Ta có \(u_n=\displaystyle\frac{2n+1}{n+2}=\displaystyle\frac{2n+4-3}{n+2}=2-\displaystyle\frac3{n+2}\).

Do \(n\in\mathbb{N}^*\) nên \(n\ge1\). Từ đó ta có

\begin{align*}&n+2\ge3\Rightarrow0<\displaystyle\frac{3}{n+2}\le1\\ &\Leftrightarrow -1\leq -\displaystyle\frac3{n+2}<0\Rightarrow 1\leq u_n<2.\end{align*}

Vậy, \((u_n)\) bị chặn.

}

a) \(u_n=\displaystyle\frac{n^2}{n+1}\);

Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{(n+1)^2}{n+2}-\displaystyle\frac{n^2}{n+1}=\displaystyle\frac{(n^3+3n^2+3n+1)-(n^3+2n)}{(n+1)(n+2)}=\displaystyle\frac{3n^2+n+1}{(n+1)(n+2)}>0\).

Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.

Vì \(u_n=\displaystyle\frac{n^2}{n+1}>0\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\) nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới bởi \(0\).

a) \(u_n=\displaystyle\frac{2}{n^5}\);

Ta có \(u_n=\displaystyle\frac{2}{n^5}>0\) và \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{n^5}{(n+1)^5}<1\).

Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số giảm.

\(1=u_1>u_n=\displaystyle\frac{2}{n^5}>0\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\) nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn.

a) \(u_n=(-1)^n.n^2\).

Ta có \(u_1=-1\); \(u_2=4\); \(u_3=-9\);

Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số không tăng không giảm, không bị chặn.

}

a) \(u_2+u_5=42\) và \(u_4+u_9=66\);

Ta có \(\begin{cases}u_2+u_5=42 \\ u_4+u_9=66\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2u_1+5d=42 \\ 2u_1+11d=66\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=11 \\ d=4.\end{cases}\)

Vậy số hạng đầu \(u_1=11\), công sai \(d=4\)

a) \(u_2+u_4=22\) và \(u_1 . u_5=21\).

Ta có \(\begin{cases}u_2+u_4=22 \\ u_1 . u_5=21\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2u_1+4d=22 \\ u_1.(u_1+4d)=21\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=11-2d \\ (11-2d).(11+2d)=21\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=11-2d \\ 4d^2=100\end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\begin{cases}u_1=1 \\ d= 5\end{cases}\\ &\begin{cases}u_1=21 \\ d= -5.\end{cases}\end{aligned}\right.\)

Vậy có hai cấp số cộng thỏa mãn đề bài số hạng đầu \(u_1=1\), công sai \(d=5\); số hạng đầu \(u_1=21\), công sai \(d=-5\).

}

a) \(u_6=192\) và \(u_7=384\);

Ta có \(\begin{cases}u_6=192 \\ u_7=384\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1.q^5=192 \\ u_1.q^6=384\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=6\\ q=2\end{cases}\).

Vậy số hạng đầu \(u_1=6\), công bội \(q=2\).

a) \(u_1+u_2+u_3=7\) và \(u_5-u_2=14\).

Ta có

\(\begin{cases}u_1+u_2+u_3&=7 \\ u_5-u_2&=14\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1.(1+q+q^2)&=7 \\ u_1.q.(q^3-1)&=14\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1.(1+q+q^2)=7\\ q(q-1)=2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1.(1+q+q^2)=7\\ q^2-q-2=0.\end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\begin{cases}u_1=1 \\ q=2\end{cases}\\ &\begin{cases}u_1&=7 \\ q&=-1\end{cases}\end{aligned}\right.\)

Vậy có hai cấp số nhân thỏa mãn đề bài số hạng đầu \(u_1=1\), công sai \(q=2\); số hạng đầu \(u_1=7\), công sai \(q=-1\).

}

a) \(u_n=3-4n\);

Ta có \(u_{n+1}=3-4(n+1)=(3-4n)-4=u_n+(-4)\), \(\forall n \in \mathbb{N^*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=-4\), số hạng đầu \(u_1=3-4\cdot 1=-1\).

a) \(u_n=\displaystyle\frac{n}{2}-4\);

Ta có \(u_{n+1}=\displaystyle\frac{n+1}{2}-4=\left(\displaystyle\frac{n}{2}-4\right)+\displaystyle\frac{1}{2}=u_n+\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\forall n \in \mathbb{N^*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=\displaystyle\frac{1}{2}\), số hạng đầu \(u_1=\displaystyle\frac{1}{2}-4=-\displaystyle\frac{7}{2}\).

a) \(u_n=5^n\);

Ta có \(u_{n+1}=5^{n+1}=5^n\cdot 5=u_n\cdot 5\), \(\forall n \in \mathbb{N^*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) không phải là cấp số cộng.

a) \(u_n=\displaystyle\frac{9-5n}{3}\).

Ta có \(u_{n+1}=\displaystyle\frac{9-5\left(n+1\right)}{3}=\displaystyle\frac{9-5n}{3}-\displaystyle\frac{5}{3}=u_n+\left(-\displaystyle\frac{5}{3}\right)\), \(\forall n \in \mathbb{N^*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=-\displaystyle\frac{5}{3}\), số hạng đầu \(u_1=\displaystyle\frac{9-5\cdot 1}{3}=\displaystyle\frac{4}{3}\).

}

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \(u_1=1\) và công sai \(d=1\).

Theo giả thiết ta có:

\(S_n=4950 \Leftrightarrow n+\displaystyle\frac{(n-1)n}{2} =4950 \Leftrightarrow n^2 +n -4950=0 \Leftrightarrow n=-99\) (loại) hoặc \(n=100\) (nhận).

Vậy có \(100\) hàng cây được trồng.

}

Do bốn góc \(A,B,C,D\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên số đo \(4\) góc của tứ giác \(ABCD\) lần lượt là \(u_1,u_1+d,u_1+2d,u_1+3d\).

Theo giả thiết, ta có:

\(\begin{cases}u_1+u_1+d+u_1+2d+u_1+3d=360 \\ u_1+2d=5u_1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}4u_1+6d=360 \\ -4u_1+2d=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=22,5 \\ d=45.\end{cases}\)

Vậy số đo các góc của tứ giác lần lượt là \(22,5^\circ; 67,5^\circ; 112,5^\circ; 157,5^\circ\).

}

Gọi \(u_n\) là số tiền (cả gốc lẫn lãi) mà bác Linh có được sau \(n\) năm.

Do lãi suất 1 năm là \(6\%\) nên ta có

\begin{eqnarray*}u_n &=&u_{n-1}+u_{n-1} \cdot 0{,}06=u_{n-1} \cdot(1+0{,}06) \\ &=&u_{n-1} \cdot 1{,}06\ \text{với}\ n \geq 2.\end{eqnarray*}

Do đó, \(\left(u_n\right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1=100\) (triệu đồng), công bội \(q=1{,}06\).

Vậy số tiền mà bác Linh có được sau \(n\) năm là

\[u_n=100 \cdot 1{,}06^{n-1}\ (\text{triệu đồng}). \]

}

Dân số Việt Nam năm \(2040\) là \(97{,}6 \cdot (1+1{,}14\%)^{20}=122{,}4\) (triệu người).

}

Gọi \(u_n\) là số tiền lương (triệu đồng) anh Tuấn được lĩnh ở năm làm việc thứ \(n\). Ta có: \(u_1=60\);

\[u_n=u_{n-1}+u_{n-1} \cdot 0{,}08=u_{n-1} \cdot(1+0{,}08)=u_{n-1} \cdot 1{,}08. \]

Do đó, \(\left(u_n\right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1=60\), công bội \(q=1{,}08\). Áp dụng công thức tính tổng \(S_n\), ta có tổng số tiền lương anh Tuấn lĩnh được trong \(10\) năm đi làm là

\[S_{10}=\displaystyle\frac{60\cdot\left(1-1{,}08^{10}\right)}{1-1{,}08} \approx 869{,}194\ (\text{triệu người}). \]

}

a) Sau 1 năm, dân số của Việt Nam sẽ là

\begin{eqnarray*}u_1&=&97{,}6+97{,}6 \cdot 0{,}0114=97{,}6 \cdot(1+0{,}0114)\\&=&97{,}6 \cdot 1{,}0114 \approx 98{,}7 (\text{triệu người}).\end{eqnarray*}

a) Gọi \(u_n\) là dân số của Việt Nam sau \(n\) năm.

Do tỉ lệ tăng dân số hàng năm là \(1{,}14 \%\) nên ta có

\begin{eqnarray*}u_n &=&u_{n-1}+u_{n-1} \cdot 0{,}0114=u_{n-1} \cdot(1+0{,}0114) \\&=&u_{n-1} \cdot 1{,}0114\ \text{với}\ n \geq 2.\end{eqnarray*}

Do đó, \(\left(u_n\right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1=97{,}6\cdot 1{,}0114\), công bội \(q=1{,}0114\).

Vậy dân số của Việt Nam sau \(n\) năm kể từ năm \(2020\) là

\[u_n=97{,}6 \cdot 1{,}0114 \cdot 1{,}0114^{n-1}=97{,}6 \cdot 1{,}0114^n\ (\text{triệu người}). \]

}

Lúc \(1\) giờ đồng hồ đánh \(1\) tiếng chuông.

Lúc \(2\) giờ đồng hồ đánh \(2\) tiếng chuông.

\(\cdots\)

Lúc \(12\) giờ trưa đồng hồ đánh \(12\) tiếng chuông.

Do đó, từ \(0\) giờ đến \(12\) giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là

\(1+ 2+ 3+ \cdots + 11+ 12\).

Đây là tổng \(12\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1= 1\), công sai \(d = 1\).

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(12\) giờ trưa là \(\displaystyle\frac{12\cdot (1+12)}{2}=78\).

}

a. Giả sử \((u_n)\) là một cấp số cộng, có công sai \(d\).

Khi đó \(u_n=u_1+(n-1)d\).

Với \(k \geq 2\), ta có

\(u_{k-1}+u_{k+1} = u_1+(k-2)d+u_1+kd\) \(= 2u_1+2(k-1)d=2u_k\).

Vậy \(u_k=\displaystyle\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k \geq 2.\)

b. Giả sử \((u_n)\) là một cấp số nhân, có công bội \(q\).

Khi đó \(u_n=q^{n-1}u_1\).

Với \(k \geq 2\), ta có

\(u_{k-1}u_{k+1} = q^{k-2}u_1q^{k}u_1\) \(= q^{2k-2}u_1^2=(u_k)^2\).

Vậy \( u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1}\) với \(k \geq 2 .\)

}

Giả sử cấp số cộng cần tìm là \(x,\,y, \, z\) . Theo tính chất của cấp số cộng ta có \(x+z=2y\).

Kết hợp giả thiết ta có \(x+y+z=21 \Rightarrow 3y=21 \Leftrightarrow y=7\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(x,\,y, \, z\) thì \(x=7-d\), \(z=7+d\).

Sau khi cộng thêm các số \(2\), \(3\), \(9\) vào ba số \(x\), \(y\), \(z\) ta được ba số \( x + 2\), \(y + 3\), \(z + 9\) hay \(9 - d\), \(10\), \(16 - d\).

Theo tính chất của cấp số nhân ta có

\((9-d)(16+d)=100\) \(\Leftrightarrow 144-7d-d^2=100\) \(\Leftrightarrow d^2+7d-44=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& d=4 \\ &d=-11.\end{aligned}\right.\)

Với \(d = 4\) ta được cấp số cộng \(3\), \(7\), \(11\).

Với \(d = -11\) ta được cấp số cộng \(18\), \(7\), \(-4\).

}

a. Mỗi bậc thang cao \(16\) cm = \(0{,}16\) m \(\Rightarrow n\) bậc thang cao \(0{,}16\cdot n\) (m).

Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân \(0{,}5\) m nên công thức tính độ cao của bậc \(n\) so với mặt sân sẽ là \(h_n = (0{,} 5 + 0{,}16n)\) (m).

b. Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với \(n = 25\) là

\(h_{25} = 0{,}5 + 0{,}16.25 = 4,5\) (m)

}

Do diện tích của mặt sàn tính từ tầng một lập thành một cấp số nhân với \(u_2=\displaystyle\frac{1}{2}.12288=6144\) và \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có

\(\begin{cases}u_2=6144 \\ q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases} \) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=12288 \\ q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\).

Ta có

\(u_{11}=u_1.q^{10}=12288.\displaystyle\frac{1}{12^{10}}=12m^2\).

Vậy diện tích của mặt sàn tầng trên cùng là \(12m^2\).

}

Nhiệt độ sau mỗi giờ của khay nước theo thứ tự lập thành cấp số nhân với \(u_1=23\) và \(q=(1-20\%)\).

Ta có \(u_6=u_1.q^5=23.(1-20\%)^5 \approx 7,5\).

Nhiệt độ của khay nước sau \(6\) giờ là \( \approx 7,5^\circ \).

}

Do lãi suất là \(12\%\)/năm tương đương với lãi là \(1\%\)/tháng.

Sau \(1\) tháng, ông An còn nợ là:

\(10^9\cdot(1+1\%)-a=10^9\cdot(1,01)-S_1\).

Sau \(2\) tháng, ông An còn nợ là:

\(10^9\cdot(1.01)^2-a\cdot(1.01)-a=10^9(1,01)^2-S_2\).

Sau \(3\) tháng, ông An còn nợ là:

\(10^9\cdot(1.01)^3-a(1.01)^2-a(1.01)-a\) \(=10^9\cdot(1.01)^3-S_3\).

Sau \(24\) tháng, ông An còn nợ là:

\(10^9\cdot(1.01)^{24}-S_{24}=0\).

Do đó

\(S_{24}=10^9\cdot(1.01)^{24} \) \(\Leftrightarrow a\cdot\displaystyle\frac{1-(1.01)^{24}}{1-(1.01)}=10^9\cdot(1.01)^{24}\) \(\Leftrightarrow a =\displaystyle\frac{10^9\cdot(1.01)^{24}\cdot0.01}{(1.01)^{24}-1}\) \(\approx 47073472{,}22\).

Vậy mỗi tháng ông An phải trả \(47073500\).

}