Câu 1:
Vẽ đồ thị hàm số: \(y=x^2-3x+2\). Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình: \(x^2-3x+2 \geq 0\).
baitapsgk10/t10ch7b4sgkh1.png
Việc giải bất phương trình \(x^2-3x+2 \geq 0\) ứng với việc tìm các khoảng mà phần đồ thị tương ứng của nó nằm phía trên trục hoành.
Từ đồ thị ta thấy \(\left[\begin{aligned}& x\le 1 \\ & x\ge 2\end{aligned}\right.\) thì đồ thị hàm số \(y=x^2-3x+2\) nằm phía trên trục hoành.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=(-\infty;1]\cup [2;+\infty)\).
}
Câu 2:
Vẽ đồ thị hàm số: \(y=x^2-x-6\). Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình: \(x^2-x-6<0\).
baitapsgk10/t10ch7b4sgkh2.png
Việc giải bất phương trình \(x^2-x-6 < 0\) ứng với việc tìm các khoảng mà phần đồ thị tương ứng của nó nằm phía dưới trục hoành.
Từ đồ thị ta thấy \(-2< x<3\) thì đồ thị hàm số \(y=x^2-x-6\) nằm phía dưới trục hoành.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=(-2;3)\).
}
Câu 3:
Giải các bất phương trình bậc hai sau:
\(\bullet\,\) \(4x^2-9x+5 \leq 0\);
\(\bullet\,\) \(-3x^2-x+4>0\);
\(\bullet\,\) \(36x^2-12x+1>0\);
\(\bullet\,\) \(-7x^2+5x+2<0\).
\(\bullet\,\) Xét tam thức bậc hai \(f(x)=4x^2-9x+5\), có \(a=4>0\) và \(\Delta=(-9)^2-4 \cdot 4 \cdot 5=1>0\).
Suy ra tam thức có hai nghiệm \(x_1=1\) và \(x_2=\displaystyle\frac{5}{4}\).
Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta được:
\(f(x)<0 \text { khi } x \in \left(1;\displaystyle\frac{5}{4}\right)\).
Suy ra \(4x^2-9x+5 \leq 0\) khi \(x \in\left[1;\displaystyle\frac{5}{4}\right]\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(\mathrm{S}=\left[1;\displaystyle\frac{5}{4}\right]\).
\(\bullet\,\) Xét tam thức bậc hai \(f(x)=-3 x^2-x+4\), có \(a=-3<0\) và \(\Delta=(-1)^2-4 \cdot(-3) \cdot 4=49>0\).
Suy ra tam thức có hai nghiệm \(x_1=1\) và \(x_2=-\displaystyle\frac{4}{3}\).
Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta được:
\(f(x)>0\) khi \(x \in\left(-\displaystyle\frac{4}{3};1\right)\)
Suy ra \(-3x^2-x+4>0\) khi \(x \in\left(-\displaystyle\frac{4}{3};1\right)\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S=\left(-\displaystyle\frac{4}{3};1\right)\).
\(\bullet\,\) Xét tam thức bậc hai \(f(x)=36x^2-12x+1\), có \(a=36>0\) và \(\Delta=(-12)^2-4 \cdot 36 \cdot 1=0\).
Suy ra tam thức có nghiệm kép \(x=\displaystyle\frac{1}{6}\).
Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta được:
\(f(x)>0\) khi \(x \neq \displaystyle\frac{1}{6}\).
Suy ra \(36x^2-12 x+1>0\) khi \(x \neq \displaystyle\frac{1}{6}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S=\mathbb{R} \backslash \left\lbrace \displaystyle\frac{1}{6}\right\rbrace\).
\(\bullet\,\) Xét tam thức bậc hai \(f(x)=-7x^2+5x+2\), có \(a=-7>0\) và \(\Delta=5^2-4 \cdot(-7) \cdot 2=81>0\).
Suy ra tam thức có hai nghiệm \(x_1=1\) và \(x_2=-\displaystyle\frac{2}{7}\).
Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta được:
\(f(x)<0\) khi \(x \in \left(-\infty;-\displaystyle\frac{2}{7}\right) \cup (1;+\infty)\).
Suy ra \(-7x^2+5x+2<0\) khi \(x \in\left(-\infty;-\displaystyle\frac{2}{7}\right) \cup (1;+\infty)\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S=\left(-\infty;-\displaystyle\frac{2}{7}\right) \cup (1;+\infty)\).
}
Câu 4:
Giải các phương trình sau:
\(\bullet\,\) \(\sqrt{8-x}+x=-4\);
\(\bullet\,\) \(\sqrt{3x^2-5x+2}+3x=4\).
\(\bullet\,\) \(\sqrt{8-x}+x=-4 \qquad (1)\)
Điều kiện: \(-x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq -4\)
\begin{eqnarray*}(1)&\Leftrightarrow & \sqrt{8-x}=-x-4\\&\Leftrightarrow & 8-x=x^2+8x+16\\&\Leftrightarrow & x^2+9x+8=0\\&\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&x=-1 \text{ (không thoả mãn)}\\&x=-8 \text{ (thoả mãn)}\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\mathrm{S}=\left\lbrace -8\right\rbrace \)
\(\bullet\,\) \(\sqrt{3x^2-5x+2}+3x=4 \qquad (2)\)
Điều kiện: \(-3x+4 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \displaystyle\frac{4}{3}\)
\begin{eqnarray*}(2)&\Leftrightarrow & \sqrt{3x^2-5x+2}=-3x+4\\&\Leftrightarrow & 3x^2-5x+2=9x^2-24x+16\\&\Leftrightarrow & 6x^2-19x+14=0\\&\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&x=2 \text{ (không thoả mãn)}\\&x=\displaystyle\frac{7}{6} \text{ (thoả mãn)}\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\mathrm{S}=\left\lbrace \displaystyle\frac{7}{6}\right\rbrace \)
}
Câu 5:
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để
\(\bullet\,\) Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{mx^2-2mx+5}}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\).
\(\bullet\,\) Tam thức bậc hai \(y=-x^2+mx-1\) có dấu không phụ thuộc vào \(x\).
\(\bullet\,\) Hàm số \(y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}\) có tập xác định chỉ gồm một phần tử.
\(\bullet\,\) Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{mx^2-2mx+5}}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{mx^2-2mx+5}}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) nếu và chỉ nếu \(mx^2-2mx+5>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
- Khi \(m=0\) thì hàm số cho bởi công thức \(y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\), lúc này hàm số có tập xác định \(\mathbb{R}\).
- Khi \(m\ne 0\) thì \(mx^2-2mx+5>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\) nếu và chỉ nếu \(\begin{cases} a>0 \\ \Delta'<0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m>0 \\ m^2-5m<0\end{cases}\Leftrightarrow 0
\(\bullet\,\) Tam thức bậc hai \(y=-x^2+mx-1\) có dấu không phụ thuộc vào \(x\).
Tam thức \(y=-x^2+mx-1\) có dấu không phụ thuộc vào \(x\) khi và chỉ khi
\(\Delta<0 \Leftrightarrow m^2-4<0\Leftrightarrow -2
\(\bullet\,\) Hàm số \(y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}\) có tập xác định chỉ gồm một phần tử.
Hàm số \(y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}\) có tập xác định chỉ gồm một phần tử khi và chỉ khi nó có dạng \(y=\sqrt{-2(x+\alpha)^2}\).
Điều này tương đương với
\(\Delta=0\Leftrightarrow m^2-4m-48=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& m=-4 \\ & m=12.\end{aligned}\right.\)
}
Câu 6:
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB=6\) cm, \(AD=13\) cm. Tìm vị trí điểm \(M\) trên cạnh \(AD\) sao cho \(BM=2MD\).
baitapsgk10/t10ch7b4sgkh3.png
Đặt \(AM=x\) (\(0
Theo giả thiết ta có
\begin{eqnarray*}BM=2MD&\Leftrightarrow& \sqrt{36+x^2}=2(13-x)\\&\Leftrightarrow&\begin{cases}13-x\ge 0 \\ 36+x^2=4(13-x)^2\end{cases}\\&\Leftrightarrow&\begin{cases} x\le 13 \\ 3x^2-104x+640=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow& x=8.\end{eqnarray*}
Vậy \(AM=8\) cm.
}
Câu 7:
Trong vật lí ta biết rằng, khi một vật được ném xiên với vận tốc ban đầu \(v_0\), góc ném hợp với phương ngang \(Ox\) một góc \(\alpha\), nếu ta bỏ qua sức cản của không khí và gió, vật chỉ chịu tác động của trọng lực với gia tốc trọng trường \(g=9{,}8\) m/s\(^2\), thì độ cao \(y\)(so với mặt đất) của vật phụ thưộc vào khoảng cách theo phương ngang \(x\) (tính đến mặt đất tại điểm ném) theo một hàm số bậc hai cho bởi công thức
\(y=\displaystyle\frac{-g}{2v^2\cos^2\alpha}x^2+x\tan\alpha.\)
Như vậy quỹ đạo chuyển động của vật là một phần của Parabol. Hãy xác định
\(\bullet\,\) Các hệ số \(a\), \(b\) và \(c\) của hàm số bậc hai này.
\(\bullet\,\) Độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được.
\(\bullet\,\) Giả sử vận tốc ban đầu \(v_0\) không đổi. Từ kết quả câu b) hãy xác định góc ném \(\alpha\) để độ cao lớn nhất của vật đạt giá trị lớn nhất.
\(\bullet\,\) Một quả bóng được đá từ mặt đất lên cao với vận tốc ban đầu \(v_0=20\) m/s và góc đá so với phương ngang là \(\alpha=45^\circ\). Khi quả bóng ở độ cao \(5\) m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng nằm trong khoảng nào (làm tròn kết quả đến phần trăm).
baitapsgk10/t10ch7b4sgkh4.png
\(\bullet\,\) Các hệ số của hàm số bậc hai là \(a=\displaystyle\frac{-g}{2v_0\cos^2\alpha}<0\), \(b=\tan \alpha\), \(c=0\).
\(\bullet\,\) Tọa độ đỉnh \(I\) của Parabol là
\(\begin{cases}x_I=-\displaystyle\frac{b}{2a}=-\displaystyle\frac{(\tan \alpha)\cdot\left(2\cos^2\alpha\right)}{-2g}=\displaystyle\frac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} \\ y_I=f\left(x_I\right)=\left(\displaystyle\frac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\right)\left(\displaystyle\frac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}\right)^2+\left(\tan\alpha\right)\displaystyle\frac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}=\displaystyle\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.\end{cases}\)
Vậy độ cao lớn nhất của vật là \(y_{\max}=\displaystyle\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\).
\(\bullet\,\) Độ cao lớn nhất của vật \(y_{\max}=\displaystyle\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\le \displaystyle\frac{v_0^2}{2g}\), dấu \lq\lq\(=\)\rq\rq\, xảy ra khi \(\sin^2\alpha=1\Leftrightarrow\alpha=90^\circ\).
Như vậy góc ném \(90^\circ\) thì độ cao lớn nhất của vật sẽ đạt giá trị lớn nhất.
\(\bullet\,\) Phương trình quỹ đạo của quả bóng là
\(y=\left(\displaystyle\frac{9{,}8}{2\cdot20^2\cdot\cos^2 45^{\circ}}\right)x^2+\left(\tan45^{\circ}\right)x=-\displaystyle\frac{9{,}8}{400}x^2+x.\)
Quả bóng ở độ cao trên \(5\) m nghĩa là
\(-\displaystyle\frac{9{,}8}{400}x^2+x>5\Leftrightarrow 9{,}8x^2-400x+2000<0\Leftrightarrow 5{,}83
}
Câu 8:
Một công ty kinh doanh máy tính cầm tay thấy rằng khi bán máy ở mức giá \(x\) (nghìn đồng) một chiếc thì số lượng máy bán được \(n\) cho bởi phương trình \(n=1\,200\,000-1\,200 x\).
\(\bullet\,\) Tìm công thức biểu diễn doanh thu \(R\) như là hàm số của đơn giá \(x\). Tìm miền xác định của hàm số \(R=R(x)\).
\(\bullet\,\) Máy tính được bán ở đơn giá nào sẽ cho doanh thu lớn nhất? Tính doanh thu lớn nhất và số máy tính bán được trong trường hợp đó.
\(\bullet\,\) Với đơn giá nào thì công ty sẽ đạt doanh thu trên \(200\) tỉ đồng (làm tròn đến nghìn đồng).
\(\bullet\,\) Công thức biểu thị danh thu \(R\) là
\(R(x)=nx=(1\,200\,000-1\,200x)x=-1\,200x^2+1\,200\,000x.\)
Điều kiện để hàm \(R(x)\) xác định là \(\begin{cases}x\ge 0 \\ n=1\,200\,000-1\,200 x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow 0\le x\le 1\,000\).
Tập xác định của hàm \(R(x)\) là \([0;1\,000]\).
\(\bullet\,\) Hàm số \(R=R(x)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=500\) và giá trị lớn nhất của doanh thu bằng \(R(500)=300\,000\,000\).
Như vậy với đơn giá \(500\) nggìn đồng một chiếc thì công ty đạt doanh thu cao nhất là \(300\) tỉ đồng và khi đó số máy tính bán được là \(n=600\,000\) chiếc.
\(\bullet\,\) Doanh thu đạt trên \(200\) tỉ đồng nghĩa là
\begin{eqnarray*}R(x)&=&(1\,200\,000-1\,200x)x> 2\,000\,000\\&\Leftrightarrow& 1\,200x^2-1\,200\,000x-2\,000\,000<0\\&\Leftrightarrow& 211{,}32
Như vậy với đơn giá \(212\) nghìn đồng thì doanh thu của công ty đạt trên \(200\) tỉ đồng.
}
Câu 9:
Hình bên dưới cho biết bảng giá cước của một hãng taxi (đã bao gồm thuế VAT).
\(\bullet\,\) Số tiền phải trả \(y\) (đồng) có phải là hàm số của quãng đường \(x\) (km) khi đi taxi hay không? Giải thich. Nếu đúng, hãy xác định những công thức tính \(y\) theo \(x\) biểu thị cho bảng trên.
\(\bullet\,\) Quãng đường \(x\) km có phải là hàm số của số tiền phải trả \(y\) (đồng) không? Giải thích.
\(\bullet\,\) Tính số tiền bạn Quân phải trả khi đi taxi hãng trên với quãng đường \(20\) km.
baitapsgk10/t10ch7b4sgkh5.png
\(\bullet\,\) Dựa vào bảng ta có số ứng với mỗi quãng đường \(x\) ta sẽ xác định được duy nhất một giá trị của \(y\). Do đó số tiền phải trả \(y\) (đồng) phải là hàm số của quãng đường \(x\) (km).\\
Dựa vào bảng trên, ta có công thức tính \(y\) theo \(x\) là:
\(y=\begin{cases}&5000&\text{ khi } 0
\(\bullet\,\) Ta thấy với giá trị \(y=5000\) đồng ta xác định được rất nhiều giá trị của \(x\) thỏa mãn \(0
\(\bullet\,\) Ta có \(x=20\) thỏa mãn \(10
Khi đó theo công thức xác định của hàm số \(y\) theo \(x\) ta có \(y=17600\).
Số tiền bạn Quân phải trả khi đi taxi hãng trên với quãng đường \(20\) km là: \(17600 \cdot 20=352000\) (đồng).
Vậy Quân phải trả \(352000\) đồng cho hãng taxi trên.
}
Câu 10:
Quan sát chiếc cầu Cổng Vàng (Golden Gate bridge) được mô tả ở hình dưới đây.
Độ cao \(h\) (feet) tính từ mặt cầu đến các điểm trên dây treo ở phần giữa hai trụ cầu được xác định bởi công thức \(h(x)=\displaystyle\frac{1}{9000} x^2-\displaystyle\frac{7}{15}x+500\), trong đó \(x\) (feet) là khoảng cách từ trụ cầu bên trái đến điểm tương ứng trên dây treo.
\(\bullet\,\) Xác định độ cao của trụ cầu so với mặt cầu theo đơn vị feet.
\(\bullet\,\) Xác định khoảng cách giữa hai trụ cầu theo đơn vị feet, biết rằng hai trụ cầu này có độ cao bằng nhau.
baitapsgk10/t10ch7b4sgkh6.png
\(\bullet\,\) Độ cao của trụ cầu bên trái chính là tung độ của điểm giao giữa trụ cầu (trục tung) và dây treo (parabol) là điểm \(A\).
Thay \(x=0\) vào \(h(x)=\displaystyle\frac{1}{9000} x^2-\displaystyle\frac{7}{15} x+500\), ta được \(h(0)=\displaystyle\frac{1}{9000} \cdot 0^2-\displaystyle\frac{7}{15} \cdot 0+500=500\).
Vậy chiều cao của trụ cầu bên trái là \(500\) (feet).
\(\bullet\,\) Trụ cầu bên phải có chiều cao bằng trụ cầu bên trái và bằng \(500\) m. Do đó tung độ điểm \(B\) là \(y_{B}=500\).
Vì \(B\) cũng thuộc vào parabol nên thay \(y_{B}=500\) vào \(h(x)=\displaystyle\frac{1}{9000} x^2-\displaystyle\frac{7}{15} x+500\), ta được:
\(500=\displaystyle\frac{1}{9000} x^2-\displaystyle\frac{7}{15} x+500\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x=4200.\end{aligned}\right.\)
Vì \(x_B>0\) nên \(x_B=4200\).
Vậy khoảng cách giữa hai trụ cầu là \(4200\) (feet).
}
Câu 11:
Bác Nam dự định làm một khung ảnh hình chữ nhật sao cho phần trong của khung là hình chữ nhật có kích thước \(6\) cm \(\times\) \(11\) cm, độ rộng viền xung quanh là \(x\) cm (hình bên). Diện tích của viền khung ảnh không vượt quá \(38\) cm\(^2\). Hỏi độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là bao nhiêu xăng-ti-mét?
baitapsgk10/t10ch7b4sgkh7.png
Chiều dài hình chữ nhật bên ngoài là: \(x+11+x=2x+11\) cm.
Chiều rộng hình chữ nhật bên ngoài là: \(x+6+x=2x+6\) cm.
Diện tích hình chữ nhật bên ngoài là: \(\left(2x+11\right)\left(2x+6\right)=4x^2+34x+66\) cm\(^2\).
Diện tích của hình chữ nhật bên trong là: \(6.11=66\) cm\(^2\).
Diện tích của viền khung ảnh là: \(4x^2+34x+66-66=4x^2+34x\) cm\(^2\).
Vì diện tích của viền khung ảnh không vượt quá \(38\) cm\(^2\) nên ta có:
\(4x^2+34x \leq 38 \Leftrightarrow 4x^2+34x-38 \leq 0\)
Xét tam thức \(f(x)=4x^2+34x-38\), có \(a=4>0\) và \(\Delta=34^2-4 \cdot 4 \cdot(-38)=1764>0\).
Suy ra tam thức \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1=1\) và \(x_2=-\displaystyle\frac{19}{2}\).
Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có: \(f(x)<0\) khi \(x \in\left(-\displaystyle\frac{19}{2};1\right)\).
Do đó bất phương trình \(4x^2+34x-38 \leq 0\) khi \(x \in \left[-\displaystyle\frac{19}{2} ; 1\right]\).
Mà \(x>0\) nên ta có \(0
Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 xăng-ti-mét.
}
Câu 12:
Hai địa điểm \(A\) và \(B\) cách nhau bởi một con sông (coi hai bờ sông song song). Người ta muốn xây một chiếc cầu bắc vuông góc với bờ sông để có thể đi từ \(A\) đến \(B\). Với các số liệu (tính theo đơn vị ki-lô-mét) cho trên, tìm \(x\) km để xác định vi trí đặt chân cầu sao cho khoảng cách từ \(B\) đến chân cầu phía \(B\) gấp đôi khoảng cách từ \(A\) đến chân cầu phía \(A\).
baitapsgk10/t10ch7b4sgkh8.png
baitapsgk10/t10ch7b4sgkh9.png
Ta có \(AD=x\) nên \(x>0\)
Xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\), có:
\begin{eqnarray*}& &BC^2=BH^2+CH^2 \\&\Leftrightarrow & BC^2=4^2+(6-x)^2\\&\Leftrightarrow & BC^2=16+36-12x+x^2\\&\Leftrightarrow & BC=\sqrt{x^2-12x+52}\end{eqnarray*}
Xét tam giác \(AKD\) vuông tại \(K\), có:
\begin{eqnarray*}& &AD^2=AK^2+KD^2 \\&\Leftrightarrow & AD^2=2^2+x^2\\&\Leftrightarrow & AD^2=x^2+4\\&\Leftrightarrow & AD=\sqrt{x^2+4}\end{eqnarray*}
Để vị trí đặt chân cầu sao cho khoảng cách từ \(B\) đến chân cầu phía \(B\) gấp đôi khoảng cách từ \(A\) đến chân cầu phía \(A\) ta có \(BC=2AD\)
Hay \(\sqrt{x^2-12x+52}=2\sqrt{x^2+4}\)
Điều kiện \(x^2+4 \geq 0\) luôn đúng với mọi \(x\).
\begin{eqnarray*}& & x^2-12x+52=4\left(x^2+4\right)\\&\Leftrightarrow & x^2-12x+52=4x^2+16 \\&\Leftrightarrow & 3x^2+12x-36=0\\&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&x=2 &\text{(thoả mãn)}\\&x=-6 &\text{(không thoả mãn)}\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}
Vậy \(x=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
}