Đáp án: \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\)

Lời giải:

Phương trình

\(\sin \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=0\) \(\Leftrightarrow 2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}=k\pi\) \(\Leftrightarrow 2x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\).

Đáp án: \(S=\left\{\pm \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi,\, k\in\mathbb{Z}\right\}\)

Lời giải:

Ta có

\(\cos x=-\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \cos x=\cos \displaystyle\frac{2\pi}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\pm \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là

\(S=\left\{\pm \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi,\, k\in\mathbb{Z}\right\}\).

Đáp án: \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

Lời giải:

Ta có

\(\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}\)

\(\Leftrightarrow x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\) hoặc \(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{12}+k2\pi\) hoặc \(x=-\displaystyle\frac{7\pi}{12}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}).\)

+) Với \(x=\displaystyle\frac{\pi}{12}+k2\pi\), \( k\in \mathbb{Z}\).

Ta có

\(-\pi

\(\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{13}{24}

+) Với \(x=-\displaystyle\frac{7\pi}{12}+k2\pi\), \(k\in \mathbb{Z}\).

Ta có

\(-\pi

\(\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{5}{24}

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left(-\pi;\pi\right)\) là

\(\displaystyle\frac{\pi}{12}+\left(-\displaystyle\frac{7\pi}{12}\right)=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

Đáp án: \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\)

Lời giải:

Ta có

\(\tan 5x-\tan x=0\) \(\Leftrightarrow \tan 5x=\tan x\)

\(\Leftrightarrow 5x=x+k\pi \) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{k\pi}{4} \left(k\in \mathbb{Z}\right).\)

Vì \(x\in \left[0;\pi \right)\), suy ra

\(0\le \displaystyle\frac{k\pi}{4}<\pi \) \(\Leftrightarrow 0\le k<4\xrightarrow{k\in \mathbb{Z}}k=\left\{0;1;2;3\right\}\).

Suy ra các nghiệm của phương trình trên \(\left[0;\pi \right)\) là

\(\left\{0;\displaystyle\frac{\pi}{4};\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{3\pi}{4}\right\}.\)

Suy ra \(0+\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{2}+\displaystyle\frac{3\pi}{4}=\displaystyle\frac{3\pi}{2}.\)

Đáp án: \(\left[\begin{aligned}x=\displaystyle\frac{\pi}6+\displaystyle\frac{k 2\pi}3\\\ x=-\displaystyle\frac{\pi}2+k 2\pi\end{aligned}\right.(k\in \mathbb{Z})\)

Lời giải:

Có

\(\cos 2x=\sin x \) \(\Leftrightarrow \cos 2x=\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right)\)

\(\Leftrightarrow 2x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-x+k2\pi\) hoặc \(2x=x-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\) hoặc \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi,\ (k\in \mathbb{Z}).\)

Đáp án: \(2\)

Lời giải:

Ta có

\cos 2x +\cos x=0 \) \(\Leftrightarrow \cos 2x =\cos (\pi-x)\)

\(\Leftrightarrow 2x=\pi -x+k 2\pi\) hoặc \(2x=-\pi +x+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\) hoặc \(x=-\pi+k2\pi\)

+) Với \( x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\) ta có

\(-\pi

Mà \( k \in\mathbb{Z}\) nên \(k=-1;k=0\) hay \(x= -\displaystyle\frac{\pi}{3}\), \(x=\displaystyle\frac {\pi}{3}\).

+) Với \(x= -\pi +k2 \pi \) ta có

\(-\pi

Mà \( k \in \mathbb{Z}\) nên không tồn tại \(k\).

Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm thuộc \(\left(-\pi ; \pi\right)\).

Đáp án: \(-2 \leq m \leq 0\)

Lời giải:

Phương trình \(\cos x=m+1\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(|m+1| \leqslant 1 \) \(\Leftrightarrow-1 \leqslant m+1 \leqslant 1 \) \(\Leftrightarrow-2 \leqslant m \leqslant 0.\)

Đáp án: \(-2\le m\le 0\)

Lời giải:

Từ phương trình \(\sin x-m=1 \) \(\Leftrightarrow \sin x = m + 1\).

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

\( |m+1| \le 1 \) \(\Leftrightarrow -1 \le m+1 \le 1 \) \(\Leftrightarrow -2 \le m \le 0\).

a) Do \(\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\) nên

\(\sin x=\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &x=\pi-\left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &x=\displaystyle\frac{7\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

b) Do \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) nên

\(\sin x=\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ &x=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ &x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

a) Ta có

\(\sin x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \displaystyle\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ &x=\pi -\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ &x=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

b) Ta có

\(\sin x=\sin 55^\circ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=55^\circ+k360^\circ\\ &x=180^\circ -55^\circ+k360^\circ\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=55^\circ+k360^\circ\\ &x=125^\circ+k360^\circ\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

a) \(\sin 3x=\sin 2x \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&3x=2x+k2\pi\\ &3x=\pi-2x+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{\pi}{5}+k\displaystyle\frac{2\pi}{5}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z})\)

b) \(\sin x=\cos 3x \Leftrightarrow \sin x=\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right) \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-x+k2\pi\\ &x=\pi-\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right)+k2\pi\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&4x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&-2x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\\ &x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}-k\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

Vì \(\left\{-\displaystyle\frac{\pi}{4}-k\pi|\, k\in \mathbb{Z}\right\}=\left\{-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi|\, k\in \mathbb{Z}\right\}\) nên ta có thể viết như sau:

\(\sin x=\cos 3x \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

Ta có \(\sin 2x=\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2x=x+\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&2x=\pi-\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&3x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ &3x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

a) Do \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) nên

\(\cos x=\cos \displaystyle\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{5}+k2\pi \end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

b) Do \(\cos \displaystyle\frac{3\pi}{4}=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) nên

\(\cos x=\cos \displaystyle\frac{3\pi}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

a) Ta có

\(\cos x=-\displaystyle\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x=\cos \displaystyle\frac{2\pi}{3}\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\)

b) Ta có

\(\cos x=\cos (-87^\circ)\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-87^\circ+k360^\circ\\&x=-(-87^\circ)+k360^\circ\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=-87^\circ+k360^\circ\\ &x=87^\circ+k360^\circ\\\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

Ta có

\(\cos 3x=\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&3x=x+\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&3x=-\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\end{aligned}\right.(k\in \mathbb{Z}).\)

a) Do \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) nên \(\tan x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \tan x=\displaystyle\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\,\, (k\in \mathbb{Z})\).

b) Do \(\tan \left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =-1\) nên \(\tan x=-1 \Leftrightarrow \tan x=\tan \left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\,\, (k\in \mathbb{Z})\).

a) Ta có: \(\tan x=1 \Leftrightarrow \tan x=\tan \displaystyle\frac{\pi}{4}\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\).

b) Ta có: \(\tan x=\tan 67^\circ \Leftrightarrow x=67^\circ +k180^\circ, k\in \mathbb{Z}\).

Do \(\cot \displaystyle\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}\) nên

\(\cot 2x =-\sqrt{3} \Leftrightarrow \cot 2x = \cot \displaystyle\frac{5\pi}{6}\)

\(\Leftrightarrow 2x = \displaystyle\frac{5\pi}{6}+k\pi \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\,\,(k\in \mathbb{Z}).\)

a) Ta có \(\cot x=1 \Leftrightarrow \cot x=\cot \displaystyle\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi \,\, (k\in \mathbb{Z})\).

b) Ta có \(\cot x=\cot (-83^\circ) \Leftrightarrow x=-83^\circ+k180^\circ\,\, (k\in \mathbb{Z})\).

a) Ta có

\begin{eqnarray*}\cos\left(3x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&3x-\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\\&3x-\displaystyle\frac{\pi}{4}=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&3x=\pi+k2\pi\\&3x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right.,\left(k\in\mathbb{Z}\right).\end{eqnarray*}

b) Ta có

\begin{eqnarray*}2\sin^2x-1+\cos 3x=0&\Leftrightarrow&\cos 3x-\cos 2x=0\\&\Leftrightarrow&\cos 3x=\cos 2x\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&3x=2x+k2\pi\\&3x=-2x+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&x=k2\pi\\&5x=k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&x=k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{k2\pi}{5}\end{aligned}\right.,\left(k\in\mathbb{Z}\right).\end{eqnarray*}

c) Ta có

\begin{eqnarray*}\tan\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)=\tan\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)&\Leftrightarrow&\begin{cases}x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\\ 2x+\displaystyle\frac{\pi}{5}\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\\ 2x+\displaystyle\frac{\pi}{5}=x-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\end{cases}\\&\Leftrightarrow&\begin{cases}x\ne\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k\pi\\ x\ne\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\\ x=-\displaystyle\frac{11\pi}{30}+k\pi\end{cases},\left(k\in\mathbb{Z}\right).\end{eqnarray*}

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=-\displaystyle\frac{11\pi}{30}+k\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

a) \(\cos x=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \cos x=\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{6} \Leftrightarrow x=\pm \displaystyle\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\).

b) Gọi \(\alpha \in[0 ; \pi]\) là góc thoả mãn \(\cos \alpha=0{,}1\).

Khi đó, \(\cos x=0{,}1\Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi,\ k \in\mathbb{Z}.\)

\(\begin{aligned}\cos 2 x=\cos \left(45^{\circ}-x\right) & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 x=45^{\circ}-x+k 360^{\circ} \\2 x=-\left(45^{\circ}-x\right)+k 360^{\circ}\end{array}\right. \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { 3 x = 4 5 ^ { \circ } + k 3 6 0 ^ { \circ }} \\ { x = - 4 5 ^ { \circ } + k 3 6 0 ^ { \circ }} \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=15^{\circ}+k 120^{\circ} \\ x=-45^{\circ}+k 360^{\circ}\end{array}(k \in \mathbb{Z}) .\right.\right.\end{aligned}\)

a) \(\tan x=-\sqrt{3} \Leftrightarrow \tan x=\tan \left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\).

b) Gọi \(\alpha \in\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) là góc thoả mãn tan \(\alpha=2\).

Khi đó,

\(\tan x=2 \Leftrightarrow \tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi, k \in \mathbb{Z}.\)

a) \(\cot x=-\sqrt{3} \Leftrightarrow \cot x=\cot \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\).

b) Gọi \(\alpha \in(0 ; \pi)\) là góc thoả mãn \(\cot \alpha=5\).

Khi đó, \(\cot x=5 \Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi, k \in \mathbb{Z}.\)

a) \(\sin x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sin x=\sin\left( \displaystyle\frac{\pi}{3} \right) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right., k \in \mathbb{Z}\).

b) \(2\cos x=-\sqrt2 \Leftrightarrow \cos x=-\displaystyle\frac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \cos x=\cos\left(\displaystyle\frac{3\pi}{4} \right) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right., k \in \mathbb{Z}\).

c) \(\sqrt3\tan\left(\displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ \right)=1 \Leftrightarrow \tan \left(\displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ \right)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt3} \Leftrightarrow \tan \left(\displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ \right)=\tan\left(30^\circ \right) \\ \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ=30^\circ+k180^{\circ} \Leftrightarrow x=30^\circ+k360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\).

d) \(\cot(2x-1)=\cot\displaystyle\frac{\pi}{5} \Leftrightarrow 2x-1=\displaystyle\frac{\pi}{5} +k\pi, x=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{10}+\displaystyle\frac{k}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}\).

a) \(\sin 2x+\cos 4x=0\Leftrightarrow -\sin2x=\cos4x\Leftrightarrow \cos\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{2} \right) =\cos4x \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&4x=2x+\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&4x=-2x-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&2x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&6x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k}{3}\pi\end{aligned}\right.,k \in \mathbb{Z}.\)

b) \(\cos 3x=-\cos 7x\Leftrightarrow \cos 3x=\cos (\pi-7x)\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&3x=\pi-7x+k2\pi\\&3x=7x-\pi+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{10}+\displaystyle\frac{k}{5}\pi\\&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k}{4}\pi\end{aligned}\right., k \in \mathbb{Z}\).

a) \(\sin x = -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( -\displaystyle\frac{\pi}{3} \right) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x = -\displaystyle\frac{\pi}{3} + k2\pi \\ & x = \displaystyle\frac{4\pi}{3} + k2\pi\end{aligned}\right. \,\, (k \in \mathbb{Z}).\)

b) Gọi \(\alpha \in \left[ -\displaystyle\frac{\pi}{2}; \displaystyle\frac{\pi}{2} \right]\) là góc thỏa mãn \(\sin \alpha = \displaystyle\frac{1}{3}\). Khi đó,

\(\sin x = \displaystyle\frac{1}{3} \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x = \alpha + k2\pi \\ & x = \pi - \alpha + k2\pi\end{aligned}\right.\, (k \in \mathbb{Z}).\)

Ta có

\begin{align*}\sin 2x = \sin (60^{\circ}-3x) & \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& 2x = 60^{\circ}-3x + k360^{\circ} \\ & 2x = 180^{\circ} - (60^{\circ}-3x) + k360^{\circ}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& 5x = 60^{\circ} + k360^{\circ} \\ & -x = 120^{\circ} + k360^{\circ}\end{aligned}\right. \\ &\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x = 12^{\circ} + k72^{\circ} \\ & x = -120^{\circ} - k360^{\circ}\end{aligned}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).\end{align*}

\begin{eqnarray*}&&\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)-\sin 2 x=0\\&\Leftrightarrow& \sin 2x=\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&2x=x+\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&2x=\pi-x-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{5\pi}{18}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất của họ \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\) là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) (ứng với \(k=0\)); nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{18}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\) là \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{18}\) (ứng với \(k=0\)). Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình lượng giác đã cho là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\).

a) \(\sin 2 x+\cos 3x=0\)

\begin{eqnarray*}\sin 2x+\cos 3x=0 &\Leftrightarrow& \cos 3x=-\sin 2x \\&\Leftrightarrow& \cos 3x=\sin \left(-2x\right)\\&\Leftrightarrow& \cos 3x=\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+2x\right)\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&3x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2x+k2\pi\\&3x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{10}+\displaystyle\frac{k2\pi}{5}\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{10}+\displaystyle\frac{k2\pi}{5}, k\in\mathbb{Z}\).

b) \(\sin x \cos x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\);

\begin{eqnarray*}&&\sin x \cos x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4} \\&\Leftrightarrow& 2\sin x\cos x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\\&\Leftrightarrow&\sin 2x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&2x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&2x=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+k\pi\\&x=\displaystyle\frac{3\pi}{8}+k\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\displaystyle\frac{3\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\).

c) \(\sin x+\sin 2 x=0\).

\begin{eqnarray*}&&\sin x+\sin 2 x=0 \\&\Leftrightarrow& \sin x+2\sin x\cos x=0 \\&\Leftrightarrow& \sin x \left(1+2\cos x\right)=0 \\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&\sin x=0\\&1+2\cos x=0\end{aligned}\right. \\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&\sin x=0\\&\cos x=-\displaystyle\frac{1}{2}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=k\pi\\&x=\pm \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có các nghiệm là \(k\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\pm \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\).

a)

\begin{eqnarray*}&&\sin 2x=\displaystyle\frac{1}{2}\\&\Leftrightarrow& \sin 2x=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&2x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&2x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{12}+k\pi\\&x=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

b)

\begin{eqnarray*}&&\sin\left(x - \displaystyle\frac{\pi}{7}\right)=\sin\displaystyle\frac{2\pi}{7}\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}& x - \displaystyle\frac{\pi}{7}=\displaystyle\frac{2\pi}{7} +k2\pi\\& x - \displaystyle\frac{\pi}{7}=\pi - \displaystyle\frac{2\pi}{7} +k2\pi\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{3\pi}{7} + k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{6\pi}{7} + k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

c)

\begin{eqnarray*}&&\sin 4x - \cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=0\\&\Leftrightarrow& \sin 4x = \cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\\&\Leftrightarrow& \sin 4x = \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}-x\right)\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&4x=\displaystyle\frac{\pi}{3}-x+k2\pi\\&4x=\pi - \displaystyle\frac{\pi}{3}+x+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&5x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&3x= \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{15}+\displaystyle\frac{k2\pi}{5}\\&x= \displaystyle\frac{2\pi}{9}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

a)

\begin{eqnarray*}&&\cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\&\Leftrightarrow &\cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}\\&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&x + \displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&x + \displaystyle\frac{\pi}{3}=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

b)

\begin{eqnarray*}&&\cos 4x=\cos\displaystyle\frac{5\pi}{12}\\&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&4x=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k2\pi\\&4x=-\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{5\pi}{48}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\\&4x=-\displaystyle\frac{5\pi}{48}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

c)

\begin{eqnarray*}&&\cos^2 x=1\\&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&\cos x=1\\&\cos x=-1\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&x=k2\pi\\&x=\pi +k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

a) \(\tan x=\tan 55^{\circ}\Leftrightarrow x=55^{\circ} +k180^{\circ}\) \((k\in \mathbb{Z})\).

b) \(\tan \left(2 x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=0\Leftrightarrow 2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=k\pi\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{8}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\) \((k\in \mathbb{Z})\).

a)

\begin{eqnarray*}&&\cot \left(\displaystyle\frac{1}{2} x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-1\\&\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{1}{2} x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\\&\Leftrightarrow& x=-\pi+k2\pi\, (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

b)

\begin{eqnarray*}&&\cot 3 x=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\\&\Leftrightarrow& \cot 3 x=\cot \left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\\&\Leftrightarrow & 3x=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k\pi\\&\Leftrightarrow &x=-\displaystyle\frac{\pi}{9}+\displaystyle\frac{k\pi}{3} \, (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

a) Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sin \left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\ &\Leftrightarrow& \sin \left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) =\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&2x-\displaystyle\frac{\pi}{3} =-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&2x-\displaystyle\frac{\pi}{3} = \pi+\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&2x=k2\pi\\&2x=\displaystyle\frac{5\pi}{3} +k2\pi\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&x=k\pi\\ &x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

b) Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sin \left(3x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2} \\ &\Leftrightarrow& \sin \left(3x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&3x+\displaystyle\frac{\pi}{4} = -\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &3x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\pi -\left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi\end{aligned}\right. \\ &\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&3x= -\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k2\pi\\ &3x=\displaystyle\frac{11\pi}{12}+k2\pi\end{aligned}\right. \\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{5}{36}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\\&x=\displaystyle\frac{11\pi}{36}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

c) Ta có

\begin{eqnarray*}&&\cos \left(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\Leftrightarrow& \cos \left(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4} = \displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}= -\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{x}{2}=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+k2\pi\\ &\displaystyle\frac{x}{2}=-\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned} &x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k4\pi\\ &x=-\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k4\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

d) Ta có

\(2\cos 3x+5=3 \Leftrightarrow \cos 3x =-1 \Leftrightarrow 3x=\pi+k2\pi \Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\,\,(k\in \mathbb{Z})\).

e) Ta có

\(3\tan x=-\sqrt{3} \Leftrightarrow \tan x =-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow \tan x=\tan \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\,\, (k\in \mathbb{Z}).\)

f) Ta có

\begin{eqnarray*}&&\cot x-3=\sqrt{3}\left(1-\cot x\right)\\ &\Leftrightarrow& \cot x-3 =\sqrt{3}-\sqrt{3}\cot x\\ &\Leftrightarrow& (1+\sqrt{3})\cot x=\sqrt{3}(1+\sqrt{3})\\ &\Leftrightarrow& \cot x=\sqrt{3}\\ &\Leftrightarrow& \cot x=\cot \displaystyle\frac{\pi}{6}\\ &\Leftrightarrow& x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\,\, (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

a) Ta có

\(\sin \left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sin x\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=x+k2\pi\\&2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\pi-x+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&3x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

b) Ta có

\begin{eqnarray*}\sin 2x=\cos 3x &\Leftrightarrow& \cos 3x =\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x\right)\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&3x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x+k2\pi\\&3x=\pi-\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x\right) +k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&5x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k2\pi}{5}\\&x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

c) Ta có

\(\cos^2 2x =\cos^2 \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\cos 2x=\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \quad (1)\\&\cos 2x=-\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right). \quad (2)\end{aligned}\right.\)

+) \((1) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2x=x+\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&2x=-\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&3x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &x=-\displaystyle\frac{\pi}{18}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right.(k\in \mathbb{Z})\).

+) \((2) \Leftrightarrow \cos 2x=\cos\left[\pi- \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \right]\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&2x=\pi- \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi\\ &2x=-\left[\pi- \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\right]+k2\pi\end{aligned}\right. \)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&3x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\\ &x=-\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x=\displaystyle\frac{5\pi}{18}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\\ &x=-\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\)

a) \(3\sin x+2=0\) trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right)\).

Dựa đồ thị hàm số \(y=\sin x\) ta thấy phương trình \(3\sin x+2=0\) có \(5\) nghiệm trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right)\).

b) \(\cos x=0\) trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=\cos x\) ta thấy phương trình \(\cos x=0\) có \(6\) nghiệm trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right]\).

a) Vì \(\displaystyle\frac{1}{2}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}\) nên phương trình \(\sin x=\displaystyle\frac{1}{2}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}\) có các nghiệm là\\ \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k 2 \pi=\displaystyle\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}.\)

b) Vì \(-\displaystyle\frac{3}{2}<-1\) nên phương trình \(\sin x=-\displaystyle\frac{3}{2}\) vô nghiệm.

c) \(\sin 2 x=\sin 3 x\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& 3 x=2 x+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\\&3x=\pi - 2x + k 2\pi, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\\&x=\displaystyle\frac{\pi}{5}+\displaystyle\frac{k2 \pi}{5}, k \in \mathbb{Z}.\end{aligned}\right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\displaystyle\frac{\pi}{5}+\displaystyle\frac{k2 \pi}{5}, k \in \mathbb{Z}.\)

a) Vì \( - \displaystyle\frac{1}{2}=\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) nên phương trình \(\cos x= - \displaystyle\frac{1}{2}=\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) có các nghiệm là \\\(x=\displaystyle\frac{2\pi}{3} + k 2\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x= - \displaystyle\frac{2\pi}{3} + k 2\pi, k\in\mathbb{Z}\).

b)

\begin{eqnarray*}&&\cos 2x=\cos\left(x + 60^{\circ}\right)\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&2x=x + 60^{\circ} + k 360^{\circ}, k\in\mathbb{Z}\\&2x= - \left(x + 60^{\circ}\right) + k 360^{\circ}, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&x=60^{\circ} + k 360^{\circ}, k\in\mathbb{Z}\\&x= - 20^{\circ} + k 120^{\circ}, k\in\mathbb{Z}.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=60^{\circ} + k 360^{\circ}, k\in\mathbb{Z}\) và \(x= - 20^{\circ} + k 120^{\circ}, k\in\mathbb{Z}\).

c) \(\cos 3x=\sin x\Leftrightarrow\cos 3x=\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - x\right)\)

\(\begin{aligned}&\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&3x=\displaystyle\frac{\pi}{2} - x + k 2\pi, k\in\mathbb{Z}\\&3x= - \left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - x\right) + k 2\pi, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{8} + k\displaystyle\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\\&x= - \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{8} + k\displaystyle\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\) và \(x= - \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\pi, k\in\mathbb{Z}\).

Với mỗi điểm \(M\) nằm trên mặt cầu, khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt nước tương ứng với giá trị tung độ \(y\) của điểm \(M\).

Xét phương trình

\(4{,}2 \cdot \cos \displaystyle\frac{x}{8}=3 \Leftrightarrow \cos \displaystyle\frac{x}{8}=\displaystyle\frac{5}{7}\)

Do \(x\in [-4\pi;4\pi]\) nên \(\displaystyle\frac{x}{8}\in \left[-\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\).

Khi đó, ta có: \(\cos \displaystyle\frac{x}{8}=\displaystyle\frac{5}{7} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{8} \approx \pm 0{,}775\), suy ra

\(\left|\displaystyle\frac{x}{8}\right| <0{,}78 \Leftrightarrow |x|<6{,}24\).

Do sà lan có thể đi qua được gầm cầu nên chiều rộng của khối hàng hóa là:

\(2|x|<12{,}48<12{,}5\,\, (\text{m}).\)

Theo giả thiết, ta có

\begin{eqnarray*}&&10 \sin \left(10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-5\sqrt{3}\\&\Leftrightarrow & \sin \left(10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\&\Leftrightarrow & \sin \left(10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\\ &\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi \\&10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}=\pi+\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. \\ &\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&t=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k\pi}{5} \\&t=\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k\pi}{5}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Vậy để \(s=-5\sqrt{3}\) cm thì \(t=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k\pi}{5}\) \((k \in \mathbb{N}^*)\) và \(t=\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k\pi}{5}\) \((k\in \mathbb{N})\).

a) Xét \(\triangle OMH\) có

\(OM=OH\cdot \tan \alpha\Rightarrow y_M=\tan \alpha=\tan \left(\displaystyle\frac{\pi t}{10}\right)\).

Vậy hàm số biểu thị toạ độ \(y_M\) của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) theo thời gian \(t\) là \(y_M=\tan \left(\displaystyle\frac{\pi t}{10}\right)\).

b) Theo giả thiết, ta có

\begin{eqnarray*}&&y_N=-1\\ &\Leftrightarrow& \tan \left(\displaystyle\frac{\pi t}{10}\right)=-1\\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{\pi t}{10}=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\\ &\Leftrightarrow& t=-\displaystyle\frac{5}{2}+10k \,(k\in \mathbb{N}^*).\end{eqnarray*}

a) Ta có

\begin{eqnarray*}&&-1\leq \sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\leq 1, \forall t\geq 0\\ &\Rightarrow&3\geq -3\sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\geq -3, \forall t\geq 0.\end{eqnarray*}

Suy ra \(v\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(3\), điều này xảy ra khi và chỉ khi

\begin{eqnarray*}\sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-1 \Leftrightarrow 1{,}5t+\displaystyle\frac{\pi}{3}=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow t=-\displaystyle\frac{5\pi}{9}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}\quad (k\in\mathbb{N}^*).\end{eqnarray*}

b)

\begin{eqnarray*}v=1{,}5&\Leftrightarrow& -3 \sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=1{,}5\\ &\Leftrightarrow& \sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&1{,}5t+\displaystyle\frac{\pi}{3}=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&1{,}5t+\displaystyle\frac{\pi}{3}=\pi+\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&t=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}\\&t=\displaystyle\frac{5\pi}{9}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}\end{aligned}\right.\quad (k\in\mathbb{N}).\end{eqnarray*}

Vậy vận tốc con lắc bằng \(1{,}5\) cm/s tại các thời điểm \(t=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\) và \(t=\displaystyle\frac{5\pi}{9}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\).

a) Hàm số biểu diễn toạ độ của điểm \(E\) trên trục \(Bx\) theo \(t\) là

\begin{eqnarray*}x_E=\overline{BE}=AB\cdot \tan \theta_s(t)=5\tan\displaystyle\frac{\pi}{12}(t-12)\, (m).\end{eqnarray*}

b) Gọi \(t_N\) là thời điểm bóng cây phủ đến vị trí \(N\), khi đó \(t_N\) là nghiệm của phương trình

\begin{eqnarray*}&&5\tan\displaystyle\frac{\pi}{12}(t_N-12) = -4 \\&\Leftrightarrow& \tan\displaystyle\frac{\pi}{12}(t_N-12) =-\displaystyle\frac{4}{5}\\& \Leftrightarrow& \displaystyle\frac{\pi}{12}(t_N-12)\approx -0{,}675+k\pi \\&\Leftrightarrow& t_N\approx \displaystyle\frac{-0{,}675}{\displaystyle\frac{\pi}{12}}+12+12k \approx 9{,}4+12k.\end{eqnarray*}

Vì \(6 < t_N < 18\) nên \(k=0\); Lúc đó \(t_N=9{,}4\) (giờ).

Với \(6 < t < 18\) thì \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<\displaystyle\frac{\pi}{12}(t-12)<\displaystyle\frac{\pi}{2}\). Suy ra hàm số \(x_E\) đồng biến trên \((6;18)\).

Bóng cây phủ qua vị trí tường rào \(N\) khi và chỉ khi

\begin{eqnarray*}x_E\leq x_N \Leftrightarrow t\leq t_N=9{,}4\,\text{(giờ)}.\end{eqnarray*}

Vậy các thời điểm bóng cây phủ qua vị trí tường rào \(N\) là từ hơn \(6\) giờ đến \(9{,}4\) giờ.

a) Thành phố \(A\) có đúng \(12\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

Ta giải phương trình

\begin{eqnarray*}d(t)=12 &\Leftrightarrow& 3\sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right] +12=12 \\&\Leftrightarrow& \sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right]=0\\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80) =k \pi \\ &\Leftrightarrow& t-80 = 182k\\ &\Leftrightarrow& t= 182k+80 (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Ta lại có \(0 < 182k+80 \le 365 \Leftrightarrow -\displaystyle\frac{80}{182} < k \le \displaystyle\frac{285}{182} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&k=0\\ &k=1.\end{aligned}\right.\)

Vậy thành phố \(A\) có đúng \(12\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(80\) (ứng với \(k=0\)) và ngày thứ \(262\) (ứng với \(k=1\)) trong năm.

b) Vào ngày nào trong năm thành phố \(A\) có đúng \(9\) giờ có ánh sáng mặt trời?

Ta giải phương trình

\begin{eqnarray*}d(t)=9 &\Leftrightarrow& 3\sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right] +12=9 \\&\Leftrightarrow& \sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right]=-1\\&\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80) =-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2 \pi \\ &\Leftrightarrow& t-80 = -91+364k\\ &\Leftrightarrow& t= 364k-11 (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Ta lại có \(0 < 364k-11 \le 365 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{11}{364} < k \le \displaystyle\frac{376}{364} \Leftrightarrow k=1.\)

Vậy thành phố \(A\) có đúng \(9\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(353\) trong năm.

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố \(A\) có đúng \(15\) giờ có ánh sáng mặt trời?

Ta giải phương trình

\begin{eqnarray*}d(t)=15 &\Leftrightarrow& 3\sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right] +12=15 \\ &\Leftrightarrow& \sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right]=1\\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80) =\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2 \pi \\ &\Leftrightarrow& t-80 = 91+364k\\ &\Leftrightarrow& t= 364k+171 (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Ta lại có \(0 < 364k+171 \le 365 \Leftrightarrow -\displaystyle\frac{171}{364} < k \le \displaystyle\frac{196}{364} \Leftrightarrow k=0.\)

Vậy thành phố \(A\) có đúng \(15\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(171\) trong năm.

Khoảng cách \(h\) là \(3\) m khi

\(3\cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = - 3 \Leftrightarrow \cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = -1 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1) =-\pi +k2\pi \Leftrightarrow t=-1+3k,\, k\in \mathbb{Z}.\)

Vậy vào thời điểm \(t=-1+3k,\, k\in \mathbb{Z}\) nào thì khoảng cách \(h\) là \(3\) m.

Khoảng cách \(h\) là \(0\) m khi

\(3\cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = 0 \Leftrightarrow \cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = 0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1) =\displaystyle\frac{\pi}{2} +k\pi \Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{5}{4}+\displaystyle\frac{3}{2}k,\, k\in \mathbb{Z}.\)

Vậy vào thời điểm \(t=\displaystyle\frac{5}{4}+\displaystyle\frac{3}{2}k,\, k\in \mathbb{Z}\) nào thì khoảng cách \(h\) là \(0\) m.

a) Thời gian để độ sâu của mực nước là \( 15 \) m là nghiệm của phương trình

\( 3 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=15 \Leftrightarrow \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)=1 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi t}{6}+1=k2\pi \Leftrightarrow t= -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \quad (k \in \mathbb{Z}).\)

Do \( 0\le t <24 \) nên \( 0 \le -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k <24 \Rightarrow 0{,}15 < k < 2{,}16 \Rightarrow k \in \{1;2\}\).

Vậy mực nước sâu \( 15 \) m ở thời gian \( t=-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 1 \approx 10 \text{ giờ } 5 \text{ phút} \) \\và \( t=-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 2 \approx 22 \text{ giờ } 5 \text{ phút} \).

b) Thời gian để độ sâu của mực nước là \( 9 \) m là nghiệm của phương trình

\( 3 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=9 \Leftrightarrow \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)=-1 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi t}{6}+1=\pi+ k2\pi \Leftrightarrow t= 6-\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \quad (k \in \mathbb{Z}).\)

Do \( 0\le t <24 \) nên \( 0 \le 6-\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k <24 \Rightarrow -0{,}35 < k < 1{,}66 \Rightarrow k \in \{0;1\}\).

Vậy mực nước sâu \( 15 \) m ở thời gian \( t=6-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 0 \approx 4 \text{ giờ } 5 \text{ phút} \) \\và \( t=6-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 1 \approx 16 \text{ giờ } 5 \text{ phút} \).

c) Thời gian để độ sâu của mực nước là \( 10{,}5 \) m là nghiệm của phương trình

\begin{eqnarray*}& &3 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10{,}5\\ &\Leftrightarrow &\cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\\ & \Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\&\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1=-\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&t=4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \\&t=-4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k\end{aligned}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

+) \( t=4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \).

Do \( 0\le t <24 \) nên \( 0 \le 4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k <24 \Rightarrow -0{,}89 < k < 1{,}12 \Rightarrow k \in \{0;1\}\).

+) \( t=-4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \).

Do \( 0\le t <24 \) nên \( 0 \le -4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k <24 \Rightarrow 1{,}2 < k < 3{,}21 \Rightarrow k \in \{2;3\}\).

Vậy mực nước sâu \( 10{,}5 \) m ở thời gian \( t=4\pi-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 0 \approx 10 \text{ giờ } 39 \text{ phút} \), \( t=-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 1 \approx 22 \text{ giờ } 39 \text{ phút} \), \( t=-4\pi-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 2 \approx 9 \text{ giờ } 31 \text{ phút} \), \( t=-4\pi-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 3 \approx 21 \text{ giờ } 31 \text{ phút} \).

a) Ta có hoành độ của \( A \) là giá trị thực dương nhỏ nhất của \( x \) để \( 4{,}8 \cdot \sin \displaystyle\frac{x}{9}=0 \).

Ta có \( 4{,}8 \cdot \sin \displaystyle\frac{x}{9}=0 \Leftrightarrow \sin \displaystyle\frac{x}{9}=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{9}=k\pi \Leftrightarrow x=9\pi \).

Khi đó giá trị thực dương nhỏ nhất là \( x=9\pi \) nên \( A(9\pi;0) \).

Do đó độ dài đoạn thẳng \( OA=9\pi\approx 28{,}3 \) nên chiều rộng là khoảng \( 28{,}3 \) m.

b) Đầu tiên ta tìm khoảng cách từ vị trí chân cầu làm gốc tọa độ đến vị trí trên sông mà tại đó độ cao của cây cầu là \( 3{,}6 \) m.

Do đó ta cần tìm nghiệm thuộc khoảng \( (0;9\pi) \) của phương trình

\(4{,}8 \sin \displaystyle\frac{x}{9} = 3{,}6 \Leftrightarrow \sin \displaystyle\frac{x}{9}=\displaystyle\frac{3}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{x}{9}=\arcsin{\displaystyle\frac{3}{4}}+k2\pi\\ &\displaystyle\frac{x}{9}=\pi - \arcsin{\displaystyle\frac{3}{4}}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=9\arcsin{\displaystyle\frac{3}{4}}+18k\pi\\ &x=9\pi - 9\arcsin{\displaystyle\frac{3}{4}}+18k\pi.\end{aligned}\right.\)

Khi đó tập nghiệm thỏa mãn là \( S= \left\lbrace 9\arcsin\displaystyle\frac{3}{4}; 9\pi - 9\arcsin\displaystyle\frac{3}{4}\right\rbrace \).

Do đó độ rộng tối đa của sà lan khi đi qua cầu là

\( 9\pi - 9\arcsin\displaystyle\frac{3}{4}- 9\arcsin\displaystyle\frac{3}{4}\approx 13{,}01<13{,}1 \text{ m.} \)

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu của đề bài.

c) Đầu tiên, ta cũng tìm khoảng cách từ vị trí chân cầu làm gốc độ đến vị trí trên sông nơi mà xà lan gần chân cầu đó nhất.

Ta tính được \( \displaystyle\frac{28{,}3}{2} - \displaystyle\frac{9}{2} = 9{,}65 \) m.

Chiều cao tại vị trí đó là \( h= 4{,}8 \sin \displaystyle\frac{9{,}65}{9} \approx 4{,}22 < 4 {,}3 \) m.

Vậy ta đã chứng minh được chiều cao khối hàng hóa phải nhỏ hơn \( 4{,}3 \) m.

}

a) Với \(t=2\) thì \(h(2)=0,8 \cos 0{,}5\cdot 2+4=0,8 \cos 1+4\approx 4{,}43\) (m).

b) Tàu có thể hạ thủy vào những thời điểm \(t\) thỏa mãn

\begin{eqnarray*}0{,}8 \cos 0{,}5 t+4 \geq 3{,}6 \Leftrightarrow \cos 0{,}5 t \geq -\displaystyle\frac{1}{2}.\quad (*)\end{eqnarray*}

Đặt \(0{,}5t=x\). Với \(t\in[0;12]\) thì \(x\in [0;6]\). Khi bất phương trình \((*)\) trở thành \(\cos x\geq -\displaystyle\frac{1}{2}\).

Quan sát đồ thị hàm số \(y=f(x)=\cos x\) trên \([0;6]\):

Dựa vào đồ thị, ta có

\begin{eqnarray*}\cos x \geq -\displaystyle\frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&0\leq x\leq \displaystyle\frac{2\pi}{3}\\&\displaystyle\frac{4\pi}{3}\leq x\leq 6\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&0\leq 2x\leq \displaystyle\frac{4\pi}{3}\\&\displaystyle\frac{8\pi}{3}\leq 2x\leq 12\end{aligned}\right.\text{ hay } \left[\begin{aligned}&0\leq t\leq \displaystyle\frac{4\pi}{3}\approx 4{,}19\\&8{,}38\approx\displaystyle\frac{8\pi}{3}\leq t\leq 12.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy tàu có thể hạ thủy vào các thời điểm \(t\) (giờ) thỏa mãn \(\left[\begin{aligned}&0\leq t\leq 4{,}19\\&8{,}38\leq t\leq 12.\end{aligned}\right.\)