1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Với \(n\) nguyên dương, ta có
+) \(a^n=\underbrace{a \cdot a \cdot \cdots a}_{n \text{ thừa số}},\ n\in\mathbb{N^*}.\)
+) \(a^0=1,\ \forall a\neq 0\).
+) \(a^{-n}=\displaystyle\frac{1}{a^n},\ \forall n\in \mathbb{N^*}\) và \(a\neq 0\).
2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
\(a^{\tfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) với \(a>0,\ n\geq 2;\ m,n\in\mathbb{Z}\).
3. Tính chất của lũy thừa
Với các cơ số \(a>0\) và \(b>0\), ta có
+) \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
+) \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
+) \(\displaystyle\frac{1}{a^n}=a^{-n}\).
+) \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\).
+) \(\left(a^m\right)^n = a^{m \times n}\).
+) \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\displaystyle\frac{a^n}{b^n}\).
+) \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{-n}\).
+) \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\).
+) \(\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}}\).
+) \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}\).
+) \(\sqrt[n]{a}=\sqrt[m\cdot n]{a^m}\).
+) \(\sqrt[n]a^n=\begin{cases}a& \text{khi } n \text{ lẻ}\\ |a|& \text{khi } n \text{ chẵn.}\end{cases}\)
Dạng 1. Biểu diễn thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Dạng 2. Tính giá trị biểu thức
Dạng 3. Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa
Câu 1:
Cho \(a>0\). Viết biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: \(a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a}\).
\(a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a}=a^{\frac{1}{3}}\cdot a^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=a^{\frac{5}{6}}\).
Câu 2:
Cho \(b>0\). Viết biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: \(b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b}\).
\(b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b}=b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=b\);
Câu 3:
Cho \(a>0\). Viết biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: \(a^{\frac{4}{3}}: \sqrt[3]{a}\).
\(a^{\frac{4}{3}}: \sqrt[3]{a}=a^{\frac{4}{3}}: a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=a\).
Câu 4:
Cho \(b>0\). Viết biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: \(\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}\).
\(\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{3}}: b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{6}}\).
Câu 5:
Cho \(a\) là một số dương. Biểu diễn \(a^{\tfrac{2}{3}}\cdot\sqrt{a}\) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ.
Ta có \(a^{\tfrac{2}{3}}\cdot\sqrt{a}=a^{\tfrac{2}{3}}\cdot a^{\tfrac{1}{2}}=a^{\tfrac{7}{6}}.\)
Câu 6:
Cho \(\alpha\) là một số thực dương. Viết \(\alpha^{\tfrac{2}{3}}\cdot \sqrt{\alpha}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ.
\(\alpha^{\tfrac{2}{3}}\cdot \sqrt{\alpha}=\alpha^{\tfrac{2}{3}}\cdot\alpha^{\tfrac{1}{2}}=\alpha^{\tfrac{7}{6}}.\)
Câu 7:
Cho \(a\) là số thực dương. Viết biểu thức \(P=\sqrt [3] {a^5}\displaystyle\frac {1}{\sqrt {a}}\) dưới dạng lũy thừa cơ số \(a\).
\(P=a^{\tfrac {5}{3}}a^{\tfrac {-1}{2}}=a^{\tfrac {5}{3}+\tfrac {-1}{2}}=a^{\tfrac {7}{6}}\).
Câu 8:
Biểu diễn \(P=a^{\frac{7}{4}} : \sqrt[4]{a}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ với \(a>0\).
\(P=a^{\frac{7}{4}} : \sqrt[4]{a} = a^{\frac{7}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{3}{2}}\).
Câu 9:
Cho \(a>0\), biểu diễn \(a^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{a}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta có \(a^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{2}{3}}\cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6}}.\)
Câu 10:
Biểu diễn \(P=\sqrt[8]{x^7}\) \((x>0)\) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Áp dụng công thức \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\ \ (x>0)\). Ta có \(P=x^{\frac{7}{8}}\).
Câu 11:
Giả sử \(a\) là số thực dương, khác \(1\). Biểu diễn \(\sqrt{a\sqrt[3]{a}}\) thành lũy thừa cơ số \(a\).
Ta có \(\sqrt{a\sqrt[3]{a}}=\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}=\sqrt[6]{a^4}=a^{\frac{2}{3}}\).
Câu 12:
Cho \(a\) là số thực dương. Viết biểu thức \(P=\sqrt[3]{a^5}\cdot\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^3}}\) dưới dạng lũy thừa cơ số \(a\).
Ta có \(P= a^{\tfrac{5}{3}}\cdot a^{-\tfrac{3}{2}}=a^{\tfrac{1}{6}}\).
Câu 13:
Cho \(a\) là một số dương. Biểu diễn \(a^{\tfrac{2}{3}}\cdot\sqrt{a}\) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta có \(a^{\tfrac{2}{3}}\cdot\sqrt{a}=a^{\tfrac{2}{3}}\cdot a^{\tfrac{1}{2}}=a^{\tfrac{7}{6}}.\)
Câu 14:
Cho \(\alpha\) là một số thực dương. Viết \(\alpha^{\tfrac{2}{3}}\cdot \sqrt{\alpha}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ.
\(\alpha^{\tfrac{2}{3}}\cdot \sqrt{\alpha}=\alpha^{\tfrac{2}{3}}\cdot \alpha^{\tfrac{1}{2}}=\alpha^{\tfrac{7}{6}}.\)
Câu 15:
Cho \(a\) là một số thực dương. Biểu diễn \(a^{\frac{2}{3}}\sqrt{a}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta có \(a^{\frac{2}{3}}\sqrt{a} = a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}= a^{\frac{7}{6}}\).
Câu 16:
Cho \(a\) là số thực dương. Biểu diễn \(a^{\frac{2}{3}}\sqrt{a}\) thành lũy thừa với số mũ hửu tỉ.
Ta có \(a^{\frac{2}{3}}\sqrt{a}=a^{\frac{7}{6}}\).
Câu 17:
Biểu thức \(P=\sqrt[4]{x^{5}}\) (với \(x>0\)) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta có \(P=\sqrt[4]{x^{5}}=x^{\tfrac{5}{4}}\).
Câu 18:
Cho \(a\) là một số dương. Biểu diễn \(a^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{a}\) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta có \(a^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6}}\).
Câu 19:
Cho \(a\) là số thực dương. Viết biểu thức \(P=a^{\tfrac{2}{3}}\sqrt{a}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta có \(P=a^{\tfrac{2}{3}}\sqrt{a}=a^{\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{2}}=a^{\tfrac{7}{6}}\).
Câu 20:
Biểu diễn \(a^{\tfrac{3}{2}}\cdot a^3\) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta có \(a^{\tfrac{3}{2}}\cdot a^3=a^{\tfrac{3}{2}+3}=a^{\tfrac{9}{2}}\).
Câu 21:
Cho \(a\) là số dương. Biểu diễn \(\sqrt[4]{a^3}\) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta có \(\sqrt[4]{a^3}=a^{\tfrac{3}{4}}\).
Câu 22:
Viết biểu thức \(S=\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{a}\) (với \(a>0\)) dưới dạng lũy thừa cơ số \(a\).
Ta có \(S=\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{a}=a^{\tfrac{1}{2}}\cdot a^{\tfrac{1}{3}}=a^{\tfrac{5}{6}}\).
Câu 23:
Biểu diễn \(N=\left(\sqrt{2}\right)^{86}-2^{43}\) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta có \(N=\left(\sqrt{2}\right)^{86}-2^{43}=2^{43}-2^{43}=0\).
Câu 24:
Cho \(a\) là một số thực dương. Viết biểu thức \(P=a^\frac{3}{5}\cdot \sqrt[3]{a^2}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
\(P=a^\frac{3}{5}\cdot \sqrt[3]{a^2}=a^\frac{3}{5}\cdot a^\frac{2}{3}=a^{\frac{3}{5}+\frac{2}{3}}=a^\frac{19}{15}\).
Câu 25:
Cho \(a>0\). Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa: \(\sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a}}}\).
\(\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\sqrt{a\sqrt{a\cdot a^{\tfrac{1}{2}}}}=\sqrt{a\sqrt{a^{\tfrac{3}{2}}}}=\sqrt{a\cdot a^{\tfrac{3}{4}}}=\sqrt{a^{\tfrac{7}{4}}}=a^{\tfrac{7}{8}}\).
Câu 26:
Cho \(a>0\). Rút gọn biểu thức sau: \(a^{\tfrac{1}{3}} a^{\tfrac{1}{2}} a^{\tfrac{7}{6}}\).
\(a^{\tfrac{1}{3}} a^{\tfrac{1}{2}} a^{\tfrac{7}{6}}=a^{\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{7}{6}}=a^2\).
Câu 27:
Cho \(a>0\). Rút gọn biểu thức sau: \(a^{\tfrac{2}{3}} a^{\tfrac{1}{4}}: a^{\tfrac{1}{6}}\).
\(a^{\tfrac{2}{3}} a^{\tfrac{1}{4}}: a^{\tfrac{1}{6}}=a^{\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{6}}=a^{\tfrac{3}{4}}\).
Câu 28:
Cho \(a>0\), \(b>0\). Rút gọn biểu thức sau: \(\left(\displaystyle\frac{3}{2} a^{-\tfrac{3}{2}} b^{-\tfrac{1}{2}}\right)\left(-\displaystyle\frac{1}{3} a^{\tfrac{1}{2}} b^{\tfrac{3}{2}}\right)\).
\(\left(\displaystyle\frac{3}{2} a^{-\tfrac{3}{2}} b^{-\tfrac{1}{2}}\right)\left(-\displaystyle\frac{1}{3} a^{\tfrac{1}{2}} b^{\tfrac{3}{2}}\right)=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)a^{\tfrac{-3}{2}+\tfrac{1}{2}}\cdot b^{-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}}=-\displaystyle\frac{1}{2}a^{-1}b\).
Câu 29:
Viết biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: \((\sqrt[5]{a})^4\) \((a>0)\).
\((\sqrt[5]{a})^4=a^{\tfrac{4}{5}}\).
Câu 30:
Cho \(a>0\). Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa: \(\sqrt[3]{a \sqrt{a}}\).
Ta có: \(\sqrt[3]{a\sqrt{a}}=\left(a\cdot a^{\tfrac{1}{2}}\right)^{\tfrac{1}{3}}=\left(a^{1+\tfrac{1}{2}}\right)^{\tfrac{1}{3}}=\left(a^{\tfrac{3}{2}}\right)^{\tfrac{1}{3}}=a^{\tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{1}{3}}=a^{\tfrac{1}{2}}\).
Câu 31:
Biểu diễn \(A={\left(\sqrt{a}\right)}^3\cdot\left(\sqrt[3]{a^4}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{a^5}\right)\) (với \(a>0\) ) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
\(A={\left(\sqrt{a}\right)}^3\cdot\left(\sqrt[3]{a^4}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{a^5}\right)=a^{\tfrac{3}{2}+\tfrac{4}{3}+\tfrac{5}{4}}=a^{\tfrac{49}{12}}\).
Câu 32:
Biểu diễn \(A=\displaystyle\frac{\sqrt[3]{a^8}\cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^5\cdot \sqrt[4]{a^{-3}}}\) (\(a>0\)) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta có \(A=\displaystyle\frac{a^{\frac{8}{3}}\cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^5\cdot a^{-\frac{3}{4}}}=a^{\frac{3}{4}}\).
Câu 33:
Biểu diễn \(\displaystyle\frac{\sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}}{a^3} = a^{\alpha}\) (\(0< a\neq 1\)) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta thấy \(a^{\alpha} = \displaystyle\frac{ \sqrt[3]{ a^2 \sqrt{a} } }{a^3} = \displaystyle\frac{a^{ \frac{5}{6} }}{a^3} = a^{ - \frac{13}{6} } \Rightarrow \alpha = - \displaystyle\frac{13}{6} \in (-3;-2)\).
Câu 34:
Biểu diễn \(A = \sqrt[5]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt{a}}}}}\) (với \(a>0\)) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
\(A = \sqrt[5]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt{a}}}}} = \sqrt[5]{{\sqrt[3]{{a^4\sqrt{a}}}}} = \sqrt[5]{{\sqrt[3]{{\sqrt{a^9}}}}} = \left(\left( \left(a^9\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{5}} = \left(a\right)^{\frac{9}{30}} = \left(a\right)^{\frac{3}{10}}\).
Câu 35:
Cho \(x\) là số thực dương. Biểu diễn \(P=\left(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x}}\right)^5\) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
\(P= \left(\sqrt[3]{x^2\sqrt x}\right)^5 = \left(x^2\sqrt x\right)^{\tfrac{5}{3}}= x^{\tfrac{10}{3}}x^{\tfrac{5}{6}}= x^{\tfrac{25}{6}}.\)
Câu 36:
Biểu diễn \(\sqrt{a\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{a}}}}:\sqrt[24]{a^7}\) \((a>0)\) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta có \(\left[a\left[a^2\left(a^{-1}\right)^{\frac{1}{4}}\right]^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{2}}: a^{\frac{7}{24}}=\left[a\left(a^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{2}}:a^{\frac{7}{24}}=\left(a^{\frac{19}{12}}\right)^{\frac{1}{2}}:a^{\frac{7}{24}}=a^{\frac{19}{24}}:a^{\frac{7}{24}}=a^{\frac{1}{2}}\).
Vậy \(P=a^{\frac{1}{2}}\).
Câu 37:
Viết biểu thức \(\sqrt[3]{\displaystyle\frac{b}{a}\sqrt[5]{\displaystyle\frac{a}{b}}}\) (với \(a,b >0\)) thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Ta có \(\sqrt[3]{\displaystyle\frac{b}{a}\sqrt[5]{\displaystyle\frac{a}{b}}} = \left[\displaystyle\frac{b}{a}\cdot \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{5}}\right]^{\frac{1}{3}}=\left[\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{\frac{4}{5}}\right]^{\frac{1}{3}}=\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{\frac{4}{15}}=\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^{-\frac{4}{15}}\).
Câu 38:
Cho \(a>0\). Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa: \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a^{-3}}: \sqrt[6]{a^{-1}}\).
Ta có: \(\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[4]{a^{-3}}: \sqrt[6]{a^{-1}}=a^{\tfrac{1}{3}}\cdot a^{-\tfrac{3}{4}}: a^{-\tfrac{1}{6}}=a^{\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{6}}=a^{-\tfrac{1}{4}}\).
Câu 39:
Cho \(a>0\). Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa: \(a^{\tfrac{3}{5}} \cdot a^{\tfrac{1}{2}}: a^{-\tfrac{2}{5}}\).
Ta có: \(a^{\tfrac{3}{5}} \cdot a^{\tfrac{1}{2}}: a^{-\tfrac{2}{5}}=a^{\tfrac{3}{5}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{2}{5}}=a^{\tfrac{3}{2}}\).
Câu 40:
Cho \(a>0\). Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa: \(\sqrt{a^{\tfrac{1}{2}} \sqrt{a^{\tfrac{1}{2}} \sqrt{a}}}\).
Ta có: \(\sqrt{a^{\tfrac{1}{2}} \sqrt{a^{\tfrac{1}{2}} \sqrt{a}}}=\sqrt{a^{\tfrac{1}{2}}\cdot \sqrt{a^{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}}}}=\sqrt{a^{\tfrac{1}{2}}\cdot a^{\tfrac{1}{2}}}=\sqrt{a}=a^{\tfrac{1}{2}}\).
Câu 1:
Viết biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: \(\sqrt{2^3}\).
\(\sqrt{2^3}=2^{\tfrac{3}{2}}\).
Câu 2:
Viết biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: \(\sqrt[5]{\displaystyle\frac{1}{27}}\).
\(\sqrt[5]{\displaystyle\frac{1}{27}}=\left(\displaystyle\frac{1}{27}\right)^{\tfrac{1}{5}}=\left(3^{-3}\right)^{\tfrac{1}{5}}=3^{-\tfrac{3}{5}}\).
Câu 3:
Tính: \(\sqrt[3]{-64}\).
\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{(-4)^3}=-4\).
Câu 4:
Tính: \(\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{16}}\).
\(\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{16}}=\sqrt[4]{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4}=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Câu 5:
Tính: \(16^{\tfrac{3}{2}}\).
\(16^{\tfrac{3}{2}}=\sqrt{16^3}=\sqrt{(4^2)^3}=\sqrt{(4^3)^2}=4^3=64\).
Câu 6:
Tính: \(8^{\tfrac{-2}{3}}\).
\(8^{\tfrac{-2}{3}}=\sqrt[3]{8^{-2}}=\sqrt[3]{\left(2^3\right)^{-2}}=\sqrt[3]{\left(2^{-2}\right)^3}=2^{-2}=\displaystyle\frac{1}{4}\).
Câu 7:
Tính: \(2^{-4}\).
Ta có: \(2^{-4}=\displaystyle\frac{1}{2^4}=\displaystyle\frac{1}{16}\).
Câu 8:
Tính: \(9 \cdot\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2}\).
Ta có: \(9 \cdot\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2}=9\cdot \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2}=9\cdot \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{9}{16}}=9\cdot \displaystyle\frac{16}{9}=16\).
Câu 9:
Tính: \((-5)^{-1}\).
Ta có: \((-5)^{-1}=\displaystyle\frac{1}{(-5)^1}=-\displaystyle\frac{1}{5}\).
Câu 10:
Tính: \(2^0 \cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-5}\).
Ta có \(2^0 \cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-5}=1\cdot \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^5}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{32}}=32\).
Câu 11:
Tính: \(\sqrt[4]{(3-\pi)^4}\).
\(\sqrt[4]{(3-\pi)^4}=|3-\pi|=\pi-3\) (vì \(\pi>3\)).
Câu 12:
Tính: \(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{-2}\).
\(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{-2}=5^2=25\).
Câu 13:
Tính: \(243^{-\tfrac{2}{5}}\).
\(243^{-\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{243^{-2}}=\sqrt[5]{(3^5)^{-2}}=\sqrt[5]{(3^{-2})^5}=3^{-2}=\displaystyle\frac{1}{3^2}=\displaystyle\frac{1}{9}\).
Câu 14:
Tính: \(4^{\tfrac{3}{2}}\).
\(4^{\tfrac{3}{2}}=\sqrt{4^3}=\sqrt{(2^2)^3}=\sqrt{(2^3)^2}=2^3=8\).
Câu 15:
Tính: \(\left(\displaystyle\frac{1}{8}\right)^{\tfrac{-2}{3}}\).
\(\left(\displaystyle\frac{1}{8}\right)^{\tfrac{-2}{3}}=\left(\displaystyle\frac{1}{2^3}\right)^{\tfrac{-2}{3}}=(2^3)^{\tfrac{2}{3}}=2^{3\cdot \tfrac{2}{3}}=2^2=4\).
Câu 16:
Tính: \(\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)^{-0{,}75}\).
\(\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)^{-0{,}75}=16^{0{,}75}=16^{\tfrac{3}{4}}=(2^4)^{\tfrac{3}{4}}=2^{4\cdot \tfrac{3}{4}}=2^3=8\).
Câu 17:
Tính: \(\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{16}}\).
\(\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{16}}=\sqrt[4]{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4}=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Câu 18:
Tính: \((\sqrt[6]{8})^2\).
\((\sqrt[6]{8})^2=\sqrt[6]{8^2}=\sqrt[6]{2^6}=2\).
Câu 19:
Biểu thị luỹ thừa sau đây dưới dạng căn thức: \(2^{\tfrac{1}{3}}\).
\(2^{\tfrac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}\).
Câu 20:
Biểu thị luỹ thừa sau đây dưới dạng căn thức: \(5^{-\tfrac{2}{3}}\).
\(5^{-\tfrac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^{-2}}=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{5^2}}=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{25}}\).
Câu 21:
Tính: \(25^{\tfrac{1}{2}}\).
\(25^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{25}=5\).
Câu 22:
Tính: \(\left(\displaystyle\frac{36}{49}\right)^{-\tfrac{1}{2}}\).
\(\left(\displaystyle\frac{36}{49}\right)^{-\tfrac{1}{2}}=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{36}{49}\right)^{-1}}=\sqrt{\displaystyle\frac{49}{36}}=\displaystyle\frac{7}{6}\).
Câu 23:
Tính: \(100^{1,5}\).
\(100^{1,5}=100^{\tfrac{3}{2}}=\sqrt{100^3}=10^3=1000\).
Câu 24:
Tính: \(\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{27}\).
\(\sqrt[4]{3}\cdot \sqrt[4]{27}=\sqrt[4]{3\cdot 27}=\sqrt[4]{3^4}=3\).
Câu 25:
Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa: \(3\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[8]{3}\).
\(3\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[8]{3}=3\cdot 3^{\tfrac{1}{2}}\cdot3^{\tfrac{1}{4}}\cdot 3^{\tfrac{1}{8}}=3^{1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}}=3^{\tfrac{15}{8}}\).
Câu 26:
Tính: \(\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} \cdot 3^2 \cdot 12^0\).
\(\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} \cdot 3^2 \cdot 12^0=\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2\cdot 9\cdot 1=\displaystyle\frac{16}{9}\cdot 9=16\).
Câu 27:
Tính: \(\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{-4}\).
\(\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{-4}=\sqrt[5]{8 \cdot(-4)}=\sqrt[5]{-2^3 \cdot 2^2}=\sqrt[5]{-2^5}=\sqrt[5]{(-2)^5}=-2\).
Câu 28:
Tính: \(\sqrt[5]{4}\cdot\sqrt[5]{-8}\).
\(\sqrt[5]{4}\cdot\sqrt[5]{-8}=\sqrt[5]{4\cdot (-8)}=\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{(-2)^5}=-2\).
Câu 29:
Tính: \(6^{-2} \cdot\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{-3}: 2^{-2}\).
Ta có: \(6^{-2} \cdot\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{-3}: 2^{-2}=\displaystyle\frac{1}{6^2}\cdot 3^3:\displaystyle\frac{1}{2^2}=\displaystyle\frac{3^3}{12^2}=\displaystyle\frac{3}{16}\).
Câu 30:
Tính: \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-2}:(\sqrt{3})^0\).
Ta có: \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-2}:(\sqrt{3})^0=\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2}:1=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{4}}=4\).
Câu 31:
Tính: \(\sqrt[3]{-3\sqrt{3}}\).
\(\sqrt[3]{-3\sqrt{3}}=\sqrt[3]{-\left(\sqrt{3}\right)^3}=\sqrt[3]{\left(-\sqrt{3}\right)^3}=-\sqrt{3}\).
Câu 32:
Tính: \(\sqrt[4]{2 \sqrt[3]{2}}\).
\(\sqrt[4]{2 \sqrt[3]{2}}=\sqrt[4]{(\sqrt[3]{2})^3 \cdot \sqrt[3]{2}}=\sqrt[4]{(\sqrt[3]{2})^4}=\sqrt[3]{2}\).
Câu 33:
Tính: \(\left(\displaystyle\frac{1}{12}\right)^{-1} \cdot\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-2}\).
\(\left(\displaystyle\frac{1}{12}\right)^{-1} \cdot\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-2}=12\cdot \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2=12\cdot \displaystyle\frac{9}{4}=27\).
Câu 34:
Tính: \(\left(2^{-2} \cdot 5^2\right)^{-2}:\left(5 \cdot 5^{-5}\right)\).
\(\left(2^{-2} \cdot 5^2\right)^{-2}:\left(5 \cdot 5^{-5}\right)=2^4\cdot 5^{-4}:5^{-4}=2^4\cdot 1=16\).
Câu 35:
Rút gọn biểu thức: \(\sqrt[5]{3}\cdot \sqrt[5]{-81}\).
\(\sqrt[5]{3}\cdot \sqrt[5]{-81}=\sqrt[5]{-243}=\sqrt[5]{(-3)^5}=-3\).
Câu 36:
Rút gọn biểu thức: \(\sqrt[3]{5\sqrt{5}}\).
\(\sqrt[3]{5\sqrt{5}}=\sqrt[3]{\left(\sqrt{5}\right)^3}=\sqrt{5}\).
Câu 37:
Rút gọn biểu thức sau: \(\sqrt[3]{\displaystyle\frac{125}{64}}\cdot \sqrt[4]{81}\).
Ta có
\(\sqrt[3]{\displaystyle\frac{125}{64}}\cdot \sqrt[4]{81}=\sqrt[3]{\left(\displaystyle\frac{5}{4}\right)^3}\cdot \sqrt[4]{3^4}=\displaystyle\frac{5}{4}\cdot 3=\displaystyle\frac{15}{4}\).
Câu 38:
Rút gọn biểu thức sau: \(\displaystyle\frac{\sqrt[5]{98}\cdot \sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}\).
Ta có
\(\displaystyle\frac{\sqrt[5]{98}\cdot \sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}=\sqrt[5]{\displaystyle\frac{98\cdot 343}{64}}=\sqrt[5]{\displaystyle\frac{7^2\cdot 2\cdot 7^3}{2^6}}=\sqrt[5]{\displaystyle\frac{7^5}{2^5}}=\displaystyle\frac{7}{2}\).
Câu 39:
Tính: \(\left(\displaystyle\frac{1}{64}\right)^{\frac{1}{3}}\).
\(\left(\displaystyle\frac{1}{64}\right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{64}}=\sqrt[3]{\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^3}=\displaystyle\frac{1}{4}\).
Câu 40:
Tính: \(\left(\displaystyle\frac{1}{256}\right)^{-0{,}75}+\left(\displaystyle\frac{1}{27}\right)^{-\frac{4}{3}}\).
Ta có \(\left(\displaystyle\frac{1}{256}\right)^{-0{,}75}+\left(\displaystyle\frac{1}{27}\right)^{-\frac{4}{3}}=(4^4)^{\frac{3}{4}}+(3^3)^{\frac{4}{3}}=4^3+3^4=145\).
Câu 41:
Tính: \(\left(\displaystyle\frac{1}{49}\right)^{-1{,}5}-\left(\displaystyle\frac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}\).
\(\left(\displaystyle\frac{1}{49}\right)^{-1{,}5}-\left(\displaystyle\frac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}=(7^2)^{\frac{3}{2}}-(5^3)^{\frac{2}{3}}=7^3-5^2=318\).
Câu 42:
Tính: \(\left(4^{3+\sqrt{3}}-4^{\sqrt{3}-1}\right)\cdot 2^{-2\sqrt{3}}\).
\(\left(4^{3+\sqrt{3}}-4^{\sqrt{3}-1}\right)\cdot 2^{-2\sqrt{3}}=\left(2^{6+2\sqrt{3}}-2^{2\sqrt{3}-2}\right)\cdot 2^{-2\sqrt{3}}=2^6-2^{-2}=\displaystyle\frac{255}{4}\).
Câu 43:
Thực hiện phép tính: \(4^{2-3 \sqrt{7}} \cdot 8^{2 \sqrt{7}}\).
\begin{align*}4^{2-3 \sqrt{7}} \cdot 8^{2 \sqrt{7}}=\ &(2^2)^{2-3 \sqrt{7}} \cdot (2^3)^{2 \sqrt{7}}\\=\ &2^{2\left(2-3 \sqrt{7}\right)} \cdot 2^{6 \sqrt{7}}\\=\ &2^{4-6\sqrt{7}+6\sqrt{7}}\\=\ &16.\end{align*}
Câu 44:
Tính: \(A=\left(5^{-\frac{2}{5}}\right)^{-5}+\left[(0{,}2)^{\frac{3}{4}}\right]^{-4}\).
Ta có
\[A=\left(5^{-\frac{2}{5}}\right)^{-5}+\left[(0{,}2)^{\frac{3}{4}}\right]^{-4}=5^2 + \left(5^{-\frac{3}{4}}\right)^{-4}=25+5^3=25+125 = 150.\]
Câu 45:
Thực hiện phép tính: \(27^{\tfrac{2}{3}}+81^{-0{,}75}-25^{0{,}5}\).
\begin{align*}&27^{\tfrac{2}{3}}+81^{-0{,}75}-25^{0{,}5}\\ =\ &(3^3)^{\tfrac{2}{3}}+(3^4)^{-0{,}75}-(5^2)^{0{,}5}\\ =\ &3^{3\cdot\tfrac{2}{3}}+3^{4\cdot (-0{,}75)}-5^{2\cdot (0{,}5)}\\ =\ &3^2+3^{-3}-5^1\\ =\ &\displaystyle\frac{109}{27}.\end{align*}
Câu 46:
Chứng minh rằng \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2\).
Ta có
\begin{align*}&\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}\\=\ &\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}\\=\ &\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\\=\ &\sqrt{3}+1-\left(\sqrt{3}-1\right)\\=\ &2.\end{align*}
Câu 47:
Tính giá trị của biểu thức: \(A=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-12}\cdot 8^{-3}+(0{,}2)^{-4}\cdot 25^{-2}+243^{-1}\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{-6}.\)
Ta có
\begin{align*}A=\ &\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-12}\cdot 8^{-3}+(0{,}2)^{-4}\cdot 25^{-2}+243^{-1}\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{-6}\\=\ &2^{12}\cdot \displaystyle\frac{1}{8^3}+\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{-4}\cdot \displaystyle\frac{1}{25^2}+\displaystyle\frac{1}{243^1}\cdot 3^6\\=\ &\displaystyle\frac{2^{12}}{2^9}+\displaystyle\frac{5^4}{5^4}+\displaystyle\frac{3^6}{3^5}=2^3+1+3=12.\end{align*}
Câu 48:
Tính giá trị của biểu thức \(M=\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{12}\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{27}\right)^{-5}+(0{,}4)^{-4}\cdot 25^{-2}\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{32}\right)^{-1}.\)
Ta có \begin{align*}M=\ &\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{12}\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{27}\right)^{-5}+(0{,}4)^{-4}\cdot 25^{-2}\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{32}\right)^{-1}\\=\ &\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{12}\cdot 27^5+\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^{-4}\cdot \displaystyle\frac{1}{25^2}\cdot 32\\=\ &\displaystyle\frac{3^{15}}{3^{12}}+\displaystyle\frac{5^4}{2^4}\cdot \displaystyle\frac{2^5}{5^4}\\=\ &3^3+2=29.\end{align*}
Câu 49:
Tính giá trị của biểu thức \(A=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-8}\cdot 8^{-2}+(0{,}2)^{-4}\cdot 25^{-2}\).
\begin{align*}A=\ &\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-8}\cdot 8^{-2}+(0{,}2)^{-4}\cdot 25^{-2}\\=\ &2^8\cdot \displaystyle\frac{1}{8^2}+\displaystyle\frac{1}{0{,}2^4}\cdot\displaystyle\frac{1}{25^2}\\=\ &2^8\cdot\displaystyle\frac{1}{2^6}+\displaystyle\frac{1}{0{,}2^4\cdot 5^4}\\=\ &2^2+\displaystyle\frac{1}{\left(0{,}2\cdot 5\right)^4}\\=\ &4+1=5.\end{align*}
Câu 50:
Rút gọn biểu thức: \(\displaystyle\frac{6^{2+\sqrt{5}} \cdot 2^{1-\sqrt{5}}}{3^{3+\sqrt{5}}}\).
\begin{align*}\displaystyle\frac{6^{2+\sqrt{5}} \cdot 2^{1-\sqrt{5}}}{3^{3+\sqrt{5}}}=\ &\displaystyle\frac{(2 \cdot 3)^{2+\sqrt{5}} \cdot 2^{1-\sqrt{5}}}{3^{3+\sqrt{5}}}=2^{2+\sqrt{5}} \cdot 3^{2+\sqrt{5}} \cdot 2^{1-\sqrt{5}} \cdot 3^{-3-\sqrt{5}}\\=\ &2^{2+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}} \cdot 3^{2+\sqrt{5}-3-\sqrt{5}}=2^3 \cdot 3^{-1}=\displaystyle\frac{8}{3}.\end{align*}
Câu 51:
Biết rằng \(4^\alpha=\displaystyle\frac{1}{5}\). Tính giá trị biểu thức: \(16^a+16^{-a}\).
\(16^\alpha+16^{-\alpha}=\left(4^\alpha\right)^2+\displaystyle\frac{1}{\left(4^\alpha\right)^2}=\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^2+\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^2}=\displaystyle\frac{1}{25}+25=\displaystyle\frac{626}{25}\).
Câu 52:
Biết rằng \(4^\alpha=\displaystyle\frac{1}{5}\). Tính giá trị biểu thức: \(\left(2^\alpha+2^{-\alpha}\right)^2\).
\(\left(2^\alpha+2^{-\alpha}\right)^2=4^\alpha+2+4^{-\alpha}=\displaystyle\frac{1}{5}+2+\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{5}}=\displaystyle\frac{36}{5}\).
Câu 1:
Rút gọn biểu thức: \(A=\displaystyle\frac{x^5 y^{-2}}{x^3 y}\,(x, y \neq 0)\).
\(A=\displaystyle\frac{x^5 y^{-2}}{x^3 y}=x^2y^{-3}\).
Câu 2:
Rút gọn biểu thức: \(B=\displaystyle\frac{x^2 y^{-3}}{\left(x^{-1} y^4\right)^{-3}}\,(x, y \neq 0)\).
\(B=\displaystyle\frac{x^2 y^{-3}}{\left(x^{-1} y^4\right)^{-3}}=\displaystyle\frac{x^2y^{-3}}{x^3y^{-12}}=x^{-1}y^9\).
Câu 3:
Rút gọn biểu thức: \(\left(x^{\sqrt{2}} y\right)^{\sqrt{2}}\left(9 y^{-\sqrt{2}}\right)\) (với \(x, y>0\)).
\[\left(x^{\sqrt{2}} y\right)^{\sqrt{2}}\left(9 y^{-\sqrt{2}}\right)=x^2y^{\sqrt{2}}\cdot 9y^{-\sqrt{2}}=9x^2.\]
Câu 4:
Rút gọn biểu thức \(A=\displaystyle\frac{a^{\sqrt{5}-1}\cdot a^{3-\sqrt{5}}}{\left(a^{\sqrt{3}+1}\right)^{\sqrt{3}-1}}\) với \(a>0\).
\(A=\displaystyle\frac{a^{\sqrt{5}-1}\cdot a^{3-\sqrt{5}}}{\left(a^{\sqrt{3}+1}\right)^{\sqrt{3}-1}}=\displaystyle\frac{a^{\sqrt{5}-1+3-\sqrt{5}}}{a^{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}}=\displaystyle\frac{a^2}{a^{3-1}}=\displaystyle\frac{a^2}{a^2}=1.\)
Câu 5:
Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương. Rút gọn biểu thức: \(A=\displaystyle\frac{x^{\tfrac{1}{3}} \sqrt{y}+y^{\tfrac{1}{3}} \sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}\).
\begin{align*}A=\ &\displaystyle\frac{x^{\tfrac{1}{3}} \sqrt{y}+y^{\tfrac{1}{3}} \sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}\\=\ &\displaystyle\frac{x^{\tfrac{1}{3}} y^{\tfrac{1}{2}}+y^{\tfrac{1}{3}} x^{\tfrac{1}{2}}}{x^{\tfrac{1}{6}}+y^{\tfrac{1}{6}}}\\=\ &\displaystyle\frac{x^{\tfrac{1}{3}} y^{\tfrac{1}{3}}\left(x^{\tfrac{1}{6}}+y^{\tfrac{1}{6}}\right)}{x^{\tfrac{1}{6}}+y^{\tfrac{1}{6}}}=\ &x^{\tfrac{1}{3}} y^{\tfrac{1}{3}}.\end{align*}
Câu 6:
Cho \((a>0)\). Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa: \(\displaystyle\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^3 \cdot a^{\tfrac{2}{5}}}\).
\(\displaystyle\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^3 \cdot a^{\tfrac{2}{5}}}=\displaystyle\frac{a^{\tfrac{1}{2}}\cdot a^{\tfrac{1}{3}}\cdot a^{\tfrac{1}{4}}}{ a^{\tfrac{3}{5}}\cdot a^{\tfrac{2}{5}}}=\displaystyle\frac{a^{\tfrac{13}{12}}}{a^1}=a^{\tfrac{1}{12}}\).
Câu 7:
Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương. Rút gọn biểu thức: \(B=\left(\displaystyle\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \displaystyle\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}\).
\begin{align*}B=\ &\left(\displaystyle\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \displaystyle\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}\\=\ &\displaystyle\frac{x^{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}}{y^{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}\cdot \displaystyle\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}\\=\ &\displaystyle\frac{x^{3+\sqrt{3}}}{y^2}\cdot \displaystyle\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}\\=\ &\displaystyle\frac{x^{3+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1}}{y^{2-2}}\\=\ &x^2.\end{align*}
Câu 8:
Rút gọn biểu thức: \(\displaystyle\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}-\displaystyle\frac{a^{\frac{5}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}}\) (\(a>0\), \(a\ne 1\)).
Với \(a>0\), \(a\ne 1\), ta có
\begin{align*}&\displaystyle\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}-\displaystyle\frac{a^{\frac{5}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}}\\=\ & \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}\left(a^2-1\right)}{a^{\frac{1}{3}}\left(a-1\right)}-\displaystyle\frac{a^{-\frac{1}{3}}\left(a^2-1\right)}{a^{-\frac{1}{3}}\left(a+1\right)}\\=\ &a+1-(a-1)=2.\end{align*}
Câu 9:
Rút gọn biểu thức: \(\displaystyle\frac{\left(\sqrt[4]{a^3b^2}\right)^4}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}b^6}}}\) (\(a>0\), \(b>0\)).
Với \(a>0\), \(b>0\), ta có
\(\displaystyle\frac{\left(\sqrt[4]{a^3b^2}\right)^4}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}b^6}}}=\displaystyle\frac{a^3b^2}{\sqrt[6]{a^{12}b^6}}= \displaystyle\frac{a^3b^2}{\sqrt[6]{(a^2b)^6}}=\displaystyle\frac{a^3b^2}{a^2b}=ab.\)
Câu 10:
Rút gọn biểu thức: \(N=\displaystyle\frac{x^{\frac{4}{3}}y+xy^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}\ (x>0,\ y>0)\).
Với \(x>0\), \(y>0\), ta có
\(N=\displaystyle\frac{x^{\frac{4}{3}}y+xy^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}=\displaystyle\frac{xy\left(x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{1}{3}}\right)}{x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{1}{3}}}=xy.\)
Câu 11:
Rút gọn biểu thức \(P=\displaystyle\frac{a^{\sqrt{5}+1}\cdot a^{7-\sqrt{5}}}{\left(a^{3-\sqrt{2}}\right)^{3+\sqrt{2}}}\)\qquad \((a>0)\).
Với \(a>0\), ta có
\(P=\displaystyle\frac{a^{\sqrt{5}+1}\cdot a^{7-\sqrt{5}}}{\left(a^{3-\sqrt{2}}\right)^{3+\sqrt{2}}}=\displaystyle\frac{a^{\sqrt{5}+1+7-\sqrt{5}}}{a^{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}}=\displaystyle\frac{a^8}{a^7}=a.\)
Câu 12:
Rút gọn biểu thức \(A=\displaystyle\frac{a-3{a}^{\tfrac{1}{3}}+2}{\sqrt[3]{a}-1}+\displaystyle\frac{\sqrt{a}-{a}^{\tfrac{5}{6}}+\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{a}}\).
Ta có
\begin{eqnarray*}A&=&\displaystyle\frac{a-3{a}^{\tfrac{1}{3}}+2}{\sqrt[3]{a}-1}+\displaystyle\frac{\sqrt{a}-{a}^{\tfrac{5}{6}}+\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{a}}=\displaystyle\frac{\left(\sqrt[3]{a}-1\right)\left(a^{\tfrac{2}{3}}+\sqrt[3]{a}-2\right)}{\sqrt[3]{a}-1}+\displaystyle\frac{\sqrt[6]{a}\left(\sqrt[3]{a}-a^{\tfrac{2}{3}}+1\right)}{\sqrt[6]{a}}\\&=&a^{\tfrac{2}{3}}+\sqrt[3]{a}-2+\sqrt[3]{a}-a^{\tfrac{2}{3}}+1=2\sqrt[3]{a}-1.\end{eqnarray*}
Câu 13:
Cho \(0< a< 1, b>1\). Rút gọn biểu thức sau \(\sqrt{{\left(a^\pi +b^\pi\right)}^2-{\left(4^{\tfrac{1}{\pi}}ab\right)}^\pi}\).
Ta có
\(\begin{aligned}\sqrt{{\left(a^\pi +b^\pi\right)}^2-{\left(4^{\frac{1}{\pi}}ab\right)}^\pi} &= \sqrt{a^{2\pi}+b^{2\pi}+2a^\pi b^\pi -4a^\pi b^\pi}\\& =\sqrt{\left(a^\pi -b^\pi\right)}^2\\& =\left|a^\pi -b^\pi\right| \\ & = b^\pi -a^\pi.\end{aligned}\)
(vì \(0< a< 1, b>1\)).
Câu 14:
Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\). Rút gọn biểu thức \(A=\displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}\).
Đặt \(u=\sqrt[6]{a}\), \(v=\sqrt[6]{b}\). Khi đó ta có \(A=\displaystyle\frac{u^2v^3+u^3v^2}{u+v}=u^2v^2=\sqrt[3]{ab}\).
Câu 15:
Rút gọn biểu thức \(P=\displaystyle\frac{a^{\sqrt{3}+1}. a^{2-\sqrt{3}}}{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)^{\sqrt{2}+2}}\) với \(a>0\).
Ta có
\(P=\displaystyle\frac{a^{\sqrt{3}+1}. a^{2-\sqrt{3}}}{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)^{\sqrt{2}+2}}=\displaystyle\frac{a^{\left(\sqrt{3}+1\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)}}{a^{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}}=\displaystyle\frac{a^3}{a^{-2}}=a^{3-\left(-2\right)}=a^5.\)
Câu 16:
Rút gọn biểu thức \(A=\left[\sqrt{2} a\left(1+a^2\right)-2 \sqrt{2} a\right]:\left[a^2\left(1-a^{-2}\right)\right]\) với \(a \neq 0\) và \(a \neq\pm 1\).
Ta có \(A=a\sqrt{2}\left(a^2-1\right):\left[a^2\left(\displaystyle\frac{a^2-1}{a^2}\right)\right]=a\sqrt{2}\left(a^2-1\right)\cdot \displaystyle\frac{1}{a^2-1}=a\sqrt{2}.\)
Câu 17:
Rút gọn biểu thức \(A=\displaystyle\frac{a-3{a}^{\tfrac{1}{3}}+2}{\sqrt[3]{a}-1}+\displaystyle\frac{\sqrt{a}-{a}^{\tfrac{5}{6}}+\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{a}}\).
Ta có
\begin{eqnarray*}A&=&\displaystyle\frac{a-3{a}^{\tfrac{1}{3}}+2}{\sqrt[3]{a}-1}+\displaystyle\frac{\sqrt{a}-{a}^{\tfrac{5}{6}}+\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{a}}=\displaystyle\frac{\left(\sqrt[3]{a}-1\right)\left(a^{\tfrac{2}{3}}+\sqrt[3]{a}-2\right)}{\sqrt[3]{a}-1}+\displaystyle\frac{\sqrt[6]{a}\left(\sqrt[3]{a}-a^{\tfrac{2}{3}}+1\right)}{\sqrt[6]{a}}\\&=&a^{\tfrac{2}{3}}+\sqrt[3]{a}-2+\sqrt[3]{a}-a^{\tfrac{2}{3}}+1=2\sqrt[3]{a}-1.\end{eqnarray*}
Câu 18:
Tính giá trị của biểu thức \(P=\displaystyle\frac{(4+2\sqrt{3})^{6}\cdot (1-\sqrt{3})^{4}}{(1+\sqrt{3})^{8}}.\)
Ta có
\begin{eqnarray*}&P&=\displaystyle\frac{(4+2\sqrt{3})^{6}\cdot (1-\sqrt{3})^{4}}{(1+\sqrt{3})^{8}}\\&&=\displaystyle\frac{(1+\sqrt{3})^{12}\cdot (1-\sqrt{3})^{4}}{(1+\sqrt{3})^{8}}\\&&=(1+\sqrt{3})^{4}\cdot (1-\sqrt{3})^{4}\\&&=(-2)^{4}\\&&=2^{4}.\end{eqnarray*}
Câu 19:
Rút gọn \(A=\displaystyle\frac{a^{-\tfrac{1}{3}}\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a^4}\right)}{a^{\tfrac{1}{8}}\left(\sqrt[8]{a^3}-\sqrt[8]{a^{-1}}\right)}\) với \(a>0\), \(a\ne 1\).
Ta có
\(A=\displaystyle\frac{a^{-\tfrac{1}{3}}\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a^4}\right)}{a^{\tfrac{1}{8}}\left(\sqrt[8]{a^3}-\sqrt[8]{a^{-1}}\right)}=\displaystyle\frac{a^{-\tfrac{1}{3}}\cdot a^{\tfrac{1}{3}}\left(1-a\right)}{a^{\tfrac{1}{8}}\cdot a^{-\tfrac{1}{8}}\left(\sqrt{a}-1\right)}=-\displaystyle\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}-1}=-\sqrt{a}-1\).
Câu 1:
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh: \(5^{6\sqrt{3}}\) và \(5^{3\sqrt{6}}\).
Ta có \(6\sqrt{3}=\sqrt{6^2\cdot 3}=\sqrt{108}\) và \(3\sqrt{6}=\sqrt{3^2\cdot 6}=\sqrt{54}\).
Do \(3\sqrt{6}=\sqrt{54}< \sqrt{108}=6\sqrt{3}\) và cơ số \(5>1\) nên \(5^{3\sqrt{6}}< 5^{6\sqrt{3}}\).
Câu 2:
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh: \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{-4}{3}}\) và \(\sqrt{2}\cdot 2^{\tfrac{2}{3}}\).
Ta có \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{-4}{3}}=2^{\tfrac{4}{3}}\) và \(\sqrt{2}\cdot 2^{\tfrac{2}{3}}=2^{\tfrac{1}{2}+\tfrac{2}{3}}=2^{\tfrac{7}{6}}\).
Do \(\displaystyle\frac{7}{6}< \displaystyle\frac{8}{6}=\displaystyle\frac{4}{3}\) và cơ số \(2>1\) nên \(2^{\tfrac{7}{6}}< 2^{\tfrac{4}{3}}\) hay \(\sqrt{2}\cdot 2^{\tfrac{2}{3}}< \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{-4}{3}}\).
Câu 3:
Viết các số sau theo thứ tự tăng dần: \(1^{1{,}5}\); \(3^{-1}\); \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-2}\).
Ta có \(1^{1{,}5}=1\); \(3^{-1}=\displaystyle\frac{1}{3}\); \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-2}=4\).
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần sẽ là \(3^{-1}\); \(1^{1{,}5}\); \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-2}\).
Câu 4:
Viết các số sau theo thứ tự tăng dần: \(2\,022^0\); \(\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^{-1}\); \(5^{\frac{1}{2}}\).
\(2\,022^0=1\); \(\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^{-1}=\displaystyle\frac{5}{4}\); \(5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\).
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần sẽ là \(2\,022^0\); \(\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^{-1}\); \(5^{\frac{1}{2}}\).
Câu 5:
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số: \(16^{\sqrt{3}}\) và \(4^{3\sqrt{2}}\).
Ta có \(16^{\sqrt{3}}=4^{2\sqrt{3}}\) và \(4^{3\sqrt{2}}\).
Do \((2\sqrt{3})^2=12\) và \((3\sqrt{2})^2=32\), nên \(2\sqrt{3}< 3\sqrt{2}\).
Mặt khác cơ số \(4>1\) nên \(16^{\sqrt{3}}< 4^{3\sqrt{2}}\).
Câu 6:
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số: \((0{,}2)^{\sqrt{16}}\) và \((0{,}2)^{\sqrt[3]{60}}\).
Ta có \((\sqrt{16})^6=16^3\), \((\sqrt[3]{60})^6=60^2\).
Suy ra \(\sqrt{16}>\sqrt[3]{60}\) mà cơ số \(0{,}2< 1\) nên \((0{,}2)^{\sqrt{16}}< (0{,}2)^{\sqrt[3]{60}}\).
Câu 7:
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số: \(\sqrt{42}\) và \(\sqrt[3]{51}\).
Ta có \(\sqrt{42}=42^{\frac{1}{2}}\) suy ra \(42^3=\left(42^{\frac{1}{2}}\right)^6\) và \(\sqrt[3]{51}=51^{\frac{1}{3}}\) suy ra \(51^2=\left(51^{\frac{1}{3}}\right)^6\).
Mà \(42^3>51^2\) suy ra \(\sqrt{42}>\sqrt[3]{51}\).
Câu 8:
So sánh \(10^{\sqrt{2}}\) và \(10\).
Vì cơ số \(10>1\) và \(\sqrt{2}>1\) nên \(10^{\sqrt{2}}>10^1=10\).
Câu 9:
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số \(3^{\sqrt{8}}\) và \(3^3\).
Ta có \(3=\sqrt{9}\). Do \(8< 9\) nên \(\sqrt{8}< \sqrt{9}\). Vì cơ số \(3\) lớn hơn \(1\) nên \(3^{\sqrt{8}}< 3^3\).
Câu 10:
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số \(2^{2\sqrt{3}}\) và \(2^{3\sqrt{2}}\).
Ta có \(2\sqrt{3}=\sqrt{12}\) và \(3\sqrt{2}=\sqrt{18}\). Do \(12< 18\) nên \(\sqrt{12}< \sqrt{18}\). Vì cơ số \(2\) lớn hơn \(1\) nên \(2^{2\sqrt{3}}< 2^{3\sqrt{2}}\).
Câu 1:
Nếu một khoản tiền gốc \(P\) được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm \(r\) (\(r\) được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi \(n\) lần trong một năm, thì tổng số tiền \(A\) nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau \(N\) kì gửi cho bởi công thức sau: \(A=P\left(1+\displaystyle\frac{r}{n}\right)^N.\)
Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền \(120\) triệu đồng theo kì hạn \(6\) tháng với lãi suất không đổi là \(5 \%\) một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau \(2\) năm là bao nhiêu?
Ta có \(2\) năm là \(24\) tháng ứng với \(N=4\) kì hạn.
Do kì hạn là \(6\) tháng nên mỗi năm được tính lãi \(n=2\) lần.
Vậy số tiền cả vốn lẫn lãi bác An nhận được sau \(2\) năm là \(A=120\left(1+\displaystyle\frac{0{,}05}{2}\right)^4\approx 132{,}457\) triệu đồng.
Câu 2:
Năm \(2021\), dân số của một quốc gia ở châu Á là \(19\) triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau \(30\) năm nữa. Khi đó dân số \(A\) (triệu người) của quốc gia đó sau \(t\) năm kể từ năm \(2021\) được ước tính bằng công thức \(A=19 \cdot 2^{\tfrac{t}{30}}\). Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau \(20\) năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).
Dân số của quốc gia này sau \(20\) năm là \(A=19\cdot 2^{\tfrac{20}{30}}\approx 30\) triệu người.
Câu 3:
a) Nước cất có nồng độ H\(^+\) là \(10^{-7}\) mol/L. Tính nồng độ pH của nước cất.
b) Một dung dịch có nồng độ H\(^+\) gấp \(20\) lần nồng độ H\(^+\) của nước cất. Tính pH của dung dịch đó.
a) Ta có \(\text{pH}=-\log[\text{H}^+]=-\log 10^{-7} =7\).
b) Nồng độ \(\text{H}^+\) của dung dịch là \(20\cdot 10^{-7}\) mol/L. Độ pH của dung dịch là \(\text{pH}=-\log[20\cdot 10^{-7}]\approx 5{,}7.\)
Câu 4:
Trong khoa học, người ta thường phải ghi các số rất lớn hoặc rất bé. Để tránh phải viết và đếm quá nhiều chữ số \(0\), người ta quy ước cách ghi các số dưới dạng \(A \cdot 10^m\), trong đó \(1 \leq A \leq 10\) và \(m\) là số nguyên.
Khi một số được ghi dưới dạng này, ta nói nó được ghi dưới dạng kí hiệu khoa học. Chẳng hạn, khoảng cách \(149\,600, 000\) km từ Trái Đất đến Mặt Trời được ghi dưới dạng kí hiệu khoa học là \(1{,}496 \cdot 10^8\) km.
Ghi các đại lượng sau dưới dạng kí hiệu khoa học:
a) Vận tốc ánh sáng trong chân không là \(299\, 790\, 000\) m/s;
b) Khối lượng nguyên tử của oxygen là \(0{,}000\, 000\, 000\, 000\, 000\, 000\, 000\, 000\, 026\, 57\) kg.
a) Vận tốc ánh sáng trong chân không là \(2{,}9979\cdot 10^8\) m/s.
b) Khối lượng nguyên tử của oxygen là \(2{,}657\cdot 10^{-26}\) kg.
Câu 5:
Tại một vùng biển, giả sử cường độ ánh sáng \(I\) thay đổi theo độ sâu theo công thức \(I=I_0 \cdot 10^{-0,3d}\), trong đó \(d\) là độ sâu (tính bằng mét) so với mặt hồ, \(I_0\) là cường độ ánh sáng tại mặt hồ.
a) Tại độ sâu \(1\) m, cường độ ánh sáng gấp bao nhiêu lần \(I_0\)?
b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu \(2\) m gấp bao nhiêu lần so với tại độ sâu \(10\) m? Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân.
a) Tại độ sâu \(d=1\) m \(\Rightarrow I=I_0\cdot 10^{-0,3\cdot 1}=I_0\cdot 10^{-0,3}\Rightarrow \displaystyle\frac{I}{I_0}=10^{-0,3}=0{,}50\).
b) Tại độ sâu \(d=2\) m \(\Rightarrow I=I_0\cdot 10^{-0,3\cdot 2}=I_0\cdot 10^{-0,6}\).
Tại độ sâu \(d=10\) m \(\Rightarrow I'=I_0\cdot 10^{-0,3\cdot 10}=I_0\cdot 10^{-3}\).
Suy ra \(\displaystyle\frac{I}{I'}=\displaystyle\frac{I_0\cdot 10^{-0,6}}{I_0\cdot 10^{-3}}=\displaystyle\frac{10^{-0,6}}{10^{-3}}=10^{-0,6+3}=251{,}19\).
Câu 6:
Với một chỉ vàng, giả sử người thợ lành nghề có thể dát mỏng thành lá vàng rộng \(1\) m\(^2\) và dày khoảng \(1{,}94 \cdot 10^{-7}\) m. Đồng xu \(5\ 000\) đồng dày \(2{,}2 \cdot 10^{-3}\) m. Cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên để có độ dày bằng đồng xu loại \(5\ 000\) đồng? Làm tròn kết quả đến chữ số hàng trăm.
Số lá vàng cần chồng là
\[\displaystyle\frac{2{,}2\cdot 10^{-3}}{1{,}94 \cdot 10^{-7}}\approx11\ 300.\]
Câu 7:
Tại một xí nghiệp, công thức \(P(t)=500 \cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{3}}\) được dùng để tính giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian \(t\) (tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.
a) Tính giá trị còn lại của máy sau \(2\) năm; sau \(2\) năm \(3\) tháng.
b) Sau \(1\) năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu?
a) Giá trị còn lại của máy sau \(t=2\) năm là \(P=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{2}{3}}\approx315\).
Giá trị còn lại của máy sau sau \(2\) năm \(3\) tháng (\(t=\displaystyle\frac{9}{4}\) năm) là \(P=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{\tfrac{9}{4}}{3}}=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{3}{4}}\approx297\).
b) Ban đầu giá trị của máy là \(P_0=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^0=500\).
Giá trị còn lại của máy sau \(1\) năm sử dụng: \(P=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{1}{3}}=396{,}85\).
Suy ra \(\displaystyle\frac{P}{P_0}=79{,}37\%\).
}
Câu 8:
Nhắc lại rằng, độ \(\mathrm{pH}\) của một dung dịch được tính theo công thức \(\mathrm{pH}=-\log\left[\mathrm{H}^{+}\right]\), trong đó \(\left[\mathrm{H}^{+}\right]\) là nồng độ \(\mathrm{H}^{+}\) của dung dịch đó tính bằng \(\mathrm{mol}/\mathrm{L}\). Nồng độ \(\mathrm{H}^{+}\) trong dung dịch cho biết độ acid của dung dịch đó.
a) Dung dịch acid \(\mathrm{A}\) có độ \(\mathrm{pH}\) bằng \(1{,}9\); dung dịch acid \(\mathrm{B}\) có độ \(\mathrm{pH}\) bằng \(2{,}5\). Dung dịch nào có độ acid cao hơn và cao hơn bao nhiêu lần?
b) Nước cất có nồng độ \(\mathrm{H}^{+}\) là \(10^{-7}\mathrm{~mol}/\mathrm{L}\). Nước chảy ra từ một vòi nước có độ \(\mathrm{pH}\) từ \(6{,}5\) đến \(6{,}7\) thì có độ acid cao hay thấp hơn nước cất?
Ta có \(\rm pH=-\log\left[H^+\right] \Rightarrow \left[H^+\right]=10^{-pH}\)
a) Dung dịch \(\rm A\) có \(\rm pH=1{,}9 \Rightarrow \left[H^+\right]_A=10^{-1{,}9}\) \(\rm mol/L\)
Dung dịch \(\rm B\) có \(\rm pH=2{,}5 \Rightarrow \left[H^+\right]_B=10^{-2{,}5}\) \(\rm mol/L\)
Dung dịch \(\rm A\) có độ acid cao hơn dung dịch \(\rm B\).
Tỉ số \(\displaystyle\frac{10^{-1{,}9}}{10^{-2{,}5}}\approx 3{,}98\approx 4\) lần.
b) Nước chảy ra từ vòi có \(\rm pH=6{,}5\to 6{,}7\) \(\rm\Rightarrow \left[H^+\right]_{\text{nước vòi}}=10^{-6{,}7}\to 10^{-6{,}5}\) \(\rm mol/L\)
Nước cất có \(\rm \left[H^+\right]=10^{-7}\) \(\rm mol/L\)
Do đó nước vòi có độ acid cao hơn nước cất.
Câu 9:
Trong mẫu của một sinh vật đã chết \(T\) năm, tỉ số \(R\) của carbon phóng xạ còn lại và carbon không phóng xạ còn lại có thể được ước tính bằng công thức \(R=A\cdot 2{,}7^{\frac{T}{8\,033}}\). Trong đó \(A\) là tỉnh số của carbon phóng xạ và carbon không phóng xạ trong cơ thể sống. Tính đại lượng \(R\) theo \(A\) trong mẫu sinh vật đã chết đó sau \(2\,000\) năm; sau \(4\,000\) năm; sau \(8\,000\) năm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đại lượng \(R\) trong mẫu sinh vật đã chết đó sau \(2\,000\) năm là \(R=A\cdot 2{,}7^{-\frac{2\,000}{8\,033}}\approx 0{,}78\cdot A\).
Đại lượng \(R\) trong mẫu sinh vật đã chết đó sau \(4\,000\) năm là \(R=A\cdot 2{,}7^{-\frac{4\,000}{8\,033}}\approx 0{,}61\cdot A\).
Đại lượng \(R\) trong mẫu sinh vật đã chết đó sau \(8\,000\) năm là \(R=A\cdot 2{,}7^{-\frac{8\,000}{8\,033}}\approx 0{,}37\cdot A\).
Câu 10:
Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian \(P\) (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi một hàm số \(P=d^{\frac{3}{2}}\), trong đó \(d\) là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU (\(1\) AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là \(1\) AU khoảng \(93\,000\,000\) dặm). Hỏi Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là \(1{,}52\) AU.
Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất thời gian \(P=1{,}52^{\frac{3}{2}}\approx 1{,}87\) AU.