ÔN TẬP CHƯƠNG II

Câu 1:

Xét tính bị chặn của dãy số \((u_n)\) với \(u_n=\displaystyle\frac{2n+1}{n+2}\).

Ta có \(u_n=\displaystyle\frac{2n+1}{n+2}=\displaystyle\frac{2n+4-3}{n+2}=2-\displaystyle\frac3{n+2}\).

Do \(n\in\mathbb{N}^*\) nên \(n\ge1\). Từ đó ta có

\begin{align*}&n+2\ge3\Rightarrow0<\displaystyle\frac{3}{n+2}\le1\\ &\Leftrightarrow -1\leq -\displaystyle\frac3{n+2}<0\Rightarrow 1\leq u_n<2.\end{align*}

Vậy, \((u_n)\) bị chặn.

}

Câu 2:

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số \(\left(u_n\right)\) sau, biết số hạng tổng quát:

a) \(u_n=\displaystyle\frac{n^2}{n+1}\);

a) \(u_n=\displaystyle\frac{2}{n^5}\);

a) \(u_n=(-1)^n.n^2\).

a) \(u_n=\displaystyle\frac{n^2}{n+1}\);

Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{(n+1)^2}{n+2}-\displaystyle\frac{n^2}{n+1}=\displaystyle\frac{(n^3+3n^2+3n+1)-(n^3+2n)}{(n+1)(n+2)}=\displaystyle\frac{3n^2+n+1}{(n+1)(n+2)}>0\).

Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.

\(u_n=\displaystyle\frac{n^2}{n+1}>0\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\) nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới bởi \(0\).

a) \(u_n=\displaystyle\frac{2}{n^5}\);

Ta có \(u_n=\displaystyle\frac{2}{n^5}>0\)\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{n^5}{(n+1)^5}<1\).

Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số giảm.

\(1=u_1>u_n=\displaystyle\frac{2}{n^5}>0\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\) nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn.

a) \(u_n=(-1)^n.n^2\).

Ta có \(u_1=-1\); \(u_2=4\); \(u_3=-9\);

Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số không tăng không giảm, không bị chặn.

}

Câu 3:

Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\). Tìm số hạng đầu \(u_1\), công sai \(d\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(u_2+u_5=42\)\(u_4+u_9=66\);

a) \(u_2+u_4=22\)\(u_1 . u_5=21\).

a) \(u_2+u_5=42\)\(u_4+u_9=66\);

Ta có \(\begin{cases}u_2+u_5=42 \\ u_4+u_9=66\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2u_1+5d=42 \\ 2u_1+11d=66\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=11 \\ d=4.\end{cases}\)

Vậy số hạng đầu \(u_1=11\), công sai \(d=4\)

a) \(u_2+u_4=22\)\(u_1 . u_5=21\).

Ta có \(\begin{cases}u_2+u_4=22 \\ u_1 . u_5=21\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2u_1+4d=22 \\ u_1.(u_1+4d)=21\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=11-2d \\ (11-2d).(11+2d)=21\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=11-2d \\ 4d^2=100\end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\begin{cases}u_1=1 \\ d= 5\end{cases}\\ &\begin{cases}u_1=21 \\ d= -5.\end{cases}\end{aligned}\right.\)

Vậy có hai cấp số cộng thỏa mãn đề bài số hạng đầu \(u_1=1\), công sai \(d=5\); số hạng đầu \(u_1=21\), công sai \(d=-5\).

}

Câu 4:

Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\). Tìm số hạng đầu \(u_1\), công bội \(q\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(u_6=192\)\(u_7=384\);

a) \(u_1+u_2+u_3=7\)\(u_5-u_2=14\).

a) \(u_6=192\)\(u_7=384\);

Ta có \(\begin{cases}u_6=192 \\ u_7=384\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1.q^5=192 \\ u_1.q^6=384\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=6\\ q=2\end{cases}\).

Vậy số hạng đầu \(u_1=6\), công bội \(q=2\).

a) \(u_1+u_2+u_3=7\)\(u_5-u_2=14\).

Ta có

\(\begin{cases}u_1+u_2+u_3&=7 \\ u_5-u_2&=14\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1.(1+q+q^2)&=7 \\ u_1.q.(q^3-1)&=14\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1.(1+q+q^2)=7\\ q(q-1)=2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1.(1+q+q^2)=7\\ q^2-q-2=0.\end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\begin{cases}u_1=1 \\ q=2\end{cases}\\ &\begin{cases}u_1&=7 \\ q&=-1\end{cases}\end{aligned}\right.\)

Vậy có hai cấp số nhân thỏa mãn đề bài số hạng đầu \(u_1=1\), công sai \(q=2\); số hạng đầu \(u_1=7\), công sai \(q=-1\).

}

Câu 5:

Trong các đãy số sau đây, đã số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) \(u_n=3-4n\);

a) \(u_n=\displaystyle\frac{n}{2}-4\);

a) \(u_n=5^n\);

a) \(u_n=\displaystyle\frac{9-5n}{3}\).

a) \(u_n=3-4n\);

Ta có \(u_{n+1}=3-4(n+1)=(3-4n)-4=u_n+(-4)\), \(\forall n \in \mathbb{N^*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=-4\), số hạng đầu \(u_1=3-4\cdot 1=-1\).

a) \(u_n=\displaystyle\frac{n}{2}-4\);

Ta có \(u_{n+1}=\displaystyle\frac{n+1}{2}-4=\left(\displaystyle\frac{n}{2}-4\right)+\displaystyle\frac{1}{2}=u_n+\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\forall n \in \mathbb{N^*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=\displaystyle\frac{1}{2}\), số hạng đầu \(u_1=\displaystyle\frac{1}{2}-4=-\displaystyle\frac{7}{2}\).

a) \(u_n=5^n\);

Ta có \(u_{n+1}=5^{n+1}=5^n\cdot 5=u_n\cdot 5\), \(\forall n \in \mathbb{N^*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) không phải là cấp số cộng.

a) \(u_n=\displaystyle\frac{9-5n}{3}\).

Ta có \(u_{n+1}=\displaystyle\frac{9-5\left(n+1\right)}{3}=\displaystyle\frac{9-5n}{3}-\displaystyle\frac{5}{3}=u_n+\left(-\displaystyle\frac{5}{3}\right)\), \(\forall n \in \mathbb{N^*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=-\displaystyle\frac{5}{3}\), số hạng đầu \(u_1=\displaystyle\frac{9-5\cdot 1}{3}=\displaystyle\frac{4}{3}\).

}

Câu 6:

Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có \(1\) cây, ở hàng thứ hai có \(2\) cây, ở hàng thứ ba có \(3\) cây, \(\ldots\) ở hàng thứ \(n\)\(n\) cây. Biết rằng người ta trồng hết \(4950\) cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \(u_1=1\) và công sai \(d=1\).

Theo giả thiết ta có:

\(S_n=4950 \Leftrightarrow n+\displaystyle\frac{(n-1)n}{2} =4950 \Leftrightarrow n^2 +n -4950=0 \Leftrightarrow n=-99\) (loại) hoặc \(n=100\) (nhận).

Vậy có \(100\) hàng cây được trồng.

}

Câu 7:

Tứ giác \(ABCD\) có số đo bốn góc \(A,B,C,D\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc \(C\) gấp \(5\) lần số đo góc \(A\). Tính số đo các góc của tứ giác \(ABCD\) theo đơn vị độ.

Do bốn góc \(A,B,C,D\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên số đo \(4\) góc của tứ giác \(ABCD\) lần lượt là \(u_1,u_1+d,u_1+2d,u_1+3d\).

Theo giả thiết, ta có:

\(\begin{cases}u_1+u_1+d+u_1+2d+u_1+3d=360 \\ u_1+2d=5u_1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}4u_1+6d=360 \\ -4u_1+2d=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=22,5 \\ d=45.\end{cases}\)

Vậy số đo các góc của tứ giác lần lượt là \(22,5^\circ; 67,5^\circ; 112,5^\circ; 157,5^\circ\).

}

Câu 8:

Bác Linh gửi vào ngân hàng \(100\) triệu đồng tiền tiết kiệm với hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất \(6 \% /\)năm. Viết công thức tính số tiền (cả gốc và lãi) mà bác Linh có được sau \(n\) năm (giả sử lãi suất không thay đổi qua các năm).

Gọi \(u_n\) là số tiền (cả gốc lẫn lãi) mà bác Linh có được sau \(n\) năm.

Do lãi suất 1 năm là \(6\%\) nên ta có

\begin{eqnarray*}u_n &=&u_{n-1}+u_{n-1} \cdot 0{,}06=u_{n-1} \cdot(1+0{,}06) \\ &=&u_{n-1} \cdot 1{,}06\ \text{với}\ n \geq 2.\end{eqnarray*}

Do đó, \(\left(u_n\right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1=100\) (triệu đồng), công bội \(q=1{,}06\).

Vậy số tiền mà bác Linh có được sau \(n\) năm là

\[u_n=100 \cdot 1{,}06^{n-1}\ (\text{triệu đồng}). \]

}

Câu 9:

Dân số Việt Nam năm \(2020\) là khoảng \(97{,}6\) triệu người (theo Niên giám thống kê năm \(2020\)). Nếu trung bình mỗi năm tăng \(1{,}14 \%\) thì ước tính dân số Việt Nam năm \(2040\) là khoảng bao nhiêu người (làm tròn kết quả đến hàng trăm nghìn)?

Dân số Việt Nam năm \(2040\)\(97{,}6 \cdot (1+1{,}14\%)^{20}=122{,}4\) (triệu người).

}

Câu 10:

Giả sử anh Tuấn kí hợp đồng lao động trong \(10\) năm với điều khoản về tiền lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Tuấn là \(60\) triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Tuấn được tăng lên \(8 \%\). Tính tổng số tiền lương anh Tuấn lĩnh được trong \(10\) năm đi làm (đơn vị: triệu đồng, làm tròn đến hàng phần nghìn).

Gọi \(u_n\) là số tiền lương (triệu đồng) anh Tuấn được lĩnh ở năm làm việc thứ \(n\). Ta có: \(u_1=60\);

\[u_n=u_{n-1}+u_{n-1} \cdot 0{,}08=u_{n-1} \cdot(1+0{,}08)=u_{n-1} \cdot 1{,}08. \]

Do đó, \(\left(u_n\right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1=60\), công bội \(q=1{,}08\). Áp dụng công thức tính tổng \(S_n\), ta có tổng số tiền lương anh Tuấn lĩnh được trong \(10\) năm đi làm là

\[S_{10}=\displaystyle\frac{60\cdot\left(1-1{,}08^{10}\right)}{1-1{,}08} \approx 869{,}194\ (\text{triệu người}). \]

}

Câu 11:

Dân số trung bình của Việt Nam năm \(2020\)\(97{,}6\) triệu người, tỉ lệ tăng dân số là \(1{,}14 \% /\)năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số không đổi qua các năm.

a) Sau 1 năm, dân số của Việt Nam sẽ là bao nhiêu triệu người (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

a) Viết công thức tính dân số Việt Nam sau \(n\) năm kể từ năm \(2020\).

a) Sau 1 năm, dân số của Việt Nam sẽ là

\begin{eqnarray*}u_1&=&97{,}6+97{,}6 \cdot 0{,}0114=97{,}6 \cdot(1+0{,}0114)\\&=&97{,}6 \cdot 1{,}0114 \approx 98{,}7 (\text{triệu người}).\end{eqnarray*}

a) Gọi \(u_n\) là dân số của Việt Nam sau \(n\) năm.

Do tỉ lệ tăng dân số hàng năm là \(1{,}14 \%\) nên ta có

\begin{eqnarray*}u_n &=&u_{n-1}+u_{n-1} \cdot 0{,}0114=u_{n-1} \cdot(1+0{,}0114) \\&=&u_{n-1} \cdot 1{,}0114\ \text{với}\ n \geq 2.\end{eqnarray*}

Do đó, \(\left(u_n\right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1=97{,}6\cdot 1{,}0114\), công bội \(q=1{,}0114\).

Vậy dân số của Việt Nam sau \(n\) năm kể từ năm \(2020\)

\[u_n=97{,}6 \cdot 1{,}0114 \cdot 1{,}0114^{n-1}=97{,}6 \cdot 1{,}0114^n\ (\text{triệu người}). \]

}

Câu 12:

Từ \(0\) giờ đến \(12\) giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?

Lúc \(1\) giờ đồng hồ đánh \(1\) tiếng chuông.

Lúc \(2\) giờ đồng hồ đánh \(2\) tiếng chuông.

\(\cdots\)

Lúc \(12\) giờ trưa đồng hồ đánh \(12\) tiếng chuông.

Do đó, từ \(0\) giờ đến \(12\) giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là

\(1+ 2+ 3+ \cdots + 11+ 12\).

Đây là tổng \(12\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1= 1\), công sai \(d = 1\).

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(12\) giờ trưa là \(\displaystyle\frac{12\cdot (1+12)}{2}=78\).

}

Câu 13:

Chứng minh rằng

a. Trong một cấp số cộng \(\left(u_n\right)\), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\(u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\text{với }k \geq 2.\)

b. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\(u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1}\text{vơi }k \geq 2 .\)

a. Giả sử \((u_n)\) là một cấp số cộng, có công sai \(d\).

Khi đó \(u_n=u_1+(n-1)d\).

Với \(k \geq 2\), ta có

\(u_{k-1}+u_{k+1} = u_1+(k-2)d+u_1+kd\) \(= 2u_1+2(k-1)d=2u_k\).

Vậy \(u_k=\displaystyle\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k \geq 2.\)

b. Giả sử \((u_n)\) là một cấp số nhân, có công bội \(q\).

Khi đó \(u_n=q^{n-1}u_1\).

Với \(k \geq 2\), ta có

\(u_{k-1}u_{k+1} = q^{k-2}u_1q^{k}u_1\) \(= q^{2k-2}u_1^2=(u_k)^2\).

Vậy \( u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1}\) với \(k \geq 2 .\)

}

Câu 14:

Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng \(21\), và nếu lần lượt cộng thêm các số \(2\); \(3\); \(9\) vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Giả sử cấp số cộng cần tìm là \(x,\,y, \, z\) . Theo tính chất của cấp số cộng ta có \(x+z=2y\).

Kết hợp giả thiết ta có \(x+y+z=21 \Rightarrow 3y=21 \Leftrightarrow y=7\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(x,\,y, \, z\) thì \(x=7-d\), \(z=7+d\).

Sau khi cộng thêm các số \(2\), \(3\), \(9\) vào ba số \(x\), \(y\), \(z\) ta được ba số \( x + 2\), \(y + 3\), \(z + 9\) hay \(9 - d\), \(10\), \(16 - d\).

Theo tính chất của cấp số nhân ta có

\((9-d)(16+d)=100\) \(\Leftrightarrow 144-7d-d^2=100\) \(\Leftrightarrow d^2+7d-44=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& d=4 \\ &d=-11.\end{aligned}\right.\)

Với \(d = 4\) ta được cấp số cộng \(3\), \(7\), \(11\).

Với \(d = -11\) ta được cấp số cộng \(18\), \(7\), \(-4\).

}

Câu 15:

Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân \(0,5 \mathrm{~m}\). Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm \(25\) bậc, mỗi bậc cao \(16 \mathrm{~cm}\).

a. Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ \(n\) so với mặt sân.

b. Tính độ cao của sân tầng hai so với mặt sân.

a. Mỗi bậc thang cao \(16\) cm = \(0{,}16\) m \(\Rightarrow n\) bậc thang cao \(0{,}16\cdot n\) (m).

Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân \(0{,}5\) m nên công thức tính độ cao của bậc \(n\) so với mặt sân sẽ là \(h_n = (0{,} 5 + 0{,}16n)\) (m).

b. Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với \(n = 25\)

\(h_{25} = 0{,}5 + 0{,}16.25 = 4,5\) (m)

}

Câu 16:

Một cái tháp có \(11\) tầng. Diện tích của mặt sàn tầng \(2\) bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là \(12 288m^2\). Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Do diện tích của mặt sàn tính từ tầng một lập thành một cấp số nhân với \(u_2=\displaystyle\frac{1}{2}.12288=6144\)\(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có

\(\begin{cases}u_2=6144 \\ q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases} \) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=12288 \\ q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\).

Ta có

\(u_{11}=u_1.q^{10}=12288.\displaystyle\frac{1}{12^{10}}=12m^2\).

Vậy diện tích của mặt sàn tầng trên cùng là \(12m^2\).

}

Câu 17:

Một khay nước có nhiệt độ \(23^\circ\) được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm \(20\%\). Tính nhiệt độ của khay nước đó sau \(6\) giờ theo đơn vị độ \(C\).

Nhiệt độ sau mỗi giờ của khay nước theo thứ tự lập thành cấp số nhân với \(u_1=23\)\(q=(1-20\%)\).

Ta có \(u_6=u_1.q^5=23.(1-20\%)^5 \approx 7,5\).

Nhiệt độ của khay nước sau \(6\) giờ là \( \approx 7,5^\circ \).

}

Câu 18:

Ông An vay ngân hàng \(1\) tỉ đồng với lãi suất \(12\%/\)năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối tháng ông trả ngân hàng số tiền là \(a\) (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng \(2\) năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Do lãi suất là \(12\%\)/năm tương đương với lãi là \(1\%\)/tháng.

Sau \(1\) tháng, ông An còn nợ là:

\(10^9\cdot(1+1\%)-a=10^9\cdot(1,01)-S_1\).

Sau \(2\) tháng, ông An còn nợ là:

\(10^9\cdot(1.01)^2-a\cdot(1.01)-a=10^9(1,01)^2-S_2\).

Sau \(3\) tháng, ông An còn nợ là:

\(10^9\cdot(1.01)^3-a(1.01)^2-a(1.01)-a\) \(=10^9\cdot(1.01)^3-S_3\).

Sau \(24\) tháng, ông An còn nợ là:

\(10^9\cdot(1.01)^{24}-S_{24}=0\).

Do đó

\(S_{24}=10^9\cdot(1.01)^{24} \) \(\Leftrightarrow a\cdot\displaystyle\frac{1-(1.01)^{24}}{1-(1.01)}=10^9\cdot(1.01)^{24}\) \(\Leftrightarrow a =\displaystyle\frac{10^9\cdot(1.01)^{24}\cdot0.01}{(1.01)^{24}-1}\) \(\approx 47073472{,}22\).

Vậy mỗi tháng ông An phải trả \(47073500\).

}