Đáp án: Nếu \(a\) chia hết cho 9 thì \(a\) chia hết cho 3

Lời giải:

Nếu \(a\ge b\) thì \(a^2\ge b^2\) là một mệnh đề sai vì, chẳng hạn \(a=-1\), \(b=-2\) thì \(b\le a\) nhưng \(a^2=1\), \(b^2=4\) và \(a^2\le b^2\).

Khẳng định "Nếu em chăm chỉ thì em thành công" chưa là mệnh đề vì chưa khẳng định được tính đúng, sai.

Mệnh đề "Nếu một tam giác có một góc bằng \(60^{\circ} \) thì tam giác đó đều" là mệnh đề sai vì chưa đủ điều kiện để khẳng định một tam giác là đều.

"Nếu \(a\) chia hết cho 9 thì \(a\) chia hết cho 3" là mệnh đề đúng mà ta đã biết khi học về các dấu hiệu chia hết.

Đáp án: \( 7 \) là một số nguyên số

Lời giải:

\( 7 \) là một số nguyên số là một mệnh đề đúng.

Đáp án: \(\sqrt{3}\) không phải là số vô tỷ

Lời giải:

Phủ định của mệnh đề "\(\sqrt{3}\) là số vô tỷ"\ là "\(\sqrt{3}\) không phải là số vô tỷ".

Đáp án: \(\overline{P}\): Có ít nhất một học sinh khối \(10\) trường em không biết bơi

Lời giải:

Phủ định của mệnh đề \(P\): "Tất cả các học sinh khối \(10\) của trường em đều biết bơi" là mệnh đề: \(\overline{P}\): "Có ít nhất một học sinh khối \(10\) trường em không biết bơi".

Đáp án: Nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành

Lời giải:

Nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành có mệnh đề đảo là mệnh đề đúng.

Đáp án: Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau

Lời giải:

Ta có "Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau".

Đáp án: Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên \(180\) cm

Lời giải:

Mệnh đề "\(\forall x\in X\), \(x\) cao trên \(180\) cm" khẳng định: "Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên \(180\) cm.".

Đáp án: \(\exists n\in \mathbb{N}\), \(n^2+1\) chia hết cho \(4\)

Lời giải:

+) \(\exists n\in \mathbb{N}\),\, \(n^2+11n+2\) chia hết cho \(11\) là mệnh đề đúng với \(n=3\).

+) Tồn tại số nguyên tố chia hết cho \(5\) là mệnh đề đúng.

+) \(\exists x\in \mathbb{Z}\), \(2x^2-8=0\) là mệnh đề đúng với \(x=2\).

+) \(\exists n\in \mathbb{N}\), \(n^2+1\) chia hết cho \(4\) là mệnh đề sai. Thật vậy

- Với \(n=2k, k\in\mathbb{N}\) thì \(n^2+1=4k^2+1\) không chia hết cho \(4\).

- Với \(n=2k+1, k\in\mathbb{N}\) thì \(n^2+1=4k^2+4k+2\) không chia hết cho \(4\).

a) Mệnh đề đúng.

b) Không phải là mệnh đề, vì là câu hỏi.

Ta có

+) $P(3)\colon 3\cdot3+5\le 3^2$ là mệnh đề sai.

+) $P(4) \colon 3\cdot4+5\le 4^2$ là mệnh đề sai.

+) $P(1)\colon3\cdot1+5\le 1^2$ là mệnh đề sai.

+) $P(5) \colon 3\cdot5+5\le 5^2$ là mệnh đề đúng.

Phương trình $x^2+7x-2=0$ có $a\cdot c=1\cdot (-2)< 0$ nên nó có $2$ nghiệm trái dấu.

Do đó đây là mệnh đề đúng.

a) "Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới" là mệnh đề vì đây là câu khẳng định.

b) "Bạn học trường nào?" không phải mệnh đề vì đây là câu hỏi.

c) "Không được làm việc riêng trong giờ học" không phải mệnh đề vì đây là câu mệnh lệnh.

d) "Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang" là mệnh đề vì đây là câu khẳng định.

a) "$\pi< \dfrac{10}{3}$" là mệnh đề đúng vì $\pi\approx 3{,}14 < 3{,}33\approx \dfrac{10}{3}$.

b) "Phương trình $3x+7=0$ có nghiệm" là mệnh đề đúng vì $3x+7=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{7}{3}$.

c) "Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng $0$" là mệnh đề đúng vì $0+0=0$.

d) "$2022$ là hợp số" là mệnh đề đúng vì $2022=2\cdot3\cdot337$.

a) "Tích của hai số thực trái dấu là một số thực âm" là mệnh đề vì đây là câu khẳng định đúng.

b) "Mọi số tự nhiên đều là số dương" là mệnh đề vì đây là câu khẳng định sai.

c) "Việt Nam là nước thuộc châu Á" là mệnh đề vì đây là câu khẳng định đúng.

d) "Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động" là mệnh đề vì đây là câu khẳng định đúng.

a) Mệnh đề "$1993$ chia hết cho $3$"\ là mệnh đề sai vì $1993$ chia $3$ dư $1$.

b) Mệnh đề "$\sqrt{12}$ là một số hữu tỉ"\ là mệnh đề sai vì $\sqrt{12}$ là một số vô tỉ.

c) Mệnh đề "$9$ là một số chính phương"\ là mệnh đề đúng vì $\sqrt{9}=3$.

d) Mệnh đề "$|-1997|\leqslant0$"\ là mệnh đề sai vì $|-1997|=1997>0$.

a) Mệnh đề "$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$"\ là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề "$\left(\sqrt{2}-\sqrt{18}\right)^2\geqslant8$"\ là mệnh đề đúng vì $\left(\sqrt{2}-\sqrt{18}\right)^2=8$.

c) Mệnh đề "$\left(\sqrt{3}+\sqrt{12}\right)^2$ là một số hữu tỉ"\ là mệnh đề đúng vì $\left(\sqrt{3}+\sqrt{12}\right)^2=27$.

d) Mệnh đề "$x=2$ là một nghiệm của phương trình $\dfrac{x^2-4}{x-2}=0$"\ là mệnh đề sai vì $x=2$ vi phạm điều kiện xác định của phương trình.

a) Mệnh đề phủ định của $P$ là $\overline{P}\colon$ "$3^3$ không phải là số chính phương".

b) Mệnh đề phủ định của $Q$ là $\overline{Q}\colon$ "Tam giác $ABC$ không là tam giác cân".

c) Mệnh đề phủ định của $R$ là $\overline{R}\colon$ "$2^{2003}-1$ không là số nguyên tố".

d) Mệnh đề phủ định của $H$ là $\overline{H}\colon$ "$\sqrt{2}$ là số hữu tỉ"hoặc "$\sqrt{2}$ không là số vô tỉ".

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $A$ là $\overline{A}\colon$ "$\dfrac{5}{1{,}2}$ không phải là một phân số". Mệnh đề $\overline{A}$ là một mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $B$ là mệnh đề $\overline{B}\colon$ "Phương trình $x^2+3x+2=0$ vô nghiệm". Đây là mệnh đề sai vì phương trình $x^2+3x+2=0$ có hai nghiệm là $x=-1$ hoặc $x=-2$.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $C$ là mệnh đề $\overline{C}\colon$ "$2^2+2^3\ne 2^{2+3}$". Đây là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $D$ là mệnh đề $\overline{D}\colon$ "Số $2025$ không chia hết cho $15$". Đây là mệnh đề sai vì $2025$ chia hết cho $15$.

Mệnh đề phủ định cần tìm là "Số 12 không chia hết cho $4$ hoặc không chia hết cho $3$". Mệnh đề này là mệnh đề sai.

a) $P \Rightarrow Q\colon$ "Nếu hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ bằng nhau thì hai tam giác đó có diện tích bằng nhau".

b) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là một mệnh đề đúng vì $P$ đúng thì $Q$ đúng nên nó là một định lí.

Ta có thể phát biểu lại định lí đã cho như sau:

"Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau" hoặc "Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau".

a) Mệnh đề $ P\Rightarrow Q $: "Nếu tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành thì tứ giác $ ABCD $ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường".

Mệnh đề $ P\Rightarrow Q $ là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề $ P\Rightarrow Q $ là "Nếu tứ giác $ ABCD $ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành ".

Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề đúng.

a) $P$: "Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau";

Giả thiết là hai tam giác bằng nhau;

kết luận là diện tích của chúng bằng nhau.

$Q$: "Nếu $ a< b $ thì $ a+c< b+c $" ~($ a, b, c\in\mathbb{R} $).

Giả thiết là $ a< b $, ($ a, b, c\in\mathbb{R} $);

kết luận là $ a+c< b+c $.

b) Phát biểu lại mỗi định lí đã cho, sử dụng thuật ngữ "điều kiện đủ"

$P$: "Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau";

$Q$: "$ a< b $ là điều kiện đủ để$ a+c< b+c $" ~($ a, b, c\in\mathbb{R} $).

c) Mệnh đề đảo của $ P $ là "Nếu diện tích của hai tam giác bằng nhau thì chúng bằng nhau". Mệnh đề đảo là mệnh đề sai.

Mệnh đề đảo của $ Q $ là "Nếu $ a+c< b+c $ thì $ a< b $"~($ a, b, c\in\mathbb{R} $). Mệnh đề đảo là mệnh đề đúng.

a) $P\colon $ "$n$ là số tự nhiên và $n^5$ chia hết cho $5$", $Q\colon $ "$n$ chia hết cho $5$".

b) Với $n$ là số tự nhiên, $n$ chia hết cho $5$ là điều kiện cần để $n^5$ chia hết cho $5$.

c) Với $n$ là số tự nhiên, $n^5$ chia hết cho $5$ là điều kiện đủ để $n$ chia hết cho $5$.

d) Định lí đảo "Cho số tự nhiên $n$, nếu $n$ chia hết cho $5$ thì $n^5$ chia hết cho $5$".

Phát biểu gộp cả hai định lí "Điều kiện cần và đủ để $n$ chia hết cho $5$ là $n^5$ chia hết cho $5$".

a) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là "Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì trung tuyến $AM$ bằng một nửa cạnh $BC$".

Đây là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ là "Nếu trung tuyến $AM$ bằng một nửa cạnh $BC$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $A$".

Đây là mệnh đề đúng.

c) Mệnh đề $P\Leftrightarrow Q$ là "Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi trung tuyến $AM$ bằng một nửa cạnh $BC$".

Mệnh đề tương đương $P\Leftrightarrow Q$ đúng vì $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ là hai mệnh đề đúng.

a) Mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là $Q\Rightarrow P\colon $ "Nếu tứ giác $ABCD$ có $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì nó là hình chữ nhật".

Đây là một mệnh đề sai vì tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì nó chỉ là hình bình hành, chưa đủ điều kiện để là hình chữ nhật.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là $Q\Rightarrow P\colon $ "Nếu $ABCD$ là hình thang cân thì $ABCD$ nội tiếp một đường tròn".

Đây là một mệnh đề đúng vì hình thang cân có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$.

a) Mệnh đề $P\Leftrightarrow Q\colon $ "$a$ và $b$ cùng chia hết cho $c$ nếu và chỉ nếu $a+b$ chia hết cho $c$".

Đây là mệnh đề sai vì mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng nhưng mệnh đề $Q\Rightarrow P$ là sai.

b) Mệnh đề $P\Leftrightarrow Q\colon $ "$a$ chia hết cho $3$ nếu và chỉ nếu $a$ chia hết cho $9$".

Đây là mệnh đề sai vì mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng còn mệnh đề $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề sai.

c) Mệnh đề $P\Leftrightarrow Q\colon $ "$ABCD$ là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông".

Đây là một mệnh đề đúng vì mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ là hai mệnh đề đúng.

a) Mệnh đề được viết là $ M\colon$ "$\exists x\in \mathbb{R}, x^3=-8$ ".

b) Mệnh đề được viết là $ N\colon$ "$\exists x\in \mathbb{Z}, 2x+1=0$".

a) Mệnh đề "$\forall n\in \mathbb{N},\, B(n) \Rightarrow A(n)$" là "Với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n^2$ là số chẵn thì $n$ cũng là số chẵn".

b) Mệnh đề "$\exists n\in \mathbb{N},\, A(n) \Rightarrow B(n)$" là "Tồn tại số tự nhiên $n$, nếu $n$ là số chẵn thì $n^2$ cũng là số chẵn".

a) Phủ định của mệnh đề $\forall x\in \mathbb{R},\, |x|\geq x$ là mệnh đề $\exists x\in \mathbb{R},\, |x|< x$.

b) Phủ định của mệnh đề $\exists x\in \mathbb{R},\, x^2+1=0$ là mệnh đề $\forall x\in \mathbb{R},\, x^2+1\neq 0$.

a) $\overline{A}$: "$\exists x\in \mathbb{R},\, \left| x \right|< x $".

b) $\overline{B}$: "$\exists x\in \mathbb{R},\, x+\frac{1}{x}< 2$".

c) $\overline{C}$: "$\forall x\in \mathbb{Z},\, 2{{x}^{2}}+3x-2\ne 0$".

d) $\overline{D}$: "$\forall x\in \mathbb{Z},\, {{x}^{2}}\ge x $".

a) $\overline{A}\colon $ "$\forall n\in \mathbb{N},\, n(n+1)$ không phải là một số chính phương". Mệnh đề này sai.

b) $\overline{B}\colon $ "$\exists n\in \mathbb{N},\, n^4-n^2+1$ là số số nguyên tố". Mệnh đề này đúng.

Ta có $\overline{P}\colon$ "$\forall q\in \mathbb{Q},\, 2q^2-1\ne 0$".

Vì $2q^2-1\ne 0\Leftrightarrow q^2=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow q=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}\notin\mathbb{Q}$ nên $P$ lần mệnh đề sai.

Suy ra $\overline{P}$ là mệnh đề đúng.

a) Ta có $x^2=3 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}$. Vì $\pm \sqrt{3}\notin \mathbb{Z}$ nên mệnh đề đã cho sai.

Mệnh đề phủ định là $\overline{P}\colon $ "$\forall x\in \mathbb{Z},\, x^2\ne 3$".

b) Với $n=5~$ thì $2^n+3=2^5+3=35$, số này chia hết cho $5$ (không nguyên tố). Do đó mệnh đề đã cho sai.

Mệnh đề phủ định là $\overline{P}\colon $ "$\exists n\in \mathbb{N}^*\colon 2^n+3$ không là một số nguyên tố".

Mệnh đề được viết lại dưới dạng kí hiệu là $P\colon$ "$\forall x\in \mathbb{Q},\, x^2\in \mathbb{Q}$".

Vì với mọi $x\in \mathbb{Q}$ thì $x$ có dạng $x=\dfrac{m}{n}$ với $m,\, n\in\mathbb{Z}$ và $n\neq 0$.

Ta có $x^2=\dfrac{m^2}{n^2}\in\mathbb{Q}$ nên đây là mệnh đề đúng.

a) Mệnh đề sai, chẳng hạn ta lấy $x=1$.

b) Áp dụng tính chất: với $a>b>0$, ta có $a^2>b^2$. Suy ra với $x>2$ thì $x^2>2^2=4$. Do đó đây là mệnh đề đúng.

a) Mệnh đề sai, chẳng hạn ta lấy $m=2$, $n=4$ khi đó $m^2+n^2$ là số chẵn nhưng $m$, $n$ là các số chẵn.

b) Mệnh đề sai, chẳng hạn ta lấy $x=-3$.

a) Mệnh đề sai vì $a^2=2 \Leftrightarrow a=\pm \sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.

b) Mệnh đề đúng. Thật vậy

+) Với $n=3k,\, k\in\mathbb{N}$ thì $n^2+1=9k^2+1$ không chia hết cho $3$ (chia $3$ dư $1$).

+) Với $n=3k+1,\, k\in\mathbb{N}$ thì $n^2+1=9k^2+6k+2$ không chia hết cho $3$ (chia $3$ dư $2$).

+) Với $n=3k+2,\, k\in\mathbb{N}$ thì $n^2+1=9k^2+12k+5$ không chia hết cho $3$ (chia $3$ dư $2$).