Ta có \(2^{x^2 + x } = 4 \Leftrightarrow x^2 + x - 2 =0 \Leftrightarrow x = -2 \lor x = 1\).

Có \(2^{x+1}=8\Leftrightarrow2^{x+1}=2^3\Leftrightarrow x+1=3\Leftrightarrow x=2.\)

Ta có \(4^{2x - 4} = 16 \Leftrightarrow 4^{2x - 4} = 4^2 \Leftrightarrow 2x - 4 = 2 \Leftrightarrow x = 3.\)

Ta có \(2^{-x^2+x+2}=1\Leftrightarrow-x^2+x+2=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=2.\)

Phương trình có tập nghiệm \(S=\{-1;2\}\).

Ta có \(2^x=7\Leftrightarrow x=\log_27\).

Phương trình tương đương với \(2^{x-3}=2^3\Leftrightarrow x-3=3\Leftrightarrow x=6.\)

Ta có \(2^{2x+1}=32 \Leftrightarrow 2x+1=5 \Leftrightarrow x=2\).

Phương trình \(5^{2x+1}=125\Leftrightarrow 2x+1=\log_5 125\Leftrightarrow 2x+1=3\Leftrightarrow x=1\).

Phương trình \(5^{x^2-5x+9}=125 \Leftrightarrow x^2-5x+9=3 \Leftrightarrow x^2-5x+6=0\). Nên \(x_1+x_2 =5\).

Phương trình tương đương với \(2x^2+5x+4=2\Leftrightarrow 2x^2+5x+2=0.\)

Theo định lí Vi-ét tổng các nghiệm của phương trình là \(-\displaystyle\frac{5}{2}.\)

Phương trình tương đương \(\begin{cases} x \ne 0\\ \displaystyle\frac{1}{x} = \log_2 3\end{cases} \Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{1}{\log_2 3}=\log_3 2.\)

Ta có \(2^{2x^2-5x+3}=1=2^0 \Leftrightarrow 2x^2-5x+3=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1 \\ &x=\displaystyle\frac{3}{2}.\end{aligned}\right.\)

Điều kiện xác định \(x\in \mathbb{R}\).

Phương trình đã cho tương đương với

\begin{eqnarray*}&& 2^{2x^2-5x-1}=2^{-3}\\&\Leftrightarrow & 2x^2-5x-1=-3\\ &\Leftrightarrow & 2x^2-5x+2=0\\&\Leftrightarrow & x=2;\, x=\displaystyle\frac{1}{2} \,\, (\text{thỏa mãn}).\end{eqnarray*}

Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm phân biệt.

Ta có \(2^{x^2-4x + 5}=4\Leftrightarrow 2^{x^2-4x+5}=2^2\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\Leftrightarrow x_1 = 1\) hoặc \(x_2 = 3\).

Vậy \(P = 28\).

\(2^x=\displaystyle\frac{1}{8} \Leftrightarrow 2^x=2^{-3} \Leftrightarrow x=-3\).

\(5 \cdot 10^x=1 \Leftrightarrow 10^x=\displaystyle\frac{1}{5} \Leftrightarrow x=\log \displaystyle\frac{1}{5}=-\log 5\).

\begin{eqnarray*}&&\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^x=\displaystyle\frac{27^x}{3} \Leftrightarrow\left(3^{-2}\right)^x=\displaystyle\frac{\left(3^3\right)^x}{3} \Leftrightarrow 3^{-2 x}=3^{3 x-1}\\ &\Leftrightarrow&-2 x=3 x-1 \Leftrightarrow 5 x=1 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{5}.\end{eqnarray*}

\(3^{x+2}=\sqrt[3]{9}\Leftrightarrow x+2=\displaystyle\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{4}{3}\).

\(2\cdot 10^{2 x}=30\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{2}\log_{10} 15\).

\(4^{2 x}=8^{2 x-1}\Leftrightarrow 2^{4x}=2^{6x-3}\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{3}{2}\).

\(5^{2 x-1}=25\Leftrightarrow 5^{2 x-1}=5^2\Leftrightarrow 2x-1=2\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{3}{2}\).

\(3^{x+1}=9^{2 x+1}\Leftrightarrow 3^{x+1}=3^{4x+2}\Leftrightarrow x+1=4x+2\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{1}{3}\).

\(10^{1-2x}=100000\Leftrightarrow 10^{1-2x}=10^5\Leftrightarrow 1-2x=5\Leftrightarrow x=-2\).

\(3^{x+2}=7\Leftrightarrow x=\log_3 7 -2\approx -0{,}229\).

\(3\cdot 10^{2x+1}=5\Leftrightarrow 2x+1=\log \displaystyle\frac{5}{3}\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\log \displaystyle\frac{5}{3}-1\right)\Leftrightarrow x\approx -0{,}389\).

Ta có

\(4^{2x-3}=5 \Leftrightarrow 2x-3=\log_4 5 \Leftrightarrow 2x=3+\log_4 5 \Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{1}{2}\left(3+\log_4 5\right)\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{1}{2}\left(3+\log_4 5\right)\).

Ta có

\(10^{x+1}-2\cdot 10^x =8 \Leftrightarrow 10\cdot 10^ x-2\cdot 10^x =8 \Leftrightarrow 8\cdot 10^x =8 \Leftrightarrow 10^x =1 \Leftrightarrow x=\log 1 \Leftrightarrow x=0\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=0\).

Ta có:

\begin{eqnarray*}4^{x-2} =2^{3x+1}& \Leftrightarrow &2^{2(x-3)} =2^{3x+1}\\&\Leftrightarrow & 2(x-2)=3x+1\\&\Leftrightarrow & 2x-4=3x+1 \Leftrightarrow x=-5.\end{eqnarray*}

Ta có

\((0{,}3)^{x-3}=1 \Leftrightarrow x-3=\log_{0{,}3} 1\Leftrightarrow x-3=0 \Leftrightarrow x=3\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=3\).

\(5^{3x-2}=25 \Leftrightarrow 3x-2=\log_5 25 \Leftrightarrow 3x-2=2 \Leftrightarrow 3x=4 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{4}{3}\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{4}{3}\).

Ta có

\begin{eqnarray*}9^{x-2}=243^{x+1} &\Leftrightarrow& 3^{2(x-2)} = 3^{5(x+1)}\\&\Leftrightarrow& 2(x-2)=5(x+1) \\&\Leftrightarrow& 2x-4=5x+5\\&\Leftrightarrow& -3x=9 \\&\Leftrightarrow& x=-3.\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=-3\).

\(\log_{\frac{1}{2}} (x+1)=-3 \Leftrightarrow x+1=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-3} \Leftrightarrow x+1=8 \Leftrightarrow x=7\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=7\).

Đưa vế phải về cơ số \(3\), ta có \(\displaystyle\frac{1}{3^{1-2x}}=3^{2x-1}\).

Từ đó phương trình trở thành \(3^{x+1}=3^{2x-1}\Leftrightarrow x+1=2x-1\Leftrightarrow x=2\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=2\).

Lấy lôgarit thập phân hai vế của phương trình ta được \(x-1=\log 7\) hay \(x=1+\log 7\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=1+\log 7\).

Ta có \(3^{x-1}=27\Leftrightarrow3^{x-1}=3^3\Leftrightarrow x-1=3\Leftrightarrow x=4\).

Ta có

\begin{eqnarray*}& & 100^{2x^2-3}=0{,}1^{2x^2-18}\\&\Leftrightarrow & 10^{2\left(2x^2-3\right)}=10^{-\left(2x^2-18\right)}\\&\Leftrightarrow & 4x^2-6=-2x^2+18\\&\Leftrightarrow & x^2=4\\ &\Leftrightarrow & x=2;\, x=-2.\end{eqnarray*}

Ta có \(\sqrt{3}\mathrm{e}^{3x}=1\Leftrightarrow \mathrm{e}^{3x}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow 3x=-\ln\sqrt{3}\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\sqrt{3}\).

Ta có

\begin{eqnarray*}& & 5^x=3^{2x-1}\\&\Leftrightarrow & \log_5 {5^x}=\log_5 {3^{2x-1}}\\&\Leftrightarrow & x=(2x-1)\log_5 3\\&\Leftrightarrow & \left(2\log_5 3-1\right)x=\log_5 3\\&\Leftrightarrow & x=\displaystyle\frac{\log_5 3}{2\log_5 3-1}\\&\Leftrightarrow & x=\log_{\tfrac{9}{5}} 3.\end{eqnarray*}

Ta có \(\left(2^x-2\right)\left(1-3^x\right)=0 \Leftrightarrow 2^x=2;\, 3^x=1 \Leftrightarrow x=1;\, x=0\).

Tổng lập phương các nghiệm bằng \(1\).

Ta có \(\left( \displaystyle\frac{1}{25}\right)^{x+1}=125^{2x} \Leftrightarrow 5^{-2x-2}=5^{6x} \Leftrightarrow -2x-2=6x\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{1}{4}\).

Phương trình tương đương với

\(\sqrt{2}^{x^2+2x-3}=\sqrt{2}^{4x}\Leftrightarrow x^2+2x-3=4x\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1;\, x=3.\)

\(2^{x^2-4x+2}=2^{x-4} \Leftrightarrow x^2-4x+2=x-4 \Leftrightarrow x^2-5x+6=0 \Leftrightarrow x_1=2;\, x_2=3.\)

Suy ra \(S=x_1^4+x_2^4=2^4+3^4=97\).

\(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x-x^2}=5^{6x-10}\Leftrightarrow 5^{x^2-x}=5^{6x-10}\)

\(\Leftrightarrow x^2-x=6x-10\Leftrightarrow x^2-7x+10=0\Leftrightarrow x=2;\,x=5\Rightarrow x_1+x_2=7\).

Phương trình tương đương với

\(7^{x+1}=7^{-x^2+2x+3}\Leftrightarrow x+1=-x^2+2x+3\Leftrightarrow x^2-x-2=0\Leftrightarrow x=-1;\, x=2.\)

Từ đó suy ra \(x_1^2+x_2^2=(-1)^2+2^2=5\).

\(2^{x^2+2x}=8^{2-x}\) \(\Leftrightarrow x^2+2x=3(2-x)\) \(\Leftrightarrow x=1;\,x=-6\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng \(-5\).

Ta có \(9^{x+1}=27^{2 x+1} \Leftrightarrow 9 \cdot 9^x = 27 \cdot 729^x \Leftrightarrow 81^x = \displaystyle\frac{1}{3} \Leftrightarrow x = -\displaystyle\frac{1}{4}.\)

Ta có \(2^{x-5}=2^{3-3x}\Leftrightarrow x-5=3-3x \Leftrightarrow x=2\).

Ta có \(\log_2(x^2-1)=3 \Leftrightarrow x^2-1=2^3\Leftrightarrow x=3;\,x=-3\).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(\lbrace -3; 3\rbrace\).

Với điều kiện \(x^2-7>0\) ta có

\(\log_3(x^2-7)=2 \Leftrightarrow x^2-7=9 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=4 \\ &x=-4.\end{aligned}\right.\)

So với điều kiện ta nhận cả 2 nghiệm.

Ta có \(\log_2(1-x)=2 \Leftrightarrow \begin{cases}1-x>0\\ 1-x=2^2\end{cases} \Leftrightarrow x=-3\).

Phương trình tương đương với \(x-1=10^2\Leftrightarrow x=101\).

Ta có \(\log_2(x-2)=1\Leftrightarrow x-2=2\Leftrightarrow x=4.\)

\(\log_5 (x+5)=2\Leftrightarrow x+5=25\Leftrightarrow x=20\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=20\).

\(\log_2(x-1)=2\Leftrightarrow x-1=4\Leftrightarrow x=5\).

Điều kiện: \(x > - 1\).

Phương trình \(\Leftrightarrow x + 1 = 4^3 = 64 \Leftrightarrow x = 63\).

Trong điều kiện \(x>\displaystyle\frac{2}{3}\), phương trình tương đương với \(3x-2=8\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{10}{3}\).

Ta có \(\log _3\left( 2x + 1 \right) = 3 \Leftrightarrow \begin{cases} x>-\displaystyle\frac{1}{2}\\ 2x + 1 = 27\end{cases} \Leftrightarrow x = 13\).

Ta có \(\log_{64}(x+1)=\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow x+1=64^{\frac{1}{2}}\Leftrightarrow x+1=8 \Leftrightarrow x=7\).

Ta có \(\log (x+1)=2\Leftrightarrow x+1=10^2\Leftrightarrow x=99\).

Điều kiện: \(x>2\).

\(\log _{\tfrac{1}{2}}(x-2)=-2\Leftrightarrow x-2=4\Leftrightarrow x=6\).

Điều kiện: \(x>0\).

\(\log_3 x=-2 \Leftrightarrow x=3^{-2}=\displaystyle\frac{1}{3^2}=\displaystyle\frac{1}{9}\).

Điều kiện \(x> -1\).

\(\log_6 (4x+4)=2\Leftrightarrow 4x+4=6^2\Leftrightarrow x=8\) (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=8\).

Ta có \(\log_2 x=5\Leftrightarrow x=2^5 \Leftrightarrow x=32\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=32\).

Ta có \(\log_4 (5x-4)=2 \Leftrightarrow 5x-4=4^2 \Leftrightarrow 5x=20 \Leftrightarrow x=4\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=4\).

Điều kiện \(2x>0\) hay \(x>0\).

Phương trình trở thành \(\log(2x)=4\).

Từ đó \(2x=10^4\) hay \(x=5000\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x=5000\).

Ta có \(\log 10^{100x}=250\Leftrightarrow 100x\cdot\log 10=250\Leftrightarrow 100x=250\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{5}{2}\in (2;+\infty).\)

\(\log_2(x-1)=5\Leftrightarrow x-1=2^5=32\Rightarrow x=33\).

Ta có \(\log_3(2x+1)=2\Leftrightarrow 2x+1=9\Leftrightarrow x=4\).

Ta có \(\log_3(2x+1)=2\Leftrightarrow 2x+1=3^2\Leftrightarrow x=4\).

Điều kiện \(x>1\).

Phương trình tương đương

\(x-1=2\Leftrightarrow x=3.\)

Ta có \(\log_4(x+1)=3\Leftrightarrow x+1=64\Leftrightarrow x=63\).

Điều kiện của phương trình là \(x>2\).

\(\log_2(x-2)=3\Leftrightarrow x-2=8\Leftrightarrow x=10\).

Điều kiện: \(x+1>0\) và \(x^2-1>0\), tức là \(x>1\).

Phương trình trở thành \(x+1=x^2-1\) hay \(x^2-x-2=0\).

Từ đó tìm được \(x=-1\) và \(x=2\), nhưng chỉ có nghiệm \(x=2\) thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=2\).

\(\log_5 (3x-5) =\log_5 (2x+1)\)

Điều kiện:

\(\begin{cases}3x-5>0\\2x+1>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>\displaystyle\frac{5}{3}\\x>-\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases} \Leftrightarrow x>\displaystyle\frac{5}{3}.\)

Phương trình đã cho \(\log_5 (3x-5) =\log_5 (2x+1)\)

\[\Leftrightarrow \begin{cases}x>\displaystyle\frac{5}{3}\\ 3x-5=2x+1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>\displaystyle\frac{5}{3}\\ x=6\end{cases} \Leftrightarrow x=6.\]

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=6\).

Phương trình

\(\log_{\frac{1}{7}}(x+9)=\log_{\frac{1}{7}}(2x-1)\Leftrightarrow \begin{cases}x+9>0\\x+9=2x-1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x>-9\\ x=10\end{cases} \Leftrightarrow x=10.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=10\).

Điều kiện xác định là

\(\begin{cases}3x-6>0\\ 2x-2>0\end{cases} \Leftrightarrow x>2.\)

Ta có:

\begin{eqnarray*}\log_8 (3x-6)=-\log_{\frac{1}{8}} (2x-2)& \Leftrightarrow &\begin{cases}x>2\\ \log_8 (3x-6)=\log_8 (2x-2)\end{cases}\\&\Leftrightarrow & \begin{cases}x>2\\3x-6=2x-2\end{cases} \Leftrightarrow x=4.\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có nghiệm \(x=4\).

Điều kiện \(x>2\).

\(\log_3 x-\log_3(x-2)=1\Leftrightarrow \log_3 \left[x(x-2)\right]=1\Leftrightarrow x^2-2x=3\Leftrightarrow x=-1 \text{ (loại)};\, x=3 \text{ (thỏa mãn).}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=3\).

Điều kiện: \(\begin{cases}x^2-3>0 \\ 2x>0\end{cases}\) (*)

Khi đó, phương trình đã cho trở thành \(x^2-3=2 x \Leftrightarrow x^2-3-2 x=0 \Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=3\).

Thay lần lượt hai giá trị này vào (*), ta thấy chỉ có \(x=3\) thoả mãn.

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=3\).

Điều kiện: \(\begin{cases}x>-6\\ x>-1\end{cases}\Leftrightarrow x>-1\).

\(\log _2(x+6)=\log _2(x+1)+1\Leftrightarrow \log _2(x+6)=\log _2(2x+2)\Leftrightarrow x+6=2x+2\Leftrightarrow x=4\).

Điều kiện: \(\begin{cases} x>0\\ x-3>0\end{cases}\Leftrightarrow x>3\).

Ta có

\begin{eqnarray*}& & 2 \log _4 x+\log _2(x-3)=2\\&\Leftrightarrow & 2 \log _{2^2} x+\log _2(x-3)=2\\&\Leftrightarrow & \log _2 x+\log _2(x-3)=2\\&\Leftrightarrow & \log _2x(x-3)=2\\&\Leftrightarrow & x^2-3x-4=0\\&\Leftrightarrow & x=4;\, x=-1.\end{eqnarray*}

Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm \(x=4\).

Điều kiện \(\begin{cases} x>0\\ x-1>0\end{cases}\Leftrightarrow x>1\).

Ta có

\begin{eqnarray*}& & \ln x+\ln (x-1)=\ln 4x\\&\Leftrightarrow & \ln x(x-1)=\ln 4x\\&\Leftrightarrow & x^2-x=4x\\&\Leftrightarrow & x^2-5x=0\\&\Leftrightarrow & x=5;\, x=0.\end{eqnarray*}

Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm \(x=5\).

Điều kiện \(\begin{cases} x^2-3x+2>0\\ 2x-4>0\end{cases}\Leftrightarrow x>2\).

Ta có

\begin{eqnarray*}& & \log _3\left(x^2-3x+2\right)=\log _3(2x-4)\\&\Leftrightarrow & x^2-3x+2=2x-4\\&\Leftrightarrow & x^2-5x+6=0\\&\Leftrightarrow & x=2;\, x=3.\end{eqnarray*}

Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm \(x=3\).

Điều kiện xác định \(\begin{cases}&x>0\\&x-3>0.\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&x>0\\&x>3\end{cases} \Leftrightarrow x>3\).

\begin{eqnarray*}& &\log _2x+\log _2(x-3)=2\\ &\Leftrightarrow &\log_2x(x-3)=2\\ &\Leftrightarrow &x(x-3)=2^2\\ &\Leftrightarrow &x^2-3x-4=0\\ &\Leftrightarrow & x=-1~(\text{loại vì}~x>3);\, x=4.\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có \(1\) nghiệm \(x=4\).

Ta có \(\log_{\sqrt{5}} \left|x + 1\right| = 2 \Leftrightarrow \left|x + 1\right| = 5 \Leftrightarrow x = 4;\, x = -6\).

Điều kiện: \(\begin{cases} x^4-5x^2+2x+7>0\\ x>-\displaystyle\frac{3}{2}\end{cases}\).

Với điều kiện trên, phương trình đã cho trở thành

\begin{align*}&\log \left(x^4-5x^2+2x+7\right)=\log(2x+3)\\\Leftrightarrow &\ x^4-5x^2+2x+7=2x+3\\\Leftrightarrow &\ x^4-5x^2+4=0\\\Leftrightarrow & x^2=1;\,x^2=4\\\Leftrightarrow & x=-1;\, x=1;\, x=-2 \quad \text{ (loại)};\,x=2.\end{align*}

Do đó, tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng \(2\).

Điều kiện xác định \(x>2\).

Ta có

\begin{eqnarray*}& & (x^2-5x+4)\log(x-2)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x^2-5x+4=0 \\& \log (x-2) = 0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x^2-5x+4=0 \\& x-2=1\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x=1 \\& x=4 \\& x=3.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Đối chiếu điều kiện xác định ta nhận \(x=3\), \(x=4\).

Điều kiện: \(x>\displaystyle\frac{1}{2}\). Ta có

\begin{eqnarray*}\log_2 x \cdot \log_3 (2x-1) = 2 \log_2 x \Leftrightarrow \log_2 x \left[\log_3(2x-1)-2 \right]=0 \Leftrightarrow \log_2 x =0;\, \log_3 \left(2x-1 \right)=2 \Leftrightarrow x=1;\, x=5.\end{eqnarray*}

Hai giá trị \(x=1\), \(x=5\) đều thỏa mãn điều kiện.

Ta có \begin{align*}\log _2^2 x - 2\log _2 x - 3 = 0 & \Leftrightarrow (\log _2 x + 1)(\log_2 x - 3) = 0\\ & \Leftrightarrow \log_2 x = -1;\, \log _2 x = 3\\ & \Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{1}{2};\, x = 8.\end{align*}

Điều kiện \(x>\displaystyle\frac{2}{3}\).

Với điều kiện trên phương trình tương đương với \(\log_{21}(3x^2-2x)=0 \Leftrightarrow 3x^2-2x-1=0 \Leftrightarrow x=1 \quad \text{(nhận)};\, x=-\displaystyle\frac{1}{3}\quad \text{(loại).}\)

Điều kiện \(\begin{cases}x>3\\x\neq 5.\end{cases}\)

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương

\begin{eqnarray*}&&\log_2(x-3)+\log_2|x-5|=0\\ &\Leftrightarrow &(x-3)|x-5|=1\\ &\Leftrightarrow &(x-3)(x-5)=1\text{, khi }x\in (5;+\infty);\, (x-3)(5-x)=1\text{, khi }x\in (3;5)\\ &\Leftrightarrow & x=4+\sqrt{2};\, x=4.\end{eqnarray*}

Điều kiện: \(x^2-2>0\Leftrightarrow x>\sqrt{{2}} ;\, x< -\sqrt{2}\).

Phương trình \(\ln \left(x^2+1\right)\cdot \ln \left(x^2-2\right)=0\Leftrightarrow \ln \left(x^2+1\right)=0;\, \ln\left(x^2-2\right)=0\Leftrightarrow x=0 ;\, x=\pm \sqrt{3}\).

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có hai nghiệm \(x=\pm \sqrt{3}\).

Điều kiện: \(\begin{cases}x^2-6 \geq 0 \\ x-2 \geq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x \geq \sqrt{6} ;\, x\leq -\sqrt{6} \\ x\geq 2\end{cases} \Leftrightarrow x\geq \sqrt{6}.\)

Phương trình đã cho tương đương với

\begin{eqnarray*}\log_3 (x^2-6) = \log_3 3(x-2) \Leftrightarrow x^2-6 =3(x-2) \Leftrightarrow x^2 -3x=0 \Leftrightarrow x=0 \text{ (loại)};\, x=3 \text{ (nhận).}\end{eqnarray*}

Điều kiện xác định \(\begin{cases}x-2>0\\ x^{2}-6>0\end{cases}\Leftrightarrow x>\sqrt{6}\).

Ta có \(\log_{3}(x^{2}-6)=\log_{3}(x-2)+1\Leftrightarrow x^{2}-6=3(x-2)\Leftrightarrow x=0\ (\mbox{loại});\, x=3\ (\mbox{thỏa mãn}).\)

Phương trình đã cho tương đương

\begin{eqnarray*}& & \log_{2}(x^3-2x^2-3x+4)=\log_2(x-1)\\ &\Leftrightarrow & \begin{cases}x-1>0\\x^3-2x^2-3x+4=x-1\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & \begin{cases}x>1\\(x-1)(x^2-x-5)=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow & \begin{cases} x>1\\ x=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}\end{cases} \, \Leftrightarrow \, x=\displaystyle\frac{1+\sqrt{21}}{2}.\end{eqnarray*}

Điều kiện xác định \(\begin{cases}x+1>0\\ x-3>0\end{cases}\Leftrightarrow x>3\).

Ta có \(\log_{4}(x+1)+\log_{4}(x-3)=3\Leftrightarrow (x+1)(x-3)=64\Leftrightarrow x^{2}-2x-67=0\Leftrightarrow x=1\pm 2\sqrt{17}\).

Kết hợp với điều kiện xác định ta có nghiệm của phương trình là \(x=1+2\sqrt{17}\).

Điều kiện \(x > -\displaystyle\frac{4}{3}\) và \(x \ne 0\).

\(\log_2x^2=2\log_2(3x+4)\Leftrightarrow x^2=(3x+4)^2\Leftrightarrow 8x^2+24x+16=0\Leftrightarrow x=-1\text{ (thỏa)};\, x=-2\text{ (loại).}\)

\(\log_3(x^2-x)=\log_3(2x-2)\Leftrightarrow \begin{cases}2x-2>0\\x^2-x=2x-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>1\\ x=1;\, x=2\end{cases}\Leftrightarrow x=2.\)

Vậy Giải phương trình đã cho là \(S=\{2\}\).

Điều kiện: \(x > 0\). Phương trình trở thành

\(\log\left[4(x + 2)^2\right] = \log(81x) \Rightarrow 4x^2 - 65x + 16 = 0 \Leftrightarrow x = 16 = x_2 ;\,x = \displaystyle\frac{1}{4} = x_1.\)

Vậy \(P = \displaystyle\frac{x_1}{x_2} = \displaystyle\frac{1}{64}\).

Điều kiện \(x\in \left(-2;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).

Xét phương trình \(\log_3\left(x+2\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\log_{\sqrt{3}}\left(3-2x\right)-1=0\quad(*)\).

\begin{eqnarray*}(*)&\Leftrightarrow &\log_3(x+2)+\log_3(3-2x)=1\\ &\Leftrightarrow &\log_3\left[(x+2)(3-2x)\right]=1\\ &\Leftrightarrow &(x+2)(3-2x)=3\\ &\Leftrightarrow &-2x^2-x+3=0\\ &\Leftrightarrow & x=1\\ &x=-\displaystyle\frac{3}{2}.\end{eqnarray*}

Vậy \(x_1=-\displaystyle\frac{3}{2};x_2=1 \Rightarrow A=2x_1+3x_2=0\).

Điều kiện \(x>1.\)

Phương trình \(\Leftrightarrow \log_2\left[x(x-1)\right]=2\Leftrightarrow x(x-1)=2^2\Leftrightarrow x^2-x-4=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1+\sqrt{17}}{2}\quad (\text{thỏa mãn});\, x=\displaystyle\frac{1-\sqrt{17}}{2}\quad (\text{loại}).\)

Điều kiện \(\begin{cases}x>0\\x-6>0\end{cases}\Leftrightarrow x>6\).

Phương trình đã cho tương đương với

\begin{eqnarray*}& & \log_3 x+\log_3 (x-6)=3\\ & \Leftrightarrow & \log_3 x(x-6)=3\\& \Leftrightarrow & x(x-6)=27\Leftrightarrow x=9\text{ (nhận)};\, x=-3\text{ (loại).}\end{eqnarray*}

Phương trình đã cho tương đương

\begin{align*}\begin{cases}x>3\\ \log_2\left[x(x-3)\right]=\log_2 4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>3\\ x^2-3x=4\end{cases}\Leftrightarrow x=4.\end{align*}

Vậy phương trình đã cho có đúng một nghiệm.

Điều kiện \(3 < x < 5\).

\begin{eqnarray*}&&\displaystyle\frac{1}{3} \log_2 (5 - x) + 2\log_8 \sqrt{3 - x} = 1\\&\Leftrightarrow & \log_2 (5 - x) + \log_2 (3 - x) = 3\\&\Leftrightarrow & \log_2 (5 - x)(3 - x) = 3\\&\Leftrightarrow & (5 - x)(3 - x) = 8\\&\Leftrightarrow & x^2 - 8x + 7 = 0\\ &\Leftrightarrow & x= 1 \text{ (thỏa mãn)};\, x= 7 \text{ (loại).}\end{eqnarray*}

Vậy phương trình đã cho có \(1\) nghiệm.

Điều kiện \(x \ge 3\). Phương trình đã cho tương đương với

\(\log_{2}\left[(x-3)(x-1)\right]=3 \Leftrightarrow x^2-4x-5 =0 \Leftrightarrow x=-1 \text{ (loại)}; \, x=5.\)

Phương trình có nghiệm \(x=5\).

Điều kiện \(-3< x< 5,x\ne 0\). Khi đó phương trình tương đương

\begin{eqnarray*}\log_2 |x|+\log_2 (5-x)-\log_2(x+3)=0&\Leftrightarrow& \log_2 \displaystyle\frac{|x|(5-x)}{x+3}=0 \\&\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{|x|(5-x)}{x+3}=1 \\&\Leftrightarrow& \begin{cases}0< x< 5\\x(5-x)=x+3\end{cases} \vee \begin{cases}-3< x< 0\\-x(5-x)=x+3\end{cases} \\&\Leftrightarrow& \begin{cases}0< x< 5\\-x^2+4x-3=0\end{cases} \vee \begin{cases}-3< x< 0\\x^2-6x-3=0\end{cases} \\&\Leftrightarrow& x=1 \vee x=3 \vee x=3-2\sqrt{3}.\end{eqnarray*}

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \(7-2\sqrt{3}\).

Điều kiện \(\begin{cases} x \ne 0 \\ x+3>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x \ne 0 \\ x >-3\end{cases}\Leftrightarrow -3< x \ne 0\)

Ta có phương trình đã cho tương đương với

\(\begin{aligned}& \log_2\left(x+3\right)+\log_4\left(x^2\right)=2\\\Leftrightarrow& \log_2\left(x+3\right)+\log_2 |x|=2. \qquad (1) \end{aligned}\)

Với \(-3< x< 0\), ta có

\(\begin{aligned}(1)&\Leftrightarrow \log_2\left(x+3\right)+\log_2\left(-x\right)=2\\&\Leftrightarrow \log_2\left[-x\left(x+3\right)\right]=2\Leftrightarrow -x^2-3x=4 \quad\text{ (pt vô nghiệm)}\end{aligned}\)

Với \(x>0\), ta có

\(\begin{aligned}(1)&\Leftrightarrow \log_2\left(x+3\right)+\log_2\left(x\right)=2\\&\Leftrightarrow \log_2\left[x\left(x+3\right)\right]=2\Leftrightarrow x^2+3x=4 \\&\Leftrightarrow x=1 ;\, x=-4 \text{ (loại)}.\end{aligned}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=1\).

Điều kiện: \(\begin{cases}x^2+4x>0\\2x+3>0\end{cases} \Rightarrow x>0.\)

Với điều kiện trên, phương trình tương đương với

\begin{align*}&\log_3(x^2+4x)-\log_3(2x+3)=0 \Leftrightarrow \log_3(x^2+4x)=\log_3(2x+3)\\ \Leftrightarrow &x^2+4x=2x+3 \Leftrightarrow x^2+2x-3=0 \Leftrightarrow x=1\ \text{(nhận)};\,x=-3\ \text{(loại)}.\end{align*}

Vậy phương trình đã cho có đúng \(1\) nghiệm \(x=1\).

Điều kiện \(\begin{cases} x \neq 3 \\ x > 2.\end{cases}\) \((*)\)

Với điều kiện \((*)\), ta có

\begin{eqnarray*}&& 2 \log_2 (2x -2) + \log_2 (x - 3)^2 = 2 \\& \Leftrightarrow & \left [ 2(x-1) \right ]^2 \cdot (x-3)^2 = 4\\& \Leftrightarrow & x^2 - 4x + 2 = 0;\, x^2 - 4x + 4 = 0\\& \Leftrightarrow & x = 2 - \sqrt{2}\ \ (\text{loại}) ;\, x = 2 + \sqrt{2} ;\, x = 2.\end{eqnarray*}

Vậy tổng các phần tử của tập \(S\) bằng \(4 + \sqrt{2}\).

}

Ta có \(3^{2x-1}>27 \Leftrightarrow 2x-1>3 \Leftrightarrow x>2\).

Ta có \(2^{x+1} > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x-1}< 25 \Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x-1}< \left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{-2}\Leftrightarrow x-1 > -2\Leftrightarrow x>-1.\)

Ta có \(4-2^{2x-1}\ge0\Leftrightarrow 2^{2x-1}\le4\Leftrightarrow2x-1\le2\Leftrightarrow x\le\displaystyle\frac{3}{2}.\)

Ta có \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^x< 4\Leftrightarrow x>\log_{\frac{1}{2}}4=-2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((-2;+\infty)\).

Ta có:

\(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^x>9\Leftrightarrow x< \log_{\frac{1}{3}}9\Leftrightarrow x< -2\).

Xét bất phương trình \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{x} \ge 2 \Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{x} \ge \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-1} \Leftrightarrow x \le - 1 \Rightarrow\) tập nghiệm \(S = \left(-\infty;-1\right]\).

Ta có \(\left(\sqrt{2}\right)^{x^2-2x} \leq \left(\sqrt{2}\right)^3 \Leftrightarrow x^2 - 2x \leq 3 \Leftrightarrow x^2 - 2x -3 \leq 0 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 3\).

\(3^x< 2\Leftrightarrow x< \log_32.\)

Ta có \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{x^2 + 4x} > \displaystyle\frac{1}{32}\Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{x^2 + 4x} >\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^5 \Leftrightarrow x^2 + 4x < 5 \Leftrightarrow -5< x< 1\Rightarrow \begin{cases}a=-5\\b=1\end{cases}.\)

Do đó \(b-a=6.\)

Do \(\displaystyle\frac{1}{3} < 1\) nên bất phương trình tương đương \(2x-1 \leq 1 \Leftrightarrow x \leq 1\).

Bất phương trình tương đương với \(2^{2x}< 2^{x+1}\Leftrightarrow 2x< x+1\Leftrightarrow x< 1\).

Do đó, bất phương trình có tập nghiệm là \(S=(-\infty;1)\).

\(2^x>7\Leftrightarrow x>\log_27\).

Ta có

\begin{equation*}3^{2x-1}>243 \Leftrightarrow 3^{2x-1} > 3^5 \Leftrightarrow 2x-1 > 5 \Leftrightarrow x > 3.\end{equation*}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = (3;+\infty)\).

\[ 2^{x^{2}-5x+6}< 1\Leftrightarrow x^{2}-5x+6< 0\Leftrightarrow 2< x< 3. \]

Ta có \(3^{x - 1} > 27 \Leftrightarrow 3^{x - 1} > 3^3 \Leftrightarrow x - 1 > 3 \Leftrightarrow x > 4.\)

Suy ra, tập nghiệm \(S\) của bất phương trình đã cho là \(S = (4; +\infty)\).

\(7^x< 14\Leftrightarrow x< \log_714\).

\(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{x^2+4x}>\displaystyle\frac{1}{32}\Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{x^2+4x}>\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^5 \Leftrightarrow x^2+4x< 5 \Leftrightarrow x^2+4x-5< 0 \Leftrightarrow x>1;\, x< -5.\)

Ta có

\(\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^x > \displaystyle\frac{3}{4} \Leftrightarrow \left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^x >\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \Leftrightarrow x< 2\).

Điều kiện \(x \ne 0\). Bất phương trình tương đương với

\(\left(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{\frac{2}{x}} \le \left(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{\frac{3}{2}} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2}{x} \ge \displaystyle\frac{3}{2} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{4 - 3x}{2x} \Leftrightarrow 0 < x \le \displaystyle\frac{4}{3}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[0;\displaystyle\frac{4}{3}\right)\).

\(5^x< 3\Leftrightarrow x< \log_53\).

Ta có: \(2^{\sqrt{x}}< 2 \Leftrightarrow \begin{cases}x\geqslant 0 \\\sqrt{x}< 1\end{cases} \Leftrightarrow 0\leqslant x< 1\).

\(5^x< 2\Leftrightarrow x< \log_52\).

\(10^x< 0{,}001 \Leftrightarrow 10^x< 10^{-3} \Leftrightarrow x< -3\) (do \(10>1\) ).

\(0{,}4^x>2 \Leftrightarrow x< \log _{0{,}4} 2\) (do \(0< 0{,}4< 1)\).

\begin{eqnarray*}&&\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^x \geq 2 \cdot 4^{2 x}\Leftrightarrow\left(2^{-1}\right)^x \geq 2 \cdot\left(2^2\right)^{2 x} \Leftrightarrow 2^x \geq 2^{1+4 x}\\ &\Leftrightarrow&-x \geq 1+4 x \Leftrightarrow 5 x \leq-1 \Leftrightarrow x \leq-\displaystyle\frac{1}{5}.\end{eqnarray*}

\(2^x>16\Leftrightarrow x>4\).

\(0{,}1^x \leqslant 0{,}001\Leftrightarrow 0{,}1^x \leqslant 0{,}1^3\Leftrightarrow x\geqslant 3\).

\(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x-2} \geqslant \left(\displaystyle\frac{1}{25}\right)^x\Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x-2}\geqslant \left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{2x}\Leftrightarrow x-2\leqslant 2x\Leftrightarrow x\geqslant -2\).

\(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{2x+1} \leqslant 9\Leftrightarrow 2x+1\geqslant -2\Leftrightarrow x\geqslant -\displaystyle\frac{3}{2}\).

\(4^x>2^{x-2}\Leftrightarrow 2^{2x}>2^{x-2}\Leftrightarrow 2x>x-2\Leftrightarrow x>-2\).

Ta có:

\(5^x>12\Leftrightarrow x>\log_5 12\).

Vậy Giải bất phương trình là \((\log_5 12;+\infty)\).

Ta có:

\((0{,}3)^{x+1}>1{,}7 \Leftrightarrow x+1< \log_{0{,}3} 1{,}7 \Leftrightarrow x< -1+\log_{0{,}3} 1{,}7\).

Vậy Giải bất phương trình là \((-\infty;-1+\log_{0{,}3} 1{,}7)\).

Ta có

\(3^x>\displaystyle\frac{1}{243} \Leftrightarrow x>\log_3 \displaystyle\frac{1}{243} \Leftrightarrow x>-5\).

Vậy Giải bất phương trình là \((-5;+\infty)\).

\(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{3x-7}\leq \displaystyle\frac{3}{2}\Leftrightarrow3x-7\geq\log_{\frac{2}{3}}\displaystyle\frac{3}{2}\Leftrightarrow 3x\geq 6\Leftrightarrow x\geq 2\).

Vậy Giải bất phương trình là \([2;+\infty)\).

\(4^{x+3}\geq 32^x \Leftrightarrow 2^{2(x+3} \geq 2^{5x} \Leftrightarrow 2(x+3)\geq 5x \Leftrightarrow -3x \geq -6 \Leftrightarrow x\leq 2\).

Vậy Giải bất phương trình là \((-\infty;2]\).

Ta có \(16^{x}>\displaystyle\frac{1}{8}\Leftrightarrow 2^{4x}>2^{-3}\Leftrightarrow 4x>-3\Leftrightarrow x>-\displaystyle\frac{3}{4}\).

Ta có \(0{,}1^{2-x}>0{,}1^{4+2x}\Leftrightarrow 2-x< 4+2x\Leftrightarrow -3x< 2\Leftrightarrow x>-\displaystyle\frac{3}{2}\).

Ta có \(2\cdot 5^{2x+1}\leq 3\Leftrightarrow 5^{2x+1}\leq \displaystyle\frac{3}{2}\Leftrightarrow 2x+1\leq \log_5 {\displaystyle\frac{3}{2}}\Leftrightarrow x\leq \displaystyle\frac{1}{2}\left(\log_5 {\displaystyle\frac{3}{2}}-1\right)\).

Ta có \(3^{2x}>3^{x+4} \Leftrightarrow 2x > x+4 \Leftrightarrow x >4\).

\(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{4x}\le \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2-x} \Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{-4x}\le \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2-x}\Leftrightarrow -4x\le 2-x\Leftrightarrow x\ge -\displaystyle\frac{2}{3}.\)

Ta có \(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{3x}>\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{2x + 6} \Leftrightarrow 3x < 2x+6 \Leftrightarrow x < 6\).

\(\mathrm{e}^{2x}< \mathrm{e}^{x+6} \Leftrightarrow 2x < x+6 \Leftrightarrow x< 6.\)

Ta có \(\pi^{3x}\geq\pi^{x-4}\Leftrightarrow 3x\geq x-4\Leftrightarrow x\geq -2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left[-2;+\infty\right)\).

\(2^{x^2}< 2^{6-x}\Leftrightarrow x^2< 6-x\Leftrightarrow x^2+x-6< 0\Leftrightarrow -3< x< 2\).

\(3^{3x} \leq 3^{x+2} \Leftrightarrow 3x \leq x+2 \Leftrightarrow x \leq 1\).

Ta có \(2^{2x}< 2^{x+4} \Leftrightarrow 2x< x+4 \Leftrightarrow x< 4\).

Bất phương trình đã cho tương đương với

\(\left( \displaystyle\frac{2}{3} \right)^{x} > \displaystyle\frac{9}{2} \Leftrightarrow x < \log_{\frac{2}{3}} \displaystyle\frac{9}{2}.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( -\infty; \log_{\frac{2}{3}} \displaystyle\frac{9}{2}\right)\).

\(3^{2x} >3^{x+2} \Leftrightarrow 2x>x+2 \Leftrightarrow x>2.\)

Ta có \(3^{2x}>3^{x+6}\Leftrightarrow 2x>x+6 \Leftrightarrow x>6\).

Tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=(6;+\infty)\).

Ta có

\(3^{2x + 1} > \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{- 3x^2}\Leftrightarrow 3^{2x + 1} > 3^{3x^2}\Leftrightarrow 2x + 1 > 3x^2\Leftrightarrow 3x^2 - 2x - 1 < 0\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{3} < x < 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left(- \displaystyle\frac{1}{3}; 1\right)\).

Ta có \(3^{-3x} > 3^{-x+2} \Leftrightarrow-3x >-x+2 \Leftrightarrow 2x < -2 \Leftrightarrow x < -1\).

Bất phương trình đã cho tương đương

\begin{align*}5^{\tfrac{x-1}{3}}< 5^{x+3} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x-1}{3}< x+3 \Leftrightarrow x>-5.\end{align*}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \((-5;+\infty)\).

Ta có \(2^{x^2}< 2^{6-x} \Leftrightarrow x^2< 6-x \Leftrightarrow x^2 + x - 6 < 0 \Leftrightarrow -3 < x < 2\).

Ta có \(\left(0,5\right)^3< \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{3x}\) \(\Leftrightarrow 3x< 3\Leftrightarrow x< 1\).

Vậy tập nghiệm là \((-\infty;1)\).

\(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{2x}>\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x+3} \Leftrightarrow 2x< x+3 \Leftrightarrow x< 3.\)

Ta có \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^x > 2^{2x + 1} \Leftrightarrow -x > 2x + 1 \Leftrightarrow x < -\displaystyle\frac{1}{3}\).

Ta có \(4^x>2^{x+8} \Leftrightarrow 2^{2x}>2^{x+8} \Leftrightarrow 2x>x+8 \Leftrightarrow x>8\).

\(\left(\sqrt[3]{5}\right)^{x-1}< 5^{x+3}\Leftrightarrow 5^{\frac{x-1}{3}}< 5^{x+3}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x-1}{3}< x+3\Leftrightarrow x>-5.\)

Bất phương trình tương đương với

\(3^{x^2-6x-16}< 3^{2x+4} \Leftrightarrow x^2-6x-16< 2x+4 \Leftrightarrow x^2-8x-20< 0 \Leftrightarrow -2< x< 10.\)

Số nghiệm nguyên trên khoảng \((-2;10)\) là \(11\) nghiệm.

Bất phương trình đã cho tương đương với

\(\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^{-2x+1} \le \left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^{-2+x} \Leftrightarrow 1-2x \le -2+x \Leftrightarrow x\ge 1. \)

Điều kiện: \(x>0\).

Phương trình đã cho tương đương với \(x< 1\).

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm \(0< x< 1\).

Điều kiện xác định: \(2x+1 >0 \Leftrightarrow x> -\displaystyle\frac{1}{2}\).

Bất phương trình đã cho tương đương với \(2x+1 \leq 2 \Leftrightarrow x \leq \displaystyle\frac{1}{2}\).

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2}; \displaystyle\frac{1}{2}\right]\).

Điều kiện xác định \(x>0\).

Ta có \(\log_{\frac{1}{2}}x>0\Leftrightarrow x< 1\).

Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S= (0;1)\).

Điều kiện: \(x-2>0\Leftrightarrow x>2.\)

Vì \(3>1\) nên \(\log_3 (x-2) \geqslant 2 \Leftrightarrow x-2 \geqslant 3^2 \Leftrightarrow x \geqslant 11\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \([11;+\infty)\).

\(\log_3(2x-3)>2\Leftrightarrow \begin{cases}2x-3>0\\2x-3>3^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>\displaystyle\frac{3}{2}\\x>6\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x>6\).

Bất phương trình \(\log_2{(x+2)} \leq 0 \Leftrightarrow 0< x+2 \leq 1\Leftrightarrow -2< x \leq-1\).

Bất phương trình tương đương

\(0< x-3\le \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-1}\Leftrightarrow 3< x\le 5.\)

Ta có \(\log (x+1) < 0 \Leftrightarrow 0< x+1< 1 \Leftrightarrow -1< x< 0\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((-1;0)\).

Ta có \(\log _{\frac{1}{2}}(x-3)\geqslant 2 \Leftrightarrow 0 < x- 3 \le \displaystyle\frac{1}{4} \Leftrightarrow 3 < x \le \displaystyle\frac{13}{4}.\)

\(\log_2(x+1)\leq 3\Leftrightarrow\begin{cases}x+1>0\\x+1\leq 2^3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x>-1\\x\leq 7\end{cases}\Leftrightarrow -1< x\leq 7\).

Ta có \(\log_{\frac{1}{3}} \displaystyle\frac{1-2x}{x}>0 \Leftrightarrow \begin{cases} \displaystyle\frac{1-2x}{x} >0 \\ \displaystyle\frac{1-2x}{x}< 1\end{cases} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{3}< x< \displaystyle\frac{1}{2}\).

\(\log_2(x+5)< 3\Leftrightarrow 0< x+5< 8\Leftrightarrow x\in (-5;3)\).

Điều kiện: \(\displaystyle\frac{4x+6}{x}>0 \Leftrightarrow x< -\displaystyle\frac{3}{2};\, x>0.\)

\(\log_3 \displaystyle\frac{4x+6}{x} \le 0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{4x+6}{x}\le 1\Leftrightarrow \displaystyle\frac{3x+6}{x} \le 0\Leftrightarrow -2\le x< 0.\)

Kết hợp với điều kiện ta có \(S=\left[-2; - \displaystyle\frac{3}{2} \right)\).

Ta có \(\log_2(3x-1)>3\Leftrightarrow 3x-1>2^3\Leftrightarrow x>3\).

Ta có \[\log_{0{,}3} x > \log_{0{,}3} 3 \Leftrightarrow 0< x< 3.\]

Ta có \(\log_2{x}< 1\) \(\Leftrightarrow\) \(0< x< 2\).

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là \(1\).

}

\(\log_2(2x-1)< 1\Leftrightarrow 0< 2x-1< 2\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}< x< \displaystyle\frac{3}{2}\).

\(\log (x-1)< 0 \Leftrightarrow \begin{cases}x-1>0\\x-1< 10^0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x>1\\x< 2\end{cases} \Leftrightarrow 1< x< 2\).

Vậy Giải bất phương trình là \((1;2)\).

Ta có

\(\log_{\frac{1}{2}}x>-2 \Leftrightarrow 0< x< \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-2} \Leftrightarrow 0< x< 2^2 \Leftrightarrow 0< x< 4\).

Vậy Giải bất phương trình là \((0;4)\).

\(\log_2(x+1)>3 \Leftrightarrow x+1>2^3 \Leftrightarrow x>7\).

Vậy Giải bất phương trình là \((7;+\infty)\).

Điều kiện \(x>2\).

\(\log_2(x-2)< 2\Leftrightarrow x-2< 4\Leftrightarrow x< 6.\)

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là \(2< x< 6\).

Điều kiện: \(x>-1\).

\(\log _{\tfrac{1}{3}}(x+1)< 2\Leftrightarrow x+1>\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\Leftrightarrow x>-\displaystyle\frac{8}{9}\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x>-\displaystyle\frac{8}{9}\)

Điều kiện \(x>-2\).

\(\log _5(x+2) \leq 1\Leftrightarrow x+2\le 5\Leftrightarrow x\le 3\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(-2< x\le 3\).

Điều kiện: \(2 x-1>0 \Leftrightarrow x>\displaystyle\frac{1}{2}\).

Khi đó, do cơ số \(2>1\) nên bất phương trình đã cho trở thành

\(2 x-1 \leq 2^{1} \Leftrightarrow 2 x \leqslant 3 \Leftrightarrow x \leqslant \displaystyle\frac{3}{2}.\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(\displaystyle\frac{1}{2}< x \leqslant \displaystyle\frac{3}{2}\).

Điều kiện xác định của bất phương trình là \(\begin{cases}2x-1>0\\ x+5>0\end{cases} \Leftrightarrow x>\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có \(\log_2 (2x-1) < \log_2(x+5) \Leftrightarrow 2x-1< x+5 \Leftrightarrow x< 6\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};6\right)\).

Điều kiện xác định: \(x>0\).

Bất phương trình \(\Leftrightarrow 2x< x+6\Leftrightarrow x< 6\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((0;6)\).

Điều kiện \(3x-5>0\Leftrightarrow x>\displaystyle\frac{5}{3}.\) Khi đó \(\log_{\tfrac{1}{5}}(3x-5)>\log_{\tfrac{1}{5}}(x+1)\Leftrightarrow 3x-5< x+1\Leftrightarrow x< 3.\)

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left(\displaystyle\frac{5}{3};3\right)\).

Ta có

\begin{eqnarray*}& & \log_{\frac{\mathrm{e}}{3}}2x< \log_{\frac{\mathrm{e}}{3}}(9-x)\\& \Leftrightarrow & 0< 9-x< 2x\\& \Leftrightarrow & 3< x< 9.\end{eqnarray*}

Vậy \(S=(3;9)\).

Điều kiện: \(0< x< \displaystyle\frac{1}{3}\).

Bất phương trình đã cho tương đương với \(1-\log_{\tfrac{1}{2}} x< 0 \Leftrightarrow 0< x< \displaystyle\frac{1}{2}\).

Kết hợp điều kiện, suy ra bất phương trình có nghiệm \(0< x< \displaystyle\frac{1}{3}\).

Điều kiện: \(x>0\).

Bất phương trình đã cho tương đương với \(3x< 2x+7\Leftrightarrow x< 7\).

So với điều kiện, ta có \(x \in (0;7)\).

Điều kiện: \(\begin{cases}2^x\le 4 \\x+1>0\end{cases}\Leftrightarrow -1< x\le 2\).

Nếu \(x=2\), bất phương trình đúng.

Nếu \(x\ne 2\), khi đó \(\sqrt{4-x^2}>0\) thì bất phương trình tương đương với:

\(\log_{2} \left(x+1\right)\ge 0\Leftrightarrow x+1\ge 1\Leftrightarrow x\ge 0.\)

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm \(0\le x< 2\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(0\le x\le 2\).

Điều kiện xác định:

\begin{align*}& \begin{cases}2x+5>0 \\ x-1>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>-\displaystyle\frac{5}{2}\\ x>1\end{cases}\Leftrightarrow x>1.\end{align*}

Bất phương trình

\begin{eqnarray*}&\log_2(2x+5)>\log_2(x-1)\\&\Leftrightarrow 2x+5>x-1\\&\Leftrightarrow x>-6\end{eqnarray*}

So sánh điều kiện suy ra: \(S=(1;+\infty)\).

Vậy trong tập \(S\) có \(8\) phần tử là số nguyên dương bé hơn \(10\).

Bất phương trình đã cho tương đương

\begin{align*}\begin{cases}3x-2>0\\ 22-5x\ne 0\\ 3x-2< |22-5x|\end{cases} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2}{3}< x< 3;\,x>10.\end{align*}

Vậy phương trình đã cho có nhiều hơn \(10\) nghiệm nguyên.

Điều kiện: \(x\in (-\infty; -1) \cup (0;2)\).

\begin{eqnarray*}&&\log_{0,8}\left(x^2+x\right)< \log_{0,8}\left(-2x+4\right)\\ &\Leftrightarrow & x^2+x>-2x+4 \Leftrightarrow x^2+3x-4>0\\ &\Leftrightarrow & x \in (-\infty; -4) \cup (1;+\infty)\end{eqnarray*}

Kết hợp với điều kiện ta được \(S=\left(-\infty;-4\right)\cup \left(1;2\right)\).

Ta có

\begin{eqnarray*}& & \log_2(2x+1) \geq\log_2(x-1)\Leftrightarrow\begin{cases}x-1 > 0\\ 2x+1\geq x-1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x>1\\ x \geq -2\end{cases}\Leftrightarrow x>1.\end{eqnarray*}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = (1;+\infty)\).

Ta có

\(\log_{\tfrac{1}{2}}\left(2x - 1\right)\geq \log_{\tfrac{1}{2}}\left(5 - x\right)\Leftrightarrow \begin{cases}2x - 1 > 0\\2x - 1 \leq 5 - x\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x > \displaystyle\frac{1}{2}\\ x\leq 2\end{cases}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2} < x\leq 2.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left(\displaystyle\frac{1}{2}; 2\right]\).

Điều kiện xác định \(x >0\). Bất phương trình viết lại \(\log_6 x + 8 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \log_6 x \le 10 \Leftrightarrow \log_6 x \le 2 \Leftrightarrow x \le 36\). Kết hợp với điều kiện xác định, bất phương trình có tập nghiệm là \(S=(0;36]\).

Điều kiện xác định: \(\displaystyle\frac{2}{3} < x < \displaystyle\frac{6}{5}.\)

Bất phương trình đã cho tương đương với \(3x-2 > 6-5x \Leftrightarrow 8x >8 \Leftrightarrow x>1.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( 1; \displaystyle\frac{6}{5} \right).\)

Do đó \(a=1\) và \(b=\displaystyle\frac{6}{5}\), nên \(ab=\displaystyle\frac{6}{5}\).

Điều kiện xác định \(\begin{cases}3x-2>0\\ 6-5x>0\end{cases}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{2}{3}< x< \displaystyle\frac{6}{5}\).

Ta có \(\log_{2}(3x-2)>\log_{2}(6-5x)\Leftrightarrow 3x-2>6-5x\Leftrightarrow x>1\).

Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(\left(1;\displaystyle\frac{6}{5} \right)\Rightarrow S=\displaystyle\frac{11}{5}\).

Điều kiện xác định: \(\begin{cases}2x>0 \\ x+1>0\end{cases} \Leftrightarrow x>0\).

\(\log_2(2x) < \log_2(x + 1) \Leftrightarrow 2x< x+1 \Leftrightarrow x< 1.\)

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm \(S=(0;1)\).

Bất phương trình tương đương với

\(\begin{cases}3x+1>0\\ x+7>0\\ 3x+1< x+7\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}3x+1>0\\ 2x< 6\end{cases}\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{3}< x< 3.\)

Do \(x\) nguyên nên \(x\in\{0;1;2\}\).

Điều kiện \(x>1\).

Với điều kiện trên, phương trình tương đương với

\(\log_3 (x-1)+\log_3(x+1)>1 \Leftrightarrow \log_3(x^2-1)>1 \Leftrightarrow x^2>4 \Leftrightarrow x\in (-\infty;-2)\cup (2;+\infty).\)

So với điều kiện thì tập nghiệm phương trình là \((2;+\infty)\).

Ta có

\(\log_{2}(3x-1)< \log_{2}(x+1)\Leftrightarrow\begin{cases}3x-1>0\\3x-1< x+1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>\displaystyle\frac{1}{3}\\x< 1\end{cases}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{3}< x< 1.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S=\left( \displaystyle\frac{1}{3};1\right).\)

Ta có

\(\log _{\tfrac{1}{2}}\left(\log _2(x^2-1)\right)\le -1 \Leftrightarrow \log _2(x^2-1)\ge 2 \Leftrightarrow x^2-1\ge 4 \Leftrightarrow x^2\ge 5 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x\ge \sqrt{5} \\&x\le -\sqrt{5}.\end{aligned}\right.\)

Vậy \(S=\left(-\infty;-\sqrt{5}\right]\cup \left[\sqrt{5};+\infty \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.

Bất phương trình tương đương với \(\begin{cases}x> 0\\ x< 2\end{cases}\Leftrightarrow 0< x< 2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((0;2)\).

\(\log_2 (x+1)< \log_2 (3-x) \Leftrightarrow \begin{cases}x+1< 3-x\\x+1>0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x< 1\\x>-1\end{cases} \Leftrightarrow -1< x< 1\).

\(\log_{\tfrac{1}{2}}(x-3)\geq\log_{\tfrac{1}{2}}4\Leftrightarrow \begin{cases}x-3>0\\x-3\le 4\end{cases}\Leftrightarrow 3< x\le 7\).

Điều kiện: \(x > \displaystyle\frac{3}{4}\), với điều kiện trên, bất phương trình

\(\Leftrightarrow \log_3 \left(4x - 3\right)^2 \le \log_3 \left(18x + 27\right) \Leftrightarrow 16x^2 - 24x + 9 \le 18x + 27 \Leftrightarrow 16x^2 - 42x - 19 \le 0\)

\(\Leftrightarrow x \in \left[- \displaystyle\frac{3}{8};3\right]\). Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left(\displaystyle\frac{3}{4};3\right]\).

Điều kiện \(\begin{cases}2x>0\\ 9-x>0\end{cases}\Leftrightarrow 0< x< 9\).

Ta có

\(\log_22x>\log_2(9-x)\Leftrightarrow 2x>9-x\Leftrightarrow 3x>9\Leftrightarrow x>3\).

Kết hợp với điều kiện ta có \(3< x< 9\).

Điều kiện \(\begin{cases}3x-2>0\\ 6-5x>0\end{cases}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{2}{3}< x< \displaystyle\frac{6}{5}\).

Bất phương trình tương đương với \(3x-2>6-5x\Leftrightarrow 8x>8\Leftrightarrow x>1\).

Kết hợp với điều kiện ta có \(1< x< \displaystyle\frac{6}{5}\).

Vậy \(S=a+b=\displaystyle\frac{11}{5}\).

Ta có \(\log_{0,4}\left(4x+11\right)< \log_{0,4}\left(x^2+6x+8\right)\Leftrightarrow \begin{cases}4x+11>x^2+6x+8\\ x^2+6x+8>0\end{cases}\Leftrightarrow -2< x< 1\).

Điều kiện \(\begin{cases}4x-3>0\\2x+3>0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x>\displaystyle\frac{3}{4}\\x>-\displaystyle\frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow x>\displaystyle\frac{3}{4}\).

Ta có

\begin{align*}2\log_3(4x-3)+\log_{\tfrac{1}{3}}(2x+3)\le2&\Leftrightarrow \log_3(4x-3)^2\le\log_3 9(2x+3)\\&\Leftrightarrow (4x-3)^2\le 9(2x+3)\\&\Leftrightarrow 16x^2-42x-18\le0\\&\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{3}{8}\le x\le 3\end{align*}

So với điều kiện, ngiệm bất phương trình \(\displaystyle\frac{3}{4}< x\le 3\).

Suy ra các nghiệm nguyên của bất phương trình là \(x =1\), \(x=2\), \(x = 3\). Do đó, \(1+2+3=6\).

Điều kiện của bất phương trình là \(x>\displaystyle\frac{5}{2}\). Khi đó

\begin{eqnarray*}\log_4(2x-5)-\log_2\left(x-\displaystyle\frac{3}{2}\right)< 1&\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{1}{2}\log_2\left(2x-5\right)-\log_2\displaystyle\frac{2x-3}{2}< 1\\ &\Leftrightarrow&\displaystyle\frac{1}{2}\log_2\left(2x-5\right)-\log_2\left(2x-3\right)< 0\\ &\Leftrightarrow& \log_2\left(2x-5\right)< 2\log_2\left(2x-3\right) \\&\Leftrightarrow& 2x-5< (2x-3)^2\\ &\Leftrightarrow& 2x^2-7x+7>0\, \text{(nghiệm đúng với}\, \forall x\in \mathbb{R})\end{eqnarray*}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left(\displaystyle\frac{5}{2};+\infty \right)\).

Điều kiện xác định \(\begin{cases}3x-2 >0\\6-5x>0\end{cases} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2}{3} < x< \displaystyle\frac{6}{5}\).

Bất phương trình

\begin{eqnarray*}& & \log_2(3x-2)- \log_2(6-5x)>0\\&\Leftrightarrow & \log_2 {\displaystyle\frac{3x-2}{6-5x} >0}\\&\Leftrightarrow & \displaystyle\frac{3x-2}{6-5x} >1\\&\Leftrightarrow & \displaystyle\frac{8x -8}{6-5x}>0\\& \Leftrightarrow & 1< x< \displaystyle\frac{6}{5} \quad \text{(thỏa mãn điều kiện xác định).}\end{eqnarray*}

Điều kiện xác định \(\begin{cases} x >0\\ x-3>0\end{cases} \Leftrightarrow x >3\) .

Phương trình

\begin{eqnarray*}& & 2\log_4x+\log_2(x-3)=2\\&\Leftrightarrow & \log_2x +\log_2(x-3)=2\\&\Leftrightarrow & \log_2 (x^2-3x)=2\\&\Leftrightarrow & x^2-3x-4=0\\& \Leftrightarrow & x=-1;\,x=4.\end{eqnarray*}

Kết hợp với điều kiện xác định, phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=4\).

\(\log_2(3x-2)>\log_2(6-5x)\Leftrightarrow \begin{cases}3x-2>6-5x\\6-5x>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>1\\x< \displaystyle\frac{6}{5}\end{cases}\Leftrightarrow 1< x< \displaystyle\frac{6}{5}.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left(1;\displaystyle\frac{6}{5}\right)\).

Điều kiện: \(\left\{\begin{aligned}&x-1>0 \\&5-x>0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow 1< x< 5\).

Ta có

\begin{eqnarray*}2\log_2(x-1)\leqslant \log_2(5-x)+1 &\Leftrightarrow& \log_2(x-1)^2\leqslant \log_2(10-2x)\\&\Leftrightarrow& (x-1)^2\leqslant 10-2x\\ &\Leftrightarrow& x^2\leqslant 9 \Leftrightarrow -3\leqslant x\leqslant 3.\end{eqnarray*}

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S=(1;3]\).

Điều kiện: \(\begin{cases}2x-1>0\\4x+1>0\end{cases}\,\Leftrightarrow\,x>\displaystyle\frac{1}{2}\;\,(*)\).

Bất phương trình đã cho tương đương

\begin{eqnarray*}\log_{3}(2x-1)^2>\log_{3}(4x+1)&\Leftrightarrow&(2x-1)^2>4x+1\\&\Leftrightarrow&4x^2-8x>0 \;\Leftrightarrow\; x< 0;\,x>2.\end{eqnarray*}

Kết hợp với điều kiện \((*)\), ta được \(x>2\).

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \((2;+\infty)\).

Điều kiện: \(x+7>0\Leftrightarrow x>-7\).

Ta có \(\log _3(x+7) \geq-1\Leftrightarrow x+7\geq 3^{-1}\Leftrightarrow x\geq -\displaystyle\frac{20}{3}\) (thỏa mãn điều kiện).

Điều kiện: \(\begin{cases} x+7>0\\ 2x-1>0\end{cases}\Leftrightarrow x>\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có

\(\log _{0{,}5}(x+7) \geq \log _{0{,}5}(2x-1)\Leftrightarrow x+7\leq 2x-1\Leftrightarrow x\geq8\) (thỏa mãn điều kiện).

Điều kiện: \(\begin{cases}1-x>0 \\ 3 x+2>0\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}x< 1 \\ x>-\displaystyle\frac{2}{3}\end{cases} \Leftrightarrow-\displaystyle\frac{2}{3}< x< 1\). (*)

Khi đó, do cơ số \(\frac{1}{2}< 1\) nên bất phương trình đã cho trở thành

\(1-x< 3 x+2 \Leftrightarrow 4 x>-1 \Leftrightarrow x>-\displaystyle\frac{1}{4}.\)

Kết hợp với điều kiện \((*)\), ta được nghiệm của bất phương trình là \(-\displaystyle\frac{1}{4}< x< 1\).

Điều kiện \(x>\displaystyle\frac{1}{2}\).

\(\log (x+1) \geqslant \log (2x-1)\Leftrightarrow x+1\geqslant 2x-1\Leftrightarrow x\leqslant 2.\)

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là \(\displaystyle\frac{1}{2}< x\leqslant 2\).

Bất phương trình \(\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)\geq \log_{\frac{1}{2}} (x+3)\)

\[\Leftrightarrow \begin{cases}2x-1>0\\ 2x-1 \leq x+3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x>\displaystyle\frac{1}{2}\\x\leq 4\end{cases} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}< x\leq 4.\]

Vậy Giải bất phương trình là \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};4\right]\).

\(\ln (x+3)\geq \ln (2x-8) \Leftrightarrow\begin{cases}2x-8>0\\x+3\geq 2x-8\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x>4\\x\leq 11\end{cases} \Leftrightarrow 4< x\leq 11\).

Vậy Giải bất phương trình là \(\left(4;11\right]\).

Điều kiện: \(x>\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vì cơ số \(0{,}3< 1\) nên bất phương trình trở thành \(x+1\geq2x-1\), từ đó tìm được \(x\leq 2\).

Kết hợp điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\displaystyle\frac{1}{2}< x\leq2\).

Ta cần tìm \(n\) sao cho \(A\geq 800\Leftrightarrow 500\cdot (1+0{,}075)^n\geq 800\Leftrightarrow (1{,}075)^n\geq \displaystyle\frac{8}{5}\Leftrightarrow n\geq \log_{1{,}075}{\displaystyle\frac{8}{5}}\approx 6{,}5.\)

Vậy sau khoảng \(6{,}5\) năm gửi tiết kiệm, bác Minh thu được ít nhất \(800\) triệu đồng.

Kể từ lúc bắt đầu nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức \(80000\) con ta có

\(500\mathrm{e}^{0{,}4t}\geq 80000\Leftrightarrow \mathrm{e}^{0{,}4t}\geq 160\Leftrightarrow 0{,}4t\geq \ln 160\Leftrightarrow t\geq\displaystyle\frac{\ln 160}{0{,}4}\approx 13\text{ (giờ)}.\)

Vậy sau khoảng \(13\) giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức \(80000\) con.

a) Nhiệt độ ban đầu của vật là \(T_{0}=25+70\mathrm{e}^{-0{,}5\cdot0}=95\) (\(^{\circ}\)C).

b) Nhiệt độ của vật còn lại

\(30\) \(^{\circ}\)C, ta có

\begin{align*}30=25+70\mathrm{e}^{-0{,}5t} & \Leftrightarrow 70\mathrm{e}^{-0{,}5t}=5\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-0{,}5t}=\displaystyle\frac{1}{14} \\&\Leftrightarrow -0{,}5t=\ln\displaystyle\frac{1}{14}\Leftrightarrow t\approx 5{,}3 \text{ (phút).}\end{align*}

Ta có \(L< 60 \Leftrightarrow 10\log \displaystyle\frac{I}{10^{-12}}< 60 \Leftrightarrow \log \displaystyle\frac{I}{10^{-12}}< 6 \Leftrightarrow \log I -\log 10^{-12}< 6 \Leftrightarrow \log I< -6 \Leftrightarrow I< 10^{-6}\).

Vậy cường độ âm ở khu vực đó phải dưới \(10^{-6}\) W/\(\mathrm{m^2}\).

Gọi \(P_n\) là số tiền gốc và lãi nhận được sau \(n\) kì gửi.

\(P_0\) là số tiền gửi ban đầu.

\(x\%\) lãi suất.

Với \(n=3\) năm, \(P_3=119{,}1016\) triệu; \(P_0=100\) triệu, ta có

\[P_3=P_0(1+x)^3 \Leftrightarrow (1+x)^3=\displaystyle\frac{P_3}{P_0} \Leftrightarrow1+x=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{P_3}{P_0}} \]\[\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{P_3}{P_0}}-1= \sqrt[3]{\displaystyle\frac{119{,}1016}{100}}-1=\displaystyle\frac{3}{50}=0{,}06=6\%\]

Vậy lãi suất gửi là \(6\%\)/năm

Ta có công thức mức cường độ âm \(L=10\log \displaystyle\frac{I}{10^{-12}}\), trong đó \(I\) (đơn vị: W/m\(^2\)) là cường độ âm.

Mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được là

\[10\log \displaystyle\frac{10^{-12}}{10^{-12}}< L< 10\log \displaystyle\frac{10}{10^{-12}}\Leftrightarrow 0< L< 130.\]

Vậy mức cường độ âm mà tai người nghe được từ \(0\) đến \(130\) dB.

Gọi \(t\) là thời gian từ lúc sinh vật chết đến nay. Ta có:

\(\begin{aligned}5\cdot 10^{-13}=1{,}2\cdot 10^{-12} \cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{T}} & \Leftrightarrow\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{T}}=\displaystyle\frac{5}{12} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{t}{T}=\log _{\tfrac{1}{2}} \displaystyle\frac{5}{12} \\& \Leftrightarrow t=T \log _{\tfrac{1}{2}} \displaystyle\frac{5}{12}=-5730 \cdot \log _2 \displaystyle\frac{5}{12} \approx 7237 \approx 7200.\end{aligned}\)

Vậy sinh vật này sống cách đây khoảng \(7200\) năm.

Kí hiệu \(x, y\) lần lượt là nồng độ H\(^{+}\) trong nước chanh và giấm.\\ Theo giả thiết, ta có \(2{,}4=-\log x\) và \(3=-\log y\).

Suy ra \(x=10^{-2{,}4}\) và \(y=10^{-3}\). Suy ra \(\displaystyle\frac{x}{y}=\displaystyle\frac{10^{-2{,}4}}{10^{-3}}=10^{0{,}6} \approx 3{,}98\).

Vậy nồng độ H\(^{+}\) của nước chanh gấp \(3{,}98\) lần nồng độ H\(^{+}\) của giấm.

Gọi \(x\) là nồng độ \(\mathrm{H}^{+}\) trong nước. Ta có

\(-\log 6{,}5< x< -\log 8{,}5\Leftrightarrow -0{,}813< x< -0{,}924.\)

a) \(100 =200\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{9}}\Leftrightarrow t=9\) giờ.

b) \(50=200\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{9}}\Leftrightarrow t=18\) giờ.

c) \(20=200\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{9}}\Leftrightarrow t=9\cdot \log_{\tfrac{1}{2}} \displaystyle\frac{1}{10} \approx 29{,}9\) giờ.

a) Đổi \(2\) năm = \(730\) ngày.

Khối lượng polonium-\(210\) còn lại sau \(2\) năm là

\(M(t)=100\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{730}{138}}\approx 2{,}556\mathrm{~g}.\)

b) \(100\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{138}}=40\Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{138}}=\displaystyle\frac{2}{5}\Leftrightarrow t=138\cdot \log_{\tfrac{1}{2}} \displaystyle\frac{2}{5}\approx 182{,}4\).

Vậy cần \(185\) ngày để còn lại \(40 \mathrm{~g}\) polonium-\(210\).

a) Ta có \(L=50\Leftrightarrow 10\log \left(\displaystyle\frac{I}{I_0}\right)=50\Leftrightarrow \log \left(\displaystyle\frac{I}{I_0}\right)=5\Leftrightarrow I=T_0\cdot 10^5\Leftrightarrow I=10^{-7} \mathrm{~W}/\mathrm{m}^2\).

Vậy cường độ âm của giọng nói giáo viên bằng \(10^{-7} \mathrm{~W}/\mathrm{m}^2\).

b) Ta có \(75< L< 90\Leftrightarrow 7{,}5< \log \left(\displaystyle\frac{I}{I_0}\right)< 9\Leftrightarrow 10^{-2{,}5}< I< 10^{-3}\).

Vậy cường độ âm trong nhà xưởng này thay đổi trong khoảng từ \(10^{-2{,}5}\mathrm{~W}/\mathrm{m}^2\) đến \(10^{-3}\mathrm{~W}/\mathrm{m}^2\).

a) Theo đề ta có \(P(0)=1000\) và \(P(2)=1000+25\%\cdot 1000=1250\).

Từ \(P(0)=1000\) suy ra \(P_0\cdot a^0=1000 \Rightarrow P_0=1000\).

Từ \(P(2)=1250\) suy ra \(P_0\cdot a^2=1250 \Rightarrow a^2=\displaystyle\frac{5}{4} \Rightarrow a= \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}12\).

Vậy \(P(t)=1000\cdot \left(\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^t\).

b) Sau 5 ngày thì số lượng vi khuẩn là

\[P(5)=1000\cdot \left(\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^5\approx 1700.\]

c) Ta có

\(P(t)=1000\cdot \left(\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^t=2\cdot 1000 \Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^t=2 \Rightarrow t\approx 6{,}2\).

Vậy sau \(6{,}2\) ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu.

a) Tỉ lệ lạm phát là \(8 \%\) một năm thì sức mua của \(100\) triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại là \(A=100\cdot\left(1-\displaystyle\frac{8}{100}\right)^2=\displaystyle\frac{2116}{25}=84{,}65 ~(\text{triệu đồng}).\)

b) Sức mua của \(100\) triệu đồng sau hai năm chỉ còn là \(90\) triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình \(r \%\) của hai năm đó là

\begin{align*}90=100\cdot\left(1-\displaystyle\frac{r}{100}\right)^2 &\Leftrightarrow \left(1-\displaystyle\frac{r}{100}\right)^2=\displaystyle\frac{9}{10} \\&\Leftrightarrow 1-\displaystyle\frac{r}{100}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{10}} \Leftrightarrow\displaystyle\frac{r}{100}=1-\displaystyle\frac{3}{\sqrt{10}} \\& \Leftrightarrow r\approx 5{,}13\%.\end{align*}

c) Tỉ lệ lạm phát là \(5 \%\) một năm, gọi \(n\) là số năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa. Khi đó

\begin{align*}P=2P\cdot\left(1-\displaystyle\frac{5}{100}\right)^n &\Leftrightarrow \left(1-\displaystyle\frac{1}{20}\right)^n=\displaystyle\frac{1}{2} \\&\Leftrightarrow \left (\displaystyle\frac{19}{20}\right )^n=\displaystyle\frac{1}{2}\\&\Leftrightarrow n \approx 13{,}51 \text{ năm}.\end{align*}

a) Ban đầu có \(500\) con vi khuẩn và sau \(1\) giờ tăng lên \(800\) con nên tỷ lệ tăng trưởng vi khuẩn trong mỗi giờ là: \(800=500 \mathrm{e}^r\Leftrightarrow \mathrm{e}^r=\displaystyle\frac{8}{5}\Leftrightarrow r=\ln\displaystyle\frac{8}{5} .\)

Sau \(5\) giờ thì số lượng vi khuẩn là \(N(t)=500 \mathrm{e}^{5\ln\tfrac{8}{5}}=\displaystyle\frac{131072}{25}=5242 \text{ con}\).

b) Gọi \(t\) là số giờ mà số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi.\\ Khi đó

\(2N_0=N_0\mathrm{e}^{t\ln\tfrac{8}{5}}\Leftrightarrow \left (\displaystyle\frac{8}{5}\right )^t=2\Leftrightarrow t \approx 1{,}5 \text{ giờ}.\)

a) Công thức tìm chữ số \(d\) nếu cho trước xác suất \(P\) là \(P=\log \displaystyle\frac{d+1}{d}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{d}=10^P-1\Leftrightarrow d=\displaystyle\frac{1}{10^P-1}.\)

b) Thay vào công thức \(d=\displaystyle\frac 1{10^P-1}\), ta có chữ số có xác suất bằng \(9{,}7 \%\) được chọn là \(d=\displaystyle\frac 1{10^P-1}=4.\)

c) Thay vào công thức, ta có xác suất cần tìm là \(P=\log \displaystyle\frac{1+1}{1} \approx 30{,}1\%\).

a) Với \(M=5\) độ Richter ta có \(\log E\approx 11{,}4+1{,}5\cdot 5 \Leftrightarrow E\approx7{,}94\cdot 10^{18}\).

b) Ta có \(\log \displaystyle\frac{E_8}{E_5}=\log E_8-\log E_5\approx 11{,}4+1{,}5\cdot 8-(11{,}4+1{,}5\cdot 5)=4{,}5 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{E_8}{E_5}=10^{4{,}5}\).

Vậy năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở \(8\) độ Richter gấp khoảng \(10^{4{,}5}\approx31623\) lần năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở \(5\) độ Richter.

Ta có \begin{eqnarray*}& & \displaystyle\frac{H}{H_0}=\mathrm{e}^{-\lambda t}=0{,}86\\&\Leftrightarrow & -\lambda t=\ln 0{,}86\\&\Leftrightarrow & t =\ln 0{,}86: (-\lambda)\\&\Leftrightarrow & t =\ln 0{,}86: (-\displaystyle\frac{\ln 2 }{5730})\\&\Leftrightarrow & t \approx 1247\ \text{(năm)}.\end{eqnarray*}