Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\begin{cases}x=-3+2t\\y=2-5t,\end{cases}\).

}

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là

\(3(x-2)-(y+1)=0\Leftrightarrow 3x-y-7=0.\)

}

\(\bullet\,\) Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow{AB}=(2;6)=2(1;3)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(AB\) nên có phương trình tham số \(\begin{cases}x=1+t\\y=-1+3t.\end{cases}\)

\(\bullet\,\) Đường cao \(AH\) nhận \(\overrightarrow{BC}=(-5-1)=-(5;1)\) làm một véc-tơ pháp tuyến và đi qua điểm \(A\) nên có phương trình tổng quát

\(5(x-1)+(y+1)=0\Leftrightarrow 5x+y-4=0.\)

\(\bullet\,\) Phương trình đường thẳng \(BC\) dạng chính tắc là

\(\displaystyle\frac{x-3}{-2-3}=\displaystyle\frac{y-5}{4-5}\) \(\Leftrightarrow -x+3=-5y+25\Leftrightarrow x-5y+22=0.\)

Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\) là

\(\mathrm{d}\left(A,BC\right)=\displaystyle\frac{|1+5+22|}{\sqrt{1^2+5^2}}=\displaystyle\frac{14\sqrt{26}}{13}.\)

\(\bullet\,\) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;6)\), \(\overrightarrow{AC}=(-3;5)\).

Gọi \(\beta\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\).

Ta có

\(\cos \beta =\left|\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right|\) \(=\displaystyle\frac{|-6+30|}{\sqrt{2^2+4^2}\cdot \sqrt{(-3)^2+5^2}}=\displaystyle\frac{6}{\sqrt{85}}.\)

Do đó \(\sin \beta =\sqrt{1-\cos^2 \beta}=\displaystyle\frac{7}{\sqrt{85}}\).

}

\(\bullet\,\) Đường tròn có bán kính là \(R_1=AB=\sqrt{(3+1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{17}\).

Phương trình đường tròn là \((x+1)^2+y^2=17\).

\(\bullet\,\) Đường thẳng \(AB\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=(4;1)\).

Suy ra một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1;-4)\).

Đường thẳng \(AB\) qua \(A(-1;0)\) nên có phương trình tổng quát là

\((x+1)-4y=0\Leftrightarrow x-4y+1=0.\)

\(\bullet\,\) Đường tròn tâm \(O\), tiếp xúc với \(AB\) nên có bán kính là

\(R_2=\mathrm{d}\left(O,AB\right)=\displaystyle\frac{|1|}{\sqrt{1^2+(-4)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{17}}{17}.\)

Phương trình đường tròn là

\(x^2+y^2=\displaystyle\frac{1}{17}.\)

}

\(\bullet\,\) Gọi \(I(a;b)\) là tâm đường tròn. Phương trình đường tròn đã cho có dạng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\). Do đó

\(\begin{cases}2a=4\\2b=-6\\c=-12\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=2\\b=-3\\c=-12.\end{cases}\)

Vậy đường tròn có tâm \(I(2;-3)\) và bán kính đường tròn

\(R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{2^2+(-3)^2+12}=5.\)

\(\bullet\,\) Vì \(IM=\sqrt{(5-2)^2+(1+3)^2}=5=R\) nên \(M\) thuộc đường tròn \(\left(\mathscr{C}\right)\).

Tiếp tuyến \(d\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} =\overrightarrow{IM}=(3;4)\). Phương trình tiếp tuyến là

\(3(x-5)+4(y-1)=0\Leftrightarrow 3x+4y-19=0.\)

}

baitapsgk10/t10ch9b5sgkh1.png

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\), \(K\) là hình chiếu của \(C\) lên \(AB\).

Vì \(CK\) vuông góc với \(AB\) nên véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{n}=(-3;1)\) của \(CK\) là véc-tơ pháp tuyến của \(AB\). Suy ra phương trình đường thẳng \(AB\) là \(-3x+y-1=0\).

Ta có \(B\) là điểm chung của \(AB\) và \(BM\) nên tọa độ của \(B\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{cases}-3x+y-1=0\\5x+y-9=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}\Rightarrow B(1;4).\)

Ta có \(C\) thuộc \(CK\) nên ta có \(C(5-3c;c)\) (\(c\) là số thực).

Vì \(M\) là trung điểm \(AC\) nên ta có \(M\left(\displaystyle\frac{4-3c}{2};\displaystyle\frac{c-2}{2}\right)\).

Lại có \(M\) thuộc \(BM\) nên ta có \(5\cdot\displaystyle\frac{4-3c}{2}+\displaystyle\frac{c-2}{2}-9=0\Rightarrow c=0\), suy ra \(C(5;0)\).

Vậy ta có \(B(1;4)\) và \(C(5;0)\).

}

Gọi \(M\left(x;y\right)\), ta có

\begin{eqnarray*}&&MA=2MB\\ &\Leftrightarrow& MA^2=4MB^2\\ &\Leftrightarrow&\left(x-1\right)^2+y^2=4\left(x^2+\left(y-3\right)^2\right)\\ &\Leftrightarrow& 3x^2+3y^2+2x-24y+35=0\\ &\Leftrightarrow& x^2+y^2+\displaystyle\frac{2}{3}x-8y+\displaystyle\frac{35}{3}=0.\end{eqnarray*}

Đây là phương trình đường tròn tâm \(I\left(-\displaystyle\frac{1}{3};4\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{9}+16-\displaystyle\frac{35}{3}}=\displaystyle\frac{2\sqrt{10}}{3}\).

}

\(\bullet\,\) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(6;6)\) nên có thể chọn \(\overrightarrow{n}_1=(1;-1)\) là véc-tơ pháp tuyến của \(AB\). Mà \(A\) thuộc \(AB\) nên phương trình đường thẳng \(AB\) là

\(1(x+3)-1(y+1)=0\Leftrightarrow x-y+2=0.\)

Ta có \(\overrightarrow{BC}=(0;-9)\) nên có thể chọn \(\overrightarrow{n}_2=(1;0)\) là véc-tơ pháp tuyến của \(BC\). Mà \(B\) thuộc \(BC\) nên phương trình đường thẳng \(BC\) là

\(1(x-3)+0(y-5)=0\Leftrightarrow x-3=0.\)

Ta có \(\overrightarrow{CA}=(-6;3)\) nên có thể chọn \(\overrightarrow{n}_3=(1;2)\) là véc-tơ pháp tuyến của \(CA\). Mà \(C\) thuộc \(CA\) nên phương trình đường thẳng \(CA\) là

\(1(x-3)+2(y+4)=0\Leftrightarrow x+2y+5=0.\)

\(\bullet\,\) Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\begin{cases}x_G=\displaystyle\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=1\\y_G=\displaystyle\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=0\end{cases}\Rightarrow G(1;0)\).

Đường cao \(AH\) qua \(A\) và vuông góc \(BC\) nên có phương trình là \(y+1=0\).

Đường cao \(CH\) qua \(C\) và vuông góc \(AB\) nên có phương trình đường cao \(CH\) là \(x+y+1=0\).

Do \(H\) là giao điểm của \(AH\) và \(CH\) nên toạ độ của \(H\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{cases}y+1=0\\x+y+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}\Rightarrow H(0;-1).\)

Do \(I(a;b)\) là tâm đường tròn đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nên

\begin{eqnarray*}&&IA^2=IB^2=IC^2\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}(-3-a)^2+(-1-b)^2=(3-a)^2+(5-b)^2\\(-3-a)^2+(-1-b)^2=(3-a)^2+(-4-b)^2\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}a+b-2=0\\4a-2b-5=0\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}a=\displaystyle\frac{3}{2}\\b=\displaystyle\frac{1}{2}.\end{cases}\end{eqnarray*}

Vậy \(I\left(\displaystyle\frac{3}{2};\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

\(\bullet\,\) Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{d}(A,BC)\cdot BC=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot6\cdot9=27\).

}

\(\bullet\,\) Do đường tròn nhận \(F_1F_2\) làm đường kính, nên nhận trung điểm \(O(0;0)\) của \(F_1F_2\) làm tâm và bán kính là \(R=OF_1=4\).

Suy ra phương trình đường tròn là \(x^2+y^2=16\).

\(\bullet\,\) Theo định nghĩa, đường conic \((E)\) là e-líp nhận hai tiêu điểm \(F_1(-4;0)\) và \(F_2(4;0)\) suy ra \(c=4\).

Ta có \(MF_1+MF_2=2a=12\Rightarrow a=6\). Suy ra \(b^2=a^2-c^2=36-16=20\).

Vậy phương trình chinh tắc của elip \((E)\) là \(\displaystyle\frac{x^2}{36}+\displaystyle\frac{y^2}{20}=1\).

\(\bullet\,\) Theo định nghĩa, đường conic \((H)\) là hypebol nhận hai tiêu điểm \(F_1(-4;0)\) và \(F_2(4;0)\) suy ra \(c=4\).

Ta có: \(\left|M F_1-M F_2\right|=2 a=4\Rightarrow a=2\). Suy ra \(b^2=c^2-a^2=16-4=12\).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol \((H)\) là \(\displaystyle\frac{x^2}{4}-\displaystyle\frac{y^2}{12}=1\).

}

\(\bullet\,\) Xét phương trình \(y^2=10x\).

Vì phương trình có dạng \(y^2=2px\) nên đây là phương trình đường parabol.

Ta có \(2p=10\Leftrightarrow p=5\). Do đó tham số tiêu \(p=5\).

Tiêu điểm \(F\left(\displaystyle\frac{5}{2};0\right)\). Đường chuẩn \(x=-\displaystyle\frac{5}{2}\).

\(\bullet\,\) Xét phương trình \(x^2-y^2=1\).

Phương trình có dạng \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} -\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) với \(a^2=b^2=1\).

Từ đó ta có \(c^2=a^2+b^2=2\Rightarrow c=\sqrt{2}\).

Tiêu điểm \(F_1\left(-\sqrt{2};0\right)\), \(F_2\left(\sqrt{2};0\right)\).

Tiêu cự \(F_1F_2=2c=2\sqrt{2}\).

\(\bullet\,\) Xét phương trình \(\displaystyle\frac{x^2}{25}+\displaystyle\frac{y^2}{16}=1\).

Phương trình có dạng \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} +\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) với \(a^2=25\); \(b^2=16\).

Từ đó ta có \(c^2=a^2-b^2=9\Rightarrow c=3\).

Tiêu điểm \(F_1\left(-3;0\right)\), \(F_2\left(3;0\right)\).

Tiêu cự \(F_1F_2=2c=6\).

}

Từ phương trình chính tắc, ta suy ra \(a=5\), \(b=3\). Từ đó suy ra \(c=4\).

Hai tiêu điểm \(F_1(-4;0)\), \(F_2(4;0)\).

Do \(M\) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông nên \(M\) nằm trên đường tròn \(\left(\mathscr{C}\right)\) đường kính \(F_1F_2\). Phương trình của \(\left(\mathscr{C}\right)\) là \(x^2+y^2=16\). Khi đó, tọa độ \(M\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2}{25}+\displaystyle\frac{y^2}{9}=1\\x^2+y^2=16.\end{cases}\)

Giải hệ trên, ta tìm được bốn điểm \(M\) thỏa mãn là \(M\left(\pm \displaystyle\frac{5\sqrt{7}}{4};\pm \displaystyle\frac{9}{4}\right)\).

}

Phương trình chính tắc của \((P)\) có dạng \(y^2=2px\).

Do \((P)\) đi qua điểm \(A(2;4)\) nên ta có phương trình \(16=2p\cdot 2\Leftrightarrow p=4\). Vậy phương trình chính tắc của \((P)\) là \(y^2=8x\).

Tiêu điểm \(F(2;0)\). Phương trình đường chuẩn \(\Delta \colon x+2=0\).

Gọi \(M(x;y)\) là điểm thuộc \((P)\) với \(x\geq 0\). Khi đó

\(MF=\mathrm{d}\left(M,\Delta\right)\Leftrightarrow 5=|x+2|\Leftrightarrow x=3.\)

Thay \(x=3\) vào phương trình của \((P)\), ta có \(y^2=24\Leftrightarrow y=\pm 2\sqrt{6}\).

Vậy có hai điểm \(M\) là \(M\left(3;\pm 2\sqrt{6}\right)\).

}

Gọi phương trình chính tắc của đường elip là \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\).

Theo giả thiết ta có \(\begin{cases}2a=80\\b=24\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=40\\b=24\end{cases}\Rightarrow c=\sqrt{40^2-24^2}=32\).

Vậy nếu hai người nói chuyện thì thầm với nhau thì cách trung tâm phòng \(32\) feet \(=9{,}7536\) m.

}