Câu 1:
Cho hàm số \(f(x)=x^2-2 x+3\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(M(-1 ; 6) \in(C)\). Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(M\).
Ta có \(f^\prime(x)=2x-2\) nên \(f^\prime(-1)=-4\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M(-1 ; 6)\) là
\(y=f^\prime(-1)(x+1)+6\Leftrightarrow y=-4x+2.\)
}
Câu 2:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(\bullet\,\) \(y=3 x^4-7 x^3+3 x^2+1\)
\(\bullet\,\) \(y=\left(x^2-x\right)^3\)
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{4 x-1}{2 x+1}\).
Đạo hàm của các hàm số sau là
\(\bullet\,\) \(y^\prime=12x^3-21x^2+6x\).
\(\bullet\,\) \(y^\prime=3(x^2-x)^2(x^2-x)^\prime=3(x^2-x)^2(2x-1)\).
\(\bullet\,\) \(y^\prime=\displaystyle\frac{(4x-1)^\prime\cdot(2x+1)-(2x+1)^\prime\cdot(4x-1)}{(2x+1)^2}\) \(=\displaystyle\frac{6}{(2x+1)^2}\).
}
Câu 3:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(\bullet\,\) \(y=\left(x^2+3 x-1\right) e^x\);
\(\bullet\,\) \(y=x^3 \log _2 x\).
Đạo hàm của các hàm số sau là
\(\bullet\,\) \(y^\prime=(2x+3)e^x+(x^2+3x-1)e^x\) \(=e^x(x^2+5x-1)\).
\(\bullet\,\) \(y^\prime=(x^3)^\prime\ \cdot\log_2 x+x^3\cdot (\log_2 x)^\prime\) \(=3x^2\log_2 x+\displaystyle\frac{x^3}{x\ln2}\).
}
Câu 4:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(\bullet\,\) \(y=\tan \left(e^x+1\right)\);
\(\bullet\,\) \(y=\sqrt{\sin 3 x}\);
\(\bullet\,\) \(y=\cot \left(1-2^x\right)\).
Đạo hàm của các hàm số sau là
\(\bullet\,\) \(y^\prime=\displaystyle\frac{(e^x+1)^\prime}{\cos^2(e^x+1)}=\displaystyle\frac{e^x}{\cos^2(e^x+1}\).
\(\bullet\,\) \(y^\prime=\displaystyle\frac{(\sin3x)^\prime}{2\sqrt{\sin3x}}=\displaystyle\frac{3\cos3x}{2\sqrt{\sin3x}}\).
\(\bullet\,\) \(y^\prime=\displaystyle\frac{(1-2^x)^\prime}{\sin^2(1-2^x)}=\displaystyle\frac{2^x\ln x}{\sin^2(1-2^x)}\).
}
Câu 5:
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
\(\bullet\,\) \(y=x^3-4 x^2+2 x-3\);
\(\bullet\,\) \(y=x^2 e^x\).
Đạo hàm cấp \(1\) của các hàm số sau là
\(\bullet\,\) \(y^\prime=3x^2-8x+2\).
\(\bullet\,\) \(y^\prime=2xe^x+x^2e^x=e^x(2x+x^2)\).
Đạo hàm cấp \(2\) của các hàm số trên là
\(\bullet\,\) \(y^{\prime\prime}=6x-8\).
\(\bullet\,\) \(y^{\prime\prime}=e^x(2x+x^2)+e^x(2+2x)\) \(=e^x(x^2+4x+2)\).
}
Câu 6:
Một viên sỏi rơi từ độ cao \(44,1\) m thì quãng đường rơi được biểu diễn bởi công thức \(s(t)=4,9t^2\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Tính:
\(\bullet\,\) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc \(t=2\);
\(\bullet\,\) Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất.
Ta có \(s'(t)=4,9\cdot 2t\).
\(\bullet\,\) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc \(t=2\) là \(s'(2)=4,9\cdot 2\cdot 2=19,6\) m/s.
\(\bullet\,\) Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất.
Thời gian viên sỏi rơi từ độ cao \(44,1\) m đến lúc chạm đất
\(4,9t^2=44,1\) suy ra \(t=3\) vì \((t>0).\)
Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất là \(s'(3)=4,9\cdot 2\cdot 3=29,4\) m/s.
}
Câu 7:
Một vật chuyển động trên một đường thẳng được xác định bởi công thức \(s(t)=2t^3+4t+1\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật khi \(t=1\).
Ta có \(s'(t)=6t^2+4\), \(s''(t)=12t\).
Vận tốc của vật khi \(t=1\) là \(s'(1)=6\cdot 1^2+4=10\) m/s.
Gia tốc của vật khi \(t=1\) là \(s''(1)=12\cdot 1=12 ~ m/s^2\).
}
Câu 8:
Dân số \(P\) (tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được tính theo công thức \(P(t)=\displaystyle\frac{500t}{t^2+9}\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng năm. Tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t=12\).
\(P'(t)=\left(\displaystyle\frac{500t}{t^2+9}\right)'\) \(=\displaystyle\frac{(500t)'(t^2+9)-500t\left(t^2+9\right)'}{\left(t^2+9\right)^2}\) \(=\displaystyle\frac{500(t^2+9)-100t\cdot 2t}{\left(t^2+9\right)^2}\) \(=\displaystyle\frac{-500t^2+4500}{(t^2+9)^2}\).
Tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t=12\) là \(P'(12)\simeq -2,88\) nghìn người/năm.
}
Câu 9:
Hàm số \(S(r)=\displaystyle\frac{1}{r^4}\) có thể được sử dụng để xác định sức cản \(S\) của dòng máu có bán kính \(r\) (tính theo milimét) (theo Bách khoa toàn thư Y học "Harrison's internal medicine \(21\)st edition"). Tìm tốc độ thay đổi của \(S\) theo \(r\) khi \(r=0,8\).
Ta có \(S'(r)=\left(\displaystyle\frac{1}{r^4}\right)'=\left(r^{-4}\right)'=-4r^{-5}=\displaystyle\frac{-4}{r^5}\).
Tìm tốc độ thay đổi của \(S\) theo \(r\) khi \(r=0,8\) là \(S'(0,8)\simeq-12,207\).
}
Câu 10:
Nhiệt độ cơ thể của một người trong thời gian bi bệnh được cho bởi công thức \(T(t)=-0,1t^2+1,2t+98,6\), trong đó \(T\) là nhiệt độ (tính theo đơn vị đo nhiệt độ Fahrenheit) tại thời điểm \(t\) (tính theo ngày). Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm \(t=1,5\).
Ta có \(T'(t)=-0,2t+1,2\).
Tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm \(t=1,5\) là \(T'(1,5)=0,9\).
}
Câu 11:
Hàm số \(R(v)=\displaystyle\frac{600}{v}\) có thể dùng để xác định nhịp tim \(R\) của một người mà tim của người đó có thể lấy đi được \(6000~ml\) máu trên mỗi phút và \(v~ml\) máu trên mỗi nhịp đập (theo Bách khoa toàn thư Y học "Harrison's internal medicine \(21\)st edition"). Tìm tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp là \(v=80\).
Ta có \(R'(v)=-\displaystyle\frac{600}{v^2}\).
Tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp \(v=80\) là \(R'(80)=-0,09375\).
}