+) Ta có bảng tần số tích luỹ như sau:

+) Khoảng biến thiên \(R=110-50=50\).

+) Ta có \(N=100; \displaystyle\frac{N}{4}=25; \displaystyle\frac{N}{2}=50; \displaystyle\frac{3N}{4}=75\).

+) Dựa vào bảng, nhóm chứa \(Q_1\) là \([70 ; 80)\).

\(Q_1=70+\displaystyle\frac{25 -10}{20} \cdot 10\approx 78.\)

+) Nhóm chứa \(Q_2\) là \([80 ; 90)\).

\(Q_2=80+\displaystyle\frac{50-30}{20} \cdot 10=90.\)

+) Nhóm chứa \(Q_3\) là \([90 ; 100).\)

\(Q_3=90+\displaystyle\frac{75 -50}{35} \cdot 10\approx 97.\)

+) Vậy khoảng tứ phân vị là \(\Delta_Q \approx 97-78 \approx 19\).

+) Ý nghĩa: \(50\%\) lượng xe lưu thông đi trên đường cao tốc giờ cao điểm chạy tốc độ từ \(78\) km/h đến \(97\) km/h.

+) Ta có bảng tần số tích luỹ như sau:

+) Ta có \(N=80; \displaystyle\frac{N}{4}=20; \displaystyle\frac{N}{2}=40. \displaystyle\frac{3N}{4}=60;\)

+) Dựa vào bảng, nhóm chứa \(Q_1\) là \([500 ; 1 \,000)\).

\(Q_1=500+\displaystyle\frac{20 -11}{16} \cdot 500\approx 781.\)

+) Nhóm chứa \(Q_2\) là \([1 \,500 ; 2 \,000)\).

\(Q_2=1\,500+\displaystyle\frac{40-39}{15} \cdot 500\approx 1 \,533.\)

+) Nhóm chứa \(Q_3\) là \([2 \,000 ; 2 \,500)\).

\(Q_3=2\, 000+\displaystyle\frac{60 -54}{10} \cdot 500=2 \,300.\)

+) Vậy khoảng tứ phân vị là \(\Delta_Q \approx 2 \,300-781 \approx 1\, 519\).

+) Ý nghĩa: Có khoảng \(\displaystyle\frac{1}{4}\) lượng khách rút số tiền không quá \(781\) nghìn đồng, khoảng \(\displaystyle\frac{1}{4}\) lượng khách rút số tiền ít nhất là \(2\) triệu \(300\) nghìn đồng, \(50\%\) số khách hàng rút tiền dao động từ \(781\) đến \(2\) triệu \(300\) nghìn đồng. Như vậy, \(50\%\) lượng khách này rút tiền có thể chênh lệch nhau đến 1 triệu 519 nghìn đồng.

a) Cỡ mẫu là \(n = 3+12+15+8=38\). Gọi \(x_1,\ldots,x_{38}\) là thời gian chờ khám bệnh của \(38\) bệnh nhân này và giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(x_{10}\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \([5;10)\) và ta có:

\[Q_1 = 5+ \displaystyle\frac{\left[ \displaystyle\frac{38}{4}-3\right] }{12}\cdot 5 \approx 7{,}71.\]

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(x_{29}\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \([10;15)\) và ta có:

\[Q_3 = 10+ \displaystyle\frac{\left[ \displaystyle\frac{3\cdot 38}{4}-15\right] }{15}\cdot 5 = 14{,}5.\]

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 \approx 14{,}5 - 7{,}71= 6{,}79\).

b) Do \(\Delta_Q = 6{,}79 < 9{,}23\) nên thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám \(Y\) phân tán hơn thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám \(X\).

Cỡ mẫu là \(8+17+25+20+10=80\).

Gọi \(x_1;x_2;\ldots;x_{80}\) là thứ tự các cuộc gọi, và giả sử dữ liệu này tăng dần.

Khi đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu của dữ liệu gốc là \(x_{20}\), nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \([1;2]\), và ta có

\[Q_1 = 17+ \displaystyle\frac{\left[ \displaystyle\frac{80\cdot 1}{4}-(8)\right] }{17}\cdot 1 \approx 17{,}7.\]

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(x_{70}\) nên nhóm chưa tứ phân vị thứ ba là nhóm \([3;4)\) và ta có:

\[Q_3 = 20+ \displaystyle\frac{\left[ \displaystyle\frac{80\cdot 3}{4}-(8+17+25)\right] }{20}\cdot 1 = 20{,}5.\]

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 \approx 20{,}5 - 17{,}7= 2{,}8\).

Ta có:

Thu nhập trung bình của người lao động của nhà máy A là

\[\overline{x}_A = \displaystyle\frac{6{,}5\cdot 20 + 9{,}5 \cdot 35 + 12{,}5\cdot45+ 15{,}5\cdot35 +18{,}5\cdot20}{155}= 12{,}5.\]

Thu nhập trung bình của người lao động của nhà máy B là

\[\overline{x}_A = \displaystyle\frac{6{,}5\cdot 17 + 9{,}5 \cdot 23 + 12{,}5\cdot 30+ 15{,}5\cdot23 +18{,}5\cdot17}{110}= 12{,}5.\]

Xét nhà máy A, \(Q_1 = 10{,}8125\); \(Q_3 = 15{,}39\) \(\Rightarrow \triangle Q = 4{,}58\).

Xét nhà máy B, \(Q_1 = 9{,}85\); \(Q_3 = 15{,}63\) \(\Rightarrow \triangle Q = 5{,}78\).

Vậy mức thu nhập của người lao động ở nhà máy B có biến động nhiều hơn

a) Ta có

Khoảng biến thiên là \(175-145 = 30\) (cm).

Xét lớp 12A,

\[Q_1 = 155 + \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{43}{4}-1}{15}\cdot 5 = 158{,}25.\]

\[Q_3 = 165 + \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{43\cdot 3}{4}-28}{10}\cdot 5 = 167{,}125.\]

\[\triangle Q = Q_3 -Q_1 = 8{,}875.\]

Xét lớp 12B,

\[Q_1 = 155 + \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{42}{4}-0}{17}\cdot 5 = 158{,}5\]

\[Q_3 = 165 + \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{42\cdot 3}{4}-27}{9}\cdot 5 = 167{,}5\]

\[\triangle Q = Q_3 -Q_1 = 9{,}4.\]

b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này ta nên dùng khoảng tứ phân vị, vì khoảng biến thiên của \(2\) lớp này là bằng nhau.

a) Ta có bảng sau

+) Xét mẫu số liệu của Mai.

Cỡ mẫu là \( n_1=6+7+6+6+5=30\).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_1=\displaystyle\frac{6\cdot 4+7\cdot6+6\cdot8+6\cdot10+5\cdot12}{30}=7{,}8.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S_1^2=\displaystyle\frac{1}{30}\left(6\cdot 4^2+7\cdot6^2+6\cdot8^2+6\cdot10^2+5\cdot12^2 \right) -7{,}8^2=7{,}56.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \( S_1=\sqrt{7{,}56}.\)

+) Xét mẫu số liệu của Ngọc.

Cỡ mẫu là \( n_2=2+5+13+8+2=30 \).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_2=\displaystyle\frac{2\cdot 4+5\cdot6+13\cdot8+8\cdot10+2\cdot12}{30}=8{,}2. \)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S_2^2=\displaystyle\frac{1}{30}\left(2\cdot 4^2+5\cdot6^2+13\cdot8^2+8\cdot10^2+2\cdot12^2 \right) -8{,}2^2=\displaystyle\frac{287}{75}. \)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \( S_2=\sqrt{\displaystyle\frac{287}{75}}. \)

b) Do \( S_1>S_2 \) nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì Ngọc có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn Mai.

a)

+) Ta có khoảng biến thiên \( R_1=61{,}1-42=19{,}1 \).

+) Ta có \( Q_1=\displaystyle\frac{46{,}7+46{,}8}{2}=46{,}75 \); \( Q_2=\displaystyle\frac{48{,}4+50{,}8}{2}=49{,}6 \); \(Q_3=\displaystyle\frac{54{,}8+55{,}6}{2}=55{,}2 \).

Từ đó suy ra khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q=55{,}2-46{,}75=8{,}45\).

+) Cỡ mẫu \( n=20 \).

Số trung bình của mẫu số liệu trên là

\(\overline{x}_1=\displaystyle\frac{42+43{,}4+\ldots+61{,}1}{20}=50{,}945.\)

Phương sai của mẫu số liệu trên là

\(S_1^2=\displaystyle\frac{1}{20}\left( 42^2+43{,}4^2+\ldots+61{,}1^2 \right)-50{,}945^2\approx 32{,}2. \)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là \( S_1\approx \sqrt{32{,}2} \).

b) Ta có bảng tần số ghép nhóm là

c) Ta có bảng sau

+) Ta có khoảng biến thiên \( R_2=62-42=20 \).

+) Ta có nhóm chứa trung vị là nhóm \([46;50)\) từ đó ta có

\(Q'_2=46+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{20}{2}-3}{7}(50-46)=50.\)

+) Ta có nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \([46;50)\) từ đó ta có

\(Q'_1=46+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{20}{4}-3}{7}(50-46)\approx47{,}14. \)

+) Ta có nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \([54;58)\) từ đó ta có

\(Q'_3=54+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot20}{4}-14}{7}(58-54)\approx54{,}57. \)

Từ đó suy ra khoảng tứ phân vị \( \Delta'_Q\approx 54{,}57-47{,}14\approx7{,}43\).

+) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_2=\displaystyle\frac{3\cdot 44+7\cdot48+4\cdot52+3\cdot56+3\cdot60}{20}=51{,}2.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S_2^2=\displaystyle\frac{1}{20}\left(3\cdot 44^2+7\cdot48^2+4\cdot52^2+3\cdot56^2+3\cdot60^2 \right) -51{,}2^2=26{,}56.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \( S_2=\sqrt{26{,}56}. \)

a) Ta có bảng sau

Cỡ mẫu \( n=100 \).

Đường kính trung bình của cây xoan đào trồng ở địa điểm \(A\)

\(\overline{x}_A=\displaystyle\frac{25\cdot31+38\cdot33+20\cdot35+10\cdot37+7\cdot39}{100}=33{,}72. \)

Đường kính trung bình của cây xoan đào trồng ở địa điểm \(B\)

\(\overline{x}_B=\displaystyle\frac{22\cdot31+27\cdot33+19\cdot35+18\cdot37+14\cdot39}{100}=34{,}5.\)

Ta có \(\overline{x}_B>\overline{x}_A\) nên đường kính trung bình cây xoan đào ở địa điểm \( B \) lớn hơn ở địa điểm \( A \).

b) Phương sai của mẫu số liệu cây xoan đào trồng ở địa điểm \( A\)

\(S_A^2=\displaystyle\frac{1}{100}\left(25\cdot31^2+38\cdot33^2+20\cdot35^2+10\cdot37^2+7\cdot39^2 \right)- 33{,}72^2=5{,}4016.\)

Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu cây xoan đào trồng ở địa điểm \( A \) là \( S_A=\sqrt{5{,}4016}\).

Phương sai của mẫu số liệu cây xoan đào trồng ở địa điểm \( B\)

\(S_B^2=\displaystyle\frac{1}{100}\left(22\cdot31^2+27\cdot33^2+19\cdot35^2+18\cdot37^2+14\cdot39^2 \right)- 34{,}5^2=7{,}31.\)

Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu cây xoan đào trồng ở địa điểm \( B \) là \( S_B=\sqrt{7{,}31} \).

Ta có \( S_B>S_A \) nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm \( A \) đồng đều hơn ở địa điểm \( B \).

a) Ta có bảng sau

b) Xét mẫu số liệu của khu vực A

Cỡ mẫu là \( n_A=4+5+5+4+2=20 \).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(overline{x}_A=\displaystyle\frac{4\cdot 5{,}5+5\cdot 6{,}5+5\cdot 7{,}5+4\cdot 8{,}5+2\cdot 9{,}5}{20}=7{,}25. \)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S_A^2=\displaystyle\frac{1}{20}\left( 4\cdot 5{,}5^2+5\cdot 6{,}5^2+5\cdot 7{,}5^2+4\cdot 8{,}5^2+2\cdot 9{,}5^2\right)-7{,}25^2=1{,}5875.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \( S_A=\sqrt{1{,}5875}\).

Xét mẫu số liệu của khu vực B

Cỡ mẫu là \( n_B=3+6+5+5+1=20 \).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_B=\displaystyle\frac{3\cdot 5{,}5+6\cdot 6{,}5+5\cdot 7{,}5+5\cdot 8{,}5+1\cdot 9{,}5}{20}=7{,}25. \)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S_B^2=\displaystyle\frac{1}{20}\left( 3\cdot 5{,}5^2+6\cdot 6{,}5^2+5\cdot 7{,}5^2+5\cdot 8{,}5^2+1\cdot 9{,}5^2\right)-7{,}25^2=1{,}2875.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \( S_B=\sqrt{1{,}2875} \).

Do \(S_A > S_B\) nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì mức lương khởi điểm của công nhân khu vực \(B\) đồng đều hơn của công nhân khu vực \(A\).

a) Cỡ mẫu \( n=20\).

Số trung bình của mẫu số liệu trên là

\(\overline{x}_1=\displaystyle\frac{111{,}6+134{,}9+\ldots+114}{20}=122{,}775.\)

Phương sai của mẫu số liệu trên là

\(S_1^2=\displaystyle\frac{1}{20}\left( 111{,}6^2+134{,}9^2+\ldots+114^2 \right)-122{,}755^2\approx 515{,}453.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là

\(S_1\approx \sqrt{515{,}453}\approx22{,}704.\)

b) Ta có bảng sau

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_2=\displaystyle\frac{3\cdot 89+6\cdot107+3\cdot125+5\cdot143+3\cdot161}{20}=124{,}1. \)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S_2^2=\displaystyle\frac{1}{20}\left(3\cdot89^2+6\cdot107^2+3\cdot125^2+5\cdot143^2+3\cdot161^2 \right)-124{,}1^2=566{,}19.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S_2= \sqrt{566{,}19}\approx23{,}795. \)

c) Sai số tương đối của độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm so với độ lệch chuẩn

của mẫu số liệu gốc là

\(\displaystyle\frac{|S_2-S_1|}{S_1}=\displaystyle\frac{|23{,}795-22{,}704|}{22{,}704}\cdot100\%\approx4{,}805\%. \)

a) Bảng số liệu ghép nhóm độ ẩm trung bình các tháng tại Đà Lạt.

Bảng số liệu ghép nhóm độ ẩm trung bình các tháng tại Vũng Tàu.

b) Xét bảng số liệu ghép nhóm độ ẩm trung bình các tháng tại Đà Lạt

Độ ẩm trung bình các tháng tại Đà Lạt

\(\bar{x}_1=\displaystyle\frac{0 \cdot 76{,}65+2 \cdot 79{,}95+1 \cdot 83{,}25+6 \cdot 86{,}55+3 \cdot 89{,}85}{12}=86(\%).\)

Vậy phương sai của mẫu số liệu

\(\begin{aligned}&s_1^2=\displaystyle\frac{1}{12}\left[0 \cdot(76{,}65-86)^2+2 \cdot(79{,}95-86)^2+1\cdot(83{,}25-24{,}86)^2\right.\\ &\left.+6 \cdot(86{,}55-86)^2+3 \cdot(89{,}85-86)^2\right]=\displaystyle\frac{847}{80} \approx 10{,}5875.\end{aligned}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \(s_1 \approx \sqrt{10{,}5875} \approx 3{,}25(\%)\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu \(R=a_6-a_1=91{,}5-75=16{,}5\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu

Số phần tử của mẫu là \(n=12\).

Ta có: \(\displaystyle\frac{n}{4}=\displaystyle\frac{12}{4}=3\). Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ bằng 3. Xét nhóm 3 là nhóm \([81{,}6 ; 84{,}9)\) có \(s=81{,}6 ; h=3{,}3 ; n_3=1\) và nhóm 2 là nhóm \([78{,}3 ; 81{,}6)\) có \(c f_1=2\).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là

\(Q_1=81{,}6+\left(\displaystyle\frac{3-2}{1}\right) \cdot3{,}3=84{,}9(\%).\)

Ta có: \(\displaystyle\frac{3 n}{4}=\displaystyle\frac{3.12}{4}=9\). Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lơn hơn hoặc bằng 9. Xét nhóm 4 là nhóm \([84{,}9 ; 88{,}2)\) có \(s=84{,}9 ; l=3{,}3 ; n_4=6\) và nhóm 3 là nhóm \([81{,}6 ; 84{,}9)\) có \(c f_3=3\).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là

\(Q_3=84{,}9+\left(\displaystyle\frac{9-3}{6}\right) \cdot3{,}3 \approx 88{,}2(\%).\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

\[\Delta_Q=Q_3-Q_1=88{,}2-84{,}9=3{,}3.\]

Xét bảng số liệu ghép nhóm độ ẩm trung bình các tháng tại Vũng Tàu

Độ ẩm trung bình các tháng tại Vũng Tàu

\(\bar{x}_2=\displaystyle\frac{5 \cdot 76{,}65+6 \cdot 79{,}95+1 \cdot 83{,}25+0 \cdot 86{,}55+0 \cdot 89{,}85}{12}=78{,}85(\%).\)

Vậy phương sai của mẫu số liệu

\(\begin{aligned}& s_2^2=\displaystyle\frac{1}{12}\left[5 \cdot(76{,}65-78{,}85)^2+6 \cdot(79{,}95-78{,}85)^2+1\cdot(83{,}25-78{,}85)^2\right.\\ &\left.+0 \cdot(86{,}55-78{,}85)^2+0 \cdot(89{,}85-78{,}85)^2\right]=\displaystyle\frac{847}{200} \approx 4{,}235.\end{aligned}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \(s_1 \approx \sqrt{4{,}235} \approx 2{,}06(\%)\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu \(R=a_6-a_1=91{,}5-75=16{,}5\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu

Số phần tử của mẫu là \(n=12\).

Ta có: \(\displaystyle\frac{n}{4}=\displaystyle\frac{12}{4}=3\). Suy ra nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ bằng 3. Xét nhóm 1 là nhóm \([75; 78{,}3)\) có \(s=75; h=3{,}3 ; n_1=5\) có \(c f_0=0\).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là

\[Q_1=75+\left(\displaystyle\frac{3-0}{6}\right) .3{,}3=76{,}65(\%).\]

Ta có: \(\displaystyle\frac{3 n}{4}=\displaystyle\frac{3.12}{4}=9\). Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lơn hơn hoặc bằng 9. Xét nhóm 2 là nhóm \([78{,}3 ;81{,}6)\) có \(s=78{,}3; l=3{,}3 ; n_2=6\) và nhóm 1 là nhóm \([75 ; 78{,}3)\) có \(c f_1=5\).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là

\(Q_3=78{,}3+\left(\displaystyle\frac{9-5}{6}\right) .3{,}3 \approx 80{,}5(\%).\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

\(\Delta_Q=Q_3-Q_1=80{,}5-76{,}65=3{,}85.\)

Trong hai thành phố Đà Lạt và Vũng Tàu, thành phố Vũng Tàu có độ ẩm không khí trung bình tháng đồng đều hơn.

}