\(\S4.\) PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

Lỗi khi trích xuất lý thuyết từ dữ liệu

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản

Dạng 2. Phương trình lôgarit cơ bản

Dạng 3. Bất phương trình mũ cơ bản

Dạng 4. Bất phương trình lôgarit cơ bản

Dạng 5. Phương trình mũ cùng cơ số

Dạng 6. Phương trình lôgarit cùng cơ số

Dạng 7. Bất phương trình mũ cùng cơ số

Dạng 8. Bất phương trình lôgarit cùng cơ số

Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản

Câu 1:

Tích tất cả các nghiệm của phương trình \( 2^{x^2 + x } = 4 \) bằng

Đáp án: \( -2 \)

Lời giải:

Ta có

\(2^{x^2 + x } = 4\) \(\Leftrightarrow x^2+x=\log_24\) \(\Leftrightarrow x^2 + x - 2 =0\) \(\Leftrightarrow x = -2 \lor x = 1.\)

Vậy tích các nghiệm bằng: \(-2\cdot1=-2\).

}

Câu 2:

Phương trình \(2^{x+1}=8\) có nghiệm là

Đáp án: \(x=2\)

Lời giải:

Ta có

\(2^{x+1}=8\Leftrightarrow x+1=\log_28\) \(\Leftrightarrow x+1=3\Leftrightarrow x=2.\)

Dạng 2. Phương trình lôgarit cơ bản

Câu 1:

Nghiệm của phương trình \(\log 10^{100x}=250\) thuộc khoảng nào sau đây?

Đáp án: \(\left(2;+\infty \right)\)

Lời giải:

Ta có \(\log 10^{100x}=250\Leftrightarrow 100x\cdot\log 10=250\) \(\Leftrightarrow 100x=250\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{5}{2}\in (2;+\infty).\)

Câu 2:

Phương trình \(\log_2 {(x-1)}=1\) có nghiệm là

Đáp án: \(x=3\)

Lời giải:

Điều kiện \(x>1\).

Phương trình tương đương

\( x-1=2\Leftrightarrow x=3.\)

Dạng 3. Bất phương trình mũ cơ bản

Câu 1:

Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x-1}<25\).

Đáp án: \(S = (-1;+\infty)\)

Lời giải:

Ta có

\(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x-1}<25\) \(\Leftrightarrow x-1>\log_{\frac{1}{5}}25\Leftrightarrow x-1 > -2\Leftrightarrow x>-1.\)

Câu 2:

Tập nghiệm của bất phương trình \(\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^x > \displaystyle\frac{3}{4} \) là

Đáp án: \((-\infty;2)\)

Lời giải:

Chú ý \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} <1\).

Ta có

\(\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^x > \displaystyle\frac{3}{4}\) \(\Leftrightarrow \left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^x >\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \Leftrightarrow x<2\).

Dạng 4. Bất phương trình lôgarit cơ bản

Câu 1:

Tập nghiệm của bất phương trình \(\log (x+1) <0\) là

Đáp án: \((-1;0)\)

Lời giải:

Ta có \(\log (x+1) <0 \Leftrightarrow 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((-1;0)\).

Câu 2:

Tập nghiệm của bất phương trình \(\log_{0{,3}} x > \log_{0{,3}} 3\) là

Đáp án: \((0;3)\)

Lời giải:

Ta có \(\log_{0{,}3} x > \log_{0{,}3} 3 \Leftrightarrow 0

Dạng 5. Phương trình mũ cùng cơ số

Câu 1:

Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(7^{x+1}=\left(\displaystyle\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-3}\).

Đáp án: \(5\)

Lời giải:

Phương trình tương đương với

\(7^{x+1}=7^{-x^2+2x+3}\) \(\Leftrightarrow x+1=-x^2+2x+3\) \(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=-1\\ &x=2.\end{aligned}\right.\)

Từ đó suy ra \(x_1^2+x_2^2=(-1)^2+2^2=5\).

Câu 2:

Biết rằng phương trình \(2^{x^2-4x+2}=2^{x-4}\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1\), \(x_2\). Tính giá trị biểu thức \(S=x_1^4+x_2^4\).

Đáp án: \(S=97\)

Lời giải:

\(2^{x^2-4x+2}=2^{x-4}\) \(\Leftrightarrow x^2-4x+2=x-4\) \(\Leftrightarrow x^2-5x+6=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_1=2\\&x_2=3.\end{aligned}\right.\)

Suy ra \(S=x_1^4+x_2^4=2^4+3^4=97\).

Dạng 6. Phương trình lôgarit cùng cơ số

Câu 1:

Phương trình \(\log _2x+\log _2(x-3)=2\) có bao nhiêu nghiệm?

Đáp án: \(1\)

Lời giải:

Điều kiện: \(\begin{cases}x>0\\ x-3>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x>0\\x>3\end{cases} \Leftrightarrow x>3\).

Ta có

\begin{eqnarray*}& &\log _2x+\log _2(x-3)=2\\&\Leftrightarrow &\log_2x(x-3)=2\\ &\Leftrightarrow &x(x-3)=2^2\\ &\Leftrightarrow &x^2-3x-4=0\\ &\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&x=-1~(\text{loại vì}~x>3)\\&x=4.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có \(1\) nghiệm \(x=4\).

Câu 2:

Phương trình \(\ln \left(x^2+1\right)\cdot \ln \left(x^2-2018\right)=0\) có bao nhiêu nghiệm?

Đáp án: \(2\)

Lời giải:

Điều kiện: \(x^2-2018>0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x>\sqrt{{2018}} \\ & x<-\sqrt{2018}\end{aligned}\right.\).

Phương trình

\(\ln \left(x^2+1\right)\cdot \ln \left(x^2-2018\right)=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& \ln \left(x^2+1\right)=0\\ & \ln \left(x^2-2018\right)=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=0 \\ & x=\pm \sqrt{2019}\end{aligned}\right.\).

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có hai nghiệm \(x=\pm \sqrt{2019}\).

Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm.

Dạng 7. Bất phương trình mũ cùng cơ số

Câu 1:

Tập nghiệm của bất phương trình \(3^{2x + 1} > \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{- 3x^2}\) là

Đáp án: \(\left( -\displaystyle\frac{1}{3}; 1\right)\)

Lời giải:

\(3^{2x + 1} > \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{- 3x^2}\) \(\Leftrightarrow 3^{2x + 1} > 3^{3x^2}\) \(\Leftrightarrow 2x + 1 > 3x^2\) \(\Leftrightarrow 3x^2 - 2x - 1 < 0\) \(\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{3} < x < 1.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left(- \displaystyle\frac{1}{3}; 1\right)\).

Câu 2:

Tập nghiệm của bất phương trình \(\left(\sqrt[3]{5}\right)^{x-1}<5^{x+3}\) là

Đáp án: \((-5;+\infty)\)

Lời giải:

\(\left(\sqrt[3]{5}\right)^{x-1}<5^{x+3}\) \(\Leftrightarrow 5^{\frac{x-1}{3}}<5^{x+3}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x-1}{3}-5.\)

}

Dạng 8. Bất phương trình lôgarit cùng cơ số

Câu 1:

Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(\log_{\tfrac{1}{2}}(x-3)\ge \log_{\tfrac{1}{2}}4\).

Đáp án: \(S=(3;7]\)

Lời giải:

\(\log_{\tfrac{1}{2}}(x-3)\geq\log_{\tfrac{1}{2}}4\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x-3>0\\ x-3\le 4\end{cases}\Leftrightarrow 3

Câu 2:

Bất phương trình \(\log_{\frac{1}{2}}(3x+1) > \log_{\frac{1}{2}}(x+7)\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Đáp án: \(3\)

Lời giải:

Bất phương trình tương đương với

\(\begin{cases} 3x+1>0\\ x+7>0\\ 3x+10\\ 2x<6\end{cases}\) \(\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{3}

Do \(x\) nguyên nên \(x\in\{0;1;2\}\). Vậy có tất cả ba nghiệm nguyên.

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Phần 3. Tự luận

Cơ bản

Nâng cao

Ứng dụng thực tế

Cơ bản

Nâng cao

Ứng dụng thực tế