Bảng tần số ghép nhóm như sau:

\begin{array}{|c|c|}\hline\textbf{Nhóm} & \textbf{Tần số}\\ \hline \left[169;163\right) & 6\\ \hline \left[163;166\right) & 12\\ \hline \left[166;169\right) & 10\\ \hline \left[169;172\right) & 5\\\hline \left[172;175\right) & 3\\ \hline& n = 36 \\ \hline \end{array}

}

a) Mẫu số liệu gồm \(120\) số liệu và \(5\) nhóm.

b) Tần số lần lượt của các nhóm \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) lần lượt là \(11\), \(31\), \(45\), \(21\), \(12\).

}

a) Ta có bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \textbf{Nhóm} & \textbf{Giá trị đại diện} & \textbf{Tần số} & \textbf{Tần số tích luỹ}\\ \hline \left[15;20\right) & 17{,}5 & 1 & 1\\ \left[20;25\right) & 22{,}5 & 0 & 1\\ \left[25;30\right) & 27{,}5 & 0 & 1\\ \left[30;35\right) & 32{,}5 & 1 & 2\\ \left[35;40\right) & 37{,}5 & 10 & 12\\ \left[40;45\right) & 42{,}5 & 17 & 29\\ \left[45;50\right) & 47{,}5 & 0 & 29\\ \left[50;55\right) & 52{,}5 & 1 & 30\\ \hline & & n = 30 &\\ \hline \end{array}

b)

+) Trung bình cộng của mẫu số liệu trên là

\[\overline{x} = \displaystyle\frac{17{,}5 \cdot 1 + 32{,}5 \cdot 1 + 37{,}5 \cdot 10+ 42{,}5 \cdot 17+ 52{,}5 \cdot 1}{30} = 40\text{ (kg)}.\]

+) Ta có \(\displaystyle\frac{n}{2} = 15\), mà \(12<15<29\) nên nhóm \(6\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(15\).

Xét nhóm \(6\) là nhóm \(\left[40;45\right)\) có \(r=40\), \(d=5\), \(n_6=17\) và nhóm \(5\) có \(cf_5 = 12\).

Khi đó, tứ phân vị thứ hai (cũng là trung vị) là

\[Q_2 = M_e = 40 + \displaystyle\frac{15-12}{17} \cdot 5 = 40{,}9\text{ (kg)}.\]

+) Ta có \(\displaystyle\frac{n}{4} = 7{,}5\), mà \(2<7{,}5<12\) nên nhóm \(5\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(7{,}5\).

Xét nhóm \(5\) là nhóm \(\left[35;40\right)\) có \(s=35\), \(h=5\), \(n_5=10\) và nhóm \(4\) có \(cf_4 = 2\).

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất là

\[Q_1 = 35 + \displaystyle\frac{7{,}5 - 2}{10} \cdot 5 \approx 37{,}8\text{ (kg)}.\]

+) Ta có \(\displaystyle\frac{3n}{4} = 22{,}5\), mà \(12 < 22{,}5 <29\) nên nhóm \(6\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(22{,}5\).

Xét nhóm \(6\) là nhóm \(\left[40;45\right)\) có \(t=40\), \(l=5\), \(n_6=17\) và nhóm \(5\) có \(cf_5 = 12\).

Khi đó, tứ phân vị thứ ba là

\[Q_3 = 40 + \displaystyle\frac{22{,}5 - 12}{17} \cdot 5 \approx 43{,}1\text{ (kg)}.\]

Vậy \(40\text{ (kg)}\) là trung bình mẫu, \(40{,}9\text{ (kg)}\) là trung vị của mẫu và \(Q_1 = 37{,}8\text{ (kg)}\), \(Q_2 = 40{,}9\text{ (kg)}\), \(Q_3 = 43{,}1\text{ (kg)}\) là tứ phân vị của mẫu.

c) Ta thấy: Nhóm \(6\) ứng với nửa khoảng \(\left[40;45\right)\) là nhóm có tần số lớn nhất với \(u=40\), \(g=5\), \(n_6 = 17\). Nhóm \(5\) có tần số \(n_5 = 10\), nhóm \(7\) có tần số \(n_7 = 0\).

Khi đó, mốt của mẫu số liệu là

\[M_o = 40 + \left( \displaystyle\frac{17 - 10}{2\cdot 17 - 10 - 0} \right) \cdot 5 \approx 41{,}5\text{ (kg)}.\]

}

a) Ta có bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \textbf{Nhóm} & \textbf{Giá trị đại diện} & \textbf{Tần số} & \textbf{Tần số tích luỹ}\\ \hline \left[40;45\right) & 42{,}5 & 4 & 4\\ \left[45;50\right) & 47{,}5 & 11 & 15\\ \left[50;55\right) & 52{,}5 & 7 & 22\\ \left[55;60\right) & 57{,}5 & 8 & 30\\ \left[60;65\right) & 62{,}5 & 8 & 38\\ \left[65;70\right) & 67{,}5 & 2 & 40\\ \hline& & n = 40 &\\ \hline \end{array}

b)

+) Trung bình cộng của mẫu số liệu trên là

\[\overline{x} = \displaystyle\frac{42{,}5 \cdot 4 + 47{,}5 \cdot 11 + 52{,}5 \cdot 7+ 57{,}5 \cdot 8+ 62{,}5 \cdot 8 + 67{,}5 \cdot 2}{40} = 53{,}875\text{ (km/h)}.\]

+) Ta có \(\displaystyle\frac{n}{2} = 20\), mà \(15<20<22\) nên nhóm \(3\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(20\).

Xét nhóm \(3\) là nhóm \(\left[50;55\right)\) có \(r=50\), \(d=5\), \(n_3=7\) và nhóm \(2\) có \(cf_2 = 15\).

Khi đó, tứ phân vị thứ hai (cũng là trung vị) là

\[Q_2 = M_e = 50 + \displaystyle\frac{20-15}{7} \cdot 5 = 53{,}6\text{ (km/h)}.\]

+) Ta có \(\displaystyle\frac{n}{4} = 10\), mà \(4<10<15\) nên nhóm \(2\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(10\).

Xét nhóm \(2\) là nhóm \(\left[45;50\right)\) có \(s=45\), \(h=5\), \(n_2=11\) và nhóm \(1\) có \(cf_1 = 4\).

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất là

\[Q_1 = 45 + \displaystyle\frac{10-4}{11} \cdot 5 \approx 47{,}7\text{ (km/h)}.\]

+) Ta có \(\displaystyle\frac{3n}{4} = 30\), mà \(30\le 30<38\) nên nhóm \(4\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(30\).

Xét nhóm \(4\) là nhóm \(\left[55;60\right)\) có \(t=55\), \(l=5\), \(n_4=8\) và nhóm \(3\) có \(cf_3 = 22\).

Khi đó, tứ phân vị thứ ba là

\[Q_3 = 55 + \displaystyle\frac{30-22}{8} \cdot 5 = 60\text{ (km/h)}.\]

Vậy \(53{,}875\text{ (km/h)}\) là trung bình mẫu, \(53{,}6\text{ (km/h)}\) là trung vị của mẫu và \(Q_1 = 47{,}7\text{ (km/h)}\), \(Q_2 = 53{,}6\text{ (km/h)}\), \(Q_3 = 60\text{ (km/h)}\) là tứ phân vị của mẫu.

c) Ta thấy: Nhóm \(2\) ứng với nửa khoảng \(\left[45;50\right)\) là nhóm có tần số lớn nhất với \(u=45\), \(g=5\), \(n_2 = 11\). Nhóm \(1\) có tần số \(n_1 = 4\), nhóm \(3\) có tần số \(n_3 = 7\).

Khi đó, mốt của mẫu số liệu là

\[M_o = 45 + \left( \displaystyle\frac{11 - 4}{2\cdot 11 - 4 - 7} \right) \cdot 5 \approx 48{,}2\text{ (km/h)}.\]

}

a) Bảng số liệu ghép nhóm về điểm thi môn Toán của 60 thí sinh

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Điểm} & \left[0;20\right) & \left[20;40\right) & \left[40;60\right) & \left[60;80\right) & \left[80;100\right) \\\hline \text{Số thí sinh}& 3 & 10 & 27 & 16 & 4 \\ \hline \end{array}

b) Cỡ mẫu \(n=60\). Gọi \(x_1\), \(x_2\),\(\ldots\), \(x_{60}\) là điểm thi môn Toán của 60 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là \(\displaystyle\frac{x_{30}+x_{31}}{2}\).

Do hai giá trị \(x_{30}\), \(x_{31}\) thuộc nhóm \(\left[40;60\right)\) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, \(p=3;a_3=40;m_3=27;m_1+m_2=13;a_4-a_3=20\) và ta có

\(Q_2=M_e=40+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{60}{2}-13}{27}\cdot 20\approx 52{,}6.\)

Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1=\displaystyle\frac{x_{15}+x_{16}}{2}\). Do hai giá trị \(x_{15}\), \(x_{16}\) thuộc nhóm \(\left[40;60\right)\) nên nhóm này chứa \(Q_1\). Do đó, \(p=3;\,a_3=40;\,m_3=27;\,m_1+m_2=13;\,a_4-a_3=20\) và ta có

\(Q_1=40+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{60}{4}-13}{27}\cdot 20\approx 41{,}5.\)

Tứ phân vị thứ ba \(Q_3=\displaystyle\frac{x_{45}+x_{46}}{2}\). Do hai giá trị \(x_{45}\), \(x_{46}\) thuộc nhóm \(\left[60;80\right)\) nên nhóm này chứa \(Q_3\). Do đó, \(p=4;\,a_4=60;\,m_4=16;\,m_1+m_2+m_3=40;\,a_5-a_4=20\) và ta có

\(Q_3=60+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 60}{4}-40}{16}\cdot 20\approx 66{,}3.\)

Khoảng cách từ \(Q_1\) đến \(Q_2\) là \(11{,}1\) còn khoảng cách từ \(Q_2\) và \(Q_3\) là \(13{,}7\). Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung với mật độ cao hơn ở bên trái \(Q_2\) và mật độ thấp hơn ở bên phải \(Q_2\).

}

Điểm ngưỡng để đưa ra danh sách \(25\%\) trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là tứ phân vị thứ ba \(Q_3\).

Tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm thứ ba \(p=3\).

Suy ra \(p=3\); \(n=35\); \(a_3=30\); \(a_4=40\); \(m_3=6\); \(m_1+m_2=4+19=23\).

Do đó \(Q_3=a_p+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3n}{4}-\left(m_1+m_2+\cdots+m_{p-1}\right)}{m_p}\cdot \left(a_{p+1}-a_p\right)=30+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 35}{4}-23}{6}\cdot 10\approx 35{,}42.\)

}

Bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Khoảng điểm} &[6{,}5; 7) &[7; 7{,}5) &[7{,}5; 8) &[8; 8{,}5) &[8{,}5;9) &[9; 9{,}5) &[9{,}5; 10) \\ \hline \text{Giá trị đại diện} &6{,}75 &7{,}25 &7{,}75 &8{,}25 &8{,}75 &9{,}25 &9{,}75 \\ \hline \text{Tần số} & 8 & 10 & 16 & 24 & 13 & 7 & 4 \\ \hline \end{array}

Điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp \(11\) là

\[\overline{x}=\displaystyle\frac{8\cdot 6{,}75+10\cdot 7{,}25+16\cdot 7{,}75+24\cdot 8{,}25+13\cdot 8{,}75+7\cdot 9{,}25+4\cdot 9{,}75}{82}\approx 8{,}12. \]

Gọi \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\), \(x_{82}\) là điểm trung bình môn Toán của \(82\) học sinh lớp \(11\) xếp theo thứ tự không giảm.

Do \(x_1,x_2,\ldots, x_8\in [6{,}5;7)\); \(x_9\), \(x_{10}\), \(\ldots\), \(x_{18}\in[7;7{,}5)\); \(x_{19}\), \(x_{20}\), \(\ldots\), \(x_{34}\in[7{,}5;8)\); \(x_{35}\), \(x_{36}\), \(\ldots\), \(x_{58}\in[8;8{,}5)\); \(x_{59}\), \(x_{60}\), \(\ldots\), \(x_{71}\in[8{,}5;9)\); \(x_{72}\), \(x_{73}\), \(\ldots\), \(x_{78}\in[9;9{,}5)\) và \(x_{79}\), \(x_{80}\), \(\ldots\), \(x_{82}\in[9{,}5;10)\).

+) Tứ phân vị thứ hai là \(\displaystyle\frac{x_{41}+x_{42}}{2}\in [8;8{,}5)\). Do đó

\[Q_2=u_m+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{n}{2}-C}{n_m}\cdot\left(u_{m+1}-u_m\right)=8+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{82}{2}-34}{24}\cdot (8{,}5-8)=8{,}15. \]

+) Tứ phân vị thứ nhất là \(x_{21}\in [7{,}5;8)\)

\[Q_1=u_m+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{n}{4}-C}{n_m}\cdot \left(u_{m+1}-u_m\right)=7{,}5+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{82}{4}-18}{16}\cdot (8-7{,}5)\approx 7{,}58. \]

+) Tứ phân vị thứ ba là \(x_{61}\in [8{,}5;9)\)

\[Q_3=u_j+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3n}{4}-C}{n_j}\cdot \left(u_{j+1}-u_j\right)=8{,}5+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 82}{4}-58}{13}\cdot (9-8{,}5)\approx 8{,}63. \]

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \([8; 8{,}5)\).

Do đó \(u_m=8\); \(n_{m-1}=16\); \(n_m=24\); \(n_{m+1}=13\); \(u_{m+1}-u_m=8{,}5-8=0{,}5\).

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là

\[M_0=8+\displaystyle\frac{24-16}{(24-16)+(24-13)} \cdot 0{,}5\approx 8{,}21. \]

}

a) Số trung bình, tứ phân vị và mốt

+) Số trung bình

\( \bar{x}=\displaystyle\frac{121{,}8+158{,}3+334{,}9+200{,}9+165{,}6+161{,}5+194{,}3+220{,}7+189{,}8+\cdots +255}{19}\approx 192{,}88.\)

a) Tứ phân vị.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

\begin{array}{cccccccccc}121,8 &134&158{,}3&161{,}5 &165,{6} &165{,}9 &165{,}9&168 &169&173 \\ 189 &189{,}8 &194{,}3 &200{,}9 &202{,}7 &243{,}2&254 &255&334{,}9\end{array}

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \( 165{,}6\).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \( 173 \).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \( 202,7 \).

+) Mốt là \( 165{,}9\).

b) Bảng tần số ghép nhóm

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Tổng lượng mưa trong tháng 8 (mm)} & \left[120;175\right) & \left[175;230\right) & \left[230;285\right) & \left[285;340\right) \\ \hline \text{Số năm} & 10 & 5 & 3 & 1 \\ \hline\end{array}

c) Ước lượng số trung bình, tứ phân vị và mốt

+) Số trung bình

+) Số đại diện của các lớp: \(\begin{aligned}[t]& c_{1}=\displaystyle\frac{120+175}{2}=147{,}5 ;\ & c_{2}=\displaystyle\frac{175+230}{2}=202{,}5; \\ & c_{3}=\displaystyle\frac{230+285}{2}=257{,}5 ;\ & c_{4}=\displaystyle\frac{285+340}{2}=312{,}5.\end{aligned}\)

+) Tần số theo các lớp: \(n_1=10\); \(n_2=5\); \(n_3=3\); \(n_4=1\).

+) Số trung bình: \(\overline{x}=\displaystyle\frac{n_1c_1+n_2c_2+n_3c_3+n_4c_4}{n_1+n_2+n_3+n_4}\) \(=\displaystyle\frac{7145}{38}\approx 188{,}02.\)

+) Tứ phân vị

+) Tứ phân vị thứ nhất. Nhóm \(\left[120;175\right)\)

\(Q_1=120+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1\cdot 19}{4}-0}{10}\cdot \left(175-120\right)= \displaystyle\frac{1169}{8}=146{,}125.\)

+) Tứ phân vị thứ hai. Nhóm \(\left[175;230\right)\)

\(Q_2=175+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2\cdot 19}{4}-(0+10)}{5}\cdot \left(230-175\right)= \displaystyle\frac{339}{2} = 169{,}5.\)

+) Tứ phân vị thứ ba. Nhóm \(\left[230;285\right)\)

\(Q_3=230+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 19}{4}-(0+10+5)}{3}\cdot \left(285-230\right)= \displaystyle\frac{865}{4}= 216{,}25.\)

+) Mốt

+) Mốt \(M_o\) chứa trong nhóm \(\left[u_{m};u_{m+1}\right)\)

\(M_o=u_{m}+\displaystyle\frac{n_{m}-n_{m-1}}{\left(n_{m}-n_{m-1}\right)+\left(n_{m}-n_{m+1}\right)}\left(u_{m+1}-u_{m}\right)\)

+) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\left[120;175\right)\)

Do đó \(\begin{aligned}[t]& u_{m}=120 ; u_{m+1}=175 \Rightarrow u_{m+1}-u_{m}=175-120=55.\\& n_{m-1}=0 ; n_{m}=10 ; n_{m+1}=5. \\& M_o=120+\displaystyle\frac{10-0}{(10-0)+(10-5)}\cdot(175-120)=120+\displaystyle\frac{10}{15}\cdot 55=\displaystyle\frac{470}{3}\approx 156{,}67.\end{aligned}\)

}