Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản
Dạng 2. Phương trình lôgarit cơ bản
Dạng 3. Bất phương trình mũ cơ bản
Dạng 4. Bất phương trình lôgarit cơ bản
Dạng 5. Phương trình mũ cùng cơ số
Dạng 6. Phương trình lôgarit cùng cơ số
Dạng 7. Bất phương trình mũ cùng cơ số
Dạng 8. Bất phương trình lôgarit cùng cơ số
Câu 1:
Tích tất cả các nghiệm của phương trình \( 2^{x^2 + x } = 4 \) bằng
Đáp án: \( -2 \)
Lời giải:
Ta có
\(2^{x^2 + x } = 4\) \(\Leftrightarrow x^2+x=\log_24\) \(\Leftrightarrow x^2 + x - 2 =0\) \(\Leftrightarrow x = -2 \lor x = 1.\)
Vậy tích các nghiệm bằng: \(-2\cdot1=-2\).
}
Câu 2:
Phương trình \(2^{x+1}=8\) có nghiệm là
Đáp án: \(x=2\)
Lời giải:
Ta có
\(2^{x+1}=8\Leftrightarrow x+1=\log_28\) \(\Leftrightarrow x+1=3\Leftrightarrow x=2.\)
Câu 1:
Nghiệm của phương trình \(\log 10^{100x}=250\) thuộc khoảng nào sau đây?
Đáp án: \(\left(2;+\infty \right)\)
Lời giải:
Ta có \(\log 10^{100x}=250\Leftrightarrow 100x\cdot\log 10=250\) \(\Leftrightarrow 100x=250\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{5}{2}\in (2;+\infty).\)
Câu 2:
Phương trình \(\log_2 {(x-1)}=1\) có nghiệm là
Đáp án: \(x=3\)
Lời giải:
Điều kiện \(x>1\).
Phương trình tương đương
\( x-1=2\Leftrightarrow x=3.\)
Câu 1:
Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x-1}<25\).
Đáp án: \(S = (-1;+\infty)\)
Lời giải:
Ta có
\(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x-1}<25\) \(\Leftrightarrow x-1>\log_{\frac{1}{5}}25\Leftrightarrow x-1 > -2\Leftrightarrow x>-1.\)
Câu 2:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^x > \displaystyle\frac{3}{4} \) là
Đáp án: \((-\infty;2)\)
Lời giải:
Chú ý \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} <1\).
Ta có
\(\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^x > \displaystyle\frac{3}{4}\) \(\Leftrightarrow \left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^x >\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \Leftrightarrow x<2\).
Câu 1:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log (x+1) <0\) là
Đáp án: \((-1;0)\)
Lời giải:
Ta có \(\log (x+1) <0 \Leftrightarrow 0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((-1;0)\).
Câu 2:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log_{0{,3}} x > \log_{0{,3}} 3\) là
Đáp án: \((0;3)\)
Lời giải:
Ta có \(\log_{0{,}3} x > \log_{0{,}3} 3 \Leftrightarrow 0
Câu 1:
Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(7^{x+1}=\left(\displaystyle\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-3}\).
Đáp án: \(5\)
Lời giải:
Phương trình tương đương với
\(7^{x+1}=7^{-x^2+2x+3}\) \(\Leftrightarrow x+1=-x^2+2x+3\) \(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=-1\\ &x=2.\end{aligned}\right.\)
Từ đó suy ra \(x_1^2+x_2^2=(-1)^2+2^2=5\).
Câu 2:
Biết rằng phương trình \(2^{x^2-4x+2}=2^{x-4}\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1\), \(x_2\). Tính giá trị biểu thức \(S=x_1^4+x_2^4\).
Đáp án: \(S=97\)
Lời giải:
\(2^{x^2-4x+2}=2^{x-4}\) \(\Leftrightarrow x^2-4x+2=x-4\) \(\Leftrightarrow x^2-5x+6=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_1=2\\&x_2=3.\end{aligned}\right.\)
Suy ra \(S=x_1^4+x_2^4=2^4+3^4=97\).
Câu 1:
Phương trình \(\log _2x+\log _2(x-3)=2\) có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án: \(1\)
Lời giải:
Điều kiện: \(\begin{cases}x>0\\ x-3>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x>0\\x>3\end{cases} \Leftrightarrow x>3\).
Ta có
\begin{eqnarray*}& &\log _2x+\log _2(x-3)=2\\&\Leftrightarrow &\log_2x(x-3)=2\\ &\Leftrightarrow &x(x-3)=2^2\\ &\Leftrightarrow &x^2-3x-4=0\\ &\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&x=-1~(\text{loại vì}~x>3)\\&x=4.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}
Vậy phương trình có \(1\) nghiệm \(x=4\).
Câu 2:
Phương trình \(\ln \left(x^2+1\right)\cdot \ln \left(x^2-2018\right)=0\) có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án: \(2\)
Lời giải:
Điều kiện: \(x^2-2018>0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x>\sqrt{{2018}} \\ & x<-\sqrt{2018}\end{aligned}\right.\).
Phương trình
\(\ln \left(x^2+1\right)\cdot \ln \left(x^2-2018\right)=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& \ln \left(x^2+1\right)=0\\ & \ln \left(x^2-2018\right)=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=0 \\ & x=\pm \sqrt{2019}\end{aligned}\right.\).
Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có hai nghiệm \(x=\pm \sqrt{2019}\).
Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm.
Câu 1:
Tập nghiệm của bất phương trình \(3^{2x + 1} > \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{- 3x^2}\) là
Đáp án: \(\left( -\displaystyle\frac{1}{3}; 1\right)\)
Lời giải:
\(3^{2x + 1} > \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{- 3x^2}\) \(\Leftrightarrow 3^{2x + 1} > 3^{3x^2}\) \(\Leftrightarrow 2x + 1 > 3x^2\) \(\Leftrightarrow 3x^2 - 2x - 1 < 0\) \(\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{3} < x < 1.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left(- \displaystyle\frac{1}{3}; 1\right)\).
Câu 2:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\left(\sqrt[3]{5}\right)^{x-1}<5^{x+3}\) là
Đáp án: \((-5;+\infty)\)
Lời giải:
\(\left(\sqrt[3]{5}\right)^{x-1}<5^{x+3}\) \(\Leftrightarrow 5^{\frac{x-1}{3}}<5^{x+3}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x-1}{3}
}
Câu 1:
Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(\log_{\tfrac{1}{2}}(x-3)\ge \log_{\tfrac{1}{2}}4\).
Đáp án: \(S=(3;7]\)
Lời giải:
\(\log_{\tfrac{1}{2}}(x-3)\geq\log_{\tfrac{1}{2}}4\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x-3>0\\ x-3\le 4\end{cases}\Leftrightarrow 3
Câu 2:
Bất phương trình \(\log_{\frac{1}{2}}(3x+1) > \log_{\frac{1}{2}}(x+7)\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Đáp án: \(3\)
Lời giải:
Bất phương trình tương đương với
\(\begin{cases} 3x+1>0\\ x+7>0\\ 3x+1
Do \(x\) nguyên nên \(x\in\{0;1;2\}\). Vậy có tất cả ba nghiệm nguyên.