Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triển
Dạng 3. Xác định số hạng (hệ số) trong khai triển
Dạng 4. Tính tổng tất cả hệ số trong khai triển
Câu 1:
Trong khai triển \((1+x)^{12}\) có bao nhiêu số hạng?
Đáp án: \(13\)
Lời giải:
Vì bậc của khai triển là \(12\) nên trong khai triển trên có tất cả \(13\) số hạng.
Câu 2:
Khai triển nhị thức \((1+ 2x)^{2020}\) có tất cả bao nhiêu số hạng?
Đáp án: \(2021\)
Lời giải:
Trong khai triển nhị thức \((a+b)^n\) có \(n+1\) số hạng.
Do đó, trong khai triển \((1+ 2x)^{2020}\) có \(2021\) số hạng.
Câu 1:
Khai triển \((1+2x)^4\) ta được biểu thức nào sau đây?
Đáp án: \(16x^4+32x^3+24x^2+8x+1\)
Lời giải:
Khai triển \((1+2x)^4=\mathrm{C}_4^0+\mathrm{C}_4^1\left(2x\right)+\mathrm{C}_4^2\left(2x\right)^2\) \(+\mathrm{C}_4^3\left(2x\right)^3+\mathrm{C}_4^4\left(2x\right)^4\) \(=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1.\)
Câu 2:
Khai triển của nhị thức \((1-2x)^5\) là
Đáp án: \(1-10x+40x^2-80x^3+80x^4-32x^5\)
Lời giải:
Ta có
\begin{align*}(1-2x)^5=\ &C_5^0 - C_5^1 (2x) + C_5^2 (2x)^2 - C_5^3 (2x)^3 + C_5^4 (2x)^4 - C_5^5 (2x)^5\\=\ &1-10x+40x^2-80x^3+80x^4-32x^5.\end{align*}
Câu 1:
Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{10}\) trong khai triển biểu thức \({\left(3x^3-\displaystyle\frac{2}{x^2}\right)}^5\).
Đáp án: \(-810\)
Lời giải:
Ta có \({\left(3x^3-\displaystyle\frac{2}{x^2}\right)}^5=\sum\limits_{k=0}^5{\mathrm{C}_5^k\cdot(3x^3)^{5-k}\cdot{(-2x^{-2})}^k}\) \(=\sum\limits_{k=0}^5{\mathrm{C}_5^k\cdot{3^{5-k}}\cdot{(-2)}^k\cdot{x}^{15-5k}}\).
Tìm \(k\) sao cho \(15-5k=10\Leftrightarrow k=1\).
Vậy hệ số cần tìm là \(\mathrm{C}_5^1\cdot{3}^4\cdot(-2)=-810\).
Câu 2:
Tìm hệ số của \(x^2\) trong khai triển \(\left( 2x+\displaystyle\frac{1}{x^2} \right)^5\).
Đáp án: \(80\)
Lời giải:
Ta có
\(\left( 2x+\displaystyle\frac{1}{x^2} \right)^5\) \(=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{5}\mathrm{C}^k_5 (2x)^{5-k}\cdot \displaystyle\frac{1}{x^{2k}}\) \(=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{5}\mathrm{C}^k_52^{5-k}x^{5-3k}.\)
Số hạng chứa \(x^2\) là \(\mathrm{C}^1_5 2^{4} x^2\).
Vậy hệ số của \(x^2\) là \(\mathrm{C}^1_5\cdot 2^4=80\).
Câu 1:
Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức \((3x-7)^4\) thành đa thức bằng
Đáp án: \(256\)
Lời giải:
Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((3x-7)^4\) bằng \((3\cdot 1-7)^5=(-4)^4=256\).
Câu 2:
Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức \((3x+1)^5\) thành đa thức bằng
Đáp án: \(1024\)
Lời giải:
Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((3x+1)^5\) bằng \((3\cdot 1+1)^5=4^5=1024\).
Câu 1:
Giá trị của biểu thức \(S=C_4^0-C_4^1 3 + C_4^2 3^2 - C_4^3 3^3 + C_4^4 3^4\) bằng
Đáp án: \(16\)
Lời giải:
Ta có
\((1-x)^4=C_4^0-C_4^1 x + C_4^2 x^2 - C_4^3 x^3 + C_4^4 x^4.\)
Thay \(x=3\), ta được
\((1-3)^4\) \(=C_4^0-C_4^1 3 + C_4^2 3^2 - C_4^3 3^3 + C_4^4 3^4\) \(\Rightarrow S=(-2)^4=16.\)
Câu 2:
Tổng \(\mathrm{C}_{2018}^1+\mathrm{C}_{2018}^2+\cdots+\mathrm{C}_{2018}^{2018}\) bằng
Đáp án: \( 2^{2018}-1 \)
Lời giải:
Theo CT (1), ta có \(\mathrm{C}_{2018}^1+\mathrm{C}_{2018}^2+\cdots+\mathrm{C}_{2018}^{2018}\) \(=2^{2018}-\mathrm{C}_{2018}^0=2^{2018}-1\).
Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triển
Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triểnBiết biểu thức