a) \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\left(x^{2}+\displaystyle\frac{2}{x^{2}}\right)\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{x^3}{3}-\displaystyle\frac{2}{x}+C\).

b) \(\begin{aligned}[t]\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x &=\displaystyle\int\left(\sin^{2}\displaystyle\frac{x}{2}+3^{2x}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\left(\displaystyle\frac{1-\cos x}{2}+3^{2x}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\left(\displaystyle\frac{1-\cos x}{2}+3^{2x}\right)\mathrm{\,d}x\\ &=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{\sin x}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{3^{2x}}{\ln 3}+C.\end{aligned}\)

c) \(\begin{aligned}[t]\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x&=\displaystyle\int \left( \sqrt{3x}-\displaystyle\frac{4}{\sin^{2}x}\right) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\left(3x\right)^{\frac{1}{2}}\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\displaystyle\frac{4}{\sin^{2}x}\mathrm{\,d}x\\&=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{2}+1}\cdot\left(3x\right)^{\frac{1}{2}+1}+4\cot x+C=\displaystyle\frac{2}{9}\cdot\left(3x\right)^{\frac{3}{2}}+4\cot x+C.\end{aligned}\)

a) \(\displaystyle\int2x(x^3-x+2)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int(2x^4-2x^2+4x)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\frac25x^5-\displaystyle\frac23x^3+2x^2+C\).

b) \(\displaystyle\int\left(2x+\displaystyle\frac1{x^3}\right)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int(2x+x^{-3})\mathrm{d}x\,=x^2-\displaystyle\frac1{2x^2}+C\);

c) \(\displaystyle\int(3+2\tan^2x)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\left[3+2\left(\displaystyle\frac1{\cos^2x}-1\right)\right]\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\left(1+2\cdot\displaystyle\frac1{\cos^2x}\right)\mathrm{d}x\,=x+2\tan x+C\);

d) \(\displaystyle\int(1-3\cot^2x)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\left[1-3\left(\displaystyle\frac1{\sin^2x}-1\right)\right]\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\left(4-3\cdot\displaystyle\frac1{\sin^2x}\right)\mathrm{d}x\,=4x+3\cot x+C\);

e) \(\displaystyle\int(\sin x+2^{-x+1})\mathrm{d}x\,=-\cos x-\displaystyle\frac{2^{-x+1}}{\ln2}+C\);

f) \(\displaystyle\int(2\cdot6^{2x}-\mathrm{e}^{-x+1})\mathrm{d}x\,=2\cdot\displaystyle\frac{6^{2x}}{2\ln6}-\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{-x+1}}{-1}+C=\displaystyle\frac{6^{2x}}{\ln6}+\mathrm{e}^{-x+1}+C\).

a) \(\displaystyle \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - \sin x)\mathrm{\,d}x= \left( \sin x + \cos x\right) \bigg|^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}_{0} = 0\).

b) \(\displaystyle \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{6}} \displaystyle\frac{\mathrm{\,d}x}{\sin^2 x} = -\cot x \bigg|^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}} = -1 +\sqrt{3}\).

c) \(\displaystyle \int\limits_{1}^{16} \displaystyle\frac{x-1}{\sqrt{x}}\mathrm{\,d}x =\displaystyle \int\limits_{1}^{16} \left( \sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \left(\displaystyle\frac{2}{3}x\sqrt{x} -2\sqrt{x}\right)\bigg|^{16}_{1} = 36 \).

a) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{2 \pi}(2 x+\cos x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{2 \pi}2x\mathrm{\,d}x + \displaystyle\int\limits_{0}^{2 \pi}\cos x\mathrm{\,d}x=x^2 \Big|_0^{2\pi}+\sin x\Big|_0^{2\pi}=2\pi.\)

b) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\left(e^{x}-2 \cos x\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} e^{x}\mathrm{\,d}x-2 \displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos x\mathrm{\,d}x\) \(=\left.e^{x}\right|_{0} ^{\tfrac{\pi}{2}}-\left.2 \sin x\right|_{0} ^{\tfrac{\pi}{2}}=e^{\tfrac{\pi}{2}}-3\).

c) \(\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\left(2^{x}-\displaystyle\frac{3}{x^{2}}\right) \mathrm{\,d} x=\displaystyle\int\limits_{1}^{4} 2^{x} \mathrm{~d} x-3 \displaystyle\int\limits_{1}^{4} x^{-2} \mathrm{~d} x=\left.\displaystyle\frac{2^{x}}{\ln 2}\right|_{1} ^{4}+\left.3 \cdot \displaystyle\frac{1}{x}\right|_{1} ^{4}=\displaystyle\frac{15}{\ln 2}-\displaystyle\frac{9}{4}\).

a) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\left(9x^2-6x+1\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^3 9 x^2 \mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_0^3 6 x \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_0^3 1 \mathrm{\,d}x=3x^3\Big|_0^3-3x^2\Big|_0^3+x\Big|_0^3=57.\)

b) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}(1+\sin x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin x\mathrm{\,d}x=x\Big|_0^{\tfrac{\pi}{2}}-\cos x\Big|_0^{\tfrac{\pi}{2}}=\displaystyle\frac{\pi}{2}+1.\)

c) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(e^{2 x}+3 x^{2}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}e^{2x}\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}3x^2\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{2}e^{2x}\Big|_0^1+x^3\Big|_0^1=\displaystyle\frac{1}{2}\left(e^2-1\right)+(1-0)=\displaystyle\frac{1}{2}e^2+\displaystyle\frac{1}{2}\).

d) \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}|2 x+1|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-1}^{-\frac{1}{2}}(2x+1)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{2}(2x+1)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{13}{2}\).

a) Diện tích hình phẳng là

\[S=\int\limits_0^2 e^x\mathrm{\,d}x=e^x\Big|_0^2=e^2-e^0=e^2-1.\]

b) Diện tích hình phẳng là

\(S=\int\limits_0^1\left|2x^2-(-1)\right|\mathrm{\,d}x=\int\limits_0^1\left(2x^2+1\right)\mathrm{\,d}x=\left.\left(\displaystyle\frac{2x^3}{3}+x\right) \right|_0^1=\displaystyle\frac{5}{3}.\)

c) Diện tích hình phẳng là

\begin{eqnarray*}S&=&\int\limits_0^2\left|x^2-4-2x+4\right|\mathrm{\,d}x=\int\limits_0^2\left|x^2-2x\right|\mathrm{\,d}x\\&=&\int\limits_0^2\left(-x^2+2x\right)\mathrm{\,d}x=\left.\left(-\displaystyle\frac{x^3}{3}+x^2\right) \right|_0^2\\&=&\displaystyle\frac{4}{3}.\end{eqnarray*}

a) Diện tích hình phẳng cần tính là

\begin{eqnarray*}S&=&\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \left|e^x-(x^2-1)\right| \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}\left(e^x-x^2+1\right)\mathrm{\,d}x\\ &=&\left(e^x-\displaystyle\frac{x^3}{3}+x\right)\bigg|_{-1}^1=e-\displaystyle\frac{1}{e}+\displaystyle\frac{4}{3}.\end{eqnarray*}

b) Diện tích hình phẳng cần tính là

\begin{eqnarray*}S&=&\displaystyle\int\limits_{\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left|\sin x-x\right| \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left(x-\sin x\right)\mathrm{\,d}x\\&=&\left(\displaystyle\frac{x^2}{2}+\cos x\right)\bigg|_{\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\pi}=\displaystyle\frac{3\pi^2}{8}-1.\end{eqnarray*}

c) Diện tích hình phẳng cần tính là

\begin{eqnarray*}S&=&\displaystyle\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \left|(9-x^2)-2x^2\right| \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left|9-3x^2\right|\mathrm{\,d}x\\&=&\displaystyle\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left(9-3x^2\right)\mathrm{\,d}x\\&=&\left(9x-x^3\right)\bigg|_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}=12\sqrt{3}.\end{eqnarray*}

d) Diện tích hình phẳng cần tính là

\begin{eqnarray*}S&=&\displaystyle\int\limits_{0}^{1} \left|\sqrt{x}-x^2\right| \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^2\right)\mathrm{\,d}x\\&=&\left(\displaystyle\frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}-\displaystyle\frac{x^3}{3}\right)\bigg|_{0}^1=\displaystyle\frac{1}{3}.\end{eqnarray*}

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi đồ thị hàm số của parabol có dạng \(y=ax^2+bx+c\) \((a\neq 0)\).

Vì đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục \(Oy\) nên ta có: \(-\displaystyle\frac{b}{2a}=0\Rightarrow b=0\).

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \((0;6)\) nên ta có: \(c=6\).

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \((3;0)\) nên ta có: \(a\cdot3^2+6=0\Rightarrow a=-\displaystyle\frac{2}{3}\).

Vậy \(y=-\displaystyle\frac{2}{3}x^2+6\).

Diện tích của cửa hầm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=-\displaystyle\frac{2}{3}x^2+6\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=-3, x=3\).

Vậy

\begin{align*}S&=\displaystyle\int\limits_{-3}^{3} \left|-\displaystyle\frac{2}{3}x^2+6\right|\mathrm{\,d}x\\&=\left|\displaystyle\int\limits_{-3}^{3} (-\displaystyle\frac{2}{3}x^2+6)\mathrm{\,d}x\right|\\&=\left|\left(-\displaystyle\frac{2x^3}{9}+6x\right)\bigg|_{-3}^{3}\right|\\&=\left|24\right|\\&=24.\end{align*}

Thể tích của khối tròn xoay là

\(V=\pi \displaystyle\int_0^2 \left(2x-x^2 \right)^2 \mathrm{\,d} x= \pi \displaystyle\int_0^2 \left(x^4-4x^3+4x^2\right) \mathrm{\,d} x=\left.\pi\left(\displaystyle\frac{x^5}{5}-x^4+\displaystyle\frac{4}{3}x^3\right)\right|_0^2=\displaystyle\frac{16}{15}\pi.\)

Thể tích khối tròn xoay là

\begin{align*}V=\pi \displaystyle\int\limits_{1}^{2} x^2 \mathrm{\,d}x=\pi \displaystyle\frac{x^3}{3}\bigg|_1^2=\pi \left(\displaystyle\frac{8}{3}-\displaystyle\frac{1}{3}\right)=\displaystyle\frac{7\pi}{3}.\end{align*}

a) Công thức hàm số biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với \(0\le t\le15\) là

\(B(t)=\displaystyle\int B'(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int(20t^3-300t^2+1\,000t)\mathrm{\,d}t=5t^4-100t^3+500t^2+C.\)

Vì \(B(1)=500\) nên \(5\cdot1^4-100\cdot1^3+500\cdot1^2+C=500\Leftrightarrow C=95\).

Vậy \(B(t)=5t^4-100t^3+500t^2+95\).

b) Sau \(3\) giờ số khách tham dự lễ hội là \(B(3)=2\,300\) (khách).

c) Ta có \(B'(t)=0\Leftrightarrow t=0\); \(t=10\) hoặc \(t=5.\)

Vì \(B(0)=95\); \(B(5)=3\,220\); \(B(10)=95\); \(B(15)=28\,220\) nên số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là \(28\,220\) (khách).

d) Ta có \(B''(t)=60t^2-600t+1\,000=0\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{15\pm5\sqrt3}3\).

Vì \(B'(0)=0\); \(B'(15)=15\,000\); \(B'\left(\displaystyle\frac{15+5\sqrt3}3\right)\approx-962\); \(B'\left(\displaystyle\frac{15-5\sqrt3}3\right)\approx962\) nên tại thời điểm \(15\) giờ sau khi khai tiệc thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất.

Ta có \(M(t)=\displaystyle\int m(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int(800-2t)\mathrm{\,d}t=800t-t^2+C\).

Vì \(M(0)=0\) nên \(C=0\), khi đó \(M(t)=800t-t^2\).

Chi phí nhân công lao động của công trình đó là

\(M(400)\cdot400\,000=160\,000\cdot400\,000=64\,000\,000\) (đồng) \(= 64\) (triệu đồng).

Vì \(a(t)=v'(t)\) nên

\(v(t)= \displaystyle \int a(t) \mathrm{d}t=\displaystyle \int 3 \mathrm{d}t=3t+C\).

Ta có: \(v_0=1\) nên \(3.0+C=1\) hay \(C=1\). Vậy \(v(t)=3t+1 \text{ m/s}\)

Vậy tốc độ của chất điểm sau \(10\) giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là \(v(10)=3.10+1=31\) m/s.

Ta có \(P(t)=\displaystyle \int P'(t) \mathrm{d}t=\displaystyle \int 20.(1,106)^t \mathrm{d}t=20.\displaystyle\frac{1,106^t}{\ln{1,106}}+C\)

Vì dân số thành phố đầu năm \(2015\text{ }(t=0)\) là \(1008\) nghìn người nên

\(20.\displaystyle\frac{1,106^0}{\ln{1,106}}+C=1008\) hay \(C \approx 810\)

Vậy \(P(t)=20.\displaystyle\frac{1,106^t}{\ln{1,106}}+810\)

a) Dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm \(2020 \text{ } (t=5)\) là

\(P(5)=20.\displaystyle\frac{1,106^5}{\ln{1,106}}+810 \approx 1139\) (nghìn người).

b) Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đầu năm \(2015\) đến đầu năm \(2020\) là

\(\displaystyle\frac{1139-1008}{5}=26,2\) (nghìn người).

Công tối thiểu để phóng một vệ tinh nặng \(m=1000\) kg từ mặt đất lên độ cao \(35\,780\) km so với mặt đất là

\(W=\displaystyle\int_{6370000}^{42150000}F(h)\mathrm{\,d}h =\displaystyle\int_{6370000}^{42150000}6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\displaystyle\frac{6\cdot10^{24}\cdot1000}{42150000^{2}}\mathrm{\,d}h=8\,059\,762\,837\) (J).

Lượng nước chảy ra khỏi bồn trong \(10\) phút đầu từ khi bồn bị rỉ nước là

\(\displaystyle\int_{0}^{10}V^{\prime}(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int_{0}^{10}\left(200-4t\right) \mathrm{\,d}t=1800\) (lít).

Tổng chi phí sản xuất tăng lên nếu sản phẩm sản xuất ra tăng từ \(40\) sản phẩm lên \(50\) sản phẩm là

\(\displaystyle \int_{40}^{50}C^{\prime}(x) \mathrm{\,d}x=\displaystyle \int_{40}^{50}\left( 2x+80\right)\mathrm{\,d}x=1700\) (USD).

Cân nặng của một bé gái \(5\) tháng tuổi là

\(\displaystyle\int_{0}^{5}f^{\prime}(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int_{0}^{5}\left( 0{,}00093t^{2}-0{,}04792t+0{,}76806\right) \mathrm{\,d}t+3{,}3=6{,}58005\) (kg).

Vận tốc trung bình của động mạch trong khoảng \(0\leq r\leq R\) là

\(v_{tb}=\displaystyle\frac{1}{R}\int\limits_{0}^R k(R^2-r^2)\mathrm{\,d}r=\displaystyle\frac{k}{R}\left(R^2r-\displaystyle\frac{1}{3}r^3\right)\Big|_0^R=\displaystyle\frac{2}{3}kR^2.\)

Ta có \(v\) lớn nhất khi \(r=0\), tức là \(v_{\max}=kR^2\), đó đó \(v_{tb}=\displaystyle\frac{2}{3}v_{\max}\).

Ta có gia tốc của viên đạn là \(a(t)= -9{,}8t\).

Vận tốc của viên đạn là \(v(t) = \displaystyle \int a(t)dt = \displaystyle \int \left(-9{,}8t\right)dt = -\displaystyle\frac{9{,}8}{2}t^2 +C\).

Vận tốc thời điểm ban đầu của viên đạn là \(30\) (m/s) ta có \(v(0) = 30 \Leftrightarrow C = 30\).

Suy ra \(v(t) = -\displaystyle\frac{9{,}8}{2}t^2 + 30\).

Vậy vận tốc của viên đạn ở thời điểm \(2\) (s) là \(v(2)= 10{,}4\) (m/s).

Thể tích cần tìm là

\(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{4} f^2(x)\mathrm{\,d}x=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{4} \left(4-x\right) \mathrm{\,d}x=\pi\left(4x-\displaystyle\frac{x^2}{2}\right)\bigg|_{0}^{4}=8\pi\).

a) Parabol \((P)\) có đỉnh \(B(0;40)\) nên \(b=0\), \(c=40\). Mặt khác \((P)\) đi qua \(C(50;30)\) nên suy ra

\(30=a\cdot 50^2+0\cdot 50+40\Leftrightarrow 2500 a=-10\Leftrightarrow a=-\displaystyle\frac{1}{250}.\)

Vậy \(a=-\displaystyle\frac{1}{250}\), \(b=0\), \(c=40\).

b) Thể tích thùng rượu (tính bằng đơn vị \(\mathrm{cm}^3\)) bằng thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh \(Ox\) hình phẳng giới hạn bởi \((P)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x=-50\), \(x=50\). Vậy số lít rượu tối đa mà thùng rượu chứa được là

\(V=\displaystyle\frac{1}{1000}\cdot \pi \int\limits_{-50}^{50} \left(-\displaystyle\frac{1}{250}x^2+40\right)^2\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{406\pi}{3}\approx 425{,}16\quad (\text{lít}).\)