\(\S1.\) NGUYÊN HÀM

Bài tập

Dạng 1. Tìm họ nguyên hàm

Dạng 2. Tìm một nguyên hàm thỏa điều kiện cho trước

Dạng 3. Ứng dụng thực tế

Dạng 1. Tìm họ nguyên hàm

Câu 1:

Tìm \(\displaystyle \int x^6\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int x^6\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{7}x^7+C\).

Câu 2:

Tìm \(\displaystyle \int x^4\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int x^4\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{5}x^5+C\).

Câu 3:

Tìm \(\displaystyle\int x^{5}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int x^{5}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^6}{6}+C\).

Câu 4:

Tìm \(\displaystyle\int 6 x^3\mathrm{~d}x\).

\(\displaystyle\int 6 x^{3} \mathrm{~d} x=6 \displaystyle\int x^{3} \mathrm{~d} x=6 \cdot \displaystyle\frac{x^{4}}{4}+C=\frac{3}{2} x^{4}+C\).

Câu 5:

Tính: \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{3} x^{2}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int\limits_{-1}^{3} x^{2} \mathrm{~d} x=\left.\displaystyle\frac{x^{3}}{3}\right|_{-1} ^{3}=\displaystyle\frac{1}{3}\left[3^{3}-(-1)^{3}\right]=\displaystyle\frac{28}{3}\).

Câu 6:

Tìm: \(\displaystyle\int x^4\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int \displaystyle\frac{1}{x^4} \mathrm{~d}x=\int x^{-4} \mathrm{\, d}x=\displaystyle\frac{x^{-3}}{-3}+C=-\displaystyle\frac{1}{3x^3}+C\).

Câu 7:

Tìm: \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x^3}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x^3}\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int x^{-3}\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = -\displaystyle\frac{1}{2}x^{-2} + C = -\displaystyle\frac{1}{2x^{2}}+C\).

Câu 8:

Tìm \(\displaystyle\int x^{3}\mathrm{\,d}x\).

Ta có \(\left(\displaystyle\frac{x^4}{4}\right)'=\displaystyle\frac{4x^3}{4}=x^3\) nên \(\displaystyle \int x^3 \mathrm{\,d} x=\displaystyle\frac{x^4}{4}+C\).

Câu 9:

Tìm: \(\displaystyle\int 3x^{2}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int 3x^{2}\mathrm{\,d}x = 3\displaystyle\int x^{2}\mathrm{\,d}x = 3\cdot\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+C=x^{3}+C\).

Câu 10:

Tìm: \(\displaystyle\int -\displaystyle\frac{3}{2}x^{2}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int -\displaystyle\frac{3}{2}x^{2}\mathrm{\,d}x = -\displaystyle\frac{3}{2}\displaystyle\int x^{2}\mathrm{\,d}x=-\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+C=-\displaystyle\frac{1}{2}x^{3}+C\).

Câu 11:

Tìm: \(\displaystyle\int (3x^2+1)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int \left(3x^2+1\right) \mathrm{\, d}x=\int 3x^2 \mathrm{\, d}x + \int 1\mathrm{\, d}x=x^3+x+C\).

Câu 12:

Tìm: \(\displaystyle\int (2x-1)^2\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int \left(2x-1\right)^2 \mathrm{\, d}x =\int (4x^2-4x+1)\mathrm{\, d}x= \displaystyle\frac{4x^3}{3}-2x^2+x+C\).

Câu 13:

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=3x^2+x\).

\(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int(3x^2+x)\mathrm{\,d}x=x^3+\displaystyle\frac{x^2}2+C\).

Câu 14:

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=9x^2-2x+7\).

\(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int(9x^2-2x+7)\mathrm{\,d}x=3x^3-x^2+7x+C\).

Câu 15:

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\displaystyle\int(4x-3)(x^2+3)\mathrm{\,d}x\).

\(f(x)=\displaystyle\int(4x-3)(x^2+3)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int(4x^3-3x^2+12x-9)\mathrm{\,d}x=x^4-x^3+6x^2-9x+C\).

Do đó \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int(x^4-x^3+6x^2-9x+C)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^5}5-\displaystyle\frac{x^4}4+2x^3-\displaystyle\frac92x^2+Cx+D\).

Câu 16:

Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f(x) = 3x^2 + 2x - 1\).

\(\displaystyle \int \left (3x^2 + 2x - 1\right ) \mathrm{\,d}x = x^3 + x^2 - x + C.\)

Câu 17:

Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f(x) = x^3-x\).

\(\displaystyle \int \left (x^3 - x\right ) \mathrm{\,d}x = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C.\)

Câu 18:

Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f(x) = (2x+1)^2\).

\(\displaystyle \int \left (2x+1\right )^2 \mathrm{\,d}x =\int (4x^2+4x+1) \mathrm{\,d}x= \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + x + C.\)

Câu 19:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số: \(f(x)=x^{2}+\displaystyle\frac{2}{x^{2}}\).

\(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\left(x^{2}+\displaystyle\frac{2}{x^{2}}\right)\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{x^3}{3}-\displaystyle\frac{2}{x}+C\).

Câu 20:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2-x+2}{x^2}\).

\(F(x)=\displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x=\int \displaystyle\frac{x^2-x+2}{x^2}\mathrm{\,d}x=\int \left(1-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{x^2}\right)\mathrm{\,d}x=x-\ln |x|-\displaystyle\frac{2}{x}+C\).

Câu 21:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số: \(f(x)=(2x-1)^2\).

\(F(x)=\displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x=\int (2x-1)^2 \mathrm{\,d}x=\int \left(4x^2-4x+1\right)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{4}{3}x^3-2x^2+x+C\).

Câu 22:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số: \(f(x)=3x(1-x)\).

\(F(x)=\displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x=\int \left[3x(1-x)\right]\mathrm{\,d}x=\int \left[3x-3x^2\right]\mathrm{\,d}x=-x^3+\displaystyle\frac{3}{2}x^2+C\).

Câu 23:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=4x^5+\displaystyle\frac{x}{2}\).

\(\displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x = \int \left(4x^5+\displaystyle\frac{x}{2}\right) \mathrm{\,d}x=4\cdot \displaystyle\frac{x^6}{6}+\displaystyle\frac{x^2}{4}+C=\displaystyle\frac{2x^6}{3}+\displaystyle\frac{x^2}{4}+C\).

Câu 24:

Tìm: \(\displaystyle\int \left(3x^3-\displaystyle\frac{1}{2x^3}\right)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \left(3x^3-\displaystyle\frac{1}{2x^3}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int 3x^3\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int \left(\displaystyle\frac{1}{2x^3}\right)\mathrm{\,d}x=3\displaystyle\int x^3\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int \left(\displaystyle\frac{1}{2}x^{-3}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{3}{4}x^4+\displaystyle\frac{1}{4}x^{-2}+C\).

Câu 25:

Tìm \(\displaystyle\int(2x^5+3)\mathrm{\,d}x\).

Ta có \(\displaystyle\int(2x^5+3)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{2x^6}{6}+3x+C=\displaystyle\frac{x^6}{3}+3x+C\).

Câu 26:

Tìm nguyên hàm của hàm số: \(g(x)=(2x+1)^{3}\).

\begin{eqnarray*}&&\displaystyle \int(2x+1)^3\mathrm{\,d}x&=&\int(8x^3+12x^2+6x+1)\mathrm{\,d}x&=&8\int x^3\mathrm{\,d}x+12\int x^2\mathrm{\,d}x+6\int x\mathrm{\,d}x+\int 1\mathrm{\,d}x&=&2x^4+4x^3+3x^2+x+C.\end{eqnarray*}

Câu 27:

Tìm \(\displaystyle \int\displaystyle\frac{1}{x^3}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int\displaystyle\frac{1}{x^3}\mathrm{\,d}x=\int x^{-3}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{-2}x^{-2}+C=\displaystyle\frac{-1}{2x^2}+C\).

Câu 28:

Tìm \(\displaystyle\int2x(x^3-x+2)\mathrm{d}x\,\).

\(\displaystyle\int2x(x^3-x+2)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int(2x^4-2x^2+4x)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\frac25x^5-\displaystyle\frac23x^3+2x^2+C\).

Câu 29:

Tìm \(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{3}{x}}\,{\mathrm{d}x}\).

Ta có \(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{3}{x}}\,{\mathrm{d}x} = 3\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{x}}\,{\mathrm{d}x} = 3\ln|x|+C\).

Câu 30:

Tìm: \(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{x^2}}\,{\mathrm{d}x}\).

Ta có \(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{x^2}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{x^{-2}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C = -x^{-1}+C = -\displaystyle\frac{1}{x} + C\).

Câu 31:

Tìm: \(\displaystyle\int{x^4}\,{\mathrm{d}x} \).

Ta có \(\displaystyle\int{x^4}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{x^{4+1}}{4+1}+C = \displaystyle\frac{x^5}{5} + C\).

Câu 32:

Tìm: \(\displaystyle\int{\left(7x^6-4x^3+3x^2\right)}\,{\mathrm{d}x}\).

Ta có \(\displaystyle\int{\left(7x^6-4x^3+3x^2\right)}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{7x^6}\,{\mathrm{d}x} - \displaystyle\int{4x^3}\,{\mathrm{d}x} +\displaystyle\int{3x^2}\,{\mathrm{d}x} = x^7-x^4+x^3+C\).

Câu 33:

Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f(x) = \left (2x-\displaystyle\frac{1}{x}\right )^2\).

\(\displaystyle \int \left (2x-\frac{1}{x}\right )^2\mathrm{\,d}x =\int \left (4x^2-4+\frac{1}{x^2}\right )\mathrm{\,d}x = \frac{4x^3}{3} - 4x - \frac{1}{x} + C.\)

Câu 34:

Tìm \(\displaystyle\int x(2x-3)^2\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int x(2x-3)^2\mathrm{\,d}x=\int x\left(4x^2-12x+9\right)\mathrm{\,d}x=\int\left(4x^3-12x^2+9x\right)\mathrm{\,d}x=x^4-4x^3+\displaystyle\frac{9}{2}x^2+C\).

Câu 35:

Tìm: \(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{21}{8x}}\,{\mathrm{d}x}\).

\(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{21}{8x}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{21}{8}\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{x}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{21}{8}\ln|x|+C\).

Câu 36:

Tìm: \(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{x^4}}\,{\mathrm{d}x}\).

Với \(x\neq 0\), ta có \(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{x^4}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{x^{-4}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{x^{-4+1}}{-4+1}+C = -\displaystyle\frac{1}{3x^3}+C\).

Câu 37:

Tìm: \(\displaystyle\int{x^{\tfrac{1}{2}}}\,{\mathrm{d}x}\).

Ta có \(\displaystyle\int{x^{\tfrac{1}{2}}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{x^{\tfrac{1}{2}+1}}{\displaystyle\frac{1}{2}+1}+C = \displaystyle\frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}+C = \displaystyle\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C\).

Câu 38:

Tìm \(\displaystyle\int x^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x\).

\(\displaystyle\int x^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}+1} x^{\sqrt{2}+1}+C\).

Câu 39:

Tìm: \(\displaystyle\int{x^{\sqrt{3}}}\,{\mathrm{d}x} \).

Ta có \(\displaystyle\int{x^{\sqrt{3}}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}+C\).

Câu 40:

Tìm: \(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}}\,{\mathrm{d}x}\).

Ta có

\(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}}\,{\mathrm{d}x} =\displaystyle\int{x^{-\tfrac{1}{2}}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{x^{-\tfrac{1}{2}+1}}{-\displaystyle\frac{1}{2}+1}+C = 2x^{\tfrac{1}{2}}+C = 2\sqrt{x}+C\).

Câu 41:

Tìm \(\displaystyle\int\left(2x+\displaystyle\frac1{x^3}\right)\mathrm{d}x\,\).

\(\displaystyle\int\left(2x+\displaystyle\frac1{x^3}\right)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int(2x+x^{-3})\mathrm{d}x\,=x^2-\displaystyle\frac1{2x^2}+C\).

Câu 42:

Tìm: \(\displaystyle\int\left (3\sqrt{x}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right )\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int\left (3\sqrt{x}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right )\mathrm{\,d}x = \int \left( 3x^{1/2} + x^{-1/3}\right) \mathrm{\,d}x = \frac{6}{3}x^{3/2} + \displaystyle\frac{3}{2}x^{2/3} + C = 2x^{3/2} + \displaystyle\frac{3}{2}x^{2/3} + C.\)

Câu 43:

Tìm: \(\displaystyle\int\sqrt{x}(7x^2-3)\mathrm{\,d}x\) (\(x>0\)).

\(\displaystyle\int\sqrt{x}(7x^2-3)\mathrm{\,d}x = \int 7x^{5/2} - 3x^{1/2} \mathrm{\,d}x = \frac{14}{7}x^{7/2} - 2x^{3/2} + C = 2x^{7/2} - 2x^{3/2} + C.\)

Câu 44:

Tìm: \(\displaystyle\int \sqrt{x}\mathrm{\,d}x\) (\(x>0\)).

\(\displaystyle\int \sqrt{x}\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \displaystyle\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \displaystyle\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\).

}

Câu 45:

Tìm: \(\displaystyle\int \left (2x^2+\displaystyle\frac{3}{\sqrt{x}}\right )\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \left (2x^2+\displaystyle\frac{3}{\sqrt{x}}\right )\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int 2x^2\mathrm{\,d}x + \displaystyle\int \displaystyle\frac{3}{\sqrt{x}}\mathrm{\,d}x = 2\displaystyle\int x^2\mathrm{\,d}x + 3\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{\,d}x = 2x^3 + 6\sqrt{x} + C\).

}

Câu 46:

Tìm: \(\displaystyle\int x\sqrt{x}\mathrm{\,d}x\) (\(x>0\)).

\(\displaystyle \int x \sqrt{x} \mathrm{~d}x=\int x^{\tfrac{3}{2}}\mathrm{\, d}x = \displaystyle\frac{x^{\tfrac{3}{2}+1}}{\displaystyle\frac{3}{2}+1}+C=\displaystyle\frac{2}{5}x^{\tfrac{5}{2}}+C==\displaystyle\frac{2}{5} \sqrt{x^5}+C\).

Câu 47:

Tìm \(\displaystyle \int\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{\,d}x=\int x^{-\tfrac{1}{2}}\mathrm{\,d}x=2x^{\tfrac{1}{2}}+C=2\sqrt{x}+C\).

Câu 48:

Tìm \(\displaystyle \int\sqrt{x}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int\sqrt{x}\mathrm{\,d}x=\int x^{\tfrac{1}{2}}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^{\tfrac{3}{2}}}{\displaystyle\frac{3}{2}}+C=\displaystyle\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\).

Câu 49:

Tìm: \(\displaystyle\int \left (\displaystyle\frac{3}{x} - 5\sqrt[3]{x}\right )\mathrm{\,d}x\) (\(x>0\)).

\(\displaystyle \int\left(\displaystyle\frac{3}{x}-5 \sqrt[3]{x}\right) \mathrm{~d}x=\int \displaystyle\frac{3}{x}\mathrm{\, d}x-\int 5x^{\tfrac{1}{3}}\mathrm{\, d}x=3\ln x - \displaystyle\frac{15}{4}x^{\tfrac{4}{3}}+C=3\ln x -\displaystyle\frac{15}{4}\sqrt[3]{x^4}+C\).

Câu 50:

Tìm \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d}x\) \((x>0)\).

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x=\displaystyle\int x^{-\frac{1}{3}} \mathrm{~d} x=\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{2} \sqrt[3]{x^{2}}+C\).

}

Câu 51:

Tìm: \(\displaystyle\int \left(4\sqrt[5]{x^4}+\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}\right)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \left(4\sqrt[5]{x^4}+\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \left(4x^{\frac{4}{5}}+3x^{-\frac{2}{3}}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{20}{9}x^{\frac{9}{5}}+9x^{\frac{1}{3}}+C\).

Câu 52:

Tìm \(\displaystyle\int\left(\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{2}-\displaystyle\frac{2}{x}\right)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int\left(\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{2}-\displaystyle\frac{2}{x}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{2}\int x^{\tfrac{1}{2}}\mathrm{\,d}x-2\int\displaystyle\frac{1}{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{x^{\tfrac{3}{2}}}{\displaystyle\frac{3}{2}}-2\ln|x|+C=\displaystyle\frac{1}{3}x\sqrt{x}-2\ln|x|+C\).

Câu 53:

Tìm \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\mathrm{\,d}x\) (\(x>0\)).

Với \(x>0\) ta có

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\mathrm{\,d}x=\int\displaystyle\frac{1}{x^{\tfrac{2}{3}}}\mathrm{\,d}x=\int x^{-\tfrac{2}{3}}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^{\tfrac{1}{3}}}{\displaystyle\frac{1}{3}}+C=3\sqrt[3]{x}+C\).

Câu 54:

Tìm \(\displaystyle \int\left(3x^3+\displaystyle\frac{2}{\sqrt[5]{x^3}}\right)\mathrm{\,d}x\) \((x>0)\).

Với \(x>0\), ta có

\begin{eqnarray*}&&\displaystyle \int\left(3x^3+\displaystyle\frac{2}{\sqrt[5]{x^3}}\right)\mathrm{\,d}x&=&3\int x^3\mathrm{\,d}x+2\int x^{-\tfrac{3}{5}}\mathrm{\,d}x&=&3\cdot \displaystyle\frac{x^4}{4}+2\cdot \displaystyle\frac{x^{\tfrac{2}{5}}}{\displaystyle\frac{2}{5}}+C&=&\displaystyle\frac{3}{4}x^4+5\sqrt[5]{x^2}+C.\end{eqnarray*}

Câu 55:

Tìm: \(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{x}}}\,{\mathrm{d}x}\).

Với \(x>0\), ta có \(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{x}}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{x^{-\tfrac{3}{2}}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{x^{-\tfrac{3}{2}+1}}{-\displaystyle\frac{3}{2}+1}+C = -2x^{-\tfrac{1}{2}} + C = -\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x}}+C\).

Câu 56:

Tìm \(\displaystyle \int\left(\sqrt[3]{x^2}+\displaystyle\frac{4}{x}\right)\mathrm{d}x\).

\(\displaystyle \int\left(\sqrt[3]{x^2}+\displaystyle\frac{4}{x}\right)\mathrm{d}x=\int x^{\tfrac{2}{3}}\mathrm{d}x+4\int\displaystyle\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{3}{5}x^{\tfrac{5}{3}}+4\ln|x|+C=\displaystyle\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}+4\ln|x|+C\).

Câu 57:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sin x+\cos x\).

Ta có \(\displaystyle\int(\sin x+\cos x)\mathrm{\,d}x=-\cos x+\sin x+C\).

Câu 58:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x+\sin x\).

\(F(x) = \displaystyle\frac{x^2}{2}-\cos x+C \).

Câu 59:

Hàm số \(F(x)=2\sin x-3\cos x\) là một nguyên hàm của hàm số nào?

Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) thì \(f(x)=F'(x)\).

Suy ra \(f(x)=F'(x)=2\cos x+3\sin x\).

Câu 60:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2x+\cos x\).

\(\displaystyle\int (2x+\cos x)\mathrm{\,d}x=x^2+\sin x+C\).

Câu 61:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin x - \cos x\).

Ta có \(\displaystyle \int( \sin x - \cos x) \mathrm{\,d} x = -\cos x - \sin x + C=- \sin x - \cos x + C\)

Câu 62:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=4x^3 + \sin x - 2\).

Ta có \(\displaystyle\int{\left(4x^3 + \sin x - 2\right)}\mathrm{\,d}x=x^4 - \cos x - 2x + C\).

Câu 63:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=3x^2+\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\).

Ta có \(\displaystyle \int \left(3x^2+\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\right)\mathrm{\,d}x=x^3+\tan x+C\).

Câu 64:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x-\sin x\).

\(\displaystyle\int\limits (x-\sin x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^2}{2}+\cos x + C\).

Câu 65:

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x)=4x+\sin x\).

Ta có \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int(4x+\sin x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{4x^2}{2}-\cos x+C = 2x^2-\cos x+C\).

Vậy họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x)=4x+\sin x\) là \(F(x)=2x^2-\cos x+C\).

Câu 66:

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số: \(y= x\sqrt{x} + 3\cos x - \displaystyle\frac{2}{\sin^2 x}\).

\begin{align*}&\displaystyle \int \left(x\sqrt{x} +3\cos x - \displaystyle\frac{2}{\sin^2 x}\right)\mathrm{\,d}x\\ =\ & \displaystyle \int \left( x^{\frac{3}{2}} + 3\cos x - \displaystyle\frac{2}{\sin^2 x}\right)\mathrm{\,d}x \\ =\ & \displaystyle\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} +3\sin x + 2\cot x + C\\ =\ & \displaystyle\frac{2}{5}x^2\sqrt{x} +3\sin x + 2\cot x + C \, \text{ với } \, C \in \mathbb{R}.\end{align*}

Câu 67:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y=(1+\sin x)^2\).

\begin{eqnarray*}\displaystyle \int (1+\sin x)^2 \mathrm{\,d}x &=& \displaystyle \int \left( 1+2 \sin x +(\sin x)^2 \right) \mathrm{\,d}x &=& \displaystyle \int \left( \displaystyle\frac{3}{2} + 2\sin x - \displaystyle\frac{1}{2} \cos 2x \right) \mathrm{\,d}x &=& \displaystyle\frac{3}{2}x - 2\cos x - \displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x +C.\end{eqnarray*}

Câu 68:

Tính \(I=\displaystyle\int\limits 8\sin 3x\cos x \mathrm{\,d}x =a\cos 4x+b\cos 2x+C\). Tính \(a-b\).

Ta có

\( I=4\displaystyle\int\limits (\sin 4x+\sin 2x) \mathrm{\,d}x =-\cos 4x-2\cos 2x+C\Rightarrow\heva{& a=-1\\& b=-2}\Rightarrow a-b=1.\)

Câu 69:

Tìm: \(\displaystyle\int (2\cos x - \displaystyle\frac{3}{\sin^2 x})\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \left (2\cos x - \displaystyle\frac{3}{\sin^2 x}\right )\mathrm{\,d}x = 2\sin x + 3\cot x + C\).

Câu 70:

Tìm: \(\displaystyle\int 4\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int 4\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}\mathrm{\,d}x = 2\int (1 - \cos x) \mathrm{\,d}x = 2(x - \sin x) + C\).

Câu 71:

Tìm: \(\displaystyle\int \left(\sin \displaystyle\frac{x}{2} - \cos \displaystyle\frac{x}{2}\right)^2\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \left (\sin \displaystyle\frac{x}{2} - \cos \displaystyle\frac{x}{2}\right )^2\mathrm{\,d}x = \int \left (1-\sin x\right )\mathrm{\,d}x= x+\cos x + C.\)

Câu 72:

Tìm: \(\displaystyle\int (x+\tan^2 x)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int (x+\tan^2 x)\mathrm{\,d}x = \int (x-1)\mathrm{\,d}x + \int \left (1+\tan^2 x\right )\mathrm{\,d}x = \frac{x^2}{2} - x + \tan x + C\).

Câu 73:

Tìm: \(\displaystyle\int (\cos x + \sin x)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int (\cos x + \sin x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int \cos x\mathrm{\,d}x + \displaystyle\int \sin x\mathrm{\,d}x = \sin x - \cos x + C\).

Câu 74:

Tìm: \(\displaystyle\int (2\cos x + \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x})\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int (2\cos x + \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x})\mathrm{\,d}x = 2\displaystyle\int \cos x\mathrm{\,d}x - \displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\mathrm{\,d}x = 2\sin x - \tan x + C\).

Câu 75:

Tìm: \(\displaystyle\int (3\cos x - 4\sin x)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int(3 \cos x-4 \sin x) \mathrm{\, d}x=\int 3 \cos x \mathrm{\, d}x-\int 4\sin x \mathrm{\, d}x=3\sin x + 4\cos x +C\).

Câu 76:

Tìm: \(\displaystyle\int \left (\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} - \displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\right )\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int\left(\displaystyle\frac{1}{\cos ^2 x}-\displaystyle\frac{1}{\sin ^2 x}\right) \mathrm{\, d}x=\int \displaystyle\frac{1}{\cos ^2 x} \mathrm{\, d}x - \int \displaystyle\frac{1}{\sin ^2 x} \mathrm{\, d}x=\tan x + \cot x + C\).

Câu 77:

Tìm \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} \mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} \mathrm{\,d}x=\int \displaystyle\frac{\sin ^2 x+\cos ^2 x}{\sin ^2x \cos ^2 x}\mathrm{\,d}x=\int \left(\displaystyle\frac{1}{\sin ^2 x}+\displaystyle\frac{1}{\cos ^2 x}\right)\mathrm{\,d}x =-\cot x + \tan x + C\).

Câu 78:

Tìm \(\displaystyle\int 6\left(1+\cot ^{2} x\right) \mathrm{~d} x\).

\(\displaystyle\int 6\left(1+\cot ^{2} x\right) \mathrm{d} x=6 \displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x=-6 \cot x+C\).

Câu 79:

Tìm \(\displaystyle\int\left(3 x^{2}-\cos x\right) \mathrm{~d} x\).

\(\displaystyle\int\left(3 x^{2}-\cos x\right) \mathrm{~d} x=3 \displaystyle\int x^{2} \mathrm{~d} x-\displaystyle\int \cos x \mathrm{~d} x=x^{3}-\sin x+C\).

Câu 80:

Tìm \(\displaystyle\int\left(3 \sin x-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x^{3}}}\right) \mathrm{~d} x\).

\(\displaystyle\int\left(3 \sin x-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x^{3}}}\right) \mathrm{d} x=3 \displaystyle\int \sin x \mathrm{~d} x-2 \displaystyle\int x^{-\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x=-3 \cos x+4 x^{-\frac{1}{2}}+C\) \(=-3 \cos x+\displaystyle\frac{4}{\sqrt{x}}+C\).

Câu 81:

Tìm \(\displaystyle\int\left(1+\tan ^{2} x\right) \mathrm{d} x\).

\(\displaystyle\int\left(1+\tan ^{2} x\right) \mathrm{d} x=\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\cos ^{2} x} \mathrm{d} x=\tan x+C\).

Câu 82:

Tìm: \(\displaystyle\int \left(\sin\displaystyle\frac{x}{2}-\cos\displaystyle\frac{x}{2}\right)^2\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \left(\sin\displaystyle\frac{x}{2}-\cos\displaystyle\frac{x}{2}\right)^2\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \left(\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}-2\sin\displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}+\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \left(1-\sin x\right)\mathrm{\,d}x=x+\cos x+C\).

Câu 83:

Tìm: \(\displaystyle\int [4(2-3x)^2-3\cos x]\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int [4(2-3x)^2-3\cos x]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int [4(2-3x)^2]\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int [3\cos x]\mathrm{\,d}x=4\displaystyle\int (2-3x)^2\mathrm{\,d}x-3\displaystyle\int \cos x\mathrm{\,d}x\) \(=4\displaystyle\int (4-12x+9x^2)\mathrm{\,d}x-3\displaystyle\int \cos x\mathrm{\,d}x\) \(=4\left(4x-6x^2+3x^3\right)-3\sin x+C=12x^3-26x^2+16x-3\sin x+C\).

Câu 84:

Tìm: \(\displaystyle\int \left(\displaystyle\frac{2}{\sin^2 x}-\displaystyle\frac{1}{3\cos^2x}\right)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \left(\displaystyle\frac{2}{\sin^2 x}-\displaystyle\frac{1}{3\cos^2x}\right)\mathrm{\,d}x=-2\cot x-\displaystyle\frac{1}{3}\tan x+C\).

Câu 85:

Tìm \(\displaystyle\int\sin^{2}\displaystyle\frac{x}{2}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int\sin^{2}\displaystyle\frac{x}{2}\mathrm{\,d}x=\int\displaystyle\frac{1-\cos x}{2}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{2}\left(x-\sin x\right)+C\).

Câu 86:

Tìm \(\displaystyle\int\tan^{2}x\mathrm{\,d}x\).

Ta có \((\tan x)'=1+\tan^{2}x\Rightarrow \tan^{2}x=(\tan x)'-1=(\tan x-x)'\).

Do đó ta có

\(\displaystyle\int\tan^{2}x\mathrm{\,d}x=\tan x-x+C\).

Câu 87:

Tìm \(\displaystyle\int(5\cos x-3\sin x)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int(5\cos x-3\sin x)\mathrm{\,d}x=5\sin x+3\cos x+C\).

Câu 88:

Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f(x)=3\cos x-\displaystyle\frac{4}{x}\).

\(\displaystyle \int \left(3\cos x-\displaystyle\frac{4}{x}\right)\mathrm{\,d}x=3\int\cos x\mathrm{\,d}x-4\int\displaystyle\frac{1}{x}\mathrm{\,d}x=3\sin x-4\ln|x|+C\).

Câu 89:

Tìm \(\displaystyle \int \left(\displaystyle\frac{3}{\cos^{2}x}-\displaystyle\frac{1}{\sin^{2}x}\right)\mathrm{\,d}x\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\displaystyle \int \left(\displaystyle\frac{3}{\cos^{2}x}-\displaystyle\frac{1}{\sin^{2}x}\right)\mathrm{\,d}x&=&3\int\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}x}\mathrm{\,d}x+\int\left(-\displaystyle\frac{1}{\sin^{2}x}\right)\mathrm{\,d}x&=&3\tan x+\cot x+C.\end{eqnarray*}

Câu 90:

Tìm \(\displaystyle \int\left(-\displaystyle\frac{\cos x}{4}\right)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int\left(-\displaystyle\frac{\cos x}{4}\right)\mathrm{\,d}x=-\displaystyle\frac{1}{4}\int\cos x\mathrm{\,d}x=-\displaystyle\frac{1}{4}\sin x+C\).

Câu 91:

Tìm \(\displaystyle \int \displaystyle\frac{2\sin x}{3}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{2\sin x}{3}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{2}{3}\int\sin x\mathrm{\,d}x=-\displaystyle\frac{2}{3}\cos x+C\).

Câu 92:

Tìm \(\displaystyle\int 2\sin\displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}\mathrm{\,d}x\).

Ta có \(\displaystyle\int 2\sin\displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}\mathrm{\,d}x=\int\sin x\mathrm{\,d}x=-\cos x+C\).

Câu 93:

Tìm \(\displaystyle\int(3+2\tan^2x)\mathrm{d}x\,\).

\(\displaystyle\int(3+2\tan^2x)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\left[3+2\left(\displaystyle\frac1{\cos^2x}-1\right)\right]\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\left(1+2\cdot\displaystyle\frac1{\cos^2x}\right)\mathrm{d}x\,=x+2\tan x+C\).

Câu 94:

Tìm \(\displaystyle\int(1-3\cot^2x)\mathrm{d}x\,\).

\(\displaystyle\int(1-3\cot^2x)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\left[1-3\left(\displaystyle\frac1{\sin^2x}-1\right)\right]\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\left(4-3\cdot\displaystyle\frac1{\sin^2x}\right)\mathrm{d}x\,=4x+3\cot x+C\).

Câu 95:

Tìm: \(\displaystyle\int{3\cos{x}}\,{\mathrm{d}x}\).

\(\displaystyle\int{3\cos{x}}\,{\mathrm{d}x} = 3\displaystyle\int{\cos{x}}\,{\mathrm{d}x} = 3\sin{x}+C\).

Câu 96:

Tìm: \(\displaystyle\int{(\sin{x}+\cos{x})}\,{\mathrm{d}x}\).

\(\displaystyle\int{(\sin{x}+\cos{x})}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{\sin{x}}\,{\mathrm{d}x} + \displaystyle\int{\cos{x}}\,{\mathrm{d}x} = -\cos{x}+\sin{x}+C\).

Câu 97:

Tìm: \(\displaystyle\int{\left(\displaystyle\frac{1}{\sin^2{x}} - \displaystyle\frac{1}{\cos^2{x}}\right)}\,{\mathrm{d}x}\).

\(\displaystyle\int{\left(\displaystyle\frac{1}{\sin^2{x}} - \displaystyle\frac{1}{\cos^2{x}}\right)}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{\sin^2{x}}}\,{\mathrm{d}x} - \displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{\cos^2{x}}}\,{\mathrm{d}x} = -\cot{x}-\tan{x}+C\).

Câu 98:

Tìm: \(\displaystyle\int{\left(1+\tan^2{x}\right)}\,{\mathrm{d}x}\).

\(\displaystyle\int{\left(1+\tan^2{x}\right)}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{\cos^2{x}}}\,{\mathrm{d}x} = \tan{x}+C\).

Câu 99:

Tìm \(\displaystyle\int{(5\sin{x}+6\cos{x})}\,{\mathrm{d}x}\).

\(\displaystyle\int{(5\sin{x}+6\cos{x})}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{5\sin{x}}\,{\mathrm{d}x} +\displaystyle\int{6\cos{x}}\,{\mathrm{d}x} = 5\displaystyle\int{\sin{x}}\,{\mathrm{d}x} + 6\displaystyle\int{\cos{x}}\,{\mathrm{d}x} = -5\cos{x}+6\sin{x}+C\).

Câu 100:

Tìm \(\displaystyle\int{\left(2+\cot^2{x}\right)}\,{\mathrm{d}x}\).

\(\displaystyle\int{\left(2+\cot^2{x}\right)}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{\left(1+1+\cot^2{x}\right)}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{\left(1+\displaystyle\frac{1}{\sin^2{x}}\right)}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{}\,{\mathrm{d}x} +\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{\sin^2{x}}}\,{\mathrm{d}x} = x-\cot{x}+C\).

Câu 101:

Tìm \(\displaystyle\int{2^{3x}}\,{\mathrm{d}x}\).

\(\displaystyle\int{2^{3x}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{\left(2^3\right)^x}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{8^x}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{8^x}{\ln{8}}+C = \displaystyle\frac{2^{3x}}{3\ln{2}}+C\).

Câu 102:

Tìm \(\displaystyle\int{\left(2\cdot 3^{2x} - \mathrm{e}^{x+1}\right)}\,{\mathrm{d}x}\).

\(\displaystyle\int{\left(2\cdot 3^{2x} - \mathrm{e}^{x+1}\right)}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{2\cdot 9^x}\,{\mathrm{d}x} - \displaystyle\int{\mathrm{e}\cdot \mathrm{e}^x}\,{\mathrm{d}x} = 2\displaystyle\int{9^x}\,{\mathrm{d}x} -\mathrm{e}\displaystyle\int{\mathrm{e}^x}\,{\mathrm{d}x} = 2\cdot \displaystyle\frac{9^x}{\ln{9}}- \mathrm{e}\cdot \mathrm{e}^x +C = \displaystyle\frac{3^{2x}}{\ln{3}}-\mathrm{e}^{x+1}+C\).

Câu 103:

Tìm \((\sin x+2^{-x+1})\mathrm{d}x\,\).

\(\displaystyle\int(\sin x+2^{-x+1})\mathrm{d}x\,=-\cos x-\displaystyle\frac{2^{-x+1}}{\ln2}+C\).

Câu 104:

Tìm \(\displaystyle\int(2\cdot6^{2x}-\mathrm{e}^{-x+1})\mathrm{d}x\,\).

\(\displaystyle\int(2\cdot6^{2x}-\mathrm{e}^{-x+1})\mathrm{d}x\,=2\cdot\displaystyle\frac{6^{2x}}{2\ln6}-\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{-x+1}}{-1}+C=\displaystyle\frac{6^{2x}}{\ln6}+\mathrm{e}^{-x+1}+C\).

Câu 105:

Chứng minh rằng \(F(x)=\mathrm{e}^{2x+1}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2\mathrm{e}^{2x+1}\) trên \(\mathbb{R}\).

Với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\) ta có \(F'(x)=\left(\mathrm{e}^{2x+1}\right)'=(2x+1)'\mathrm{e}^{2x+1}=2\mathrm{e}^{2x+1}=f(x)\).

Vậy \(F(x)=\mathrm{e}^{2x+1}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2\mathrm{e}^{2x+1}\) trên \(\mathbb{R}\).

Câu 106:

Tìm \(\displaystyle\int 3^{x}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int 3^{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{3^{x}}{\ln 3}+C\).

Câu 107:

Tìm \(\displaystyle \int \mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x\).

Ta có \(\left(\mathrm{e}^{2x}\right)'=2\mathrm{e}^{2x}\Rightarrow \left(\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\right)'=\mathrm{e}^{2x}\).

Do đó \(\displaystyle \int \mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}+C\).

Câu 108:

Tìm \(\displaystyle \int\displaystyle\frac{3^{x-1}}{2}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int \displaystyle\frac{3^{x-1}}{2}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{2}\int\displaystyle\frac{3^{x}}{3}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{6}\int 3^{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{3^{x}}{6\ln 3}+C\).

Câu 109:

Tìm \(\displaystyle\int 2^{2x+1}\mathrm{\,d}x\).

\(\left(2^{2x+1}\right)'=2\ln2\cdot 2^{2x+1}\Rightarrow \left(\displaystyle\frac{2^{2x+1}}{2\ln 2}\right)'=2^{2x+1}\Rightarrow \displaystyle\int 2^{2x+1}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{2^{2x+1}}{\ln 2}+C\).

Câu 110:

Tính đạo hàm của hàm số \(F(x)=x\mathrm{e}^{x}\), suy ra nguyên hàm của hàm số \(f(x)=(x+1)\mathrm{e}^{x}\).

Ta có

\begin{eqnarray*}F'(x)&=&x'\cdot \mathrm{e}^{x}+x\cdot(\mathrm{e}^{x})'&=&\mathrm{e}^{x}+x\cdot\mathrm{e}^{x}&=&(x+1)\mathrm{e}^{x}.\end{eqnarray*}

Do đó ta có

\(\displaystyle\int (x+1)\mathrm{e}^{x}\mathrm{\,d}x=x\mathrm{e}^{x}+C\).

Câu 111:

Tìm \(\displaystyle\int 7^{x}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int 7^{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{7^{x}}{\ln 7}+C\).

Câu 112:

Tìm \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{3^x}{5^x}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{3^x}{5^x}\mathrm{\,d}x=\int\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{x}}{\ln\displaystyle\frac{3}{5}}+C=\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{x}}{\ln 3-\ln 5}+C\).

Câu 113:

Tìm \(\displaystyle\int\left(\mathrm{e}^{x-2}-\displaystyle\frac{2}{\sin^{2}x}\right)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int\left(\mathrm{e}^{x-2}-\displaystyle\frac{2}{\sin^{2}x}\right)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^{x-2}+2\cot x+C\).

Câu 114:

Tìm \(\displaystyle\int 2^{3x}\cdot 3^{x}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int 2^{3x}\cdot 3^{x}\mathrm{\,d}x=\int 8^{x}\cdot 3^{x}\mathrm{\,d}x=\int 24^{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{24^{x}}{\ln 24}+C\).

Câu 115:

Tìm: \(\displaystyle\int \left(3^{2x-2}+4\cos x\right)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \left(3^{2x-2}+4\cos x\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{3^{2x-2}}{2\ln3}+4\sin x+C\).

Câu 116:

Tính đạo hàm của \(F(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\). Từ đó suy ra nguyên hàm của \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\).

Ta có

\(f(x)=F'(x)=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\).

Vậy \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{\,d}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\).

Câu 117:

Cho \(f(x)=x^2\ln x\) và \(g(x)=x\ln x\). Tính \(f'(x)\) và \(\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x\).

Ta có: \(f'(x)=2x\ln x+\displaystyle\frac{1}{x}\cdot x^2=2x\ln x+x\).

Tính \(I=\displaystyle\int g(x) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int x\ln x\mathrm{\,d}x\).

Đặt \(\heva {&u=\ln x\Rightarrow \mathrm{\,d}u=\displaystyle\frac{1}{x}\mathrm{\,d}x\\&\mathrm{\,d}v=x\Rightarrow v=\displaystyle\frac{x^2}{2}}\)

\(\Rightarrow I=\displaystyle\frac{x^2}{2}\ln x-\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x}\cdot\displaystyle\frac{x^2}{2}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^2}{2}\ln x-\displaystyle\int \displaystyle\frac{x}{2}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^2}{2}\ln x-\displaystyle\frac{x^2}{4}+C\).

Câu 118:

Cho \(\displaystyle\int f(x) d x=x^{3}-e^{2 x}+C\). Tìm \(f(x)\).

Với mỗi \(C \in \mathbb{R}\), ta có \(f(x)=\left(x^{3}-e^{2 x}+C\right)'=3 x^{2}-2 e^{2 x}\).

Câu 119:

Tìm \(\displaystyle\int x^{-1} \mathrm{~d} x\).

\(\displaystyle\int x^{-1} \mathrm{~d} x=\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+C\).

Câu 120:

Tìm \(\displaystyle\int 4^{x} \mathrm{~d} x\).

\(\displaystyle\int 4^{x} d x=\displaystyle\frac{4^{x}}{\ln 4}+C\).

Câu 121:

Tìm \(\displaystyle\int e^{3 x} \mathrm{~d} x\).

\(\displaystyle\int e^{3 x} \mathrm{~d} x=\displaystyle\int\left(e^{3}\right)^{x} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{\left(e^{3}\right)^{x}}{\ln e^{3}}+C=\frac{1}{3} e^{3 x}+C\).

Câu 122:

Tìm \(\displaystyle\int 2^{x} \cdot 3^{x} \mathrm{~d} x\).

\(\displaystyle\int 2^{x} \cdot 3^{x} d x=\displaystyle\int 6^{x} d x=\displaystyle\frac{6^{x}}{\ln 6}+C\).

Câu 123:

Tìm \(\displaystyle\int 4^{x+1} \mathrm{~d} x\).

\(\displaystyle\int 4^{x+1} \mathrm{~d} x=\displaystyle\int 4\cdot 4^{x} \mathrm{~d} x=4 \displaystyle\int 4^{x} \mathrm{~d} x=4 \cdot \displaystyle\frac{4^{x}}{\ln 4}+C=\displaystyle\frac{4^{x+1}}{\ln 4}+C\).

Câu 124:

Tìm \(\displaystyle\int\left(\displaystyle\frac{2}{\cos ^{2} x}-5^{x}\right) \mathrm{~d} x\).

\(\displaystyle\int\left(\displaystyle\frac{2}{\cos ^{2} x}-5^{x}\right) \mathrm{d} x=2 \displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x-\displaystyle\int 5^{x} \mathrm{~d} x=2 \tan x-\displaystyle\frac{5^{x}}{\ln 5}+C\).

Câu 125:

Trong cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

\(x e^x\) và \((x-1) e^x\).

\(x e^x\) và \((x-1) e^x\).

Ta có \(\left[(x-1)e^x\right]'=e^x+(x-1)e^x=x\cdot e^x\).

Do đó \((x-1) e^x\) là một nguyên hàm của hàm số \(x e^x\).

Câu 126:

Trong cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

\(\displaystyle\frac{1}{2} \ln^2 x\) và \(\displaystyle\frac{\ln x}{x}\).

\(\displaystyle\frac{1}{2} \ln^2 x\) và \(\displaystyle\frac{\ln x}{x}\).

Ta có

\(\left(\displaystyle\frac{1}{2} \ln^2 x\right)'=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \ln x \cdot \left(\ln x\right)'=\ln x \cdot \displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{\ln x}{x}\).

Do đó \(\displaystyle\frac{1}{2} \ln^2 x\) là một nguyên hàm của hàm số \(\displaystyle\frac{\ln x}{x}\).

Câu 127:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=6x^4-\displaystyle\frac{e^x}{2}+\sin x\).

\(\displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x = \int \left(6x^4-\displaystyle\frac{e^x}{2}+\sin x\right) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{6x^5}{5}-\displaystyle\frac{e^x}{2}-\cos x + C\).

Câu 128:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=5^x-\displaystyle\frac{4}{x \sqrt{x}}+3\).

\(\begin{aligned}\displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x = \int \left(5^x-\displaystyle\frac{4}{x \sqrt{x}}+3 \right) \mathrm{\,d}x &= \int \left(5^x-4x^{-\tfrac{3}{2}}+3 \right) \mathrm{\,d}x&=\displaystyle\frac{5^x}{\ln 5}-4\cdot \displaystyle\frac{x^{-\tfrac{1}{2}}}{-\tfrac{1}{2}}+3x+C&=\displaystyle\frac{5^x}{\ln 5}+\displaystyle\frac{8}{\sqrt{x}}+3x+C.\end{aligned}\)

Câu 129:

Tìm hàm số \(f(x)\), biết một nguyên hàm của \(f(x)\) là \(F(x)=x \sin x+\sqrt{2}\).

\(f(x)=F'(x)=\left(x \sin x+\sqrt{2}\right)'=\sin x + x\cdot \cos x+0=\sin x + x\cos x\).

Câu 130:

Tìm hàm số \(f(x)\), biết một nguyên hàm của \(f(x)\) là \(F(x)=e^x-\sqrt{x}\).

\(f(x)=F'(x)=\left(e^x-\sqrt{x}\right)'=e^x-\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Câu 131:

Biết \(F(x)=e^x+x^2\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(f'(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Tìm \(\displaystyle\int f'(x) \mathrm{\,d}x\).

+) Do \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) nên: \(F'(x)=f(x)\) hay \(f(x)=(e^x+x^2)'=e^x+2x\).

+) Từ đó: \(\displaystyle\int f'(x) \mathrm{\,d}x=f(x)+C=e^x+2x+C\).

Câu 132:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số: \(f(x)=3^{2x}\).

\(F(x)=\displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x=\int 3^{2x}\mathrm{\,d}x=\int 9^x \mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{9^x}{\ln 9}+C\).

Câu 133:

Tìm \(\displaystyle\int 4^{\tfrac{x}{2}} \mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int 4^{\tfrac{x}{2}} \mathrm{\,d}x=\int 2^x\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{2^x}{\ln 2}+C\).

Câu 134:

Tìm \(\displaystyle\int e^x\left(2+\displaystyle\frac{e^{-x}}{3\cos^2 x}\right) \mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int e^x\left(2+\displaystyle\frac{e^{-x}}{3\cos^2 x}\right) \mathrm{\,d}x=\int \left(2e^x+\displaystyle\frac{1}{3\cos ^2x}\right)\mathrm{\,d}x = 2e^x+\displaystyle\frac{1}{3}\tan x + C\).

Câu 135:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số: \(f(x)=\sin^{2}\displaystyle\frac{x}{2}+3^{2x}\).

\(\begin{aligned}\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x&=\displaystyle\int\left(\sin^{2}\displaystyle\frac{x}{2}+3^{2x}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\left(\displaystyle\frac{1-\cos x}{2}+3^{2x}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\left(\displaystyle\frac{1-\cos x}{2}+3^{2x}\right)\mathrm{\,d}x&=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{\sin x}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{3^{2x}}{\ln 3}+C.\end{aligned}\)

Câu 136:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số: \(f(x)=\sqrt{3x}-\displaystyle\frac{4}{\sin^{2}x}\).

\(\begin{aligned}\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x&=\displaystyle\int \left( \sqrt{3x}-\displaystyle\frac{4}{\sin^{2}x}\right) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\left(3x\right)^{\frac{1}{2}}\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\displaystyle\frac{4}{\sin^{2}x}\mathrm{\,d}x\\ &=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{2}+1}\cdot\left(3x\right)^{\frac{1}{2}+1}+4\cot x+C=\displaystyle\frac{2}{9}\cdot\left(3x\right)^{\frac{3}{2}}+4\cot x+C.\end{aligned}\)

Câu 137:

Tìm: \(\displaystyle\int 2^x\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int 2^x\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{2^x}{\ln 2} + C\).

}

Câu 138:

Tìm: \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{3^x}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{3^x}\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int \left (\displaystyle\frac{1}{3}\right )^x\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{\left (\displaystyle\frac{1}{3}\right )^x}{\ln \displaystyle\frac{1}{3}} + C = -\displaystyle\frac{1}{3^x \ln 3} + C\).

}

Câu 139:

Tìm: \(\displaystyle\int (2e^x-5^x)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int (2e^x-5^x)\mathrm{\,d}x = 2 \displaystyle\int e^x\mathrm{\,d}x - \displaystyle\int 5^x\mathrm{\,d}x = 2e^x - \displaystyle\frac{5^x}{\ln 5} + C\).

}

Câu 140:

Tìm: \(\displaystyle\int 4^x\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int 4^x \mathrm{~d}x=\displaystyle\frac{4^x}{\ln x}+C\).

Câu 141:

Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)={\left(\mathrm{e}^x - 1\right)}^2\).

Ta có \(f(x)={\left(\mathrm{e}^x - 1\right)}^2=\mathrm{e}^{2x} - 2\mathrm{e}^x + 1\Rightarrow F(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} - 2\mathrm{e}^x + x + C\).

Câu 142:

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(2+\displaystyle\frac{\mathrm{e}^x}{\cos^2x}\right)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}\).

Ta có

\(\displaystyle\int \mathrm{e}^{-x}\left(2+\displaystyle\frac{\mathrm{e}^x}{\cos^2x}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \left(2\mathrm{e}^{-x}+\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\right)\mathrm{\,d}x=-\displaystyle\frac{2}{\mathrm{e}^x}+\tan x+C.\)

Câu 143:

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\mathrm{e}^{3x}\left(1-3\mathrm{e}^{-5x}\right).\)

Ta có \(f(x)=\mathrm{e}^{3x}\left(1-3\mathrm{e}^{-5x}\right)=\mathrm{e}^{3x}-3\mathrm{e}^{-2x}.\) Do đó, \(\displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac13\mathrm{e}^{3x}+\displaystyle\frac32\mathrm{e}^{-2x}+C.\)

Câu 144:

Tìm: \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{e^x}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int \displaystyle\frac{1}{e^x} \mathrm{~d}x=\int e^{-x} \mathrm{~d}x=-e^{-x}+C=-\displaystyle\frac{1}{e^x}+C\).

Câu 145:

Tìm: \(\displaystyle\int (2\cdot3^x-\displaystyle\frac{1}{3}\cdot7^x)\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle \int\left(2 \cdot 3^x-\displaystyle\frac{1}{3} \cdot 7^x\right) \mathrm{~d}x=\int 2\cdot 3^x \mathrm{\, d}x-\int \displaystyle\frac{1}{3} \cdot 7^x \mathrm{\, d}x=2\cdot \displaystyle\frac{3^x}{\ln 3} - \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{7^x}{\ln 7}+C\).

Câu 146:

Tìm: \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{(2x+1)^2}{x^2}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{(2x+1)^2}{x^2}\mathrm{\,d}x = \int \frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2} \mathrm{\,d}x = \int \left (4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}\right ) \mathrm{\,d}x = 4x - 4\ln|x| - \frac{1}{x} + C.\)

Câu 147:

Tìm: \(\displaystyle\int \left (2^x + \displaystyle\frac{3}{x^2}\right )\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int \left (2^x + \displaystyle\frac{3}{x^2}\right )\mathrm{\,d}x = \int 2^x \mathrm{\,d}x + \int \frac{3}{x^2} \mathrm{\,d}x = \frac{2^x}{\ln 2} - \frac{3}{x} + C.\)

Câu 148:

Tính: \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2} 2^{x}\mathrm{\,d}x\).

\(\displaystyle\int\limits_{1}^{2} 2^{x} \mathrm{~d} x=\left.\displaystyle\frac{2^{x}}{\ln 2}\right|_{1} ^{2}=\displaystyle\frac{2^{2}}{\ln 2}-\displaystyle\frac{2^{1}}{\ln 2}=\displaystyle\frac{2}{\ln 2}\).

Câu 149:

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số: \(y= 2^x - \displaystyle\frac{1}{x}\).

\(\displaystyle \int \left(2^x - \displaystyle\frac{1}{x}\right)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{2^x}{\ln2} - \ln|x| + C\) với \(C \in \mathbb{R}\).

Câu 150:

Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{2}{x}-\displaystyle\frac{1}{x^2}+x\) trên khoảng \((0;+\infty)\).

Ta có \(F(x)=2\ln \left|x\right| + \displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{x^2}{2}+C\).

Câu 151:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \( y=x^2-3x+\displaystyle\frac{1}{x}\).

\(\displaystyle\int \left(x^2-3x+\displaystyle\frac{1}{x}\right) \mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{x^3}{3}-\displaystyle\frac{3x^2}{2}+\ln \left|x\right|+C\).

Câu 152:

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3\cos x+\displaystyle\frac{1}{x^2}\) trên \((0;+\infty)\).

\(\displaystyle\int (3\cos x+\displaystyle\frac{1}{x^2})\mathrm{\,d}x = 3\displaystyle\int \cos x\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int {\displaystyle\frac{1}{x^2}\mathrm{\,d}x = 3\sin x-\displaystyle\frac{1}{x}+C}\).

Câu 153:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}+2x\).

\(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int\left(\displaystyle\frac{1}{x}+2x\right)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int\displaystyle\frac{\mathrm{\,d}x}{x}+\displaystyle\int 2x \mathrm{\,d}x = \ln|x|+x^2+\mathrm{C}\).

Câu 154:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y=x^{2}-3^{x}+\displaystyle\frac{1}{x}\).

Ta có \(\displaystyle\int \left(x^{2}-3^{x}+\displaystyle\frac{1}{x}\right) \mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{x^{3}}{3} - \displaystyle\frac{3^{x}}{\ln 3} +\ln |x| + C\), với \(C \in \mathbb{R}\).

Dạng 2. Tìm một nguyên hàm thỏa điều kiện cho trước

Câu 1:

Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=6x^5+2x-3\), biết \(F(-1)=-5\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle\int(6x^5+2x-3)\mathrm{\,d}x=x^6+x^2-3x+C\).

Vì \(F(-1)=-5\) nên \((-1)^6+(-1)^2-3\cdot(-1)+C=-5\Leftrightarrow C=-5-5=-10\).

Vậy \(F(x)=x^6+x^2-3x+10\).

Câu 2:

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x)=3+2\sin{x}\) và \(f(0)=3\). Tìm \(f(x)\).

Ta có \(f(x)=\displaystyle\int\limits f'(x) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits (3+2\sin{x}) \mathrm{\,d}x=3x-2\cos{x} +C\).

\(f(0)=3\Leftrightarrow -2+C=3\Leftrightarrow C=5\).

Vậy \(f(x)=3x-2\cos{x}+5\).

Câu 3:

Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=x+\sin x\) thỏa mãn \(F(0)=1\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle\int\limits (x+\sin x) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits x \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits \sin x \mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^2}{2}-\cos x +C\).

Mặt khác ta có \(F(0)=1\Leftrightarrow \displaystyle\frac{0^2}{2}-\cos 0 +C=1\Leftrightarrow C=2\).

Vậy \(F(x)=\displaystyle\frac{x^2}{2}-\cos x+2\).

Câu 4:

Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sin x\) và đồ thị hàm số \(y=F(x)\) đi qua điểm \(M(0;1)\). Tính \(F\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x

=\displaystyle\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\(.

Vì đồ thị hàm số \(y=F(x)\) đi qua điểm \(M(0;1)\) nên thay \(x=0;y=1\) vào \(F(x)\) ta được \(C=2\Rightarrow F(x)=-\cos x+2\).

Do đó \(F\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=2\).

Câu 5:

Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2\mathrm{e}^x+1\) thoả mãn \(F(0)=1\). Tìm \(F(x)\).

Có \(F(x)=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x =\displaystyle\int\left(2\mathrm{e}^x+1\right)\mathrm{\,d}x=2\mathrm{e}^x+x+C\).

\(F(0)=2\mathrm{e}^0+0+C=1\Rightarrow 2+C=1\Rightarrow C=-1\Rightarrow F(x)=2\mathrm{e}^x+x-1\).

Câu 6:

Tìm hàm số \(y=F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) biết rằng \(f(x)=2x+1\) và \(F(1)=5\).

Ta có \(\displaystyle F(x)=\int (2x+1) \mathrm{\,d}x =x^2+x+C\).

Lại có \(F(1)=5\Leftrightarrow 2+C=5\Leftrightarrow C=3\). Vậy \(F(x)=x^2+x+3\).

Câu 7:

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'(x)=4x+3\) và \(f(1)=-1\). Biết rằng phương trình \(f(x)=10\) có hai nghiệm thực \(x_1,\,x_2\). Tính giá trị của tổng \(\log_2|x_1|+\log_2|x_2|\).

Ta có: \(f(x)=\displaystyle\int\limits f’(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits(4x+3)\mathrm{\,d}x=2x^2+3x+C\).

Ta có: \(f(1)=-1\Rightarrow 2\cdot1^2+3\cdot1+C=-1\Leftrightarrow C=-6 \Rightarrow f(x)=2{x^2}+3x-6\).

Mà \(f(x)=10\) \(\Rightarrow 2{x^2}+3x-6=10\Leftrightarrow 2{x^2}+3x-16=0.\)

Phương trình \(2x^2+3x-16=0\) có hai nghiệm thực \(x_1,\,x_2\) (vì \(a\cdot c<0\)).

\(\Rightarrow x_1\cdot x_2=\displaystyle\frac{-16}{2}=-8\).

Vậy \(\log_2|x_1|+\log_2|x_2|=\log_2|x_1\cdot x_2|=\log_2|-8|=3\).

Câu 8:

Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=\mathrm{e}^{3x}\), biết \(F(0)=1\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\, d}x=\displaystyle\int \mathrm{e}^{3x}\mathrm{\, d}x=\displaystyle\frac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+C\).

Do \(F(0)=1\Rightarrow C=\displaystyle\frac{2}{3}\Rightarrow F(x)=\displaystyle\frac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+\displaystyle\frac{2}{3}\).

Câu 9:

Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=1+2x+3x^2\) thỏa mãn \(F(1)=2\). Tính \(F(0)+F(-1)\).

\(F(x)= \displaystyle \int (1+2x + 3x^2)\, \mathrm{d}x = x + x^2 + x^3 +C.\)

Do \(F(1)=2\) nên \(C = -1\). Suy ra \(F(x)= x + x^2 + x^3 -1\), từ đó ta có \(F(0) + F(-1) = -3.\)

Câu 10:

Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f( x )=5x^4-3x^2\) trên tập số thực thỏa mãn \(F(1)=3\).

Ta có \(F(x)=x^5-x^3+C\), do \(F(1)=C=3\) nên \(F(x)=x^5-x^3+3\).

Câu 11:

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(f'(x)=x+\sin x\) và \(f(0)=1\). Tìm \(f(x)\).

Ta có \(f(x)=\displaystyle\int (x+\sin x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^2}{2}-\cos x+C\).

Lại có, \(f(0)=1\Leftrightarrow 1=-1+C\Leftrightarrow C=2\).

Vậy \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{2}-\cos x+2\).

Câu 12:

Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=\sin x+2\cos x\) biết \(F\left( \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\).

Ta có \(\displaystyle \int \limits \left(\sin x+2\cos x\right) \mathrm{d}x=-\cos x+2\sin x+C\).

Do \(F\left( \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\) nên \(C=-2\).

Vậy \(F(x)=2\sin x-\cos x-2 \).

Câu 13:

Cho hàm số \(f(x)=2x+\mathrm{e}^x\). Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(F(0)=0\).

\(F(x)=\displaystyle \int (2x+\mathrm{e}^x)\mathrm{d}x=x^2+\mathrm{e}^x+C\).

\(F(0)=0\Rightarrow 1+C=0 \Rightarrow C = -1\). Vậy \(F(x)=x^2+\mathrm{e}^x-1\).

Câu 14:

\(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{3x+4}{x^2},\left(x\ne 0\right)\), biết rằng \(F(1) = 1\). Tìm \(F(x)\).

Ta có: \(F(x)=\displaystyle \int \displaystyle\frac{3x+4}{x^2}\mathrm{d}x= \displaystyle \int \left(\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^2}\right)\mathrm{d}x=3\ln |x|-\displaystyle\frac{4}{x}+C\).

Mà \(F(1)=1\Leftrightarrow 3\ln 1-\displaystyle\frac{4}{1}+C=1\Leftrightarrow C=5\).

Vậy \(F(x)=3\ln |x|-\displaystyle\frac{4}{x}+5\).

}

Câu 15:

Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=8(1-2x)^3\). Tính \(I=F(1)-F(0)\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle\int\limits 8(1-2x)^3\mathrm{\,d}x=-(1-2x)^4+C\), suy ra \(F(1)-F(0)=0\).

Câu 16:

Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=3^x\ln9\) thỏa mãn \(F(0)=2\). Tính \(F(1)\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle\int\limits 3^x\ln9\mathrm{\,d}x=\ln9\cdot\displaystyle\frac{3^x}{\ln3}+C=2\cdot 3^x+C\) và \(F(0)=2\) nên \(C=0\). Do đó \(F(1)=6\).

Câu 17:

Giả sử hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=4x-1\). Tìm hàm số \(F(x)\) biết đồ thị của hàm số \(y=F(x)\) đi qua gốc tọa độ.

Ta có \(F(x)=\displaystyle\int\limits f(x) \mathrm{\,d}x =2x^2-x+C\).

Vì đồ thị hàm \(y=F(x)\) đi qua gốc tọa độ nên \(C=0\Rightarrow F(x)=2x^2-x\).

Câu 18:

Biết \(\displaystyle\int \left(3x^3+5x^4 \right)\mathrm{\,d}x=A\cdot x^\alpha +B\cdot x^\beta +C\). Tính \(P=A\alpha+B\beta\).

Ta có \(\displaystyle\int \left(3x^3+5x^4 \right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{3}{4}x^4+x^5+C\Rightarrow A=\displaystyle\frac{3}{4};B=1;\alpha=4;\beta=5\). Vậy \(P=A\alpha+B\beta=8\).

Câu 19:

Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac4{1-4x}\) trên khoảng \(\left(-\infty; \displaystyle\frac14\right)\) thỏa mãn \(F(0)=10.\) Tính \(F(-1)\).

Do \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)=\displaystyle\frac4{1-4x}\) nên \(F(x)\) có dạng \(F(x)=-\ln|1-4x|+C.\) Lại có \(F(0)=10\) nên \(C=10.\) Vậy \(F(-1)=-\ln5+10.\)

Câu 20:

Cho \(F(x)=\cos 2x-\sin x+2\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\). Tính \(f(\pi)\).

\(f(x)=F'(x)=-2\sin{2x}-\cos{x}\), suy ra \(f(\pi)=1\).

Câu 21:

Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=1+2x+3x^2\) thỏa mãn \(F(1)=2\). Tính \(F(0)+F(-1)\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle\int\limits (1+2x+3x^2)dx=x+x^2+x^3+c.\)

Mà \(F(1)=2 \Rightarrow c=-1\) hay \( F(x)=x+x^2+x^3-1\).

Do đó \( F(0)+F(-1)=-3.\)

Câu 22:

Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\mathrm{e}^x\), biết \(F(0)=4\). Tìm \(F(x)\).

Do \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)=\mathrm{e}^x\) nên \(F(x)=\mathrm{e}^x+C\). Lại có \(F(0)=4\) nên \(C=3\) hay \(F(x)=\mathrm{e}^x+3\).

Câu 23:

Cho hàm số \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} \). Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) và đồ thị hàm số \(F(x)\) đi qua điểm \( M\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}; 0\right)\). Tìm \(F(x)\).

Ta có \( F(x)=-\cot x+C \).

Vì đồ thị của hàm số \( F(x) \) đi qua điểm \( M\left(\displaystyle\frac{\pi

}{6}; 0\right) \( nên \) 0=-\cot\displaystyle\frac{\pi}{6}+C\Leftrightarrow C=\sqrt{3} \(.

Vậy \( F(x)=\sqrt{3}-\cot x \).

Câu 24:

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x)=3-5\sin x\) và \(f(0)=1\). Tìm \(f(x)\).

Ta có \(f(x)=\displaystyle\int f'(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int (3-5\sin x)\mathrm{\,d}x=3x+5\cos x+C\).

Ta có \(f(0)=1\Leftrightarrow 3\cdot 0+5\cos 0+C=1\Leftrightarrow C=-4\).

Vậy \(f(x)=3x+5\cos x-4\).

Câu 25:

Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\) và \(F(1)=2\). Tính \(F(2)\).

Theo giả thiết, \(F(x)=\ln |x| +C\). Do \(F(1)=2\) nên \(C=2\). Vậy \(F(2)=\ln 2+2\).

Câu 26:

Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\rm{e}}^x + 2x\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \displaystyle\frac{3}{2}\). Tìm \(F(x)\).

Ta có \(\displaystyle \int \left( {\mathrm{e}}^x + 2x \right) \mathrm{\,d}x = \mathrm{e}^x + x^2 + C\).

Do \(F(0) = \displaystyle\frac{3}{2}\) nên \(\mathrm{e}^0 + 0^2 + C = \displaystyle\frac{3}{2} \Leftrightarrow C = \displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy \(F\left( x \right) = \mathrm{e}^x + x^2 + \displaystyle\frac{1}{2}\).

Câu 27:

Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=2x+\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}\) thỏa mãn \(F\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-1\).

Ta có

\(F(x)=-\cot x+x^{2}+C\).

\(F\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-1\Leftrightarrow F\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-\cot\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi^{2}}{16}+C \Leftrightarrow C=-1+\cot\displaystyle\frac{\pi}{4}-\displaystyle\frac{\pi^{2}}{16} \Leftrightarrow C=-\displaystyle\frac{\pi^{2}}{16}\).

Vậy \(F(x)=-\cot x+x^{2}-\displaystyle\frac{\pi^{2}}{16}\) thỏa mãn.

Câu 28:

Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\mathrm{e}^{x}+\sin x\) thỏa mãn \(F(0)=3\). Tìm \(F(x)\).

Ta có

\(F(x)=\displaystyle\int\left(\mathrm{e}^{x}+\sin x\right)\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{x}-\cos x+C.\)

Từ \(F(0)=3\), suy ra \(1-1+C=3\Leftrightarrow C=3\).

Vậy \(F(x)=e^{x}-\cos x+3\).

Câu 29:

Biết \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin x + \cos x \) thỏa mãn \( F(0) = 1 \). Tìm hàm số \( F(x) \).

Ta có \( \displaystyle \int \left ( \sin x + \cos x \right ) \mathrm{\,d}x = - \cos x + \sin x + C \).

Do \(F(0) = 1 \Rightarrow C = 2 \).

Vậy \( F(x) = - \cos x + \sin x + 2 \).

Câu 30:

Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\mathrm{e}^x+2x\) thỏa mãn \(F(0)=\displaystyle\frac{3}{2}\). Tìm \(F(x)\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int (e^x+2x)\mathrm{\,d}x=e^x+x^2+C\).

Do \(F(0)=\displaystyle\frac{3}{2}\Rightarrow 1+C=\displaystyle\frac{3}{2}\Rightarrow C=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Từ đó ta có \(F(x)=e^x+x^2+\displaystyle\frac{1}{2}\).

Câu 31:

Cho hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)=\mathrm{e}^x-1\) và \(F(0)=3\). Tìm \(F(x)\).

Ta có

\(F(x)=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\left(\mathrm{e}^x-1\right)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x-x+C\).

Mà \(F(0)=3\Rightarrow \mathrm{e}^0-0+C=3\Rightarrow C=2\).

Vậy \(F(x)=\mathrm{e}^x-x+2\).

Câu 32:

Cho hàm số \( f(x) \) xác định trên \(\mathbb{R}\), thoả mãn \( f'(x) = 2x - 1 \) và \( f(3) = 5 \). Giả sử phương trình \( f(x) = 999 \) có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\). Tính tổng \(S = \log |x_ 1| + \log|x_2|\).

Ta có \( f'(x) = 2x - 1 \Rightarrow f(x) = \displaystyle \int (2x - 1) \mathrm{\, d}x = x^2 - x + C\). Vì \( f(3) = 5 \Rightarrow C = - 1 \), ta được \( f(x) = x^2 - x - 1 \).

Ta thấy \( f(x) = 999 \Leftrightarrow x^2 - x - 1000 = 0. \quad (1)\)

Từ \( (1) \), theo Vi-ét ta có \( x_1 \cdot x_2 = - 1000 \Rightarrow |x_1| \cdot |x_2| = 10^3 \Leftrightarrow \log \left ( |x_1| \cdot |x_2| \right ) = \log 10^3 \Rightarrow S = 3 \).

Câu 33:

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((0. +\infty)\). Biết rằng, \(f'(x) = 2x + \displaystyle\frac{1}{x^2}\) với mọi \(x \in (0. +\infty)\) và \(f(1) = 1\). Tính giá trị \(f(4)\).

Ta có \(\displaystyle f(x)=\int f'(x)\mathrm{\,d}x=\int \left (2x+\frac{1}{x^2}\right )\mathrm{\,d}x= x^2-\displaystyle\frac{1}{x}+C \).

Mà \(f(1)=1\) nên \(C=1\). Vậy \(f(4)=\displaystyle\frac{67}{4}\).

Câu 34:

Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=2x-e^x\), biết \(F(0)=-2\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x=\int \left(2x-e^x\right)\mathrm{\,d}x=x^2-e^x+C\).

Vì \(F(0)=-2\Leftrightarrow -1+C=-2\Leftrightarrow C=-1\Rightarrow F(x)=x^2-e^x-1\).

Câu 35:

Cho \(G(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(g(x)=\mathrm{e}^{x}\) thoả mãn \(G(0)=-3\). Tính \(G(1)\).

\(\displaystyle\int \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{x}+C.\)

\(G(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(g(x)=\mathrm{e}^{x}\) nên có dạng \(G(x)=\mathrm{e}^{x}+C\).

Vì \(G(0)=-3\) nên \(\mathrm{e}^{0}+C=-3\) hay \(1+C=-3\), suy ra \(C=-4\).

Do đó \(G(x)=\mathrm{e}^{x}-4\). Vậy \(G(1)=\mathrm{e}-4\).

Câu 36:

Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=\cos x\) thỏa mãn \(F(0)+F\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle \int \cos x=\sin x+C\).

Theo đề ta có \(F(0)+F\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\Leftrightarrow \sin 0+C+\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+C=0\Leftrightarrow 2C+1=0\Leftrightarrow C=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy \(F(x)=\sin x-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Câu 37:

Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sin^{2}x}\) thỏa mãn \(F\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=1\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle\displaystyle\frac{1}{\sin^{2}x}\mathrm{\,d}x=-\cot x+C\).

Theo đề, \(F\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=1\Leftrightarrow -\cot \displaystyle\frac{\pi}{2}+C=1\Leftrightarrow C=1\).

Vậy \(F(x)=-\cot x+1\).

Câu 38:

Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=\sin x\), biết \(F(2 \pi)=0\).

\(\displaystyle\int \sin x \mathrm{d} x=-\cos x+C\).

\(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sin x\) nên có dạng \(F(x)=-\cos x+C\).

Vì \(F(2 \pi)=0\) nên \(-\cos 2 \pi+C=0\) hay \(-1+C=0\), suy ra \(C=1\).

Vậy \(F(x)=1-\cos x\).

Câu 39:

Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\tan^2x\). Tính giá trị của \(F\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)-F(0)\).

Ta có \(F\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)-F(0)=\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}}f(x)\mathrm{\,d}x=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}}\tan^2x\mathrm{\,d}x=\left(\tan x-x\right)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{3}}=\sqrt3-\displaystyle\frac{\pi}{3}.\)

Câu 40:

Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=\cot^2x,\) biết \(F\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=0 \).

\(\displaystyle\int\limits \cot^2x\mathrm{\, d}x = \int\limits \left(\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}-1 \right)\mathrm{\, d}x=-\cot x-x+C. \)

Vì \(F\left({\displaystyle\frac{\pi}{4}}\right)=0 \Leftrightarrow -1-\displaystyle\frac{\pi}{4}+C=0 \Leftrightarrow C=\displaystyle\frac{\pi}{4}+1\).

Câu 41:

Cho \(f(x)=\displaystyle\frac{4m}{\pi}+\sin^2 x\). Gọi \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\). Tìm \(m\) để \(F(0)=1\) và \(F\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{8}\).

\(F(x)=\displaystyle\frac{4m}{\pi}x+\displaystyle \int \displaystyle\frac{1-\cos2x}{2}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{4m}{\pi}x+\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin2x+C\).

\(\begin{cases}F(0)=1\\F\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\end{cases}=\displaystyle\frac{\pi}{8} \Leftrightarrow \begin{cases}C=1\\m+\displaystyle\frac{\pi}{8}-\displaystyle\frac{1}{4}+C=\displaystyle\frac{\pi}{8}\end{cases}\Rightarrow m=-\displaystyle\frac{3}{4}\).

Câu 42:

Tìm hàm số \(f(x)\), biết rằng \(f'(x)=4 \sqrt{x}-x\) và \(f(4)=0\).

Ta có \(\displaystyle f(x)= \int f'(x) \mathrm{\,d}x = \int (4\sqrt{x}-x) \mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{8x \sqrt{x}}{3}-\displaystyle\frac{x^2}{2} + C\).

Do \(f(4) = 0\) nên ta có \(\displaystyle\frac{64}{3}-8 + C = 0 \Leftrightarrow C = - \displaystyle\frac{40}{3}\). Vậy \(f(x)=\displaystyle\frac{8x \sqrt{x}}{3}-\displaystyle\frac{x^2}{2}-\displaystyle\frac{40}{3}\).

Câu 43:

Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x-1}{x^2}\), biết đồ thị hàm số \(y=F(x)\) đi qua điểm \((1;-2)\).

Ta có

\(F(x)=\displaystyle\int \displaystyle\frac{x-1}{x^2}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \left(\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{\,d}x=\ln \left|x\right|+\displaystyle\frac{1}{x}+C\)

Theo giả thiết \(F(1)=-2 \Leftrightarrow \ln 1+\displaystyle\frac{1}{1}+C=-2 \Leftrightarrow C=-3\).

Suy ra \(F(x)=\ln \left|x\right|+\displaystyle\frac{1}{x}-3\).

Câu 44:

Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=2\cos x + \displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\) thỏa mãn điều kiện \(F\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = -1\).

Ta có \(F(x)= \displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle \int \left(2\cos x + \displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\right)\mathrm{\,d}x = 2\sin x -\cot x + C\)

Theo đề bài có\[F\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = -1 \Leftrightarrow 2\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) -\cot \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) + C =-1 \Leftrightarrow C = -\sqrt{2}.\]

Vậy \(F(x) = 2\sin x -\cot x -\sqrt{2}\).

Câu 45:

Cho \(f\left(x\right)=\left(ax^2+bx+c\right)\sqrt{2x-1}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left(x\right)=\displaystyle\frac{10x^2-7x+2}{\sqrt{2x-1}}\) trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};+\infty\right)\). Tính \(a+b+c\).

Ta có \(g\left(x\right)=f'\left(x\right)=\left(2ax+b\right)\sqrt{2x-1}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\left(ax^2+bx+c\right)\)

\(\Leftrightarrow g\left(x\right)=\displaystyle\frac{\left(2ax+b\right)\left(2x-1\right)+\left(ax^2+bx+c\right)}{\sqrt{2x-1}}=\displaystyle\frac{5a{x^2}+\left(3b-2a\right)x+c-b}{\sqrt{2x-1}}\).

Theo bài ra có \(g\left(x\right)=\displaystyle\frac{10x^2-7x+2}{\sqrt{2x-1}}\) nên \(\displaystyle\frac{5ax^2+\left(3b-2a\right)x+c-b}{\sqrt{2x-1}}=\displaystyle\frac{10x^2-7x+2}{\sqrt{2x-1}}\).

Suy ra \(\left\{\begin{aligned}& 5a=10\\& 3b-2a=-7\\ & c-b=2\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}& a=2\\ & b=-1\\ & c=1.\\ \end{aligned}\right.\)

Vậy \(a+b+c=2\).

Câu 46:

Biết hàm số \(F(x)=ax^3+(a+b)x^2+(2a-b+c)x+1\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=3x^2+6x+2\). Tính tổng \(a+b+c\).

Ta có \(F'(x)=f(x),\forall x\in\mathbb R\Leftrightarrow 3ax^2+2(a+b)x+(2a-b+c)=3x^2+6x+2,\forall x\in\mathbb R\).

Suy ra \(\begin{cases} 3a=3\\ 2(a+b)=6\\ 2a-b+c=2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=2 \\ c=2\end{cases}\Rightarrow a+b+c=5\).

Câu 47:

Cho hàm số \(F(x)=mx^3+(3m+2)x^2-4x+3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=3x^2+10x-4\). Tìm giá trị của \(m\).

Ta có \(F'(x)=3mx^2+2(3m+2)x-4\). Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) thì \(\)3mx^2+2(3m+2)x-4=3x^2+10x-4,\ \forall x\in\mathbb{R}.\(\)

Đồng nhất hai vế, thu được \(m=1\).

Câu 48:

Cho \(x>0\). Tìm hàm số \(f(x)\) biết rằng \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{x}+\ln x+C\).

Vì \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{x}+\ln x+C\) nên

\[f(x)=\left(\displaystyle\frac{1}{x}+\ln x+C\right)'=-\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x}.\]

Câu 49:

Tìm các giá trị thực của \(a\), \(b\) để \(F(x)=(a\cos x+b\sin x)\mathrm{e}^x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\mathrm{e}^x\cos x\).

Ta có

\begin{eqnarray*}& \displaystyle\int\limits \mathrm{e}^x\cos x \mathrm{\,d}x& =\displaystyle\int\limits \cos x \mathrm{\,d}(\mathrm{e}^x)\\&& = \mathrm{e}^x\cos x-\displaystyle\int\limits (-\sin x) \mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x\\&& = \mathrm{e}^x\cos x+\displaystyle\int\limits \sin x \mathrm{\,d}(\mathrm{e}^x)\\&& =\mathrm{e}^x\cos x+\mathrm{e}^x\sin x-\displaystyle\int\limits \mathrm{e}^x\cos x \mathrm{\,d}x \end{eqnarray*}

\(\Rightarrow \displaystyle\int\limits \mathrm{e}^x\cos x \mathrm{\,d}x =\displaystyle\frac{\mathrm{e}^x\cos x+\mathrm{e}^x\sin x}{2}\Rightarrow a=b=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Câu 50:

Biết \(F(x)=(ax^2+bx+c)\sqrt{x}\ (a,b,c\in\mathbb{R})\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{\sqrt{x}}\) trên khoảng \((0; +\infty)\). Tính tổng \(S=5a+4b+3c\).

Do \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) nên \(F'(x)=f(x), \forall x\in (0; +\infty)\).

Ta có

\begin{align*}F'(x)&=(2ax+b)\sqrt{x}+\displaystyle\frac{ax^2+bx+c}{2\sqrt{x}}&=\displaystyle\frac{5ax^2+3bx+c}{2\sqrt{x}}\end{align*}

Vì \(F'(x)=f(x), \forall x\in (0; +\infty)\), nên \(\displaystyle\frac{5ax^2+3bx+c}{2\sqrt{x}}=\displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{\sqrt{x}}, \forall x\in (0;+\infty)\).

Hay \(5ax^2+3bx+c= 4x^2-6x+4, \forall x\in (0;+\infty).\)

Đồng nhất các hệ số, được \(\begin{cases}a=\displaystyle\frac{4}{5}\\ b=-2\\ c=4\end{cases}\).

Vậy \(S=5\cdot \displaystyle\frac{4}{5}+4\cdot (-2)+3\cdot 4=8\).

Câu 51:

Cho hai hàm số \(F(x)=(x^2+ax+b)\mathrm{e}^{-x}\) và \(f(x)=(-x^2+3x+6)\mathrm{e}^{-x}\). Tìm \(a\) và \(b\) để \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\).

\(f(x)=F'(x)= (2x+a)e^{-x}-(x^2+ax+b)e^{-x}=(-x^2+(2-a)x+(a-b)e^{-x}\), ta có

\(\begin{cases}2-a=3\\a-b=6\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=-1 \\ b=-7.\end{cases}\)

Câu 52:

Biết hàm số \(f(x)=x(1-x)\mathrm{e}^{-x}\) có một nguyên hàm là \(F(x) = \left (ax^2+bx+c\right )\mathrm{e}^{-x}\). Tính \(A=2a+b+3c\).

Ta có

\begin{align*}F'(x)=f(x) &\Leftrightarrow \left((ax^2+bx+c)\mathrm{e}^{-x}\right)'= x(1-x)\mathrm{e}^{-x} &\Leftrightarrow \left (-ax^2 + (2a-b)x+b-c\right )\mathrm{e}^{-x} = \left (-x^2+x\right )\mathrm{e}^{-x}.\end{align*}

Suy ra \[\begin{cases}-a=-1\\2a-b=1\\b-c=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=1\\b=1\\c=1.\end{cases}\]

Vậy \(A=2a+b+3c=6\).

Câu 53:

Cho \(F(x)=\left(ax^2+bx+c\right)\sqrt{2x-1}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\displaystyle\frac{4x^2}{\sqrt{2x-1}}\) trên \(\left( \displaystyle\frac{1}{2};+\infty \right)\). Tính \(S=a+b+c\).

Theo giả thiết ta có

\[\displaystyle\frac{4x^2}{\sqrt{2x-1}}=F'(x)=\displaystyle\frac{5ax^2+(3b-2a)x-b+c}{\sqrt{2x-1}}.\]

Đồng nhất hệ số ta được \(\begin{cases}5a=4\\ 3b-2a=0\\ -b+c=0\end{cases}\), suy ra \(a=\displaystyle\frac{4}{5}\), \(b=c=\displaystyle\frac{8}{15}\). Vậy \(S=\displaystyle\frac{28}{15}\).

Câu 54:

Biết \(\displaystyle\int {\left(\sin 2x-\cos 2x\right)}^2 \mathrm{\,d}x=x+\displaystyle\frac{a}{b}\cos 4x+C\), với \(a\), \(b\) là các số nguyên dương, \(\displaystyle\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(C\in \mathbb{R}\). Tính giá trị của \(a+b\).

Ta có \(\displaystyle\int {\left(\sin 2x-\cos 2x\right)}^2 \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \left(1-2\sin 2x\cos 2x\right) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \left(1-\sin 4x\right) \mathrm{\,d}x=x+\displaystyle\frac{1}{4}\cos 4x+C\).

Mà \(\displaystyle\int {\left(\sin 2x-\cos 2x\right)}^2 \mathrm{\,d}x=x+\displaystyle\frac{a}{b}\cos 4x+C\) nên \(\left\{\begin{aligned}&a=1 \\&b=4\end{aligned}\right. \Rightarrow a+b=5\).

Câu 55:

Biết \(F(x) = \left( ax^2 + bx + c\right)\cdot \mathrm{\,e}^x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left( x^2 + 5x + 5\right)\mathrm{\,e}^x\). Tính giá trị của \(2a + 3b + c\).

Ta có \(F'(x) = \left( ax^2 + bx + c\right)\mathrm{\,e}^x + \left( 2ax + b\right)\mathrm{\,e}^x = \left( ax^2 + \left( 2a+b\right)x + b + c\right)\mathrm{\,e}^x\).

Từ giả thiết ta có hệ

\(\begin{cases}a = 1\\ 2a + b = 5\\ b + c = 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1\\ b = 3\\ c = 2.\end{cases}\)

Vậy \(2a + 3b + c = 13\).

Câu 56:

Cho hàm số \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, (a, b, c\in\mathbb{R}, a\neq 0)\) có đồ thị \((C)\). Biết đồ thị \((C)\) đi qua \(A(1 ; 4)\) và đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) cho bởi hình vẽ. Tính giá trị \(f(3)-2f(1)\).

Image

Đạo hàm \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\). Từ hình vẽ ta suy ra đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) đi qua \((0;2)\) nên \(c=2\), và có trục đối xứng \(x=0\) nên \(b=0\). Đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) đi qua \((1;5)\) nên \(a=1\).

Từ đó suy ra \(f'(x)=3x^2+2\) và \(f(x)=\displaystyle\int\limits (3x^2+2) \mathrm{\,d}x= x^3+2x+C\).

Do đồ thị hàm số \(y=f(x)\) đi qua \(A(1;4)\) nên \(C=1\).

Vậy \(f(x)=x^3+2x+1\), suy ra \(f(3)-2f(1)=26\).

Dạng 3. Ứng dụng thực tế

Câu 1:

Kí hiệu \(h(x)\) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao \(2\) m. Trong \(10\) năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ \(h'(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\) (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \((1\leq x\leq 11)\).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao \(3\) m?

a) Ta có \(h(x)=2+\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{x}\mathrm{\,d}x=2+\ln|x|+C\).

Sau năm đầu tiên cây cao \(2\) m nên ta có \(h(1)=2\Leftrightarrow 2+\ln 1+C=2\Rightarrow C=0\).

Vậy chiều cao của cây sau \(x\) năm (\(1\leq x\leq 11\)) là \(h(x)=2+\ln |x|=2+\ln x\) (m).

b) Ta có \(2+\ln x=3\Leftrightarrow \ln x=1\Leftrightarrow x=\mathrm{e}\approx 2{,}72\) (năm).

Câu 2:

Khi được thả từ độ cao \(20\) m, một vật rơi với gia tốc không đổi \(10\) m/s\(^{2}\). Sau khi rơi được \(t\) giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?

Kí hiệu \(v(t)\) là tốc độ của vật, \(s(t)\) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm \(t\) giây kể từ khi vật bắt đầu rơi.

Vì \(a(t)=v'(t)\) nên

\[v(t)=\displaystyle \int a(t)\mathrm{\,d}t=\int 10\mathrm{\,d}t=10t+C.\]

Vì \(v(0)=0\) nên \(10\cdot 0+C=0\) hay \(C=0\). Vậy \(v(t)=10t\) (m/s).

Vì \(v(t)=s'(t)\) nên \(s(t)=\displaystyle\int v(t)\mathrm{\,d}t=\int 10t\mathrm{\,d}t=5t^2+C\).

Vì \(s(0)=0\) nên \(5\cdot 0^2+C=0\) hay \(C=0\). Vậy \(s(t)=5t^2\) (m).

Vật rơi từ độ cao \(20\) m nên \(s(t)\leq 20\), suy ra \(0\leq t\leq 2\).

Vậy sau khi vật rơi được \(t\) giây \((0\leq t\leq 2)\) thì vật có tốc độ \(v(t)=10\) m/s và đi được quãng đường \(s(t)=5t^2\) mét.

Câu 3:

Một ô tô đang chạy với tốc độ \(19\) m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ \(v(t)=19-2t\) (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau \(1\) giây, \(2\) giây, \(3\) giây là bao nhiêu?

Gọi \(s(t)\) là quãng đường ô tô đi được tại thời điểm \(t\) (giây).

Ta có \(s(t)=\displaystyle \int v(t)\mathrm{\,d}t=\int (19-2t)\mathrm{\,d}t=19t-t^2+C\).

Tại thời điểm đạp phanh thì \(s=0\) và \(t=0\) nên ta có \(0=19\cdot 0-0^2+C\Leftrightarrow C=0\).

Do đó ta có \(s(t)=19t-t^2\).

Quãng đường ô tô đi được sau \(1\) giây là \(s(1)=19\cdot 1-1^2=18\) mét.

Quãng đường ô tô đi được sau \(2\) giây là \(s(2)=19\cdot 2-2^2=34\) mét.

Quãng đường ô tô đi được sau \(3\) giây là \(s(3)=19\cdot 3-3^2=48\) mét.

Câu 4:

Cây cà chua khi trồng có chiều cao \(5\) cm. Tốc độ tăng trưởng của cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số \(v(t)=-0{,}1t^3+t^2\), trong đó \(t\) tính theo tuần, \(v(t)\) tính bằng centimét/tuần. Gọi \(h(t)\) (tính bằng centimét) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ \(t\).

a) Viết công thức xác định hàm số \(h(t)\) (\(t\geq 0\)).

b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao nhiêu lâu?

c) Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu?

d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua đó sẽ cao bao nhiêu?

a) Ta có \(h(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(v(t)\),

\(\displaystyle\int{v(t)}\,{\mathrm{d}t} = \displaystyle\int{\left(-0{,}1t^3+t^2\right)}\,{\mathrm{d}t} = -\displaystyle\frac{0{,}1t^4}{4}+\displaystyle\frac{t^3}{3}+C,\)

Suy ra \(h(t)=-\displaystyle\frac{0{,}1t^4}{4}+\displaystyle\frac{t^3}{3}+C\).

Mà cây cà chua khi trồng cao \(5\) cm tại thời điểm \(t=0\) nên \(h(t)=5 \Leftrightarrow C=5\).

Vậy công thức xác định hàm số \(h(t)\) là \(h(t)=-\displaystyle\frac{0{,}1t^4}{4}+\displaystyle\frac{t^3}{3}+5\) (\(t\geq 0\)).

b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó là khoảng thời gian \(t\geq 0\) thỏa mãn \(v(t)>0\).

Ta có \(v(t)>0 \Leftrightarrow t^2(-0{,}1t+1)>0 \Leftrightarrow t< 10\).

Vậy thời gian sinh trưởng của cây kéo dài \(10\) tuần.

c) Ta có \(h'(t)=v(t)\), suy ra bảng biến thiên của hàm số \(h(t)\) như sau

Image

Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là khoảng \(88{,}3\) cm.

d) Ta xác định thời điểm mà \(v(t)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có \(v'(t)=-0{,}3t^2+2t = t(-0{,}3t+2)\), \(v'(t)=0\Leftrightarrow \hoac{& t=0 \\ & t=\displaystyle\frac{20}{3}.}\)

Bảng biến thiên

Image

Thời điểm cây phát triển nhanh nhất, tức là \(v(t)\) đạt giá trị lớn nhất thì \(t=\displaystyle\frac{20}{3}\).

Vào thời điểm \(t=\displaystyle\frac{20}{3}\) tuần, chiều cao của cây cà chua là \(h\left(\displaystyle\frac{20}{3}\right) = \displaystyle\frac{4405}{81} \approx 54\) cm.

Câu 5:

Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm \(500\) vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi \(P(t)\) là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm \(t\), trong đó \(t\) tính theo ngày (\(0\leq t\leq 10\)). Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số \(P'(t)=k\sqrt{t}\), trong đó \(k\) là hằng số. Sau \(1\) ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành \(600\) vi khuẩn. Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau \(7\) ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Với \(0< t\leq 10\), ta có \(\displaystyle\int{P'(t)}\,{\mathrm{d}t} = \displaystyle\int{k\sqrt{t}}\,{\mathrm{d}t} = k\displaystyle\int{t^{\tfrac{1}{2}}}\,{\mathrm{d}t} = k\cdot \displaystyle\frac{t^{\tfrac{1}{2}+1}}{\displaystyle\frac{1}{2}+1}+C = \displaystyle\frac{2kt\sqrt{t}}{3}+C\).

Vì \(P(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(P'(t)\) trên \((0;10]\) nên \(P(t)=\displaystyle\frac{2kt\sqrt{t}}{3}+C\) với \(t\in (0;10]\).

Mặt khác hàm số \(P(t)\) liên tục trên \([0;10]\) và \(P(0)=500\) (tại thời điểm ban đầu, quần thể vi khuẩn có \(500\) vi khuẩn) nên

\(\lim \limits_{t \to 0^+} P(t)=P(0) \Leftrightarrow C=500.\)

Suy ra \(P(t)=\displaystyle\frac{2kt\sqrt{t}}{3}+500\).

Mặt khác, sau \(1\) ngày số lượng vi khuẩn là \(600\) vi khuẩn nên \(P(1)=600 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2k}{3}+500=600 \Leftrightarrow 2k=300\). Suy ra \(P(t)=100t\sqrt{t}+500\).

Vậy số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau \(7\) ngày là \(P(7)=700\sqrt{7}+500 \approx 2352\) vi khuẩn.

Câu 6:

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như \textit{Hình 1}, có vận tốc tức thời cho bởi \(v(t)=4\cos{t}\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(v(t)\) tính bằng centimét/giây. Tại thời điểm \(t=0\), con lắc ở vị trí cân bằng. Lập phương trình chuyển động của con lắc đó.

Image

Giả sử con lắc chuyển động theo phương trình \(x=x(t)\), suy ra \(v(t)=x'(t)\). Do đó \(x(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t)\).

Ta có \(\displaystyle\int{v(t)}\,{\mathrm{d}t} = \displaystyle\int{4\cos{t}}\,{\mathrm{d}t} = 4\displaystyle\int{\cos{t}}\,{\mathrm{d}t} = 4\sin{t}+C\).

Suy ra \(x(t)=4\sin{t}+C\).

Tại thời điểm \(t=0\), con lắc ở vị trí cân bằng nên \(x(t)=0\), suy ra \(4\sin{0}+C=0 \Leftrightarrow C=0\).

Vậy phương trình dao động của con lắc là \(x(t)=4\sin{t}\).

Câu 7:

Một xe ô tô đang chạy với tốc độ \(72\) km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó \(80\) m. Người lái xe phản ứng một giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ \(v(t)=-10t+30\) m/s, trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi \(s(t)\) là quãng đường xe ô tô đi được trong \(t\) giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Lập công thức biểu diễn hàm số \(s(t)\).

b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là bao nhiêu giây?

c) Quãng đường ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi ô tô dừng hẳn là bao nhiêu mét? Xe ô tô liệu có xảy ra tai nạn do va chạm với chướng ngại vật nói trên hay không?

a) Ta đã biết, quãng đường \(s(t)\) xe ô tô đi được trong \(t\) giây là một nguyên hàm của hàm \(v(t)\).

Do \(\displaystyle\int{v(t)}\,{\mathrm{d}t} = \displaystyle\int{(-10t+30)}\,{\mathrm{d}t} = -5t^2+30t+C\) nên ta có \(s(t)=-5t^2+30t+C\) với \(C\) là hằng số.

Mặt khác, do \(s(0)=0\) nên \(C=0\). Suy ra \(s(t)=-5t^2+30t\).

b) Xe ô tô dừng hẳn khi \(v(t)=0 \Leftrightarrow -10t+30=0 \Leftrightarrow t=3\).

Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là \(3\) giây.

c) Vận tốc di chuyển của xe trước khi đạp phanh là \(72\) km/h cũng là tốc độ \(20\) m/s.

- Từ lúc phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi người lái xe đạp phanh khẩn cấp là \(1\) giây, khi đó xe đi được quãng đường là \(20\) m.

- Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là \(3\) giây, khi đó xe ô tô đi được quãng đường là \(s(3)=-5\cdot 3^2+30\cdot 3 = 45\) m.

Vậy quãng đường xe ô tô đi được kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi ô tô dừng hẳn là \(20+45=65\) m.

Do \(65< 80\) nên xe ô tô dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường. Vì thế, tai nạn không xảy ra đối với xe ô tô đó.

Câu 8:

Mực nước trong hồ chứa của một nhà máy điện thủy triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra khi thủy triều xuống và nước chảy vào khi thủy triều lên \textit{(Hình 2)}. Tốc độ thay đổi mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số \(h'(t)=\displaystyle\frac{1}{216}\left(5t^2-120t+480\right)\), trong đó \(t\) tính bằng giờ (\(0\leq t \leq 24\)), \(h'(t)\) tính bằng mét/giờ. Tại thời điểm \(t=0\), mực nước trong hồ chứa là \(6\) m.

Image

Image

a) Viết công thức xác định hàm số \(h(t)\).

b) Mực nước trong hồ chứa cao nhất và thấp nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét)?

c) Mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi nào? Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là bao nhiêu?

a) Ta có:

\begin{eqnarray*}\displaystyle\int{h'(t)}\,{\mathrm{d}t} &=& \displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{216}\left(5t^2-120t+480\right)}\,{\mathrm{d}t} &=& \displaystyle\frac{5}{216}\displaystyle\int{t^2}\,{\mathrm{d}t} - \displaystyle\frac{120}{216}\displaystyle\int{t}\,{\mathrm{d}t} + \displaystyle\frac{480}{216}\displaystyle\int{}\,{\mathrm{d}t} &=& \displaystyle\frac{5}{648}t^3-\displaystyle\frac{5}{18}t^2+\displaystyle\frac{20}{9}+C.\end{eqnarray*}

Suy ra \(h(t) = \displaystyle\frac{5}{648}t^3-\displaystyle\frac{5}{18}t^2+\displaystyle\frac{20}{9}t+C\).

Tại thời điểm \(t=0\), mực nước trong hồ là \(6\) m nên \(h(0)=6\Leftrightarrow C=6\).

Vậy mực nước trong hồ được cho bởi hàm số \(h(t)=\displaystyle\frac{5}{648}t^3-\displaystyle\frac{5}{18}t^2+\displaystyle\frac{20}{9}t+6\, (0\leq t\leq 24).\)

b) Để xác định mực nước trong hồ chứa cao nhất và thấp nhất ta tìm \(\max\limits_{[0;24]}h(t)\) và \(\min\limits_{[0;24]}h(t)\).

Ta có \(h'(t)=0\Leftrightarrow 5t^2-120t+480=0 \Leftrightarrow t=12-4\sqrt{3}\) hoặc \(t=12+4\sqrt{3}.\)

Bảng biến thiên

Image

Suy ra \(\min\limits_{[0;24]} h(t)=h(12+4\sqrt{3}) \approx 0{,}9\), \(\max\limits_{[0;24]} h(t)=h(12-4\sqrt{3}) \approx 11{,}1\).

Vậy mực nước trong hồ chứa cao nhất khoảng \(11{,}1\) m và thấp nhất khoảng \(0{,}9\) m.

c) Để tìm mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi nào ta tìm \(\max\limits_{[0;24]}h'(t)\).

Ta có \(h''(t)=\displaystyle\frac{1}{216}\left(10t-120\right)\), \(h''(t) =0\Leftrightarrow t=12\).

Bảng biến thiên

Image

Suy ra \(\max\limits_{[0;24]} h'(t)=\displaystyle\frac{20}{9}\) tại \(t=0\), \(t=24\).

Vậy mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi \(t=0\), \(t=24\). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là \(\displaystyle\frac{20}{9}\) m/h.

Câu 9:

Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau \(6\) năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt \(6\) năm được tính xấp xỉ bởi công thức \(h'(t)=1{,}5t+5\), trong đó \(h(t)\) (cm) là chiều cao của cây khi kết thúc \(t\) (năm). Cây con khi được trồng cao \(12\) cm.

a) Tìm công thức chỉ chiều cao của cây sau \(t\) năm.

b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét?

a) Chiều cao của cây sau \(t\) năm được xác định bởi

\(h(t)=\displaystyle\int h'(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int(1{,}5t+5)\mathrm{\,d}t=0{,}75t^2+5t+C.\)

Vì \(h(0)=12\) nên \(C=-12\).

Vậy \(h(t)=0{,}75t^2+5t+12\).

b) Cây được bán sau \(6\) năm trồng nên khi đó cây cao \(h(6)=0{,}75\cdot6^2+5\cdot6+12=69\) cm.

Câu 10:

Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số \(B'(t)=20t^3-300t^2+1\,000t,\) trong đó \(t\) tính bằng giờ (\(0\le t\le15\)), \(B'(t)\) tính bằng khách/giờ. Sau một giờ, \(500\) người đã có mặt tại lễ hội.

a) Viết công thức hàm số \(B(t)\) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với \(0\le t\le15\).

b) Sau \(3\) giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?

c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?

d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?

a) Công thức hàm số biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với \(0\le t\le15\) là

\[B(t)=\displaystyle\int B'(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int(20t^3-300t^2+1\,000t)\mathrm{\,d}t=5t^4-100t^3+500t^2+C.\]

Vì \(B(1)=500\) nên \(5\cdot1^4-100\cdot1^3+500\cdot1^2+C=500\Leftrightarrow C=95\).

Vậy \(B(t)=5t^4-100t^3+500t^2+95\).

b) Sau \(3\) giờ số khách tham dự lễ hội là \(B(3)=2\,300\) (khách).

c) Ta có \(B'(t)=0\Leftrightarrow t=0\); \(t=10\) hoặc \(t=5.\)

Vì \(B(0)=95\); \(B(5)=3\,220\); \(B(10)=95\); \(B(15)=28\,220\) nên số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là \(28\,220\) (khách).

d) Ta có \(B''(t)=60t^2-600t+1\,000=0\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{15\pm5\sqrt3}3\).

Vì \(B'(0)=0\); \(B'(15)=15\,000\); \(B'\left(\displaystyle\frac{15+5\sqrt3}3\right)\approx-962\); \(B'\left(\displaystyle\frac{15-5\sqrt3}3\right)\approx962\) nên tại thời điểm \(15\) giờ sau khi khai tiệc thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất.

Câu 11:

Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi \(m(t)\) là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ \(t\) (kể từ khi khởi công dự án). Gọi \(M(t)\) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ \(t\) (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng \(M'(t)=m(t)\).

Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong \(400\) ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số \(m(t)=800-2t,\) trong đó \(t\) tính theo ngày \((0\le t\le400)\), \(m(t)\) tính theo người. Đơn giá cho một ngày công lao động là \(400\,000\) đồng. Tính chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành).

Ta có \(M(t)=\displaystyle\int m(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int(800-2t)\mathrm{\,d}t=800t-t^2+C\).

Vì \(M(0)=0\) nên \(C=0\), khi đó \(M(t)=800t-t^2\).

Chi phí nhân công lao động của công trình đó là

\(M(400)\cdot400\,000=160\,000\cdot400\,000=64\,000\,000\text{ (đồng)} = 64\text{ (triệu đồng).}\)