a) \(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}} = \displaystyle\frac{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}^{2}}{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}-\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}} = \displaystyle\frac{\left(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}\right)^{2}}{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}-\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}}=\displaystyle\frac{2^2}{3-2}=4\) ;

a) \(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \sqrt{u_{n}+2 v_{n}} = \sqrt{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}+\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} 2 v_{n}} =\sqrt{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}+2\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}} =\sqrt{2+2\cdot 3}=2\sqrt{2}\).

}

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho luỹ thừa cao nhất của \(n\), rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được

\(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{n^{2}+n+1}{2 n^{2}-1}=\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n^{2}}}{2-\displaystyle\frac{1}{n^{2}}}=\displaystyle\frac{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n^{2}}\right)}{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty}\left(2-\displaystyle\frac{1}{n^{2}}\right)}=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

}

a) Ta có

\(\lim u_n=\lim \left(3+\displaystyle\frac{1}{n}\right)=\lim 3+\lim \left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)=3+0=3\).

\(\lim v_n=\lim \left(5-\displaystyle\frac{2}{n^2}\right)=\lim 5-\lim \left(\displaystyle\frac{2}{n^2}\right)=5-0=5\).

a) Ta có

\(\lim \left(u_n+v_n\right)=\lim u_n+\lim v_n=3+5=8\).

\(\lim \left(u_n-v_n\right)=\lim u_n-\lim v_n=3-5=-2\).

\(\lim \left(u_n\cdot v_n\right)=\lim u_n\cdot \lim v_n=3\cdot 5=15\).

\(\lim \displaystyle\frac{u_n}{v_n}=\displaystyle\frac{3}{5}\).

}

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_{1}=1\) và \(q=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Do đó \(S=\displaystyle\frac{u_{1}}{1-q}=\displaystyle\frac{1}{1-\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)}=\displaystyle\frac{2}{3}.\)

}

a) Ta có \(S=\displaystyle\frac{u_1}{1-q}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{3}}{1-\left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)}=\displaystyle\frac{8}{15}\).

a) Ta có \(1,(6)=1+0,(6)=1+\displaystyle\frac{6}{10}+\displaystyle\frac{6}{10^2}+\cdots+\displaystyle\frac{6}{10^n}+\cdots=1+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{6}{10}}{1-\displaystyle\frac{1}{10}}=\displaystyle\frac{5}{3}\).

}

Ta có \(\lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 1}(x-1)=\lim \limits_{x \rightarrow 1} x-\lim \limits_{x \rightarrow 1} 1=1-1=0\). Mặt khác, ta thấy \(\lim \limits_{x \rightarrow 1} g(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 1} x^{3}=1\).

a) Ta có

\(\lim \limits_{x \rightarrow 1}[3 f(x)-g(x)]=\lim \limits_{x \rightarrow 1}[3 f(x)]-\lim \limits_{x \rightarrow 1} g(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 1} 3 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x)-\lim \limits_{x \rightarrow 1} g(x)=3 \cdot 0-1=-1.\)

a) Ta có

\(\lim \limits_{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{[f(x)]^{2}}{g(x)}=\displaystyle\frac{\lim \limits_{x \rightarrow 1}[f(x)]^{2}}{\lim \limits_{x \rightarrow 1} g(x)}=\displaystyle\frac{\lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x) \cdot \lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x)}{\lim \limits_{x \rightarrow 1} g(x)}=\displaystyle\frac{0}{1}=0.\)

}

Ta có \(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)=3\) và \(\lim\limits_{x \to 2^+} f(x)=5\), do đó \(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)\neq \lim\limits_{x \to 2^+} f(x)\).

Vậy không tồn tại \(\lim\limits_{x \to 2} f(x)\).

}

a) Hàm số \(f(x)=2x-\sin x\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb{R}\).

a) Hàm số \(g(x)=\sqrt{x-1}\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ge1\).

a) Ta có \(g(x)=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\).

\end{itemize}

Vậy ta có hàm số \(y=f(x)\cdot g(x)\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ge1\), hàm số \(y=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) liên tục tại mọi điểm \(x_0>1\).

}

Do mẫu thức có giới hạn là \(0\) khi \(x \rightarrow 0\) nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Chú ý rằng \(\displaystyle\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}=\displaystyle\frac{(\sqrt{x+9})^{2}-3^{2}}{x(\sqrt{x+9}+3)}=\displaystyle\frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}\).

Do đó \(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}=\displaystyle\frac{1}{\lim \limits_{x \rightarrow 0}[\sqrt{x+9}+3]}=\displaystyle\frac{1}{6}\).

}

Với dãy số \(\left(x_{n}\right)\) bất kì sao cho \(0 và \(x_{n} \rightarrow 1\), ta có \(f\left(x_{n}\right)=x_{n}^{2}\).

Do đó \(\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} f\left(x_{n}\right)=1\).

Tương tự, với dãy số \(\left(x_{n}\right)\) bất kì mà \(1, \(x_{n} \rightarrow 1\), ta có \(f\left(x_{n}\right)=x_{n}+1\), cho nên \(\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} f\left(x_{n}\right)=2\).

}

Rõ ràng, hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), do đó \(x_0=2\) thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có

\[\lim\limits_{x\to 2}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 2}{\displaystyle\frac{x-1}{x+1}}=3=f(2).\]

Do đó, hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x_0=2\).

}

Ta thấy rằng \(\lim\limits_{x\to 0^+}s(x)=1\) và \(\lim\limits_{x\to 0^-}s(x)=-1\). Do đó, không tồn tại giới hạn \(\lim\limits_{x\to 0}s(x)\).

Vậy hàm số không liên tục tại \(x=0\).

}

Ta có \(f(0)=0\), \(\lim\limits_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^+}{x^2}=0\), \(\lim\limits_{x\to 0^-}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}{(-x)}=0\).

Suy ra \(f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}{f(x)}.\)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x_0=0\).

}

Ta có \(f(x)=x-1\) với \(x\in \left(0;1\right)\). Với \(x_0\in \left(0;1\right)\) bất kì, ta có\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(x-1\right)=x_0-1=f\left(x_0\right).\]

Do đó, hàm số đã cho liên tục trên khoảng \(\left(0;1\right)\).

Hơn nữa, ta có

\[\lim\limits_{x\to 1^-}{f(x)}=0=f(1)\] nên \(f(x)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[0;1\right)\).

}

Tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathscr{D}=\left(-\infty;1\right)\cup \left(1;+\infty\right)\). Vậy, hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và \( \left(1;+\infty\right).\)

}

Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \((-\infty,-2)\cup (-2,+\infty)\). Vậy hàm số liên tục trên các khoảng \((-\infty,-2)\) và \((-2,+\infty)\).

}

Hàm số xác định trên các khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm liên tục. Do đó, hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

}

a) Từ giả thiết suy ra diện tích hình vuông sau bằng \(\displaystyle\frac{1}{2}\) diện tích hình vuông trước.

Khi đó diện tích của các hình vuông tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(S_1=1\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Diện tích \(S_n\) của hình vuông được tạo thành từ bước thứ \(n\) là \(S_n=S_1\cdot q^{n-1}=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\).

a) Tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành là:

\(S=\displaystyle\frac{u_1}{1-q}=\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{2}}=2.\)

}

a) Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là \(\overline{C}(x)=\displaystyle\frac{50000+105 x}{x}\).

a) Ta có

\begin{eqnarray*}\lim\limits_{x \to+\infty} \overline{C}(x)=\lim\limits_{x \to+\infty}\displaystyle\frac{50000+105 x}{x}\\ =\lim\limits_{x \to+\infty}\left(105+\displaystyle\frac{50000}{x}\right)\\ =\lim\limits_{x \to+\infty}105+\lim\limits_{x \to+\infty}\displaystyle\frac{50000}{x}\\ =105.\end{eqnarray*}

Ý nghĩa của kết quả: số lượng sản phẩm càng nhiều thì chi phí sản xuất sẽ càng giảm, chi phí thấp nhất là \(105\) nghìn đồng.

}

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\lim\limits_{t \to+\infty} N(t)=\lim\limits_{t \to+\infty}\displaystyle\frac{50 t}{t+4}=\lim\limits_{t \to+\infty}\displaystyle\frac{50t}{t\left(1+\displaystyle\frac{4}{t}\right)}\\ &=&\lim\limits_{t \to+\infty}\displaystyle\frac{50}{1+\displaystyle\frac{4}{t}}=\displaystyle\frac{\lim\limits_{t \to+\infty}50}{\lim\limits_{t \to+\infty}1+\lim\limits_{t \to+\infty}\displaystyle\frac{4}{t}}\\ &=&\displaystyle\frac{50}{1+0}=50.\end{eqnarray*}

Ý nghĩa của kết quả: năng suất lao động cao nhất trong một ngày của một nhân viên là \(50\).

}