1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Với \(n\) nguyên dương, ta có
+) \(a^n=\underbrace{a \cdot a \cdot \cdots a}_{n \text{ thừa số}},\ n\in\mathbb{N^*}.\)
+) \(a^0=1,\ \forall a\neq 0\).
+) \(a^{-n}=\displaystyle\frac{1}{a^n},\ \forall n\in \mathbb{N^*}\) và \(a\neq 0\).
2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
\(a^{\tfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) với \(a>0,\ n\geq 2;\ m,n\in\mathbb{Z}\).
3. Tính chất của lũy thừa
Với các cơ số \(a>0\) và \(b>0\), ta có
+) \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
+) \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
+) \(\displaystyle\frac{1}{a^n}=a^{-n}\).
+) \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\).
+) \(\left(a^m\right)^n = a^{m \times n}\).
+) \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\displaystyle\frac{a^n}{b^n}\).
+) \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{-n}\).
+) \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\).
+) \(\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}}\).
+) \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}\).
+) \(\sqrt[n]{a}=\sqrt[m\cdot n]{a^m}\).
+) \(\sqrt[n]a^n=\begin{cases}a& \text{khi } n \text{ lẻ}\\ |a|& \text{khi } n \text{ chẵn.}\end{cases}\)
Dạng 2. Biến đổi lũy thừa đơn giản
Dạng 3. Biến đổi lũy thừa phức tạp
Câu 1:
Với các số thực \(a\), \(b\) bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án: \(\displaystyle\frac{3^a}{3^b} = 3^{a-b}\)
Lời giải:
Mệnh đề đúng là \(\displaystyle\frac{3^a}{3^b} = 3^{a-b}\).
Câu 2:
Cho các số thực \(m\), \(n\) và \(a\) là số thực dương. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Đáp án: \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\)
Lời giải:
Ta có \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\).
Câu 1:
Giả sử \(a\) là số thực dương, khác \(1\). Biểu thức \(\sqrt{a\sqrt[3]{a}}\) được viết dưới dạng \(a^\alpha\). Khi đó giá trị \(\alpha\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: \(\alpha=\displaystyle\frac{2}{3}\)
Lời giải:
Ta có
\(\sqrt{a\sqrt[3]{a}}=\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}=\sqrt[6]{a^4}=a^{\frac{2}{3}}\).
Câu 2:
Cho \(a\) là số thực dương. Viết biểu thức \(P=\sqrt[3]{a^5}\cdot\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^3}}\) dưới dạng lũy thừa cơ số \(a\) ta được kết quả
Đáp án: \(P=a^{\tfrac{1}{6}}\)
Lời giải:
Ta có
\(P= a^{\tfrac{5}{3}}\cdot a^{-\tfrac{3}{2}}=a^{\tfrac{1}{6}}\).
Câu 1:
Rút gọn biểu thức \( P=\sqrt{a\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{a}}}}:\sqrt[24]{a^7}\ (a>0) \).
Đáp án: \( P=a^{\frac{1}{2}} \)
Lời giải:
Ta có
\(P=\left[a\left[a^2\left(a^{-1}\right)^{\frac{1}{4}}\right]^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{2}}: a^{\frac{7}{24}}\) \(=\left[a\left(a^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{2}}:a^{\frac{7}{24}}=\left(a^{\frac{19}{12}}\right)^{\frac{1}{2}}:a^{\frac{7}{24}}=a^{\frac{19}{24}}:a^{\frac{7}{24}}=a^{\frac{1}{2}} \).
Vậy \( P=a^{\frac{1}{2}} \).
Câu 2:
Cho biểu thức \(P=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{2}{3}\sqrt[3]{\displaystyle\frac{2}{3}\sqrt{\displaystyle\frac{2}{3}}}}\). Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là \textbf{đúng}?
Đáp án: \(P={{\left( \displaystyle\frac{2}{3} \right)}^{\frac{1}{2}}}\)
Lời giải:
Ta có
\(P=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{2}{3}\sqrt[3]{\displaystyle\frac{2}{3}\sqrt{\displaystyle\frac{2}{3}}}}\) \(=\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}}\cdot\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}}\) \(=\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}}=\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}}\).