Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\) và \((4;5)\), nghịch biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((2;4)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(x=4\).

}

Hàm số \(y=g(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-2;0)\), \((1;+\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((0;1)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và đạt cực tiểu tại \(x=-2\), \(x=1\).

}

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=-3x^2+4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow -3x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{4}{3}\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \(\left(\displaystyle\frac{4}{3};+\infty\right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{4}{3}\right)\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=\displaystyle\frac{4}{3}\).

}

Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(f'\left(x\right)=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\). Do đó \(y'\geq 0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\) và \(y'=0\) tại \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), không có điểm cực trị.

}

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=3x^2-6x-9\);

\(y'=0\Leftrightarrow 3x^2-6x-9=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=3\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-1)\) và \((3;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((-1;3)\).

}

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=-x^2+2x-1=(x-1)^2\);

\(y'\leq 0,\forall x\in \mathbb{R}\) và \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

}

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=4x^3+4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow =4x^3+4x=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\).

}

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=4x^3-4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow 4x^3-4x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm 1\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-1;0)\) và \(\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \((0;1)\).

}

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{7}{(2-x)^2}>0,\,\forall x\neq 2\).

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

}

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\displaystyle\frac{1}{3}\right\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2(3x+1)-3(2x-1)}{(3x+1)^2}=\displaystyle\frac{5}{(3x+1)^2}>0\) với mọi \(x\) khác \(- \displaystyle\frac{1}{3}\).

Vậy, hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{3x+1}\) đồng biến trên \(\left(-\infty; - \displaystyle\frac{1}{3}\right)\) và \(\left(- \displaystyle\frac{1}{3};+\infty\right)\).

Hàm số không có cực trị.

}

\(y=\frac{x^2+x+4}{x-3}\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

Ta có: \(y'=\frac{x^2-6x-7}{\left(x-3\right)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x^2-6x-7=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=7\)

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(7;+\infty\right)\) ; nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-1;3\right)\) và \(\left(3;7\right)\).

}

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+2 x+2}{x+1}\) xác định với mọi \(x\in \mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace-1\right\rbrace\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-2x}{\left(x+1\right)^{2}}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-2.\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra

\(x=0\) là điểm cực đại của hàm số, \(f_{\text{CĐ}}=2\)

\(x=-2\) là điểm cực tiểu của hàm số, \(f_{\text{CT}}=6\).

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left(-2;-1\right)\cup\left(-1;0\right)\), nghịch biến trên \(\left(-\infty;-2\right)\cup\left(0;+\infty\right)\).

}

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=0\) và \(x=2\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), nghịch biến trên \((0;2)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\).

}

Ta có \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=1\) và \(x=-3\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-3)\) và \((1;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((-3;1)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-3\), đạt cực đại tại điểm \(x=1\).

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=[0;2]\).

Ta có \(y'=\left(\sqrt{4x-2x^2}\right)'=\displaystyle\frac{4-4x}{2\sqrt{4x-2x^2}}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(y_{\text{CĐ}}=\sqrt{2}\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(x=2\); \(y_{CT}=0\).

}

Từ đồ thị ta thấy \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=2\) và \(x=4\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên \((-1;2)\) và \((4;5)\), nghịch biến trên \((-2;-1)\) và \((2;4)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\) và đạt cực tiểu tại \(x=-1\), \(x=4\).

}

Từ đồ thị của hàm số \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=1\) và \(x=3\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;3)\), đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\) và \((3;+\infty)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\) và \(x=3\).

}

Hàm số xác định trên khoảng \((0;+\infty)\).

Đạo hàm \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{4}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-4=0 \Leftrightarrow x=2\) hoặc \(x=-2\).

Bảng biến thiên

Vậy \(\min\limits_{(0;+\infty)}f(x)=4\).

}

Hàm số xác định trên khoảng \((0;+\infty)\).

Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{x^2-9}{x^2}\).

Suy ra \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-9=0 \Leftrightarrow x=3\) hoặc \(x=-3\).

Bảng biến thiên

Vậy \(\min\limits_{(0;+\infty)}f(x)=f(3)=6\), \(\max\limits_{(0;+\infty)}f(x)\) không tồn tại.

}

Tập xác định \(\mathscr D=\left[-1;1\right]\).

Ta có \(y'=-2x\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1\right)\). Khi đó \(y'=0\Leftrightarrow x=0\).

Ta có \(y(-1)=1\); \(y(0)=2\) và \(y(1)=1\).

Vậy \(\max\limits_{[-1;1]}y=y(0)=2\) và \(\min\limits_{[-1;1]}y=y(\pm 1)=1\).

}

Tập xác định \(\mathscr D=[-1 ; 1]\).

Ta có \(0 \leq g(x) \leq 1\) với mọi \(x \in[-1 ; 1]\). Mặt khác \(g(0)=1\) và \(g(1)=0\).

Do đó \(\min\limits _{[-1 ; 1]} g(x)=0\) và \(\max\limits _{[-1 ; 1]} g(x)=1\).

}

Hàm số xác định trên đoạn \([0; 1]\).

Ta có \(y'=(2x-1)\mathrm{e}^x+\left(x^2-x\right) \mathrm{e}^x=\left(x^2+x-1\right) \mathrm{e}^x\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\in[0; 1]\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\in[0; 1]\).

Ta có \(y(0)=0\); \(y\left(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)\mathrm{e}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\); \(y(1)=0.\)

Do đó: \(\max \limits_{[0; 1]} y=y\left(1\right)=y(0)=0\); \(\min \limits_{[0; 1]} y\left(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)\mathrm{e}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\).

}

Ta có \(f'(x)=2\cos2x\). Khi đó

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Ta có

\(f(0)=0 ; f\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =1 ; f\left(\displaystyle\frac{7\pi}{12}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Vậy \(\displaystyle\max _{\left[ 0 ; \tfrac{7\pi}{12}\right] } f(x)=f\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =1\) và \(\displaystyle\min _{\left[ 0 ; \tfrac{7\pi}{12}\right]}f(x)=f\left(\displaystyle\frac{7\pi}{12}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

}

Xét hàm số \(f(x)= 2\sin 3x +7x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\).

Ta có \(f' (x)=6\cos 3x+7\).

Do \(\cos3x\in [-1;1]\Rightarrow 6\cos3x\in[-6;6]\Rightarrow f'(x)=6\cos 3x+7\in [1;13]\) hay \(f'(x)>0\).

Ta có \(f\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\), \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-1+\displaystyle\frac{7\pi}{2}\).

Vậy \(\min \limits_{\left[\tfrac{-\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]}y=3-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\) tại \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(\max \limits_{\left[\tfrac{-\pi}{2} y;\tfrac{\pi}{2}\right]}y=-1+\displaystyle\frac{7\pi}{2}\) tại \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

}

Tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Ta có

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=\pm\infty\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Lại có \(\lim\limits_{x\to(-1)^{+}}y=+\infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{3}{x+1}=0\) nên đường thẳng \(y=2x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị.

}

Tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\).

\(\lim\limits_{x \to 0^{+}} \left(x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2} \right)=+\infty \), suy ra đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x \to \pm\infty}\left[f(x)-(x-3)\right] =\lim\limits_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{1}{x^2}=0 \), suy ra đường thẳng \(y=x-3\) là tiệm cận xiên.

}

Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=3 x^2-6 x\). Suy ra \(y'=0 \Leftrightarrow 3x^2-6 x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).

Giới hạn tại vô cực: \(\lim\limits_{x \to+\infty} y=+\infty\), \(\lim\limits_{x \to-\infty} y=-\infty\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((2 ;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0 ; 2)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{\text{CĐ}}=4\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\mathrm{CT}}=0\).

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0;4)\); Giao điểm của đồ thị với trục hoành tại hai điểm \((-1;0)\) và \((2;0)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((-1;0)\), \((2;0)\), \((0;4)\) và \((1;2)\).

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=3x^2-4x+2\). Vậy \(y'>0, \forall x\in\mathbb{R}\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x \to -\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; +\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0;-1)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \((1;0)\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left(\displaystyle\frac{2}{3};\displaystyle\frac{-7}{27}\right)\).

}

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{1\}\).

Đạo hàm: \(y^{\prime}=\displaystyle\frac{4}{(x-1)^{2}}>0\) với mọi \(x \neq -1\).

\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty ; 1)\) và \((1 ;+\infty)\); Hàm số không có cực trị.

Giới hạn và tiệm cận

\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \displaystyle\frac{x+3}{-x+1}=-\infty\)

\(\lim _{x \rightarrow+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+3}{-x+1}=-1 ; \lim _{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x+3}{-x+1}=-1\).

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=1\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=-1\).

Bảng biến thiên:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left(-3;0\right)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0;3)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(1;-1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+2)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2.\)

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x-1+\displaystyle\frac{1}{x-1}\).

\(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to1^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=1\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-1)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=x-2\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((2;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((0;-1)\), \((1;2)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=-2\); đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{_\text{CT}}=2\).

Bảng giá trị:

Đồ thị

}

a) Vận tốc của hạt chuyển động là \(v(t)=y'=3t^2-12\).

Gia tốc của hạt chuyển động là \(a(t)=v'(t)=6t\).

b) Vận chuyển động đi lên khi \(v(t)\ge0 \Leftrightarrow t\ge 2\).

Vận chuyển động đi xuống khi \(v(t)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 2\).

c) Khi \(0\le t\le 2\), vật đi xuống nên quãng đường đi được trong khoảng thời gian \(0\le t \le 2\) là \(\)y(0)-y(2)=16.\(\)

Khi \(2\le t\le 3\), vật đi lên nên quãng đường đi được là trong khoảng thời gian \(2\le t \le 3\) là \(\)y(3)-y(2)=7.\(\)

Do đó quãng đường đi được trong khoảng thời gian \(0\le t \le 3\) là \(23\) m.

d) Hạt tăng tốc khi \(a(t)\ge 0 \Leftrightarrow t\ge 0\), hạt giảm tốc khi \(a(t)\le0 \Leftrightarrow t \le 0\).

}

a) Hàm chi phí biên là \(C'(x)=0{,}00525x^2-x+50\).

b) Ta có \(C'(100)=0{,}00525\cdot 100^2-100+50=2{,}5\) (trăm nghìn đồng).

Chi phí biên tại \(x=100\) là \(250\,000\) đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn thứ \(101\)) là khoảng \(250\,000\) đổng.

c) Chi phí sản xuất đơn hàng thứ \(101\) là

\(C(101)-C(100)=24\,752{,}52675-24\,750=2{,}52675\) (trăm nghìn đồng)

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên \(C'(100)\) đã tính ở câu trên.

}

a) Dân số của quốc gia vào năm \(2030\) là \(N(7)=100\mathrm{e}^{0{,}012\cdot ^7}=100\mathrm{e}^{0{,}084}=108{,}763\) (triệu người).

Dân số của quốc gia vào năm \(2035\) là \(N(12)=100 \mathrm{e}^{0{,}012 \cdot 12}=100 \mathrm{e}^{0{,}144}=115,488\) (triệu người).

b) Trên đoạn \(\left[0;50\right]\) ta có \(N'(t)=0{,}012\cdot 100 \mathrm{e}^{0{,}012t}=1,2 \mathrm{e}^{0{,}012t}>0\) với mọi \(t \in \left[0;50\right]\).

Do đó, hàm số \(N(t)\) đồng biến trên đoạn \(\left[0;50\right]\).

c) Ta có \(N'(t)=1{,}2 \mathrm{e}^{0{,}012t}\).

Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là \(1,6\) triệu người/năm ta có

\(1{,}6=1{,}2\mathrm{e}^{0{,}012t}\Leftrightarrow{\mathrm{e}^{0{,}012t}}=\displaystyle\frac{4}{3}\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{250\ln \displaystyle\frac{4}{3}}{3}\approx 23{,}97\).

Vậy vào năm \(2046\) thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là \(1{,}6\) triệu người/ năm.

}

Gọi \(g(t)\) là hàm tốc độ bán hàng.

Khi đó \(g(t)=f'(t)=\displaystyle\frac{25\,000e^{-t}}{(1+5e^{-t})^2}\), \(t\ge0\).

Ta có \(g'(t)=\displaystyle\frac{25\,000e^{-t}(1+5e^{-t})(5e^{-t}-1)}{(1+5e^{-t})^4}\); \(g'(t)=0\Leftrightarrow t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}=\ln5\).

Bảng biến thiên hàm số

Hàm số đạt cực đại tại \(t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}\approx1{,}6\).

Vậy sau khi phát hành \(1{,}6\) năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

}

Gọi \( x \) là số lần tăng giá \((0.

Mỗi lần tăng giá thì số căn hộ cho thuê là \( 100 - x \) (căn).

Số tiền thuê căn hộ sau mỗi lần tăng là \(8\,000\,000+100\,000x\) đồng.

Khi đó tổng số tiền cho thuê căn hộ 1 tháng là:

\begin{align*}y&=(8\,000\,000+100\,000 x)(100-x) \\ & =800\,000\,000-8\,000\,000 x+10\,000\,000 x-100\,000 x^2 \\ & =800\,000\,000+2\,000\,000 x-100\,000 x^2.\end{align*}

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(y\) lớn nhất.

Ta có

\(y'=-200\,000 x+2\,000\,000; \quad y'=0 \Leftrightarrow x=10.\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh thu lớn nhất khi người quản lí đặt giá thuê căn hộ là \(8\,000\,000+10 \cdot 100\,000 = 9\,000\,000\) (đồng).

}

Xét hàm số \(s(t)=-t^3+6t^2+t+5\), trên đoạn \(\left[0;5\right]\).

Đạo hàm \(s'(t)=-3t^2+12t+1.\)

Cho \(s'(t)=0 \Leftrightarrow -3t^2+12t+1=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{6+\sqrt{39}}{3}\in[0;5]\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{6-\sqrt{39}}{3}\notin[0;5].\)

Các giá trị \(f(0)=5\), \(f\left(\tfrac{6+\sqrt{39}}{3}\right)\approx41{,}04\), \(f(5)=35\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[0;5]}f(x)\approx41{,}04\), \(\min\limits_{[0;5]}f(x)=5\).

}

a) Số xăng trong bình ban đầu là \(V(0)=4\) lít.

b) Dung tích bình xăng \(V=V\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=41{,}5\) lít.

c) Xét hàm số \(V(t)=300(t^2-t^3)+4 \text{ với } 0\le t\le 0{,}5.\)

Đạo hàm \(V'(t)=300t(2-3t)\).

Cho \(V'(t)=0 \Leftrightarrow 300t(t-3t)=0 \Leftrightarrow t=0\in[0;0{,}5]\) hoặc \(t=\displaystyle\frac{2}{3}\notin[0;0{,5}].\)

Các giá trị \(V(0)=4\), \(V\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=41{,}5\).

Xăng chảy vào bình xăng vào thời điểm ở giây thứ \(30\) có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.

}

a) Chi phí bỏ ra để sản xuất đồ chơi là \(T(x)=50\,000+5x\) (USD).

Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là \(M(x)=\displaystyle\frac{T(x)}{x}=\displaystyle\frac{50\,000+5x}{x}\) (với \(x\geq 1\)).

Ta có \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}M(x)=5\). Suy ra đường thẳng \(y=5\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

b) Khi số đồ chơi \(A\) được sản xuất với số lượng \(x\) đủ lớn thì chi phí trung bình tiệm cận với tổng của giá nguyên liệu thô và nhân công.

}

a) Ta có độ dài một cạnh của mảnh vườn là \(x(m)\) nên độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là \(\displaystyle\frac{144}{x}\) (m).

Vậy chu vi của mảnh vườn là \(P(x)=2\left(x+\displaystyle\frac{144}{x}\right)=2x+\displaystyle\frac{72}{x}\).

b) Ta có: \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} 2x+\displaystyle\frac{72}{x}=+\infty\) và \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=-\infty\)

nên đồ thị hàm số \(P(x)\) không có tiệm cận ngang.

Ta có: \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=0\).

Ta có:

\(\lim _{x \rightarrow+\infty}[P(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{72}{x}=0\) và \(\lim _{x \rightarrow-\infty}[P(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{72}{x}=0\) nên đồ thị hàm số \(P(x)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x\).

}