Dạng 2. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Dạng 3. Tính thể tích biết diện tích đáy và chiều cao
Dạng 4. Tính thể tích khối chóp biết cạnh bên
Dạng 5. Tính thể tích khối lăng trụ
Dạng 6. Tính thể tích khối chóp biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy
Dạng 7. Tính thể tích khối chóp biết góc giữa mặt bên và mặt đáy
Câu 1:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án: Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng kia
Lời giải:
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Câu 2:
Khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án: Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\). Khoảng cách giữa \(a\) và \((\alpha)\) là khoảng cách từ một điểm bất kì của \((\alpha)\) đến \(a\)
Lời giải:
Khẳng định: Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\). Khoảng cách giữa \(a\) và \((\alpha)\) là khoảng cách từ một điểm bất kì của \((\alpha)\) đến \(a\) là sai.
Khẳng định đúng: Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\). Khoảng cách giữa \(a\) và \((\alpha)\) là khoảng cách từ một điểm bất kì của \(a\) đến \((\alpha)\).
Câu 1:
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có các cạnh đáy đều bằng \(a\) và các cạnh bên đều bằng \(2a\). Tính khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\).
Đáp án: \(\displaystyle\frac{a\sqrt{14}}{2}\)
Lời giải:
Đặt \(O=AC\cap BD\). Do \(S.ABCD\) là chóp tứ giác đều nên ta có \(SO\perp (ABCD)\).
Suy ra \(\mathrm{d}(S,(ABCD))=SO\).
Ta có \(SC=2a\), \(OC=\displaystyle\frac{AC}{2}=\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Xét tam giác vuông \(SOC\), ta có
\(SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{4a^2-\displaystyle\frac{a^2}{2}}=\displaystyle\frac{a\sqrt{14}}{2}.\)
Câu 2:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc và \(SA = a\sqrt{2}\), \(SB = SC = a\). Khi đó khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \((ABC)\) bằng
Đáp án: \( \displaystyle\frac{a\sqrt{10}}{5} \)
Lời giải:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), kẻ \(SH \perp AI\).
Ta có \(\begin{cases}SA\perp SB\\SA\perp SC\end{cases}\Rightarrow SA \perp BC\). Mà \(\triangle SBC\) vuông cân tại \(S\) nên \(BC \perp SI\).
Vậy \(BC \perp (SAI)\Rightarrow BC \perp SH\).
Do đó \(SH \perp (ABC) \Rightarrow \mathrm{d}(S,(ABC)) = SH\).
Xét \(\triangle SBC\) vuông tại \(S\), \(SI\) là đường cao nên
\(\displaystyle\frac{1}{SI^2} = \displaystyle\frac{1}{SB^2} + \displaystyle\frac{1}{SC^2}\) \(= \displaystyle\frac{1}{a^2} + \displaystyle\frac{1}{a^2} = \displaystyle\frac{2}{a^2}.\)
Xét \(\triangle SAI\) vuông tại \(S\), \(SH\) là đường cao nên
\(\displaystyle\frac{1}{SH^2} = \displaystyle\frac{1}{SA^2} + \displaystyle\frac{1}{SI^2} = \displaystyle\frac{1}{2a^2} + \displaystyle\frac{2}{a^2}\) \(= \displaystyle\frac{5}{2a^2}\Rightarrow SH = \displaystyle\frac{a\sqrt{10}}{5}.\)
Vậy \(\mathrm{d}(S,(ABC)) = SH = \displaystyle\frac{a\sqrt{10}}{5}\).
Câu 1:
Thể tích của khối lập phương có độ dài cạnh bằng \(2a\) là
Đáp án: \(V=8a^3\)
Lời giải:
Xét hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh \(AB=2a\) như hình vẽ.
Thể tích của khối lập phương có độ dài cạnh bằng \(2a\) là\\ \(V=(2a)^3=8a^3\).
Câu 2:
Cho khối chóp có đáy hình vuông cạnh \(a\) và chiều cao bằng \(2a\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Đáp án: \(\displaystyle\frac{2}{3}a^3\)
Lời giải:
Diện tích đáy của hình chóp là \(S_{\text{đáy}}=a^2\).
Thể tích của khối chóp đã cho là \(V=\displaystyle\frac{1}{3}S_{\text{đáy}}\times h=\displaystyle\frac{1}{3}a^2\times 2a=\displaystyle\frac{2}{3}a^3\).
Câu 1:
Tính thể tích của khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), biết \(AC'=a\sqrt{3}\).
Đáp án: \(V=a^3\)
Lời giải:
Có \(AB=\displaystyle\frac{AC'}{\sqrt{3}}=a\Rightarrow V=a^3\).
Câu 2:
Thể tích của khối lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(A'B=2a\).
Đáp án: \(V=a^3 \sqrt{3}\)
Lời giải:
Xét tam giác \(AA'B\) vuông tại \(A\).
suy ra \(AA'=\sqrt{A'B^2-AB^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=a \sqrt{3}\).
\(V=AA'.S_{ABCD}=a \sqrt{3} \cdot a^2=a^3 \sqrt{3}\).
Câu 1:
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\sqrt{3}\), \(A'B = 3a\). Thể tích khối lăng trụ là
Đáp án: \(\displaystyle\frac{9a^3\sqrt{2}}{4}\)
Lời giải:
Ta có \(AA' = \sqrt{A'B^2 - AB^2} = \sqrt{9a^2-3a^2} = a\sqrt{6}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S=\displaystyle\frac{\left(a\sqrt{3}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \displaystyle\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\).
Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là
\(V = \displaystyle\frac{3a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot a\sqrt{6} = \displaystyle\frac{9a^3\sqrt{2}}{4}.\)
Câu 2:
Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng \(a\) là
Đáp án: \(\displaystyle\frac{a^3\sqrt 2}{12}\)
Lời giải:
Gọi tứ diện đều \(S.ABC\) có \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Ta có \(SG=\sqrt{SA^2-AG^2}=\sqrt{a^2-\left(\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{3}\).
Thể tích khối tứ diện \(V=\displaystyle\frac{1}{3}SG\cdot S_{ABC}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot \displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\displaystyle\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.\)
Câu 1:
Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với \((ABC)\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(BC=2a\), góc giữa \(SB\) và \((ABC)\) là \(30^\circ\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
Đáp án: \(\displaystyle\frac{a^{3}\sqrt{6}}{9}\)
Lời giải:
Ta có \(\widehat{(SB,(ABC))}=\widehat{SBA}=30^\circ\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(BC=2a\) nên \(AB=AC=\displaystyle\frac{BC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.\)
Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) nên \(\tan\widehat{SBA}=\displaystyle\frac{SA}{AB} \Rightarrow SA=AB\cdot\tan\widehat{SBA}=\displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{3}.\)
Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{\triangle ABC}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot SA\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\displaystyle\frac{a^{3}\sqrt{6}}{9}.\)
Câu 2:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(AD=CD=a\), \(AB=2a\), cạnh \(SC\) hợp với đáy một góc \(30^\circ\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).
Đáp án: \(\displaystyle\frac{a^{3}\sqrt{6}}{9}\)
Lời giải:
Ta có \(\widehat{(SC,(ABCD))}=\widehat{SCA}=30^\circ\).
Xét tam giác \(ACD\) vuông cân tại \(A\) nên \(AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=a\sqrt{2}.\)
Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) nên \(\tan\widehat{SCA}=\displaystyle\frac{SA}{AC} \Rightarrow SA=AC\cdot\tan\widehat{SCA}=\displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{3}.\)
Ta có \(S_{\triangle ABC}=S_{ABCD}-S_{\triangle ACD}=\displaystyle\frac{(AB+CD) \cdot AD}{2}-\displaystyle\frac{AD \cdot DC}{2}=a^{2}.\)
Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{\triangle ABC}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot \displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot a^{2}=\displaystyle\frac{a^{3}\sqrt{6}}{9}.\)
Câu 1:
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(a\), góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(30^{\circ}\). Tính thể tích của khối chóp đều đã cho.
Đáp án: \(\displaystyle\frac{a^{3}\sqrt{3}}{18}\)
Lời giải:
Giả sử \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều, có \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) và \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Khi đó \(SO\perp (ABCD)\) và \(OM\perp BC\), suy ra \(BC\perp (SOM)\Rightarrow BC\perp SM\).
Do đó góc giữa \((SBC)\) và \((ABCD)\) là \(\widehat{SMO}=30^{\circ}\).
Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(OM=\displaystyle\frac{a}{2}\), do đó
\(SO=OM\cdot \tan 30^{\circ}=\displaystyle\frac{a}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot a^{2}\cdot \displaystyle\frac{a}{2\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{a^{3}\sqrt{3}}{18}.\)
Câu 2:
Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), góc giữa mặt phẳng \((D'AB)\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng \(30^{\circ}\). Thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) bằng
Đáp án: \(\displaystyle\frac {a^3\sqrt {3}}{3}\)
Lời giải:
Góc giữa mặt phẳng \((D'AB)\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là \(\widehat {D'AD}=30^{\circ}\).
\(\Rightarrow D'D=AD\cdot \tan 30^{\circ}=\displaystyle\frac {a\sqrt {3}}{3}\).
\(V_{ABCD.A'B'C'D'}=S_{ABCD}\cdot D'D=\displaystyle\frac {a^3\sqrt {3}}{3}\).
Câu 1:
Cho hình chóp \(SABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo, \(\widehat{ABC}=60^{\circ}, SO \perp(ABCD), SO=a\sqrt{3}\). Tính khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((SCD)\).
Dựng \(OM \perp CD\) và \(OH \perp SM\) khi đó
Ta có
\(\begin{cases}CD \perp OM \\ CD \perp SO\end{cases}\Rightarrow CD \perp (SOM)\Rightarrow CD \perp OH\);
Ta có \(\begin{cases} OH \perp SM\\OH \perp CD\end{cases}\Rightarrow OH \perp (SCD)\);
Do đó \(\mathrm{d}(O,(SCD))=OH\).
Ta có tam giác \(ACD\) đều suy ra
\(OM = OC\cdot \sin\widehat{OCM}= \displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)
Vậy \(\mathrm{d}(O,(SCD))=OH\) \(= \displaystyle\frac{OM\cdot SO}{\sqrt{SO^2 + OM^2}}=\displaystyle\frac{a\sqrt{51}}{17}\).
Câu 2:
Cho hai tam giác cân \(ABC\) và \(ABD\) có đáy chung \(AB\) và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng \(AB \perp CD\).
\(\bullet\,\) Xác định đoạn vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\).
\(\bullet\,\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), vì \(ABC\) và \(ABD\) là các tam giác cân nên
\(\begin{cases}AB\perp CM\\ AB \perp DM\\ CM\cap DM = M\\ CM \subset (MCD) \\ DM \subset (MCD)\end{cases}\) \(\Rightarrow AB \perp (MCD)\Rightarrow AB \perp CD.\)
\(\bullet\,\) Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD\), vì \(ABC\) và \(ABD\) là các tam giác cân và bằng nhau nên \(CM = DM\), do đó tam giác \(CMD\) cân tại \(M\) suy ra \(MN \perp CD\).
Ta có \(\begin{cases}MN \perp CD\\MN \perp AB \end{cases}\).
Vậy \(MN\) là đoạn vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\).
Câu 3:
Cho hình chóp \(S . A B C D\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(S A=S B=S C=S D=a \sqrt{2}\). Gọi \(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm của \(A B\) và \(C D\).
\(\bullet\,\) Chứng \(\operatorname{minh} A B \perp(S I J)\).
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A B\) và \(S C\).
\(\bullet\,\) Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABC\).
Khi đó \(\triangle SAC\) cân tại \(S\) có \(SO\) là trung tuyến nên \(SO\perp AC\). Tương tự, \(SO\perp BD\).
Do đó, \(SO\perp \left(ABCD\right)\).
Ta có \(\begin{cases}AB\perp IJ\ \left(\text{vì}\; ABCD\;\text{là hình vuông}\right)\\ AB\perp SO \left(\text{vì}\;SO\perp\left(ABCD\right)\right).\end{cases}\)
Mà \(IJ\) và \(SO\) là hai đường thẳng cắt nhau trong \(\left(SIJ\right)\) nên suy ra \(AB\perp\left(SIJ\right)\).
\(\bullet\,\) Vì \(AB\parallel CD\) nên \(AB\parallel\left(SCD\right)\), suy ra
\(\mathrm{d}\left(AB,SC\right) = \mathrm{d}\left(A,\left(SCD\right)\right) = 2\mathrm{d}\left(O,\left(SCD\right)\right).\)
Kẻ \(OH\perp SJ\). Vì \(CD\parallel AB\) mà \(AB\perp \left(SIJ\right)\) nên ta cũng có \(CD\perp \left(SIJ\right)\).
Suy ra \(CD\perp OH\). Kết hợp với \(SJ\perp OH\) ta được \(OH\perp \left(SCD\right)\) hay \(OH\) chính là khoảng cách từ \(O\) đến \(\left(SCD\right)\).
Ta có \(\triangle SAC\) đều cạnh \(a\sqrt{2}\) nên \(SO = \displaystyle\frac{a\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2} = \displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{2}\).
Suy ra
\(OH = \displaystyle\frac{SO\cdot OJ}{\sqrt{SO^2 + OJ^2}}\) \(= \displaystyle\frac{\tfrac{a\sqrt{6}}{2}\cdot\tfrac{a}{2}}{ \sqrt{\left(\tfrac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2}} = \displaystyle\frac{a\sqrt{42}}{14}.\)
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A B\) và \(S C\) bằng \(\displaystyle\frac{a\sqrt{42}}{7}\).
Câu 4:
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) có \(A B=a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left(A^{\prime} B C\right)\) và \((A B C)\) bằng \(60^{\circ}\).
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.
\(\bullet\,\) Tính thể tích của khối lăng trụ.
\(\bullet\,\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), khi đó ta có
\(\begin{cases}BC\perp AI\\BC\perp AA'\end{cases}\Rightarrow BC\perp\left(AA'I\right).\)
Mà \(\begin{cases}\left(AA'I\right)\cap\left(ABC\right) = AI\\ \left(AA'I\right)\cap\left(A'BC\right) = A'I\end{cases}\) nên
\(\left(\left(A'BC\right),\left(ABC\right)\right) = \widehat{A'IA} = 60^\circ.\)
Vậy khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ bằng \(AA' = AI\cdot \tan\widehat{A'IA} = \displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3} = \displaystyle\frac{3a}{2}.\)
\(\bullet\,\) Diện tích \(\triangle ABC\) là \(S_{\triangle ABC} = \displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
Suy ra thể tích khối lăng trụ là \(V = S_{\triangle ABC}\cdot AA' = \displaystyle\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}.\)
Câu 5:
Một cây cầu dành cho người đi bộ (hình bên) có mặt sàn cầu cách mặt đường \(3{,}5\)m, khoảng cách từ đường thẳng \(a\) nằm trên tay vịn của cầu đến mặt sàn cầu là \(0{,}8\)m. Gọi \(b\) là đường thẳng kẻ theo tim đường. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\).
Ta coi mặt đường là một mặt phẳng \(\left(P\right)\) chứa đường thẳng \(b\) và song song với đường thẳng \(a\).
Suy ra \(\mathrm{d}\left(a,b\right) = \mathrm{d}\left(a,\left(P\right)\right)\) \(= 0{,}8 + 3{,}5 = 4{,}3\)(m).
Câu 6:
Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bên \(AA'=2 a\) và đáy \(A B C D\) là hình thoi có \(A B=a\) và \(A C=a \sqrt{3}\).
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(B D\) và \(AA'\).
\(\bullet\,\) Tính thể tích của khối hộp.
\(\bullet\,\) Ta có \(\begin{cases}AO \perp AA'\\AO \perp BD\end{cases}\Rightarrow \mathrm{d}(BD,AA')=\displaystyle\frac{1}{2}AC=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
\(\bullet\,\) Ta có \(BO=\sqrt{AB^2-OA^2}\) \(=\sqrt{a^2-\left(\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\displaystyle\frac{a}{2}\Rightarrow BD=a\).
Thể tích của khối hộp \(V=AA'\cdot S_{ABCD}=2a\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{3}\cdot a=a^3\sqrt{3}.\)
Câu 7:
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\) và có \(O\) là giao điểm hai đường chéo của đáy.
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\).
\(\bullet\,\) Tính thể tích của khối chóp.
\(\bullet\,\) Kẻ \(OH \perp SB\) tại \(H\).
Ta có \(\begin{cases}AC\perp BD\\AC \perp SO\end{cases}\Rightarrow AC \perp (SBD)\Rightarrow AC \perp OH\). Khi đó \(\mathrm{d}(AC,SB)=OH\).
Có \(\triangle SAC\) vuông tại \(S\) suy ra \(SO=\displaystyle\frac{1}{2}AC=\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Khi đó \(OH=\displaystyle\frac{SO\cdot OB}{SB}\) \(=\displaystyle\frac{\tfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \tfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a}=\displaystyle\frac{a}{2}\).
Vậy \(\mathrm{d}(AC,SB)=\displaystyle\frac{a}{2}\).
\(\bullet\,\) Thể tích của khối chóp \(V_{S.ABCD}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot SO \cdot S_{ABCD}\) \(=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot \displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a^2=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{6}a^3\).
Câu 8:
Tính thể tích của khối chóp cụt lục giác đều \(ABCDEF \cdot A'B'C'D'E'F'\) với \(O\) và \(O'\) là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là \(a\) và \(\displaystyle\frac{a}{2}\), \(OO'=a\).
Diện tích đáy lớn \(S=6\cdot a^2\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\).
Diện tích đáy lớn \(S'=6\cdot \left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{8}a^2\).
Thể tích của khối chóp cụt lục giác đều \(ABCDEF \cdot A'B'C'D'E'F'\) là
\begin{align*}V=\ &\displaystyle\frac{1}{3}OO'\cdot \left(S+\sqrt{S\cdot S'}+S'\right)\\ =\ &\displaystyle\frac{1}{3}\cdot a \cdot \left(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2+\sqrt{\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\cdot \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{8}a^2}+\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{8}a^2\right)\\ =\ &\displaystyle\frac{7\sqrt{3}}{8}a^3.\end{align*}
Câu 9:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là một hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAD\) là một tam giác đều và \((SAD)\perp (ABCD)\).
\(\bullet\,\) Tính chiều cao của hình chóp.
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách giữa \(BC\) và \((SAD)\).
\(\bullet\,\) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa \(AB\) và \(SD\).
\(\bullet\,\) Tính chiều cao của hình chóp.
Gọi \(H\) là trung điểm của \(DA\), ta có \(SH\perp DA\). Lại có \((SDA)\perp (ABCD)\) nên \(SH\perp (ABCD)\). Vậy \(SH\) là đường cao của hình chóp \(S.ABCD\).
Do tam giác \(SAD\) đều cạnh \(a\) nên \(SH=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách giữa \(BC\) và \((SAD)\).
Ta có \(\begin{cases}BA\perp DA\\BA\perp SH\end{cases}\Rightarrow BA\perp (SAD)\) \(\Rightarrow \mathrm{d}(BC,(SAD))=\mathrm{d}(B,(SAD))=AB=a\).
\(\bullet\,\) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa \(AB\) và \(SD\).
Kẻ \(AK\perp SD\). Do \(AB\perp (SAD)\Rightarrow AB\perp AK\).
Vậy \(AK\) là đường vuôngg góc chung, suy ra \(\mathrm{d}(AB,SD)=AK=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Câu 10:
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA'=a\), \(AB=b\), \(BC=c\).
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách giữa \(CC'\) và \((BB'D'D)\).
\(\bullet\,\) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa \(AC\) và \(B'D'\)
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách giữa \(CC'\) và \((BB'D'D)\).
Kẻ \(CH\perp BD\) tại \(H\).
Ta có \(\begin{cases}CH\perp BD\\CH\perp BB'\end{cases}\Rightarrow CH\perp (BDD'B)\).
Vậy \(CH\) là khoảng cách giữa \(CC'\) và \((BB'D'D)\).
Xét \(\triangle CBD\) ta có \(\displaystyle\frac{1}{CH^2}=\displaystyle\frac{1}{CB^2}+\displaystyle\frac{1}{CD^2}=\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}\Rightarrow CH=\displaystyle\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\).
\(\bullet\,\) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa \(AC\) và \(B'D'\).
Gọi \(O\) và \(O'\) là tâm hình vuông \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\), suy ra \(OO'\parallel AA'\).
Ta có \(\begin{cases}O'O\perp B'D'\\O'O\perp AC\end{cases}\Rightarrow O'O\) là đường vuông góc chung của \(AC\) và \(B'D'\), nên \(O'O\) là khoảng cách giữa \(AC\) và \(B'D'\). Vậy \(\mathrm{d}(AC,B'D')=a\).
Câu 11:
Cho tứ diện \(ABCD\) có các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(M\), \(N\) tương tứng là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(CD\). Chứng minh rằng
\(\bullet\,\) \(MN\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\).
\(\bullet\,\) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện \(ABCD\) đều vuông góc với nhau.
\(\bullet\,\) \(MN\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\).
Ta có \(\begin{cases}CD\perp BN\\ CD\perp AN\end{cases}\Rightarrow CD\perp (ABN)\Rightarrow CD\perp MN\) \(\quad(1)\).
Tương tự ta có \(AB\perp (MCD)\Rightarrow AB\perp MN\) \(\quad (2)\).
Từ (1), (2) suy ra \(MN\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\).
\(\bullet\,\) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện \(ABCD\) đều vuông góc với nhau.
Do \(CD\perp (ABN)\Rightarrow CD\perp AB\).
Chứng minh tương tự ta có \(BC\perp AD\), \(AC\perp BD\).
Vậy các cặp cạnh đối diện trong tứ diện đều vuông góc với nhau.
Câu 12:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh \(a\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((D'AC)\) và \((BC'A')\) song song với nhau và \(DB'\) vuông góc với hai mặt phẳng đó.
\(\bullet\,\) Xác định các giao điểm \(E\), \(F\) của \(DB'\) với \((D'AC)\), \((BC'A')\). Tính \(\mathrm{d}((D'AC),(BC'A'))\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((D'AC)\) và \((BC'A')\) song song với nhau và \(DB'\) vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Ta có \(\begin{cases}AB\parallel D'C'\\AB= D'C'\end{cases}\Rightarrow ABC'D\) là hình bình hành. Vậy \(BC'\parallel AD'\). \(\quad (1)\)
Tương tự \(AA'C'C\) là hình bình hành, suy ra \(C'A'\parallel CA'\). \(\quad (2)\)
Từ (1), (2) suy ra \((D'AC)\parallel (BC'A')\).
Lại có \(\begin{cases}AC\perp BD\\AC\perp BB'\end{cases}\Rightarrow AC\perp (BDD'B')\Rightarrow AC\perp B'D\).\(\quad (3)\)
Tương tự ta có \(CD'\perp (AB'C'D)\Rightarrow CD'\perp B'D\).\(\quad (4)\)
Từ (3), (4) suy ra \(B'D\perp (ACD')\).
Mà \((D'AC)\parallel (BC'A')\) nên \(B'D\perp (BC'A')\).
Vậy \(B'D\) vuông góc với hai mặt phẳng \((D'AC)\) và \((BC'A')\).
\(\bullet\,\) Xác định các giao điểm \(E\), \(F\) của \(DB'\) với \((D'AC)\), \((BC'A')\). Tính \(\mathrm{d}((D'AC),(BC'A'))\).
Gọi \(E=D'O\cap DB'\), \(F=O'B\cap DB'\), suy ra \(EF\) là khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((D'AC)\) và \((BC'A')\).
Xét \(\triangle B'D'E\) có \(O'F\) là đường trung bình nên \(F\) là trung điểm của \(B'E\).
Tương tự, \(E\) là trung điểm của \(DF\).
Suy ra \(EF=\displaystyle\frac{1}{3}B'D=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{3}\).
Câu 13:
Giá đỡ ba chân ở hình bên đang được mở sao cho ba chân cách đều nhau một khoảng bằng \(110\) cm. Tính chiều cao giá đỡ, biết các chân của giá đỡ dài \(129\) cm.
Ta có \(S.ABC\) là hình chóp đều. Gọi \(E\) là trung điểm \(BC\) và \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), suy ra \(SH\perp (ABC)\).
Ta có \(AH=\displaystyle\frac{2}{3}AE=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\displaystyle\frac{110\sqrt{3}}{2}=\displaystyle\frac{110}{\sqrt{3}}\).
Lại có \(SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{129^2-\displaystyle\frac{110^2}{3}}\approx 112{,}28\).
Vậy chiều cao của giá đỡ là \(112{,}28\) cm.
Câu 14:
Một bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang. Trong trường hợp này, độ sâu của bể là khoảng cách giữa mặt nước và đáy bể. Giải thích vì sao để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước.
Do đáy bể thuộc mặt phẳng nằm ngang nên phương của dây dọi vuông góc với mặt phẳng đáy bể, do đó chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước bằng độ sâu của bể.
Câu 15:
Cho khối chóp đều \(S.ABC\), đáy có cạnh bằng \(a\), cạnh bên bằng \(b\). Tính thể tích của khối chóp đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng \(a\).
Diện tích đáy tam giác đều là \(S_{ABC}=a^2\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\);
\(AO=a \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Chiều cao của hình chóp là \(SO=\sqrt{SA^2-AO^2}= \sqrt{b^2-\displaystyle\frac{a^2}{3}}\).
Thể tích khối chóp là \(V=\displaystyle\frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SO= \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{12} \cdot a^2 \cdot \sqrt{b^2-\displaystyle\frac{a^2}{3}}\).
Do đó thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng \(a\) là
\(V= \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{12} \cdot a^2 \cdot \sqrt{a^2-\displaystyle\frac{a^2}{3}}=\displaystyle\frac{a^ 3 \sqrt{2}}{12}.\)
Câu 16:
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AA'=5\) cm, \(AB=6\) cm, \(BC=2\) cm, \(\widehat{ABC}=150^{\circ}\). Tính thể tích của khối lăng trụ.
Diện tích đáy là \(S_{ABC}= \displaystyle\frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin\widehat{ABC} =6\) (cm\(^2\)).
Thể tích khối lăng trụ là \(V=S_{ABC} \cdot AA'=6 \cdot 5=30\) (cm\(^3\)).
}
Câu 17:
Cho khối chóp đều \(S.ABCD\), đáy có cạnh \(6\) cm. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau:
\(\bullet\,\) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng \(60^{\circ}\).
\(\bullet\,\) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng \(45^{\circ}\).
\(\bullet\,\) Diện tích đáy là \(S_{ABCD}=36\) (cm\(^2\)); \(AO=3\sqrt{2}\) cm.
\(\left(\widehat{SA,(ABCD)}\right) = \widehat{SAO} =60^{\circ}\).
Chiều cao của hình chóp là \(SO=AO \cdot \tan SAO= 3\sqrt{6}\) cm.
Thể tích khối chóp là \(V=\displaystyle\frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO=36\sqrt{6}\) cm\(^3\).
\(\bullet\,\) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
\(\left(\widehat{(SBC),(ABCD)}\right) = \widehat{SMO} =45^{\circ}\)
\(\Rightarrow SO=OM=3\) cm.
Thể tích khối chóp là \(V=\displaystyle\frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO=108\) cm\(^3\).
Câu 18:
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là các tam giác đều cạnh \(a\), \(A'A=A'B=A'C=b\). Tính thể tích khối lăng trụ.
Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và dựng \(AK\perp BC\) tại \(K\).
Khi đó \(A'O \perp (ABC)\).
Suy ra \(A'O \perp OA\).
Dễ dàng tính được \(OA =\displaystyle\frac{2}{3}OK= \displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{3}\).
Từ đó suy ra \(OA' = \sqrt{AA'^{2} - OA^{2}} = \sqrt{b^{2} - \displaystyle\frac{a^{2}}{3}}\).
Vậy thể tích của khối lăng trụ là
\(V = S_{ABC} \cdot h = \displaystyle\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{b^{2}-\displaystyle\frac{a^{2}}{3}}.\)
Câu 19:
Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh \(8\) dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp) như hình bên dưới.
\(\bullet\,\) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.
\(\bullet\,\) Tính cạnh bên của thùng.
\(\bullet\,\) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?
\(\bullet\,\) Do các mặt bên của chiếc thùng đều là các hình thang nên chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.
\(\bullet\,\) Kẻ \(AK \perp A'B'\) thì \(AK =\displaystyle\frac{8-3}{2} = 2{,}5 \text{ dm}\).
\(A'B'=8-1-1=6 \text{ dm}.\)
\(A'K=\displaystyle\frac{A'B'-AB}{2}=\displaystyle\frac{6-3}{2}=1{,}5 \text{ dm}.\)
Khi đó, \(AA'=\sqrt{AK^2+A'K^2}=\sqrt{2{,}5^2+1{,}5^2}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{2}}.\)
\(\bullet\,\) Ta có: \(AC=3\sqrt{2}, A'C'=6\sqrt{2}, AA'=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{2}}\).
Dựng \(AH \perp A'C'\) thì \(AH \perp (A'B'C'D')\) nên đường cao của khối chóp cụt là \(h = AH\).
Xét \(\Delta AA'H\) vuông tại \(H\):
\(AH = \sqrt{AA'^2-AH^2}= \sqrt{\displaystyle\frac{17}{2}-\displaystyle\frac{9}{2}}=2.\)
\(S_1=S_{ABCD}=3^2=9, S_2=S_{A'B'C'D'}=6^2=36, h = 2 \)
\(\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'}=\displaystyle\frac{1}{3} \sqrt{S_1^2+S_2^2+S_1S_2}.h = \displaystyle\frac{1}{3} \sqrt{9^2+36^2+9.36}.2=2\sqrt{179} \text{ dm}^3\).
Vậy, thùng có thể đựng tối đa \(2\sqrt{179}\) lít nước.
Câu 20:
Hình bên gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau. Cột gỗ cao \(4{,}2 \mathrm{~m}\). Khoảng cách giữa \((P)\) và \((Q)\) là bao nhiêu mét?
Vì cột gỗ vuông góc với cả trần nhà \((P)\) và sàn nhà \((Q)\) nên khoảng cách giữa \((P)\) và \((Q)\) chính là chiều cao của cột gỗ.
Vậy khoảng cách giữa \((P)\) và \((Q)\) là \(4{,}2 \mathrm{~m}\).
Câu 21:
Cho hình tứ diện \(A B C D\) có \(A B=a\), \(B C=b\), \(B D=c\), \(\widehat{A B C}=\widehat{A B D}=\widehat{B C D}=90^{\circ}\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(A B\), \(A C\), \(A D\).
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường thẳng \(A B\).
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \((A B C)\).
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A B\) và \(C D\).
\(\bullet\,\) Vì \(CB\perp AB\) nên khoảng cách từ \(C\) đến \(AB\) bằng \(CB=b\).
\(\bullet\,\) Ta có \(AB\perp BC\) và \(AB\perp BD\) nên \(AB\perp (BCD)\), suy ra \(AB\perp CD\). Mà \(CD\perp BC\) nên \(CD\perp (ABC)\).
Do đó khoảng cách từ \(D\) đến \((ABC)\) là \(DC=\sqrt{c^2-b^2}\).
\(\bullet\,\) Ta có \(BC\perp AB\) và \(BC\perp CD\) nên \(BC\) là đoạn vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\). Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là \(BC=b\).
Câu 22:
Cho hình tứ diện \(A B C D\) có \(A B=a\), \(B C=b\), \(B D=c\), \(\widehat{A B C}=\widehat{A B D}=\widehat{B C D}=90^{\circ}\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(A B\), \(A C\), \(A D\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng \(M N \parallel B C\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(M N\) và \(B C\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng \(M P \parallel (B C D)\). Tính khoảng cách từ đường thẳng \(M P\) đến mặt phẳng \((B C D)\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng \((M N P) \parallel (B C D)\). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((M N P)\) và \((B C D)\).
\(\bullet\,\) Ta có \(MN\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\) nên \(MN\parallel BC\).
Trong mặt phẳng \((ABC)\) có \(AB\perp BC\) nên \(AB\perp MN\). Do đó khoảng cách giữa \(MN\) và \(BC\) là \(MB=\displaystyle\frac{1}{2}AB=\displaystyle\frac{a}{2}\).
\(\bullet\,\) Ta có \(MP\) là đường trung bình của \(\triangle ABD\) nên \(MP\parallel BD\), mà \(BD\subset (BCD)\) nên \(MP\parallel (BCD)\).
Lại có \(MB\perp BC\) và \(MB\perp BD\) nên \(MB\perp (BCD)\).
Suy ra \(\mathrm{d}(MP,(BCD))=\mathrm{d}(M,(BCD))=MB=\displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{a}{2}\).
\(\bullet\,\) Theo chứng minh trên ta có \(MN\parallel (BCD)\) và \(MP\parallel (BCD)\) mà \(MN\) và \(MP\) cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng \((MNP)\) nên \((MNP)\parallel (BCD)\).
Khi đó \(\mathrm{d}((MNP),(BCD))=\mathrm{d}(M,(BCD))=MB=\displaystyle\frac{a}{2}\).
Câu 23:
Cho hình chóp \(S. A B C D\) có \(S A \perp(A B C D)\), đáy \(A B C D\) là hình vuông cạnh \(a\), \(S A=a\).
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách từ điểm \(S\) đến đường thẳng \(C D\).
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \((S A B)\).
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((S C D)\).
\(\bullet\,\) Ta có \(SA\perp (ABCD)\) nên \(SA\perp CD\) mà \(CD\perp AD\), suy ra \(CD\perp (SAD)\), do đó \(CD\perp SD\) và khoảng cách từ \(S\) đến \(CD\) là \(SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=a\sqrt{2}\).
\(\bullet\,\) Ta có \(SA\perp (ABCD)\) nên \(SA\perp DA\) mà \(DA\perp AB\), suy ra \(DA\perp (SAB)\), do đó khoảng cách từ \(D\) đến \((SAB)\) là \(DA=a\).
\(\bullet\,\) Trong \((SAD)\) kẻ \(AH\perp SD\), mà \(CD\perp (SAD)\) nên \(CD\perp AH\). Suy ra \(AH\perp (SCD)\) và khoảng cách từ \(A\) đến \((SCD)\) là \(AH=\displaystyle\frac{1}{2}SD=\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Câu 24:
Cho hình chóp \(S. A B C D\) có \(S A \perp(A B C D)\), đáy \(A B C D\) là hình vuông cạnh \(a\), \(S A=a\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng \(B C \parallel (S A D)\) và tính khoảng cách giữa \(B C\) và mặt phẳng \((S A D)\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng \(B D \perp(S A C)\) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(B D\) và \(S C\).
\(\bullet\,\) Ta có \(BC\parallel AD\subset (SAD)\) nên \(BC\parallel (SAD)\).
Lại có \(SA\perp (ABCD)\) nên \(SA\perp AB\), mà \(AB\perp AD\) nên \(AB\perp (SAD)\).
Do đó \(\mathrm{d}(BC,(SAD))=\mathrm{d}(B,(SAD))=BA=a\).
\(\bullet\,\) Ta có \(SA\perp (ABCD)\) nên \(SA\perp BD\), mà \(BD\perp AC\) nên \(BD\perp (SAC)\).
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), trong \((SAC)\) kẻ \(OH\perp SC\), vì \(BD\perp (SAC)\) nên cũng có \(BD\perp OH\). Suy ra \(OH\) là đoạn vuông góc chung của \(BD\) và \(SC\).
Mặt khác \(\triangle SAC\backsim \triangle OHC\) nên \(\displaystyle\frac{OH}{SA}=\displaystyle\frac{OC}{SC}\) \(\Rightarrow OH=\displaystyle\frac{SA\cdot OC}{SC}=\displaystyle\frac{a\cdot \displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{6}.\)
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(B D\) và \(S C\) là \(OH=\displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{6}\).
Câu 25:
Quan sát và cho biết chiếc đèn treo ở hình \(96 a\), trạm khảo sát trắc địa ở hình \(96 b\) có dạng hình gì?
Chiếc đèn treo có dạng hình lăng trụ đều.
Trạm khảo sát trắc địa có dạng hình chóp cụt đều.
Câu 26:
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng \(a\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng các tam giác
\(ASC\) và \(BSD\) là tam giác vuông cân.
\(\bullet\,\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), chứng minh rằng đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng \(45^{\circ}\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng các tam giác
\(ASC\) và \(BSD\) là tam giác vuông cân.
Hai tam giác \(ASC\) và \(ABC\) có \(AS=AB=a\), \(CS=CS\), \(AC\) là cạnh chung nên \(\triangle ASC=\triangle ABC\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).
Do đó \(\triangle ASC\) vuông cân tại \(S\).
Chứng minh tương tự, tam giác \(BSD\) vuông cân tại \(S\).
\(\bullet\,\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), chứng minh rằng đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).
Tam giác \(ASC\) cân tại \(S\) có \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(SO\perp AC.\)
Tương tự, \(SO\perp BD\).
Mà \(AC, BD\subset (ABCD)\) và \(AC\cap BD=O\) nên \(SO\perp (ABCD)\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng \(45^{\circ}\).
Tam giác \(ASC\) vuông cân tại \(S\) nên \(\widehat{SAC}=445^\circ\).
Ta có \(SO\perp (ABCD)\) và \(SA\cap (ABCD)=A\) nên góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là \(\widehat{SAC}=45^\circ\).
Câu 27:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng \(60^{\circ}\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \(\left(ACC'A'\right)\) và \(\left(BDD'B'\right)\) vuông góc với nhau.
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(C'D'\).
\(\bullet\,\) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \(\left(ACC'A'\right)\) và \(\left(BDD'B'\right)\) vuông góc với nhau.
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là lăng trụ đứng nên \(CC'\perp (ABCD)\Rightarrow CC'\perp BD.\)
Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC\perp BD\).
Như thế \(BD\perp (ACC'A")\).
Mà \(BD\subset (BDD'B')\) nên \((BDD'B')\perp (ACC'A')\).
\(\bullet\,\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(C'D'\).
Ta có \(CC'\perp (ABCD)\) và \(AC'\cap (ABCD)=A\) nên góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là \(\widehat{C'AC}=60^\circ\).
Ta tính được \(AC=a\sqrt{2}\) và \(AA'=CC'=AC\cdot\tan \widehat{C'AC}=a\sqrt{2}\cdot\tan 60^\circ=a\sqrt{6}.\)
Ta có \(BA\perp AD\) và \(BA\perp AA'\) nên \(BA\perp (ADD'A')\Rightarrow BA\perp AD'\).
Tương tự \(A'D'\perp AD'\).
Do đó \(\mathrm{d}(AB,C'D')=AD'\).
Trong hình chữ nhật \(ADD'A'\) ta tính được \(AD'=\sqrt{AA'^2+AD^2}=\sqrt{\left(a\sqrt{6}\right)^2+a^2}=a\sqrt{7}\).
Vậy \(\mathrm{d}(AB,C'D')=a\sqrt{7}\).
Câu 28:
Một chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh là \(15\) cm, \(15\) cm và \(6\) cm. Tính thể tích của chiếc bánh chưng đó.
Thể tích của chiếc bánh chưng là \(V=15\cdot 15\cdot 6=1350\) cm\(^3\).
Câu 29:
Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao \(10\) cm và đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng \(12\) cm. Tính khối lượng của miếng pho mát theo đơn vị gam, biết khối lượng riêng của loại pho mát đó là \(3\) g/cm\(^3\).
Diện tích tam giác vuông cân là \(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 12^2=72\) cm\(^2\).
Thể tích của khối pho mát là \(V=72\cdot 10=720\) cm\(^3\).
Vậy khối lượng của miếng pho mát là \(m=720\cdot 3=2160\) g.
Câu 30:
Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều (Hình \(97\)). Tính theo \(a\) thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng \(a\).
Hình biểu diễn của đèn đá muối là hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) như hình vẽ bên.
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\). Khi đó \(SO\) là chiều cao của khối chóp.
Ta tính được \(OA=\displaystyle\frac{AC}{2}=\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}\) và \(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{a^2-\left(\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)
Diện tích hình vuông \(ABCD\) là \(S_{ABCD}=a^2\).
Vậy thể tích của đèn đá muối là \(V=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}=\displaystyle\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\).
Câu 31:
Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình \(98\)). Cạnh đáy dưới dài \(5\) m, cạnh đáy trên dài \(2\) m, cạnh bên dài \(3\) m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là \(1\,470\,000\) đồng/m\(^3\). Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.
Diện tích đáy dưới của khối chóp cụt là \(S_1=5^2=25\) m\(^2\).
Diện tích đáy trên của khối chóp cụt là \(S_2=2^2=4\) m\(^2\).
Gọi \(O\), \(O'\) lần lượt là tâm của đáy dưới và đáy trên.
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(D'\) trên \((ABCD)\).
Ta tính được \(O'D'=\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\), \(OD=\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{2}\).
Chiều cao của khối chóp cụt là \(D'H=\sqrt{D'D^2-HD^2}=\sqrt{3^2-\left(\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\right)^2}=\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{2}.\)
Do đó, thể tích của khối chân tháp là \(V=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot D'H\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right)\) \(=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\left(25+\sqrt{25\cdot 4}+4\right)\) \(=\displaystyle\frac{39\sqrt{2}}{2}\approx 27{,}6\ \mathrm{m}^3.\)
Vậy số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là \(1\ 470\ 000\times 27{,}6=40\ 572\ 000\) đồng.