\(\S2.\) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Véctơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ \(\overrightarrow{u}\) khác \(\overrightarrow{0}\) có giá song song hoặc trùng với đường thẳng \(d\) được gọi là vectơ chỉ phương của \(d\).
2. Phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng
Phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0;z_0)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\) là
\(\bullet\quad\) Viết thep dạng tham số
\[\begin{cases}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct.\end{cases}\]
\(\bullet\quad\) Viết theo dạng chính tắc
\[\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}.\]
<
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Cho hai đường thẳng
\[d\colon \begin{cases}x=x_1+a_1t\\ y=y_1+b_1t\\ z=z_1+c_1t.\end{cases}\quad \text{và}\quad \Delta\colon \begin{cases}x=x_2+a_2s\\ y=y_2+b_2s\\ z=z_2+c_2s.\end{cases}\]
Ta có \(M(x_1;y_1;z_1)\in d\), \(\overrightarrow{u}_d=(a_1;b_1;c_1)\) và \(N(x_2;y_2;z_2)\in \Delta\), \(\overrightarrow{u}_{\Delta}=(a_2;b_2;c_2)\).
Nếu \(\overrightarrow{u}_d\) và \(\overrightarrow{u}_{\Delta}\) cùng phương, cách kiểm chứng:
\[\left[\overrightarrow{u}_d,\overrightarrow{u}_{\Delta}\right]=\overrightarrow{0}\quad \text{hoặc}\quad \dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2},\]
thì \(d\) song song hoặc trùng với \(\Delta\).
+ Nếu \(M\in\Delta\) thì \(d\equiv\Delta\).
+ Nếu \(M\not\in\Delta\) thì \(d\parallel\Delta\).
Nếu \(\overrightarrow{u}_d\) và \(\overrightarrow{u}_{\Delta}\) không cùng phương, cách kiểm chứng: \(\left[\overrightarrow{u}_d,\overrightarrow{u}_{\Delta}\right]\neq\overrightarrow{0}\), thì \(d\) cắt hoặc chéo nhau với \(\Delta\).
Để loại trừ, ta lập hệ phương trình
\[\begin{cases}x_1+a_1t=x_2+a_2s\\ y_1+b_1t=y_2+b_2s\\ z_1+c_1t=z_2+c_2s.\end{cases}\]
Nếu hệ có nghiệm duy nhất \((t;s)\) thì \(d\) cắt \(\Delta\). Ngược lại, \(d\) chéo nhau với \(\Delta\).
Chú ý:<\strong>
\[d\perp\Delta\Leftrightarrow \overrightarrow{u}_d\cdot\overrightarrow{u}_{\Delta}=0\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0.\]
3. Góc giữa hai đường thẳng
Giả sử \(\overrightarrow{u}_a=(a_1;b_1;c_1)\) và \(\overrightarrow{v}_b=(a_2;b_2;c_2)\).
Khi đó góc \(\varphi=\left(a,b\right)\) được tính theo công thức
\begin{eqnarray*}\cos\varphi&=&\left|\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\right|=\dfrac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|}\\ &=&\dfrac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\cdot\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.\end{eqnarray*}
4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Giả sử \(\overrightarrow{u}_d=(a;b;c)\) và \(\overrightarrow{n}_P=(A;B;C)\).
Khi đó góc \(\varphi=\left(d,(P)\right)\) được tính theo công thức
\begin{eqnarray*}\sin\varphi&=&\left|\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}\\ &=&\dfrac{|aA+bB+cC|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\end{eqnarray*}
5. Góc giữa hai mặt phẳng
Giả sử \(\overrightarrow{n}_1=(A_1;B_1;C_1)\) và \(\overrightarrow{n}_2=(A_2;B_2;C_2)\).
Khi đó góc \(\varphi=\left((P),(Q)\right)\) được tính theo công thức
\begin{eqnarray*}\cos\varphi&=&\left|\cos(\overrightarrow{n}_1,\overrightarrow{n}_2)\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}_2\right|}\\ &=&\dfrac{\left|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2\right|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.\end{eqnarray*}