\(\S3.\) NHỊ THỨC NIUTƠN

Lỗi khi trích xuất lý thuyết từ dữ liệu

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triển

Dạng 2. Khai triển nhị thức

Dạng 3. Xác định số hạng (hệ số) trong khai triển

Dạng 4. Tính tổng tất cả hệ số trong khai triển

Dạng 5. Tính tổng

Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triển

Câu 1:

Trong khai triển \((1+x)^{12}\) có bao nhiêu số hạng?

Đáp án: \(13\)

Lời giải:

Vì bậc của khai triển là \(12\) nên trong khai triển trên có tất cả \(13\) số hạng.

Câu 2:

Khai triển nhị thức \((1+ 2x)^{2020}\) có tất cả bao nhiêu số hạng?

Đáp án: \(2021\)

Lời giải:

Trong khai triển nhị thức \((a+b)^n\) có \(n+1\) số hạng.

Do đó, trong khai triển \((1+ 2x)^{2020}\) có \(2021\) số hạng.

Dạng 2. Khai triển nhị thức

Câu 1:

Khai triển \((1+2x)^4\) ta được biểu thức nào sau đây?

Đáp án: \(16x^4+32x^3+24x^2+8x+1\)

Lời giải:

Khai triển \((1+2x)^4=\mathrm{C}_4^0+\mathrm{C}_4^1\left(2x\right)+\mathrm{C}_4^2\left(2x\right)^2\) \(+\mathrm{C}_4^3\left(2x\right)^3+\mathrm{C}_4^4\left(2x\right)^4\) \(=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1.\)

Câu 2:

Khai triển của nhị thức \((1-2x)^5\) là

Đáp án: \(1-10x+40x^2-80x^3+80x^4-32x^5\)

Lời giải:

Ta có

\begin{align*}(1-2x)^5=\ &C_5^0 - C_5^1 (2x) + C_5^2 (2x)^2 - C_5^3 (2x)^3 + C_5^4 (2x)^4 - C_5^5 (2x)^5\\=\ &1-10x+40x^2-80x^3+80x^4-32x^5.\end{align*}

Dạng 3. Xác định số hạng (hệ số) trong khai triển

Câu 1:

Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{10}\) trong khai triển biểu thức \({\left(3x^3-\displaystyle\frac{2}{x^2}\right)}^5\).

Đáp án: \(-810\)

Lời giải:

Ta có \({\left(3x^3-\displaystyle\frac{2}{x^2}\right)}^5=\sum\limits_{k=0}^5{\mathrm{C}_5^k\cdot(3x^3)^{5-k}\cdot{(-2x^{-2})}^k}\) \(=\sum\limits_{k=0}^5{\mathrm{C}_5^k\cdot{3^{5-k}}\cdot{(-2)}^k\cdot{x}^{15-5k}}\).

Tìm \(k\) sao cho \(15-5k=10\Leftrightarrow k=1\).

Vậy hệ số cần tìm là \(\mathrm{C}_5^1\cdot{3}^4\cdot(-2)=-810\).

Câu 2:

Tìm hệ số của \(x^2\) trong khai triển \(\left( 2x+\displaystyle\frac{1}{x^2} \right)^5\).

Đáp án: \(80\)

Lời giải:

Ta có

\(\left( 2x+\displaystyle\frac{1}{x^2} \right)^5\) \(=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{5}\mathrm{C}^k_5 (2x)^{5-k}\cdot \displaystyle\frac{1}{x^{2k}}\) \(=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{5}\mathrm{C}^k_52^{5-k}x^{5-3k}.\)

Số hạng chứa \(x^2\) là \(\mathrm{C}^1_5 2^{4} x^2\).

Vậy hệ số của \(x^2\) là \(\mathrm{C}^1_5\cdot 2^4=80\).

Dạng 4. Tính tổng tất cả hệ số trong khai triển

Câu 1:

Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức \((3x-7)^4\) thành đa thức bằng

Đáp án: \(256\)

Lời giải:

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((3x-7)^4\) bằng \((3\cdot 1-7)^5=(-4)^4=256\).

Câu 2:

Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức \((3x+1)^5\) thành đa thức bằng

Đáp án: \(1024\)

Lời giải:

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((3x+1)^5\) bằng \((3\cdot 1+1)^5=4^5=1024\).

Dạng 5. Tính tổng

Câu 1:

Giá trị của biểu thức \(S=C_4^0-C_4^1 3 + C_4^2 3^2 - C_4^3 3^3 + C_4^4 3^4\) bằng

Đáp án: \(16\)

Lời giải:

Ta có

\((1-x)^4=C_4^0-C_4^1 x + C_4^2 x^2 - C_4^3 x^3 + C_4^4 x^4.\)

Thay \(x=3\), ta được

\((1-3)^4\) \(=C_4^0-C_4^1 3 + C_4^2 3^2 - C_4^3 3^3 + C_4^4 3^4\) \(\Rightarrow S=(-2)^4=16.\)

Câu 2:

Tổng \(\mathrm{C}_{2018}^1+\mathrm{C}_{2018}^2+\cdots+\mathrm{C}_{2018}^{2018}\) bằng

Đáp án: \( 2^{2018}-1 \)

Lời giải:

Theo CT (1), ta có \(\mathrm{C}_{2018}^1+\mathrm{C}_{2018}^2+\cdots+\mathrm{C}_{2018}^{2018}\) \(=2^{2018}-\mathrm{C}_{2018}^0=2^{2018}-1\).

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triển

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triển

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Phần 3. Tự luận

Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triểnBiết biểu thức

Dạng 2. Hàm hợp

Dạng 3. Ứng dụng thực tế

Dạng 1. Đếm số hạng trong khai triểnBiết biểu thức

Dạng 2. Hàm hợp

Dạng 3. Ứng dụng thực tế