Đáp án: \(13\)

Lời giải:

Khai triển biểu thức \((1+x)^{12}\), số mũ \(n=12\), thành đa thức nên ta có số hạng tử là \(n+1=12+1=13\).

Đáp án: \(2021\)

Lời giải:

Khai triển \(\left(x+5y\right)^{2020}\) có \(2020+1=2021\) hạng tử.

Đáp án: \(-\mathrm{C}_{6}^{3}(2 x)^{3} y^{6}\)

Lời giải:

Ta có \(\left(2 x-y^{2}\right)^{6}=64 \mathrm{C}_{6}^{0} x^{6}-32 \mathrm{C}_{6}^{1} x^{5} y^{2}+16 \mathrm{C}_{6}^{2} x^{4} y^{4}-\mathrm{C}^{3}_{6}(2x)^{3}(y^2)^{3}\) \(+4 \mathrm{C}_{6}^{4} x^{2} y^{8}-2 \mathrm{C}_{6}^{5} x y^{10}+\mathrm{C}_{6}^{6} y^{12}\).

Vậy số hạng trong dấu \(\ldots\) là \(-\mathrm{C}_{6}^{3}(2 x)^{3} y^{6}\).

Đáp án: \(\mathrm{C}_5^0(2x)^5 3\)

Lời giải:

Ta có \((2x+3)^5=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{5}{\mathrm{C}_5^k (2x)^{5-k}3^k}\).

Với \(k=0\), suy ra số hạng thứ nhất là \(\mathrm{C}_5^0 (2x)^5\).

Đáp án: \(280 x^3\)

Lời giải:

Số hạng thứ \(k+1\) trong khai triển \(\left(a+b\right)^n \) là \(T_{k+1} = \mathrm{C}^k_n a^{n-k} b^k\).

Số hạng thứ \(5\) trong khai triển (ứng với \(k = 4\)) là

\(T_5 =\mathrm{C}^4_7 \cdot (2x)^3 \cdot (-1)^4= 280x^3.\)

Đáp án: \(60\)

Lời giải:

Ta có \(T_{k+1}=C_{6}^{k}x^{k}\cdot (-2)^{6-k}\).

Theo giả thiết số hạng chứa \(x^{4}\) trong khai triển \((x-2)^{6}\) nên \(k=4 \).

Hệ số hạng của \(x^{4}\) trong khai triển \((x-2)^{6}\) là \(C_{6}^{4}\cdot 2^2=60\).

Đáp án: \(1\)

Lời giải:

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((1-2x)^4\) bằng \((1-2\cdot 1)^4=(-1)^4=1\).

Đáp án: \(256\)

Lời giải:

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((3x-7)^4\) bằng \((3\cdot 1-7)^5=(-4)^4=256\).

Đáp án: \( 2^{2018}-1 \)

Lời giải:

Theo CT (1), ta có \(\mathrm{C}_{2018}^1+\mathrm{C}_{2018}^2+\cdots+\mathrm{C}_{2018}^{2018}\) \(=2^{2018}-\mathrm{C}_{2018}^0=2^{2018}-1\).

Đáp án: \(2^{2020}-1\)

Lời giải:

\begin{eqnarray*}(x+1)^{2020}=\mathrm{C}_{2020}^0+\mathrm{C}_{2020}^1x+\mathrm{C}_{2020}^2x^2+\mathrm{C}_{2020}^3x^3+\cdots +\mathrm{C}_{2020}^{2020}x^{2020}.\end{eqnarray*}

Do đó, \(2^{2020}=\mathrm{C}_{2020}^0+\mathrm{C}_{2020}^1+\mathrm{C}_{2020}^2+\mathrm{C}_{2020}^3+\cdots +\mathrm{C}_{2020}^{2020}\).

Vậy

\(\mathrm{C}_{2020}^1+\mathrm{C}_{2020}^2+\mathrm{C}_{2020}^3+\cdots +\mathrm{C}_{2020}^{2020}=2^{2020}-1.\)