phẳng \((QHBR)\) là \[(QHBR)\colon 6(y-10)+1(z-0)=0 \Leftrightarrow 6y+z-60=0.\]

b) Đường thẳng \(ST\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{ST}=(2;2;12)\), mặt phẳng \((SHQP)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\).

Ta có

\(\sin (ST,(SHQP))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{ST} \cdot \overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{ST}\right| \cdot\left|\overrightarrow{k}\right|}=\displaystyle\frac{|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 12 \cdot 1|}{\sqrt{2^2+2^2+12^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{38}}{19}.\)

Vậy \(((ST,(SHQP))\approx 76{,}73^{\circ}\).

c) Mặt phẳng \((STAP)\) và \((STBH)\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(0;6;-1)\) và \(\overrightarrow{n_3}=(-6;0;1)\).

Ta có

\(\cos ((STAP),(STBH))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_3}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_3}\right|}=\displaystyle\frac{|0 \cdot (-6)+6 \cdot 0+(-1)\cdot 1|}{\sqrt{0^2+6^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{(-6)^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{1}{37}.\)

Vậy \(((STAP),(STBH))\approx 88{,}45^{\circ}\).

Mặt phẳng \((STAP)\) và \((QHBR)\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(0;6;-1)\) và \(\overrightarrow{n_4}=(0;6;1)\).

Ta có

\(\cos ((STAP),(QHBR))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_4}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_4}\right|}=\displaystyle\frac{|0 \cdot 0+6 \cdot 6+(-1)\cdot 1|}{\sqrt{0^2+6^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{0^2+6^2+1^2}}=\displaystyle\frac{35}{37}.\)

Vậy \(((STAP),(QHBR))\approx 18{,}92^{\circ}\).

Gọi hệ trục tọa độ như hình vẽ trên. \

Ta có \(A(0;400;0)\), \(B(0;400;600)\), \(C(0;-400;600)\), \(D(0;400;0)\), \(I(1000;0;0)\).

Ta có \((IAD)\perp (ABCD)\) suy ra \(((IAD), (ABCD))=90^\circ\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(0;0;600)\), \(\overrightarrow{AI}=(1000;-400;0)\).

\(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AI} \right]=(240000;600000;0)=12000\cdot (2;5;0)\).

Mặt phẳng \((IAB)\) và \((ABCD)\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2; 5;0)\) và \(\overrightarrow{n'}=(1;0;0)\).

Ta có

\(\cos ((IAB),(ABCD))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n'}\right|}=\displaystyle\frac{|2 \cdot 1+5 \cdot 0+0\cdot0|}{\sqrt{2^2+5^2+0^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\displaystyle\frac{2\sqrt{29}}{29}.\)

Vậy \(((IAB),(ABCD))\approx 68{,}2^{\circ}\).

Ta có mặt phẳng \((ICD)\) đối xứng với mặt phẳng \((IAB)\) qua mặt phẳng \((Oxz)\) suy ra \(((ICD),(ABCD))=((IAB),(ABCD))\approx 30^{\circ}\).

Ta có \(\overrightarrow{BC}=(0;-800;0)\), \(\overrightarrow{BI}=(1000;-400;-600)\).

\(\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BI} \right]=(480000;0;800000)=16000\cdot (3;0;5)\).

Mặt phẳng \((IBC)\) và \((ABCD)\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(3; 0;5)\) và \(\overrightarrow{n'}=(1;0;0)\).

Ta có

\(\cos ((IBC),(ABCD))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n'}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n'}\right|}=\displaystyle\frac{|3 \cdot 1+0 \cdot 0+5\cdot0|}{\sqrt{3^2+0^2+5^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{34}}{34}.\)

Vậy \(((IBC),(ABCD))\approx 59{,}04^{\circ}\).

a) Mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng quan sát được có tâm \(I(0;0;5)\), bán kính \(R=25\).

Vậy phương trình mặt cầu là \(x^2+y^2+(z-5)^2=25^2 \Leftrightarrow x^2+y^2+(z-5)^2=625\).

b) Đặt \(f(x,y,z)=x^2+y^2+(z-5)^2\).

Xét các điểm \(A(0;0;0)\), \(B(15;0;0)\), \(C(15;20;0)\).

Ta có \(f(A)=5^2=25< 625\), \(f(B)= 15^2+5^2=225< 625\), \(f(C)=15^2+20^2+5^2=650>625\).

Suy ra \(A\), \(B\) nằm trong vùng quan sát được của camera; \(C\) không nằm trong vùng quan sát được của camera.

Vậy camera không thể quan sát toàn bộ sân.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có \(A(0;0;0)\), \(B(0;8;0)\), \(C(12;8;0)\), \(M(0;0;46)\), \(N(0;0;40)\).

Ta có \(\overrightarrow{BN}=(0;-8;40)=8(0;-1;5)\).

Đường thẳng \(BN\) đi qua điểm \(B(0;8;0)\) và có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(0;-1;5)\).

Phương trình đường thẳng \(BN\) là

\[(BN)\colon \begin{cases}x=0\\y=8-t\\z=5t.\end{cases}\]

Gọi \(E\) là vị trí con kiến leo từ \(B\) sau \(10\) phút thì \(BE=2{,}5\cdot 10= 25\) m.

Ta có \(E\in BN\Rightarrow E(0;8-t;5t)\), với \(t>0\).

\(\overrightarrow{BE}=(0;-t;5t)\).

Suy ra \(BE^2=26t^2= 25^2\Rightarrow \hoac{&t=\displaystyle\frac{25\sqrt{26}}{26} &\text{(nhận)}&\\&t=\displaystyle\frac{-25\sqrt{26}}{26} &\text{(loại).}}\)

Nên \(E\left(0;\displaystyle\frac{208-25\sqrt{26}}{26} ;\displaystyle\frac{125\sqrt{26}}{26}\right)\).

Ta có \(\overrightarrow{CM}=(-12;-8;46)=2(-6;-4;23)\).

Đường thẳng \(CM\) đi qua điểm \(M(0;0;46)\) và có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u'}=(-6;-4;23)\). Phương trình đường thẳng \(CM\) là \[(CM)\colon \begin{cases}x=-6t\\y=-4t\\z=46+23t.\end{cases}\]

Gọi \(F\) là vị trí con kiến leo từ \(C\) sau \(10\) phút thì \(CF=3\cdot 10= 30\) m.

Ta có \(F\in CM\Rightarrow F(-6t;-4t;46+23t)\).

\(\overrightarrow{CF}=(-6t-12;-4t-8;46+23t)\).

Suy ra

\begin{eqnarray*}&& CF^2=(-6t-12)^2+(-4t-8)^2+(23t+46)^2= 30^2 \\ &\Leftrightarrow& 581t^2+2324t+1424=0 \\ &\Leftrightarrow& t=\displaystyle\frac{-2324+60\sqrt{581}}{2\cdot 581}\, \text{(nhận)};\, t=\displaystyle\frac{-2324-60\sqrt{581}}{2\cdot 581}\, \text{(loại).}\end{eqnarray*}

Nên \(F\left(\displaystyle\frac{6972-180\sqrt{581}}{581} ;\displaystyle\frac{4648-120\sqrt{581}}{581};\displaystyle\frac{690}{581}\right)\).

Vậy \(EF\approx 7{,}09\).

a) Tính góc giữa hai cạnh kề nhau

\(\overrightarrow{SP}=\left(8;0;0\right);\overrightarrow{SH}=\left(0;18;0\right);\overrightarrow{ST}=\left(-1;-1;7\right)\).

\(\overrightarrow{SP}\cdot\overrightarrow{SH}=0\Rightarrow \left(SP,SH\right)=90^\circ\).

\(\cos\left(SP,ST\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{SP}\cdot\overrightarrow{ST}\right|}{\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{ST}\right|}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{51}}\Rightarrow \left(SP,ST\right)\approx 82^\circ\).

\(\cos\left(SH,ST\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{SH}\cdot\overrightarrow{ST}\right|}{\left|\overrightarrow{SH}\right|\cdot\left|\overrightarrow{ST}\right|}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{51}}\Rightarrow \left(SH,ST\right)\approx 82^\circ\).

b) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Gọi \(\alpha\) là góc giữa cạnh bên \(ST\) và mặt phẳng đáy.

\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{ST}\cdot\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{ST}\right|\cdot\left|\overrightarrow{k}\right|}=\displaystyle\frac{7}{\sqrt{51}}\Rightarrow \alpha\approx 78^\circ\).

c) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy

Gọi \(\beta\) là góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy.

\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{ST},\overrightarrow{SP}\right]=\left(0;56;8\right)\).

\(\cos\beta=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot\left|\overrightarrow{k}\right|}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{10}\Rightarrow \beta\approx 82^\circ\).

a) Viết công thức tính toạ độ của máy bay trong \(2\) giờ đầu tiên.

Gọi \(B\) là vị trí máy bay sau \(2\) giờ bay.

Ta có \(\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{v}=\left(300;300;80\right)\).

Suy ra \(B\left(300;310;80\right)\).

b) Tính góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường băng và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Gọi \(\alpha\) là góc nâng của máy bay.

\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{k}\right|}=\displaystyle\frac{80}{\sqrt{300^2+310^2+80^2}}\Rightarrow \alpha\approx 10^\circ 40'\).

a) \(\overrightarrow{AB}=\left(18; 25;-5\right)\).

Phương trình tham số chứa đường zipline là

\(d\colon \begin{cases}x=3+18t\\y=2{,}5+25t\\ z=15-5t\end{cases}~(t \in \mathbb{R}).\)

b) Gọi \(C(x_C;y_C;12)\) là tọa độ của du khách đang ở độ cao \(12\)

Ta có \(C \in d\) và \(z_C=12\) khi đó \(12=15-5t \Rightarrow t=\displaystyle\frac{3}{5}\).

\(x_C=3+18 \cdot \displaystyle\frac{3}{5}=\displaystyle\frac{69}{5}\); \(y_C=2,5+25 \cdot \displaystyle\frac{3}{5}=18\).

Vậy tọa độ của du khách là \(C\left(\displaystyle\frac{69}{5}; 18; 12\right).\)

Nối \(O\) với \(D\) lại xét \(\Delta ODC\) vuông tại \(C\)

\(OD=\sqrt{OC^2+DC^2}=\sqrt{20~000^2+9~000^2}\approx 21~932\).

Vậy khoảng cách \(O\) đến \(D\) là \(21~932\) mét.

Do bán kính dò tìm của ra-da không thể tìm thấy máy bay \(M\) ở vị trí \(D\).

Gọi \(T\) là giao điểm của \(AM\) và \(OT\)

a) Dựa vào dữ kiện của đề bài ta có

\(AT=343 m; MT=230 m; DT=DO-TO=227-75=152~m, AM=AT-TM=343-230=113 m.\)

Xét \(\triangle ADT\) (\(MN \parallel DT\)) theo hệ quả của định lý Tha-les ta có

\(\displaystyle\frac{MN}{DT}=\displaystyle\frac{AM}{AT} \Rightarrow MN=\displaystyle\frac{DT \cdot AM}{AT}=\displaystyle\frac{113 \cdot 152}{343}\approx 50{,}1\).

Vậy độ dài \(MN=50{,}1 m .\)

Vậy độ dài đoan \(MN=50{,}1 m.\)

b) Do \(M\) cách trục \(Oz\) \(148 m\) nên \(MT=148 m\), suy ra \(AM=195 m.\)

Xét \(\triangle ADT\) (\(MN \parallel DT\)) theo hệ quả của định lý Tha-les ta có

\(\displaystyle\frac{MN}{DT}=\displaystyle\frac{AM}{AT} \Rightarrow MN=\displaystyle\frac{DT \cdot AM}{AT}=\displaystyle\frac{195 \cdot 152}{343}\approx 86{,}4\).

Do đó có thể dùng đoạn dây dài \(100 m\) để nối dây cáp \(SD\) với thành cầu tại \(M\).

a) Đường thẳng chứa đoạn thẳng nối hai vị trí ống kính ngắm của anh Bình và con gà lôi tía là đường thẳng \(AB\). Đường thẳng \(AB\) qua \(A(200;685;436)\) nhận véc-tơ

\(\overrightarrow{AB}=(440;-135;48)\) làm véc-tơ chỉ phương có phương tham số là

\[\begin{cases} x=200+440t\\ y=685-135t\\ z=436+48t\end{cases}\]

b) Thế hoành độ và tung độ của tọa độ \(C(420; 617{,}5;450)\) vào phương trình đường thẳng \(AB\)

\[\begin{cases} 420=200+440t\\ 617{,}5=685-135t\end{cases}\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{1}{2}.\]

Thế \(t=\displaystyle\frac{1}{2}\) vào phương trình đường thẳng \(AB\) ta được \(I\left(420;617{,}5;455\right)\).

Vì cao độ của điểm \(C\) nhỏ hơn cao độ điểm \(I\in AB\) nên đỉnh đồi không che khuất tầm ngắm nhìn của anh Bình nên anh Bình nhìn thấy con gà lôi tía.

a) \(\overrightarrow{AB}=(0;0;1{,}5)\), \(\overrightarrow{EF}=(x_F-2;y_F-1;z_F-2)\).

\(ABFE\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}0=x_F-2\\0=y_F-1\\1{,}5=z_F-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_F=2\\y_F=1\\z_F=3{,}5\end{cases}\Rightarrow F(2;1;3{,}5)\).

\(\bullet \,\, \overrightarrow{BF}=(2;0;0)\), \(\overrightarrow{CG}=(x_G-0;y_G-4;z_G-3{,}5)\).

\(CBFG\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CG}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}2=x_G-0\\0=y_G-4\\0=z_G-3{,}5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_G=2\\y_G=4\\z_G=3{,}5\end{cases}\Rightarrow G(2;4;3{,}5)\).

\(\bullet \,\, \overrightarrow{EF}=(0;0;1{,}5)\), \(\overrightarrow{EG}=(0;3;1{,}5)\) nên véc-tơ pháp tuyến của \((EFGH)\) là\\ \(\overrightarrow{n}_1=\left[\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EG}\right]=(-4{,}5;0;0)\).

Mà \((EFGH)\) qua \(E(2;1;2)\) nên có phương trình là

\(-4{,}5(x-2)+0(y-1)+0(z-2)=0\Leftrightarrow x-2=0 .\)

\(\bullet \,\,\) Gọi \(h\) là chiều cao của lăng trụ \(ABCD.EFGH\).\\ Khi đó \(h=\mathrm{d}(A,(EFGH))= \displaystyle\frac{|1\cdot0+0\cdot1+0\cdot2-2|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=2\).

b) \(\overrightarrow{CD}=(0;-1{,}5;-1{,}5)\), \(\overrightarrow{CG}=(2;0;0)\) nên véc-tơ pháp tuyến của \((CDHG)\) là\\ \(\overrightarrow{n}_2=\left[\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CG}\right]=(0;-3;3)\).

Mà \((CDHG)\) qua \(C(0;4;3{,}5)\) nên có phương trình là

\(0(x-0)-3(y-4)+3(z-3{,}5)=0\Leftrightarrow -y+z+0{,}5=0.\)

\(\mathrm{d}(F,CDHG)= \displaystyle\frac{|0\cdot2-1\cdot1+1\cdot3{,}5+0{,}5|}{\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{2}\).

a) Ta có \(A(0;0;8)\), \(B(0;20;8)\), \(D(15;0;14)\), \(C(15;20;14)\).

\(\overrightarrow{AB}=(0;20;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(15;20;6)\) nên véc-tơ pháp tuyến của \((ABCD)\) là\\ \(\overrightarrow{n}_1=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(80;0;300)\).

Mà mặt phẳng mái che \((ABCD)\) qua \(A(0;0;8)\) nên có phương trình

\(80(x-0)+0(y-0)+300(z-8)=0\Leftrightarrow 4x+15z-120=0 .\)

b) Tọa độ điểm \(G(8;0;4)\).

Độ dài ngắn nhất của dây nối thanh ngang \(GE\) với mái che là khoảng cách từ \(G\) đến mái che (mặt phẳng \(ABCD\)) là \(\mathrm{d}(G,(ABCD))=\displaystyle\frac{|4\cdot8+0+15\cdot4-120|}{\sqrt{4^2+0^2+15^2}}=\displaystyle\frac{28}{\sqrt{241}}.\)

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ với \(S(0;0;0)\), \(A(20;0;0)\), \(B(0;20;0)\), \(C(0;0;20)\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là

\(\displaystyle\frac{x}{20}+\displaystyle\frac{y}{20}+\displaystyle\frac{z}{20}=1\Leftrightarrow x+y+z-20=0\).

Gọi \(h\) là chiều cao của hình chóp \(S.ABC\). Khi đó \\\(h=\mathrm{d}\left(S,(ABC)\right)=\displaystyle\frac{|0+0+0-20|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\displaystyle\frac{20\sqrt{3}}{3}\approx 11{,}54\).

Vì \(h>11\) cm nên có thể đặt mô hình tháp Effel vào hộp.

Tại vị trí ban đầu \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có độ cao như nhau, chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ là điểm \(A\) và các trục tọa độ lần lượt là \(AD\), \(AB\) và \(Az\), với \(Az \perp (ABCD)\).

Khi đó \(A(0 ; 0 ; 0)\), \(D(5; 0 ; 0)\), \(B(0; 9 ; 0)\), \(C(6; 9 ; 0)\).

Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí \(C\) bằng cách giữ nguyên độ cao ở \(A\), giảm độ cao của sân ở vị trí \(B\) và \(D\) xuống thấp hơn độ cao ở \(A\) lần lượt là \(6\) cm và \(3{,}6\) cm.

Khi đó, \(A(0 ; 0 ; 0)\), \(D(5; 0 ; -3{,}6)\), \(B(0; 9 ; -6)\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(0 ; 9 ; -6)\), \(\overrightarrow{AD}=(5 ; 0 ; -3{,}6)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABD)\) nên một véc-tơ pháp tuyến của \((ABD)\) là \(\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\right]=(-32{,}4 ; -30 ; -45)\).

Vậy mặt phẳng \((ABD)\) qua \(A(0 ; 0 ; 0)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(-32{,}4 ; -30 ; -45)\) nên có phương trình là

\begin{eqnarray*}-32{,}4 (x-2)-30(y+1)-45(z-3)=0 \qquad \text{hay } -32{,}4 x -30y -45z=0.\end{eqnarray*}

Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở \(C\) xuống \(k\) centimét so với độ cao ở \(A\) nên suy ra \(C(6; 9 ; -k)\).

Ta có \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) đồng phẳng

\(\Leftrightarrow C \in (ABD)\)

\(\Leftrightarrow -32{,}4\cdot 6 -30 \cdot 9 -45\cdot (-k)=0\)

\(\Leftrightarrow k=10{,}32\).

Vậy bác An cần phải giảm độ cao ở \(C\) xuống \(10{,}32\) centimét so với độ cao ở \(A\).

Gọi \(O=AC\cap BD\). Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(SO\) là đường trung tuyến của các tam giác \(SAC\) và \(SBD\).

Do \(SA=SB=SC=SD\) nên ta có \(SO\perp AC\), \(SO\perp BD\).

Gọi \(F\) là trung điểm của \(BC\).

Khi đó \(SF=\sqrt{SB^2-BF^2}=\sqrt{34736}\) m.

Ta có \(\begin{cases}AC\perp BD\\SO\perp AC\\\text{Trong } (SBD)\colon BD\cap SO=O\end{cases}\Rightarrow AC\perp(SBD)\Rightarrow AC\perp SB\).

Dựng \(HE\perp SB\), khi đó \(SB\perp(ACE)\Rightarrow\begin{cases}AE\perp SB\\CE\perp SB.\end{cases}\)

Do đó \(\left[(SAB),(SBC) \right]=(AE,CE)\).

Xét tam giác \(SBC\) ta có \(SF\cdot BC=CE\cdot SB\Rightarrow CE=\displaystyle\frac{230\cdot\sqrt{34736}}{219}\) m.

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(230\) m nên \(AC=230\sqrt{2}\) m.

Xét tam giác \(ACE\) ta có \(\cos(AE,CE)=|\cos\widehat{AEC}|=\left|\displaystyle\frac{AE^2+CE^2-AC^2}{2AE\cdot CE} \right|=\displaystyle\frac{13225}{34736}\).

Vậy \(\left[(SAB),(SBC) \right]\approx 67{,}62^\circ\).

Lấy các điểm \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) như hình vẽ sao cho các điểm này cách đáy bể một khoảng \(40\) cm.

Xét hệ trục \(Axyz\) như hình vẽ sao cho \(B_1\in Ax\), \(D_1\in Ay\).

Khi đó \(A(0;0;0)\), \(B_1(1;0;0)\), \(C_1(1;1;0)\), \(D_1(0;1;0)\), \(B(1;0;0{,}04)\), \(C(1;1;0{,}08)\), \(D(0;1;z_0)\).

a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên trung điểm đoạn \(AC\) cũng chính là trung điểm \(BD\), hay \(\begin{cases}0{,}5=0{,}5\\0{,}5=0{,}5\\0{,}08=z_0+0{,}04\end{cases}\Rightarrow z_0=0{,}04.\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(D\) đến đáy bể bằng \(44\) cm.

b) Khi đặt bể trên mặt phẳng nằm ngang thì mặt phẳng \((AB_1C_1D_1)\) sẽ song song với bề mặt nằm ngang.

Do đó góc giữa bề mặt nằm ngang và mặt phẳng \((ABCD)\) chính là góc giữa mặt phẳng \((ABCD)\) và mặt phẳng \((AB_1C_1D_1)\).

Mặt phẳng \((ABCD)\) có cặp véctơ chỉ phương \(\begin{cases}u_1=\overrightarrow{AB}=(1;0; 0{,}04)\\u_2=\overrightarrow{AD}=(0;1; 0{,}04)\end{cases}\) nên có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1}=(1;1; -25)\).

Mặt phẳng \((AB_1C_1D_1)\) có cặp véctơ chỉ phương \(\begin{cases}u_1=\overrightarrow{AB_1}=(1;0; 0)\\u_2=\overrightarrow{AD_1}=(0;1; 0)\end{cases}\) nên có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2}=(0;0;1)\).

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \((AB_1C_1D_1)\) được xác định bởi công thức

\(\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)\right|=\displaystyle\frac{\left|1\cdot 0+1\cdot 0+(-25)\cdot 1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+(-25)^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{25}{\sqrt{627}}.\)

Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc \(2{,}34^\circ\).

Giả sử mái nhà là hình chóp đều \(S.ABCD\). Chọn hệ trục tọa đội \(Oxyz\) như hình bên.

Giả sử \(OA=a\), \(OS=h\) (\(a,h>0\)). Khi đó \(B(0;-a;0)\), \(C(a;0;0)\), \(D(0;a;0)\) và \(S(0;0;h)\).

Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có

\((SBC)\colon \displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{y}{-a}+\displaystyle\frac{z}{h}=1, \quad (SCD)\colon \displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{y}{a}+\displaystyle\frac{z}{h}=1.\)

Suy ra \(\vec n=\left(\displaystyle\frac1a;\displaystyle\frac1{-a};\displaystyle\frac1h\right)\), \(\vec {n'}=\left(\displaystyle\frac1a;\displaystyle\frac1{a};\displaystyle\frac1h\right)\) lần lượt là véc-tơ pháp tuyến của \((SBC)\) và \((SCD)\).

Ta có \((SBC)\perp (SCD)\Leftrightarrow \vec n\cdot\overrightarrow{n'}=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{a^2}-\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{h^2}=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{h^2}=0\). Điều này không thể xảy ra. Do đó ý tưởng của bác An không thể thực hiện được.

a) Tại thời điểm \(t=0\), ta có \(M_1=(\cos 0-\sin 0;\cos 0+\sin 0;\cos 0)=(1;1;1)\).

Tại thời điểm \(t=\displaystyle\frac{\pi}{2}\), ta có \(M_2=\left(\cos \displaystyle\frac{\pi}{2}-\sin \displaystyle\frac{\pi}{2};\cos \displaystyle\frac{\pi}{2}+\sin \displaystyle\frac{\pi}{2};\cos \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=(-1;1;0)\).

Tại thời điểm \(t=\pi\), ta có \(M_3=(\cos \pi-\sin \pi;\cos \pi+\sin \pi;\cos \pi)=(-1;-1;-1)\).

b) Hai véc-tơ \(\overrightarrow{M_1M_2}=(-2;0;-1)\), \(\overrightarrow{M_1M_3}=(-2;-2;-2)\) không cùng phương nên ba điểm \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) không thẳng hàng.

Mặt phẳng \((M_1M_2M_3)\) có cặp véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{M_1M_2}=(-2;0;-1)\), \(\overrightarrow{M_1M_3}=(-2;-2;-2)\) nên có véc-tơ pháp tuyến \(\vec n=[\overrightarrow{M_1M_2},\overrightarrow{M_1M_3}]=(-2;-2;4)\).

Mặt phẳng \((M_1M_2M_3)\) đi qua \(M_1(1;1;1)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\vec n=(-2;-2;4)\) nên có phương trình

\(-2(x-1)-2(y-1)+4(z-1)=0\Leftrightarrow x+y-2z=0.\)

c) Ta có \((\cos t-\sin t)+(\cos t+\sin t)-2\cos t=0\) nên điểm \(M(\cos t-\sin t;\cos t+\sin t;\cos t)\) luôn thuộc mặt phẳng \((M_1M_2M_3)\).

Gọi \(x,y,z\) lần lượt là điểm thi ba môn Toán, Văn, Tiếng Anh.

a) Các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng \(27\) tức là \(x+y+z=27 \Leftrightarrow x+y+z-27=0\). Do đó các điểm biểu diễn này cùng thuộc mặt phẳng có phương trình \(x+y+z-27=0\).

b) Nếu tổng điểm ba môn của một thí sinh là \(m\) thì điểm biểu diễn số điểm của thí sinh đó thuộc mặt phẳng \((P_m)\colon x+y+z-m=0\). Nếu tổng điểm ba môn của một thí sinh là \(n\) thì điểm biểu diễn số điểm của thí sinh đó thuộc mặt phẳng \((P_n)\colon x+y+z-n=0\).

Nếu \(m\ne n\) thì ta có \((P_m)\parallel (P_n)\).

Khoảng cách từ Camera đến mặt phẳng \((P)\) là

\[\mathrm{d} = \displaystyle\frac{|1+2\cdot2+2\cdot4+3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \displaystyle\frac{16}{3}.\]

Bán kính của hình tròn cần tìm bằng

\(\tan 57{,}5^\circ \cdot \displaystyle\frac{16}{3} \approx 8{,}4\).

Trong không gian \(Oxyz\), ta xem mặt phẳng \(Oxy\) là mặt nước. Khi đó, ta cho vị trí của quả dọi khi còn ở mặt nước lần lượt là \(A(0;0;0)\), \(B(2;0;0)\) và \(C(1;\sqrt{3};0\)).

Sau khi thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể, vị trí của quả dọi lần lượt thay đổi thành \(A'(0;0;-4)\), \(B'(2;0;-4{,}4)\) và \(C'(1;\sqrt{3};-4{,}8)\).

Mặt đáy bể là mặt phẳng đi qua cả ba điểm \(A'\), \(B'\), \(C'\). Tức là mặt phẳng nhận hai vectơ \(\overrightarrow{A'B'}=(2;0;-0{,}4)\) và \(\overrightarrow{A'C'}=(1;\sqrt{3};-0{,}8)\) làm hai vectơ chỉ phương.

Khi đó. mặt phẳng nhận vectơ \(\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(0{,}4\sqrt{3};2;2\sqrt{3})\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt khác mặt phẳng \(Oxy\) nhận vectơ \(\overrightarrow{v}=(0;0;1)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có

\(\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\displaystyle\frac{0{,}4\sqrt{3}\cdot0+2\cdot0+2\sqrt{3}\cdot1}{\sqrt{(0{,}4\sqrt{3})^2+2^2+(2\sqrt{3})^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}}\approx 0{,}85\)

Suy ra \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\approx 31{,}4^\circ\).

Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc \(31{,}4^\circ\).

Trong không gian \(Oxyz\), ta xem mặt phẳng \(Oxy\) là mặt sàn, đường thẳng \(d\) là ống nước, trong đó mặt phẳng \(Oxy\) nhận vectơ \(\overrightarrow{n}=(0;0;1)\) là một vectơ pháp tuyến và đường thẳng \(d\) nhận vectơ \(\overrightarrow{AB}=(4;4;-1)\) làm một vectơ chỉ phương.

Ta có

\begin{eqnarray*}\sin(d,(Oxy))&=&|\cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{AB})|\\&=&\displaystyle\frac{|0\cdot4+0\cdot4-1\cdot1|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\sqrt{4^2+4^2+1^2}}\\&=&\displaystyle\frac{\sqrt{33}}{33}.\end{eqnarray*}

Suy ra \((d,(Oxy))\approx10^\circ\).

Vậy góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn là khoảng \(10^\circ\).