Ta có \(\overrightarrow{IA}= (12;0;-3)\), \(\overrightarrow{IB}=(2;0;-1)\) và \(\overrightarrow{IC}=(2;2;-1)\) suy ra \(IA=\sqrt{153}\), \(IB=\sqrt{5}\), \(IC=3\).

Do \(IA>3\) nên điểm \(A(10;1;2)\) nằm ở ngoài mặt cầu; \(IB< 3\) nên điểm \(B(0;1;4)\) nằm ở trong mặt cầu; \(IC=3\) nên điểm \(C(0;3;4)\) nằm ở trên mặt cầu.

a) Phương trình \(x^2+y^2+z^2+8x-6y+2z-10=0\) có dạng \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) với \(a=-4\), \(b=3\), \(c=-1\), \(d=-10\).

Ta có \(a^2+b^2+c^2-d=16+9+1+10=36>0\).

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(I(-4;3;-1)\), bán kính \(R=6\).

b) Phương trình \(x^2+y^2+z^2+x+y-6z+33=0\) có dạng \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) với \(a=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(b=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(c=3\), \(d=33\).

Ta có \(a^2+b^2+c^2-d=\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{4}+9-33=-\displaystyle\frac{47}{2}< 0\).

Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

a) Phương trình \(x^2+y^2+z^2+4z-32=0\) có dạng \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) với \(a=0\), \(b=0\), \(c=-2\), \(d=-32\).

Ta có \(a^2+b^2+c^2-d=0+0+4+32=36>0\).

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(I(0;0;-2)\), bán kính \(R=6\).

b) Phương trình \(x^2+y^2+z^2+2x+2y-2z+4=0\) có dạng \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) với \(a=-1\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=4\).

Ta có \(a^2+b^2+c^2-d=1+1+1-4=-1< 0\).

Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

Phương trình đã cho tương ứng với \(a=-1\), \(b=1\), \(c=-4\), \(d= -18\).

Khi đó \(R^2 = a^2+b^2+c^2-d=1+1+16+18=36\).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left(-1 ;1 ; -4\right)\) và bán kính \(R=6\).

a) Phương trình đã cho tương ứng với \(a=1\), \(b=0\), \(c=\displaystyle\frac{5}{2}\), \(d=30\).

Trong trường hợp này, \(a^2+b^2+c^2-d=1+\displaystyle\frac{25}{4}-30 = -\displaystyle\frac{91}{9}< 0\).

Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

b) Phương trình đã cho tương ứng với \(a=2\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=0\).

Trong trường hợp này, \(a^2+b^2+c^2-d=4+1+1+0=6>0\). Do đó phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu có tâm \(I\left(2 ;-1 ; 1\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{6}\).

c) Phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu vì xuất hiện \(x^3\) trong phương trình.

d) Phương trình đã cho tương ứng với \(a=0\), \(b=0\), \(c=0\), \(d=5\).

Trong trường hợp này, \(a^2+b^2+c^2-d= 0 + 0 + 0 - 5 =-5 < 0\). Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

Phương trình đã cho tương ứng với \(a=-2\), \(b=\displaystyle\frac{5}{2}\), \(c=-3\), \(d=\displaystyle\frac{25}{4}\).

Khi đó \(R^2 = a^2+b^2+c^2-d=4+\displaystyle\frac{25}{4}+9-\displaystyle\frac{25}{4}=13>0\).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left(-2 ;\displaystyle\frac{5}{2} ; -3\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{13}\).

a) Phương trình đã cho tương ứng với \(a=1\), \(b=-\displaystyle\frac{3}{2}\), \(c=4\), \(d=100\). Trong trường hợp này, \(a^2+b^2+c^2-d=1+\displaystyle\frac{9}{4}+16-100< 0\). Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

b) Phương trình đã cho tương ứng với \(a=2\), \(b=-\displaystyle\frac{5}{2}\), \(c=1\), \(d=-\displaystyle\frac{3}{4}\). Trong trường hợp này, \(a^2+b^2+c^2-d=4+\displaystyle\frac{25}{4}+1+\displaystyle\frac{3}{4}=12>0\). Do đó phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu có tâm \(I\left(2 ;-\displaystyle\frac{5}{2} ; 1\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}\).

c) Phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu vì xuất hiện \(-2 x y\) trong phương trình.

a) Ta viết lại phương trình của mặt cầu \((S)\) dưới dạng: \(\left[x - (-2)\right]^2+(y-0)^2+\left[x -\left(-\frac{1}{2}\right)\right]^2=\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2.\)

Vậy mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left(-2 ;0 ; -\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) và bán kính \(R=\displaystyle\frac{3}{2}\).

b) Ta có \(MI^2=(2+2)^2+(0+0)^2+\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{73}{4}>\displaystyle\frac{3}{2}=R^2\).

Do đó, điểm \(M(2 ; 0 ; 1)\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).

a) Ta viết lại phương trình của mặt cầu \((S)\) dưới dạng: \((x-1)^2+[y-(-3)]^2+(z-0)^2=\left(\sqrt{5}\right)^2\). Vậy mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1 ;-3 ; 0)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}\).

b) Ta có \(O I^2=(0-1)^2+(0+3)^2+(0-0)^2=10>5=R^2\). Do đó, gốc toạ độ \(O(0 ; 0 ; 0)\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).

a) Ta có \(x^2+(y-3)^2+(z+2)^2=1\Leftrightarrow \left(x-0\right)^2+(y-3)^2+\left(z-(-2)\right)^2=1^2\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(0;3;-2)\) và bán kính \(r=1\).

b) Ta có \((x-2)^2+(y-3)^2+z^2=4\Leftrightarrow \left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-0\right)^2=2^2\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(2;3;0)\) và bán kính \(r=2\).

c) Xét phương trình \(x^2+y^2+z^2-8x-2y+1=0\).

Ta thấy phương trình được cho ở dạng \(x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0\).

Ta có \(A=-4\); \(B=-1\); \(C=0\); \(D=1\). Suy ra \(A^2+B^2+C^2-D=16>0\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I(-4;-1;0)\), bán kính \(r=\sqrt{A^2+B^2+C^2-D}=4\).

d) Xét phương trình \(3x^2+3y^2+3z^2-6x+8y+15z-3=0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2x+4y+5z-1=0\).

Ta thấy phương trình được cho ở dạng \(x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0\).

Ta có \(A=-1\); \(B=2\); \(C=\displaystyle\frac{5}{2}\); \(D=-1\). Suy ra \(A^2+B^2+C^2-D=\displaystyle\frac{49}{4}>0\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I(-1;2;\displaystyle\frac{5}{2})\), bán kính \(r=\sqrt{A^2+B^2+C^2-D}=\displaystyle\frac{25}{2}\).

a) Ta có

\begin{eqnarray*}&&x^2+y^2+z^2+4x-2y+1 = 0 \\&\Leftrightarrow& (x^2 +2\cdot 2\cdot x) + (y^2 - 2y) + z^2 +1 = 0\\&\Leftrightarrow& (x + 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 4 + 1 - 1 \\&\Leftrightarrow& (x + 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 4.\end{eqnarray*}

Vậy đây là phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I(-2;1;0)\), bán kính \(r=\sqrt{4}=2\).

b) Ta có

\begin{eqnarray*}&&3x^2+3y^2+3z^2+6x+12y-9z+1=0 \\&\Leftrightarrow& x^2+y^2+z^2+2x+4y-3z+\displaystyle\frac{1}{3}=0\\&\Leftrightarrow& (x^2 + 2x) + (y^2 +2\cdot2\cdot y) + \left(z^2-2\cdot\displaystyle\frac{3}{2}\cdot z\right) = \displaystyle\frac{-1}{3} \\&\Leftrightarrow& (x + 1)^2 + (y + 2)^2 + \left(z-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2 = 1+4+\displaystyle\frac{9}{4}-\displaystyle\frac{1}{3}\\&\Leftrightarrow& (x + 1)^2 + (y + 2)^2 + \left(z-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2 = \displaystyle\frac{83}{12}.\end{eqnarray*}

Vậy đây là phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I\left(-1;-2;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\), bán kính \(r=\sqrt{\displaystyle\frac{83}{12}}=\displaystyle\frac{\sqrt{249}}{6}\).

a) Ta có \((x+3)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=9\Leftrightarrow \left(x-(-3)\right)^2+(y-2)^2+\left(z-(-3)\right)^2=3^2\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(-3;2;-3)\) và bán kính \(r=3\).

b) Ta có \(x^2+(y+2)^2+z^2=1\Leftrightarrow \left(x-0\right)^2+\left(y-(-2)\right)^2+\left(z-0\right)^2=1^2\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(0;-2;0)\) và bán kính \(r=1\).

a) Ta có \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16\Leftrightarrow (x-1)^2+\left(y-(-2)\right)^2+(z-3)^2=4^2\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(1;-2;3)\) và bán kính \(r=4\).

b) Ta có \((x+2)^2+y^2+(z+3)^2=4\Leftrightarrow \left(x-(-2)\right)^2+\left(y-0)\right)^2+\left(z-(-3)\right)^2=2^2\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(-2;0;-3)\) và bán kính \(r=2\).

Ta so sánh \(IA\), \(IB\), \(IC\) với bán kính \(r\) của \((S)\).

\(IA=\sqrt{(0-1)^2+(1-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{6}\Rightarrow IA=r\). Nên \(A\) nằm trên mặt cầu \((S)\).

\(IB=\sqrt{(-1-1)^2+(0-2)^2+(1-3)^2}=2\sqrt{3}\Rightarrow IB>r\). Nên \(B\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).

\(IC=\sqrt{(0-1)^2+(2-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2}\Rightarrow IC< r\). Nên \(C\) nằm trong mặt cầu \((S)\).

Bán kính mặt cầu là \(R=\sqrt{6}\). Đường kính mặt cầu là \(2R=2\sqrt{6}\).

Tâm của mặt cầu \((S)\) là \(I(1;1;1)\).

Khoảng cách \(\mathrm{d}(I,(\alpha))=\displaystyle\frac{|3\cdot 1-2\cdot 1+6\cdot 1+14|}{\sqrt{3^2+(-2)^2+6^2}}=3\).

Ta có \(a=3\), \(b=1\), \(c=2\), \(d=-11\). Khi đó \(a^2+b^2+c^2-d=25>0\) nên phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(I(3;1;2)\) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=5\).

a) Ta có

\begin{eqnarray*}&\Leftrightarrow & x^2+y^2+z^2-4x+10y-2z+14=0 \\ &\Leftrightarrow & x^2+y^2+z^2-2\cdot2 \cdot x+ 2\cdot 5 \cdot y - 2\cdot 1 \cdot z +14=0 \\&\Leftrightarrow & (x-2)^2+(y+5)^2+(z-1)^2=16\end{eqnarray*}

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(I(2;-5;1)\) bán kính \(R=\sqrt{16}=4\).

b) Ta có

\begin{eqnarray*}& & x^2+y^2+z^2+2x+4y-6z+20=0 \\&\Leftrightarrow & x^2+y^2+z^2+2\cdot 1 \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot y -2\cdot 3 \cdot z +20 =0 \\&\Leftrightarrow & (x+1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=-6< 0.\end{eqnarray*}

Vậy phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.

a) Phương trình \(2x^2+y^2+z^2-2x-2y+2z+1=0\) không phải là phương trình của một mặt cầu vì các hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) khác nhau.

b) Phương trình \(x^2+y^2-2x+6y-8z-3=0\) không phải là phương trình của mặt cầu vì không có biểu thức \(z^2\).

Mặt cầu có tâm \(I(0;-5;-1)\) và bán kính \(R=\sqrt{2}\).

Ta có \((S)\colon (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16\).

Suy ra \(I(1; -2; 3)\) và \(R = 4\).

Bán kính của mặt cầu \((S)\) là \(R=\sqrt{9}=3\).

Bán kính của \((S)\) là \(\sqrt{9}=3\).

Bán kính mặt cầu \(\left(S\right)\) là \(R=\sqrt{16}=4\).

\((S)\colon x^2+y^2+(z-2)^2=4^2\). Do đó bán kính của \((S)\) là \(4\).

Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \((S)\colon (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\) có tâm là \(I(a,b,c)\).

Khi đó mặt cầu \((S)\colon (x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=4\) có tâm \(I(-1,2,-3)\).

Tâm của mặt cầu \((S)\colon (x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 9\) có tọa độ là \((-1;-2;3)\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2;-3)\).

Tâm của \((S)\colon (x+3)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=2\) có tọa độ là \((-3;-1;1)\).

Bán kính mặt cầu \(R=\sqrt{3}\).

Ta có \(\begin{cases}a=\displaystyle\frac{2}{-2}=-1\\b=\displaystyle\frac{0}{-2}=0\\c=\displaystyle\frac{-2}{-2}=1\\d=-7.\end{cases}\)

Vậy mặt cầu \((S)\) có bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2-(-7)}=3\).

Ta có \(\begin{cases}-2a=0\\-2b=2\\-2c=-2\\d=-7\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=0\\b=-1\\c=1\\d=-7.\end{cases}\)

Bán kính mặt cầu là \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2-(-7)}=3\).

Bán kính của mặt cầu là \(r=3\).

Bán kính mặt cầu \((S)\) là

\[R=\sqrt{(-4)^2+2^2+(-1)^2-(-4)}=5.\]

Phương trình của mặt cầu \((S)\) là

\(x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z-3=0 \Leftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=9.\)

Do đó mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-1;2;1)\).

Mặt cầu \((S):(x-1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2=34\).

Khi đó \((S)\) có tâm \(I(1;-2;2)\), bán kính \(R=\sqrt{34}\).

\((S)\) có tâm \(I(3;-2;4)\) và bán kính \(R=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2-4}=5\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;-2;-1)\) và bán kính \(R=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2-(-3)}=3\).

Ta có phương trình

\(x^2 + y^2 + z^2 - 2mx + 4y + 2mz + m^2 + 5m = 0\Leftrightarrow \left(x - m\right)^2 + \left(y + 2\right)^2 + \left(z + m\right)^2 = m^2 - 5m + 4\)

Để thỏa mãn bài toán khi \(m^2 - 5m + 4 > 0\Leftrightarrow m < 1;\,\, m > 4.\)

\(R=5\Leftrightarrow \sqrt{1+4+4+m}=5\Leftrightarrow m=16\).

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu \(\Leftrightarrow 1^2+1^2+2^2-m>0\Leftrightarrow m< 6\).

Ta có \(a=m\), \(b=-3\), \(c=-2m\) và \(d=6m^2-4m+12\).

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

\(a^2+b^2+c^2-d=m^2+9+4m^2-(6m^2-4m+12)>0 \Leftrightarrow m^2-4m+3< 0 \Leftrightarrow 1< m< 3.\)

Điều kiện \(3m^2-27>0\Leftrightarrow m< -3\) hay \(m>3\).

Mặt khác \(m\in [-2018;2018]\Rightarrow m\in \{-2018;-2017;\ldots;-5;-4;4;5;\ldots;2017;2018\}.\)

Có tất cả \(4030\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Từ phương trình ta có \(a=-2m+3; b=m+1; c=-1; d=4m^2-4m+3\).

Để \(\left(1\right)\) không là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi \(a^2+b^2+c^2-d\leq 0\) tức là,

\(\left(-2m+3\right)^2+\left(m+1\right)^2+1-4m^2+4m-3\leq 0 \Leftrightarrow m^2-6m+8\leq 0 \Leftrightarrow 2\leq m\leq 4\).

Vậy \(S=\left\{2;3;4\right\}\) và tổng các phần tử của \(S\) là \(9\).

Để phương trình \(x^2+y^2+z^2-2(m+2)x+4my-2mz+5m^2+9=0\) là phương trình của một mặt cầu thì: \({(m+2)}^2+{(2m)}^2+m^2-5m^2-9>0\Leftrightarrow m^2+4m-5>0\Leftrightarrow m< -5\) hoặc \(m>1\).

Ta có \(\begin{cases}a=1\\b=1\\c=-2\\d=-m^2+5\end{cases}\Rightarrow a^2+b^2+c^2-d=m^2+1>0\), \(\forall m\in \Bbb{R}\).

Bán kính của mặt cầu \((S)\) là \(R=\sqrt{m^2+1}\).

Khi đó \(R=3\Leftrightarrow \sqrt{m^2+1}=3\Leftrightarrow m^2=8\Leftrightarrow m=\pm 2\sqrt{2}\).

Phương trình \(x^2+y^2+z^2-2mx+4y+2mz+m^2+5m=0\) là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

\(m^2+2^2+m^2-(m^2+5m)>0\Leftrightarrow m^2-5m+4>0\Leftrightarrow m< 1;\, m>4.\)

Gọi phương trình đã cho có dạng \(x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = m + 2\), \(b = -2m\), \(c = m\), \(d = 5m^2 + 9\).

Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu thì

\(a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 \Leftrightarrow m^2 + 4m + 4 + 4m^2 + m^2 - 5m^2 - 9 > 0 \Leftrightarrow m^2 + 4m - 5 > 0 \Leftrightarrow m < -5;\, m > 1.\)

Ta có \(\overrightarrow{IA}=(-1;2;2)\) suy ra \(R=IA=\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}=3\).

a) Phương trình mặt tâm \(I(1;2;3)\) và bán kính \(R=10\) là \((x-1)^2+(y-2)^2+(x-3)^2=100\).

b) Bán kính mặt cầu là \(R=IB=\sqrt{(0-3)^2+(2+1)^2+(1+5)^2} =\sqrt{54}\).

Phương trình mặt cầu tâm \(I(3;-1;-5)\) bán kính \(R=\sqrt{54}\) là \((x-3)^2+(y+1)^2+(z+5)^2=54\).

a) Mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) có phương trình là \((x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=R^2 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=R^2.\)

b) Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\), ta có \(I(2;3;4)\) và \(R=IA\).

\(IA=\sqrt{(1-2)^2+(2-3)^2+(1-4)^2}=\sqrt{11}\).

Phương trình mặt cầu \((x-2)^2+(x-3)^2+(z-4)^2=11\).

a) Mặt cầu \((S)\) có phương trình \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=25\).

b) Mặt cầu \((S)\) có đường kính \(AB\) nên có tâm \(J(2 ; 4 ; 4)\) là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R=JA=\sqrt{11}\).

Vậy \((S)\) có phương trình \((x-2)^2+(y-4)^2+(z-4)^2=11\).

c) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(A(1 ; 0 ;-2)\) và đi qua điểm \(B(2 ; 4 ; 1)\) nên có bán kính \(R=A B=\sqrt{26}\). Vậy \((S)\) có phương trình \((x-1)^2+y^2+(z+2)^2=26\).

Vì \(I\in d\) nên \(I(3-t;t;4+2t)\). Mặt cầu \((S)\) đi qua điểm \(O\) nên \(IO=5\Leftrightarrow \sqrt{(3-t)^2+t^2+(4+2t)^2}=5\Leftrightarrow 6t^2+10t=0\Leftrightarrow t=0;\, t=-\displaystyle\frac{5}{3}.\)

Với \(t=0\) ta được \(I(3;0;4)\) và \(t=-\displaystyle\frac{5}{3}\) ta được \(I\left(\displaystyle\frac{14}{3};-\displaystyle\frac{5}{3};\displaystyle\frac{2}{3} \right)\).

a) Phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(O(0;0;0)\), bán kính \(r\) là \(x^2+y^2+z^2=r^2\).

b) Phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I(1;2;-3)\), bán kính \(r=5\) là

\((x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=5^2\) hay \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=25.\)

a) Bán kính mặt cầu là \(r=IM=\sqrt{(4-2)^2+(1+1)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{12}\).

Phương trình mặt cầu tâm \(I(2;-1;0)\), bán kính \(r=\sqrt{12}\) là

\((x-2)^2+(y+1)^2+z^2=12.\)

b) Tâm của mặt cầu \((S)\) là trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\), suy ra \(I(2;-2;1)\). Bán kính mặt cầu \((S)\) là \(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{4^2+(-6)^2+(-4)^2}}{2}=\sqrt{17}\). Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) là

\((x-2)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=17.\)

a) Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-4;0;5)\) và bán kính \(r=\sqrt{6}\) là:

\((x+4)^2 +y^2+(z-5)^2=6.\)

b) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(C(2;1;5)\) đi qua điểm \(A(5;-2;-1)\) nên có bán kính

\(r=AC=\sqrt{(5-2)^2+(-2-1)^2+(-1-5)^2}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}.\)

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) là: \((x-5)^2 +(y+2)^2+(z+1)^2=54.\)

c) Tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), suy ra toạ độ tâm \(I(-1;2;2)\).

Bán kính mặt cầu \((S)\) là \(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{(2+4)^2+(1-3)^2+(-3-7)^2}}{2}=\sqrt{35}\).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) là: \((x+1)^2 +(y-2)^2+(z-2)^2=35.\)

a) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left(\displaystyle\frac{3}{2} ; 0 ;-3\right)\) và có bán kính \(R=\displaystyle\frac{9}{4}\) nên có phương trình: \(\left(x-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2+(y-0)^2+(z+3)^2=\left(\displaystyle\frac{9}{4}\right)^2 \text { hay }(S):\left(x-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2+y^2+(z+3)^2=\displaystyle\frac{81}{16}.\)

b) Đoạn thẳng \(A B\) có trung điểm là \(J\left(2 ; \displaystyle\frac{3}{2} ; 3\right)\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(J\) và bán kính \(R=\displaystyle\frac{1}{2} A B=\displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2+(5-1)^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{2}\).

Do đó \((S):(x-2)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2+(z-3)^2=\displaystyle\frac{21}{4}\).

a) Mặt cầu có tâm là gốc toạ độ, bán kính \(R=1\) có phương trình là \(x^2 + y^2 + x^2 =1\).

b) Đoạn thẳng \(A B\) có trung điểm là \(J\left(\displaystyle\frac{3}{2} ; -2 ; \displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(J\) và bán kính \(R=\displaystyle\frac{1}{2} A B=\displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{(2-1)^2+(-3+1)^2+(-1-2)^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{2}.\)

Do đó \((S):(x-\displaystyle\frac{3}{2})^2+(y+2)^2+\left(z+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{14}{4}\).

Ta có \(P\left(\cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ} ; \cos 10^{\circ} \sin 15^{\circ} ; \sin 10^{\circ}\right), Q\left(\cos 80^{\circ} \cos 70^{\circ} ; \cos 80^{\circ} \sin 70^{\circ} ; \sin 80^{\circ}\right).\)

Suy ra \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(\cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ} ; \cos 10^{\circ} \sin 15^{\circ} ; \sin 10^{\circ}\right), \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\left(\cos 80^{\circ} \cos 70^{\circ} ; \cos 80^{\circ} \sin 70^{\circ} ; \sin 80^{\circ}\right).\)

Do đó

\(\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}} & =\cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ} \cos 80^{\circ} \cos 70^{\circ}+\cos 10^{\circ} \sin 15^{\circ} \cos 80^{\circ} \sin 70^{\circ}+\sin 10^{\circ} \sin 80^{\circ} \\& \approx 0{,}2691.\end{aligned}\)

Vì \(P\), \(Q\) thuộc mặt đất nên \(\left|\overrightarrow{OP}\right|=\left|\overrightarrow{OQ}\right|=1\).

Do đó \(\cos \widehat{POQ}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}| \cdot|\overrightarrow{OQ}|} \approx 0{,}2691\). Suy ra \(\widehat{P O Q} \approx 74{,}3893^{\circ}\).

Mặt khác, đường tròn tâm \(\mathrm{O}\), đi qua \(P\), \(Q\) có bán kính 1 và chu vi là \(2 \pi \approx 6{,}2832\), nên cung nhỏ \(\widehat{PQ}\) của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng \(\displaystyle\frac{74{,}3893}{360} \cdot 6{,}2832 \approx 1{,}2983\).

Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí \(P\), \(Q\) xấp xỉ bằng \(1{,}2983 \cdot 6371=8271{,}4693(\mathrm{~km})\).

Phương trình mặt cầu \(\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+(y+1)^2+z^2=9\) có tâm \(I \left(\displaystyle\frac{1}{2}; -1; 0\right)\) và bán kính \(R = 3\).

Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-2 ; 0 ; 5)\) và bán kính \(R=2\) là

\((x + 2)^2 + y^2 + (z -5)^2 = 4.\)

Ta có \(R = \mathrm{d}_{(I, (P))} = \displaystyle\frac{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 3 -1 \cdot (-1)|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{14}}{2}\).

Do đó phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(0 ; 3 ;-1)\) và có bán kính bằng khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \((P): 3 x+2 y-z=0\) là

\(x^2 + (y-3)^2 + (x + 1)^2 = \displaystyle\frac{7}{2}.\)

a) Mặt cầu \((S)\) có phương trình \((x-3)^2+(y+2)^2+(z+4)^2=100\).

b) Mặt cầu \((S)\) có đường kính \(EF\) nên có tâm \(J(5;-2;4)\) là trung điểm của \(EF\) và bán kính \(R=JE=\sqrt{21}\).

Vậy \((S)\) có phương trình \((x-5)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=21\).

c) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(M(-2;1;3)\) và đi qua điểm \(N(2;-3;-4)\) nên có bán kính \(R=MN=9\). Vậy \((S)\) có phương trình \((x+2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=81\).

a) Ta có \(\overrightarrow{O'A}=\left(2; 0; -4\right)\), \(\overrightarrow{O'C}=\left(0; 6; -4\right)\).

Mặt phẳng \((O' A C )\) đi qua \(A\left(2; 0; 0\right)\) và nhận \(\left[\overrightarrow{O' A},\overrightarrow{O' C} \right]=\left(-24; 8; 12\right)\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình \(\left(O' A C\right)\) là \(-24\left(x-2\right)+8\left(y-0\right)+12\left(z-0\right)=0\Leftrightarrow -6x+2y+3z+12=0.\)

b) Đường thẳng \(C O'\) đi qua điểm \(C\left(0; 6; 0\right)\) và nhận \(\overrightarrow{CO'}=\left(0; -6; 4\right)\) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng \(CO'\) là \(\begin{cases}&x=0\\&y=6-6t\\&z=4t}\).

c) Vì hình hộp chữ nhật \(O A B C.O'A'B'C'\), với \(O\) là gốc toạ độ, \(A(2 ; 0 ; 0), C(0 ; 6 ; 0)\), \(O'(0 ; 0 ; 4)\) nên \(B'\left(2; 6; 4\right)\).

Ta có \(OB'=3\sqrt{6}\) là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật nên\break \(R=\displaystyle\frac{OB'}{2}=\displaystyle\frac{3\sqrt{6}}{2}\). Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ta có \(I\left(1; 3; 2\right)\).

Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp chữ nhật có phương trình là \(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-2\right)^2=\displaystyle\frac{27}{2}.\)

Ta có

\begin{eqnarray*}&& MA^2=MB^2+MC^2\\&\Leftrightarrow &\left(1-x \right)^2+y^2+z^2=x^2+\left(2-y \right)^2+z^2+x^2+y^2+\left(3-z \right)^2 .\\&\Leftrightarrow & 1-2x+x^2+y^2+z^2=x^2+4-4y+y^2+z^2+x^2+y^2+9-6z+z^2.\\&\Leftrightarrow & x^2+y^2+z^2+2x-4y-6z+12=0~ \text{thoả điều kiện}~ a^2+b^2+c^2-d=1+4+9-12=2>0.\end{eqnarray*}

Vậy \(M\) thuộc một mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left( -1;2;3\right)\) và bán kinh \(R=\sqrt{2}\).

Bán kính mặt cầu tâm \(K\) và tiếp xúc với \((Oxy)\) là \(R=\mathrm{d}(K,(Oxy))=2\sqrt{2}\Rightarrow\) phương trình mặt cầu là \(x^{2}+(y-2)^{2}+(z-2\sqrt{2})^{2}=8\).

Phương trình mặt cầu cần tìm là \((S)\colon (x-1)^2+(y+3)^2+z^2=5\).

Phương trình mặt cầu tâm \(I(1;0;-2)\), bán kính \(R=4\) là \((x-1)^2+y^2+(z+2)^2=16\).

Phương trình mặt cầu có tâm \(I(3;-6;4)\) và bán kính là \(R=5\) là

\((x-3)^2+(y+6)^2+(z-4)^2=25.\)

Trung điểm của \(AB\) là \(I(3; 2; 0)\).

Bán kính của mặt cầu \((S)\) là \(R=IA=\sqrt{(3-2)^2+(2-1)^2+(0+2)^2}=\sqrt{6}\).

Vậy phương trình mặt cầu là \((S)\colon (x-3)^2+(y-2)^2+z^2=6\).

Phương trình mặt cầu có tâm \(I(1;-2;3)\), bán kính \(R=2\) là \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=4\).

Bán kính \(R = IA = \sqrt{2}\) nên phương trình mặt cầu là \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=2\).

Mặt cầu có tâm \(I(2;-1;0)\), bán kính \(R=2\) có phương trình \((x-2)^2+(y+1)^2+z^2=4\).

Vì \(\overrightarrow{AB}=(1;5;-7)\) nên bán kính của mặt cầu \((S)\) là \(AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{75}\). Suy ra phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=75\).

Ta có \(IA=\sqrt{4+1+4}=3\). Viết phương trình mặt cầu là \((x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2=9\).

\(Oy\) qua \(O(0;0;0)\) có vector chỉ phương \(\overrightarrow{j}=(0;1;0)\). Khi đó ta có \(\mathrm{d}(I,Oy)=\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{j}\wedge\overrightarrow{IO} \right |}{\left |\overrightarrow{j} \right |}=\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{k} \right |}{1}=\sqrt{10}.\)

Với \(\overrightarrow{k}=(-3;0;1)\).

Vậy phương trình mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc với trục \(Oy\) là \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=10.\)

+ Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\) là trung điểm \(AB\) suy ra \(I(4;0;3)\).

+ Bán kính \(R=IA=\sqrt{(x_A-x_I)^2+(y_A-y_I)^2+(x_A-z_I)^2}=\sqrt{14}\).

+ Vậy \((S)\colon (x-4)^2+y^2+(z-3)^2=14\).

Mặt cầu tiếp xúc với trục \(Oy\) nên bán kính mặt cầu \(R=\sqrt{2^2+(-3)^2} =\sqrt{13}.\)

Vậy phương trình mặt cầu tâm \(I(2;1,-3)\) tiếp xúc với trục \(Oy\) có phương trình \((x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2 =13.\)

\(\overrightarrow{AB}=(-2;-2;-4)\Rightarrow AB=2\sqrt{6}\).

Vì mặt cầu nhận \(AB\) làm đường kính nên có tâm \(I(2;1;-2)\) là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=\sqrt{6}\).

Viết phương trình của mặt cầu là \((x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=6\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-4x-2y+4z+3=0\).

Trung điểm \(I\) của \(AB\) có tọa độ \(I(0;3;2)\) và độ dài đường kính \(AB=2R=2\sqrt{3}\).

Từ đó, phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \(x^2+(y-3)^2+(z-2)^2=3\).

Bán kính mặt cầu là \(R=IA=\sqrt{9+0+16}=5\).

Vậy phương trình mặt cầu là \((x+1)^2 +(y-1)^2 +(z+2)^2=25\).

\(R=\sqrt{2}\). Vậy \((S)\): \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=2\).

Mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình \(z=0\).

Khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \((Oxy)\) là \(\mathrm{d}=3=R\).

Mặt cầu thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là

\((x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=9.\)

Ta có

\(R=\mathrm{d}(I;Oy)=\sqrt{0^2+3^2}=3\).

Phương trình mặt cầu \((S)\) là \(x^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9\).

Tâm \(I\) là trung điểm \(AB\) nên \(I(-1;1;4)\), bán kính \(R=IA=\sqrt{(1+1)^2+(2-1)^2+(3-4)^2}=\sqrt{6}\).

Phương trình mặt cầu là \((S)\colon (x+1)^2+(y-1)^2+(z-4)^2=6\).

Gọi \(R\) là bán kính của mặt cầu, áp dụng công thức diện tích mặt cầu ta có: \(4 \pi R^2 = 100 \pi\). \(\Rightarrow R = \sqrt{25} = 5\). Suy ra phương trình của mặt cầu cần tìm có dạng \((x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = 25.\) Hay \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 6y + 4z - 11 = 0\).

Bán kính của mặt cầu \((S)\) là \(R=IA=\sqrt{(3-2)^2+(-4+1)^2+(4-3)^2}=\sqrt{11}\).

Phương trình mặt cầu \((S)\colon (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=11\).

Thể tích khối cầu \(V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3=972\pi\Leftrightarrow R=9\).

Phương trình mặt cầu \((S)\colon (x+1)^2+(y-4)^2+(z-2)^2=81\).

Mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2-4x+2y-2az+10a=0\) có tâm \(I(2;-1;a)\) và \(R=\sqrt{a^2-10a+5}\).

Chu vi đường tròn lớn \(C=2\pi R=2\pi\sqrt{a^2-10a+5}\).

Vì \(C=8\pi\Leftrightarrow a^2-10a+5=16\Leftrightarrow a=11;\, a=-1\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên trục \(Ox\Rightarrow H(6;0;0)\).

Khi đó \(R=IH=\sqrt{(6-6)^2+(0-3)^2+(0+4)^2}=5\).

Bán kính \(R=OA=\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{14}\). Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

\(x^2+y^2+z^2=\sqrt{14}.\)

Vì \((S)\) tiếp xúc với mặt phẳng \((Oxz)\) nên \(R=\mathrm{d}(I,(Oxz))=|y_I|=2\).

Vậy \((S):(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=4\).

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\) khi đó \(I(4;0;3)\) là tâm mặt cầu.

Ta có bán kính \(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(1-7)^2+(2+2)^2+(4-2)^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{56}}{2}\).

Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \((x-4)^2+y^2+(z-3)^2=14\).

Bán kính mặt cầu \((S)\) là \(\mathrm{\,d}\left( I, (Oxz)\right) = 5\).

Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3;-4;5)\) và bán kính \(R=4\) có dạng

\((x-3)^2+(y+4)^2+(z-5)^2=16.\)

Mặt cầu tâm \(I(1;1;0)\) và đi qua điểm \(A(1;1;\sqrt{5})\) có bán kính

\[R=IA=\sqrt{(1-1)^2+(1-1)^2+(\sqrt{5}-0)^2}=\sqrt{5}.\]

Vậy mặt cầu có phương trình

\[(x-1)^2+(y-1)^2+z^2=5.\]

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow I(-1;2;-5)\).\\ Độ dài \(AB\) là \(AB=\sqrt{(-4-2)^2+(2-2)^2+(-9+1)^2}=10\).

Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm là \(I(-1;2;-5)\) và bán kính \(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=5\) có phương trình là

\((x+1)^2+(y-2)^2+(z+5)^2=25.\)

Bán kính của mặt cầu \((S)\) là \(R=IA=\sqrt{(1-1)^2+(0-2)^2+(4+3)^2}=\sqrt{53}\).

Phương trình của mặt cầu \((S)\colon (x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=53\).

Ta có bán kính mặt cầu \((S)\) đi qua \(M\) và tâm \(I\) là \(IM = \sqrt{8}\).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-3)^2+(y+1)^2+(z-4)^2=8\).

Bán kính \(R=IA=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}\). Viết phương trình mặt cầu \((S)\) là

\((x-3)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=5.\)

\(I\) là hình chiếu của \(M\) lên trục \(Ox\) suy ra \(I(1;0;0)\).

Do đó, ta có \(\overrightarrow{IM}=(0;-2;3)\) suy ra \(|\overrightarrow{IM}|=\sqrt{13}\).

Phương trình mặt cầu tâm \(I\), bán kính \(IM\) có phương trình là \((x-1)^2+y^2+z^2=13.\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) nhận \(N(0;0;3)\) làm tâm và đi qua gốc tọa độ \(O\) suy ra bán kính \(R=ON=3\).

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là

\((x-0)^2+(y-0)^2+(z-3)^2=9\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-6z=0.\)

Gọi \(R\) là bán kính của mặt cầu \((S)\) và \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên trục \(Ox\).

\(\Rightarrow H(2;0;0)\) và \(R=IH=\sqrt{(2-2)^2+(0+4)^2+(0-3)^2}=5\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(2;-4;3)\) và bán kính là \(R=5\).

Phương trình của mặt cầu \((S)\) là \((x-2)^2+(y+4)^2+(z-3)^2=25\).

Ta có \(V = \displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3 = 36\pi \Leftrightarrow R = 3\).

Phương trình mặt cầu \((S)\) có dạng \((x + 1)^2 + (y - 4)^2 + (z - 2)^2 = 9\).

Tâm \(I\in Ox\) nên \(I(x;0;0)\).

Vì mặt cầu \((S)\) đi qua \(A\), \(B\) nên \(IA=IB\) (vì cùng bằng bán kính).

Suy ra \(IA^2=IB^2\Leftrightarrow (x-1)^2+1+4=(x-3)^2+4+9\Leftrightarrow 4x=16\Leftrightarrow x=4\Rightarrow I(4;0;0)\).

Khi đó mặt cầu \((S)\) có bán kính là \(R=IA=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}\).

Do đó phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-4)^2+y^2+z^2=14\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-8x+2=0\).

Ta có \(V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow 36\pi=\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow R = 3\).

Do đó phương trình mặt cầu là \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 4)^2=9\).

a) Phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-7)^2+(y+3)^2+z^2=64\).

b) Ta có \(R=MN=\sqrt{(1-3)^2+(0-1)^2+(1+5)^2}=\sqrt{30}\).

Phương trình mặt cầu cần tìm là \((x-3)^2+(y-1)^2+(z+4)^2=30\).

c) Ta có \(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{(2-4)^2+(4-6)^2+(4-8)^2}}{2}=\sqrt{6}\).

Với \(I(3;5;6)\) là trung điểm của \(AB\) và là tâm của mặt cầu \((S)\).

Phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-3)^2+(y-5)^2+(z-6)^2=6\).

a) Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu vì \(\left(-\displaystyle\frac{5}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{7}{2}\right)^2+\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+1>0.\)

b) Phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu vì

\((-2)^2+(-3)^2+1^2-100=-90< 0.\)

c) Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu vì

\(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{4}>0.\)

Ta có \(\overrightarrow{MA}=(x-1;y;z)\), \(\overrightarrow{MB}=(x-5;y;z)\).

Suy ra \(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow (x-1)(x-5)+y^2+z^2=0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-6x+5=0.\)

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu vì

\(a^2+b^2+c^2-d=9-5=4>0\) và có tâm \(I(3;0;0)\), bán kính \(R=2\).

a) Phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-4)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=81\).

b) Ta có \(R=IM=\sqrt{(2-3)^2+(4-2)^2+(-1-0)^2} = \sqrt{6}\).

Phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-3)^2+(y-2)^2+z^2=6\).

c) Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\), ta có \(I(0;1;2)\), điểm \(I\) chính là tâm của mặt cầu đường kính \(AB\).

Ta có \(AB=\sqrt{(-1-1)^2+(0-2)^2+(4-0)^2}=4\sqrt{2}\). Suy ra \(R= \displaystyle\frac{AB}{2}=2\sqrt{2}\).

Phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-0)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=8 \Leftrightarrow x^2+(y-1)^2+(z-2)^2=8\).

Chọn \(M(1;0;0)\) thuộc \(Ox\), \(\overrightarrow{MA}=(0;4;3)\);

vec-tơ chỉ phương của \(Ox\) là \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\).

Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(A\) đến \(Ox\), ta có

\(h=\mathrm{d}[A,Ox]=\displaystyle\frac{|[\overrightarrow{i},\overrightarrow{MA}]|}{|\overrightarrow{i}|}=\displaystyle\frac{|(0;-3;4)|}{|(1;0;0)|}=5\).

Bán kính mặt cầu \(R=\sqrt{CI^2+h^2}=\sqrt{34}\).

Phương trình mặt cầu là \((S): (x-1)^2+(y-4)^2+(z-3)^2=34\).

Tâm \(I\) thuộc trục \(Oz\) nên \(I(0;0;c)\), khi đó

\(IA=IB\Leftrightarrow (1-0)^2+(2-0)^2+(3-c)^2=(-2-0)^2+(1-0)^2+(5-c)^2\Leftrightarrow c=4\).

Bán kính \(R=IA=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2+(3-4)^2}=\sqrt{6}\).

Phương trình mặt cầu là \((S)\colon x^2+y^2+(z-4)^2=6\).

Do \(I\in Ox\) nên \(I(m;0;0)\). Mà \(A(3;1;0)\), \(B(5;5;0)\) thuộc mặt cầu \((S)\) nên

\begin{eqnarray*}IA=IB\Leftrightarrow IA^2=IB^2&\Leftrightarrow& (3-m)^2+1=(5-m)^2+25\\&\Leftrightarrow& 4m-40=0\Leftrightarrow m=10.\end{eqnarray*}

Suy ra \(I(10;0;0)\), \(IA=\sqrt{(3-10)^2+1}=\sqrt{50}\). Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) là

\[(x-10)^2+y^2+z^2=50.\]

Gọi \((S)\): \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0.\)

Ta có:

\begin{eqnarray*}&\begin{cases}& A\in (S) \\ & B\in (S) \\ & C\in (S) \\ & D\in (S) \\ }\Leftrightarrow \begin{cases}-4a+d=-4\\ -8b+d=-16\\ -12c+d=-36\\ -4a-8b-12c+d=-56\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=1\\ b=2\\ c=3\\ d=0.\end{cases}\end{eqnarray*}

Từ đó suy ra \((S)\) có tâm \(I(1;2;3), R=\sqrt{14}\).

Phương trình mặt cầu \((S')\) có tâm \(I'\equiv I(1;2;3), R'=2R=2\sqrt{14}\) là \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=56.\)

Gọi phương trình mặt cầu có dạng \((S)\colon x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\).

Mặt cầu có tâm \(I(a;b;c)\). Vì \(I\in (Oxz)\) và \(A,B,C\in (S)\) nên ta có hệ

\begin{align*}\begin{cases}13-4a-6b+d=0\\17+8b-2c+d=0\\11-6a-2b-2c+d=0\\b=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}13-4a-6b+d=0\\4a+14b-2c=-4\\-2a+4b-2c=2\\b=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=-1\\b=0\\c=0\\d=-17.\end{cases}\end{align*}

Vậy \(T=a+b+c=-1+0+0=-1\).

Mặt cầu có tâm \(A(1;2;-3)\), bán kính \(R=\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2+2}=4\).

Tâm \(I\) của đường tròn là hình chiếu của điểm \(A\) trên mặt phẳng \((Oxy)\) nên \(I(1;2;0)\), và bán kính \(r=\sqrt{R^2-\mathrm{d}^2(A,(Oxy))}=\sqrt{7}\).

Vì tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) nằm trên trục \(Ox\) nên tọa độ điểm \(I\) có dạng \(I(a;0;0)\).

Vì mặt cầu \((S)\) đi qua hai điểm \(A(1;1;1)\); \(B(0;0;1)\) nên \(IA=IB\). Do đó

\begin{equation*}\sqrt{(1-a)^2+1+1}=\sqrt{a^2+1} \Leftrightarrow 2a =2 \Leftrightarrow a=1.\end{equation*}

Suy ra \(I(1;0;0)\) và \(R=IA=\sqrt{2}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;0;0)\) và bán kính \(R=\sqrt{2}\) nên có phương trình \({\left(x-1\right)}^2+y^2+z^2=2\).

Vì \(I\in (Oxy)\Rightarrow I(a;b;0)\). Ta có \(\overrightarrow{AI}=(a-1;b-2;4);\overrightarrow{BI}=(a-1;b+3;-1);\overrightarrow{CI}=(a-2;b-2;-3)\).

Do \(I\) là tâm cầu nên

\begin{eqnarray*}& & \begin{cases}IA = IB\\IA = IC\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}(-1)^2+(b-2)^2+4^2 (a-1)^2+(b+3)^2+1\\ (a-1)^2+(b-2)^2+4^2=(a-2)^2+(b-2)^2+9\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases}-4b+20=6b+10\\-2a+17=-4a+13\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}b=1\\a=-2\end{cases}\\&\Rightarrow& I(-2;1;0).\end{eqnarray*}

Chú ý bốn đỉnh \(O,A,B,C\) là bốn đỉnh của hình hộp chữ nhật có các kích thước \(2;3;6\). Vậy \(R=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\displaystyle\frac{7}{2}\).

Từ đó suy ra \(V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi\cdot R^3=\displaystyle\frac{343\pi}{6}\).

Giả sử \(I(a;b;c)\) là tâm mặt cầu \((S)\). Ta có

\begin{eqnarray*}\begin{cases}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\\IA^2=ID^2\end{cases}&\Leftrightarrow&\begin{cases}(a-2)^2+b^2+c^2=a^2+(b-4)^2+c^2\\(a-2)^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(c+2)^2\\(a-2)^2+b^2+c^2=(a-2)^2+(b-4)^2+(c+2)^2\end{cases}\\ &\Leftrightarrow&\begin{cases}-4a+8b=12\\-4a-4c=0\\8b-4c=20\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=1\\b=2\\c=-1.\end{cases}\end{eqnarray*}

Suy ra \(r=IA=\sqrt{6}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(2;-1;a)\); \(R=\sqrt{a^2-10 a+5}\).

Theo giả thiết chu vi đường tròn lớn bằng \(8\pi\) ta có

\(2\pi R=8\pi \Leftrightarrow \sqrt{a^2-10a+5}=4\Rightarrow a^2-10a-11 =0\Rightarrow a=\{-1;11\}.\)

Do tâm \(I\) thuộc tia \(Ox\) nên \(I(a;0;0)\), với \(a>0\). Khi đó

\(IA=R\Leftrightarrow (a-1)^2+2^2+(-3)^2=49 \Leftrightarrow a=7\); \(a=-5\) (loại).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(7;0;0)\) và \(R=7\) là \((x-7)^2+y^2+z^2=49\).

Giả sử phương trình mặt cầu là \(x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0\). Từ giả thiết ta có hệ sau

\(\begin{cases} 2^2+4a+d=0\\(-3)^2-6b+d=0\\6^2+12c+d=0\\d=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\b=\displaystyle\frac{3}{2}\\c=-3\\d=0\end{cases}\)

Vậy \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\displaystyle\frac{7}{2}\).

Gọi \(I(a; b; c)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(OABC\). Khi đó

\(\begin{cases}OI^2=AI^2\\OI^2=BI^2\\OI^2=CI^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a^2+b^2+c^2=(a-1)^2+b^2+c^2\\a^2+b^2+c^2=a^2+(b-2)^2+c^2\\a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(c+2)^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=\displaystyle\frac{1}{2}\\b=1\\c=-1.\end{cases}\)

Suy ra bán kính \(R=OI=\displaystyle\frac{3}{2}\).

Phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \(O, A, B, C\) có dạng:

\((S)\colon x^2+y^2+z^2-2a x-2by-2cz+d=0.\)

\((S)\) đi qua bốn điểm \(O, A, B, C\) nên ta thu được

\(\begin{cases}d=0\\4-4a+d=0\\9-6b+d=0\\1-2c+d=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=1\\ b=\displaystyle\frac{3}{2}\\c=\displaystyle\frac{1}{2}\\d=0.\end{cases}\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \(x^2+y^2+z^2-2x-3y-z=0\).

Goi \(I(a;b;c)\) là tâm mặt cầu.

Do mặt cầu tiếp xúc với ba trụ tọa độ và đi qua \(A(1;-1;4)\) nên \(\begin{cases}a>0, b< 0, c>0\\|a|=|b|=|c|.\end{cases}\)

Do đó \(I(a;-a;a)\). Vì \(IA=R\) nên \((a-1)^2+(-a+1)^2+(a-4)^2=a^2 \Leftrightarrow a=3\).

Ta có \(a=3, b=-3, c=3\) nên \(P=a-b+c=9\).

Gọi \(A(x_A; 0;0), B(0;y_B;0), C(0;0;z_C)\). Do \(G(2;4;8)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(x_A=6, y_B=12\) và \(z_C=24\). Suy ra \(A(6;0;0), B(0;12;0), C(0;0;24)\).

Gọi phương trình mặt cầu \((S)\) có dạng \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0 \quad (a^2+b^2+c^2-d>0)\), trong đó \(I(a;b;c)\) là tâm của mặt cầu. Do \((S)\) đi qua bốn điểm \(A,B,C,O\) nên ta có hệ

\(\begin{cases} d=0\\ 36-12a+d=0\\ 144-24b+d=0\\576-48c+d=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=0\\a=3\\ b =6 \\ c=12\end{cases}\Rightarrow I(3;6;12).\)

Gọi \(I\) và \(R\) lần lượt là tâm và bán kính của \((S)\) \(\Rightarrow I(0;0;0)\), \(R=1\).

Ta có \(\mathrm{d}(I;(P))=\displaystyle\frac{|1|}{\sqrt{1+4+4}}=\displaystyle\frac{1}{3} \Rightarrow r=\sqrt{R^2-d^2}=\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3;-2;1)\), bán kính \(R=10\). Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng \((\alpha)\) là \(d = \mathrm{d}(I,(\alpha)) = \displaystyle\frac{|2 \cdot 3-2 \cdot (-2) -1+9|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}}=6\). Do đó bán kính của đường tròn giao tuyến là \(r =\sqrt{R^2-d^2}=8.\)

Mặt cầu \(S\) có tâm \(I(1;1;-3)\) và bán kính \(R=5\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mp \((Oxy)\) bằng \(3\).

Suy ra, \(r=\sqrt{5^2-3^2}=4\).

Ta có \((S) \colon (x-1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=9\) \(\Rightarrow \begin{cases}&I(1;2;2)\\&R=3\end{cases}.\)

\(d=\mathrm{d}\left(I,(\alpha)\right)=\displaystyle\frac{|2\cdot1-2-2\cdot2+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}}=1.\)

Vậy \(r=\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{2}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2;0)\) và bán kính \(R=5\).

Ta có \(\mathrm{d}(I,(\alpha))=\displaystyle\frac{\left|1\cdot1+2\cdot2-2\cdot0+7\right|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=4\).

Vì \(\mathrm{d}(I,(\alpha))< R\) nên \((\alpha)\) cắt \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \((\alpha)\) \(\Rightarrow H\) là tâm của \((C)\).

Lấy \(M\in (C) \Rightarrow M\in (S)\). Tam giác \(IHM\) vuông tại \(M\)

\(\Rightarrow MH=\sqrt{IM^2-IH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\).

Suy ra chu vi của đường tròn \((C)\) bằng \(2\pi \cdot HM=6\pi\).

Phương trình mặt cầu

\(\left(S\right)\colon \left(x + 2\right)^2 + \left(y - 1\right)^2 + \left(z + 3\right)^2 = 25.\)

Gọi \(I\), \(R\) là tâm và bán kính mặt cầu. Ta có \(I\left(-2; 1; - 3\right)\) và \(R = 5\). Gọi \(J\), \(r\) là tâm và bán kính đường tròn \(\left(C\right)\).

Do \(IJ\perp \left(P\right)\) nên \(IJ = d\left(I; \left(P\right)\right) = \displaystyle\frac{\left\vert - 2 - 2 - 6 + 1\right\vert}{\sqrt{1^2 + \left(- 2\right)^2 + 2^2}} = 3\).

Mà \(r = \sqrt{R^2 - IJ^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\). Khi đó chu vi đường tròn \(\left(C\right)\) là \(2\pi r = 8\pi\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left(3 \text{;}-1 \text{;}1\right)\), bán kính \(R=4\).

\(\mathrm{d}\left(I,(P)\right)=\displaystyle\frac{|3-2\cdot (-1)-2 \cdot 1+6|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{9}{3}=3\).

Bán kính đường tròn \((C)\) là \(r=\sqrt{R^2-\mathrm{d}^2\left(I,(P)\right)}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2;-3)\), bán kính \(R=\sqrt{1+4+9-5}=3.\)

Ta có

\begin{eqnarray*}&\mathrm{d}(I,(P))&=\displaystyle\frac{|2\cdot1+2\cdot2-(-3)-1|}{\sqrt{4+4+1}}\\& &=\displaystyle\frac{8}{3}< R.\end{eqnarray*}

Do đó \((P)\) cắt mặt cầu \((S)\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-3;1;-1)\) và bán kính \(R=\sqrt{3}\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) tiếp xúc với \((S)\) khi và chỉ khi

\begin{align*}\mathrm{d}(I,(\alpha))=R&\Leftrightarrow\displaystyle\frac{|(m-4)\times(-3)+3\times 1-3m\times(-1)+2m-8|}{\sqrt{(m-4)^2+3^2+(-3m)^2}}=\sqrt{3}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{|2m+7|}{\sqrt{10m^2-8m+25}}=\sqrt{3}\\&\Leftrightarrow 26m^2-52m+26=0\Leftrightarrow m=1.\end{align*}

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-1;2;-2)\) và bán kính \(R=\sqrt{10}.\)

Ta có \(h= d(I,(\alpha))=\sqrt{6}\) nên bán kính đường tròn giao tuyến \(r^2 =R^2- h^2 =4\Rightarrow r=2.\)

Vậy chu vi của đường tròn cần tìm là \(2\cdot\pi\cdot r=4\pi .\)

Mặt cầu \((S)\) có bán kính \(R_1 = \sqrt{1^2+2^2+4^2-12}= 3\) và tâm \(I(1;2;4)\).

Khoảng cách từ \(I\) đến \((Oxz)\) có phương trình \(y=0\) là \(\mathrm{d}=2\).

Mặt phẳng \((Oxz)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính\\ \(R =\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\).

Mặt cầu có bán kính \(R=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\) và tâm \(I(1;2;3).\)

Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu đến mặt phẳng \((Oxy)\) là \(d=3.\)

Do đó, bán kính đường tròn giao tuyến là \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{5}.\)

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;-2;2)\) và bán kính \(R=5\).

Ta đặt \(d=\mathrm{d}(I,(P))=\displaystyle\frac{|1+2(-2)-2\cdot2-2|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=3\).

Khi đó \(r=\sqrt{R^2-d^2}=4\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-1;1;-2)\), bán kính \(R=3\).

\(IK=\mathrm{d}\left(I,(P)\right)=\displaystyle\frac{|2(-1)-2\cdot 1+(-2)|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=2.\)

Bán kính của đường tròn thiết diện

\(r=KA=\sqrt{R^2-IK^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\).

Vậy diện tích của hình tròn thiết diện bằng

\(S=\pi\cdot r^2=5\pi\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3;2;6)\) và bán kính \(R=\sqrt{3^2+2^2+6^2}=7\). Vì \(I\) thuộc \((P)\) nên \((P)\) cắt \((S)\) theo thiết diện là đường tròn có bán kính bằng \(7\). Diện tích thiết diện bằng \(49\pi\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-1;1;-2)\) và bán kính \(R=3\).

Ta có \(\mathrm{\,d}(I,(P))=\displaystyle\frac{\left|2\cdot (-1)-2\cdot 1-2\right|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=2\).

Vì \(\mathrm{\,d}(I,(P))< R\) nên \((P)\) cắt \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \((P)\) \(\Rightarrow H\) là tâm của \((C)\).

Lấy \(M\in (C) \Rightarrow M\in (S)\). Khi đó \(\triangle IHM\) vuông tại \(H\).

\(\Rightarrow MH=\sqrt{IM^2-IH^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\).

Suy ra diện tích hình tròn \((C)\) bằng \(5\pi\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-1;3;-2)\).

Vì mặt phẳng \((P)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) tại điểm \(A(-2;1;-4)\) nên có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{IA}=(-1;-2;-2)=-(1;2;2)\). Do đó \((P)\) có phương trình

\(1(x+2)+2(y-1)+2(z+4)=0\Leftrightarrow x+2y+2z+8=0.\)

Từ phương trình mặt cầu \((S)\) suy ra tọa độ tâm \(I(1;-2;5)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A(2;-4;3)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IA}=(1;-2;-2)\) là

\(1(x-2)-2(y+4)-2(z-3)=0\) hay \(x-2y-2z-4=0\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(10; 2; -12)\).

Khi đó mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A(6;2;-5)\), nhận \(\overrightarrow{n}=(5; 1; -6)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

\(\Rightarrow (P)\colon 5(x-6)+y-2-6(z+5)=0\) hay \((P)\colon 5x+y-6z-62=0\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;3;5)\), bán kính \(R=7\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) tiếp xúc với \((S)\) tại \(A(-5;1;2)\) nhận \(\overrightarrow{AI} = (6;2;3)\) làm véc-tơ pháp tuyến, do đó có phương trình \(6x+2y+3z+22=0\).

Vậy \(a=6\), \(b=2\), \(c=3\) \(\Rightarrow a+b+c = 11\).

Bán kính \(R\) của mặt cầu được tính bởi

\(R=d(A,(P))=\frac{|2+2 \cdot 2-2\cdot 1-1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=1.\)

Từ đó, phương trình mặt cầu là \((x-2)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=1\).

}

Mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\) có bán kính

\(R=\mathrm{\,d}\left(I,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|1-2\cdot 0+2\cdot 0+2\right|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=1\).

Gọi \(r\) là bán kính của mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\), ta có \(r= \mathrm{d}(I,(P))= \displaystyle\frac{|1+2\cdot 2 -2 \cdot (-3)-2|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}= 3.\)

Bán kính mặt cầu \(R=\mathrm{d}\left(I,(Oyz)\right)=\left|x_I\right|=2\).

Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là \((x-2)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=4\).

Mặt cầu \((S)\) có bán kính \(R=\mathrm{d}\left(I,(P)\right)=\displaystyle\frac{|2\cdot 1+1\cdot(-2)+2\cdot(-1)+5|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=1\) và tâm \(I(1;-2;-1)\).

Vậy \((S)\colon (x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=1\).

Mặt cầu \(\mathcal{(S)}\) có tâm \(I(1;2;3)\).

Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng cần tìm. Do \((\alpha)\) tiếp xúc với \(\mathcal{(S)}\) tại \(P\) nên mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(P\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{IP} = (-6;-6;3)\).

Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là

\(-6(x+5)-6(y+4)+3(z-6) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0.\)

Bán kính của mặt cầu \((\mathcal{S})\) là \(R = d(I,(P)) = \displaystyle\frac{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 2 + 2|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = 2\).

Phương trình mặt cầu \((\mathcal{S})\) là \((x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 4\).

Mặt phẳng \(Oxy: z=0\).

Mặt cầu \((S)\colon (x-3)^2+y^2+(z-2)^2=m^2+1\) có tâm \(I(3;0;2)\) bán kính \(R=\sqrt{m^2+1}.\)

Để \((Oxy)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) thì \(d(I,Oxy)=R \Rightarrow \displaystyle\frac{|2|}{\sqrt{1^2}}=\sqrt{m^2+1} \Leftrightarrow m^2+1=4 \Leftrightarrow m^2=3\)

\(\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{3}\). Vì \(m\) nhận giá trị dương nên \(m=\sqrt{3}\).

Vậy \(m=\sqrt{3}\) thỏa yêu cầu đề bài.

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-3;1;-1)\) và bán kính \(R=\sqrt{3}\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) tiếp xúc với \((S)\) khi và chỉ khi

\begin{align*}\mathrm{d}(I,(\alpha))=R&\Leftrightarrow\displaystyle\frac{|(m-4)\times(-3)+3\times 1-3m\times(-1)+2m-8|}{\sqrt{(m-4)^2+3^2+(-3m)^2}}=\sqrt{3}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{|2m+7|}{\sqrt{10m^2-8m+25}}=\sqrt{3}\\&\Leftrightarrow 26m^2-52m+26=0\Leftrightarrow m=1.\end{align*}

Ta có toạ độ tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) là \((1;2;-1)\).\\ Phương trình tiếp diện \((\alpha)\) với \((S)\) tại \(A(3;4;0)\) nhận \(\overrightarrow{IA} = (2;2;1)\) làm một véc-tơ pháp tuyến.

Ta có \((\alpha)\colon 2(x-3)+2(y-4)+z=0 \Leftrightarrow 2x+2y+z-14=0\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-2;3;0)\) và bán kính \(R=\sqrt{13-m}\).

Do \(\Delta=(\alpha)\cap (\beta) \Rightarrow \Delta\colon \left\{\begin{aligned}&x=2t \\&y=1+t \\&z=-1+2t\end{aligned}\right.\)

\(\Rightarrow \Delta\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}_{\Delta}=(2;1;2)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(\Delta \Rightarrow H(2t;1+t;-1+2t)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{IH}=(2t+2;t-2;2t-1)\).

Mà \(IH\perp \Delta\) nên \(\overrightarrow{IH}\cdot\overrightarrow{u}_{\Delta}=0 \Leftrightarrow t=0\). Suy ra \(IH=3\).

Như vậy \(R^2=IH^2+\displaystyle\frac{1}{4}AB^2 \Rightarrow m=-12\).

Thay \(x,y,z\) từ phương trình của \(d\) vào phương trình của \((S)\) ta có phương trình

\begin{eqnarray*}&& (t+1)^2+(t-1)^2+4+2(t+1)-4(1-t)-12+m-3=0\\& \Leftrightarrow & 2t^2+6t+m-11=0.\end{eqnarray*}

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình trên có hai nghiệm phân biệt, tức \(\Delta'= 9-2(m-11)>0 \Leftrightarrow m< \displaystyle\frac{31}{2}.\)

Mặt cầu có tâm \(I(-1;2;0)\) và phương trình đường thẳng \(AB\colon \begin{cases}x=-t\\y=1+t\\z=-1+t\end{cases}\).

Ta thấy \(I\) thuộc \(AB\), suy ra đường thẳng \(AB\) và mặt cầu \((S)\) có \(2\) điểm chung.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó

\(AB=2\sqrt{IB^2-IH^2}=2\sqrt{R^2-\mathrm{d}^2(I;d)}.\)

\(d\) đi qua điểm \(M(3;2;0)\) và \(\overrightarrow{u}_d=(2;3;6)\). Vậy

\(\mathrm{d}(I;d)=\displaystyle\frac{\left|[\overrightarrow{IM};\overrightarrow{u}_d]\right|}{|\overrightarrow{u}_d|}.\)

Ta có \(\overrightarrow{IM}=(2;1;0)\Rightarrow [\overrightarrow{IM};\overrightarrow{u}_d]=(6;-12;4)\). Vậy \(\left|[\overrightarrow{IM};\overrightarrow{u}_d]\right|=14\).

Mà \(|\overrightarrow{u}_d|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7\Rightarrow \mathrm{d}(I;d)=2\).

Vậy \(AB=2\sqrt{3^2-2^2}=2\sqrt{5}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left(1; 1; - 2\right), R=\sqrt{1^2 + 1^2 + {\left(- 2\right)}^2 + 19}=5\).

\(\overrightarrow{MI}=\left(- 3; 4; - 10\right)\Rightarrow MI=\sqrt{{\left(- 3\right)}^2 + 4^2 + {10}^2}=5\sqrt{5}\) và \(MA=\sqrt{MI^2 - IA^2}=\sqrt{125 - 25}=10\).

Diện tích tam giác \(MAI\) là \(S_{\Delta MAI}=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot IA \cdot MA=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10=25\).

Bán kính mặt cầu \((S)\) là \(R = \sqrt{1^2+(-2)^2 + (-1)^2 - (-18)} = 2\sqrt{6}\) và tâm \(I(1;-2;-1)\).

Khoảng cách từ \(I\) đến \(d\) là \(d(I,(d)) = \displaystyle\frac{|[\overrightarrow{MI},\overrightarrow{u}]|}{|\overrightarrow{u}|} = \displaystyle\frac{\sqrt{116}}{3}\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\), theo định lý pytago ta có

\(HM^2 = R^2 - IH^2 = \displaystyle\frac{10}{3} \Rightarrow MN = \displaystyle\frac{20}{3}\).

Xét phương trình

\(m^2t^2+m^4t^2+m^2t^2-2mt-2m^2t-2mt=0\qquad (1)\)

Để \(d\) là đường thẳng thì \(m\ne 0\). Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi \((1)\) có nghiệm duy nhất, hay \(-4m-2m^2=0\Leftrightarrow m=-2\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2;3)\) và bán kính \(R=5\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \((Oxy)\) là \(\mathrm{d}(O,(xOy))=3\). Khi đó bán kính của đường tròn giao tuyến cần tìm là \(r=\sqrt{R^2-\left( \mathrm{d}(O,(xOy))\right)^2 }=\sqrt{25-9}=4\).

Vậy diện tích hình tròn \((C)\) là \(8\pi\).

Gọi \(R\) là bán kính của mặt cầu \((S)\), \(H\) là trung điểm của \(AB\).\\ Ta có \(IH\perp AB\) nên \(IH=\mathrm{d}(I,d)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M(1;0;2)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;1;2)\).

Ta có \(\overrightarrow{IM}=(-1;-5;-1)\Rightarrow \left[\overrightarrow{u};\overrightarrow{IM}\right]=(9;0;-9)\).

Suy ra \(IH=\displaystyle\frac{\left| \left[\overrightarrow{u};\overrightarrow{IM} \right]\right| }{\left|\overrightarrow{u} \right| }=3\sqrt{2}\).

\(AB=2AH=2\sqrt{R^2-IH^2}=2\sqrt{R^2-18}\), \(R>3\sqrt{2}\).

Chi vi tam giác \(IAB\) là \(IA+IB+AB=10+2\sqrt{7}\)

\(\Leftrightarrow 2R+2\sqrt{R^2-18}=10+2\sqrt{7}\Leftrightarrow R+\sqrt{R^2-18}=5+\sqrt{7}\)

\(\Leftrightarrow R-5+\displaystyle\frac{R^2-25}{\sqrt{R^2-18}+\sqrt{7}}=0\Leftrightarrow (R-5)\left( 1+\displaystyle\frac{R+5}{\sqrt{R^2-18}+\sqrt{7}}\right) =0\Leftrightarrow R=5\).

Phương trình của mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(2;5;3)\) và bán kính \(R=5\) là

\((x-2)^2+(y-5)^2+(z-3)^2=25.\)

\((S)\) có tâm \(I(8;0;0)\in Ox\), bán kính \(R=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).

\(\Delta\) qua \(O\) và tiếp xúc với \((S)\) nên suy ra

+ \(\mathrm{d}(I,\Delta)=R\);

+ Mp\((P)\parallel (Oyz)\).

Do Mp\((P)\parallel (Oyz)\) suy ra phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) có dạng \(Ax+D=0\) hay \(x+m=0\), \(m< 0\) (Do tâm \(I\) nằm bên phải gốc tọa độ \(O\) - xét trên trục \(Ox\))

Xét tam giác \(OMI\) vuông tại \(M\) có \(OM=\sqrt{OI^2-MI^2}=\sqrt{8^2-(4\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên trục \(Ox\).

Ta có: \(OM^2=OH\cdot OI\Rightarrow OH=\displaystyle\frac{OM^2}{OI}=\displaystyle\frac{(4\sqrt{2})^2}{8}=4\).

\(OH=\mathrm{d}(O,(P))\Leftrightarrow 4=\displaystyle\frac{|0+m|}{\sqrt{1^2}}\Leftrightarrow |m|=4\Rightarrow m=-4\) (vì \(m< 0\)).

Vậy phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(x-4=0\).

Gọi \(I(a;b;c)\) là tâm mặt cầu. Theo bài ra ta có

\(\begin{cases}a+2b+c-4=0\\a^2+b^2=a^2+c^2=b^2+c^2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a+2b+c-4=0\\|a|=|b|=|c|.\end{cases}\)

+) \(a=b=c \Rightarrow a=1=b=c\).

+) \(a=b=-c \Rightarrow a=b=2;c=-2\).

+) \(b=c=-a \Rightarrow a=-2; b=c=2\).

Vậy có \(3\) mặt cầu thỏa mãn ycbt.

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A(1; 1; 1)\) và nhận \(\overrightarrow{AB} = (-4; -4; -4) = -4(1; 1; 1)\) làm véc-tơ chỉ phương nên có phương trình là \(\displaystyle\frac{x - 1}{1} = \displaystyle\frac{y - 1}{1} = \displaystyle\frac{z-1}{1}\).

Gọi \(I=AB\cap (P)\Rightarrow\) tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{cases}\displaystyle\frac{x-1}{1}=\displaystyle\frac{y - 1}{1} = \displaystyle\frac{z-1}{1}\\ x+y -z-3=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=3\\ y=3\\ z=3\end{cases}\Rightarrow I(3; 3; 3).\)

Vì \(IC\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) tại điểm \(C\) nên ta có \(IC^2=IA\cdot IB=36\Rightarrow IC = 6\).

Do \(A\), \(B\) cố định nên \(I\) cố định \(\Rightarrow C\) thuộc đường tròn tâm \(I\), bán kính \(R = 6\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(5;-3;5)\) và bán kính \(R=\sqrt{5^2+(-3)^2+5^2-39}=2\sqrt{5}.\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(I\) lên mặt phẳng \((P)\). Ta có \(IH=\displaystyle\frac{|5-2\cdot (-3)+2\cdot 5-3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=6.\)

Lại có \(IH^2+HM^2=IM^2=IN^2+MN^2\Leftrightarrow HM^2=IN^2+MN^2-IH^2=20+25-36=9.\)

Từ đó suy ra \(HM=3\) hay \(M\) nằm trên đường tròn tâm \(H\) bán kính bằng \(3\).

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M(1;2;-1)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1;1;-4)\).

Ta có \(\overrightarrow{IM}=(-2;-2;-1)\) \(\Rightarrow \left[\overrightarrow{IM}, \overrightarrow{u}\right]=(9;-9;0)\) \(\Rightarrow \left|\left[\overrightarrow{IM}, \overrightarrow{u}\right]\right|=9\sqrt{2}\).

Khoảng cách từ \(I\) đến đường thẳng \(\Delta\) là

\(\mathrm{d}(I,\Delta)=\displaystyle\frac{\left|\left[\overrightarrow{IM}, \overrightarrow{u}\right]\right|}{\left| \overrightarrow{u}\right|}=\displaystyle\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=3.\)

Diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(12\) nên

\(AB=\displaystyle\frac{2S_{IAB}}{\mathrm{d}(I,\Delta)}=\displaystyle\frac{2\cdot 12}{3}=8.\)

Bán kính mặt cầu \((S)\) là

\(R=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{AB}{2}\right)^2+\left[\mathrm{d}(I,\Delta)\right]^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5.\)

Phương trình mặt cầu \((S)\) là

\((x-3)^2+(y-4)^2+z^2=25.\)

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(-1;2;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u=(3;-2;2)\).

Ta có \(\overrightarrow{IM}=(-2;0;3)\Rightarrow\left[\overrightarrow{IM},\overrightarrow u\right]=(6;13;4)\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\Rightarrow IH\perp AB\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(d\) là \(IH=\displaystyle\frac{\left|\left[\overrightarrow{IM},\overrightarrow u\right]\right|}{\left|\overrightarrow u\right|}=\displaystyle\frac{\sqrt{36+169+16}}{\sqrt{9+4+4}}=\sqrt{13}.\)

Suy ra bán kính \(R=\sqrt{IH^2+\left(\displaystyle\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{13+3}=4\).

Phương trình mặt cầu tâm \(I(1;2;-1)\) và có bán kính \(R=4\) là \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=16\).

Tâm \(I\) nằm trên \(d\) nên \(I(1+t;2-2t;2+t)\).

Mặt cầu đi qua \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\) nên \(AI=d(I;(P))=R\).

\begin{eqnarray*}&AI=d(I;(P))&\Leftrightarrow\sqrt{t^2+4t^2+(t+1)^2}=\displaystyle\frac{\left|1+t-4+4t+4+2t+1\right|}{\sqrt{1+(-2)^2+2^2}}\\&&\Leftrightarrow\sqrt{6t^2+2t+1}=\displaystyle\frac{\left|7t+2\right|}{3}\\&&\Leftrightarrow 9(6t^2+2t+1)=(7t+2)^2\\&&\Leftrightarrow t^2-2t+1=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I(2;0;3).\end{eqnarray*}

Vậy bán kính mặt cầu \(R=AI=3\).

Ta nhận xét \(O,M\) đều thuộc mặt cầu và \(OM=2\sqrt{3}=2R\). Vậy \(OM\) là một đường kính của mặt cầu.

Với mọi điểm \(N\) thuộc mặt cầu (\(N\) không trùng với \(O,M\)) thì tam giác \(OMN\) vuông tại \(N\). Ta có

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}ON\cdot NM\le \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{ON^2+NM^2}{2}=\displaystyle\frac{1}{4}OM^2=3.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(ON=NM\) hay \(N\) là giao điểm của mặt phẳng trung trực của \(OM\) với mặt cầu.

a) Do \(A \in d\) suy ra \(A(2-2t;3+3t; 6+4t)\)

Ta có \(OA=7\) suy ra

\begin{eqnarray*}&\sqrt{ (2-2t)^2+(3+3t)^2+(6+4t)^2}=7\\\Leftrightarrow &(2-2t)^2+(3+3t)^2+(6+4t)^2=49\\\Leftrightarrow & 29t^2+58t=0\\\Leftrightarrow & t=0 \vee t=-2.\end{eqnarray*}

Với \(t=0\) ta có \(A(2;3;6)\).

Với \(t=-2\) ta có \(A(6;3;2)\).

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(-2;3;4)\)

Do \(H \in d\) nên \(H(2-2t;3+3t; 6+4t)\). Ta có \(\overrightarrow{OH}=(2-2t;3+3t; 6+4t)\)

Do \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(O\) trên \(d\) nên suy ra

\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{OH}=0 \Leftrightarrow (2-2t)\cdot (-2)+(3+3t)\cdot 3+(6+4t) \cdot 4=0\Leftrightarrow 29t+29=0 \Leftrightarrow t=-1\)

Suy ra \(H(4;0;2)\).

Vậy khoảng cách từ \(O\) đến \(d\) là \(OH=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm là \(I(0;3;6)\).

Nhận xét \(O(0;0;0)\) thuộc \((S)\). Ta có \((S)\) cắt \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) tại \(A\), \(B\), \(C\).

Dựng hình hộp chữ nhật như hình vẽ. Khi đó \(K,E,F,D\) thuốc \((S)\).

Bây giờ ta sẽ chứng minh mặt phẳng \((ABC)\) đi qua điểm \(G\) cố định.

Thật vậy.

Gọi \(J\) là trung điểm của \(OD\) khi đó \(G\) là giao điểm của \(CJ\) và \(OI\). Suy ra \(G\) là trọng tâm tam giác \(ODC\) suy ra \(OG=\displaystyle\frac{2}{3}OI\). Mà theo giả thuyết thì \(O, I\) cố định. Nên \(G\) cố định.

Từ \(M\) kẻ \(MH\) vuông góc với mặt phẳng \(ABC\) tại \(H\). Suy ra \(d(M,(ABC)) \le GM\).

Vậy khoảng cách lớn nhất từ \(M\) đến \((ABC)\) là \(GM\).

Gọi \(G(x,y,z)\) vì \(OG=\displaystyle\frac{2}{3}OI\) nên tìm được \(G(0,2,4)\), suy ra

\begin{eqnarray*}GM=\sqrt{(1-0)^2+(4-2)^2+(5-4)^2}=\sqrt{6}.\end{eqnarray*}

Gọi \(I(1;1;0),R=5\) là tâm và bán kính của mặt cầu \((S)\).

Ta có \(IA=10=2R, IB=\sqrt{50}>5\) nên điểm \(B\) nằm ngoài mặt cầu.

Gọi \(E(4;5;0)\) là giao điểm của \(AI\) và mặt cầu \((S)\) và \(F\left(\displaystyle\frac{5}{2};3;0\right)\) là trung điểm của \(IE\).

Khi đó \(IM=2IF\).

Xét hai tam giác \(MIF\) và \(AIM\), ta có \(\begin{cases}\widehat{AIM}(\text{góc chung})\\\displaystyle\frac{IF}{IM}=\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{IM}{IA}\end{cases}\)

\(\Rightarrow \triangle AIM \backsim \triangle MIF(\text{c.g.c})\)

\(\Rightarrow \displaystyle\frac{MA}{FM}=\displaystyle\frac{AI}{MI}=2 \Rightarrow MA=2MF\).

Suy ra \(MA+2MB=2MF+2MB \ge 2FB=5\sqrt{5}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(M\) là giao điểm của \(FB\) và mặt cầu \((S)\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=MA+2MB\) là \(5\sqrt{5}\).

Mặt cầu \((S)\) là mặt cầu tiếp xúc ngoài với cả ba mặt cầu \((S_1)\), \((S_2)\) và \((S_3)\). Gọi \(I\) là tâm và \(R\) là bán kính mặt cầu \((S)\).

Vì \(IA=IB=IC\) nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Ta có \(AB=2\sqrt{2}\), \(AC=4\sqrt{2}\) và \(BC=2\sqrt{10}\). Suy ra \(BC^2=AB^2+AC^2\) hay tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Do đó \(I\) là trung điểm của \(BC\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là

\(IA=IB=IC=\displaystyle\frac{BC}{2}=\sqrt{10}.\)

Vậy \(R=IA-1=IB-1=IC-1=\sqrt{10}-1\).

Vì \(M(a;b;c)\in (S)\colon (x-4)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=1\) nên \((a-4)^2+(b-2)^2+(c-4)^2=1\). Suy ra

\(a^2+b^2+c^2+35=8a+4b+8c\leq \sqrt{8^2+4^2+8^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2+c^2} \Leftrightarrow 5\leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\leq 7.\)

Vậy \(a^2+b^2+c^2 \geq 25\), dấu \(''=''\) xảy ra khi và chỉ khi

\(\begin{cases}\displaystyle\frac{a}{8}=\displaystyle\frac{b}{4}=\displaystyle\frac{c}{8}\\a^2+b^2+c^2=25\\ (a-4)^2+(b-2)^2+(c-4)^2=1.\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=\displaystyle\frac{10}{3}\\b=\displaystyle\frac{5}{3}\\c=\displaystyle\frac{10}{3}.\end{cases}\)

\((S)\) có tâm \(I(1;-2;-1)\) và \(R=3\).

Mặt phẳng tiếp xúc với \((S)\) tại \(A\) có phương trình \((P_A)\colon (-1-1)(x+1)+(0+2)y+(0+1)z=0\Leftrightarrow -2x+2y+z-2=0.\)

Mặt phẳng tiếp xúc với \((S)\) tại \(B\) có phương trình \((P_B)\colon (0-1)x+(0+2)y+(-3+1)(z+3)=0\Leftrightarrow -x+2y-2z-6=0.\)

\(M\) nằm trên đường \(d\) là giao của \((P_A)\) và \((P_B)\), \(IM\) ngắn nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên \(d\).

Đường thẳng \(d\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB}\right]=(-6;-5;-2)\). Ta có \(M\) nằm trên \((P_A)\), \((P_B)\) và \(\overrightarrow{IM}\perp \overrightarrow{u}\) nên có tọa độ \(M\) là nghiệm của hệ

\(\begin{cases}-2x+2y+z-2=0\\-x+2y-2z-6=0\\ -6(x-1)-5(y+2)-2(z+1)=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\displaystyle\frac{-14}{13}\\y=\displaystyle\frac{10}{13}\\z=\displaystyle\frac{-22}{13}.\end{cases}\)

Gọi \(M(x;y;z) \in (S)\). Ta có

\begin{eqnarray*}MA+3MB&=&\sqrt{(x-5)^2+(y-10)^2+z^2}+3\sqrt{(x-4)^2+(y-2)^2+(z-1)^2}\\&=&3\left[\sqrt{\left(x+\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{14}{3}\right)^2+z^2}+\sqrt{(x-4)^2+(y-2)^2+(z-1)^2}\right]\\&\geq & \sqrt{\left(4+\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2+\left(2-\displaystyle\frac{14}{3}\right)^2+1^2}=\displaystyle\frac{11\sqrt{2}}{3}.\end{eqnarray*}

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;3;3)\), bán kính \(R=\sqrt{3}\).

Giả sử điểm \(N(x;y;z)\) thỏa mãn \(2\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \begin{cases}2(2-x)+3(-3-x)=0\\2(-2-y)+3(3-y)=0\\2(4-z)+3(-1-z)=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=-1\\y=1\\z=1.\end{cases}\)

Suy ra \(N(-1;1;1)\), \(IN = 2\sqrt{3}\), \(NA=3\sqrt{3}\), \(NB=2\sqrt{3}\).

Ta lại có

\begin{eqnarray*}2MA^2+3MB^2 &=& 2\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NA}\right)^2 +3\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB}\right)^2\\&=&5MN^2 +2 \overrightarrow{MN} \cdot \left(2\overrightarrow{NA} +3\overrightarrow{NB}\right)+2NA^2+3NB^2\\&=& 5MN^2 +2NA^2+3NB^2.\end{eqnarray*}

Do vậy \(2MA^2+3MB^2\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MN\) nhỏ nhất.

Ta lại có \(IN = 2\sqrt{3} > R\) nên \(MN\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MN = IN -R = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(2MA^2+3MB^2 = 5\cdot 3 + 2 \cdot 27 + 3 \cdot 12 = 105\).

Do \(K\in (S)\Rightarrow (a-3)^2+(b-2)^2+c^2=4\).

Ta có

\begin{eqnarray*}KA &=&\sqrt{(a+1)^2+(b-2)^2+c^2}\\&=&\sqrt{a^2+b^2+c^2+2a-4b+12-7}\\&=&\sqrt{(a+1)^2+(b-2)^2+c^2+3\left[(a-3)^2+(b-2)^2+z^2\right]-7}\\&=& 2\sqrt{(a-2)^2+(a-2)^2+z^2}\\&=&2KM,\, \text{với}\, M(2; 2; 0).\end{eqnarray*}

Dễ thấy \(B\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\) và \(M\) nằm trong mặt cầu \((S)\).

\(\Rightarrow KA+2KB=2(KM+KB)\ge 2MB\).

Dấu \lq\lq \(=\) \rq\rq\, xảy ra khi \(K\) là giao điểm của đoạn thẳng \(MB\) với mặt cầu \((S)\).

Phương trình của \(MB:\begin{cases} x=2\\ y=5+3t\\z=0\end{cases}\Rightarrow K(2; 5+3t; 0)\).

\(K\in (S)\Rightarrow 1+(9(1+t)^2=4\Leftrightarrow t=-1\pm \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow K(2; 2-\sqrt{3}; 0)\) và \(K(2; 2+\sqrt{3}; 0)\).

Do \(K\) nằm giữa \(B, M\) nên \(K(2; 2+\sqrt{3}; 0)\Rightarrow a-b+c=-\sqrt{3}\).

Giả sử \(M(a;b;c)\) thuộc mặt cầu \((S)\), khi đó ta có \(a^2+b^2+(c-1)^2=1\).

Vì \(a^2+b^2\ge 0\) nên \((c-1)^2\le 1\Leftrightarrow 0\le c\le 2\).

Ta có \(MA^2=(a-1)^2+(b-1)^2+(c-2)^2\), \(MB^2=(a+1)^2+b^2+(c-4)^2\), \(MC^2=a^2+(b+1)^2+(c-3)^2\) nên

\vspace{-1.5em}

\begin{eqnarray*}MA^2+MB^2+MC^2 &=& 3a^2+3b^2+3c^2-18c+33 \\&=& 3\left(1-(c-1)^2\right)+3c^2-18c+33 \\&=& 33-12c \ge 33-12\cdot 2=9.\end{eqnarray*}

Vậy \(MA^2+MB^2+MC^2\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(a=b=0, c=2\) hay \(M(0;0;2)\). Khi đó \(MA=\sqrt{2}\).

Gọi \(M(x;y;z)\), ta có

\begin{eqnarray*}&&\displaystyle\frac{MA}{MB}=\displaystyle\frac{3}{4}\Leftrightarrow 4MA=3MB\\&\Leftrightarrow & 16MA^2=9MB^2\\&\Leftrightarrow & 16\left[(2-x)^2+(-1-y)^2+(1-z)^2\right]=9\left[(3-x)^2+(-2-y)^2+(2-z)^2\right]\\&\Leftrightarrow & x^2+y^2+z^2-\displaystyle\frac{10}{7}x-\displaystyle\frac{4}{7}y+\displaystyle\frac{4}{7}z-\displaystyle\frac{57}{7}=0.\end{eqnarray*}

Suy ra, điểm \(M\) nằm trên mặt cầu \((S)\) tâm \(I\left(\displaystyle\frac{5}{7};\displaystyle\frac{2}{7};-\displaystyle\frac{2}{7}\right)\) và bán kính \(R=\displaystyle\frac{12\sqrt{3}}{7}\).

Ta thấy điểm \(O\) nằm trong mặt cầu \((S)\), nên độ dài \(OM\) lớn nhất bằng \(IO+R=\displaystyle\frac{12\sqrt{3}+\sqrt{33}}{7}\).

Bởi vậy \(a=12\), \(b=1\). Thế nên \(a+b=12+1=13\).

Ta dựng hình hộp chữ nhật ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) như hình vẽ bên. Từ đó suy ra tọa độ điểm \(D(m;2m+1;2m+5)\) và tọa độ tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nằm trên trung điểm của \(OD.\)

Ta có \(OD^2=9m^2+24m+26=(3m+4)^2+10\ge 10\Rightarrow OD\ge \sqrt{10}.\)

Mặt khác \(R=\displaystyle\frac{OD}{2}\ge \displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}.\)

a) Mặt cầu \((S)\) có phương trình \((x-32)^2+(y-50)^2+(z-10)^2=109\) nên có tâm \(I(32;50;10)\) và bán kính \(R=\sqrt{109}\).

b) Trong không gian \(Oxyz\), mặt sân có phương trình \(z=0\) trùng với mặt phẳng tọa độ \((Oxy)\), suy ra hình chiếu vuông góc của điểm \(I(32;50;10)\) xuống mặt sân có tọa độ \(J(32;50;0)\).

c) Trong tam giác vuông \(IJM\), ta có \(IJ=10\), \(IM=R\), suy ra

\(JM=\sqrt{IM^2-IJ^2}=\sqrt{109-100}=3.\)

Vậy khoảng cách từ vị trí \(M\) của quả bóng đến điểm \(J\) là \(3\) m.

a) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-6;-1;4)\) và bán kính \(R=2\) nên có phương trình \((x+6)^2+(y+1)^2+(z-4)^2=4.\)

b) Ta có \(IM=\sqrt{3}< R\), suy ra điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \((S)\) và người đó có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên.

c) Ta có \(IN=\sqrt{35}>R\), suy ra điểm \(N\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\) và người đó không thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên.

Bán kính \(R\) của mặt cầu là khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu, ta có

\(R=\sqrt{\left(-\displaystyle\frac{1}{16}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-\displaystyle\frac{1}{16}}=\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{16}.\)

a) Ta có tâm \(I(6;6;6)\), bán kính \(R=5\).

b) Khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng chứa nắp là

\(\mathrm{d}(I,(P))=\displaystyle\frac{|6-10|}{1}=4.\)

a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(A(-688;-185;8)\), có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(91;75;0)\) nên có phương trình tham số là \(\begin{cases}& x=-688 +91t \\ &y=-185+75t\\ &z=8\end{cases}, t\in \mathbb{R}\).

Mặt cầu \((S)\) tâm \(O(0;0;0)\) bán kính \(R=417\) có phương trình \(x^2+y^2+z^2=173\,889\).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt cầu \((S)\) là nghiệm của hệ

\begin{eqnarray*}\begin{cases}x=-688 +91t \\ y=-185+75t\\ z=8 \\ x^2+y^2+z^2=173\,889\end{cases}&\Leftrightarrow & \begin{cases}x=-688 +91t \\ y=-185+75t\\ z=8 \\ (-688+91t)^2+(-185+75t)^2+8^2=173\,889\end{cases}\\ & \Leftrightarrow &\begin{cases}x=-688 +91t \\ y=-185+75t\\ z=8 \\ t=8; \, t=3.\end{cases}\end{eqnarray*}

Với \(t=8 \Rightarrow\) tọa độ giao điểm thứ nhất là \(M_1 (40;415;8)\) .

Với \(t=3 \Rightarrow\) tọa độ giao điểm thứ hai là \(M_2 (-506; 40;8)\) .

Ta có \(AM_1 = \sqrt{889984}\) và \(AM_2 = \sqrt{76869}\), suy ra \(AM_2 < AM_1\). Vậy tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là \(M_2=(-506;40;8)\). Điểm \(M_2\) chính là điểm \(B\) trên hình vẽ.

b) Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(O\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).

Ta có \((P) \perp d\) nên nhận véc-tơ chỉ phương của \(d\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Vậy \((P)\) đi qua \(O(0;0;0)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{P}=\overrightarrow{u}_d=(91;75;0)\) nên có phương trình \(91\cdot (x-0)+75\cdot (y-0)+0\cdot (z-0)=0 \Leftrightarrow 91x+75y=0\).

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \(d\), ta có \(K\) là giao của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\). Khi đó tọa độ của \(K\) là nghiệm của hệ phương trình

\begin{eqnarray*}\begin{cases}x=-688 +91t \\ y=-185+75t\\ z=8 \\ 91x+75y=0\end{cases}&\Leftrightarrow&\begin{cases}x=-688 +91t \\ y=-185+75t\\ z=8 \\ 91 \cdot(-688 +91t)+75 \cdot (-185+75t)=0\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} t=\displaystyle\frac{11}{2} \\ x=-\displaystyle\frac{375}{2}\\y=\displaystyle\frac{455}{2}\\z=8.\end{cases}\end{eqnarray*}

Vậy \(K\left(-\displaystyle\frac{375}{2};\displaystyle\frac{455}{2};8\right)\). Tọa độ của vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất chính là \(K\left(-\displaystyle\frac{375}{2};\displaystyle\frac{455}{2};8\right)\).

Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc này là \(KO=\sqrt{\displaystyle\frac{173953}{2}} \approx 295\) km.

a) Tọa độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa là \(M_1 (40;415;8)\) và chính là điểm \(C\) trên hình vẽ.

Gọi \(M(x;y;z)\) ta có \(MA=6\), \(MB=7\), \(MC=12\), \(MD=24\) suy ra

\begin{eqnarray*}&&\begin{cases} (3-x)^2+(-1-y^2)+(6-z)^2=36 \\ (1-x)^2+(4-y)^2+(8-z)^2=49 \\ (7-x)^2+(9-y)^2+(6-z)^2=144\\ (7-x)^2+(-15-y)^2+(18-z)^2=576\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & \begin{cases} x^2+y^2+z^2-6x+2y-12z+10=0 \\ x^2+y^2+z^2-2x-8y-16z+32=0 \\ x^2+y^2+z^2-14x-18y-12z+22=0 \\ x^2+y^2+z^2-14x+30y-36z+22=0\end{cases} \\&\Leftrightarrow & \begin{cases} x^2+y^2+z^2-6x+2y-12z+10=0 \\4x-10y-4z+22=0 \\ -8x-20y+12=0 \\ -8x+28y-24z+12=0\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & \begin{cases}x=-1 \\ y=1 \\ z=2.\end{cases}\end{eqnarray*}

Vậy \(M(-1;1;2)\).

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là \((x-21)^2+(y-35)^2+(z-50)^2=4\,000^2.\)

b) Ta có \(IC=\sqrt{(42-21)^2+(37-35)^2+(0-50)^2}=\sqrt{2\,945}< 4\,000\).

Vì \(IC< R\) nên điểm \(C\) nằm trong mặt cầu. Vậy người đi biển ở điểm \(C(42;37;0)\) có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.

c) Ta có \(ID=\sqrt{(5\,121-21)^2+(658-35)^2+(0-50)^2}=\sqrt{26\,400\,629}>4\,000\).

Vì \(ID>R\) nên điểm \(D\) nằm ngoài mặt cầu. Vậy người đi biển ở điểm \(D(5\,121; 658; 0)\) không thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là

\((x+3)^2+(y-2)^2+(z-7)^2=9.\)

b) Ta có \(\overrightarrow{IA}=(1;-1;1)\) nên \(IA=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{3}< 3\).

Vì \(IA< R\) nên điểm \(A\) nằm trong mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm \(A(-2;1;8)\) có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

c) Ta có \(\overrightarrow{IB} = (5;1;-3)\) nên \(IB=\sqrt{5^2+1^2+(-3)^2}=\sqrt{35}>3\).

Vì \(IB>R\) nên điểm \(B\) nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm \(B(2;3;4)\) không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

Tọa độ tâm của quả bóng là \(I(300;400;2000)\).

Bán kính của quả bóng là \(R=1\).

Gọi \((\alpha)\colon z=0\). Ta có \(\mathrm{d}(I,(\alpha))=\displaystyle\frac{\left|2000 \right| }{\sqrt{0+0+1}}=2000\).

Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ bên.

Gọi \(I(a;a;a)\) là tâm của mặt cầu và \(r=a>0\).

Phương trình mặt cầu của quả bóng là \((S)\colon (x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2=a^2 .\)

Giả sử \(M(x;y;z)\) nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho \(\mathrm{d}\left(M,(Oxy) \right)=21 \), \(\mathrm{d}\left(M,(Oxz) \right)=18 \), \(\mathrm{d}\left(M,(Oyz) \right)=17 \). Khi đó \(z=21, y=18, x=17\). Khi đó ta có phương trình

\begin{eqnarray*}&&(17-a)^2+(18-a)^2+(21-a)^2=a^2\\&\Leftrightarrow & 2a^2-112a+1054=0\\ &\Leftrightarrow & a\approx 11{,}97(\text{nhận});\, a\approx 44{,}03(\text{loại})\end{eqnarray*}

Vậy đường kính của quả bóng rổ là \(2a\approx 23{,}94\) cm.

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(O(0;0;0)\), bán kính \(R=1\).

Ta có \(BO=d(B,O)=\sqrt{(0-1)^2+(0-1)^2+(0+1)^2}=\sqrt{3}\) và \(OA=R=1\).

Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(A\) (\(\widehat{BAO}=90^\circ\)), theo định lý Pythagore, ta có:

\begin{eqnarray*}BO^2&=&AB^2+AO^2\\\sqrt{3}^2&=&AB^2+1^2\\3&=&AB^2+1\\AB^2&=&2\\AB&=&\sqrt{2}.\end{eqnarray*}

Vậy khoảng cách \(AB=\sqrt{2}\).

a) Phương trình mặt cầu \((S)\) cần lập có tâm \(I(200;450;60)\) và bán kính \(r=600m\) là:

\((x-200)^2+(y-450)^2+(z-60)^2=600^2\qquad \text{hay}\qquad (x-200)^2+(y-450)^2+(z-60)^2=360000. \)

b) Vì \(IA=\sqrt{(200+100)^2+(450-50)^2+(60-10)^2}=50\sqrt{101}\sim=502{,}494\)m \(< r=600\)m.

Nên ở vị trí \(A\) nằm trong mặt cầu \((S)\). Do đó người đang đứng ở vị trí \(A\) sẽ có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

+) Bán kính của mặt cầu tâm \(I\) là \(R=IA=\displaystyle\frac{110}{2}=55\) m.

+) Ta có \(OA=OI+IA\Rightarrow OI=OA-IA=85-55=30\) m.

Vì \(I\in Oz\) nên toạ độ điểm \(I(0;0;30)\).

+) Phương trình mặt cầu tâm \(I(0;0;30)\) có bán kính \(R=55\) m là

\(x^2+y^2+(z-30)^2=55^2\) hay \(x^2+y^2+(z-30)^2=3025. \)

Gọi \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC}=\displaystyle\frac{S_{OBC}}{\cos \left((OBC),(ABC)\right)}=\displaystyle\frac{OA}{\mathrm{d}\left(O,(ABC)\right)}\cdot S_{OBC}=\displaystyle\frac{\left|abc\right|}{2\mathrm{d}\left(O,(ABC)\right)}.\)

Thể tích tứ diện \(OABC\) là: \(V=\displaystyle\frac{\left|abc\right|}{6}\)

Theo bài ra, ta có: \(\displaystyle\frac{\left|abc\right|}{2\mathrm{d}\left(O,(ABC)\right)}=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot \displaystyle\frac{\left|abc\right|}{6} \Rightarrow \mathrm{d}\left(O,(ABC)\right)=2.\)

Vậy mặt phẳng \((ABC)\) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm \(O\) bán kính bằng \(2\).

Đặt \(AB=a\), \(AC=b\), \(AD=c\) thì \(ABCD\) là tứ diện vuông đỉnh \(A\), nội tiếp mặt cầu \((S)\).

Khi đó \(ABCD\) là tứ diện đặt ở góc \(A\) của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh \(AB\), \(AC\), \(AD\) và đường chéo \(AA'\) là đường kính của cầu. Ta có \(a^2+b^2+c^2=4R^2\).

Xét \(V=V_{ABCD}=\displaystyle\frac{1}{6}abc \Leftrightarrow V^2=\displaystyle\frac{1}{36}a^2b^2c^2\).

Mà \(a^2+b^2+c^2\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \Leftrightarrow {\left(\displaystyle\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\right)}^3\geqslant a^2b^2c^2 \Leftrightarrow {\left(\displaystyle\frac{4R^2}{3}\right)}^3\geqslant 36 \cdot V^2 \Leftrightarrow V\leqslant R^3 \cdot\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{27}\)

Với \(R=IA=3\sqrt{3}\).

Vậy \(V_{\max}=36\).

Đặt \(AD=a\), \(AB=b\), \(AC=c\), Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(BC\), \(AD\). Qua \(M\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(AD\), qua \(N\) dựng đường thẳng vuông góc với \(AD\) cắt \(d\) tại \(I\). Khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

Ta có

\(R=IA=\sqrt{3}\).

\(AM=\displaystyle\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}\); \(IM=\displaystyle\frac{a}{2}\)

\(\Rightarrow R^2=IA^2=\displaystyle\frac{a^2+b^2+c^2}{4}=3\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\leq 8\).

Suy ra \(V_{ABCD}=\displaystyle\frac{1}{6}abc\leq \displaystyle\frac{1}{6}\cdot 8=\displaystyle\frac{4}{3}\).

\((S)\) có tâm \(O(0; 0; 0)\) và có bán kính \(R=2\sqrt2.\)

Gọi \(t\) là khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng \(d\) (\(t\le OM=1\)). Diện tích tam giác \(OAB\) là \(S=\displaystyle\frac12 t\cdot AB=t\sqrt{R^2-t^2}=t\sqrt{8-t^2}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt7}\left(\sqrt7t\right)\cdot \sqrt{8-t^2}\le \displaystyle\frac{7t^2+8-t^2}{2\sqrt7}=\displaystyle\frac{6t^2+8}{2\sqrt7}\le \displaystyle\frac{14}{2\sqrt7}=\sqrt7.\(Dấu bằng xảy ra khi \(d\) vuông góc với \(OM\).

Dễ dàng tính được \(AB = AC = BC = 2\sqrt{2} \Rightarrow \Delta ABC\) đều, đồng thời các điểm \(A, B, C \in \left(P\right)\) và \(\left(S\right) \Rightarrow \Delta ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left(C\right)\).

Không mất tính tổng quát gọi điểm \(M\) thuộc cung nhỏ \(AB\), khi đó \(MA + MB + MC = 2MC\).

Suy ra \(MA + MB + MC\) lớn nhất khi \(MC\) lớn nhất khi \(MC\) là đường kính \(\Rightarrow\) có một điểm \(M\) thỏa mãn.

Do vai trò của \(A, B, C\) như nhau nên bài toán có \(3\) điểm \(M\) thỏa mãn.

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3;1;0)\) và bán kính \(R=2\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d\).\\ Suy ra \(t_H=-\displaystyle\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{IM_0}}{\overrightarrow{u}^2}=1\Rightarrow H(3;0;-1)\).

Ta có \(r_{\text{min}}=\mathrm{d}\left(I,(P)\right) =IH\).\\Suy ra \((P)\) đi qua \(H\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IH}=(0;-1;-1)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(y+z+1=0\).

Gọi \(I(x;y;z)\) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\).

Ta có \(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\left(-6x+6;-6y+24;-6z-18\right)\).

\(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1\\y=4\\z=-3\end{cases}\Rightarrow I(1;4;-3)\).

Gọi \(K\) là tâm của mặt cầu \((S)\). Suy ra \(K(1;1;1)\).

\(IK\) là đường thẳng qua \(K\) và nhận \(\overrightarrow{IK}\) làm véc-tơ chỉ phương, \(IK\) có phương trình \(\begin{cases}x=1\\y=1+3t\\z=1-4t\end{cases}\).

Gọi \(P\), \(Q\) là giao điểm của \(IK\) và \((S)\). Từ hệ \(\begin{cases}x=1\\y=1+3t\\z=1-4t\\(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1\end{cases}\) ta tìm được \(P\left(1;\displaystyle\frac{8}{5};\displaystyle\frac{1}{5}\right)\) và \(Q\left(1;\displaystyle\frac{2}{5};\displaystyle\frac{9}{5}\right)\).

Suy ra \(IP=\left|\overrightarrow{IP}\right|=4\), \(IQ=\left|\overrightarrow{IQ}\right|=6\).

\(\begin{aligned}\text{Ta có}\;T&=3MA^2+2MB^2+MC^2\\&=3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)^2\\&=6MI^2+2\overrightarrow{MI}\cdot \left(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)+3IA^2+2IB^2+IC^2\\&=6MI^2+3IA^2+2IB^2+IC^2.\end{aligned}\)

Do đó, \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) nhỏ nhất, lúc đó \(MI=\min\left\{IP;IQ\right\}=IP\).

Tức \(M\equiv P\). Vậy \(S=1+\displaystyle\frac{8}{5}+\displaystyle\frac{1}{5}=\displaystyle\frac{14}{5}.\)

Mặt cầu \((S)\) tâm \(O(-1;2;1)\), bán kính \(R=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\Rightarrow I(1;-2;-1)\).

Ta có \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}\right)\left(\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IM}\right)=IM^2-IA^2=MI^2-72\).

Do đó \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) ngắn nhất.

Ta có \(\overrightarrow{OI}=(2;-4;-2), IO=\sqrt{2^2+4^2+2^2}=2\sqrt{6}>R=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\).

Do đó \(MI\) ngắn nhất \(\Leftrightarrow M\) là giao điểm của đoạn \(OI\) và \((S)\).

Đường thẳng \(IO\) đi qua \(I(1;-2;-1)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(1;-2;-1)\) là véc-tơ chỉ phương \(\Rightarrow OI\colon \begin{cases}x=1+t\\y=-2-2t\\z=-1-t.\end{cases}\)

Ta tìm giao điểm \(M\) của \(OI\) và \((S)\).

Ta có \(M(1+t;-2-2t;-1-t)\in(S)\Leftrightarrow (2+t)^2+(4+2t)^2+(2+t)^2=\displaystyle\frac{3}{2}\Leftrightarrow |t+2|=\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow\hoac{&t=-\displaystyle\frac{5}{2}\\&t=-\displaystyle\frac{3}{2}.}\)

Với \(t=-\displaystyle\frac{3}{2}\Rightarrow M\left(-\displaystyle\frac{1}{2};1;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\Rightarrow MI =\displaystyle\frac{3\sqrt{6}}{2}< OI=2\sqrt{6}\Rightarrow\) điểm này thỏa mãn bài toán.

Với \(t=-\displaystyle\frac{5}{2}\Rightarrow M\left(-\displaystyle\frac{3}{2};3;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\Rightarrow MI=\displaystyle\frac{\sqrt{66}}{2}>OI=2\sqrt{6}\Rightarrow\) điểm này không thỏa mãn.

Vậy với \(M\left(-\displaystyle\frac{1}{2};1;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) thì \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}\) nhỏ nhất \(\Rightarrow a+b+c=-\displaystyle\frac{1}{2}+1+\displaystyle\frac{1}{2}=1\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(O(0;0;0)\) và bán kính \(R=2\sqrt{2}\).

Ta có: \(\overrightarrow{OM}=\left(\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2};0\right) \Rightarrow OM=1< R \Rightarrow\) điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \((S)\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB \Rightarrow OH\leqslant OM\).

Đặt \(OH=x \Rightarrow 0\leqslant x\leqslant 1\).

Đặt \(\widehat{AOH}=\alpha \Rightarrow \sin \alpha =\displaystyle\frac{AH}{OA}=\displaystyle\frac{\sqrt{OA^2-OH^2}}{OA}=\displaystyle\frac{\sqrt{8-x^2}}{2\sqrt{2}}\); \(\cos \alpha =\displaystyle\frac{OH}{OA}=\displaystyle\frac{x}{2\sqrt{2}}\).

Suy ra \(\sin \widehat{AOB}=2\sin \alpha \cos \alpha =\displaystyle\frac{x\sqrt{8-x^2}}{4}\).

Ta có: \(S_{\triangle OAB}=\displaystyle\frac{1}{2}OA.OB.\sin \widehat{AOB}=x\sqrt{8-x^2}\) với \(0\leqslant x\leqslant 1\).

Xét hàm số \(f(x)=x\sqrt{8-x^2}\) trên đoạn \([0;1]\).

\(f'(x)=\sqrt{8-x^2}-\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{8-x^2}}=\displaystyle\frac{8-2x^2}{\sqrt{8-x^2}}>0,\forall x\in [0;1] \Rightarrow \max\limits_{[0;1]} f(x)=f(1)=\sqrt{7}\).

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác \(OAB\) bằng \(\sqrt{7}\).

Ta có \(x^2+y^2+z^2-2x-4y-4z-7=0\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=16\).

Gọi \(M(a;b;c)\in (S)\Leftrightarrow (a-1)^2+(b-2)^2+(c-2)^2=16\).

Ta có

\begin{eqnarray*}|2(a-1)+3(b-2)+6(c-2)| & \leq & \sqrt{\left(2^2+3^2+6^2\right)\left[(a-1)^2+(b-2)^2+(c-2)^2\right]} \\& \Leftrightarrow & |2a+3b+6c-20| \leq 28\\& \Rightarrow & 2a+3b+6c-20 \leq 28\\& \Rightarrow & 2a+3b+6c \leq 48.\end{eqnarray*}

Dấu ``='' xảy ra khi

\(\begin{cases}2a+3b+6c=48\\\displaystyle\frac{a-1}{2}=\displaystyle\frac{b-2}{3}\\\displaystyle\frac{a-1}{2}=\displaystyle\frac{c-2}{6}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2a+3b+6c=48\\3a-2b=-1\\3a-c=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{15}{7}\\b=\frac{26}{7}\\c=\frac{38}{7}.\end{cases}\)

Vậy \(T=2a-b+c=6\).