Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triển
Dạng 3. Xác định số hạng (hệ số) trong khai triển
Dạng 4. Tính tổng tất cả hệ số trong khai triển
Câu 1:
Khai triển biểu thức \((1+x)^{10}\) thành tổng các đơn thức, khi đó số các hạng tử của biểu thức bằng
Đáp án: \(11\)
Lời giải:
Do \((a+b)^n\) khi khai triển sẽ có \(n+1\) số hạng nên sau khi khai triển \((1+x)^{10}\) ta có \(11\) số hạng.
Câu 2:
Trong khai triển của \((1-2x)^{12}\) có bao nhiêu số hạng?
Đáp án: \(13\)
Lời giải:
Khai triển của \((1-2x)^{12}\) có \(13\) số hạng.
Câu 1:
Khai triển \((1+2x)^4\) ta được biểu thức nào sau đây?
Đáp án: \(16x^4+32x^3+24x^2+8x+1\)
Lời giải:
Khai triển \((1+2x)^4=\mathrm{C}_4^0+\mathrm{C}_4^1\left(2x\right)+\mathrm{C}_4^2\left(2x\right)^2\) \(+\mathrm{C}_4^3\left(2x\right)^3+\mathrm{C}_4^4\left(2x\right)^4\) \(=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1.\)
Câu 2:
Khai triển của nhị thức \((3x+4)^5\) là
Đáp án: \(243x^5+1620x^4+4320x^3+5760x^2+3840x+1024\)
Lời giải:
Ta có
\begin{align*}(3x+4)^5=\ &C_5^0(3x)^5 + C_5^1 (3x)^4 4+ C_5^2 (3x)^3 4^2 + C_5^3 (3x)^2 4^3 + C_5^4 (3x) 4^4 + C_5^5 4^5\\=\ &243x^5+1620x^4+4320x^3+5760x^2+3840x+1024.\end{align*}
Câu 1:
Hệ số của số hạng chứa \(x^4\) trong khai triển \((2+3x)^5\)
Đáp án: \(810\)
Lời giải:
Ta có \((2+3x)^5=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^5\mathrm{C}_5^k\cdot2^k\cdot(3x)^{5-k}\) \(=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^5\mathrm{C}_5^k\cdot2^k\cdot3^{5-k}\cdot x^{5-k}\).
Số hạng chứa \(x^4\) nên ta có \(5-k=4 \Leftrightarrow k=1\).
Hệ số của số hạng chứa \(x^4\) là \(\mathrm{C}_5^1 \cdot 2^1\cdot 3^4=810\).
Câu 2:
Khai triển \(P(x)=\left(2x-1\right)^7\) theo lũy thừa giảm dần của \(x\), tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên là
Đáp án: \(352\)
Lời giải:
Ta có \(P=\sum\limits_{k=0}^{7} \mathrm{C}_{7}^{k}\cdot\left(2x\right)^{7-k}\cdot\left(-1\right)^{k}\) \(=\sum\limits_{k=0}^{7} \mathrm{C}_{7}^{k}\cdot2^{7-k}\cdot\left(-1\right)^k\cdot x^{7-k}\).
Tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên là
\(\mathrm{C}_{7}^{0}\cdot2^{7}\cdot\left(-1\right)^0+\mathrm{C}_{7}^{1}\cdot2^{6}\cdot\left(-1\right)^1+\mathrm{C}_{7}^{2}\cdot2^{5}\cdot\left(-1\right)^2=352.\)
Câu 1:
Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức \((1-3x)^5\) thành đa thức bằng
Đáp án: \(-32\)
Lời giải:
Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((1-3x)^5\) bằng \((1-3\cdot 1)^5=(-2)^5=-32\).
Câu 2:
Tính tổng tất cả các hệ số trong khai triển đa thức \( (2x-3)^{2017}. \)
Đáp án: \( -1 \)
Lời giải:
Ta có \( (2x-3)^{2017}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{2017}x^{2017}. \)
Cho \( x=1 \) ta được \( a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{2017}=(2\cdot 1-3)^{2017}=-1. \)
Câu 1:
Tổng \(\mathrm{C}_{2018}^1+\mathrm{C}_{2018}^2+\cdots+\mathrm{C}_{2018}^{2018}\) bằng
Đáp án: \( 2^{2018}-1 \)
Lời giải:
Theo CT (1), ta có \(\mathrm{C}_{2018}^1+\mathrm{C}_{2018}^2+\cdots+\mathrm{C}_{2018}^{2018}\) \(=2^{2018}-\mathrm{C}_{2018}^0=2^{2018}-1\).
Câu 2:
Tính tổng \(S=\mathrm{C}_{2020}^{1}+\mathrm{C}_{2020}^{2}+\mathrm{C}_{2020}^{3}+\cdots+\mathrm{C}_{2020}^{2020}\).
Đáp án: \(S=2^{2020}-1\)
Lời giải:
Xét khai triển \( \left(1+x\right)^{2020} = \mathrm{C}_{2020}^{0}+\mathrm{C}_{2020}^{1}x+\mathrm{C}_{2020}^{2}x^2\) \(+\mathrm{C}_{2020}^{3}x^3+\cdots+\mathrm{C}_{2020}^{2020}x^{2020} \).
Cho \( x = 1 \) thì \( 2^{2020} = 1+ \mathrm{C}_{2020}^{1}+\mathrm{C}_{2020}^{2}+\mathrm{C}_{2020}^{3}+\cdots+\mathrm{C}_{2020}^{2020}\) \(\Rightarrow S = 2^{2020}-1 \).
Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triển
Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triểnBiết biểu thức