\(\S4.\) PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

Lỗi khi trích xuất lý thuyết từ dữ liệu

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản

Dạng 2. Phương trình lôgarit cơ bản

Dạng 3. Bất phương trình mũ cơ bản

Dạng 4. Bất phương trình lôgarit cơ bản

Dạng 5. Phương trình mũ cùng cơ số

Dạng 6. Phương trình lôgarit cùng cơ số

Dạng 7. Bất phương trình mũ cùng cơ số

Dạng 8. Bất phương trình lôgarit cùng cơ số

Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản

Câu 1:

Giả sử phương trình \(2^{x^2 - 4x + 5} = 4\) có hai nghiệm thực \(x_1\), \(x_2\). Tính giá trị của biểu thức \(P =x_1^3 + x_1^2\)?

Đáp án: \(28\)

Lời giải:

Ta có \(2^{x^2 - 4x + 5} = 4\) \(\Leftrightarrow 2^{x^2 - 4x + 5} = 2^2\) \(\Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0\) \(\Leftrightarrow x_1 = 1\) hoặc \(x_2 = 3\).

Vậy \(P = 28\).

Câu 2:

Phương trình \(2^{x+1}=8\) có nghiệm là

Đáp án: \(x=2\)

Lời giải:

Ta có

\(2^{x+1}=8\Leftrightarrow x+1=\log_28\) \(\Leftrightarrow x+1=3\Leftrightarrow x=2.\)

Dạng 2. Phương trình lôgarit cơ bản

Câu 1:

Phương trình \(\log_3(2x+1)=2\) có nghiệm là

Đáp án: \(x=4\)

Lời giải:

Ta có \(\log_3(2x+1)=2\Leftrightarrow 2x+1=3^2\Leftrightarrow x=4\).

Câu 2:

Phương trình \(\log_2(x-2)=1\) có nghiệm là

Đáp án: \(x=4\)

Lời giải:

Ta có \(\log_2(x-2)=1\Leftrightarrow x-2=2\Leftrightarrow x=4.\)

Dạng 3. Bất phương trình mũ cơ bản

Câu 1:

Tập nghiệm của bất phương trình \(5^x<3\) là

Đáp án: \((-\infty;\log_53)\)

Lời giải:

Ta có \(5^x<3\Leftrightarrow x<\log_53.\)

Câu 2:

Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(4^x<2^{x+1}\).

Đáp án: \(S=(-\infty;1)\)

Lời giải:

Bất phương trình tương đương với \(2^{2x}<2^{x+1}\Leftrightarrow 2x

Do đó, bất phương trình có tập nghiệm là \(S=(-\infty;1)\).

Dạng 4. Bất phương trình lôgarit cơ bản

Câu 1:

Tập nghiệm của bất phương trình \(\log_3 \displaystyle\frac{4x+6}{x} \le 0\) là

Đáp án: \(S=\left[ -2; - \displaystyle\frac{3}{2} \right)\)

Lời giải:

Điều kiện: \(\displaystyle\frac{4x+6}{x}>0 \Leftrightarrow x<-\displaystyle\frac{3}{2}\) hoặc \(x>0.\)

\(\log_3 \displaystyle\frac{4x+6}{x} \le 0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{4x+6}{x}\le 1\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{3x+6}{x} \le 0\Leftrightarrow -2\le x<0.\)

Kết hợp với điều kiện ta có \(S=\left[ -2; - \displaystyle\frac{3}{2} \right)\).

Câu 2:

Giải bất phương trình \(\log_2(3x-1)>3\).

Đáp án: \(x>3\)

Lời giải:

Ta có \(\log_2(3x-1)>3\Leftrightarrow 3x-1>2^3\Leftrightarrow x>3\).

Dạng 5. Phương trình mũ cùng cơ số

Câu 1:

Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(7^{x+1}=\left(\displaystyle\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-3}\).

Đáp án: \(5\)

Lời giải:

Phương trình tương đương với

\(7^{x+1}=7^{-x^2+2x+3}\) \(\Leftrightarrow x+1=-x^2+2x+3\) \(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=-1\\ &x=2.\end{aligned}\right.\)

Từ đó suy ra \(x_1^2+x_2^2=(-1)^2+2^2=5\).

Câu 2:

Tổng các nghiệm của phương trình \(2^{x^2+2x}=8^{2-x}\) bằng

Đáp án: \(-5\)

Lời giải:

\(2^{x^2+2x}=8^{2-x}\) \(\Leftrightarrow x^2+2x=3(2-x)\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1\\&x=-6\end{aligned}\right.\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng \(-5\).

Dạng 6. Phương trình lôgarit cùng cơ số

Câu 1:

Phương trình \( \log_3\left(x+2\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\log_{\sqrt{3}}\left(3-2x\right)-1=0\) có hai nghiệm \( x_1,x_2\left(x_1

Đáp án: \( A=0\)

Lời giải:

Điều kiện \( x\in \left(-2;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).

Xét phương trình \( \log_3\left(x+2\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\log_{\sqrt{3}}\left(3-2x\right)-1=0\quad(*)\).

\begin{eqnarray*}(*)&\Leftrightarrow &\log_3(x+2)+\log_3(3-2x)=1\\ &\Leftrightarrow &\log_3\left[(x+2)(3-2x)\right]=1\\ &\Leftrightarrow &(x+2)(3-2x)=3\\ &\Leftrightarrow &-2x^2-x+3=0\\ &\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned} &x=1\\ &x=-\displaystyle\frac{3}{2}.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy \( x_1=-\displaystyle\frac{3}{2};x_2=1 \Rightarrow A=2x_1+3x_2=0\).

Câu 2:

Phương trình \(\ln \left(x^2+1\right)\cdot \ln \left(x^2-2018\right)=0\) có bao nhiêu nghiệm?

Đáp án: \(2\)

Lời giải:

Điều kiện: \(x^2-2018>0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x>\sqrt{{2018}} \\ & x<-\sqrt{2018}\end{aligned}\right.\).

Phương trình

\(\ln \left(x^2+1\right)\cdot \ln \left(x^2-2018\right)=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& \ln \left(x^2+1\right)=0\\ & \ln \left(x^2-2018\right)=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=0 \\ & x=\pm \sqrt{2019}\end{aligned}\right.\).

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có hai nghiệm \(x=\pm \sqrt{2019}\).

Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm.

Dạng 7. Bất phương trình mũ cùng cơ số

Câu 1:

Tập nghiệm của bất phương trình \(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{4x}\le \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2-x}\) là

Đáp án: \(\left[-\displaystyle\frac{2}{3};+\infty\right)\)

Lời giải:

Ta có

\(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{4x}\le \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2-x}\) \(\Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{-4x}\le \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2-x}\) \(\Leftrightarrow -4x\le 2-x\Leftrightarrow x\ge -\displaystyle\frac{2}{3}.\)

Câu 2:

Tập nghiệm của bất phương trình \(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{2x}>\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x+3}\) là

Đáp án: \(S=(-\infty;3)\)

Lời giải:

\(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{2x}>\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{x+3}\) \( \Leftrightarrow 2x

Dạng 8. Bất phương trình lôgarit cùng cơ số

Câu 1:

Tìm tập nghiệm của bất phương trình \( \log_2(2x) < \log_2(x + 1) \).

Đáp án: \( \left( 0;1 \right) \)

Lời giải:

Điều kiện xác định: \(\begin{cases}2x>0 \\ x+1>0\end{cases} \Leftrightarrow x>0\).

\( \log_2(2x) < \log_2(x + 1)\) \( \Leftrightarrow 2x

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm \( S=(0;1) \).

Câu 2:

Tập nghiệm của bất phương trình \(\log_{0,8}\left(x^2+x\right)<\log_{0,8}\left(-2x+4\right)\) là:

Đáp án: \(\left(-\infty;-4\right)\cup \left(1;2\right)\)

Lời giải:

Điều kiện: \(x\in (-\infty; -1) \cup (0;2)\).

\begin{eqnarray*}&&\log_{0,8}\left(x^2+x\right)<\log_{0,8}\left(-2x+4\right)\\ &\Leftrightarrow & x^2+x>-2x+4 \Leftrightarrow x^2+3x-4>0\\ &\Leftrightarrow & x \in (-\infty; -4) \cup (1;+\infty)\end{eqnarray*}

Kết hợp với điều kiện ta được \(S=\left(-\infty;-4\right)\cup \left(1;2\right)\).

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Phần 3. Tự luận

Cơ bản

Nâng cao

Ứng dụng thực tế

Cơ bản

Nâng cao

Ứng dụng thực tế