\(\S3.\) NHỊ THỨC NIUTƠN

Lỗi khi trích xuất lý thuyết từ dữ liệu

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triển

Dạng 2. Khai triển nhị thức

Dạng 3. Xác định số hạng (hệ số) trong khai triển

Dạng 4. Tính tổng tất cả hệ số trong khai triển

Dạng 5. Tính tổng

Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triển

Câu 1:

Khai triển biểu thức \((1+x)^{10}\) thành tổng các đơn thức, khi đó số các hạng tử của biểu thức bằng

Đáp án: \(11\)

Lời giải:

Do \((a+b)^n\) khi khai triển sẽ có \(n+1\) số hạng nên sau khi khai triển \((1+x)^{10}\) ta có \(11\) số hạng.

Câu 2:

Trong khai triển của \((1-2x)^{12}\) có bao nhiêu số hạng?

Đáp án: \(13\)

Lời giải:

Khai triển của \((1-2x)^{12}\) có \(13\) số hạng.

Dạng 2. Khai triển nhị thức

Câu 1:

Khai triển \((1+2x)^4\) ta được biểu thức nào sau đây?

Đáp án: \(16x^4+32x^3+24x^2+8x+1\)

Lời giải:

Khai triển \((1+2x)^4=\mathrm{C}_4^0+\mathrm{C}_4^1\left(2x\right)+\mathrm{C}_4^2\left(2x\right)^2\) \(+\mathrm{C}_4^3\left(2x\right)^3+\mathrm{C}_4^4\left(2x\right)^4\) \(=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1.\)

Câu 2:

Khai triển của nhị thức \((3x+4)^5\) là

Đáp án: \(243x^5+1620x^4+4320x^3+5760x^2+3840x+1024\)

Lời giải:

Ta có

\begin{align*}(3x+4)^5=\ &C_5^0(3x)^5 + C_5^1 (3x)^4 4+ C_5^2 (3x)^3 4^2 + C_5^3 (3x)^2 4^3 + C_5^4 (3x) 4^4 + C_5^5 4^5\\=\ &243x^5+1620x^4+4320x^3+5760x^2+3840x+1024.\end{align*}

Dạng 3. Xác định số hạng (hệ số) trong khai triển

Câu 1:

Hệ số của số hạng chứa \(x^4\) trong khai triển \((2+3x)^5\)

Đáp án: \(810\)

Lời giải:

Ta có \((2+3x)^5=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^5\mathrm{C}_5^k\cdot2^k\cdot(3x)^{5-k}\) \(=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^5\mathrm{C}_5^k\cdot2^k\cdot3^{5-k}\cdot x^{5-k}\).

Số hạng chứa \(x^4\) nên ta có \(5-k=4 \Leftrightarrow k=1\).

Hệ số của số hạng chứa \(x^4\) là \(\mathrm{C}_5^1 \cdot 2^1\cdot 3^4=810\).

Câu 2:

Khai triển \(P(x)=\left(2x-1\right)^7\) theo lũy thừa giảm dần của \(x\), tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên là

Đáp án: \(352\)

Lời giải:

Ta có \(P=\sum\limits_{k=0}^{7} \mathrm{C}_{7}^{k}\cdot\left(2x\right)^{7-k}\cdot\left(-1\right)^{k}\) \(=\sum\limits_{k=0}^{7} \mathrm{C}_{7}^{k}\cdot2^{7-k}\cdot\left(-1\right)^k\cdot x^{7-k}\).

Tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên là

\(\mathrm{C}_{7}^{0}\cdot2^{7}\cdot\left(-1\right)^0+\mathrm{C}_{7}^{1}\cdot2^{6}\cdot\left(-1\right)^1+\mathrm{C}_{7}^{2}\cdot2^{5}\cdot\left(-1\right)^2=352.\)

Dạng 4. Tính tổng tất cả hệ số trong khai triển

Câu 1:

Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức \((1-3x)^5\) thành đa thức bằng

Đáp án: \(-32\)

Lời giải:

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((1-3x)^5\) bằng \((1-3\cdot 1)^5=(-2)^5=-32\).

Câu 2:

Tính tổng tất cả các hệ số trong khai triển đa thức \( (2x-3)^{2017}. \)

Đáp án: \( -1 \)

Lời giải:

Ta có \( (2x-3)^{2017}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{2017}x^{2017}. \)

Cho \( x=1 \) ta được \( a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{2017}=(2\cdot 1-3)^{2017}=-1. \)

Dạng 5. Tính tổng

Câu 1:

Tổng \(\mathrm{C}_{2018}^1+\mathrm{C}_{2018}^2+\cdots+\mathrm{C}_{2018}^{2018}\) bằng

Đáp án: \( 2^{2018}-1 \)

Lời giải:

Theo CT (1), ta có \(\mathrm{C}_{2018}^1+\mathrm{C}_{2018}^2+\cdots+\mathrm{C}_{2018}^{2018}\) \(=2^{2018}-\mathrm{C}_{2018}^0=2^{2018}-1\).

Câu 2:

Tính tổng \(S=\mathrm{C}_{2020}^{1}+\mathrm{C}_{2020}^{2}+\mathrm{C}_{2020}^{3}+\cdots+\mathrm{C}_{2020}^{2020}\).

Đáp án: \(S=2^{2020}-1\)

Lời giải:

Xét khai triển \( \left(1+x\right)^{2020} = \mathrm{C}_{2020}^{0}+\mathrm{C}_{2020}^{1}x+\mathrm{C}_{2020}^{2}x^2\) \(+\mathrm{C}_{2020}^{3}x^3+\cdots+\mathrm{C}_{2020}^{2020}x^{2020} \).

Cho \( x = 1 \) thì \( 2^{2020} = 1+ \mathrm{C}_{2020}^{1}+\mathrm{C}_{2020}^{2}+\mathrm{C}_{2020}^{3}+\cdots+\mathrm{C}_{2020}^{2020}\) \(\Rightarrow S = 2^{2020}-1 \).

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triển

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triển

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Phần 3. Tự luận

Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triểnBiết biểu thức

Dạng 2. Hàm hợp

Dạng 3. Ứng dụng thực tế

Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triểnBiết biểu thức

Dạng 2. Hàm hợp

Dạng 3. Ứng dụng thực tế