Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản
Dạng 2. Phương trình lôgarit cơ bản
Dạng 3. Bất phương trình mũ cơ bản
Dạng 4. Bất phương trình lôgarit cơ bản
Dạng 5. Phương trình mũ cùng cơ số
Dạng 6. Phương trình lôgarit cùng cơ số
Dạng 7. Bất phương trình mũ cùng cơ số
Dạng 8. Bất phương trình lôgarit cùng cơ số
Câu 1:
Giả sử phương trình \(2^{x^2 - 4x + 5} = 4\) có hai nghiệm thực \(x_1\), \(x_2\). Tính giá trị của biểu thức \(P =x_1^3 + x_1^2\)?
Đáp án: \(28\)
Lời giải:
Ta có \(2^{x^2 - 4x + 5} = 4\) \(\Leftrightarrow 2^{x^2 - 4x + 5} = 2^2\) \(\Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0\) \(\Leftrightarrow x_1 = 1\) hoặc \(x_2 = 3\).
Vậy \(P = 28\).
Câu 2:
Phương trình \(2^{x+1}=8\) có nghiệm là
Đáp án: \(x=2\)
Lời giải:
Ta có
\(2^{x+1}=8\Leftrightarrow x+1=\log_28\) \(\Leftrightarrow x+1=3\Leftrightarrow x=2.\)
Câu 1:
Phương trình \(\log_3(2x+1)=2\) có nghiệm là
Đáp án: \(x=4\)
Lời giải:
Ta có \(\log_3(2x+1)=2\Leftrightarrow 2x+1=3^2\Leftrightarrow x=4\).
Câu 2:
Phương trình \(\log_2(x-2)=1\) có nghiệm là
Đáp án: \(x=4\)
Lời giải:
Ta có \(\log_2(x-2)=1\Leftrightarrow x-2=2\Leftrightarrow x=4.\)
Câu 1:
Tập nghiệm của bất phương trình \(5^x<3\) là
Đáp án: \((-\infty;\log_53)\)
Lời giải:
Ta có \(5^x<3\Leftrightarrow x<\log_53.\)
Câu 2:
Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(4^x<2^{x+1}\).
Đáp án: \(S=(-\infty;1)\)
Lời giải:
Bất phương trình tương đương với \(2^{2x}<2^{x+1}\Leftrightarrow 2x
Do đó, bất phương trình có tập nghiệm là \(S=(-\infty;1)\).
Câu 1:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log_3 \displaystyle\frac{4x+6}{x} \le 0\) là
Đáp án: \(S=\left[ -2; - \displaystyle\frac{3}{2} \right)\)
Lời giải:
Điều kiện: \(\displaystyle\frac{4x+6}{x}>0 \Leftrightarrow x<-\displaystyle\frac{3}{2}\) hoặc \(x>0.\)
\(\log_3 \displaystyle\frac{4x+6}{x} \le 0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{4x+6}{x}\le 1\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{3x+6}{x} \le 0\Leftrightarrow -2\le x<0.\)
Kết hợp với điều kiện ta có \(S=\left[ -2; - \displaystyle\frac{3}{2} \right)\).
Câu 2:
Giải bất phương trình \(\log_2(3x-1)>3\).
Đáp án: \(x>3\)
Lời giải:
Ta có \(\log_2(3x-1)>3\Leftrightarrow 3x-1>2^3\Leftrightarrow x>3\).
Câu 1:
Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(7^{x+1}=\left(\displaystyle\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-3}\).
Đáp án: \(5\)
Lời giải:
Phương trình tương đương với
\(7^{x+1}=7^{-x^2+2x+3}\) \(\Leftrightarrow x+1=-x^2+2x+3\) \(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=-1\\ &x=2.\end{aligned}\right.\)
Từ đó suy ra \(x_1^2+x_2^2=(-1)^2+2^2=5\).
Câu 2:
Tổng các nghiệm của phương trình \(2^{x^2+2x}=8^{2-x}\) bằng
Đáp án: \(-5\)
Lời giải:
\(2^{x^2+2x}=8^{2-x}\) \(\Leftrightarrow x^2+2x=3(2-x)\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1\\&x=-6\end{aligned}\right.\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng \(-5\).
Câu 1:
Phương trình \( \log_3\left(x+2\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\log_{\sqrt{3}}\left(3-2x\right)-1=0\) có hai nghiệm \( x_1,x_2\left(x_1
Đáp án: \( A=0\)
Lời giải:
Điều kiện \( x\in \left(-2;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).
Xét phương trình \( \log_3\left(x+2\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\log_{\sqrt{3}}\left(3-2x\right)-1=0\quad(*)\).
\begin{eqnarray*}(*)&\Leftrightarrow &\log_3(x+2)+\log_3(3-2x)=1\\ &\Leftrightarrow &\log_3\left[(x+2)(3-2x)\right]=1\\ &\Leftrightarrow &(x+2)(3-2x)=3\\ &\Leftrightarrow &-2x^2-x+3=0\\ &\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned} &x=1\\ &x=-\displaystyle\frac{3}{2}.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}
Vậy \( x_1=-\displaystyle\frac{3}{2};x_2=1 \Rightarrow A=2x_1+3x_2=0\).
Câu 2:
Phương trình \(\ln \left(x^2+1\right)\cdot \ln \left(x^2-2018\right)=0\) có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án: \(2\)
Lời giải:
Điều kiện: \(x^2-2018>0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x>\sqrt{{2018}} \\ & x<-\sqrt{2018}\end{aligned}\right.\).
Phương trình
\(\ln \left(x^2+1\right)\cdot \ln \left(x^2-2018\right)=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& \ln \left(x^2+1\right)=0\\ & \ln \left(x^2-2018\right)=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=0 \\ & x=\pm \sqrt{2019}\end{aligned}\right.\).
Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có hai nghiệm \(x=\pm \sqrt{2019}\).
Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm.
Câu 1:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{4x}\le \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2-x}\) là
Đáp án: \(\left[-\displaystyle\frac{2}{3};+\infty\right)\)
Lời giải:
Ta có
\(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{4x}\le \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2-x}\) \(\Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{-4x}\le \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2-x}\) \(\Leftrightarrow -4x\le 2-x\Leftrightarrow x\ge -\displaystyle\frac{2}{3}.\)
Câu 2:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{2x}>\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x+3}\) là
Đáp án: \(S=(-\infty;3)\)
Lời giải:
\(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{2x}>\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x+3}\) \( \Leftrightarrow 2x
Câu 1:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \( \log_2(2x) < \log_2(x + 1) \).
Đáp án: \( \left( 0;1 \right) \)
Lời giải:
Điều kiện xác định: \(\begin{cases}2x>0 \\ x+1>0\end{cases} \Leftrightarrow x>0\).
\( \log_2(2x) < \log_2(x + 1)\) \( \Leftrightarrow 2x
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm \( S=(0;1) \).
Câu 2:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log_{0,8}\left(x^2+x\right)<\log_{0,8}\left(-2x+4\right)\) là:
Đáp án: \(\left(-\infty;-4\right)\cup \left(1;2\right)\)
Lời giải:
Điều kiện: \(x\in (-\infty; -1) \cup (0;2)\).
\begin{eqnarray*}&&\log_{0,8}\left(x^2+x\right)<\log_{0,8}\left(-2x+4\right)\\ &\Leftrightarrow & x^2+x>-2x+4 \Leftrightarrow x^2+3x-4>0\\ &\Leftrightarrow & x \in (-\infty; -4) \cup (1;+\infty)\end{eqnarray*}
Kết hợp với điều kiện ta được \(S=\left(-\infty;-4\right)\cup \left(1;2\right)\).