1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Với \(n\) nguyên dương, ta có
+) \(a^n=\underbrace{a \cdot a \cdot \cdots a}_{n \text{ thừa số}},\ n\in\mathbb{N^*}.\)
+) \(a^0=1,\ \forall a\neq 0\).
+) \(a^{-n}=\displaystyle\frac{1}{a^n},\ \forall n\in \mathbb{N^*}\) và \(a\neq 0\).
2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
\(a^{\tfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) với \(a>0,\ n\geq 2;\ m,n\in\mathbb{Z}\).
3. Tính chất của lũy thừa
Với các cơ số \(a>0\) và \(b>0\), ta có
+) \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
+) \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
+) \(\displaystyle\frac{1}{a^n}=a^{-n}\).
+) \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\).
+) \(\left(a^m\right)^n = a^{m \times n}\).
+) \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\displaystyle\frac{a^n}{b^n}\).
+) \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{-n}\).
+) \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\).
+) \(\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}}\).
+) \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}\).
+) \(\sqrt[n]{a}=\sqrt[m\cdot n]{a^m}\).
+) \(\sqrt[n]a^n=\begin{cases}a& \text{khi } n \text{ lẻ}\\ |a|& \text{khi } n \text{ chẵn.}\end{cases}\)
Dạng 2. Biến đổi lũy thừa đơn giản
Dạng 3. Biến đổi lũy thừa phức tạp
Câu 1:
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Đáp án: \(4^{\tfrac{x}{y}}=\displaystyle\frac{4^x}{4^y}\)
Lời giải:
Ta có \(4^{\tfrac{x}{y}}=\left(4^x\right)^{\tfrac{1}{y}}\ne \displaystyle\frac{4^x}{4^y}=4^{x-y}\).
Câu 2:
Cho số thực \(a\) \((0
Đáp án: \(a^{m-n}=\displaystyle\frac{a^m}{a^n}\)
Lời giải:
Từ các phương án đã cho, ta thấy khảng định đúng là ``\(a^{m-n}=\displaystyle\frac{a^m}{a^n}\)''.
Câu 1:
Cho \(a\) là số thực dương. Viết biểu thức \(P=\sqrt[3]{a^5}\cdot\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^3}}\) dưới dạng lũy thừa cơ số \(a\) ta được kết quả
Đáp án: \(P=a^{\tfrac{1}{6}}\)
Lời giải:
Ta có
\(P= a^{\tfrac{5}{3}}\cdot a^{-\tfrac{3}{2}}=a^{\tfrac{1}{6}}\).
Câu 2:
Cho biểu thức \(P=\sqrt[8]{x^7}\ \ (x>0)\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Đáp án: \(P=x^{\frac{7}{8}}\)
Lời giải:
Áp dụng công thức \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\ \ (x>0)\).
Ta có \(P=x^{\frac{7}{8}}\).
Câu 1:
Cho \(x\) là số thực dương và \(P=\left(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x}}\right)^5\). Biết rằng \(P\) được biểu diễn dưới dạng \(P=x^{\tfrac{m}{n}}\) với \(\displaystyle\frac{m}{n}\) là phân số tối giản và \(m, n\) là các số nguyên dương. Tính \(m+n\).
Đáp án: \(m+n=31\)
Lời giải:
\(P= \left(\sqrt[3]{x^2\sqrt x}\right)^5 = \left(x^2\sqrt x\right)^{\tfrac{5}{3}}\) \(= x^{\tfrac{10}{3}}x^{\tfrac{5}{6}}= x^{\tfrac{25}{6}}.\)
Vậy \(m+n=25+6=31.\)
Câu 2:
Rút gọn biểu thức \(A=\displaystyle\frac{\sqrt[3]{a^{7}}\cdot a^{\frac{11}{3}}}{a^{4} \cdot \sqrt[7]{a^{-5}}}\), với \(a>0\) ta thu được kết quả \(A=a^{\frac{m}{n}}\), trong đó \(m, n \in \mathbb{N}^*\) và \(\displaystyle\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Đáp án: \( m^{2}-n^{2}=312 \)
Lời giải:
Ta có
\[A=\displaystyle\frac{\sqrt[3]{a^{7}}\cdot a^{\frac{11}{3}}}{a^{4} \cdot \sqrt[7]{a^{-5}}} =\displaystyle\frac{ a^{\frac{7}{3} } \cdot a^{\frac{11}{3}} }{ a^{4} \cdot a^{\frac{-5}{7}} } = a^{\frac{7}{3} + \frac{11}{3} -4 +\frac{5}{7}} = a^{\frac{19}{7}}.\]
Vậy \(m=19\) và \(n=7\), do đó \(m^{2}-n^{2} =312\).